ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 6, с.847-864
ХРОНИКА
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ∗)
Ниже публикуются∗∗) аннотации докладов, заслушанных в весеннем семестре 2023 г. (пре-
дыдущее сообщение о работе семинара см. в журнале “Дифференц. уравнения”. 2022. Т. 58.
№ 11).
DOI: 10.31857/S0374064123060146, EDN: FISJXL
И. В. Асташова, Д. А. Лашин, А. В. Филиновский (Москва) “Об оценках свер-
ху управляющей функции в параболической задаче управления с точечным наблюдением”
(17 февраля 2023 г.).
Рассматривается краевая задача для параболического уравнения
ut = (a(x,t)ux)x + b(x,t)ux + h(x,t)u, (x,t) ∈ QT ≡ (0,1) × (0,T),
(1)
u(0, t) = ϕ(t), ux(1, t) = ψ(t),
0 < t < T, u(x,0) = ξ(x),
0 < x < 1,
(2)
где a, b, h, at, bx ∈ C(QT ), 0 < a1 ≤ a(x,t) ≤ a2 < +∞, ϕ,ψ ∈ W12(0,T) и ξ ∈ L2(0,1). Изуча-
ется следующая задача управления с точечным наблюдением: управляя температурой ϕ при
фиксированных ξ и ψ, требуется сделать температуру u(x0, t) в данной точке x0 ∈ (0, 1)
близкой к заданной функции z(t) при всех t ∈ (0, T ). Задачи управления и экстремаль-
ные задачи для параболических уравнений рассматривались в работах [1, 2], причём наиболее
изучены задачи с финальным или распределённым наблюдением. Продолжая исследования
[3, 4], мы получаем оценки нормы управляющей функции через значение функционала ка-
чества: ранее найдены оценки снизу [5-7], а здесь получена оценка сверху, применимая для
доказательства существования решения экстремальной задачи на неограниченных множествах
управлений.
Пусть V1,02(QT ) - банахово пространство функций u ∈ W1,02(QT ) с конечной нормой
∥u∥V 1,0
≡ sup
∥u( · , t)∥L2 (0,1) + ∥ux∥L2(QT ),
(QT )
2
0≤t≤T
для которых отображение [0, T ] → L2(0, 1), действующее по правилу t → u( · , t), непрерывно
[8, с. 15], а
W1
(QT ) - подпространство функций η ∈ W12(QT ), удовлетворяющих условиям
2
η(x, T ) = η(0, t) = 0. Слабым решением задачи (1), (2) будем называть функцию u ∈ V1,02(QT ),
удовлетворяющую условию u(0, · ) = ϕ и для всех η ∈W12(QT ) интегральному тождеству
∫
∫
1
∫
T
(auxηx - buxη - huη - uηt) dx dt = ξη(x, 0) dx + a(1, t)ψη(1, t) dt.
QT
0
0
∗) Семинар основан В.В. Степановым в 1930 г., впоследствии им руководили В.В. Немыцкий, Б.П. Демидо-
вич, В.А. Кондратьев, В.М. Миллионщиков, Н.Х. Розов. В настоящее время руководители семинара - И.Н. Сер-
геев, И.В. Асташова, А.В. Боровских, учёный секретарь семинара - В.В. Быков, e-mail: vvbykov@gmail.com.
∗∗) Составитель хроники И.Н. Сергеев.
847
848
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
Теорема 1 [7, 9]. Задача (1), (2) имеет единственное слабое решение u ∈ V1,02(QT ), при-
чём для некоторой константы C1 (не зависящей от ϕ, ψ и ξ) имеет место оценка
∥u∥V 1,0
≤ C1(∥ϕ∥W1
(0,T )
+ ∥ψ∥W 1
(0,T )
+ ∥ξ∥L2(0,1)).
2
(QT )
2
2
Пусть Φ ⊂ W12(0, T ) - множество управляющих функций ϕ, а Z ⊂ L2(0, T ) - множество
целевых функций z. Рассмотрим функционал
∫T
J [z, ρ, ϕ] ≡ (uϕ(x0, t) - z(t))2ρ(t) dt, ϕ ∈ Φ, z ∈ Z,
0
где uϕ - решение задачи (1), (2) с управляющей функцией ϕ, а ρ ∈ L∞(0, T ) - весовая
∫T
функция (ess inf
ρ(t) = ρ1 > 0), задающая в L2(0, T ) норму ∥f∥L2,ρ ≡ (
f2(t)ρ(t)dt)1/2.
0
t∈(0,T )
Теорема 2 [5-7]. Если at(x, t) ≥ 0, bx(x, t) ≥ h(x, t) при (x, t) ∈ QT , b(x, t) ≥ 0 при
(x, t) ∈ [0, x0] × [0, T ] (x0 ∈ (0, 1]) и b(1, t) ≤ 0 при t ∈ [0, T ], то справедливо неравенство
∥ϕ∥L1(0,T ) ≥ ∥z∥L1(0,T ) - (T J[ϕ, ρ, z]/ρ1)1/2 - x0(a2∥ψ∥L1(0,T ) + ∥ξ∥L1(0,1))/a1.
Следствие. В условиях теоремы 2 при ψ = 0 = ξ выполнена оценка
∥ϕ∥L1(0,T ) ≥ ∥z∥L1(0,T ) - (T J[ϕ, ρ, z]/ρ1)1/2.
Теорема 3. Если ψ = 0 = ξ, ϕ = γϕ1 + ϕ2, где γ ∈ R и ∥ϕ1∥W 1
= 1, то имеет
(0,T )
2
место неравенство
∥ϕ∥W 1
≤ ((J[z, ρ, ϕ])1/2 + ∥uϕ2 (x0, t)∥L2,ρ + ∥z(x0, · )∥L2,ρ )/∥uϕ1 (x0, · )∥L2,ρ + ∥ϕ2∥W 1
2
(0,T )
2
(0,T )
Для фиксированных функций z и ρ рассмотрим задачу минимизации
m[z, ρ, Φ] = inf J[z, ρ, ϕ].
ϕ∈Φ
Определение. Множество Φ ⊂ W12(0,T) назовём конечномерно аппроксимируемым, если
существуют такая конечная система функций ϕ1, . . . , ϕN ∈ Φ и константа M, что для любой
∑N
функции ϕ ∈ Φ при некоторых γ1, . . . , γN ∈ R выполнена оценка ∥ϕ-
γjϕj∥W1
≤ M.
j=1
2
(0,T )
Теорема 4. Если множество Φ непусто, замкнуто, выпукло и конечномерно аппрокси-
мируемо, то для любой функции z ∈ L2(0,T) существует единственная функция ϕ0 ∈ Φ,
для которой
m[z, ρ, Φ] = J[z, ρ, ϕ0].
Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке Российского научного фон-
да (проект 20-11-20272).
Литература. 1. Troltzsch F. Optimal Control of Partial Differential Equations. Theory, Methods and
Applications, Graduate Studies in Mathematics. V. 112. Providence, 2010. 2. Lurie K.A. Applied Optimal
Control Theory of Distributed Systems. Berlin, 2013. 3. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On the dense
controllability for the parabolic problem with time-distributed functional // Tatra Mt. Math. Publ. 2018.
V. 71. P. 9-25. 4. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On properties of minimizers of a control problem with
time-distributed functional related to parabolic equations // Opuscula Math. 2019. V. 39. № 5. P. 595-
609. 5. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On the estimates in various spaces to the control function
of the extremum problem for parabolic equation // WSEAS. J. Appl. Theor. Mech. 2021. V. 16. P. 187-
192. 6. Astashova I.V., Filinovskiy A.V., Lashin D.A. On properties of the control function in an control
problem with a point observation for a parabolic equation // Funct. Diff. Equ. 2021. V. 28. № 3-4. P. 99-102.
7. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об экстремальной задаче управления с точечным
наблюдением для параболического уравнения // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы
управления. 2022. Т. 504. С. 28-31. 8. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
849
и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967. 9. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филинов-
ский А.В. Об управлении с точечным наблюдением для параболической задачи с конвекцией // Тр.
Моск. мат. о-ва. 2019. Т. 80. № 2. С. 258-274.
М. И. Бесова (Москва) “Голоморфная регуляризация сингулярно возмущённых уравне-
ний высшего порядка” (3 марта 2023 г.).
