ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1046-1056
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.32+517.954
ЗАДАЧА О ДВУМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ
С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ
© 2023 г. М. Б. Зверева
Исследована модель малых пространственных поперечных колебаний струны, когда от-
клонение любой её точки от положения равновесия характеризуется двумя координатами.
При этом предполагается, что в процессе колебаний один из концов струны находится
внутри ограниченного, замкнутого, выпуклого множества C, принадлежащего плоскости
π, перпендикулярной к отрезку, вдоль которого натянута струна. В свою очередь, мно-
жество C может перемещаться в плоскости π, его движение задано отображением C(t).
Пока конец струны не соприкоснулся с границей множества C(t), он остаётся свободным.
При соприкосновении начинается их совместное перемещение. Получена формула пред-
ставления решения начально-краевой задачи, описывающей этот колебательный процесс.
Рассмотрена задача граничного управления колебательным процессом.
DOI: 10.31857/S0374064123080046, EDN: INHCCO
Введение. Задачам граничного управления и их оптимизации посвящены работы мно-
гих математиков. Особенно можно выделить публикации В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их
учеников [1-7], а также статьи А.И. Егорова, Л.Н. Знаменской [8, 9], А.В. Боровских [10],
В.В. Провоторова [11]. При изучении таких задач, в первую очередь, исследуются условия, при
которых колебательный процесс под воздействием некоторого граничного управления может
быть переведен из состояния, определяемого начальными условиями, в заданное финальное
состояние.
В настоящей работе изучается начально-краевая задача, описывающая пространственный
колебательный процесс с нелинейным краевым условием. Такого рода задача возникает при
моделировании колебаний струны с ограничителем на перемещение одного из концов. Получе-
на формула представления решения. Для случая, когда время колебаний не превышает длины
струны, записан явный вид функции граничного управления.
1. Постановка задачи. Введём декартову систему координат Oxyz. Предположим, что
вдоль отрезка [0, l] оси Ox натянута струна (положение равновесия), и каждая её точка
характеризуется координатой x этой оси. Один из концов струны жёстко закреплен. Дру-
гой находится внутри ограниченного, замкнутого, выпуклого множества C (ограничителя),
принадлежащего плоскости π, параллельной zOy. Рассмотрим задачу о малых простран-
ственных поперечных колебаниях струны, когда отклонение любой точки струны от положе-
ния равновесия в момент времени t описывается двумя координатами: u1(x, t) характеризует
смещение вдоль оси Oy, u2(x, t) характеризует смещение вдоль оси Oz. Обозначим через
u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t)) вектор перемещения. Условие жёсткого закрепления первого конца
струны означает, что u(0, t) = 0. Пусть множество C, внутри которого находится второй ко-
нец струны, может двигаться в плоскости π, и его перемещение описывается отображением
C(t). Тогда выполнено условие u(l, t) ∈ C(t). Пока u(l, t) является внутренней точкой C(t),
выполняется условие свободного конца, т.е. ux(l, t) = 0. Если происходит соприкосновение
соответствующего конца струны с граничной точкой ограничителя, то в течении некоторого
времени выполнено условие u(l, t) = c(t), где c(t) - граничная точка C(t). При этом со сто-
роны ограничителя дополнительно возникает сила реакции опоры. Таким образом, должно
выполняться условие
-ux(l,t) ∈ NC(t)(u(l,t)),
где множество NC(t)(u(l, t)) обозначает внешний нормальный конус к C(t) в точке u(l, t) ∈
∈ C(t), определяемый как
NC(t)(u(l,t)) = {ξ ∈ R2 : 〈ξ,c - u(l,t)〉 ≤ 0 для любых c ∈ C(t)}.
1046
ЗАДАЧА О ДВУМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ
1047
Пусть начальная форма струны задана функцией ϕ(x) = (ϕ1(x), ϕ2(x)). Начальная скорость
предполагается нулевой.
Таким образом, математическая модель задачи имеет вид
∂2u
∂2u
=
,
0 < x < l, t > 0,
∂x2
∂t2
∂u
u(x, 0) = ϕ(x),
(x, 0) = 0,
- ux(l,t) ∈ NC(t)(u(l,t)),
∂t
u(0, t) = 0, u(l, t) ∈ C(t).
