ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 6, с.828-842

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 519.653+519.644

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ C ПРИМЕНЕНИЕМ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Представлены интегральные формулы для аппроксимации поверхностных градиента (от

скалярной функции, заданной на поверхности) и дивергенции (от касательного векторного

поля, заданного на поверхности), являющиеся аналогами известных формул для производ-

ных функции на плоскости. Получены оценки погрешности аппроксимации этих величин.

Также рассмотрен вопрос о последующей аппроксимации интегралов, дающих выраже-

ние для поверхностных градиента и дивергенции, квадратурными суммами по значениям

исследуемой функции в узлах, выбираемых на ячейках неструктурированной сетки, ап-

проксимирующей поверхность.

DOI: 10.31857/S0374064123060122, EDN: FIJMZL

Введение. В математической физике представляет интерес задача дифференцирования

функций, заданных на поверхности. Так для скалярной функции, заданной на поверхности,

важной характеристикой является вектор поверхностного градиента, который характеризу-

ет скорость изменения функции вдоль поверхности и является величиной, инвариантной по

отношению к способу параметризации поверхности. В частности, поверхностный градиент воз-

никает в теории потенциала: здесь известно интегральное представление для градиента потен-

циала двойного слоя, причём скачок градиента такого потенциала на поверхности в точности

равен поверхностному градиенту от плотности этого потенциала [1, c. 68]. Выражение полей

скоростей через градиент потенциала двойного слоя используется в панельных и вихревых

методах аэродинамики [2, c. 175].

В интегральных уравнениях электродинамики существует выражение для электрическо-

го и магнитного полей через поверхностные токи, которые представляют собой касательные

векторные поля на поверхностях облучаемых тел. При этом имеются варианты записи инте-

гральных представлений для электромагнитного поля, в которые входит поверхностная ди-

вергенция от этих токов [3, с. 29 и уравнение (3.42a), c. 107].

Отметим работы [4, 5], в которых рассматривалось применение метода снесения гранично-

го условия на серединную поверхность к краевым задачам аэродинамики и электродинамики.

В [4] изучалось потенциальное обтекание крыла малой толщины, которое аппроксимировалось

серединной поверхностью. При этом исходная форма крыла учитывалась постановкой специ-

альных граничных условий. Задача сводилась к решению граничных интегральных уравнений

на серединной поверхности, куда входил оператор поверхностного градиента. Аналогичный

подход был применён в статье [5] к решению задачи рассеяния электромагнитной волны на

теле малой толщины. В результате задача сводилась к системе граничных интегральных урав-

нений, записанных на серединной поверхности тела, в которую входил оператор поверхностной

дивергенции от неизвестных поверхностных токов.

Таким образом, необходимость аппроксимации поверхностных производных возникает при

численном решении прикладных задач как на этапе обработки результатов, когда нужно по

найденным на поверхности неизвестным функциям найти какие-либо характеристики, так и на

этапе решения граничных интегро-дифференциальных уравнений, содержащих поверхностные

производные. Здесь могут быть использованы формулы разностного типа. Такие формулы для

поверхностного градиента записаны, например, в работе [6] (формулы (3.3)-(3.5) из [6] по сути

есть формулы для скачка градиента потенциала двойного слоя, который равен поверхностному

градиенту его плотности). В [5] были получены аналогичные формулы для поверхностной

828

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

829

дивергенции. Однако в основе этих формул лежит гипотеза о том, что поверхностная сетка

является регулярной, полученной при гладком отображении прямоугольника, разбитого на

прямоугольные ячейки.

На неструктурированных сетках, в частности на широко используемых в современных ме-

тодах моделирования треугольных сетках, для вычисления поверхностных производных необ-

ходимо применять другие подходы. В настоящей работе предлагается использовать для этих

целей интегральные формулы, развитые в методе частиц для вычисления частных производ-

ных функций, определённых на плоскости [7], где частные производные функции представля-

ются в виде интегрального оператора с ядром типа свёртки, причём это ядро мало вне круга

малого радиуса, окружающего точку, в которой вычисляется производная. Поэтому применя-

емая идея проста. Если предположить, что наша поверхность есть плоскость, помещённая в

пространство, то можно приближённо представить поверхностный градиент на этой плоско-

сти (являющийся обычным двумерным градиентом) в виде интеграла по малой окрестности

рассматриваемой точки. Если же работать на произвольной гладкой поверхности, то можно

записать аналогичный интеграл по окрестности точки на поверхности, понимая, что он близок

к интегралу по касательной плоскости. Собственно эта идея и реализована в настоящей работе

путём получения строгих оценок для интегралов на поверхности и касательной плоскости.

1. Основные исходные формулы. Введём следующие обозначения. Пусть α = (α₁,α₂) ∈

∈ Z²⁺; x^α = xα11x22 для x = (x1,x2) ∈ R²;

∂^|α|f(x)

D^αf(x) =

|α| = α₁ + α₂

∂xα11 ∂x22

(считаем, что D^αf(x) = f(x) при α = (0, 0));

C^k(R²) - пространство функций класса

f ∈

∈ C^k(R²), для которых ограничена норма

∑

∥f∥_k =

sup |D^αf(x)|

x∈R

α∈Z²⁺

0≤|α|≤k

(пространство функций с непрерывными ограниченными производными до порядка k).

Пусть f(x)

C^k(R²), x = (x₁,x₂), k ≥ 1. Тогда частные производные ∂f/∂x_i, i =

1, 2,

этой функции можно аппроксимировать формулой [7]

∫

⁽x-y⁾

D^εif(x) =

(f(y) - f(x))η_i

dy, i = 1, 2,

(1)

ε³

y∈R²

где η_i(x) - некоторая функция специального вида.

Относительно функций η_i(x), i = 1, 2, делаются следующие предположения:

η_i ∈ L₁(R²), η_i(-x) = -η_i(x), x ∈ (R²).

(2)

Далее предположим, что для некоторого целого p ≥ 1 выполнены условия:

{

∫

|α| ≤ p, α = e_i,

x^αη_i(x)dx =

i = 1,2, e₁ = (1,0), e₂ = (0,1),

(3)

−1,

α=e_i,

R²

∫



|x|p+1η_i(x) dx

M, i = 1,2.

(4)



≤

R²

Тогда найдётся константа A, зависящая от константы M из оценок (4), такая, что



∂f(x)



- D^εif(x)

Aε^p∥f∥p+1.