Одним из приоритетных направлений развития метода регуляризации С.А. Ломова [1, гл. I,
§ 4] является построение теории сходимости рядов (обычной, не асимптотической) по степеням
малого параметра, представляющих решение сингулярно возмущённых задач. Рассмотрим се-
мейство (с параметром ε > 0) задач Коши
εÿ = f(t,y, y), t ∈ [0,T], y(0,ε) = y0,
y(0, ε) = v0,
(1)
где функция f(t, y, v) отлична от нуля внутри области Ωtyv ⊂ R3 (содержащей точку M0 =
= (0, y0, v0)) и аналитична в замыкании этой области. Запишем уравнение (1) в виде системы
с “медленной” и “быстрой” переменными
y = v, εv = f(t,y,v), y(0,ε) = y0, v(0,ε) = v0.
(2)
Теорема 1. Система (2) при выполнении условий теоремы Тихонова о предельном пере-
ходе [2, § 7] имеет два независимых интеграла, голоморфных в точке ε = 0.
Определение. Решение (y(t,ε),v(t,ε)) системы (2) называется псевдоаналитическим в
точке ε = 0, если для некоторой регуляризирующей [1, гл. 2, § 2; 3] функции ϕ(t) и для
любого малого ε > 0 на некотором отрезке [0, Tε] равномерно сходятся представляющие это
решение ряды
∑
∑
y(t, ε) =
εnYn(t,ϕ(t)/ε), v(t,ε) =
εnVn(t,ϕ(t)/ε).
(3)
n=0
n=0
Достаточное условие существования таких решений представляет
Теорема 2. Если функция ϕ(t) аналитична на отрезке [0, T ], причём ϕ(0) = 0,
ϕ(t) < 0
при t ∈ [0,T] и уравнение
∫v
dv1
ϕ(t)
ϕ(t)
=
f (t, y0, v1)
ε
v0
имеет решение вида v = V0(t,y0,v0,Φ(ϕ(t)/ε)), где Φ(η) - возрастающая на R целая функ-
ция с наименьшим (асимптотическим) значением a, а функция V0(t,y0,v0,q) ограничена
на множестве T0tyv × (a,Φ(0)], где T0tyv ⊂ Ωtyv - некоторый компакт, то решение y(t,ε)
задачи (1) псевдоаналитическое в точке ε = 0.
В формулах (3) члены до первого порядка включительно при L ≡ ∂t + v∂y имеют вид
∫v
L(y - y(t)) dv1
y(t, ε) = y(t) + ε
+...,
y=y(t)
f (t, y, v1)
v0
v=V0(t,y0,v0,ϕ(t)/ε)
f (t, y, v)
v(t, ε) = V0(t, ϕ(t)/ε) + ε
×
ϕ′(t)
[∫v( ∫v1
)
∫
v
∫
v
]
ϕ(t) dv2
dv1
L(y - y(t)) dv1 ∂
ϕ(t) dv1
×
L
-
+...
y=y(t)
f (t, y, v2) f(t, y, v1)
f (t, y, v1)
∂y
f (t, y, v1)
v0
v0
v0
v0
v=V0(t,y0,v0,ϕ(t)/ε)
Для краевых задач применяется алгоритм псевдоаналитического продолжения [4].
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект
23-21-00496).
10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
850
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
Литература. 1. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.,
2011. 2. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых
уравнений. М., 1973. 3. Качалов В.И. Об одном методе решения сингулярно возмущённых систем
тихоновского типа // Изв. вузов. Математика. 2018. № 6. С. 25-30. 4. Besova M., Kachalov V. Analytical
aspects of the theory of Tikhonov systems // Mathematics. 2022. V. 10. № 1. Art. 72.
А. В. Тюленев (Москва) “Пример невычислимых решений задачи Коши для волнового
уравнения с вычислимыми начальными условиями” (3 марта 2023 г.).
При n = 2 и n = 3 рассматривается задача Коши для волнового уравнения
utt - Δu = 0, u(0,x) = ϕ(x), ut(0,x) = 0,
(1)
где Δ - оператор Лапласа в пространстве Rn, а начальная функция ϕ ∈ C1(Rn) имеет
компактный носитель. Решение задачи (1) понимается в обобщённом смысле (оно существует
и единственно [1, § 12]) и определяется как равномерный предел последовательности решений
uk задачи (1) с начальными функциями ϕk ∈ C3(Rn), удовлетворяющими условиям ϕk → ϕ
и (ϕk)′ → ϕ′ равномерно по x ∈ Rn при k → +∞.
Определение 1. Вычислимыми называются:
1) функция f : N → N (возможно, не являющаяся тотальной, т.е. определённой при
всех m ∈ N), если существует алгоритм, который её вычисляет, т.е. останавливается на тех
и только тех m ∈ N, для которых значение f(m) определено, и выдаёт это значение;
2) последовательность рациональных чисел rk, если для некоторых вычислимых тоталь-
ных функций a, b, s : N → N верны равенства
rk = (-1)s(k)a(k)/b(k), k ∈ N;
3) действительное число x, если для некоторых вычислимых последовательности рацио-
нальных чисел rk и тотальной функции β : N → N верны оценки
|rk - x| ≤ 2-m, k ≥ β(m), m ∈ N;
4) последовательность действительных чисел xm, если для некоторой вычислимой после-
довательности рациональных чисел rmk верны оценки
|rmk - xm| ≤ 2-k, k, m ∈ N.
Определение 2. Для вычислимого (т.е. имеющего вычислимые границы) отрезка I функ-
ция f : I → R называется вычислимой, если выполнены следующие условия:
1) для любой вычислимой последовательности чисел xm ⊂ I последовательность значений
f (xm) вычислима (секвенциальная вычислимость);
2) для некоторой вычислимой функции β : N → N верны импликации
|x - y| ≤ 1/β(m) ⇒ |f(x) - f(y)| ≤ 2-m, x, y ∈ I, m ∈ N
(эффективная равномерная непрерывность).
Понятия вычислимых чисел, последовательностей и функций естественным образом рас-
пространяются на многомерный случай [2, гл. 0, п. 3].
Возникает вопрос о вычислимости решения задачи (1) с вычислимой функцией ϕ. Извест-
но [2, гл. 1, п. 1], что если ϕ ∈ C3(Rn), то решение (классическое) задачи (1) вычислимо в
любом вычислимом параллелепипеде [0, T ]×In. В случае ϕ ∈ C1(Rn) это, вообще говоря, уже
не так, а именно: при n = 3 существует [3] вычислимая начальная функция с компактным
носителем, для которой решение (уже обобщённое) u задачи (1) непрерывно, единственно и
секвенциально вычислимо, но функция u(1, · ) не вычислима. Доказательство этого резуль-
тата не распространяется автоматически на меньшие размерности. Более того, при n = 1 он
уже неверен, а ответ на вопрос о его справедливости в случае n = 2 даёт
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
851
Теорема. Существует вычислимая функция ϕ ∈ C1(R2) с компактным носителем, для
которой решение u задачи (1) существует, непрерывно и секвенциально вычислимо, но функ-
ция u(1, · ) не вычислима.
Литература. 1. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1961.
2. Pour-El M.B., Richards J.I. Computability in Analysis and Physics. Berlin; Heidelberg, 1989. 3. Pour-
El M.B., Richards J.I. The wave equation with computable initial data such that its unique solution is not
computable // Adv. in Math. 1981. V. 39. P. 215-239.
И. Н. Сергеев (Москва) “Определение мер устойчивости и неустойчивости нулевого ре-
шения дифференциальной системы” (10 марта 2023 г.).
При n ∈ N для заданной области G ⊂ Rn, содержащей нуль, рассмотрим дифференци-
альную систему
x = f(t,x), f(t,0) ≡ 0, t ∈ R+ ≡ [0,+∞), x ∈ G, f,f′x ∈ C(R+,G).
(1)
Положим Bρ = {x0 ∈ Rn : 0 < |x0| < ρ} и ρ0 ≡ sup{ρ : Bρ ⊂ G}, а через x( · , x0) будем
обозначать непродолжаемое решение системы (1) с начальным значением x(0, x0) = x0.
