ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 6, с.828-842
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.653+519.644
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ C ПРИМЕНЕНИЕМ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
© 2023 г. А. В. Сетуха
Представлены интегральные формулы для аппроксимации поверхностных градиента (от
скалярной функции, заданной на поверхности) и дивергенции (от касательного векторного
поля, заданного на поверхности), являющиеся аналогами известных формул для производ-
ных функции на плоскости. Получены оценки погрешности аппроксимации этих величин.
Также рассмотрен вопрос о последующей аппроксимации интегралов, дающих выраже-
ние для поверхностных градиента и дивергенции, квадратурными суммами по значениям
исследуемой функции в узлах, выбираемых на ячейках неструктурированной сетки, ап-
проксимирующей поверхность.
DOI: 10.31857/S0374064123060122, EDN: FIJMZL
Введение. В математической физике представляет интерес задача дифференцирования
функций, заданных на поверхности. Так для скалярной функции, заданной на поверхности,
важной характеристикой является вектор поверхностного градиента, который характеризу-
ет скорость изменения функции вдоль поверхности и является величиной, инвариантной по
отношению к способу параметризации поверхности. В частности, поверхностный градиент воз-
никает в теории потенциала: здесь известно интегральное представление для градиента потен-
циала двойного слоя, причём скачок градиента такого потенциала на поверхности в точности
равен поверхностному градиенту от плотности этого потенциала [1, c. 68]. Выражение полей
скоростей через градиент потенциала двойного слоя используется в панельных и вихревых
методах аэродинамики [2, c. 175].
В интегральных уравнениях электродинамики существует выражение для электрическо-
го и магнитного полей через поверхностные токи, которые представляют собой касательные
векторные поля на поверхностях облучаемых тел. При этом имеются варианты записи инте-
гральных представлений для электромагнитного поля, в которые входит поверхностная ди-
вергенция от этих токов [3, с. 29 и уравнение (3.42a), c. 107].
Отметим работы [4, 5], в которых рассматривалось применение метода снесения гранично-
го условия на серединную поверхность к краевым задачам аэродинамики и электродинамики.
В [4] изучалось потенциальное обтекание крыла малой толщины, которое аппроксимировалось
серединной поверхностью. При этом исходная форма крыла учитывалась постановкой специ-
альных граничных условий. Задача сводилась к решению граничных интегральных уравнений
на серединной поверхности, куда входил оператор поверхностного градиента. Аналогичный
подход был применён в статье [5] к решению задачи рассеяния электромагнитной волны на
теле малой толщины. В результате задача сводилась к системе граничных интегральных урав-
нений, записанных на серединной поверхности тела, в которую входил оператор поверхностной
дивергенции от неизвестных поверхностных токов.
Таким образом, необходимость аппроксимации поверхностных производных возникает при
численном решении прикладных задач как на этапе обработки результатов, когда нужно по
найденным на поверхности неизвестным функциям найти какие-либо характеристики, так и на
этапе решения граничных интегро-дифференциальных уравнений, содержащих поверхностные
производные. Здесь могут быть использованы формулы разностного типа. Такие формулы для
поверхностного градиента записаны, например, в работе [6] (формулы (3.3)-(3.5) из [6] по сути
есть формулы для скачка градиента потенциала двойного слоя, который равен поверхностному
градиенту его плотности). В [5] были получены аналогичные формулы для поверхностной
828
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
829
дивергенции. Однако в основе этих формул лежит гипотеза о том, что поверхностная сетка
является регулярной, полученной при гладком отображении прямоугольника, разбитого на
прямоугольные ячейки.
На неструктурированных сетках, в частности на широко используемых в современных ме-
тодах моделирования треугольных сетках, для вычисления поверхностных производных необ-
ходимо применять другие подходы. В настоящей работе предлагается использовать для этих
целей интегральные формулы, развитые в методе частиц для вычисления частных производ-
ных функций, определённых на плоскости [7], где частные производные функции представля-
ются в виде интегрального оператора с ядром типа свёртки, причём это ядро мало вне круга
малого радиуса, окружающего точку, в которой вычисляется производная. Поэтому применя-
емая идея проста. Если предположить, что наша поверхность есть плоскость, помещённая в
пространство, то можно приближённо представить поверхностный градиент на этой плоско-
сти (являющийся обычным двумерным градиентом) в виде интеграла по малой окрестности
рассматриваемой точки. Если же работать на произвольной гладкой поверхности, то можно
записать аналогичный интеграл по окрестности точки на поверхности, понимая, что он близок
к интегралу по касательной плоскости. Собственно эта идея и реализована в настоящей работе
путём получения строгих оценок для интегралов на поверхности и касательной плоскости.
1. Основные исходные формулы. Введём следующие обозначения. Пусть α = (α1,α2) ∈
∈ Z2+; xα = xα11x22 для x = (x1,x2) ∈ R2;
∂|α|f(x)
Dαf(x) =
,
|α| = α1 + α2
∂xα11 ∂x22
(считаем, что Dαf(x) = f(x) при α = (0, 0));
Ck(R2) - пространство функций класса
f ∈
∈ Ck(R2), для которых ограничена норма
∑
∥f∥k =
sup |Dαf(x)|
2
x∈R
α∈Z2+
0≤|α|≤k
(пространство функций с непрерывными ограниченными производными до порядка k).
Пусть f(x)
Ck(R2), x = (x1,x2), k ≥ 1. Тогда частные производные ∂f/∂xi, i =
1, 2,
этой функции можно аппроксимировать формулой [7]
∫
1
(x-y)
Dεif(x) =
(f(y) - f(x))ηi
dy, i = 1, 2,
(1)
ε3
ε
y∈R2
где ηi(x) - некоторая функция специального вида.
Относительно функций ηi(x), i = 1, 2, делаются следующие предположения:
ηi ∈ L1(R2), ηi(-x) = -ηi(x), x ∈ (R2).
(2)
Далее предположим, что для некоторого целого p ≥ 1 выполнены условия:
{
∫
0,
|α| ≤ p, α = ei,
xαηi(x)dx =
i = 1,2, e1 = (1,0), e2 = (0,1),
(3)
−1,
α=ei,
R2
∫
|x|p+1ηi(x) dx
M, i = 1,2.