(5)



≤

∂x_i

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

830

СЕТУХА

Для доказательства оценки (5) достаточно записать разложение в ряд Тейлора для функ-

ции f в окрестности точки x в виде

∑

f (y) - f(x) =

D^αf(x)(y - x)^α + r_p(x,y),

|α|!

1≤|α|≤p

где остаточный член представляется как [8, с. 453]

∫

∑

r_p(x,y) =

(y - x)^αr_p,α(x, y), r_p,α(x, y) =

(1 - t)^pD^αf(x + t(y - x)) dt.

|α|=p+1

Тогда

∫

⁽x-y⁾

D^εif(x) =

(f(y) - f(x))η_i

dy = I₁ + I₂,

ε³

y∈R²

∫

)

∫

∑

⁽x-y

⁽x-y⁾

I₁ =

Deif(x)

(y - x)^e

η_i

dy, I₂ =

(y - x)^αrp,α(x,y)ηi

dy.

ε³

|α|=p+1y∈R2

y∈R²

Сделав замену z = (y - x)/ε, с учётом формул (2) имеем

∫

∂f(x)

I₁ = -Deif(x)

z_iη_i(z) dy = Dei f(x) =

∂x_i

z∈R²



∫



₁

∑



|I₂| =^

εp+1z^αr_p,α(x,y + εz)η_i(z)ε²dz

≤

^ε³

|α|=p+1y∈R2



∫



∑



ε^p∥f∥p+1

2p⁺¹M



≤

z^αη_i(z)dz

ε^p∥f∥p+1.



≤

|α|=p+1 y∈R2

В качестве функций η_i(x) можно выбрать, например, следующие [7]:

⎧

⎪-2,

p = 2,

⎨

x_i

(-6 + 2|x|²),

p = 4,

η_i(x) =

e-|x|2 ·

(6)

⎪(-12 + 8|x|2 - |x|4),

p = 6,

⎩

(-20 + 20|x|² - 5|x|⁴ + 0.5|x|⁶),

p = 8,

где p - порядок формулы (т.е. условия (3) и (4), а следовательно и оценка (5), выполнены с

указанным значением параметра p).

2. Аппроксимация поверхностных производных. Пусть Σ - некоторая гладкая, из-

меримая, ориентированная поверхность класса C^q, q ≥ 2, замкнутая или нет, с краем ∂Σ.

Пусть y ∈ Σ,

n(y) - орт положительного вектора нормали к поверхности Σ в точке y.

Каждой точке z ∈ Σ и действительному числу δ можно поставить в соответствие точку

y = y_δ(z) = z + δn(z).

Обозначим

Ω(r, Σ) = {y ∈ R³ : y = y_δ(z), z ∈ Σ, δ ∈ [-r/2, r/2]}.

(7)

Предположение 1. Существует число r₀ > 0 такое, что отображение между точками

y множества Ω(r, Σ) и парами (z, δ) ∈ Σ × [-r/2, r/2] при r = r₀ является взаимно-одно-

значным.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

831

С геометрической точки зрения сделанное предположение означает, что любая точка y

множества Ω(r, Σ) представляется в виде (7), где z есть ближайшая к точке y точка на

поверхности Σ; прямая, проведённая через точки z и y, не имеет других пересечений с по-

верхностью Σ в окрестности точки z радиуса r/2.

Пусть x ∈ Σ, π(x) - касательная плоскость к поверхности Σ в точке x. Обозначим

через C(x, R), x ∈ Σ, R > 0, цилиндр, состоящий из точек y ∈ R³ таких, что |y^∗ - x| ≤ R

и |y^∗ - y| ≤ R, где y^∗ - ортогональная проекция точки y на плоскость π(x). (C(x, R) -

цилиндр, в сечении которого круг радиуса R, параллельный касательной плоскости π(x),

высотой 2R и центром в точке x.) Обозначим Σ(x, R) = Σ

^⋂C(x,R).

В каждой точке x ∈ Σ можно ввести декартову систему координат Oξ₁ξ₂ξ₃ с началом в

точке x = O и осью Oξ₃, сонаправленной с вектором n(x) (две другие оси лежат в каса-

тельной плоскости π(x) произвольным образом и являются ортогональными). Такую систему

координат назовём специальной системой координат.

Обозначим через V (x, R) множество точек ξ = (ξ₁, ξ₂) ∈ R² таких, что точка y^∗, имеющая

в специальной системе координаты (ξ₁, ξ₂, 0), является ортогональной проекцией некоторой

точки y ∈ Σ(x, R).

Пусть x ∈ Rⁿ - некоторая точка, а G ⊂ Rⁿ - некоторое множество. Через ρ(x, G) будем

обозначать расстояние от точки x до множества G.

Предположение 2. Cуществует такое R₀ > 0, что для любой точки x ∈ Σ участок

Σ(x, R) поверхности Σ, где 0 < R ≤ R₀, может быть представлен в введённой специальной

системе координат уравнением ξ₃ = ψ(ξ), ξ = (ξ₁, ξ₂), ψ - q раз непрерывно дифференциру-

емая функция на множестве V (x, R), причём V (x, R) = {ξ ∈ R² : |ξ| ≤ R} при R ≤ ρ(x, ∂Σ)

и V (x,R) есть измеримое подмножество круга {ξ ∈ R² : |ξ| ≤ R} в ином случае. При этом

функция ψ и все её частные производные вплоть до порядка q включительно на всём мно-

жестве V (x, R) ограничены по модулю некоторой константой, не зависящей от выбранной

точки x.

Заметим при этом, что для любой точки z ∈ Σ c координатами в специальной системе

координат (ξ₁, ξ₂, ψ(ξ₁, ξ₂)) справедливы условия

|∂ψ/∂ξ_i| ≤ C|ξ|,

|ψ| ≤ C|ξ|², ξ = (ξ₁, ξ₂) ∈ V (x, R₀),

(8)

выполненные с некоторой константой C, зависящей только от выбора поверхности Σ.

Пусть f - функция класса Cp+1(Σ), заданная на поверхности Σ, p ∈ Z₊, p + 1 ≤ q (q -

класс гладкости поверхности, q ≥ 2). Для каждой точки x ∈ Σ можно построить цилиндр

C(x, R₀) и выделить участок Σ(x, R) = Σ

^⋂C(x,R). На этом участке можно ввести функцию

f^′(ξ) = f(y(ξ)), y(ξ) = (ξ₁,ξ₂,ψ(ξ₁,ξ₂)) ∈ Σ, ξ = (ξ₁,ξ₂) ∈ V (x,R₀).

