ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1007-1021

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.928.4

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

С ВНУТРЕННИМ ПЕРЕХОДНЫМ СЛОЕМ УРАВНЕНИЯ

РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ-АДВЕКЦИИ

С KPZ-НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Изучается краевая задача для квазилинейного обыкновенного дифференциального урав-

нения реакции-диффузии-адвекции с содержащей градиент искомой функции в квадра-

те KPZ-нелинейностью. Рассматривается случай существования внутреннего переходного

слоя в некритическом и критическом случаях. Cтроится асимптотическое приближение ре-

шения и определяется асимптотика для точки переходного слоя. Для доказательства тео-

рем существования используется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Асимптотическая устойчивость решений по Ляпунову доказывается с помощью метода

сужающихся барьеров. Теоремы о неустойчивости доказываются с использованием неупо-

рядоченных верхнего и нижнего решений.

DOI: 10.31857/S0374064123080010, EDN: IMWTXB

1. Введение. Постановка задачи. В работах [1, 2] рассматривалась задача

(

)

d²u

ε²

=f ε

, u, x

x ∈ (-1,1), u(±1,ε) = u(±)

(1)

dx²

и были получены условия, при которых её решения типа ступеньки существуют в некрити-

ческом и критическом случаях, а также условия существования контрастной структуры типа

всплеска. Теоремы существования решений доказываются с использованием метода сшивания,

широко применяемого в одномерных задачах, однако вопросы устойчивости не затрагиваются.

Периодические задачи для уравнения реакции-диффузии-адвекции, содержащего в правой

части слабую адвекцию (слагаемое вида εA(u, x)∂u/∂x), рассмотрены в работах [3-5]. В ука-

занных статьях изучаются вопросы построения асимптотического приближения для контраст-

ной структуры типа ступеньки, а также доказываются теоремы существования и асимптоти-

ческой устойчивости по Ляпунову такого решения как решения соответствующей начально-

краевой параболической задачи с использованием метода дифференциальных неравенств [6].

Отметим также недавние работы, посвящённые новому классу задач с разрывными адвек-

тивным и реактивным членами в одномерной и двумерной постановках [7-9].

В данной статье рассматривается краевая задача для квазилинейного обыкновенного диф-

ференциального уравнения реакции-диффузии-адвекции, являющаяся специальным важным

для приложений случаем задачи (1), позволяющим получить конструктивные условия суще-

ствования и асимптотической устойчивости по Ляпунову решения как стационарного решения

соответствующей параболической задачи

)₂

d²u

⁽ du

ε²

= ε²A(u,x)

+ f(u,x,ε), x ∈ (-1,1), u^′(±1,ε) = u(±),

(2)

dx²

где ε ∈ (0, ε₀] - малый параметр.

Особенностью изучаемой задачи является слагаемое, содержащее градиент искомой функ-

ции в квадрате. Нелинейности такого типа носят название нелинейностей Кардари-Паризи-

Жанга (KPZ-нелинейности) и широко используются при моделировании процессов популяци-

онной динамики [10], роста свободной поверхности в теории полимеров, нелинейной теории

1007

1008

НЕФЕДОВ, ОРЛОВ

теплопроводности (см. [11, 12] и библиографию в них). Отметим также и несомненный теоре-

тический интерес к данному уравнению: квадрат является максимальным (предельным) по-

казателем степени, при котором условия Бернштейна на рост нелинейности выполнены (нели-

нейность принадлежит классу функций Нагумо (см. [13-15]).

Основной целью настоящей работы являются доказательство существования и исследова-

ние устойчивости решений с внутренним переходным слоем, как решений соответствующих

начально-краевых параболических задач. Рассмотрены некритический и критический случаи.

Итак, пусть выполнены следующие условия.

Условие (А1). Функция f(u, x, ε) определена на множестве Ω₁ := (u, x, ε) ∈ I_u × [-1, 1] ×

×(0, ε₀], а A(u, x) - на множестве Ω₂ := (u, x) ∈ I_u×[-1, 1]; обе являются достаточно гладкими

функциями своих аргументов.

Условие (А2). Вырожденное уравнение f(u, x, 0)=0 имеет ровно три корня u = ϕ(±,0)(x),

удовлетворяющих условиям

ϕ(-)(x) < ϕ⁽⁰⁾(x) < ϕ⁽⁺⁾(x), f_u(ϕ(±)(x), x, 0) > 0, f_u(ϕ⁽⁰⁾(x), x, 0) < 0, x ∈ [-1, 1].

Введём присоединённую систему уравнений

dũ

⁽dũ)2

= v,

= A(ũ, x)

+ f(ũ,x,0),

-∞ < ξ < ∞.

(3)

dξ

Условие (А2) означает, что на фазовой плоскости (ũ, v) присоединённой системы есть две

точки покоя типа седло (ϕ(±)(x), 0). Существуют сепаратрисы v(±)(ũ, x), входящие, соот-

ветственно, в сёдла (ϕ(±)(x), 0) при ξ → ±∞. Выражения для этих сепаратрис имеют следу-

ющий вид:

(

∫

(

∫

)

)1/2

v(±)(ũ, x) =

2f(s, x, 0) exp

A(σ, x) dσ ds

ϕ(±)(x)

Введём также функцию

H(x) := v⁽⁺⁾(ϕ⁽⁰⁾(x), x) - v(-)(ϕ⁽⁰⁾(x), x), x ∈ (-1, 1),

для которой справедливо представление

∫

)

H(x) = -

f (s, x, 0) exp

A(σ, x) dσ ds, x ∈ (-1, 1).

(4)

v(-)(0, x) + v⁽⁺⁾(0, x)

ϕ(-)(x)

Определим положение точки переходного слоя условием пересечения решения и корня вырож-

денного уравнения ϕ⁽⁰⁾(x):

ϕ(0)(x^∗) = u(x^∗, ε).

(5)

Рассмотрим решение, которое при ε → 0 на части интервала (-1, x^∗(ε)) стремится к кор-

ню ϕ(-)(x), а на другой части (x^∗(ε), 1) - к другому корню ϕ⁽⁺⁾(x). В окрестности точки

x^∗(ε) возникает область быстрого изменения решения - внутренний переходный слой. Такие

решения называются контрастными структурами. Положение точки переходного слоя x^∗(ε)

заранее неизвестно. Будем искать её в виде ряда по степеням ε:

x^∗(ε) = x₀ + εx₁ + ε²x₂ + ...