(4)
≤
R2
Тогда найдётся константа A, зависящая от константы M из оценок (4), такая, что
∂f(x)
- Dεif(x)
Aεp∥f∥p+1.
(5)
≤
∂xi
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
830
СЕТУХА
Для доказательства оценки (5) достаточно записать разложение в ряд Тейлора для функ-
ции f в окрестности точки x в виде
∑
1
f (y) - f(x) =
Dαf(x)(y - x)α + rp(x,y),
|α|!
1≤|α|≤p
где остаточный член представляется как [8, с. 453]
1
∫
∑
1
rp(x,y) =
(y - x)αrp,α(x, y), rp,α(x, y) =
(1 - t)pDαf(x + t(y - x)) dt.
p!
|α|=p+1
0
Тогда
∫
1
(x-y)
Dεif(x) =
(f(y) - f(x))ηi
dy = I1 + I2,
ε3
ε
y∈R2
∫
)
∫
∑
1
(x-y
1
(x-y)
i
I1 =
Deif(x)
(y - x)e
ηi
dy, I2 =
(y - x)αrp,α(x,y)ηi
dy.
ε3
ε
ε3
ε
|α|=p+1y∈R2
y∈R2
Сделав замену z = (y - x)/ε, с учётом формул (2) имеем
∫
∂f(x)
I1 = -Deif(x)
ziηi(z) dy = Dei f(x) =
,
∂xi
z∈R2
∫
1
∑
|I2| =
εp+1zαrp,α(x,y + εz)ηi(z)ε2dz
≤
ε3
|α|=p+1y∈R2
∫
∑
εp∥f∥p+1
2p+1M
≤
zαηi(z)dz
εp∥f∥p+1.
≤
p!
p!
|α|=p+1 y∈R2
В качестве функций ηi(x) можно выбрать, например, следующие [7]:
⎧
⎪-2,
p = 2,
⎨
xi
(-6 + 2|x|2),
p = 4,
ηi(x) =
e-|x|2 ·
(6)
π
⎪(-12 + 8|x|2 - |x|4),
p = 6,
⎩
(-20 + 20|x|2 - 5|x|4 + 0.5|x|6),
p = 8,
где p - порядок формулы (т.е. условия (3) и (4), а следовательно и оценка (5), выполнены с
указанным значением параметра p).
2. Аппроксимация поверхностных производных. Пусть Σ - некоторая гладкая, из-
меримая, ориентированная поверхность класса Cq, q ≥ 2, замкнутая или нет, с краем ∂Σ.
Пусть y ∈ Σ,
n(y) - орт положительного вектора нормали к поверхности Σ в точке y.
Каждой точке z ∈ Σ и действительному числу δ можно поставить в соответствие точку
y = yδ(z) = z + δn(z).
Обозначим
Ω(r, Σ) = {y ∈ R3 : y = yδ(z), z ∈ Σ, δ ∈ [-r/2, r/2]}.
(7)
Предположение 1. Существует число r0 > 0 такое, что отображение между точками
y множества Ω(r, Σ) и парами (z, δ) ∈ Σ × [-r/2, r/2] при r = r0 является взаимно-одно-
значным.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
831
С геометрической точки зрения сделанное предположение означает, что любая точка y
множества Ω(r, Σ) представляется в виде (7), где z есть ближайшая к точке y точка на
поверхности Σ; прямая, проведённая через точки z и y, не имеет других пересечений с по-
верхностью Σ в окрестности точки z радиуса r/2.
Пусть x ∈ Σ, π(x) - касательная плоскость к поверхности Σ в точке x. Обозначим
через C(x, R), x ∈ Σ, R > 0, цилиндр, состоящий из точек y ∈ R3 таких, что |y∗ - x| ≤ R
и |y∗ - y| ≤ R, где y∗ - ортогональная проекция точки y на плоскость π(x). (C(x, R) -
цилиндр, в сечении которого круг радиуса R, параллельный касательной плоскости π(x),
высотой 2R и центром в точке x.) Обозначим Σ(x, R) = Σ
⋂C(x,R).
В каждой точке x ∈ Σ можно ввести декартову систему координат Oξ1ξ2ξ3 с началом в
точке x = O и осью Oξ3, сонаправленной с вектором n(x) (две другие оси лежат в каса-
тельной плоскости π(x) произвольным образом и являются ортогональными). Такую систему
координат назовём специальной системой координат.
Обозначим через V (x, R) множество точек ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2 таких, что точка y∗, имеющая
в специальной системе координаты (ξ1, ξ2, 0), является ортогональной проекцией некоторой
точки y ∈ Σ(x, R).
Пусть x ∈ Rn - некоторая точка, а G ⊂ Rn - некоторое множество. Через ρ(x, G) будем
обозначать расстояние от точки x до множества G.
Предположение 2. Cуществует такое R0 > 0, что для любой точки x ∈ Σ участок
Σ(x, R) поверхности Σ, где 0 < R ≤ R0, может быть представлен в введённой специальной
системе координат уравнением ξ3 = ψ(ξ), ξ = (ξ1, ξ2), ψ - q раз непрерывно дифференциру-
емая функция на множестве V (x, R), причём V (x, R) = {ξ ∈ R2 : |ξ| ≤ R} при R ≤ ρ(x, ∂Σ)
и V (x,R) есть измеримое подмножество круга {ξ ∈ R2 : |ξ| ≤ R} в ином случае. При этом
функция ψ и все её частные производные вплоть до порядка q включительно на всём мно-
жестве V (x, R) ограничены по модулю некоторой константой, не зависящей от выбранной
точки x.
Заметим при этом, что для любой точки z ∈ Σ c координатами в специальной системе
координат (ξ1, ξ2, ψ(ξ1, ξ2)) справедливы условия
|∂ψ/∂ξi| ≤ C|ξ|,
|ψ| ≤ C|ξ|2, ξ = (ξ1, ξ2) ∈ V (x, R0),
(8)
выполненные с некоторой константой C, зависящей только от выбора поверхности Σ.
Пусть f - функция класса Cp+1(Σ), заданная на поверхности Σ, p ∈ Z+, p + 1 ≤ q (q -
класс гладкости поверхности, q ≥ 2). Для каждой точки x ∈ Σ можно построить цилиндр
C(x, R0) и выделить участок Σ(x, R) = Σ
⋂C(x,R). На этом участке можно ввести функцию
f′(ξ) = f(y(ξ)), y(ξ) = (ξ1,ξ2,ψ(ξ1,ξ2)) ∈ Σ, ξ = (ξ1,ξ2) ∈ V (x,R0).