(9)

Условие “f - функция класса C^m(Σ) ” можно трактовать как условие того, что f^′(ξ) ∈

∈ C^m(V (x,R₀)) для любой точки x ∈ Σ. Для функции f ∈ C^m(Σ), m ≤ q, введём норму

следующим образом. Для каждой точки x ∈ Σ\∂Σ введём всевозможные специальные сис-

темы координат. Каждая такая система, в действительности полностью определяемая ортом

e₁ = e₁(x), ортогональным вектору n(x), порождает функцию f^′(ξ) по формуле (9). Положим

∑

∥f∥_m = sup

|D^αf^′(0)|.

x,e₁

0≤|α|≤m

Далее рассмотрим оператор “поверхностный градиент” функции, заданной на поверхно-

сти. Этот оператор можно ввести следующим образом. Построим функцию f^∗, являющуюся

продолжением функции f на множество Ω(r, Σ) вида (7), по формуле

f^∗(y) = f(x) при y = x + δn(x), x ∈ Σ.

Тогда определим поверхностный градиент как

Grad f(x) = grad f^∗(x), x ∈ Σ\∂Σ,

(10)

grad f^∗ - обычный градиент функции трёх переменных.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

832

СЕТУХА

Учитывая, что ∂f^∗/∂n = 0 на поверхности Σ, легко увидеть, что вектор Grad f(x) опре-

делён тогда и только тогда, когда функция f дифференцируема в точке x, т.е. представляется

в окрестности этой точки в виде

f (y) = f(x) + (A, y - x) + o(|y - x|),

y ∈ Σ

^⋂U(x), U(x) - некоторая трёхмерная окрестность точки x, o(r) - бесконечно малая

величина более высокого порядка малости, чем r при r → 0,

A - некоторый вектор. При

этом вектор

A определён с точностью до слагаемого вида λn(x), λ ∈ R, и существует един-

ственный вектор

A, удовлетворяющий условию (A, n(x)) = 0, который совпадает с вектором

Grad f(x), определяемым формулой (10).

Теперь пусть

f (x) - касательное векторное поле на поверхности, т.е. для каждой точки

x ∈ Σ значение

f (x) есть трёхмерный вектор, удовлетворяющий условию

f (x), n(x)) = 0.

Введём опять продолжение пол

f (x) по формуле

f^∗(y)

f (x) при y = x + δn(x), y ∈ Ω(r, Σ),

и определим поверхностную дивергенцию векторного поля

f (x):

f (x) = di

f^∗(x), x ∈ Σ\∂Σ,

(11)

где div - обычная трёхмерная дивергенция.

Как показано в [9], определение по формуле (11) равносильно другому классическому опре-

делению

∫

f (x) = lim

f (y)ν(y) ds_y,

d(σ)→0 μ(σ)

∂σ

где σ - измеримая часть поверхности Σ с гладким краем ∂σ такая, что x ∈ σ, x ∈ ∂σ,

μ(σ) - площадь поверхности σ, d(σ) - диаметр поверхности σ,

ν(y) - вектор нормали к

контуру ∂σ, лежащий в касательной плоскости к поверхности и направленный наружу от

участка поверхности σ.

Введём в точке x ∈ Σ\∂Σ специальную систему координат Oξ₁ξ₂ξ₃. Тогда в окрестности

точки x ∈ Σ заданная на поверхности функция f (касательное векторное пол

f) порождает

функцию f^′(ξ) = f(y(ξ)) (векторное поле

f^′(ξ)

f (y(ξ))), где ξ = (ξ₁, ξ₂), y(ξ) - точка на

поверхности Σ с координатами в специальной системе (ξ₁, ξ₂, ψ(ξ₁, ξ₂)). При этом из равенств

(10) и (11) следуют формулы

)

′

⁽∂f

∂f^′

∂f′1

∂f′2

Grad f(x) =

f (x) =

∂ξ₁

∂ξ₂

∂ξ₁

∂ξ₂

здесь f′1, f′2, f′3 - координаты вектора

f в системе координат Oξ₁ξ₂ξ₃, производные берутся

в точке ξ = (0, 0).

Пусть e_i, i = 1, 2, 3, - орты осей специальной системы координат, e₃ = n(x). Тогда

Grad f(x) = L₁f(x)e₁ + L₂f(x)e₂, Di

f (x) = L₁f₁(x)e₁ + L₂f₁(x)e₂, f_i =

f,e_i),

где

′

∂f

L_if(x) = (Grad f(x),e_i) =

(0), i = 1, 2.

(12)

∂ξ_i

О векторном поле

f = (f₁,f₂,f₃), где f_i ∈ C^m(Σ), i = 1,2,3, будем говорить, что

f ∈

∈ C^m(Σ). Определим его норму

∑

∥⃗f∥_m =

∥f_i∥_m.

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

833

Перейдём к интегральной аппроксимации поверхностных операторов: градиент и дивер-

генция. Обратим внимание, что в формуле (6) функции η_i имеют вид

η_i(x) = x_iη(|x|), i = 1,2.

При этом условия (2)-(4) записываются в виде условий на функцию η(r), r ∈ [0, ∞):

rη ∈ L₁(R),

(13)

∞

{

∫

-1/π, m = 1,

rm+2η(r)dr =

(14)

3 ≤ m ≤ p,

∞

∫

rp+1|η(r)|dr ≤ ∞.

(15)

Тогда в плоском случае для функции f(x) и векторного поля

f (x) = (f₁(x), f₂(x)), x =

= (x₁, x₂) ∈ R², из (1) следуют формулы, аппроксимирующие градиент и дивергенцию:

∫

x-y

⁽ |x - y|⁾

grad_εf(x) =

(f(y) - f(x))

dy,

(16)

ε³

y∈Σ

∫

x-y

⁽ |x - y|⁾

div_ε

f (x) =

f (y)

f (x))

dy.