(6)

Оказывается, что нахождение коэффициентов ряда (6) для точки перехода зависит суще-

ственным образом от свойств функции H(x). В п. 3 мы рассмотрим некритический и критиче-

ский случаи и подробно опишем процедуру нахождения коэффициентов x_i, i ∈ N₀ ≡ N

^⋃ {0}.

Некритическому случаю отвечает

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1009

Условие (A3). Уравнение H(x) = 0 имеет решение x = x₀, причём -1 < x₀ < 1.

Выполнено неравенство

(x₀) > 0.

Критический случай имеет место, если выполнено

Условие (A3^′). Справедливо тождество H(x) ≡ 0, x ∈ (-1, 1).

В данной работе мы не будем уделять внимание описанию поведения решения вблизи гра-

ничных точек x = ±1. Отметим только, что в случае граничных условий Неймана вблизи

граничных точек x = ±1 возникают слабые (порядка ε) пограничные слои.

Замечание 1. В случае граничных условий Дирихле необходимо сформулировать условие

принадлежности граничных значений u(±) области влияния соответствующих корней вырож-

денного уравнения

∫

(

∫

)

f (s, ±1, 0) exp

A(σ, ±1) dσ ds > 0 для всех

ũ ∈ (ϕ(±)(±1),u(±)].

ϕ(±)(±1)

2. Асимптотическое представление решения. Опишем построение формального

асимптотического приближения решения краевой задачи (2) по методу А.Б. Васильевой.

Для построения формальной асимптотики задача (2) разбивается на две [6]. Cлева от пе-

реходного слоя в области -1 < x < x^∗(ε) рассматривается задача

)₂

d²u

⁽ du

L_ε(u) := ε²

- ε²A(u,x)

- f(u,x,ε) = 0,

-1 < x < x^∗(ε),

dx²

u^′(-1,ε) = u(-), u(x^∗(ε),ε) = ϕ⁽⁰⁾(x^∗);

справа от переходного слоя в области x^∗(ε) < x < 1 - задача

)₂

d²u

⁽ du

L_ε(u) := ε²

- ε²A(u,x)

- f(u,x,ε) = 0, x^∗(ε) < x < 1,

dx²

u(x^∗(ε), ε) = ϕ⁽⁰⁾(x^∗), u^′(1, ε) = u⁽⁺⁾.

Далее для функций асимптотики в области -1 < x < x^∗(ε) используем обозначение “(-) ”, в

области x^∗(ε) < x < 1 - “⁽⁺⁾ ”, а индекс “(±) ” будем писать, подразумевая функции как для

левой, так и для правой частей асимптотики. Построим асимптотику в виде ряда по степеням

ε, не предполагая разложенной в такой ряд функцию x^∗(ε), которую считаем известной:

U(±)(x,ε) = u(±)(x,ε) + Q(±)(ξ,ε) + Π(±)(τ,ε),

(7)

здесь регулярная часть

u(±)(x,ε) = u(±)0(x) + εu(±)1(x) + ... + εⁿ u(±)n(x) + ... ,

пограничная часть в окрестности x = -1 для u(-) и в окрестности x = 1 для u⁽⁺⁾

Π(±)(τ,ε) = Π(±)0(τ) + εΠ(±)1(τ) + ... + εⁿΠ(±)n(τ) + ... ,

где

{

(x + 1)/ε, x ≤ x^∗(ε),

τ =

(x - 1)/ε, x > x^∗(ε),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1010

НЕФЕДОВ, ОРЛОВ

и часть внутреннего переходного слоя в окрестности точки x^∗(ε), ξ = (x - x^∗(ε))/ε,

Q(±)(ξ,ε) = Q(±)0(ξ,ε) + εQ(±)1(ξ,ε) + ... + εⁿQ(±)n(ξ,ε) + ... ,

члены которой зависят не только от аргумента ξ, но и от ε. Отметим, что уравнения, из

которых эти члены находятся, содержат функции, зависящие от x^∗(ε), что и объясняет нали-

чие у членов Q_i аргумента ε. Для определённости рассматриваем переход от корня ϕ(-) к

корню ϕ⁽⁺⁾.

Метод пограничных функций [16] приводит к последовательности задач для определения

коэффициентов асимптотических рядов (7), из которых, в частности, получим

u(-)0(x) = ϕ(-)(x),

u⁽⁺⁾⁰(x) = ϕ⁽⁺⁾(x).

Функции u(±)i(x), i ∈ N, а также пограничные функции Π(±)i(τ), i ∈ N₀, строятся стандарт-

ным образом [16, 17], и мы это построение здесь рассматривать не будем.

Рассмотрим подробно построение функций внутреннего переходного слоя.

Члены Q(±)0(ξ, ε) определяются из задач

∂²Q(±)0(ξ,ε)

⁽∂Q(±)0(ξ,ε))2

- A(ϕ(±)(x^∗) + Q(±)0, x^∗)

= f(ϕ(±)(x^∗) + Q(±)0,x^∗,0),

∂ξ²

∂ξ

Q(±)0(0,ε) + u(±)0(x^∗) = ϕ⁽⁰⁾(x^∗), Q(±)0(±∞,ε) = 0.

(8)

Положим

∂ũ(±)(ξ,ε)

ũ(±)(ξ,ε) := ϕ(±)(x^∗) + Q(±)0(ξ,ε),

v(±)(ξ, ε) :=

∂ξ

В этих обозначениях задачи (8) будут выглядеть следующим образом:

∂²ũ(±)

⁽∂ũ(±))²

- A(ũ(±), x^∗)

= f(ũ(±),x^∗,0),

∂ξ²

∂ξ

ũ(±)(0,ε) = ϕ⁽⁰⁾(x^∗),

ũ(±)(±∞,ε) = ϕ(±)(x^∗).

Уравнения для функции ũ(±)(ξ, ε) на каждой из полупрямых ξ ≤ 0 и ξ ≥ 0 эквивалентны

уравнениям присоединённой системы (3). Используя представление для сепаратрис, можно

получить решения задач (8) в виде квадратурных формул

∫

( ∫κ

)

)-1/2

ξ=

2f(s, x^∗, 0) exp

A(σ, x^∗) dσ ds

dκ,

-∞ < ξ < ∞.