Определение 1. Скажем, что система (1) (точнее, её нулевое решение, о чём мы в дальней-
шем больше не будем упоминать) обладает следующим свойством ляпуновского, перроновского
или верхнепредельного типа (отмечается ниже индексом κ = λ, π, σ соответственно):
1) устойчивостью [1, 2], если для любого ε > 0 существует такое δ ∈ (0, ρ0), что любое
начальное значение x0 ∈ Bδ удовлетворяет соответственно требованию
sup
|x(t, x0)| < ε,
lim
|x(t, x0)| < ε или
lim
|x(t, x0)| < ε;
(2)
t∈R+
t→+∞
t→+∞
2) полной неустойчивостью [1, 2], если существуют такие ε > 0 и δ ∈ (0, ρ0), что любое
начальное значение x0 ∈ Bδ не удовлетворяет соответствующему требованию (2) (в частности,
возможно, решение x( · , x0) определено не на всём луче R+);
3) почти устойчивостью [2], если для любого ε > 0 существует такое δ ∈ (0, ρ0), что
все значения x0 ∈ Bδ, удовлетворяющие соответствующему требованию (2), образуют в Bδ
подмножество полной меры (здесь и ниже - Лебега);
4) почти полной неустойчивостью [2], если существуют такие ε > 0 и δ ∈ (0, ρ0), что все
значения x0 ∈ Bδ, не удовлетворяющие соответствующему требованию (2), образуют в Bδ
подмножество полной меры;
5) μ-устойчивостью при данном μ ∈ [0, 1], если для любого ε > 0 существует такое
δ ∈ (0,ρ0), что при каждом ρ ∈ (0,δ) все значения x0 ∈ Bρ, удовлетворяющие соответству-
ющему требованию (2), образуют в шаре Bρ подмножество относительной меры Mκ(f, ε, ρ)
(т.е. долей от меры Bρ) не меньшей μ;
6) ν-неустойчивостью при данном ν ∈ [0, 1], если существуют такие ε > 0 и δ ∈ (0, ρ0),
что при каждом ρ ∈ (0, δ) все значения x0 ∈ Bρ, не удовлетворяющие соответствующему
требованию (2), образуют в Bρ подмножество относительной меры Nκ(f, ε, ρ), не меньшей ν.
Корректность определения 1 обосновывает
Теорема 1. Для любой системы (1), любого ε > 0 и каждого из требований (2) множе-
ства всех точек x0 ∈ G, как удовлетворяющих этому требованию, так и не удовлетворя-
ющих ему, измеримы.
Правомерность следующего ниже определения 2 обеспечивает
Теорема 2. Для любой системы (1) множество всех значений μ ∈ [0, 1] (равно как и
всех значений ν ∈ [0, 1]), для которых она обладает ляпуновской, перроновской или верхне-
предельной μ-устойчивостью (соответственно, ν-неустойчивостью), заведомо содержит
точку 0 и представляет собой промежуток, возможно, вырождающийся в точку.
Определение 2. Для системы (1) при κ = λ,π,σ назовём ляпуновской, перроновской или
верхнепредельной соответственно:
а) мерой устойчивости такое число μκ(f) ∈ [0, 1], что для каждого μ ∈ [0, μκ(f)) система
(1) обладает μ-устойчивостью, а для каждого μ ∈ (μκ(f), 1] - нет;
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
10∗
852
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
б) мерой неустойчивости такое число νκ(f) ∈ [0, 1], что для каждого ν ∈ [0, νκ(f)) сис-
тема (1) обладает ν-неустойчивостью, а для каждого ν ∈ (νκ(f), 1] - нет.
Конкретные формулы для мер устойчивости и неустойчивости предлагает
Теорема 3. Для каждой системы (1) однозначно определена шестёрка её ляпуновских,
перроновских и верхнепредельных мер устойчивости или неустойчивости, которые соот-
ветственно задаются формулами
μκ(f) = lim lim
Mκ(f,ε,ρ), νκ(f) = lim lim Nκ(f,ε,ρ), κ = λ,π,σ,
ε→+0ρ→+0
ε→+0ρ→+0
причём пределы в них при ε → +0 могут быть заменены точной нижней или, соот-
ветственно, верхней гранью по ε > 0.
Набор основных соотношений, связывающих различные меры устойчивости и неустойчи-
вости, задаёт
Теорема 4. Для любой системы (1) выполнены неравенства
0 ≤ μλ(f) ≤ μσ(f) ≤ μπ(f) ≤ 1,
0 ≤ νπ(f) ≤ νσ(f) ≤ νλ(f) ≤ 1,
0 ≤ μκ(f) + νκ(f) ≤ 1, κ = λ,π,σ.
Естественную связь свойств почти устойчивости и почти полной неустойчивости с единич-
ными значениями соответствующих мер раскрывает
Теорема 5. Система (1) обладает почти устойчивостью или почти полной неустойчи-
востью какого-либо типа тогда и только тогда, когда она обладает 1-устойчивостью или,
соответственно, 1-неустойчивостью этого типа, и тогда её мера устойчивости того же
типа равна 1, а неустойчивости - 0, или наоборот.
Указанная в теореме 5 логическая связь между конкретными свойствами и мерами оказы-
вается лишь односторонней, что и подтверждает
Теорема 6. При n = 2 существуют две автономные системы вида (1), не обладающие ни
почти устойчивостью, ни почти полной неустойчивостью ни одного из трёх типов: у одной
из них меры устойчивости или неустойчивости всех трёх типов равны соответственно 1
или 0, а у другой - наоборот.
Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и её связь с устойчивостью
по Ляпунову // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6. С. 855-856. 2. Сергеев И.Н. Определение
верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью по Перрону
// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557.
Е. А. Барабанов (Минск), В. В. Быков (Москва) “Коэффициент неправильности Ляпу-
нова и индекс экспоненциальной устойчивости линейной параметрической системы как вектор-
функция параметра” (17 марта 2023 г.).
Для заданного n ∈ N через Mn обозначим класс линейных дифференциальных систем
x = A(t)x, x ∈ Rn, t ∈ R+ ≡ [0,+∞),
(1)
с непрерывной и ограниченной матрицей коэффициентов A : R+ → Rn×n, с которой мы далее
отождествляем саму систему (1). Для системы A ∈ Mn через λ1(A) ≤ . . . ≤ λn(A) обозна-
чим её показатели Ляпунова, через es (A) - её индекс экспоненциальной устойчивости (т.е.
размерность линейного подпространства решений системы (1) с отрицательными показателя-
ми Ляпунова), а через σЛ(A) - коэффициент неправильности Ляпунова [1, с. 19], с помощью
которого формулируются достаточные условия, характеризующие реакцию системы A ∈ Mn
как на её линейные экспоненциально убывающие возмущения [2], так и на её нелинейные воз-
мущения высшего порядка малости [1, с. 275].
Долгое время держалась гипотеза (основанная на результате Ляпунова об условной устой-
чивости по правильному первому приближению) о том, что показатели Ляпунова правильных
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
853
систем не меняются при убывающих к нулю возмущениях. Однако Р.Э. Виноград привёл при-
мер правильных систем A, B ∈ M2 (см. [3]), удовлетворяющих соотношениям
λ1(A) = λ2(A) = 0, λ1(B) = -1, λ2(B) = 1, lim
∥A(t) - B(t)∥ = 0.
t→+∞
Поэтому индекс экспоненциальной устойчивости es, принимающий ровно n + 1 значение, не
полунепрерывен даже на множестве Rn правильных систем с равномерной топологией.
Для заданного метрического пространства M рассмотрим параметрическое семейство ли-
нейных дифференциальных систем
x = A(t,μ)x, x ∈ Rn, t ∈ R+,
(2)
для которого при каждом фиксированном μ ∈ M система (2) принадлежит классу Mn - её
индекс экспоненциальной устойчивости и коэффициент неправильности Ляпунова обозначим
через es (μ, A) и σЛ(μ, A). Класс семейств (2) (отождествляемых с задающими их функциями
A), непрерывных на пространстве Mn с компактно-открытой топологией, обозначим через
Cn(M), а с равномерной топологией - через Un(M). Введём и подкласс UZnR(M) ⊂ Un(M)
семейств, задаваемых функциями вида A(t, μ) = (B(t)+Q(t, μ))x, где B ∈ Rn, а непрерывная
функция Q : R+ × M → Rn×n удовлетворяет условию
sup ∥Q(t,μ)∥ → 0, t → +∞.
μ∈M
Задача. Для любых n ∈ N и метрического пространства M дать полное дескриптивно-
функциональное описание каждого из классов пар функций
T[Cn(M)]≡{(σЛ( · , A), es ( · , A)): A ∈ Cn(M)}, T[Un(M)]≡{(σЛ( · , A), es ( · , A)): A ∈ Un(M)},
T[UZnR(M)] ≡ {(σЛ( · , A), es ( · , A)): A ∈ UZnR(M)}.