(17)

ε³

y∈Σ

Теперь вернёмся к случаю, когда функция f(x) и векторное пол

f (x) = (f₁, f₂, f₃) заданы

на поверхности, причём поле является касательным. По аналогии с формулами (16) и (17)

запишем операторы, аппроксимирующие поверхностные градиент и дивергенцию, в виде

[∫

]

x-y

⁽ |x - y|⁾

Grad_εf(x) =

Ππ(x)

(f(y) - f(x))

dy ,

(18)

ε³

y∈Σ

∫

x-y

⁽ |x - y|⁾

Div_ε

f (x) =

(Ππ(x)

f (y)]

f (x))

dy,

(19)

ε³

y∈Σ

здесь Ππ(x)a - ортогональная проекция вектора a на плоскость π(x), касательную к поверх-

ности Σ в точке x, величина x - y трактуется как вектор.

Далее получим оценку для погрешности аппроксимации величин Grad f(x) и Di

f (x) с

применением формул (18), (19).

3. Погрешность интегральных формул. Предположим дополнительно, что функция

η(r) удовлетворяет оценкам



C_m

dη(r)

C_m



|η(r)| ≤

(20)

≤

1+r^m

 dr

1+rm+1

для некоторого m ≥ 7 с некоторой константой C_m. Заметим, что для функций вида (6) это

условие выполнено при любом натуральном m.

Пусть x ∈ Σ\∂Σ. Равенства (18) и (19) в специальной системе координат Oξ₁ξ₂ξ₃ прини-

мают вид

Grad_εf(x) = (Lε1f(x), Lε2f(x), 0), Div_ε

f (x) = Lε1f₁(x) + Lε2f(x),

(21)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

834

СЕТУХА

∫

y_i

L^εif(x) = -

(f(y) - f(x))

η(|y|/ε) dσ_y, i = 1, 2,

(22)

ε³

y∈Σ

(y₁, y₂, y₃) - координаты точки y в специальной системе координат, при этом x = (0, 0, 0) в

этой же системе.

Лемма. Пусть Σ - гладкая поверхность класса C^q, q ≥ 2; f ∈ Cp+1(Σ), p + 1 ≤ q; η(r)

удовлетворяет условиям (13)-(15) и условию (20) с m ≥ 7; x ∈ Σ\∂Σ; и пусть L_if(x) -

операторы, определяемые формулой (12). Тогда найдётся константа C, зависящая только

от поверхности Σ, функции η и параметра p, такая, что справедливо неравенство

]

m-4

^[ε^p∥f∥p+1

|L^εif(x) - L_if(x)| ≤ C

+ ∥f∥₁

+ ∥f∥₁ε2 ,

(23)

Rp+1

Rm-3

где R = min{R₀/2, ρ(x, ∂Σ)}/2, R₀ - константа из предположения 2, m - параметр из

оценки (20).

Доказательство. Будем обозначать через C константы, зависящие только от поверх-

ности Σ, функции η и параметра p, причём в различных оценках значение константы C,

вообще говоря, различно.

Построим цилиндры C(x, R) и C(x, R₀), и пусть Σ₁ = Σ(x, R) ≡ Σ

^⋂C(x,R), Σ₂ =

= (Σ

^⋂C(x,R₀))\Σ₁, Σ₃ = Σ\(Σ₂ ⋃ Σ₁).

Рассмотрим одну из величин L^εif(x), i = 1, 2. Представим её в виде

Lε1f(x) = I₁ + I₂ + I₃,

∫

y_i

I_n =

F (x, y, ε) dσ_y, n = 1, 2, 3, F (x, y, ε) = -

(f(y) - f(x))

η(|y|/ε).

ε³

y∈Σn

Оценим интегралы I₂ и I₃. Заметим, что участок поверхности Σ₂ ⊂ (C(x, R₀)

^⋂Σ) за-

даётся уравнением ξ₃ = ψ(ξ₁, ξ₂). Координаты точки y ∈ Σ₂ имеют вид y = (ξ₁, ξ₂, ψ(ξ₁, ξ₂)),

причём R ≤ |ξ| ≤ R₀, ξ = (ξ₁, ξ₂). Учитывая неравенство |f(y) - f(x)| ≤ ∥f∥₁|y| и оценки (8)

и (20), имеем



∫



∫



y_i



∥f∥₁

|y|²



|I₂| =^

(f(y) - f(x))

η(|y|/ε) dσ_y

dσ_y ≤

≤

ε³

ε⁴

1 + (|y|/ε)^m

y∈Σ₂

∫

∞

∥f∥₁

r³

ρ³

≤C

dr ≤ C∥f∥₁

dρ.

ε⁴

1 + (r/ε)^m

1+ρ^m

R/ε

Тогда

εm-4

|I₂| ≤ C∥f∥₁

(24)

Rm-4

Для интеграла I₃ ввиду оценки (20) и того, что при y ∈ Σ₃ выполнено неравенство

|y| ≥ R0, где константа R0 определяется только свойствами поверхности и не зависит от

выбора точки x, получим неравенства

∫

C∥f∥₀

ε^m

|I₃| ≤

dσ_y ≤ C∥f∥₀εm-3.

(25)

ε³

ε^m + R^m

y∈Σ₃

Перейдём к анализу интеграла I₁. Построим ещё один цилиндр C(x, 2R) и выделим на

поверхности Σ участок Σ(x, 2R) ≡ Σ

^⋂C(x,2R). По предположению 2 участок Σ(x,2R) за-

даётся уравнением ξ₃ = ψ(ξ₁, ξ₂). Введём функцию f^′(ξ) по формуле (9), |ξ| ≤ 2R.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

835

Далее построим функцию θ_R(r) такую, что θ_R ∈ C^∞[0, ∞), θ_R(r) = 0 при r > 2R,

θ_R(r) = 1 при r < R. Эту функцию можно построить в виде θ_R(r) = θ(r/R), θ ∈ C^∞[0,∞),

θ(r) = 0 при r > 2, θ_R(r) = 1 при r < 1. Тогда



∑



C(k)

_diθR(r)



∥θ_R(r)∥_k ≤

k∈Z₊,

∥θ_R(r)∥_k =

max

^.

R^k

r∈[0,∞)

 drⁱ

i=0

Далее рассмотрим функцию f^′′(ξ) = f^′(ξ)θ_R|ξ|, для которой

∥f^′′∥_k ≤

∥f∥_k,

0 ≤ k ≤ p + 1.

(26)

R^k

Заметим, что

∂f^′′(ξ)

L_if(x) =

∂ξ_i

при ξ = 0, i = 1, 2, и в силу оценки (5) имеем

ε^p∥f∥p+1

|L_if(x) - D^εif^′′(0)| ≤ C

(27)

Rp+1

D^εi - интегральный оператор (1) на плоскости Oξ₁ξ₂, который запишем в виде

∫

D^εif^′′(0) = J ≡ -

(f^′′(ξ) - f^′′(0))ξ_iη(|ξ|/ε) dξ.