(9)
Условие “f - функция класса Cm(Σ) ” можно трактовать как условие того, что f′(ξ) ∈
∈ Cm(V (x,R0)) для любой точки x ∈ Σ. Для функции f ∈ Cm(Σ), m ≤ q, введём норму
следующим образом. Для каждой точки x ∈ Σ\∂Σ введём всевозможные специальные сис-
темы координат. Каждая такая система, в действительности полностью определяемая ортом
e1 = e1(x), ортогональным вектору n(x), порождает функцию f′(ξ) по формуле (9). Положим
∑
∥f∥m = sup
|Dαf′(0)|.
x,e1
0≤|α|≤m
Далее рассмотрим оператор “поверхностный градиент” функции, заданной на поверхно-
сти. Этот оператор можно ввести следующим образом. Построим функцию f∗, являющуюся
продолжением функции f на множество Ω(r, Σ) вида (7), по формуле
f∗(y) = f(x) при y = x + δn(x), x ∈ Σ.
Тогда определим поверхностный градиент как
Grad f(x) = grad f∗(x), x ∈ Σ\∂Σ,
(10)
grad f∗ - обычный градиент функции трёх переменных.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
832
СЕТУХА
Учитывая, что ∂f∗/∂n = 0 на поверхности Σ, легко увидеть, что вектор Grad f(x) опре-
делён тогда и только тогда, когда функция f дифференцируема в точке x, т.е. представляется
в окрестности этой точки в виде
f (y) = f(x) + (A, y - x) + o(|y - x|),
y ∈ Σ
⋂U(x), U(x) - некоторая трёхмерная окрестность точки x, o(r) - бесконечно малая
величина более высокого порядка малости, чем r при r → 0,
A - некоторый вектор. При
этом вектор
A определён с точностью до слагаемого вида λn(x), λ ∈ R, и существует един-
ственный вектор
A, удовлетворяющий условию (A, n(x)) = 0, который совпадает с вектором
Grad f(x), определяемым формулой (10).
Теперь пусть
f (x) - касательное векторное поле на поверхности, т.е. для каждой точки
x ∈ Σ значение
f (x) есть трёхмерный вектор, удовлетворяющий условию
f (x), n(x)) = 0.
Введём опять продолжение пол
f (x) по формуле
f∗(y)
f (x) при y = x + δn(x), y ∈ Ω(r, Σ),
и определим поверхностную дивергенцию векторного поля
f (x):
Di
f (x) = di
f∗(x), x ∈ Σ\∂Σ,
(11)
где div - обычная трёхмерная дивергенция.
Как показано в [9], определение по формуле (11) равносильно другому классическому опре-
делению
∫
1
Di
f (x) = lim
f (y)ν(y) dsy,
d(σ)→0 μ(σ)
∂σ
где σ - измеримая часть поверхности Σ с гладким краем ∂σ такая, что x ∈ σ, x ∈ ∂σ,
μ(σ) - площадь поверхности σ, d(σ) - диаметр поверхности σ,
ν(y) - вектор нормали к
контуру ∂σ, лежащий в касательной плоскости к поверхности и направленный наружу от
участка поверхности σ.
Введём в точке x ∈ Σ\∂Σ специальную систему координат Oξ1ξ2ξ3. Тогда в окрестности
точки x ∈ Σ заданная на поверхности функция f (касательное векторное пол
f) порождает
функцию f′(ξ) = f(y(ξ)) (векторное поле
f′(ξ)
f (y(ξ))), где ξ = (ξ1, ξ2), y(ξ) - точка на
поверхности Σ с координатами в специальной системе (ξ1, ξ2, ψ(ξ1, ξ2)). При этом из равенств
(10) и (11) следуют формулы
)
′
(∂f
∂f′
∂f′1
∂f′2
Grad f(x) =
,
,0
,
Di
f (x) =
+
,
∂ξ1
∂ξ2
∂ξ1
∂ξ2
здесь f′1, f′2, f′3 - координаты вектора
f в системе координат Oξ1ξ2ξ3, производные берутся
в точке ξ = (0, 0).
Пусть ei, i = 1, 2, 3, - орты осей специальной системы координат, e3 = n(x). Тогда
Grad f(x) = L1f(x)e1 + L2f(x)e2, Di
f (x) = L1f1(x)e1 + L2f1(x)e2, fi =
f,ei),
где
′
∂f
Lif(x) = (Grad f(x),ei) =
(0), i = 1, 2.
(12)
∂ξi
О векторном поле
f = (f1,f2,f3), где fi ∈ Cm(Σ), i = 1,2,3, будем говорить, что
f ∈
∈ Cm(Σ). Определим его норму
∑
∥⃗f∥m =
∥fi∥m.
i=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
833
Перейдём к интегральной аппроксимации поверхностных операторов: градиент и дивер-
генция. Обратим внимание, что в формуле (6) функции ηi имеют вид
ηi(x) = xiη(|x|), i = 1,2.
При этом условия (2)-(4) записываются в виде условий на функцию η(r), r ∈ [0, ∞):
rη ∈ L1(R),
(13)
∞
{
∫
-1/π, m = 1,
rm+2η(r)dr =
(14)
0,
3 ≤ m ≤ p,
0
∞
∫
rp+1|η(r)|dr ≤ ∞.
(15)
0
Тогда в плоском случае для функции f(x) и векторного поля
f (x) = (f1(x), f2(x)), x =
= (x1, x2) ∈ R2, из (1) следуют формулы, аппроксимирующие градиент и дивергенцию:
∫
1
x-y
( |x - y|)
gradεf(x) =
(f(y) - f(x))
η
dy,
(16)
ε3
ε
ε
y∈Σ
∫
1
x-y
( |x - y|)
divε
f (x) =
f (y)
f (x))
η
dy.