Напомним [4, c. 223-224], (то фун)ция f : M → R принадлежит классу (∗, Gδ ), если для
каждого r ∈ R прообраз f-1
[r, +∞)
является Gδ -множеством в метрическом пространстве
M. В частности, класс (∗,Gδ) - собственный подкласс второго класса Бэра [4, c. 249]. Полное
описание классов
S[Un(M)] ≡ {σЛ( · , A): A ∈ Un(M)}, S[UZnR(M)] ≡ {σЛ( · , A): A ∈ UZnR(M)}
заключается в следующем [5]: они совпадают и состоят из функций M → R+ класса (∗, Gδ),
имеющих непрерывную мажоранту. Описание класса S[Cn(M)] ≡ {σЛ( · , A): A ∈ Cn(M)} вы-
текает из [6]: для каждых n ∈ N и метрического пространства M он состоит из всех функций
M → R+ класса (∗,Gδ). Это следует и из более общего результата [7] с полным описанием
класса вектор-функций {(σЛ( · , A), σП ( · , A)) : A ∈ Cn(M)}, составленных из коэффициентов
неправильности Ляпунова σЛ и Перрона σП
[1, с. 19]. Описание классов {es ( · , A) : A ∈
∈ Cn(M)} и {es (·,A) : A ∈ Un(M)} получено в работе [8]: оба они состоят из функций
f : M → {0,...,n}, для которых функция (-f) принадлежит классу (∗,Gδ).
Теорема 1. Для любых n ≥ 1 и метрического пространства M пара функций (σ, τ), где
σ: M → R+ и τ : M → {0,...,n}, принадлежит классу T[Cn(M)] тогда и только тогда,
когда функции σ и (-τ) принадлежат классу (∗, Gδ).
Полностью решить поставленную выше задачу описания классов T[Un(M)] и T[UZnR(M)]
пока не удалось. Рассмотрим упрощённый её вариант. Следуя [9], назовём символом полной
экспоненциальной неустойчивости системы (1) величину
{
1, если λ1(A) ≥ 0,
ti (A) ≡
0, если λ1(A) < 0.
Следующая теорема полностью описывает классы пар функций
U[Un(M)] ≡ {(σЛ( · , A), ti ( · , A)): A ∈ Un(M)},
U[UZnR(M)] ≡ {(σЛ( · , A), ti ( · , A)): A ∈ UZnR(M)}.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
854
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
Теорема 2. Для любых n ≥ 2 и метрического пространства M справедливо равенство
классов U[Un(M)] = U[UZnR(M)], а пара функций (σ, τ), где σ : M → R+ и τ : M → {0, 1},
принадлежит этим классам тогда и только тогда, когда функции σ и τ принадлежат
классу (∗, Gδ ), а функция σ имеет непрерывную мажоранту.
Литература. 1. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск, 2006. 2. Богда-
нов Ю.С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1955. Т. 104.
№ 6. С. 813-814. 3. Виноград Р.Э. Отрицательное решение вопроса об устойчивости характеристических
показателей правильных систем // Прикл. математика и механика. 1953. Т. 17. № 6. С. 645-650. 4. Хау-
сдорф Ф. Теория множеств. М.; Л., 1937. 5. Барабанов Е.А., Быков В.В. Коэффициент неправильности
Ляпунова линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра равномерно на
временной полуоси, как функция параметра // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 12. С. 1587-1599.
6. Карпук М.В. Показатели Ляпунова семейств морфизмов метризованных векторных расслоений как
функции на базе расслоения // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1332-1338. 7. Войделе-
вич А.С. Полное описание коэффициентов неправильности Ляпунова и Перрона линейных дифферен-
циальных систем, непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 3.
С. 322-327. 8. Барабанов Е.А., Быков В.В., Карпук М.В. Полное описание индекса экспоненциальной
устойчивости линейных параметрических систем как функции параметра // Дифференц. уравнения.
2019. Т. 55. № 10. С. 1307-1318. 9. Миллионщиков В.М. Указатели и символы условной устойчивости
линейных систем // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 8. С. 1464.
А. Н. Ветохин (Москва) “О некоторых свойствах топологической энтропии на простран-
стве непрерывных отображений множества Кантора” (24 марта 2023 г.).
Пусть на компактном метрическом пространстве X задано непрерывное отображение
f :X →X.
(1)
Тогда, наряду с исходной метрикой d, определим на X дополнительную систему метрик
dfn(x,y) ≡ max d(fi(x),fi(y)), x,y ∈ X, n ∈ N,
0≤i<n
где f0 ≡ idX , а если i ∈ N, то fi - i-я итерация отображения f. Для каждых n ∈ N и ε > 0
обозначим через Nd(f, ε, n) максимальное число точек в X, попарные dn-расстояния между
которыми больше ε. Топологическую энтропию отображения f определяем [1] формулой
1
htop(f) ≡ lim
lim
ln Nd(f, ε, n)
(2)
ε→0
n→+∞ n
(отметим, что величина (2) не изменится, если в её определении метрику d заменить любой
другой, задающей на X ту же, что и d, топологию).
На пространстве C(X, X) непрерывных отображений (1) с равномерной метрикой
ρ(f, g) ≡ max d(f(x), g(x))
x∈X
рассмотрим функцию
f → htop(f).
(3)
Известно [2, 3], что функция (3) принадлежит второму классу Бэра, а точки пространства
C(X, X), в которых она полунепрерывна снизу, образуют в нём всюду плотное множество
типа Gδ. Кроме того [3], если X - канторово совершенное множество на отрезке [0, 1] (здесь
и ниже - с естественной метрикой вещественной прямой), то функция (3) всюду разрывна, а
полунепрерывна снизу она только в тех точках, где равна нулю. Более того [4], функция (3) не
принадлежит первому классу Бэра даже на подпространстве гомеоморфизмов, удовлетворяю-
щих условию Липшица. Точки же полунепрерывности сверху функции (3) образуют множество
типа Fσδ [3], а сужение htop|K на некоторое совершенное множество K ⊂ C(X, X) не имеет
таких точек совсем [5].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
855
Рассмотрим множество предельно реализуемых значений топологической энтропии
⋂
Eh(f) ≡
{htop(g) : ρ(f, g) < 1/n},
n∈N
т.е. принимаемых ею при равномерно сколь угодно малых возмущениях отображения f.
Теорема 1. Если X - канторово совершенное множество на отрезке [0, 1], то для любого
отображения f ∈ C(X,X) выполнено равенство Eh(f) = [0,+∞].
Теорема 2. Если X - канторово совершенное множество на отрезке [0, 1], то множе-
ство точек полунепрерывности сверху функции (3) совпадает с множеством тех отобра-
жений f, для которых htop(f) = +∞.
Литература. 1. Динабург Е.И. Связь между различными энтропийными характеристиками дина-
мических систем // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1971. Т. 35. № 2. C. 324-366. 2. Ветохин А.Н. Типичное
свойство топологической энтропии непрерывных отображений компактов // Дифференц. уравнения.
2017. Т. 53. № 4. С. 448-453. 3. Ветохин А.Н. Строение множеств точек полунепрерывности тополо-
гической энтропии динамических систем, непрерывно зависящих от параметра // Вестн. Моск. ун-та.
Сер. 1. Математика. Механика. 2019. № 4. С. 69-72. 4. Ветохин А.Н. Непринадлежность первому классу
Бэра топологической энтропии на пространстве гомеоморфизмов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мате-
матика. Механика. 2018. № 5. С. 64-67. 5. Ветохин А.Н. Пустота множества точек полунепрерывности
сверху топологической энтропии одного семейства динамических систем // Дифференц. уравнения.
2019. Т. 55. № 8. С. 1152-1153.
И. Н. Сергеев, К. В. Уманский (Москва) “Совпадающие критерии ляпуновской и пери-
одической приводимости линейной автономной системы к линейному автономному уравнению”
(24 марта 2023 г.).
Для заданного n ∈ N и евклидова координатного векторного пространства Rn рассмотрим
множество Mn линейных однородных дифференциальных систем
x = A(t)x, x ≡ (x1,...,xn)т ∈ Rn, t ∈ R+ ≡ [0,+∞),
(1)
задаваемых каждая своей непрерывной ограниченной матричной функцией
A:R+ →Rn×n,
∥A∥ ≡ sup sup |A(t)x| < +∞,
t∈R+ |x|=1
с которой в дальнейшем и будем отождествлять саму систему.