ε³

ξ∈R²

Представим интеграл J как J = J₁ + J₂, где в J₁ указанный для J интеграл берётся по

множеству |ξ| ≤ R, а в J₂ - по множеству |ξ| > R. При этом

∫

∞

∫

∞

C∥f^′′∥₁

r³

ρ³

|J₂| ≤

|ξ|²|η(|ξ|/ε)| dξ ≤

dr = C∥f^′′∥1

dρ,

ε⁴

1 + (r/ε)^m

1+ρ^m

ξ∈R²

R/ε

|ξ|≥R

откуда, с учётом оценки (26), получим

εm-4

|J₂| ≤ C∥f∥₁

(28)

Rm-3

Наконец, сравним интегралы I₁ и J₁. Переходя к интегрированию по параметру ξ =

= (ξ₁, ξ₂), интеграл I₁ представим в виде

∫

ξ_i

I₁ = -

(f^′(ξ) - f^′(0))

η(|y(ξ)|/ε)J(ξ) dξ,

ε³

ξ:|ξ|≤R

√

)

√

⁽∂ψ

J (ξ) =

⁽∂ψ)2, |y| =

|ξ|² + |ψ(ξ)|².

∂ξ₁

∂ξ₂

Из оценок (8) легко показать, что |J(ξ) - 1| ≤ C|ξ|², ||y| - |ξ|| ≤ C|ξ|3. Следовательно,

∫

ξ_i

I₁ - J₁ = -

(f^′(ξ) - f^′(0))

[η(|y(ξ)|/ε)J(ξ) - η(|ξ|/ε)] dξ.

ε³

ξ:|ξ|≤R

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

9^∗

836

СЕТУХА

В силу оценок (20)

|ξ|

|η(|y(ξ)|/ε) - η(|ξ|/ε)| ≤ C

1 + (|ξ|/ε)m+1

тогда

∫

]

C∥f∥₁

^[ |ξ|

|ξ|

|ξ|²

|I₁ - J₁| ≤

|ξ|²

dξ =

ε⁴

ε 1 + (|ξ|/ε)m+1

1 + (|ξ|/ε)^m

ξ:|ξ|≤R

∫

]

∫

∞

[

]

C∥f∥₁

^[r

r²

ε²ρ²

r³

dr ≤ C∥f∥₁

ρ3 ρ

dρ,

ε⁴

ε 1 + (r/ε)m+1

1 + (r/ε)^m

1+ρm+1

1+ρ^m

|I₁ - J₁| ≤ C∥f∥₁ε² при m ≥ 7.

(29)

Из (24)-(29) получаем оценку (23). Лемма доказана.

Из леммы и формул (21), (22) следует

Теорема 1. Пусть поверхность Σ и функция η(r) удовлетворяют условиям леммы.

Тогда:

1) если f ∈ Cp+1(Σ), то

]

m-4

^[ε^p∥f∥p+1

|Grad_εf(x) - Grad f(x)| ≤ C

+ ∥f∥₁

+ ∥f∥₁ε2 ,

x ∈ Σ\∂Σ;

Rp+1

Rm-3

2) если

= (f₁(x), f₂(x), f₃(x)) - касательное векторное поле с компонентами fi ∈

∈ Cp+1(Σ), i = 1,2,3, то

]

m-4

^[ε^p∥∥p+1

|Div_ε⃗f (x) - Div⃗f(x)| ≤ C

+ ∥⃗f∥₁

+ ∥⃗f∥₁ε2 ,

x ∈ Σ\∂Σ.

Rp+1

Rm-3

Здесь, как и в лемме, R = min{R₀, ρ(x, ∂Σ)}/2, R₀ - константа из предположения 2, m -

параметр из оценок (20), C - константа, зависящая только от поверхности Σ, функции

η и параметра p.

4. Дискретная аппроксимация интегральных операторов для поверхностных

производных.

4.1. Аппроксимация по поверхностным ячейкам. Предположим, что система яче-

⋃_N

ек σ_j , j = 1, N , образует разбиение поверхности Σ. Это означает, что Σ =

σ_j, каж-

j=1

дая ячейка σ_j есть измеримая часть поверхности Σ с площадью μ(σ_j ) > 0 и при этом

μ(σ_j

^⋂σ_k) = 0 при k = j.

Возьмём в каждой ячейке узел y^j ∈ σ_j , j = 1, N , и пусть h - диаметр разбиения (h =

= max sup |x - y|).

j=1,N, x,y∈σj

Численно аппроксимируем поверхностные градиент и дивергенцию формулами

]

∑

x-y^j

⁽ |x - y^j|⁾

Grad^hεf(x) =

Ππ(x)

(f(y^j) - f(x))

μ(σ_j ) ,

(30)

ε³

j=1

∑

|x - y^j|

⁽ |x - y^j |⁾

Div_ε

f (x) =

(Ππ(x)

f (y^j )

f (x))

μ(σ_j).

(31)

ε³

j=1

Заметим, что мы не требуем, чтобы точка x, в которой осуществляется аппроксимация,

была одним из узлов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

837

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Считаем, что существует константа

B > 0 такая, что h < R₀/3 и h ≤ Bε. Тогда найдётся константа C, зависящая только

от поверхности Σ, функции η и параметров p и B, такая, что

[

]

|Grad^hεf(x) - Grad_εf(x)| ≤ C ∥f∥₀ε^m

+ ∥f∥₁

(32)

[

]

|Div^hε

f (x) - Div_εf (x)| ≤ C ∥⃗f∥0εm

+∥⃗

f∥₁

(33)

где в формуле (32) f ∈ C1(Σ) - функция на поверхности, в формуле (33)

f ∈ C1(Σ) -

касательное векторное поле на поверхности, m - параметр из оценок (20).

Доказательство. Построим специальную систему координат Oξ₁ξ₂ξ₃ с началом в точке

x = O и осью Oξ₃, сонаправленной с вектором n(x). Интегралы L^εif(x), x ∈ Σⁱⁿ, определя-

емые формулой (22), аппроксимируем интегральной суммой

∑

⁽x-y^j)

L^ε,hif(x) =

(f(y^j) - f(x))ηi

μ(σ_j).