ϕ⁽⁰⁾(x^∗) ϕ(±)(x^∗)

Замечание 2. Из вида уравнения (8) следует, что в функциях ũ(±)(ξ, ε), v(±)(ξ, ε) мож-

но перейти к другому набору аргументов (ξ, x^∗). В дальнейшем будем пользоваться обоими

наборами аргументов также и для функций внутреннего переходного слоя, для каждого кон-

кретного случая выбирая наиболее удобный.

Функции Q(±)1 определяются из задач

)

∂²Q(±)1

∂ũ(±) ∂Q(±)1

⁽

A^∗

⁽∂ũ(±))²

f^∗

A^∗

Q(±)1 = r(±)1,

∂ξ²

∂ξ

∂u

∂ξ

∂u

Q(±)1(0,x^∗) + u(±)1(x^∗) = 0, Q(±)1(±∞,x^∗) = 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1011

(±)

)

⁽

A^∗

f^∗

⁾⁽du(±)0

r(±)1(ξ,ε) :=

A^∗v(±)

(v(±))² +

ξ+u(±)

∂u

)

∗

⁽

f^∗

(v(±))² +

ξ+

(9)

∂x

∂ε

где символы “ ∼ ”, “ ∗ ” над и справа от функции означают, что её значение берётся при аргу-

менте (ũ(±)(ξ, x^∗), x^∗, 0).

Решения задач (9) находятся в явном виде:

Q(±)1(ξ,x^∗) = -u(±)1(x^∗)v(±)(ξ,x∗)

v(±)(0, x^∗)

∫

(±)

- v(±)(ξ,x^∗)

p(±)(η,x^∗)v(±)(η,x^∗)r₁

(η, ε) dη ds,

(10)

p(±)(s,x^∗)(v(±)(s,x^∗))²

где

( ∫ξ

)

p(±)(ξ,x^∗) = exp

-2

A(ũ(±)(y, x^∗), x^∗)v(±)(y, x^∗)dy

Функции Q следующих порядков определяются из аналогичных уравнений. Для всех

функций Q справедливы стандартные экспоненциальные оценки [17]

|Q(±)i(ξ, ε)| < Ce-κ|ξ|, ξ ∈ R, i ∈ N₀,

где C, κ - положительные константы.

Поскольку функции A, f, u(±) достаточно гладкие, формальная асимптотика может быть

построена до любого порядка n.

3. Построение асимптотики точки x^∗(ε) переходного слоя. Одной из ключевых

проблем построения асимптотики является построение асимптотики точки перехода x^∗(ε).

Непрерывность асимптотики в точке x^∗(ε) выполняется за счёт согласованности асимпто-

тик U(-) и U⁽⁺⁾ в силу условия (5). Потребуем также непрерывности первых производных

асимптотики на этой кривой (условие C¹-сшивания):



(+)



∂U

∂U(-)



-ε

= 0.

(11)



∂x

x=x^∗(ε)

Подставив асимптотическое разложение (7) в условие (11), получим

∂Q⁽⁺⁾⁰(0,x^∗)

∂Q(-)0(0,x^∗)

⁽du⁽⁺⁾⁰(x^∗)

∂Q⁽⁺⁾¹(0,x^∗)

du(-)0(x^∗)

∂Q(-)1(0,x^∗)⁾

+ε

∂ξ

(+)

⁽du

(x^∗)

∂Q⁽⁺⁾²(0,ε)

du(-)1(x^∗)

∂Q(-)2(0,ε)⁾

+ε²

+ ... =:

∂ξ

=: H(x^∗) + εG₁(x^∗) + ε²G₂(ε) + ... = 0.

Здесь мы обозначили

(+)

(x^∗)

∂Q⁽⁺⁾¹(0,x^∗)

du(-)0(x^∗)

∂Q(-)1(0,x^∗)

G₁(x^∗) :=

∂ξ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1012

НЕФЕДОВ, ОРЛОВ

(+)

(x^∗)

∂Q(+)i(0,ε)

du(-)i-1(x^∗)

∂Q(-)i(0,ε)

i-1

Gi(ε) :=

i = 2,3,...

∂ξ

Функция H(x^∗) была введена выше (см. (4)). С учётом (6) разложим выражение (11) в ряд

по степеням ε:



)

∂U⁽⁺⁾(x^∗,ε)

∂U(-)(x^∗,ε)

⁽ dH



-ε

= H(x₀) + ε

x₁ + G₁|x=x0



∂x

x=x₀



]

^[x²¹ d²H



dH

dG₁



+ε²

+x₂

+x₁

+G₂|ε=0

+ ... = 0.

(12)



dx²

x=x₀

Далее рассмотрим некритический и критический случаи.

3.1. Некритический случай. В силу условия (А3) слагаемое при ε⁰ в разложении (12)

равно нулю, таким образом определён нулевой порядок x₀ в разложении точки перехода x^∗(ε).

Определим член x₁ в (12). Приравнивая к нулю слагаемое при ε¹, получаем



dH



x₁ + G₁|x=x0 = 0.

(13)



x=x₀

Используя (10), выполним преобразования

(+)

(x^∗)

∂Q⁽⁺⁾¹(0,x^∗)

du(-)0(x^∗)

∂Q(-)1(0,x^∗)

G₁(x^∗) :=

∂ξ

(+)

dϕ⁽⁺⁾(x^∗)

dϕ(-)(x^∗)

(0, x^∗)

v(-)ξ(0, x^∗)

vξ

- u⁽⁺⁾¹(x^∗)

+ u(-)1(x^∗)

v(+)(0, x^∗)

v(-)(0, x^∗)

∫

p⁽⁺⁾(η,x^∗)v⁽⁺⁾(η,x^∗)r⁽⁺⁾¹(η,ε)dη +

v(+)(0, x^∗)

∫

p(-)(η,x^∗)v(-)(η,x^∗)r(-)1(η,ε)dη =

v(-)(0, x^∗)

[

∫

⁽∂A

p(±)(η,x^∗)v(±)(η,x^∗)

(ũ(±),x^∗)(v(±)(η,x^∗))² +

v(±)(0, x^∗)

∂x

)

∫

)]₊

∂f

(ũ(±),x^∗,0) η dη +

p(±)(η,x^∗)v(±)(η,x^∗)

(ũ(±),x^∗,0)dη

(14)

∂x

∂ε

Здесь [ · ]+- означает разность между выражениями, помеченными символами “ + ” и “ - ”. От-

метим, что в силу условия (А3)

v(-)(0, x₀) = v⁽⁺⁾(0, x₀), а также ũ(-)(0,x0) = ũ(+)(0,x0).