(17)
ε3
ε
ε
y∈Σ
Теперь вернёмся к случаю, когда функция f(x) и векторное пол
f (x) = (f1, f2, f3) заданы
на поверхности, причём поле является касательным. По аналогии с формулами (16) и (17)
запишем операторы, аппроксимирующие поверхностные градиент и дивергенцию, в виде
[∫
]
1
x-y
( |x - y|)
Gradεf(x) =
Ππ(x)
(f(y) - f(x))
η
dy ,
(18)
ε3
ε
ε
y∈Σ
∫
1
x-y
( |x - y|)
Divε
f (x) =
(Ππ(x)
f (y)]
f (x))
η
dy,
(19)
ε3
ε
ε
y∈Σ
здесь Ππ(x)a - ортогональная проекция вектора a на плоскость π(x), касательную к поверх-
ности Σ в точке x, величина x - y трактуется как вектор.
Далее получим оценку для погрешности аппроксимации величин Grad f(x) и Di
f (x) с
применением формул (18), (19).
3. Погрешность интегральных формул. Предположим дополнительно, что функция
η(r) удовлетворяет оценкам
Cm
dη(r)
Cm
|η(r)| ≤
,
(20)
≤
1+rm
dr
1+rm+1
для некоторого m ≥ 7 с некоторой константой Cm. Заметим, что для функций вида (6) это
условие выполнено при любом натуральном m.
Пусть x ∈ Σ\∂Σ. Равенства (18) и (19) в специальной системе координат Oξ1ξ2ξ3 прини-
мают вид
Gradεf(x) = (Lε1f(x), Lε2f(x), 0), Divε
f (x) = Lε1f1(x) + Lε2f(x),
(21)
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
834
СЕТУХА
∫
1
yi
Lεif(x) = -
(f(y) - f(x))
η(|y|/ε) dσy, i = 1, 2,
(22)
ε3
ε
y∈Σ
(y1, y2, y3) - координаты точки y в специальной системе координат, при этом x = (0, 0, 0) в
этой же системе.
Лемма. Пусть Σ - гладкая поверхность класса Cq, q ≥ 2; f ∈ Cp+1(Σ), p + 1 ≤ q; η(r)
удовлетворяет условиям (13)-(15) и условию (20) с m ≥ 7; x ∈ Σ\∂Σ; и пусть Lif(x) -
операторы, определяемые формулой (12). Тогда найдётся константа C, зависящая только
от поверхности Σ, функции η и параметра p, такая, что справедливо неравенство
]
m-4
[εp∥f∥p+1
ε
|Lεif(x) - Lif(x)| ≤ C
+ ∥f∥1
+ ∥f∥1ε2 ,
(23)
Rp+1
Rm-3
где R = min{R0/2, ρ(x, ∂Σ)}/2, R0 - константа из предположения 2, m - параметр из
оценки (20).
Доказательство. Будем обозначать через C константы, зависящие только от поверх-
ности Σ, функции η и параметра p, причём в различных оценках значение константы C,
вообще говоря, различно.
Построим цилиндры C(x, R) и C(x, R0), и пусть Σ1 = Σ(x, R) ≡ Σ
⋂C(x,R), Σ2 =
= (Σ
⋂C(x,R0))\Σ1, Σ3 = Σ\(Σ2 ⋃ Σ1).
Рассмотрим одну из величин Lεif(x), i = 1, 2. Представим её в виде
Lε1f(x) = I1 + I2 + I3,
∫
1
yi
In =
F (x, y, ε) dσy, n = 1, 2, 3, F (x, y, ε) = -
(f(y) - f(x))
η(|y|/ε).
ε3
ε
y∈Σn
Оценим интегралы I2 и I3. Заметим, что участок поверхности Σ2 ⊂ (C(x, R0)
⋂Σ) за-
даётся уравнением ξ3 = ψ(ξ1, ξ2). Координаты точки y ∈ Σ2 имеют вид y = (ξ1, ξ2, ψ(ξ1, ξ2)),
причём R ≤ |ξ| ≤ R0, ξ = (ξ1, ξ2). Учитывая неравенство |f(y) - f(x)| ≤ ∥f∥1|y| и оценки (8)
и (20), имеем
∫
∫
1
yi
∥f∥1
|y|2
|I2| =
(f(y) - f(x))
η(|y|/ε) dσy
C
dσy ≤
≤
ε3
ε
ε4
1 + (|y|/ε)m
y∈Σ2
y∈Σ2
∫
∫
∞
∥f∥1
r3
ρ3
≤C
dr ≤ C∥f∥1
dρ.
ε4
1 + (r/ε)m
1+ρm
R
R/ε
Тогда
εm-4
|I2| ≤ C∥f∥1
(24)
Rm-4
Для интеграла I3 ввиду оценки (20) и того, что при y ∈ Σ3 выполнено неравенство
|y| ≥ R0, где константа R0 определяется только свойствами поверхности и не зависит от
выбора точки x, получим неравенства
∫
C∥f∥0
εm
|I3| ≤
dσy ≤ C∥f∥0εm-3.
(25)
ε3
εm + Rm
0
y∈Σ3
Перейдём к анализу интеграла I1. Построим ещё один цилиндр C(x, 2R) и выделим на
поверхности Σ участок Σ(x, 2R) ≡ Σ
⋂C(x,2R). По предположению 2 участок Σ(x,2R) за-
даётся уравнением ξ3 = ψ(ξ1, ξ2). Введём функцию f′(ξ) по формуле (9), |ξ| ≤ 2R.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
835
Далее построим функцию θR(r) такую, что θR ∈ C∞[0, ∞), θR(r) = 0 при r > 2R,
θR(r) = 1 при r < R. Эту функцию можно построить в виде θR(r) = θ(r/R), θ ∈ C∞[0,∞),
θ(r) = 0 при r > 2, θR(r) = 1 при r < 1. Тогда
∑
C(k)
diθR(r)
∥θR(r)∥k ≤
,
k∈Z+,
∥θR(r)∥k =
max
.
Rk
r∈[0,∞)
dri
i=0
Далее рассмотрим функцию f′′(ξ) = f′(ξ)θR|ξ|, для которой
C
∥f′′∥k ≤
∥f∥k,
0 ≤ k ≤ p + 1.