(34)

ε³

j=1

Выделим цилиндр C(x, R₀), R₀ - константа из предположения 2. Для каждой точки y^j ∈

∈ C(x,R₀) построим её проекцию y^j на плоскость Oξ₁ξ₂.

Разобьем поверхность Σ на три части Σ₀, Σ₁, Σ₂ следующим образом: Σ₀ - объединение

тех ячеек σ_j , для которых |y^j - x| ≤ 2h; Σ₁ - объединение тех ячеек σ_j, для которых 2h <

< |y^j - x| ≤ R₀ - h; Σ₂ - оставшаяся часть поверхности Σ. Это разделение поверхности

произведено так, что выполнены условия:

y ∈ C(x,3h) при y ∈ Σ₀;

y ∈ C(x,R₀) и y ∈ C(x,h) при y ∈ Σ₁;

|x - y| > R₀/3 при y ∈ Σ₂.

Величину L^εif(x) представим в виде

∫

⁽x-y⁾

L^εif(x) = I₀ + I₁ + I₂, I_k = ϕ(y)dσ, k = 1,2,3, ϕ(y) =

(f(y) - f(x))η_i

ε³

Σ_k

Аналогично

∑

L^ε,hif(x) = Ih0 + Ih1 + Ih2, I^hk =

ϕ(y^j )μ(σ_j).

j:y^j∈Σ_k

При этом с учётом (20) сразу можем записать

h³

|I₂| ≤ C∥f∥₀ε^m,

|Ih2| ≤ C∥f∥₀ε^m,

|I₀| ≤ C∥f∥₁

|I^h| ≤ C∥f∥1

(35)

ε³

Оценим разность

∫

∑

Ih1 - I₁ =

(ϕ(y^j ) - ϕ(y)) dσ.

j:σ_j⊂Σ₁σ_j

Заметим, что

)

(

⁽x-y

⁽x-y^j)(x-y⁾⁾

ϕ(y^j ) - ϕ(y) =

(f(y^j) - f(y))ηi

(f(y) - f(x)) η_i

-η_i

ε³

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

838

СЕТУХА

(

)

C∥f∥₁h

|y - x|

|ϕ(y^j ) - ϕ(y)| ≤

ε³

1 + (|y - x|/ε)^m

Тогда

∫

(

)

C∥f∥₁h

|ξ|

C∥f∥₁h

|Ih1 - I₁| ≤

dσ ≤

(36)

ε³

1 + (|ξ|/ε)^m

ξ:h<|ξ|<R₀

Из оценок (35) и (36) с учётом формул (21) и (22) следует утверждение теоремы.

4.2. Аппроксимация по треугольным ячейкам. Теперь рассмотрим случай аппрок-

симации поверхностных производных на основании триангуляции поверхности. Пусть

Σ =

⋃_N

σ_j, где σj - треугольники, построенные так, что у каждого треугольника σj все

j=1

вершины лежат на поверхности и при этом все треугольники вместе образуют разбиение по-

верхности

^Σ. Пусть h - диаметр этого разбиения. Возьмём в каждой ячейке узел y^j ∈ σ_j ,

j = 1,N.

Сделаем следующие предположения относительно свойств триангуляции.

Предположение 3. Для любой точки x ∈ Σ такой, что ρ(x, ∂Σ) ≥ h, построим ка-

сательную плоскость π(x), цилиндр C(x, R), R = min{R₀, ρ(x, Σ)} и участок поверхности

Σ(x, R) = Σ

^⋂C(x,R). Далее выделим участок

Σ(x, R) поверхности

^Σ, состоящий из всех

тех и только тех ячеек, все три вершины которых лежат на участке Σ(x, R). Должно выпол-

няться условие, что проекция участкаΣ(x, R) на касательную плоскость π(x) содержит круг

с центром в точке x радиуса R - h, лежащий на этой плоскости.

Смысл предположения 1 состоит с том, что приближённая поверхностьΣ аппроксимирует

всю поверхность Σ без “дыр” и больших отступов от края.

Предположение 4. Существует константа C_n такая, что для любой ячейки σ_j с верши-

нами A1j, A2j, A3j вектор n_j (орт вектора нормали к этой ячейке) подчинён оценке

|n(A^kj) - n_j| ≤ C_nh, k = 1, 2, 3.

Это условие не позволит при вычислении интегралов проявиться эффекту “сапога Шварца”.

С другой стороны, как показано в работе [10], предположение 4 выполнено, если при сгущении

треугольной сетки поставить ограничение на минимальный угол в треугольниках.

Если диаметр разбиения достаточно мал, то для каждой узловой точки y^j , j = 1, N ,

можно построить точку z^j ∈ Σ, которая является ближайшей к точке y^j точкой поверхно-

сти, причём y^j = z^j + δn(z^j ) - это следует из предположения 1. Теперь если f - функция,

заданная на поверхности, то определим эту функцию в точке y^j значением f(z^j). При этом

найдётся константа C, определяемая поверхностью Σ, такая, что |y^j - z^j| ≤ h². Это легко

показать, построив специальную систему координат с центром в точке z^j . Тогда из предполо-

жения 2 следует, что все вершины ячейки σ_j, а значит и все её точки, отстоят от касательной

плоскости, проведённой в точке z^j , на расстояние не более величины порядка h².

Будем аппроксимировать поверхностные градиент и дивергенцию формулами (30) и (31),

полагая, что f(y^j) = f(z^j ).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Считаем, что существует константа

B > 0 такая, что h < R₀/3 и h ≤ Bε. Пусть x ∈ Σ, ρ(x,∂Σ) ≥ h. Тогда найдётся

константа C, зависящая только от поверхности Σ, функции η и параметров p, m, B,

C_n (из предположения 4), такая, что:

1) выполнены оценки

]

m-4

^[ε^p∥f∥p+1

|Grad^hεf(x) - Grad f(x)| ≤ C

+ ∥f∥₁

(37)

Rp+1

Rm-3

]

m-4

^[ε^p∥f∥p+1

|Div^hε⃗f (x) - Div⃗f(x)| ≤ C

+ ∥⃗f∥₁

+∥⃗

f∥₁

(38)

Rp+1

Rm-3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

839

где в формуле (37) f ∈ Cp+1(Σ) - функция на поверхности, в формуле (38)

f ∈ Cp+1(Σ) -

касательное векторное поле на поверхности, p ≥ 0;

2) если y^j есть центры ячеек σ_j (точки пересечения медиан), то

]

m-4

^[ε^p∥f∥p+1

h²

|Grad^hεf(x) - Grad f(x)| ≤ C

+ ∥f∥₁

+ ∥f∥₂

Rp+1

Rm-3

ε²

]

m-4

^[ε^p∥f∥p+1

h²

|Div^hε⃗f (x) - Div⃗f(x)| ≤ C

+ ∥⃗f∥₁

+∥f

Rp+1

Rm-3

∥₂ ε2

где f ∈ Cp+1(Σ) - функция на поверхности,

f ∈ Cp+1(Σ) - касательное векторное поле на

поверхности, p ≥ 1.