Таким образом, v(ξ, x₀),

ũ(ξ, x₀), p(ξ, x₀) - непрерывные по ξ функции в рассматриваемой

области. Поэтому далее индекс (±) в выражениях для v(ξ, x₀),

ũ(ξ, x₀), p(ξ, x₀) можно опу-

стить.

Подставив равенства (14) в (13), получим уравнение для нахождения x₁ :

∫

[

dH(x₀)

⁽∂A

x₁ -

p(ξ, x₀)v(ξ, x₀)

(ũ(ξ,x₀),x₀)(v(ξ,x₀))²ξ +

v(0, x₀)

∂x

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1013

)]

∂f

(ũ(ξ,x₀),x₀,0)ξ +

(ũ(ξ, x₀), x₀, 0) dξ = 0.

(15)

∂x

∂ε

Уравнение (15) разрешимо в силу условия (А3), таким образом, коэффициент 1-го порядка в

разложении (6) определён.

Из уравнений, определяющих Q(±)i, и следующих приближений в соотношении (12) по

стандартной схеме получим алгебраические задачи для x_i :

dH(x₀)

x_i + f_i = 0, i ≥ 1,

где f_i - известные на i-м шаге величины.

Таким образом, указан способ определения всех неизвестных функций x_i для некритиче-

ского случая.

3.2. Критический случай. Условие (A3^′) коренным образом отличает некритический

случай от критического, поскольку, как будет видно далее, оно изменяет алгоритм нахождения

слагаемых в разложении (6).

Действительно, в силу условия (A3^′) получаем, что H(x^∗) = 0, x^∗ ∈ (-1, 1). Тогда (12)

примет вид

∂U⁽⁺⁾(x^∗,ε)

∂U(-)(x^∗,ε)

= G₁(x^∗) + εG₂(ε) + ... = 0.

∂x

Разлагая x^∗(ε) в ряд по степеням ε, получаем для C¹-сшивания следующее выражение:

(



)

∂U⁽⁺⁾(x^∗,ε)

∂U(-)(x^∗, ε)

dG₁

=G₁|x=x0 + ε x₁



+G₂|ε=0

+ ... = 0.

(16)



∂x

x=x₀

Приравняем к нулю по очереди коэффициенты при степенях ε в (16). При ε получим

G₁|x=x0 = 0.

(17)

Потребуем, чтобы выполнялось

Условие (A4^′). Уравнение G₁(x) = 0 имеет решение x = x₀, причём -1 < x₀ < 1.

Выполнено неравенство

dG₁

(x₀) > 0.

Подставив выражения (14) в равенство (17), получим нелинейное алгебраическое уравнение

для отыскания нулевого приближения для точки переходного слоя

∫

⁽∂A

p(ξ, x₀)v(ξ, x₀)

(ũ(ξ, x₀), x₀)(v(ξ, x₀))²ξ +

∂x

−∞

)

∂f

(ũ(ξ,x₀),x₀,0)ξ +

(ũ(ξ, x₀), x₀, 0) dξ = 0,

∂x

∂ε

которое разрешимо в силу условия (A4^′). Приравняв к нулю коэффициент при ε в (16), по-

лучим уравнение для определения коэффициента x₁ :



dG₁



x₁ + G₂|ε=0 = 0.



x=x₀

Оно также разрешимо в силу условия (A4^′).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1014

НЕФЕДОВ, ОРЛОВ

Из уравнений, определяющих Q(±)i, и следующих приближений в соотношении (17) полу-

чим алгебраические задачи для x_i :



dG₁



x_i + f_i = 0, i ≥ 1,



x=x₀

где f_i - известные на i-м шаге величины.

Таким образом, указан способ определения всех неизвестных функций x_i для критического

случая.

4. Обоснование построенной асимптотики. Обозначим через U_n(x,ε) частичные сум-

мы порядка n построенных асимптотических рядов, в которых аргумент ξ у Q-функций за-

∑n+1

менён на ξ_n := (x -

εⁱx_i)/ε, а x^∗ - на x^∗n(ε) :=

εⁱx_i. На множествах -1 ≤ x ≤ x^∗

i=0

и x^∗ ≤ x ≤ 1, на которые отрезок [-1,1] разделяется точкой x^∗n, при построении U_n(x,ε)

используются функции Q(-) и Q⁽⁺⁾ соответственно.

Для доказательства существования решения вида ступеньки в некритическом и крити-

ческом случаях используем асимптотический метод дифференциальных неравенств [18, 19].

Построим непрерывные функции α(x, ε), β(x, ε) таким образом, чтобы они удовлетворяли

следующим условиям.

1. Условие упорядоченности: α(x, ε) ≤ β(x, ε), x ∈ [-1, 1].

2. Действие оператора на верхнее и нижнее решения:

)₂

d²β

⁽ dβ

d²α

⁽ dα)2

ε²

- ε²A(β,x)

- f(β,x,ε) ≤ 0 ≤ ε²

- ε²A(α,x)

- f(α,x,ε)

dx²

для всех x ∈ (-1, 1), за исключением тех точек x, в которых функции α(x, ε), β(x, ε) явля-

ются негладкими.

3. Условия на границе:

α^′(-1,ε) ≥ u(-) ≥ β^′(-1,ε), α^′(1,ε) ≤ u⁽⁺⁾ ≤ β^′(1,ε).

4. Условия на скачок производных:

dβ

∂β

(x - 0, ε) ≥

(x + 0, ε),

где x - точка, в которой верхнее решение является негладким;

∂α

(x - 0, ε) ≤

(x + 0, ε),

где x - точка, в которой нижнее решение является негладким.

Сформулируем и докажем теоремы существования для каждого случая.

4.1. Некритический случай. Имеет место

Теорема 1. Если выполнены условия (A1)-(А3), то при достаточно малых ε существует

решение u(x,ε) задачи (2), являющееся контрастной структурой типа ступеньки, причём

имеет место оценка

|U_n(x, ε) - u(x, ε)| < Cεn+1, x ∈ [-1, 1],

где C - положительная константа.