Определение 1. В множестве Mn выделим:
1) подмножество Cn автономных систем, т.е. систем A ∈ Mn с постоянными коэффици-
ентами или, что то же, задаваемых постоянными матричными функциями A(·) = const;
2) подмножество En систем, отвечающих уравнению, т.е. задаваемых матричными функ-
циями A специального вида:
⎛
⎞
0
1
0
⎜
⎟
A(t) =
⎝
⎠, t ∈ R+,
0
0
1
−an(t)
-an-1(t) ...
-a1(t)
называемого клеткой Фробениуса и обеспечивающего возможность однозначно записывать
каждую из таких систем всего лишь одним линейным однородным дифференциальным урав-
нением n-го порядка для первой координаты y ≡ x1 её решения x
y(n) + a1(t)y(n-1) + ... + an(t)y = 0, t ∈ R+,
с которым в дальнейшем также будем отождествлять такую систему.
Определение 2. Скажем, что система A ∈ Mn :
а) ляпуновски приводима к системе B ∈ Mn, если существует линейное невырожденное
преобразование координат L : R+ → Rn×n, которое, во-первых, является ляпуновским, т.е.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
856
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
удовлетворяет условиям L ∈ C1(R+),
∥L∥ + ∥L-1∥ + ∥L∥ < +∞, а во-вторых, приводит
систему A к системе
B(t) = AL(t) ≡ L(t)A(t)L-1(t) +L(t)L-1(t), t ∈ R+;
б) T -периодически приводима к системе B ∈ Mn, если она приводима к системе B неко-
торым периодическим преобразованием L с периодом T > 0.
Приводимость линейной дифференциальной системы к более простому виду с сохранением
существенных свойств её решений изучалась уже давно [1, § 8; 2, гл. III, § 8]. Для приложе-
ний, в частности, интересна задача о ляпуновской приводимости системы именно к одному
уравнению [3] - серьёзное продвижение в ней получено в работах [4, 5].
Однако вопрос о возможности сохранить при указанном переходе ещё и свойство автоном-
ности, при его наличии, у исходной системы оставался открытым. Известно [5], что любая
система (1) ляпуновски приводима к некоторому уравнению, причём T -периодическая систе-
ма T -периодически же приводима к T -периодическому уравнению, а если расширить фазовое
пространство до комплексного, то к таким автономным уравнениям периодически (с произ-
вольным периодом) приводима уже всякая автономная система (1). Вопрос о ляпуновской
приводимости автономной системы (1) именно к действительному автономному уравнению
оказался сложнее, хотя в маломерных случаях, т.е. при n ≤ 2, он решается положительно, но
в случаях большей размерности, вообще говоря, отрицательно.
Для упрощения формулировки основного результата, опирающегося на специфическое
свойство жордановой нормальной формы матрицы системы, дадим следующее
Определение 3. Матрицу A ∈ Rn×n назовём жорданово почти парной, если каждому её
действительному собственному значению отвечает такой набор жордановых клеток, что все
они, кроме, быть может, одной, разбиваются на пары клеток одинакового порядка.
Критерий приводимости автономной системы к автономному уравнению представляет
Теорема [6]. Для любой автономной системы следующие четыре свойства равносильны:
1) система ляпуновски приводима к автономному уравнению;
2) для некоторого T > 0 система T-периодически приводима к автономному уравнению;
3) для любого T > 0 система T -периодически приводима к автономному уравнению;
4) матрица системы жорданово почти парна.
Литература. 1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1950. 2. Демидо-
вич Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967. 3. Зайцев B.A. Глобальная дости-
жимость и глобальная ляпуновская приводимость двумерных и трёхмерных линейных управляемых
систем с постоянными коэффициентами // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. 2003. № 1. С. 31-62.
4. Сергеев И.Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения // Вестн. Моск.
ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2009. № 3. С. 25-33. 5. Сергеев И.Н. О приводимости линей-
ных дифференциальных систем к линейным дифференциальным уравнениям // Вестн. Моск. ун-та.
Сер. 1. Математика. Механика. 2019. № 3. С. 39-44. 6. Сергеев И.Н., Уманский К.В. Критерий ляпу-
новской приводимости линейной автономной дифференциальной системы к линейному автономному
уравнению // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2022. № 5. С. 41-44.
И. В. Асташова, В. А. Никишов (Москва) “О продолжаемости и асимптотике решений
уравнения Риккати с вещественными корнями правой части” (31 марта 2023 г.).
Уравнение Риккати с непрерывными и ограниченными коэффициентами
y′ = P(x) + Q(x)y + y2
(1)
изучалось в многочисленных работах (см., например, [1-3; 4, гл. XI, § 7]). Ниже предполагаем,
что Q2 -4P ≥ 0, поэтому правая часть уравнения (1) как функция от y имеет при всех x ∈ R
вещественные нули α1(x) ≤ α2(x), а уравнение записывается в виде
y′ = (y - α1(x))(y - α2(x)),
-∞ < m ≤ α1(x) ≤ α2(x) ≤ M < +∞, x ∈ R.
(2)
Считаем, что либо α1 < α2, либо α1 = α2, а также всюду (за исключением теорем 2 и 3)
дополнительно предполагаем, что α1, α2 ∈ C1(R). Исследуем продолжаемость и асимптотику
решений уравнения (2) в зависимости от начальных значений и свойств функций α1, α2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
857
Лемма [5]. Если некоторое решение уравнения (2) определено на интервале (α, ω), где
ω ≤ +∞, то существует такое решение y∗ уравнения (2), определённое на некотором ин-
тервале (S∗,ω), что для любого решения y(·) уравнения (2), определённого на каком-либо
интервале (S,ω), выполнены неравенства S ≥ S∗, y ≤ y∗.
Определение 1. Решение y∗ уравнения (2) из леммы выше назовём главным на (x0,ω).
Определение 2. Решение y уравнения (2) назовём стабилизирующимся [1], если суще-
ствуют конечные пределы
lim
y(x) ≡ y+ ∈ R, lim
y(x) ≡ y- ∈ R.
x→+∞
x→-∞
Теорема 1. Если Q′(x) < Q2(x)/2 - 2P (x) при x ≥ x0, а решение y уравнения (2)
удовлетворяет условию y(x0) ≤ -Q(x0)/2, то y(x) < -Q(x)/2 при x > x0.
Следствие. Если α1(x) = α2(x) ≡ α(x) и α′(x) > 0 при x ≥ x0, а решение y уравнения
(2) удовлетворяет условию y(x0) ≤ α(x0), то y(x) < α(x) при x > x0.
Теорема 2. Если решение y уравнения (2) определено в точке x0 ∈ R, то оно ограничено
снизу при x ≥ x0.
Теорема 3. Если решение y уравнения (2) удовлетворяет условию y(x0) > M, то при
x > x0 оно возрастает и существует такое x∗, что
1
x0 < x∗ < x0 +
,
lim y(x) = +∞,
y(x0) - M
x→ x∗-0
а если - условию y(x0) < m, то при x < x0 оно возрастает и существует такое x∗, что
1
x0 -
<x∗ <x0,
lim y(x) = -∞.
m - y(x0)
x→ x∗+0
Теорема 4. Если решения y3 < y2 < y1 уравнения (2) определены в точке x0, а решение
y1 продолжается на луч [x0,+∞), то и решения y3, y2 продолжаются на тот же луч,
причём на нём функция (y1(x) - y3(x))/(y1(x) - y2(x)) ≥ 1 убывает и имеет при x → +∞
конечный предел, который в случае когда решение y1 главное на (x0,+∞) равен единице.
Теорема 5. Если два решения уравнения (2) определены на луче [x0, +∞) и имеют разные
конечные пределы при x → +∞, то любое решение, определённое на том же луче, также
имеет конечный предел при x → +∞.
Теорема 6. Если решения y2 < y1 уравнения (2) определены на луче [x0, +∞) и имеют
конечные (возможно, совпадающие) пределы при x → +∞, то любое решение y со значением
y(x0) ≤ y1(x0) продолжается на тот же луч и имеет конечный предел при x → +∞.
Теорема 7. Если решения y2 < y1 уравнения (2) определены на луче [x0, +∞) и имеют
конечные пределы при x → +∞, причём решение y1 главное на (x0,+∞), то всякое решение
y = y1, определённое на [x0,+∞), имеет при x → +∞ тот же предел, что и y2.