Доказательство. Будем обозначать через C константы, зависящие только от поверхности

Σ, функции η и параметров k, m, B и C_n, причём в различных оценках значение константы

C, вообще говоря, различно. Также будем предполагать, что h² ≪ h (т.е. если некоторая

величина не превосходит h², то считаем, что эта величина меньше h).

Опять построим специальную систему координат Oξ₁ξ₂ξ₃. Пусть π = Oξ₁ξ₂ - касательная

плоскость к поверхности Σ в точке x.

Интегралы L^εif(x), x ∈ Σⁱⁿ, определяемые формулой (22), аппроксимируем интегральной

суммой (34).

Σ₀

Разобьём поверхность

Σ на четыре части по положению лежащих на них узлов:

объединение ячеек σ_j таких, что y^j ∈ C(x, 2h);

Σ₁ - объединение ячеек σ_j таких, что y^j ∈

∈ C(x,R - h) и при этом σ_j ∈ Σ0;

Σ₂ - объединение ячеек σ_j таких, что y^j ∈ C(x,R₀ - h)

и при этом σ_j ∈Σ0, σ_j ∈Σ1;

Σ₄ - оставшаяся часть поверхности

Σ (случай

Σ_k = ∅ для

некоторых k возможен).

Если σ_j ∈Σk, k ≤ 2, то построим: ячейку σ0j ⊂ π - проекцию ячейки σ_j на плоскость π;

точки y^j ∈ π и z^j ∈ π - проекции на плоскость π точек y^j ∈Σ и z^j ∈ Σ соответственно; а

также ячейку σ^∗j ⊂ Σ такую, что её проекция на плоскость π есть ячейка σ0j ⊂ π. При этом

|z^j - y^j| ≤ Ch².

Также разобьем плоскость π на части Σ0k, k = 0, 3 (Σ0k - проекция поверхности

Σ_k на

плоскость π для k = 1, 2, 3), Σ⁰⁴ - оставшаяся часть плоскости π.

Рассмотрим разности L_if(x) - L^ε,hif(x), i = 1, 2, представив их в виде

L_if(x) - L^ε,hif(x) = (L_if(x) - D^εif^′′(0)) + (D^εif^′′(0) - L^ε,hi(x)).

Для первой разности в правой части последнего выражения из оценки (5) и леммы имеем

]

m-4

^[ε^p∥f∥p+1

|L_if(x) - D^εif^′′(0)| ≤ C

+ ∥f∥₁

+ ∥f∥₁ε2

Rp+1

Rm-3

Далее оценим разности D^εif^′′(0) - L^ε,hi(x). Представим величины D^εif^′′(0) и L^ε,hif(x) в

виде

∫

D^εif^′′(0) = I₀ + I₁ + I₂ + I₃, I_k = -

ϕ(ξ) dξ, ϕ(ξ) =

(f^′′(ξ) - f^′′(0))η_i(ξ/ε),

ε³

ξ∈Σ⁰

∑

⁽y^j -x⁾

L^ε,hif(x) = J₀ + J₁ + J₂ + J₃, J_k = -

ϕj μ(σj), ϕj =

(f(z^j) - f(x))ηi

ε³

j:σ_j⊂Σk

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

840

СЕТУХА

Оценим интегралы I₂, I₃, J₂, J₃ по аналогии с рассуждениями в сформулированной

лемме. При ξ ∈ Σ⁰³

^⋃Σ⁰⁴ имеем



∥f^′′∥₁

ξ

|ϕ(ξ)| ≤ C

|ξ|^



|ξ| > max{R - h, h},

ε³

ε1 + |ξ/ε|m,

причём ∥f^′′∥₁ ≤ ∥f∥₁/R. Тогда

∫

∞

∥f∥₁

∥f∥₁εm-4

|I₂ + I₃| ≤ C

dρ ≤ C

1+ρm-3

Rm-3

R/ε

Можно показать, что



∥f∥₁



-x



|ϕ_j | ≤ C

|yj0 - x|y

ри σ_j ∈Σ2,

|ϕ_j | ≤ C∥f∥₀εm-3 при σ_j ∈Σ3.

ε³

^1 + |(yj0 - x)/ε|m^п

Следовательно,

∫∞

∥f∥₁εm-4

|J₂| ≤ C∥f∥₁

dρ ≤ C

|J₃| ≤ C∥f∥₀εm-3.

1+ρm-3

Rm-4

R/ε

Также сразу видно, что |I₀| ≤ C∥f∥₀h², |J0| ≤ C∥f∥0h2.

Пусть

ϕ0j = -

(f^′(ξ^j) - f^′(0))η_i(ξ^j /ε),

ε³

где ξ^j = (ξj1, ξj2) - первые две координаты точки y^j в специальной системе координат. Обо-

значим ξ^ε = ξ^j/ε, ξ_ε = ξ/ε.

Рассмотрим разность

)

⁽y^j -x

ϕj μ(σj) - ϕ^jμ(σ^j) =

(f(z^j) - f(x))ηi

μ(σ_j) -

(f^′(ξ^j) - f^′(0))η_i(ξ^jε )μ(σ0j).

ε³

При σ_j ∈Σ1, |ξj | > h имеем оценки

|μ(σ_j ) - μ(σ0j)| ≤ C|ξ^j|²μ(σ0j),

|f(z^j ) - f^′(ξ^j)| ≤ C∥f∥₁h²,



)



⁽y^j -x



|η_i(|ξ^jε |)| ≤ |ξ^jε|

^η

⁺

1 + |ξ^ε|^m



)



⁽y^j -x



- η_i(|ξ^jε|)

C|ξ^j|²|ξ^jε |²

^η

≤

1 + |ξ^ε|m+1

Тогда

)

⁽ ∥f∥₁h² + ∥f∥₁|ξ^j |

|ϕ_j μ(σ_j ) - ϕ0jμ(σ0j)| ≤

|ξ^jε| + ∥f∥₁|ξ^jε |²|ξ^j |³

μ(σ0j).