Доказательство. Верхнее и нижнее решения задачи (2) будем строить путём модифика-

ции членов асимптотического ряда

β_n(x,ε) = u(±)0(x) + εu(±)1(x) + ... + εn+2u(±)n+2(x) + Q(±)0(ξ_β,x_β) + εQ(±)1(ξ_β,ε) +

... + εn+2Q(±)n+2(ξ_β,ε) + Π_β(τ,ε) + εn+2(γ + q(±)β(ξ_β,ε)),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1015

где x_β(ε) = x^∗n(ε) + εn+2(xn+2 - δ), γ > 0 - некоторая постоянная, обеспечивающая выпол-

нение неравенства на оператор, δ > 0 - постоянная, обеспечивающая неравенства для скачка

производных, функции Π_β обеспечивают выполнение дифференциальных неравенств вблизи

точек x = -1 и x = 1, их построение проводится стандартным образом (см. [17]). Здесь для

функций асимптотики в области слева от точки x_β(ε) используем обозначение (-), а справа -

(+). Функции Q(±)i(ξ_β, ε) являются решением соответствующих краевых задач для Q(±)i(ξ, ε),

у которых везде функция x^∗(ε) заменена на x_β (ε), а аргумент ξ - на ξ_β. Функции q(±)β(ξ_β, ε)

необходимы для устранения невязки в уравнении для Q(±)n+2(ξ_β, ε), вносимой постоянной γ, и

определяются из следующих задач:

∂²q(±)β

∂ũ(±)β ∂q(±)β

⁽

A^∗β (∂ũ(±)β )²

f^∗β )

A^∗

q(±)β = r_β(ξ,ε),

∂ξ²

∂ξ

∂u

∂ξ

∂u

q(±)β(0,ε) + γ = 0, q(±)β(±∞,ε) = 0,

(18)

где символы “ ∼ ”, “ ∗ ”, “ β ” над и справа от функции означают, что её значение берётся при

аргументе (ũ(±)β, x_β, 0). При этом

)

⁽

A^∗

⁽∂ũ(±)β)2

f^∗

∂f

ũ(±)β = ũ(±)(ξ,x_β), r_β(ξ,ε) = γ

(ϕ(±), x_β, 0)

∂u

∂ξ

∂u

Нижнее решение α_n(x, ε) имеет аналогичную структуру.

Неравенство на оператор проверяется прямым вычислением. Проверим его, например, для

верхнего решения β_n(x, ε):

)₂

d²β_n

⁽ dβ_n

ε²

- ε²A(β_n,x,ε)

- f(β_n,x,ε) = -εn+2f¯_uγ + O(εn+3) < 0,

dx²

где черта над функцией означает, что её значение берётся при аргументе (ϕ(±)(x₀), x₀, 0).

Неравенства в граничных точках x±1 выполняются за счёт модификации погранслойных

функций (см., например, [17]), и их проверка здесь не рассматривается.

Проверка упорядоченности проводится в точности также как и в статье [20].

Проверим неравенство на скачок производной

)

(

)

⁽∂β(+)n(x_β,ε)

∂βn-)(x_β,ε)

dH(x₀)

= -εn+2

δ + γB(x₀)

+ O(εn+3),

∂x

∫

(

)

∂A

∂f

B(x₀) =

p(ξ, x₀)v(ξ, x₀)

(ũ(±), x₀, 0)(v(ξ, x₀))² +

(ũ(±), x₀, 0)-

(ϕ(±), x₀, 0) dξ.

v(0, x₀)

∂u

−∞

Все соответствующие неравенства для нижнего решения α_n(x, ε) проверяются аналогично.

Нужный знак скачка производной обеспечивается в силу условия (А3) и выбора достаточно

большого δ > 0. Теорема доказана.

4.2. Критический случай.

Теорема 2. Если выполнены условия (А1), (А2), (А3^′), (A4^′), то при достаточно ма-

лых ε существует решение u(x, ε) задачи (2), являющееся контрастной структурой типа

ступеньки, причём имеет место оценка

|U_n(x, ε) - u(x, ε)| < Cεn+1, x ∈ [-1, 1],

где C - положительная константа.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1016

НЕФЕДОВ, ОРЛОВ

Доказательство. Асимптотический метод дифференциальных неравенств позволяет обос-

новать построенную асимптотику. Верхнее и нижнее решения задачи (2) будем строить путём

модификации членов асимптотического ряда в виде

B_n(x,ε) = u(±)0(x) + εu(±)1(x) + ... + εn+3u(±)n+3(x) + Q(±)0(ξ_β,x_β) +

+ εQ(±)1(ξ_β, ε) + . . . + εn+3Q(±)n+3(ξ_β, ε) + Π_B(τ, ε) + εn+3(γ + q(±)B(ξ_β, ε)),

где x_B(ε) = x^∗n(ε)+εn+2(xn+2-ν), γ > 0 - некоторая постоянная, обеспечивающая выполнение

неравенства на оператор, ν > 0 - постоянная, которая будет определена ниже, обеспечива-

ющая неравенства для скачка производных в точке переходного слоя, функции Π_β обеспе-

чивают выполнение неравенств вблизи точек x = -1 и x = 1, их построение проводится

стандартным образом (см. [17]). Здесь для функций асимптотики в области слева от точки

x_β(ε) используем обозначение (-), а справа - (+). Функции Q(±)i(ξ_β,ε) являются решением

соответствующих краевых задач для Q(±)i(ξ, ε), у которых везде функции x^∗ заменены на

x_β, а аргумент ξ - на ξ_β. Функции q(±)B(ξ_β,ε) необходимы для устранения невязки в уравне-

нии для Q(±)n+3(ξ_β, ε), вносимой постоянной γ, и определяются из задач (18). Нижнее решение

A_n(x,ε) имеет аналогичную структуру.

Неравенство на оператор проверяется прямым вычислением. Например, проверим его для

верхнего решения B_n(x, ε):

)₂

d²B_n

⁽ dB_n

ε²

- ε²A(B_n,x,ε)

- f(B_n,x,ε) = -εn+3f¯_uγ + O(εn+4) < 0,

dx²

где черта над функцией означает, что её значение берётся при аргументе (ϕ(±), x₀, 0).

Неравенства в граничных точках x = ±1 выполняются за счёт модификации погранслой-

ных функций (см., например, [17]), и их проверка здесь не проводится.