(26)
Rk
Заметим, что
∂f′′(ξ)
Lif(x) =
∂ξi
при ξ = 0, i = 1, 2, и в силу оценки (5) имеем
εp∥f∥p+1
|Lif(x) - Dεif′′(0)| ≤ C
,
(27)
Rp+1
Dεi - интегральный оператор (1) на плоскости Oξ1ξ2, который запишем в виде
∫
1
Dεif′′(0) = J ≡ -
(f′′(ξ) - f′′(0))ξiη(|ξ|/ε) dξ.
ε3
ξ∈R2
Представим интеграл J как J = J1 + J2, где в J1 указанный для J интеграл берётся по
множеству |ξ| ≤ R, а в J2 - по множеству |ξ| > R. При этом
∫
∫
∞
∫
∞
C∥f′′∥1
C∥f′′∥1
r3
ρ3
|J2| ≤
|ξ|2|η(|ξ|/ε)| dξ ≤
dr = C∥f′′∥1
dρ,
ε4
ε4
1 + (r/ε)m
1+ρm
ξ∈R2
R
R/ε
|ξ|≥R
откуда, с учётом оценки (26), получим
εm-4
|J2| ≤ C∥f∥1
(28)
Rm-3
Наконец, сравним интегралы I1 и J1. Переходя к интегрированию по параметру ξ =
= (ξ1, ξ2), интеграл I1 представим в виде
∫
1
ξi
I1 = -
(f′(ξ) - f′(0))
η(|y(ξ)|/ε)J(ξ) dξ,
ε3
ε
ξ:|ξ|≤R
√
)
2
√
(∂ψ
J (ξ) =
1+
+
(∂ψ)2, |y| =
|ξ|2 + |ψ(ξ)|2.
∂ξ1
∂ξ2
Из оценок (8) легко показать, что |J(ξ) - 1| ≤ C|ξ|2, ||y| - |ξ|| ≤ C|ξ|3. Следовательно,
∫
1
ξi
I1 - J1 = -
(f′(ξ) - f′(0))
[η(|y(ξ)|/ε)J(ξ) - η(|ξ|/ε)] dξ.
ε3
ε
ξ:|ξ|≤R
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
9∗
836
СЕТУХА
В силу оценок (20)
3
|ξ|
1
|η(|y(ξ)|/ε) - η(|ξ|/ε)| ≤ C
,
ε
1 + (|ξ|/ε)m+1
тогда
∫
]
2
C∥f∥1
[ |ξ|
|ξ|
|ξ|2
|I1 - J1| ≤
|ξ|2
+
dξ =
ε4
ε 1 + (|ξ|/ε)m+1
1 + (|ξ|/ε)m
ξ:|ξ|≤R
∫
R
]
∫
∞
[
]
C∥f∥1
[r
r2
r2
ε2ρ2
ε2ρ2
=
r3
+
dr ≤ C∥f∥1
ρ3 ρ
+
dρ,
ε4
ε 1 + (r/ε)m+1
1 + (r/ε)m
1+ρm+1
1+ρm
0
0
|I1 - J1| ≤ C∥f∥1ε2 при m ≥ 7.
(29)
Из (24)-(29) получаем оценку (23). Лемма доказана.
Из леммы и формул (21), (22) следует
Теорема 1. Пусть поверхность Σ и функция η(r) удовлетворяют условиям леммы.
Тогда:
1) если f ∈ Cp+1(Σ), то
]
m-4
[εp∥f∥p+1
ε
|Gradεf(x) - Grad f(x)| ≤ C
+ ∥f∥1
+ ∥f∥1ε2 ,
x ∈ Σ\∂Σ;
Rp+1
Rm-3
2) если
f
= (f1(x), f2(x), f3(x)) - касательное векторное поле с компонентами fi ∈
∈ Cp+1(Σ), i = 1,2,3, то
]
m-4
[εp∥∥p+1
ε
|Divε⃗f (x) - Div⃗f(x)| ≤ C
+ ∥⃗f∥1
+ ∥⃗f∥1ε2 ,
x ∈ Σ\∂Σ.
Rp+1
Rm-3
Здесь, как и в лемме, R = min{R0, ρ(x, ∂Σ)}/2, R0 - константа из предположения 2, m -
параметр из оценок (20), C - константа, зависящая только от поверхности Σ, функции
η и параметра p.
4. Дискретная аппроксимация интегральных операторов для поверхностных
производных.
4.1. Аппроксимация по поверхностным ячейкам. Предположим, что система яче-
⋃N
ек σj , j = 1, N , образует разбиение поверхности Σ. Это означает, что Σ =
σj, каж-
j=1
дая ячейка σj есть измеримая часть поверхности Σ с площадью μ(σj ) > 0 и при этом
μ(σj
⋂σk) = 0 при k = j.
Возьмём в каждой ячейке узел yj ∈ σj , j = 1, N , и пусть h - диаметр разбиения (h =
= max sup |x - y|).
j=1,N, x,y∈σj
Численно аппроксимируем поверхностные градиент и дивергенцию формулами
]
∑
1
x-yj
( |x - yj|)
Gradhεf(x) =
Ππ(x)
(f(yj) - f(x))
η
μ(σj ) ,
(30)
ε3
ε
ε
j=1
1
∑
|x - yj|
( |x - yj |)
Divε
f (x) =
(Ππ(x)
f (yj )
f (x))
η
μ(σj).
(31)
ε3
ε
ε
j=1
Заметим, что мы не требуем, чтобы точка x, в которой осуществляется аппроксимация,
была одним из узлов.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
837
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Считаем, что существует константа
B > 0 такая, что h < R0/3 и h ≤ Bε. Тогда найдётся константа C, зависящая только
от поверхности Σ, функции η и параметров p и B, такая, что
[
]
h
|Gradhεf(x) - Gradεf(x)| ≤ C ∥f∥0εm
+ ∥f∥1
,
(32)
ε
[
]
h
|Divhε
f (x) - Divεf (x)| ≤ C ∥⃗f∥0εm
+∥⃗
f∥1
,
(33)
ε
где в формуле (32) f ∈ C1(Σ) - функция на поверхности, в формуле (33)
f ∈ C1(Σ) -
касательное векторное поле на поверхности, m - параметр из оценок (20).
Доказательство. Построим специальную систему координат Oξ1ξ2ξ3 с началом в точке
x = O и осью Oξ3, сонаправленной с вектором n(x). Интегралы Lεif(x), x ∈ Σin, определя-
емые формулой (22), аппроксимируем интегральной суммой
∑
1
(x-yj)
Lε,hif(x) =
(f(yj) - f(x))ηi
μ(σj).