ε³

1 + |ξ^ε|^m

1 + |ξ^ε|m+1

Значит,

∑

J₁ = J′1 + ΔJ₁, ΔJ₁ = -

(ϕ_j μ(σ_j ) - ϕ0jμ(σ0j)),

j:σ_j⊂Σ1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

841

∫

)

]

∑

^[(h²

^[h²

|ΔJ₁| ≤

C∥f∥₁

+ |ξ_ε|⁴

+ |ξ_ε|⁵

dξ ≤ C∥f∥₁

+ε² .

ε³

1 + |ξ_ε|^m

1 + |ξ_ε|m+1

j:σ_j⊂Σ1

ξ∈R²

Величина J′1 есть интегральная сумма для интеграла I₁, и мы можем записать

∫

∑

I₁ - J′1 = -

(ϕ(ξ) - ϕ(ξ^j )) dσ.

j:σ_j∈Σ⁰

j σj

Если точки y^j выбирались на ячейках произвольным образом, то при ξ^j ∈ σ0j имеем

|ϕ(ξ) - ϕ(ξ^j )| ≤ Ch∥ϕ∥1,σj ,

∥ϕ∥1,σj = sup

max |D^αϕ(ξ)|,

|α|=1

ξ∈σ⁰

причём

∥f∥₁

∥ϕ∥1,σj ≤ C(1 + |ξ_ε| + |ξ_ε|²)

1 + |ξ_ε|^m

Таким образом, справедлива оценка

∫

∑

|I₁ - J^′| ≤ C∥f∥1

(1 + |ξ_ε| + |ξ_ε|²)

dξ ≤ C∥f∥₁

ε³

1 + |ξ_ε|m

ξ∈R²σj

Если y^j - центры треугольников σ_j, то ξ^j - центры треугольников σ0j. Тогда при ξ_j ∈ σ_j

имеем

ϕ(ξ) - ϕ(ξ^j ) = (grad ϕ(ξ^j ), ξ - ξ_j) + α(ξ, ξ_j ),

где |α(ξ, ξ_j )| ≤ Ch²∥ϕ∥2,j ,

∥ϕ∥1,σj = sup

max |D^αϕ(ξ)|, причём

|α|=2

ξ∈σ⁰

∥f∥₂

∥ϕ∥1,σj ≤ C

(1 + |ξ^jε | + |ξ^jε |²)

1 + |ξ^ε|^m

Поскольку

∫

(ξ - ξ^j ) dσ = 0 и

(ϕ(ξ) - ϕ(ξ^j )) dσ ≤ Ch²∥ϕ∥2,j μ(σ_j ),

σ_j

то имеем

∫

∑

h²

|I₁ - J^′

| ≤ C∥f∥₂

(1 + |ξ_ε| + |ξ_ε|²)

dσ ≤ C∥f∥₂

ε⁴

1 + |ξ_ε|m

ε²

ξ∈R²σj

Собрав все оценки, получим утверждение теоремы.

Заключение. Получены формулы для аппроксимации поверхностных градиента и ди-

вергенции с применением интегральных операторов (теорема 1). Обратим внимание, что для

точек, удалённых от края, и в случае, когда поверхность и функция достаточно гладкие, мы

имеем аппроксимацию порядка ε², где ε - параметр, интерпретируемый как характерный ра-

диус области сосредоточения ядра интегрального оператора. Здесь есть отличие от плоского

случая, где указанный порядок аппроксимации может быть высоким (оценка (5)). Причи-

на такого отличия состоит в том, что в предложенных формулах точность аппроксимации

определяется в том числе и погрешностью, возникающей из-за отклонения поверхности от ка-

сательной плоскости. Формулы более высокого порядка точности, по-видимому, могут быть

получены с учётом кривизны поверхности.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

842

СЕТУХА

Также заметим, что при аппроксимации интегральных операторов дискретными суммами

дополнительная погрешность имеет порядок h/ε для произвольного выбора узлов и h²/ε² в

случае триангуляции поверхности и выборе узлов в центрах ячеек (см. теоремы 2 и 3). От-

метим, что в статье [7] для плоского случая приводится оценка, в которой дополнительная

погрешность при дискретизации может определяться величиной h^m/ε^m, параметр m опре-

деляется видом ядра аппроксимации и гладкостью функции и может принимать большие зна-

чения. Однако такие оценки справедливы при регулярном расположении узлов. В данной же

работе ставилась цель получить оценки для случая произвольного неструктурированного раз-

биения поверхности или её триангуляции достаточно общего вида (отметим, что при этом мы

не требовали свойства конформности от поверхностной сетки).

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Россий-

ской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и

прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.

3. Volakis J.L., Sertel K. Integral Equation Methods for Electromagnetics. Raleigh, 2012.

4. Писарев И.В., Сетуха А.В. Снесение граничного условия на срединную поверхность при численном

решении краевой задачи линейной теории крыла // Вычислит. методы и программирование. 2014.

Т. 15. Вып. 1. С. 109-120.

5. Setukha A., Fetisov S. The method of relocation of boundary condition for the problem of electromagnetic

wave scattering by perfectly conducting thin objects // J. of Comput. Phys. 2018. V. 373. P. 631-647.

6. Гутников В.А., Лифанов И.К., Сетуха А.В. О моделировании зданий и сооружений методом дис-

кретных вихревых рамок // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 4. C. 78-92.

7. Eldredge J.D., Leonard A., Colonius T. A general deterministic treatment of derivatives in particle

methods // J. of Comput. Phys. 2002. V. 180. P. 686-709.

8. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1997.

9. Захаров Е.В., Рыжаков Г.В., Сетуха А.В. Численное решение трёхмерных задач дифракции элек-

тромагнитных волн на системе идеальнопроводящих поверхностей методом гиперсингулярных

интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 9. С. 1253-1263.

10. Рыжаков Г.В., Сетуха А.В. О сходимости численной схемы типа метода вихревых рамок на замк-

нутой поверхности с аппроксимацией формы поверхности // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48.

№ 9. С. 1327-1336.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 15.03.2023 г.

имени М.В. Ломоносова,

После доработки 23.03.2023 г.

Институт вычислительной математики

Принята к публикации 18.04.2023 г.

имени Г.И. Марчука РАН, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023