Доказательство упорядоченности выполняется совершенно аналогично тому, как это было

сделано в работе [21].

Для доказательства теоремы остаётся проверить условие для скачка производной:

)

(

)

⁽∂β(+)n(x_β,ε)

∂βn-)(x_β,ε)

dG(x₀)

= -εn+3

ν + γB(x₀)

+ O(εn+4).

∂x

Нужный знак скачка производной обеспечивается в силу условия (A4^′) и выбора доста-

точно большого ν > 0. Таким образом, все необходимые условия известных теорем [22] о

дифференциальных неравенствах выполнены. Теорема доказана.

5. Асимптотическая устойчивость решения. Решения задачи (2) можно рассматри-

вать как решения соответствующей начально-краевой параболической задачи на полубеско-

нечном промежутке времени:

)

⁽∂²v

∂v

⁽∂v)2

L_t[v] := ε²

- ε²A(v,x)

- f(v,x,ε) = 0,

∂x²

∂t

∂x

(x, t) ∈ Dt+ := {(x, t) ∈ R² : -1 < x < 1,

0 < t < ∞},

∂v

(±1, t, ε) = u(±),

0 < t < ∞,

∂x

v(x, 0, ε) = v⁰(x, ε),

-1 ≤ x ≤ 1.

(19)

Очевидно, что если v⁰(x, ε) = u(x, ε), где u(x, ε) - решение задачи (2), то и задача (19) име-

ет решение v(x, t, ε) = u(x, ε). Исследование его устойчивости основано на асимптотическом

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1017

методе дифференциальных неравенств [6]. Будем искать верхнее и нижнее решения задачи

(19) в виде

α(x, t, ε) = u(x, ε) + e-λ(ε)t(α_n(x, ε) - u(x, ε)), β(x, t, ε) = u(x, ε) + e-λ(ε)t(β_n(x, ε) - u(x, ε)),

где λ(ε) > 0 будет указана ниже. Очевидно, что упорядоченность, неравенства на грани-

це и на скачок в точке x₀ для функций β(x, t, ε), α(x, t, ε) выполняются в силу того, что

β_n(x,ε), α_n(x,ε) удовлетворяют дифференциальным неравенствам (1), (3), (4), и для про-

верки классических теорем о дифференциальных неравенствах для параболических систем из

[22] достаточно проверить неравенства на оператор: L_t[β] < 0, L_t[α] > 0. Нетрудно полу-

чить требуемые неравенства как для некритического, так и для критического случаев. В ходе

доказательства нам потребуется

Лемма. Пусть u(x, ε) - решение, существование которого утверждает теорема 1. Тогда

выполнены следующие оценки:



∂(u(x,ε)-αn(x,ε))

∂(u(x,ε)-βn(x,ε))



O(εⁿ),



O(εⁿ).



⁼



⁼

∂x

Из представлений верхнего и нижнего решений имеют место оценки



∂(Un(x,ε) - α_n(x,ε))



|U_n(x, ε) - α_n(x, ε)| = O(εn+1),

O(εⁿ),



⁼

∂x



∂(Un(x,ε) - β_n(x,ε))



|U_n(x, ε) - β_n(x, ε)| = O(εn+1),

O(εⁿ),



⁼

∂x

в силу которых имеем

∂u(x, ε)

∂α_n(x,ε)

∂u(x, ε)

∂U_n(x,ε)

∂α_n(x,ε)

∂x

∂u(x, ε)

∂U_n(x,ε)

+ O(εⁿ).

(20)

∂x

Аналогично

∂u(x, ε)

∂β_n(x,ε)

∂u(x, ε)

∂U_n(x,ε)

+ O(εⁿ).

∂x

Таким образом, из формулы (20) следует, что для доказательства леммы необходимо пока-

зать близость производной решения и производной асимптотики. Для этого сведём уравнение

задачи (2) к нелинейной системе сингулярно возмущённых уравнений первого порядка

= A(u, x)v² + f(u, x, ε), ε

= v, u^′(±1,ε) = u(±).

(21)

Далее приведём результат из работы [1], в которой построена асимптотика и доказано су-

ществование решения типа ступенька-всплеск у системы (21) с помощью метода сшивания

асимптотических разложений.

Теорема 3. Если выполнены условия (A1)-(А3), то при достаточно малых ε суще-

ствует решение (u(x,ε),v(x,ε)) задачи (21), являющееся контрастной структурой типа

ступенька-всплеск, причём имеет место оценка

|U_n(x, ε) - u(x, ε)| < Cεn+1,

|V_n(x, ε) - v(x, ε)| < Cεn+1, x ∈ [-1, 1].

Из теоремы 3 следует, что

∂u(x, ε)

∂U_n(x,ε)

= O(εⁿ),

∂x

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1018

НЕФЕДОВ, ОРЛОВ

а значит,

∂u(x, ε)

∂α_n(x,ε)

∂u(x, ε)

∂β_n(x,ε)

= O(εⁿ),

= O(εⁿ).

∂x

Лемма доказана.

Замечание 3. Сформулированный результат леммы остаётся справедливым и в критиче-

ском случае:



∂(u(x,ε)-An(x,ε))

∂(u(x,ε)-Bn(x,ε))



O(εⁿ),

O(εⁿ).



⁼



⁼

∂x

Для доказательства достаточно воспользоваться теоремой существования решения типа сту-

пенька-всплеск для системы (21) в критическом случае, доказанной в статье [2] при выполне-

нии условий (А1), (А2), (A3^′), (A4^′).

Замечание 4. Отметим, что используемые нами теоремы из [1] и [2] доказаны при краевых

условиях Дирихле. Однако не составляет труда провести доказательство и в случае условий

Неймана.

Для удобства введём функцию

F (z, u, x, ε) := A(u, x)z² + f(u, x, ε).

С учётом обозначения запишем операторы задач

(

)

(

)

∂²β

∂β

d²βn

dβ_n

L_t[β] := ε²

-ε²

-F ε

,β,x,ε

L_ε[β_n] := ε²

-F ε

,β_n,x,ε

∂x²

∂t

∂x

dx²

Проверим, например, неравенство L_t[β] < 0 для верхнего решения:

(

)

∂²β

∂β

L_t[β] := ε²

-ε²

-F ε

,β,x,ε

= L_ε[u]+e-λ(ε)t(L_ε[β_n]-L_ε[u])+ε²λ(βn -u_ε)e-λ(ε)t +

∂x²

∂t

∂x

( (

)

(

))

( (

)

(

))

dβ_n

∂β

+ F ε

,β_n,x,ε

-F ε

, u, x, ε e-λ(ε)t - F ε

,β,x,ε

-F ε

, u, x, ε

∂x

В силу построения функции β_n(x, ε), а также учитывая результаты леммы и теоремы 3, верны

равенства



dβn

du



L_ε[u] = 0, L_ε[β_n] = -εn+2

f_u(x) + O(εn+3) < 0,

|β_n - u| = O(εn+1),

O(εⁿ).