(1)
Всюду далее будем предполагать выполнение условий ϕ(l) ∈ C(0), ϕ(0) = 0,
- ϕ′(l) ∈
∈ NC(0)(ϕ(l)). В настоящей работе для задачи (1) получен аналог формулы Даламбера для
представления решения. Также решена задача граничного управления колебательным про-
цессом для случая, когда время колебаний 0 < t ≤ T < l. Задача о двумерных деформациях
струны (не зависящая от t) под воздействием внешней силы была рассмотрена в работе [12].
Колебательный процесс на графе-звезде с ограничителями на движение концов струн изучался
в статье [13].
2. Предварительные сведения. Приведём некоторые понятия и определения, которые
понадобятся в дальнейшем.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением 〈 · , · 〉. Для замкнутого
выпуклого множества C ⊂ H множество
NC(x) = {ξ ∈ H : 〈ξ,c - x〉 ≤ 0 для любых c ∈ C}
обозначает внешний нормальный конус к C в точке x ∈ C. Заметим, что всегда 0 ∈ NC (x),
N{x}(x) = H, и NC(x) = {0} для x ∈ intC, где intC -множество внутренних точек C (пред-
полагается, что int C = ∅). Последнее соотношение показывает, что внешний нормальный
конус нетривиален только при x ∈ ∂C, где ∂C - граница множества C.
Хаусдорфово расстояние dH (C1, C2) между замкнутыми множествами C1 и C2 задаётся
формулой
{
}
dH(C1,C2) = max sup
dist (x, C1), sup dist (x, C2)
,
x∈C2
x∈C1
где dist (x, C) = inf{∥x - c∥, c ∈ C}.
Рассмотрим процесс выметания, описанный в работе [14]:
-u′(t) ∈ NC(t)(u(t)), t ∈ [0,T],
(2)
u(0) = u0 ∈ C(0).
(3)
Функция u : [0, T ] → H называется решением задачи (2), (3), если:
а) u(0) = u0;
б) u(t) ∈ C(t) для всех t ∈ [0, T ];
в) u дифференцируема для п.в. t ∈ [0, T ];
г) -u′(t) ∈ NC(t)(u(t)) для п.в. t ∈ [0, T ].
Нам понадобятся следующие теоремы из статьи [14].
Теорема 1. Предположим, что отображение t → C(t) удовлетворяет условию Липшица
в смысле расстояния по Хаусдорфу, т.е.
dH(C(t),C(s)) ≤ L|t - s|,
где C(t) ⊂ H - непустое, замкнутое и выпуклое множество для всех t ∈ [0, T ]. Пусть u0 ∈
∈ C(0). Тогда существует решение u : [0,T] → H задачи (2), (3), которое удовлетворяет
условию Липшица с константой L. При этом |u′(t)| ≤ L для п.в. t ∈ [0, T ].
Теорема 2. Решение (2), (3) единственно в классе абсолютно непрерывных функций.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1048
ЗВЕРЕВА
Далее будем применять классы функций, введённые В.А. Ильиным (см., например, [2]).
Обозначим через QT прямоугольник QT = {(x, t) : 0 ≤ x ≤ l,
0 ≤ t ≤ T}. Будем говорить,
что функция u(x, t) принадлежит классуW12(QT ), если u(x, t) непрерывна в QT и имеет
в этом прямоугольнике обе обобщённые частные производные ux(x, t) и ut(x, t), каждая из
которых принадлежит классу L2(QT ) и, кроме того, принадлежит классу L2(0 ≤ x ≤ l) при
любом фиксированном t из сегмента [0, T ] и классу L2(0 ≤ t ≤ T ) при любом фиксированном
x из сегмента [0, l].
Будем говорить, что Φ(x, t) принадлежит классуW22(QT ), если функция Φ(x, t) и её част-
ные производные первого порядка непрерывны в QT и если Φ(x, t) имеет в этом прямоуголь-
нике все обобщённые частные производные второго порядка, каждая из которых принадлежит
классу L2(QT ) и, кроме того, принадлежит классу L2(0 ≤ x ≤ l) при любом фиксированном
t из сегмента [0, T ] и классу L2(0 ≤ t ≤ T ) при любом фиксированном x из сегмента [0, l].