Пусть далее α1 < α2 и для некоторого a > 0 выполнены дополнительные условия
lim
αj(x) ≡ α±j ∈ R, j = 1,2, α′1(x) = 0 = α′2(x), x ∈ R \ [-a,a].
(3)
x→±∞
Тогда [1] все ограниченные решения - стабилизирующиеся, а все стабилизирующиеся решения
в окрестности ∞ имеют ненулевую производную и разбиваются на следующие четыре типа:
I тип: y- = α-1 , y+ = α+1 ;
II тип: y- = α-2, y+ = α+1;
III тип: y- = α-2, y+ = α+2;
IV тип: y- = α-1, y+ = α+2.
Теорема 8. Если при условиях (3) уравнение (2) имеет стабилизирующееся решение II
типа, то существуют и единственны решения yI и yIII, соответственно, I и III типов,
причём для любого решения y имеем:
1) если yI < y < yIII , то y - стабилизирующееся решение II типа;
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
858
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
2) если y > yIII , то для некоторого x∗ ∈ R решение y продолжаемо на луч (-∞, x∗),
причём y- = α-2 и lim y(x) = +∞;
x→x∗-0
3) если y < yI , то для некоторого x∗ ∈ R решение y продолжаемо на луч (x∗, +∞),
причём y+ = α+1 и lim y(x) = -∞.
x→x∗+0
Теорема 9. При условиях (3) уравнение (2) имеет стабилизирующееся решение II типа,
если и только если оно имеет стабилизирующиеся решения I и III типов.
Теорема 10. При условиях (3) для уравнения (2) верно ровно одно из следующих взаимно
исключающих друг друга утверждений:
1) существует стабилизирующееся решение II типа;
2) существует единственное стабилизирующееся решение и оно относится к IV типу;
3) стабилизирующихся решений нет.
Замечание. Теоремы 1-3 дополняют результаты работы [2]. Более того, теорема 3 опровер-
гает утверждение теоремы 5.7 [2, c. 150] об ограниченности решения на всей числовой прямой.
Теоремы 8-10 дополняют теоремы 2.1-2.4 [1].
Исследование первого автора выполнено при финансовой поддержке Российского научного
фонда (проект 20-11-20272).
Литература. 1. Палин В.В., Радкевич Е.В. О поведении стабилизирующихся решений для уравне-
ния Риккати // Тр. сем. имени И.Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 110-133. 2. Егоров А.И. Уравнение
Риккати. М., 2001. 3. Astashova I. Remark on continuous dependence of solutions to the Riccati equation on
its righthand side // Int. Workshop QUALITDE-2021. Tbilisi, Georgia, 2021. P. 1-4. 4. Hartman P. Ordinary
Differential Equations. New York, 1964. 5. Hartman P. On an ordinary differential equation envolving a
convex function // Trans. of the Amer. Math. Soc. 1969. V. 146. P. 179-202.
И. Н. Сергеев (Москва) “Определение свойства крайней неустойчивости нулевого реше-
ния дифференциальной системы” (7 апреля 2023 г.).
При n ∈ N для заданной области G ∋ 0 пространства Rn с евклидовой нормой | · | и
метрикой d( · , · ) рассмотрим дифференциальную систему
x = f(t,x), f(t,0) ≡ 0, t ∈ R+ ≡ [0,+∞), x ∈ G, f,f′x ∈ C(R+,G).
(1)
Через S∗(f) и Sδ(f) будем обозначать множество всех непродолжаемых решений системы (1)
с начальными условиями |x(0)| > 0 и 0 < |x(0)| < δ соответственно.
Определение. Скажем, что система (1) (точнее, её нулевое решение, о чём мы в дальней-
шем больше не будем упоминать) обладает ляпуновской, перроновской или верхнепредельной:
1) полной неустойчивостью [1, 2], если существуют такие ε, δ > 0, что любое решение
x ∈ Sδ(f) удовлетворяет соответственно требованию
sup |x(t)| > ε,
lim
|x(t)| > ε или
lim |x(t)| > ε,
(2)
t∈R+
t→+∞
t→+∞
причём в случае D(x) = R+ требование (2) (как и (3) ниже) также считаем выполненным;
2) глобальной неустойчивостью [1, 2], если существует такое ε > 0, что любое решение
x ∈ S∗(f) удовлетворяет соответствующему требованию (2);
3) крайней неустойчивостью, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что любое
решение x ∈ Sδ(f) удовлетворяет соответствующему требованию
sup
|x(t)|G > ε-1,
lim
|x(t)|G > ε-1 или
lim
|x(t)|G > ε-1,
(3)
t→+∞
t∈R+
t→+∞
где для любой точки x ∈ Rn обозначено
|x|G ≡ max{|x|, d-1(x, Rn \ G)} (здесь 0-1 ≡ +∞,
+∞-1 ≡ 0).
Для решения x ∈ S∗(f) с ограниченной областью определения D(x) ≡ [0, T ), в силу
асимптотической продолжаемости его графика до границы области R+ × G, имеет место ра-
венство
lim
|x(t)|G = +∞.
t→T -0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
859
Если же, к примеру, G = Rn, то справедливы равенства
|x|Rn = max{|x|, d-1(x, ∅)} = max{|x|, 0} = |x|.
Из определения следует, что не только глобальная, но и крайняя неустойчивость влечёт за
собой полную неустойчивость того же типа (причём ляпуновская глобальная неустойчивость
даже неразличима с полной [3]), а любая верхнепредельная неустойчивость влечёт за собой
одноимённую ляпуновскую, но вытекает из перроновской. Поэтому справедлива
Теорема 1. Если система (1) обладает крайней неустойчивостью какого-либо типа, то
она обладает и полной неустойчивостью того же типа (и обязательно ляпуновской, причём
глобальной).
Сузив фазовую область, можно превратить полную неустойчивость в крайнюю, т.е. верна
Теорема 2. Если система (1) обладает полной неустойчивостью какого-либо типа, то её
сужение на некоторую фазовую подобласть G′ ⊂ G обладает крайней (а также глобальной)
неустойчивостью всех трёх типов сразу.
В одномерном случае полные и глобальные (одного типа), а также ляпуновские и верхне-
предельные (одноимённые) неустойчивости неразличимы, поэтому из теоремы 1 вытекает
Теорема 3. Если при n = 1 система (1) обладает крайней неустойчивостью какого-
либо типа, то она обладает и глобальной неустойчивостью того же типа (и обязательно
верхнепредельной).
В автономном же случае неразличимыми являются вообще все шесть видов неустойчиво-
сти [3]: ляпуновской, перроновской и верхнепредельной - полной и глобальной.
Теорема 4. Если автономная система (1) обладает крайней неустойчивостью какого-
либо типа, то она обладает и глобальной неустойчивостью всех трёх типов сразу.
Заключение теоремы 1 не распространяется на глобальную неустойчивость, отличную от
ляпуновской, а именно, из теоремы 2 (и доказательства теоремы 1 [4]; см. её усиление в до-
кладе [5]) следует
Теорема 5. При n = 2 существует система (1), обладающая крайней неустойчивостью
всех трёх типов сразу, но не обладающая ни верхнепредельной, ни перроновской глобальной
неустойчивостью.
Ни полная, ни глобальная неустойчивости не влекут за собой крайнюю, причём даже в
автономном случае, как показывает
Теорема 6. При каждом n ∈ N и G = Rn существует автономная система (1), об-
ладающая глобальной неустойчивостью всех трёх типов сразу, но не обладающая крайней
неустойчивостью никакого типа.
Наконец, верхнепредельная крайняя неустойчивость не влечёт за собой никакую перро-
новскую неустойчивость вообще - ни даже самую слабую, частную, представляющую собой
отрицание глобальной устойчивости [2], причём даже в линейном случае, что и подтверждает
Теорема 7. При каждом n ∈ N и G = Rn существует ограниченная (на R+) линейная
система (1), обладающая ляпуновской и верхнепредельной крайней неустойчивостью, но не
обладающая частной (а тем более крайней) перроновской неустойчивостью.
Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и её связь с устойчивостью
по Ляпунову // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6. С. 855-856. 2. Сергеев И.Н. Определение
верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью по Перрону
// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557. 3. Сергеев И.Н. Некоторые особенности пер-
роновских и ляпуновских свойств устойчивости автономных систем // Дифференц. уравнения. 2020.