(34)
ε3
ε
j=1
Выделим цилиндр C(x, R0), R0 - константа из предположения 2. Для каждой точки yj ∈
∈ C(x,R0) построим её проекцию yj на плоскость Oξ1ξ2.
Разобьем поверхность Σ на три части Σ0, Σ1, Σ2 следующим образом: Σ0 - объединение
тех ячеек σj , для которых |yj - x| ≤ 2h; Σ1 - объединение тех ячеек σj, для которых 2h <
< |yj - x| ≤ R0 - h; Σ2 - оставшаяся часть поверхности Σ. Это разделение поверхности
произведено так, что выполнены условия:
y ∈ C(x,3h) при y ∈ Σ0;
y ∈ C(x,R0) и y ∈ C(x,h) при y ∈ Σ1;
|x - y| > R0/3 при y ∈ Σ2.
Величину Lεif(x) представим в виде
∫
1
(x-y)
Lεif(x) = I0 + I1 + I2, Ik = ϕ(y)dσ, k = 1,2,3, ϕ(y) =
(f(y) - f(x))ηi
ε3
ε
Σk
Аналогично
∑
Lε,hif(x) = Ih0 + Ih1 + Ih2, Ihk =
ϕ(yj )μ(σj).
j:yj∈Σk
При этом с учётом (20) сразу можем записать
3
h
h3
|I2| ≤ C∥f∥0εm,
|Ih2| ≤ C∥f∥0εm,
|I0| ≤ C∥f∥1
,
|Ih| ≤ C∥f∥1
(35)
0
ε3
ε3
Оценим разность
∫
∑
Ih1 - I1 =
(ϕ(yj ) - ϕ(y)) dσ.
j:σj⊂Σ1σj
Заметим, что
)
(
j
1
(x-y
1
(x-yj)(x-y))
ϕ(yj ) - ϕ(y) =
(f(yj) - f(y))ηi
+
(f(y) - f(x)) ηi
-ηi
,
ε3
ε
ε3
ε
ε
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
838
СЕТУХА
(
)
C∥f∥1h
1
|y - x|
|ϕ(yj ) - ϕ(y)| ≤
1+
ε3
1 + (|y - x|/ε)m
ε
Тогда
∫
(
)
C∥f∥1h
1
|ξ|
C∥f∥1h
|Ih1 - I1| ≤
1+
dσ ≤
(36)
ε3
1 + (|ξ|/ε)m
ε
ε
ξ:h<|ξ|<R0
Из оценок (35) и (36) с учётом формул (21) и (22) следует утверждение теоремы.
4.2. Аппроксимация по треугольным ячейкам. Теперь рассмотрим случай аппрок-
симации поверхностных производных на основании триангуляции поверхности. Пусть
Σ =
⋃N
=
σj, где σj - треугольники, построенные так, что у каждого треугольника σj все
j=1
вершины лежат на поверхности и при этом все треугольники вместе образуют разбиение по-
верхности
Σ. Пусть h - диаметр этого разбиения. Возьмём в каждой ячейке узел yj ∈ σj ,
j = 1,N.
Сделаем следующие предположения относительно свойств триангуляции.
Предположение 3. Для любой точки x ∈ Σ такой, что ρ(x, ∂Σ) ≥ h, построим ка-
сательную плоскость π(x), цилиндр C(x, R), R = min{R0, ρ(x, Σ)} и участок поверхности
Σ(x, R) = Σ
⋂C(x,R). Далее выделим участок
Σ(x, R) поверхности
Σ, состоящий из всех
тех и только тех ячеек, все три вершины которых лежат на участке Σ(x, R). Должно выпол-
няться условие, что проекция участкаΣ(x, R) на касательную плоскость π(x) содержит круг
с центром в точке x радиуса R - h, лежащий на этой плоскости.
Смысл предположения 1 состоит с том, что приближённая поверхностьΣ аппроксимирует
всю поверхность Σ без “дыр” и больших отступов от края.
Предположение 4. Существует константа Cn такая, что для любой ячейки σj с верши-
нами A1j, A2j, A3j вектор nj (орт вектора нормали к этой ячейке) подчинён оценке
|n(Akj) - nj| ≤ Cnh, k = 1, 2, 3.
Это условие не позволит при вычислении интегралов проявиться эффекту “сапога Шварца”.
С другой стороны, как показано в работе [10], предположение 4 выполнено, если при сгущении
треугольной сетки поставить ограничение на минимальный угол в треугольниках.
Если диаметр разбиения достаточно мал, то для каждой узловой точки yj , j = 1, N ,
можно построить точку zj ∈ Σ, которая является ближайшей к точке yj точкой поверхно-
сти, причём yj = zj + δn(zj ) - это следует из предположения 1. Теперь если f - функция,
заданная на поверхности, то определим эту функцию в точке yj значением f(zj). При этом
найдётся константа C, определяемая поверхностью Σ, такая, что |yj - zj| ≤ h2. Это легко
показать, построив специальную систему координат с центром в точке zj . Тогда из предполо-
жения 2 следует, что все вершины ячейки σj, а значит и все её точки, отстоят от касательной
плоскости, проведённой в точке zj , на расстояние не более величины порядка h2.
Будем аппроксимировать поверхностные градиент и дивергенцию формулами (30) и (31),
полагая, что f(yj) = f(zj ).