⁼

 dx

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, преобразуем последние две скобки:

( (

)

(

))

( (

)

(

))

dβ_n

∂β

F ε

,β_n,x,ε

-F ε

, u, x, ε e-λ(ε)t - F ε

,β,x,ε

-F ε

, u, x, ε

∂x

[

)

)₂]

⁽ dβ_n

= (θ₂e-λ(ε)t - θ₁)e-λ(ε)t F^∗uu(β_n - u)² + (F^∗uz + F^∗zu)ε(β_n - u_ε)

+F^∗zzε²

Здесь под индексом “^∗ ” мы понимаем, что значения частных производных взяты в некоторой

промежуточной точке (не обязательно одинаковой), например,

(

)

⁽ dβ_n

F^∗zz = F_zz ε

+ε

(θ₂e-λ(ε)t + θ₃(θ₂e-λ(ε)t - θ₁)),

)

u + (β_n - u)(θ₂e-λ(ε)t + θ₃(θ₂e-λ(ε)t - θ₁))x,ε ,

где |θ_i| < 1, i = 1, 2, 3. Окончательно имеем

L_t[β] = e-λ(ε)t(-εn+2

f_u(x) + O(εn+3) + O(ε2n+2) + ε²λ(ε)(β_n - u_ε)) < 0

при n ≥ 0 и λ(ε) = λ₀ > 0 - достаточно малой константе.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1019

Следовательно, в некритическом случае построенное выше решение устойчиво с областью

влияния, по крайней мере, [α₀(x, ε), β₀(x, ε)].

В критическом случае можно провести аналогичные вычисления и получить неравенство

L_t[B] = e-λ(ε)t(-εn+3

f_u(x) + O(εn+4) + O(ε2n+2) + ε²λ(ε)(B_n - u_ε)) < 0

при n ≥ 1 и λ(ε) = λ₀ > 0.

Итак, построенное выше решение в критическом случае устойчиво с областью влияния, по

крайней мере, [A₁(x, ε), B₁(x, ε)].

Таким образом, справедливы следующие теоремы.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (А1)-(А3). Тогда решение u(x, ε) задачи (2) асимп-

тотически устойчиво по Ляпунову как решение задачи (19) с областью устойчивости по

крайней мере [α₀(x, ε), β₀(x, ε)], и, следовательно, u(x, ε) - единственное решение задачи (2)

в этой области.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (А1), (А2), (A3^′), (A4^′). Тогда решение u(x, ε)

задачи (2) асимптотически устойчиво по Ляпунову как решение задачи (19) с областью

устойчивости, по крайней мере, [A₁(x,ε),B₁(x,ε)], и, следовательно, u(x,ε) - единственное

решение задачи (2) в этой области.

6. Оценка главного собственного значения линеаризованного оператора. Неус-

тойчивость. Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для линеаризованного на решении u(x, ε)

оператора задачи (2):

d²w

du dw

L_lin[w] := ε²

- 2ε²A(u, x)

dx²

dx dx

(

)

⁽ du)2

- ε²A_u(u,x)

+ f_u(u,x,ε) w = λw, x ∈ (-1,1), w^′(±1,ε) = 0.

Известно [23], что если главное собственное значение λ₀ > 0, то решение u(x, ε) является

неустойчивым. Доказательство неустойчивости решения типа контрастной структуры прово-

дится с использованием неупорядоченных верхнего и нижнего решений [24].

Введём функцию Ψ(x, ε) = β_ust(x, ε)-α_ust(x, ε), где β_ust(x, ε), α_ust(x, ε) - верхнее и нижнее

решения, полученные в п. 4.1, у которых δ заменена на -δ. Нетрудно показать, что при такой

замене на отрезке x ∈ [x₀-Cε, x₀+Cε] будет нарушаться упорядоченность верхнего и нижнего

решений [24].

Изменим также знак неравенства в условии (А3):

(x₀) < 0, обозначение условия при

этом оставим прежним.

Рассмотрим сдвиг оператора:

(

)₂

)

d²w

du dw

L_shift[w] := ε²

- 2ε²A(u, x)

- ε²A_u(u,x)

+ f_u(u,x,ε) w - κεw.

dx²

dx dx

Выберем параметр κ > 0 малым, чтобы выполнялись неравенства

L_shift[Ψ] < 0, x ∈ (-1,1),

Ψ(x, ε) < 0, x ∈ [x₀ - Cε, x₀ + Cε],



dΨ



< 0, Ψ^′(-1, ε) ≤ 0 ≤ Ψ^′(1, ε).



x=x₀+0

x=x₀-0

Данные соотношения показывают, что Ψ(x, ε) - верхнее негладкое решение однородной крае-

вой задачи для оператора L_shift.

Используя технику из [24], можно провести процедуру сглаживания и получить гладкую

функцию Ψ^∗(x, ε) - верхнее решение однородной краевой задачи, при этом Ψ^∗(x, ε) ≤ Ψ(x, ε),

x ∈ [-1,1].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1020

НЕФЕДОВ, ОРЛОВ

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для оператора L_shift задачи (2):

L_shift[w] = μw, x ∈ (-1,1), w^′(±1,ε) = 0.

(22)

Нетрудно видеть, что собственные значения задач для операторов L_lin и L_shift связаны

формулой λ = μ + εκ. Поэтому для доказательства неустойчивости достаточно показать, что

μ ≥ 0. Для этого нам понадобится теорема 2.4 из работы [25], являющаяся следствием теории

Крейна-Рутмана.

Теорема 6. Следующие утверждения эквивалентны:

1) главное собственное значение задачи (22) μ₀ < 0;

2) любое решение задачи L_shift[y(x, ε)] ≤ 0, x ∈ (-1, 1), y^′(-1, ε) ≤ 0 ≤ y^′(1, ε) удовлетво-

ряет неравенству y(x, ε) ≥ 0.