Т. 56. № 6. С. 830-831. 4. Сергеев И.Н. Определение и некоторые свойства устойчивости по Перрону
// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 5. С. 636-646. 5. Бондарев А.А. Два примера неодномер-
ных дифференциальных систем, обладающих ляпуновской крайней неустойчивостью // Дифференц.
уравнения. 2023. Т. 59. № 6. С. 859-861.
А. А. Бондарев (Москва) “Два примера неодномерных дифференциальных систем, об-
ладающих ляпуновской крайней неустойчивостью” (7 апреля 2023 г.).
При n ∈ N в евклидовом пространстве Rn (с нормой | · |) рассматриваем системы вида
x = f(t,x), t ∈ R+ ≡ [0,+∞), x ∈ Rn,
(1)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
860
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
с правой частью f : R+ × Rn → Rn, удовлетворяющей условиям
f,f′x ∈ C(R+ × Rn), f(t,0) = 0, t ∈ R+,
(2)
обеспечивающим существование и единственность решений задач Коши и наличие нулевого
решения. Обозначим через S∗(f) и Sδ(f) ⊂ S∗(f) множество всех непродолжаемых ненулевых
решений системы (1) и, соответственно, удовлетворяющих начальному условию |x(0)| ≤ δ.
В дополнение к определению ляпуновской, перроновской и верхнепредельной полной, гло-
бальной и крайней неустойчивости системы (1), содержащемуся в докладе [1], дадим
Определение [2-4]. Скажем, что система (1) (точнее, её нулевое решение) обладает пер-
роновской или верхнепредельной:
1) глобальной устойчивостью, если любое решение x ∈ S∗(f) удовлетворяет требованию
lim
|x(t)| = 0 или, соответственно,
lim |x(t)| = 0;
(3)
t→+∞
t→+∞
2) массивной частной устойчивостью, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0,
что любое решение x ∈ S∗(f) \ Sδ(f) удовлетворяет требованию (3).
Ниже приводятся усиленные варианты первых двух результатов работы [4], а именно утвер-
ждается существование неодномерных систем (1) произвольной размерности теперь уже не
только двумерных, с нулевым первым приближением, обладающих перроновскими и верхне-
предельными свойствами, контрастирующими с ляпуновскими, а ещё и с ляпуновской крайней
неустойчивостью. Так, в следующей теореме 1 система обладает одновременно:
- и крайней, и глобальной ляпуновской неустойчивостью (первое свойство);
- и перроновской, и верхнепредельной полной неустойчивостью (первое свойство);
- и перроновской, и верхнепредельной массивной частной устойчивостью (второе свойство).
Теорема 1. Для каждого n > 1 существует система (1), которая имеет правую часть,
удовлетворяющую условиям (2) и
f′x(t,0) = 0, t ∈ R+,
(4)
а также обладает следующими двумя свойствами:
1) все решения x ∈ S1(f) удовлетворяют равенству
lim
|x(t)| = +∞;
t→+∞
2) для всех решений x ∈ S∗(f) \ S1(f) верно второе (а значит, и первое) равенство (3).
В следующей теореме 2 система обладает одновременно:
- и крайней, и глобальной ляпуновской неустойчивостью (первое свойство, с учётом тео-
ремы 1 из [1]);
- и перроновской, и верхнепредельной глобальной устойчивостью (второе свойство).
Теорема 2. Для каждого n > 1 существует система (1), которая имеет правую часть,
удовлетворяющую условиям (2) и (4), а также обладает следующими двумя свойствами:
1) для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что все решения x ∈ Sδ(f) удовлетворяют
неравенству
sup |x(t)| > ε-1;
t∈R+
2) для всех решений x ∈ S∗(f) верно второе (а значит, и первое) равенство (3).
Замечание. Системы, существование которых утверждается в теоремах 1 и 2, неавтоном-
ны, неодномерны и нелинейны. Более того:
- полученные результаты не распространяются на автономные системы, поскольку для них
полная и глобальная неустойчивости сразу всех трёх типов (ляпуновского, перроновского и
верхнепредельного) логически неразличимы [5];
- ни одномерных, ни линейных (однородных) систем с такими наборами свойств не су-
ществует, поскольку для них ляпуновская полная (а значит, и глобальная) неустойчивость
эквивалентна верхнепредельной глобальной неустойчивости [2].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
861
Исследование выполнено при поддержке Фонда развития теоретической физики и матема-
тики “БАЗИС” (проект 22-8-10-3-1).
Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение свойства крайней неустойчивости нулевого решения
дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 6. С. 858-859. 2. Сергеев И.Н.
Определение верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью
по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557. 3. Сергеев И.Н. Массивные и
почти массивные свойства устойчивости и неустойчивости дифференциальных систем // Дифференц.
уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1576-1578. 4. Бондарев А.А., Сергеев И.Н. Примеры дифференци-
альных систем с контрастными сочетаниями ляпуновских, перроновских и верхнепредельных свойств
// Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 506. С. 25-29. 5. Сергеев И.Н.
Ляпуновские, перроновские и верхнепредельные свойства устойчивости автономных дифференциаль-
ных систем // Изв. Ин-та математики и информатики Удмуртского гос. ун-та. 2020. Т. 56. № 2. С. 63-78.
А. Х. Сташ (Майкоп) “О нулевых спектрах показателей колеблемости и вращаемости
треугольных дифференциальных систем” (14 апреля 2023 г.).
Для заданного n ∈ N обозначим через
Mn множество линейных систем
x = A(t)x, x ∈ Rn, t ∈ R+ ≡ [0,+∞),
с непрерывными матричными функциями A : R+ → EndRn (каждую из которых будем отож-
дествлять с соответствующей системой). Подмножество множества
Mn, состоящее из тре-
угольных систем, обозначим через Tn. Обозначим через S∗(A) множество всех ненулевых
⋃
решений системы A ∈
Mn и положим Sn∗ =A∈˜Mn S∗(A) (далее звёздочкой снизу будем
помечать любое линейное пространство, в котором выколот нуль).
Определение 1 [1]. Скажем, что в точке t > 0 происходит строгая (нестрогая) смена
знака функции y : R+ → R, если в любой окрестности этой точки функция y принимает как
положительные (неотрицательные), так и отрицательные (неположительные) значения.
Определение 2 [1-3]. Для момента t > 0 и функции y: R+ → R введём следующие
обозначения:
ν-(y,t) - число точек её строгой смены знака на промежутке (0,t];
ν∼(y,t) - число точек её нестрогой смены знака на промежутке (0,t];
ν0(y,t) - число её нулей на промежутке (0,t];
ν+(y,t) - число её корней (т.е. нулей с учётом их кратности) на промежутке (0,t];
ν∗(y,t) - число её гиперкорней на промежутке (0,t]: при его подсчёте каждый некратный
корень берётся ровно один раз, а кратный - бесконечно много раз.
Далее для ненулевого вектора m ∈ Rn∗ и вектор-функции x ∈ Sn∗ введём обозначение
να(x,m,t) ≡ να(〈x,m〉,t), где α ∈ {-,∼,0,+,∗}, а 〈·,·〉 - скалярное произведение.
Определение 3 [2, 3]. Верхние (нижние) сильный и слабый показатели колеблемости
знаков, нулей, корней и гиперкорней функции x ∈ Sn∗ при α ∈ {-, ∼, 0, +, ∗} соответственно
зададим формулами
(
)
π
π
να•(x) ≡ inf
lim
να(x,m,t)
να•(x) ≡ inf lim
να(x,m,t) ,
m∈Rn∗
t→+∞ t
m∈Rn∗ t→+∞
t
(
)
π
π
να◦(x) ≡ lim
inf
να(x,m,t)
να◦(x) ≡ lim
inf
να(x,m,t)
t→+∞
m∈Rn∗ t
t→+∞
m∈Rn∗
t
Определение 4 [4]. Для функции x ∈ C1(R+,R2) и конечного момента времени t > 0
определим функционал Θ(x, t) как такую непрерывную ветвь ориентированного угла между
векторами x(t) и x(0), что Θ(x, 0) = 0, но если в некоторый момент τ ∈ [0, t] выполнено
равенство x(τ) = 0, то по определению (в ущерб непрерывности) считаем Θ(x, t) = +∞.