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Считаем, что существует константа
B > 0 такая, что h < R0/3 и h ≤ Bε. Пусть x ∈ Σ, ρ(x,∂Σ) ≥ h. Тогда найдётся
константа C, зависящая только от поверхности Σ, функции η и параметров p, m, B,
Cn (из предположения 4), такая, что:
1) выполнены оценки
]
m-4
[εp∥f∥p+1
ε
h
|Gradhεf(x) - Grad f(x)| ≤ C
+ ∥f∥1
+ ∥f∥1
,
(37)
Rp+1
Rm-3
ε
]
m-4
[εp∥f∥p+1
ε
h
|Divhε⃗f (x) - Div⃗f(x)| ≤ C
+ ∥⃗f∥1
+∥⃗
f∥1
,
(38)
Rp+1
Rm-3
ε
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
839
где в формуле (37) f ∈ Cp+1(Σ) - функция на поверхности, в формуле (38)
f ∈ Cp+1(Σ) -
касательное векторное поле на поверхности, p ≥ 0;
2) если yj есть центры ячеек σj (точки пересечения медиан), то
]
m-4
[εp∥f∥p+1
ε
h2
|Gradhεf(x) - Grad f(x)| ≤ C
+ ∥f∥1
+ ∥f∥2
,
Rp+1
Rm-3
ε2
]
m-4
[εp∥f∥p+1
ε
h2
|Divhε⃗f (x) - Div⃗f(x)| ≤ C
+ ∥⃗f∥1
+∥f
,
Rp+1
Rm-3
∥2 ε2
где f ∈ Cp+1(Σ) - функция на поверхности,
f ∈ Cp+1(Σ) - касательное векторное поле на
поверхности, p ≥ 1.
Доказательство. Будем обозначать через C константы, зависящие только от поверхности
Σ, функции η и параметров k, m, B и Cn, причём в различных оценках значение константы
C, вообще говоря, различно. Также будем предполагать, что h2 ≪ h (т.е. если некоторая
величина не превосходит h2, то считаем, что эта величина меньше h).
Опять построим специальную систему координат Oξ1ξ2ξ3. Пусть π = Oξ1ξ2 - касательная
плоскость к поверхности Σ в точке x.
Интегралы Lεif(x), x ∈ Σin, определяемые формулой (22), аппроксимируем интегральной
суммой (34).
Σ0
Разобьём поверхность
Σ на четыре части по положению лежащих на них узлов:
-
объединение ячеек σj таких, что yj ∈ C(x, 2h);
Σ1 - объединение ячеек σj таких, что yj ∈
∈ C(x,R - h) и при этом σj ∈ Σ0;
Σ2 - объединение ячеек σj таких, что yj ∈ C(x,R0 - h)
и при этом σj ∈Σ0, σj ∈Σ1;
Σ4 - оставшаяся часть поверхности
Σ (случай
Σk = ∅ для
некоторых k возможен).
Если σj ∈Σk, k ≤ 2, то построим: ячейку σ0j ⊂ π - проекцию ячейки σj на плоскость π;
точки yj ∈ π и zj ∈ π - проекции на плоскость π точек yj ∈Σ и zj ∈ Σ соответственно; а
также ячейку σ∗j ⊂ Σ такую, что её проекция на плоскость π есть ячейка σ0j ⊂ π. При этом
|zj - yj| ≤ Ch2.
Также разобьем плоскость π на части Σ0k, k = 0, 3 (Σ0k - проекция поверхности
Σk на
плоскость π для k = 1, 2, 3), Σ04 - оставшаяся часть плоскости π.
Рассмотрим разности Lif(x) - Lε,hif(x), i = 1, 2, представив их в виде
Lif(x) - Lε,hif(x) = (Lif(x) - Dεif′′(0)) + (Dεif′′(0) - Lε,hi(x)).
Для первой разности в правой части последнего выражения из оценки (5) и леммы имеем
]
m-4
[εp∥f∥p+1
ε
|Lif(x) - Dεif′′(0)| ≤ C
+ ∥f∥1
+ ∥f∥1ε2
Rp+1
Rm-3
Далее оценим разности Dεif′′(0) - Lε,hi(x). Представим величины Dεif′′(0) и Lε,hif(x) в
виде
∫
1
Dεif′′(0) = I0 + I1 + I2 + I3, Ik = -
ϕ(ξ) dξ, ϕ(ξ) =
(f′′(ξ) - f′′(0))ηi(ξ/ε),
ε3
ξ∈Σ0
k
∑
1
(yj -x)
Lε,hif(x) = J0 + J1 + J2 + J3, Jk = -
ϕj μ(σj), ϕj =
(f(zj) - f(x))ηi
ε3
ε
j:σj⊂Σk
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
840
СЕТУХА
Оценим интегралы I2, I3, J2, J3 по аналогии с рассуждениями в сформулированной
лемме. При ξ ∈ Σ03
⋃Σ04 имеем
∥f′′∥1
ξ
1
|ϕ(ξ)| ≤ C
|ξ|
|ξ| > max{R - h, h},
ε3
ε1 + |ξ/ε|m,
причём ∥f′′∥1 ≤ ∥f∥1/R. Тогда
∫
∞
∥f∥1
1
∥f∥1εm-4
|I2 + I3| ≤ C
dρ ≤ C
R
1+ρm-3
Rm-3
R/ε
Можно показать, что
j
∥f∥1
-x
1
0
|ϕj | ≤ C
|yj0 - x|y
ри σj ∈Σ2,
|ϕj | ≤ C∥f∥0εm-3 при σj ∈Σ3.
ε3
ε
1 + |(yj0 - x)/ε|mп
Следовательно,
∫∞
1
∥f∥1εm-4
|J2| ≤ C∥f∥1
dρ ≤ C
,
|J3| ≤ C∥f∥0εm-3.
1+ρm-3
Rm-4
R/ε
Также сразу видно, что |I0| ≤ C∥f∥0h2, |J0| ≤ C∥f∥0h2.
Пусть
1
ϕ0j = -
(f′(ξj) - f′(0))ηi(ξj /ε),
ε3
где ξj = (ξj1, ξj2) - первые две координаты точки yj в специальной системе координат. Обо-
значим ξε = ξj/ε, ξε = ξ/ε.
Рассмотрим разность
)
1
(yj -x
1
ϕj μ(σj) - ϕjμ(σj) =
(f(zj) - f(x))ηi
μ(σj) -
(f′(ξj) - f′(0))ηi(ξjε )μ(σ0j).
ε3
ε
ε3
При σj ∈Σ1, |ξj | > h имеем оценки
|μ(σj ) - μ(σ0j)| ≤ C|ξj|2μ(σ0j),
|f(zj ) - f′(ξj)| ≤ C∥f∥1h2,
)
(yj -x
C
i
|ηi(|ξjε |)| ≤ |ξjε|
,
η
+
ε
1 + |ξε|m
)
(yj -x
1
i
- ηi(|ξjε|)
C|ξj|2|ξjε |2
η
≤
ε
1 + |ξε|m+1
Тогда
)
3
C
( ∥f∥1h2 + ∥f∥1|ξj |
1
|ϕj μ(σj ) - ϕ0jμ(σ0j)| ≤
|ξjε| + ∥f∥1|ξjε |2|ξj |3
μ(σ0j).