Покажем, что μ₀ ≥ 0. Предположим противное: μ₀ < 0. Тогда из того, что Ψ^∗(x, ε)

удовлетворяет задаче L_shift[Ψ^∗(x, ε)] ≤ 0, x ∈ (-1, 1), Ψ^∗′(-1, ε) ≤ 0 ≤ Ψ^∗′(1, ε), последует,

что Ψ^∗(x, ε) ≥ 0, x ∈ [-1, 1]. Но при этом Ψ^∗(x, ε) ≤ Ψ(x, ε) < 0, x ∈ [x₀ - Cε, x₀ + Cε].

Полученное противоречие доказывает, что μ₀ ≥ 0, а значит, учитывая связь λ = μ + εκ,

имеет место неравенство λ₀ ≥ κε. Из [23] следует, что решение неустойчиво.

Теорема 7. При выполнении условий (А1)-(А3) при достаточно малых ε > 0 стацио-

нарное решение u(x, ε) задачи (19), для которого функция U_n(x, ε) является равномерным

асимптотическим приближением, неустойчиво.

Изменим также знак неравенства в условии (A4^′):

(x₀) < 0. Обозначение условия при

этом оставим прежним. Аналогичным образом, с использованием неупорядоченных верхнего

и нижнего решений, полученных путём замены ν на -ν из представленных в п. 4.2, можно

доказать теорему в критическом случае.

Теорема 8. При выполнении условий (А1), (А2), (A3^′), (A4^′) при достаточно малых

ε > 0 стационарное решение u(x,ε) задачи (19), для которого функция U_n(x,ε) является

равномерным асимптотическим приближением, неустойчиво.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 23-11-

00069).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильева А.Б., Давыдова М.А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нели-

нейных сингулярно возмущённых уравнений второго порядка // Журн. вычислит. математики и

мат. физики. 1998. Т. 38. № 6. С. 938-947.

2. Давыдова М.А. Решение типа всплеска и критический случай ступеньки для сингулярно возмущён-

ного уравнения второго порядка // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1998. Т. 39. № 8.

С. 1305-1316.

3. Nefedov N.N., Nikulin E.I., Recke L. On the existence and asymptotic stability of periodic contrast

structures in quasilinear reaction-advection-diffusion equations // Russ. J. of Math. Phys. 2019. V. 26.

№ 1. P. 55-69.

4. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. Существование и асимптотическая устойчивость периодического ре-

шения с внутренним переходным слоем в задаче со слабой линейной адвекцией // Моделирование

и анализ информ. систем. 2018. Т. 25. № 1. С. 125-132.

5. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. Существование и асимптотическая устойчивость периодических дву-

мерных контрастных структур в задаче со слабой линейной адвекцией // Мат. заметки. 2019. Т. 106.

№ 5. С. 708-722.

6. Нефедов Н.Н. Развитие методов асимптотического анализа переходных слоев в уравнениях реак-

ция-диффузия-адвекция: теория и применение // Журн. вычислит. математики и мат. физики.

2021. Т. 61. № 12. С. 2074-2094.

7. Фэй П.Я., Мин К.Н., Давыдова М.А. Контрастные структуры в задачах для стационарного уравне-

ния реакция-диффузия-адвекция с разрывной нелинейностью // Мат. заметки. 2018. Т. 104. № 5.

С. 759-770.

8. Nefedov N.N., Nikulin E.I., Orlov A.O. Existence of contrast structures in a problem with discontinuous

reaction and advection // Russ. J. of Math. Phys. 2022. V. 29. № 2. P. 214-224.

9. Nefedov N.N., Nikulin E.I., Orlov A.O. Contrast structures in the reaction-diffusion-advection problem

in the case of a weak reaction discontinuity // Russ. J. of Math. Phys. 2022. V. 29. № 1. P. 81-90.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1021

10. Grimson M.J., Barker G.C. Continuum model for the spatiotemporal growth of bacterial colonies

// Phys. Rev. E. 1994. V. 49. № 2. P. 1680-1688.

11. Davydova M.A., Zakharova S.A. Multidimensional thermal structures in the singularly perturbed

stationary models of heat and mass transfer with a nonlinear thermal diffusion coefficient // J. of Comput.

and Appl. Math. 2022. V. 400. № 1. Art. 113731.

12. Krug J., Spohn H. Universality classes for deterministic surface growth // Phys. Rev. A. 1988. V. 38.

№ 8. Art. 4271.

13. Похожаев С.И. Об уравнениях вида Δu = f(x, u, Du) // Мат. сб. 1980. Т. 113. № 2. С. 324-338.

14. Муравник А.Б. Об убывании неотрицательных решений сингулярных параболических уравнений с

KPZ-нелинейностями // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2020. Т. 60. № 8. С. 1422-1427.

15. Муравник А.Б. О качественных свойствах решений некоторых квазилинейных параболических

уравнений, допускающих вырождение на бесконечности // Уфимск. мат. журн. 2018. Т. 10. № 4.

С. 77-84.

16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.,

1990.

17. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур (об-

зор) // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4-82.

18. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингу-

лярно возмущённых задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7.

С. 1132-1139.

19. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущённых за-

дач с контрастными структурами типа ступеньки в критическом случае // Дифференц. уравнения.

1996. Т. 32. № 11. С. 1529-1537.

20. Nefedov N.N., Nikulin E.I. Existence and stability of periodic contrast structures in the reaction-

advection-diffusion problem // Russ. J. of Math. Phys. 2015. V. 22. P. 215-226.

21. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И. Существование и устойчивость периодических контрастных структур

в задаче реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной нелинейности // Дифференц.

уравнения. 2017. Т. 53. № 4. С. 524-537.

22. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York; London, 1993.

23. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений М., 1985.

24. Нефедов Н.Н., Орлов А.О. О неустойчивых контрастных структурах в одномерных задачах

реакция-диффузия-адвекция с разрывными источниками // Теор. и мат. физика. 2023. Т. 215.

№ 2. С. 297-310.

25. Lopez-Gomez J. The strong maximum principle. Mathematical analysis on the self-organization and self-

similarity // CR Acad. Sci. Paris. 1990. V. 310. P. 49-52.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 14.06.2023 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 14.06.2023 г.

Принята к публикации 20.07.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023