Определение 5 [4]. Нижние (верхние) сильный и слабый показатели ориентированной
вращаемости вектор-функции x ∈ Sn∗ зададим соответственно формулами
(
)
1
1
θ•(x) = inf
lim
|Θ(Lx, t)|
θ•(x) = inf
lim
|Θ(Lx, t)|
,
L∈End2Rn t→+∞ t
L∈End2Rn
t→+∞
t
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
862
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
(
)
1
1
θ◦(x) = lim
inf
|Θ(Lx, t)|
θ◦(x) = lim
inf
|Θ(Lx, t)|
,
t→+∞
L∈End2Rn t
t→+∞
L∈End2Rn
t
где End2Rn - подмножество множества End Rn, состоящее из линейных операторов ранга 2.
В тезисах доклада [5] анонсирована теорема о нулевом спектре показателей колеблемости
нулей решений линейных однородных треугольных дифференциальных систем с непрерыв-
ными ограниченными коэффициентами. Подобный результат для показателей блуждаемости
(отличных от верхнего сильного) двумерных треугольных систем с ограниченными коэффи-
циентами установлен в статье [6], а спектры показателей вращаемости треугольных систем не
исследованы вовсе.
Ниже полностью описаны спектры всех показателей колеблемости и вращаемости тре-
угольных систем (состоящие, как оказалось, только из одного нулевого значения).
Теорема. Для любого решения x ∈ S∗(A) любой системы A ∈ Tn верны равенства
θ•(x) =θ•(x) =θ◦(x) =θ◦(x) = να•(x) = να•(x) = να◦(x) = να◦(x) = 0, α ∈ {-, ∼, 0, +, ∗}.
Следствие. Спектры всех показателей ориентированной вращаемости и показателей
колеблемости треугольных дифференциальных систем состоят из одного нулевого значения.
Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного урав-
нения // Тр. cем. имени И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294. 2. Сергеев И.Н. Определение
полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 908. 3. Сер-
геев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифферен-
циальных систем // Мат. сб. 2013. Т. 204. № 1. C. 119-138. 4. Сергеев И.Н. Определение характеристик
вращаемости решений дифференциальных систем и уравнений // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49.
№ 11. С. 1501-1503. 5. Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот линейных дифференциальных
систем // Мат. моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информати-
ки: матер. Второй междунар. конф. молодых учёных. Терскол, 28 ноября - 1 декабря 2012 г. Нальчик,
2012. С. 211-212. 6. Миценко В.В. Блуждаемость решений двумерных треугольных и диагональных
дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 6. С. 907-908.
Н. А. Лобода, А. Х. Сташ (Майкоп) “Об управлении конечными спектрами показателей
колеблемости гиперкорней двумерных дифференциальных систем” (14 апреля 2023 г.).
Для заданного натурального n обозначим через Mn множество линейных однородных
дифференциальных систем
x = A(t)x, t ∈ R+ ≡ [0,+∞), x ∈ Rn,
(1)
каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функци-
ей A : R+ → End Rn. Обозначим через S∗(A) множество всех ненулевых решений системы⋃
A ∈ Mn и положим Sn∗ ≡A∈Mn S∗(A). Для ненулевого вектора m ∈ Rn, вектор-функции
x ∈ Sn∗ и момента времени t > 0 через ν∗(x,m,t) обозначим число гиперкорней скалярно-
го произведения 〈x, m〉 на промежутке (0, t] : при его подсчёте каждый некратный корень
берётся ровно один раз, а кратный - бесконечно много раз.
Определение 1 [1]. Верхние сильный и слабый показатели колеблемости функции x ∈ Sn∗
соответственно зададим формулами
π
π
ν•(x) ≡ inf
lim
ν(x, m, t),
ν◦(x) ≡ lim
inf
ν(x, m, t),
m∈Rn
t→+∞ t
t→+∞
m∈Rn t
а соответствующие нижние - теми же формулами с заменой в них верхних пределов нижними.
Определение 2. Множество Specκ(A) всех значений показателя κ: S∗(A) → R назовём
спектром этого показателя системы A ∈ Mn, а значение показателя κ, принадлежащее
спектру системы A, назовём:
а) метрически существенным [2], если оно принимается на решениях x ∈ S∗(A), началь-
ные значения x(0) ∈ Rn которых заполняют множество положительной меры в Rn;
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
863
б) топологически существенным [3], если оно принимается на решениях x ∈ S∗(A), мно-
жество начальных значений x(0) ∈ Rn которых, пересечённое с некоторым открытым под-
множеством U ⊂ Rn, служит дополнением в U к множеству первой категории Бэра.
Через ess Specκ(A) обозначим множество всех метрически и топологически существенных
значений показателя κ для системы A.
В работе [4] доказано существование двумерной периодической системы (1), спектры по-
казателей колеблемости нулей которой содержат любое наперёд заданное число метрически
и топологически существенных значений. Известно [5], что для любого конечного множества
неотрицательных чисел, содержащего нуль, существует двумерная система (1) (периодиче-
ская, если все эти числа попарно соизмеримы), у которой все значения спектров показателей
блуждаемости метрически существенны и заполняют в точности это множество. Оказалось,
что все эти свойства переносятся и на показатели колеблемости гиперкорней.
Теорема. Для любого конечного множества неотрицательных чисел X, содержащего
нуль, существует такая система A ∈ M2 (периодическая, если все элементы множе-
ства X попарно соизмеримы), что при любом κ = ν•, ν•, ν◦, ν◦ справедливы равенства
Specκ(A) = ess Specκ(A) = X.
Литература. 1. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуж-
даемости решений дифференциальных систем // Мат. сб. 2013. 204. № 1. C. 119-138. 2. Сергеев И.Н.
Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравне-
ния. 2011. Т. 47. № 11. С. 1661-1662. 3. Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения
показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 11. С. 1567-1568. 4. Сташ А.Х.
О конечных спектрах полной и векторной частот линейной двумерной дифференциальной периодиче-
ской системы // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естеств.-мат. и техн. науки. 2014. Вып. 1 (133).
С. 30-36. 5. Шишлянников Е.М. Двумерные дифференциальные системы с произвольными конечными
спектрами показателя блуждаемости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2017. № 5.
С. 14-21.
А. Е. Троскина (Кострома) “О ляпуновском старшем, центральном и особом верхних
показателях неограниченной системы” (21 апреля 2023 г.).
Для системы
x = A(t)x, x ∈ Rn, A ∈ C(R+,EndRn),
(1)
старший показатель Ляпунова [1, гл. 3, § 4] задаётся формулой
λ1(A) = lim
t-1 ln ∥XA(t,0)∥,
t→+∞
а верхние центральный и особый показатели определяются дискретным способом [2, гл. 3, § 8]
соответственно как
∑
Ω(A) = inf
lim (kT )-1
ln ∥XA(jT, (j - 1)T )∥,
(2)
T>0
k→+∞
j=1
Ω0(A) = inf supT-1 ln ∥XA(kT,(k - 1)T)∥,
(3)
T>0k∈N
где XA - оператор Коши системы (1). Из формул (2) и (3) сразу следует, что Ω(A) ≤ Ω0(A).
Кроме того [2, гл. 3, §§ 7, 8], для систем с ограниченными коэффициентами справедлива це-
почка неравенств
λ1(A) ≤ Ω(A) ≤ Ω0(A),
в которой любая комбинация равенств и строгих неравенств (вместо нестрогих) реализуется
на некоторой ограниченной системе (1).
Теорема. Для каждого n ∈ N существует система (1), удовлетворяющая неравенствам
Ω(A) < Ω0(A) < λ1(A).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
864
О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
Литература. 1. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в ба-
наховом пространстве. М., 1970. 2. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория
показателей Ляпунова и её приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.
Р. Г. Алимурадов, Н. Л. Марголина, А. Е. Троскина, К. Е. Ширяев (Костро-
ма) “Об отношении порядка между ляпуновским старшим, центральным и особым верхними
показателями неограниченной системы” (21 апреля 2023 г.).
Рассматривается система
x = A(t)x, x ∈ Rn, A ∈ C(R+,EndRn).
(1)
В докладе [1] приведены формулы, задающие старший показатель Ляпунова и определя-
емые дискретно верхние центральный и особый показатели, а также приведены соотношения
между этими показателями при условии ограниченности системы и установлено существова-
ние системы любой размерности вида (1) с неограниченными коэффициентами, особый пока-
затель которой строго меньше старшего показателя Ляпунова, но больше центрального.
Теорема. Для каждого n ∈ N существует система (1), удовлетворяющая неравенствам
Ω(A) < λ1(A) < Ω0(A).
Литература. 1. Троскина А.Е. О ляпуновском старшем, центральном и особом верхних показате-
лях неограниченной системы // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 6. С. 863-864.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