ε3
1 + |ξε|m
1 + |ξε|m+1
Значит,
∑
J1 = J′1 + ΔJ1, ΔJ1 = -
(ϕj μ(σj ) - ϕ0jμ(σ0j)),
j:σj⊂Σ1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
841
∫
)
]
]
∑
[(h2
1
1
[h2
|ΔJ1| ≤
C∥f∥1
+ |ξε|4
+ |ξε|5
dξ ≤ C∥f∥1
+ε2 .
ε3
1 + |ξε|m
1 + |ξε|m+1
ε
j:σj⊂Σ1
ξ∈R2
Величина J′1 есть интегральная сумма для интеграла I1, и мы можем записать
∫
∑
I1 - J′1 = -
(ϕ(ξ) - ϕ(ξj )) dσ.
j:σj∈Σ0
j σj
Если точки yj выбирались на ячейках произвольным образом, то при ξj ∈ σ0j имеем
|ϕ(ξ) - ϕ(ξj )| ≤ Ch∥ϕ∥1,σj ,
∥ϕ∥1,σj = sup
max |Dαϕ(ξ)|,
|α|=1
ξ∈σ0
j
причём
∥f∥1
∥ϕ∥1,σj ≤ C(1 + |ξε| + |ξε|2)
1 + |ξε|m
Таким образом, справедлива оценка
∫
∑
h
1
h
|I1 - J′| ≤ C∥f∥1
(1 + |ξε| + |ξε|2)
dξ ≤ C∥f∥1
1
ε3
1 + |ξε|m
ε
ξ∈R2σj
Если yj - центры треугольников σj, то ξj - центры треугольников σ0j. Тогда при ξj ∈ σj
имеем
ϕ(ξ) - ϕ(ξj ) = (grad ϕ(ξj ), ξ - ξj) + α(ξ, ξj ),
где |α(ξ, ξj )| ≤ Ch2∥ϕ∥2,j ,
∥ϕ∥1,σj = sup
max |Dαϕ(ξ)|, причём
|α|=2
ξ∈σ0
j
1
∥f∥2
∥ϕ∥1,σj ≤ C
(1 + |ξjε | + |ξjε |2)
ε
1 + |ξε|m
Поскольку
∫
∫
(ξ - ξj ) dσ = 0 и
(ϕ(ξ) - ϕ(ξj )) dσ ≤ Ch2∥ϕ∥2,j μ(σj ),
σj
σj
то имеем
∫
2
∑
h
1
h2
|I1 - J′
1
| ≤ C∥f∥2
(1 + |ξε| + |ξε|2)
dσ ≤ C∥f∥2
ε4
1 + |ξε|m
ε2
ξ∈R2σj
Собрав все оценки, получим утверждение теоремы.
Заключение. Получены формулы для аппроксимации поверхностных градиента и ди-
вергенции с применением интегральных операторов (теорема 1). Обратим внимание, что для
точек, удалённых от края, и в случае, когда поверхность и функция достаточно гладкие, мы
имеем аппроксимацию порядка ε2, где ε - параметр, интерпретируемый как характерный ра-
диус области сосредоточения ядра интегрального оператора. Здесь есть отличие от плоского
случая, где указанный порядок аппроксимации может быть высоким (оценка (5)). Причи-
на такого отличия состоит в том, что в предложенных формулах точность аппроксимации
определяется в том числе и погрешностью, возникающей из-за отклонения поверхности от ка-
сательной плоскости. Формулы более высокого порядка точности, по-видимому, могут быть
получены с учётом кривизны поверхности.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
842
СЕТУХА
Также заметим, что при аппроксимации интегральных операторов дискретными суммами
дополнительная погрешность имеет порядок h/ε для произвольного выбора узлов и h2/ε2 в
случае триангуляции поверхности и выборе узлов в центрах ячеек (см. теоремы 2 и 3). От-
метим, что в статье [7] для плоского случая приводится оценка, в которой дополнительная
погрешность при дискретизации может определяться величиной hm/εm, параметр m опре-
деляется видом ядра аппроксимации и гладкостью функции и может принимать большие зна-
чения. Однако такие оценки справедливы при регулярном расположении узлов. В данной же
работе ставилась цель получить оценки для случая произвольного неструктурированного раз-
биения поверхности или её триангуляции достаточно общего вида (отметим, что при этом мы
не требовали свойства конформности от поверхностной сетки).
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Россий-
ской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и
прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.
2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.
3. Volakis J.L., Sertel K. Integral Equation Methods for Electromagnetics. Raleigh, 2012.
4. Писарев И.В., Сетуха А.В. Снесение граничного условия на срединную поверхность при численном
решении краевой задачи линейной теории крыла // Вычислит. методы и программирование. 2014.
Т. 15. Вып. 1. С. 109-120.
5. Setukha A., Fetisov S. The method of relocation of boundary condition for the problem of electromagnetic
wave scattering by perfectly conducting thin objects // J. of Comput. Phys. 2018. V. 373. P. 631-647.
6. Гутников В.А., Лифанов И.К., Сетуха А.В. О моделировании зданий и сооружений методом дис-
кретных вихревых рамок // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 4. C. 78-92.
7. Eldredge J.D., Leonard A., Colonius T. A general deterministic treatment of derivatives in particle
methods // J. of Comput. Phys. 2002. V. 180. P. 686-709.
8. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1997.
9. Захаров Е.В., Рыжаков Г.В., Сетуха А.В. Численное решение трёхмерных задач дифракции элек-
тромагнитных волн на системе идеальнопроводящих поверхностей методом гиперсингулярных
интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 9. С. 1253-1263.
10. Рыжаков Г.В., Сетуха А.В. О сходимости численной схемы типа метода вихревых рамок на замк-
нутой поверхности с аппроксимацией формы поверхности // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48.
№ 9. С. 1327-1336.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 15.03.2023 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 23.03.2023 г.
Институт вычислительной математики
Принята к публикации 18.04.2023 г.
имени Г.И. Марчука РАН, г. Москва
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023