3. Формула представления решения. Решением задачи (1) будем называть функцию
u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t)) такую, что:
1) для всех T > 0 выполнены условия ui(x, t) ∈W12(QT ), i = 1, 2;
2) для всех t ≥ 0 выполнены условия u(l, t) ∈ C(t), u(0, t) = 0;
3) для п.в. t ≥ 0 выполнено условие -ux(l, t) ∈ NC(t)(u(l, t));
i
∂u
4) условия ui(x, 0) = ϕi(x) выполнены для всех x ∈ [0, l], а условия
(x, 0) = 0 выпол-
∂t
нены для п.в. x ∈ [0, l], i = 1, 2;
5) для любых T > 0 выполняются интегральные равенства
∫
l
∫
T
]
∫
l
[∂2Ψi
∂2Ψi
∂Ψi
ui(x,t)
(x, t) -
(x, t) dx dt +
(x, 0)ϕi(x) dx +
∂t2
∂x2
∂t
0
0
0
∫T
[
]
∂Ψi
∂ui
+
ui(l,t)
(l, t) - Ψi(l, t)
(l, t) dt = 0,
(4)
∂x
∂x
0
i
∂Ψ
где произвольные функции Ψi ∈W22(QT ) такие, что Ψi(0, t) = 0, Ψi(x, T ) = 0,
(x, T ) = 0,
∂t
i = 1,2.
Рассмотрим функции Φi (i = 1, 2) следующего вида:
если x ∈ [0, l], то Φi(x) = ϕi(x);
если x ∈ [(m + 1)l, (m + 2)l] и m - чётное число, то
m/2
∑
Φi(x) = 2
gi2k(x - (m + 1 - 2k)l) - ϕi((m + 2)l - x);
k=0
если m - нечётное число, то
(m+1)/2∑
Φi(x) = 2
gi2k-1(x - (m + 2 - 2k)l) + ϕi(x - (m + 1)l);
k=1
Φi(-x) = -Φi(x).
Здесь функции g0(t) = (g10(t), g20(t)) и g1(t) = (g11(t), g21(t)) - решения задач
- g′0(t) ∈ NC(t)(g0(t)) + ϕ′(l - t), t ∈ [0,l],
g0(0) = ϕ(l)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ЗАДАЧА О ДВУМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ
1049
и
- g′1(t) ∈ NC(t)(g1(t)) + ϕ′(t - l), t ∈ [l,2l],
g1(l) = g0(l).
Функции gm(t) = (g1m(t), g2m(t)), где t ∈ [ml, (m + 1)l], для чётных номеров m ≥ 2 являются
решениями задач
(m-2)/2∑
- g′m(t) ∈ NC(t)(gm(t)) + 2
g′2k(t - ml + 2kl) + ϕ′(ml + l - t),
k=0
gm(ml) = gm-1(ml),
а для нечётных m ≥ 3, где t ∈ [ml, (m + 1)l], - решениями задач
(m-1)/2∑
- g′m(t) ∈ NC(t)(gm(t)) + 2
g′2k-1(t - l - ml + 2kl) + ϕ′(t - ml),
k=1
gm(ml) = gm-1(ml).
Теорема 3. Пусть функции ϕi(x) (i = 1, 2) и отображение C(t) удовлетворяют усло-
вию Липшица на своих областях определения. Тогда решение задачи (1) может быть пред-
ставлено в виде
Φi(x - t) + Φi(x + t)
ui(x,t) =
,
(5)
2
где i = 1, 2.
Доказательство. Предположим формально, что решение задачи (1) имеет вид (5). Тогда
ui(x,0) = Φi(x) = ϕi(x), где x ∈ [0,l], i = 1,2. Из условия ui(0,t) = 0 следует, что функции
Φi(x) должны определяться при x < 0 нечётным образом. Поскольку uix(x,t) = (Φi′(x - t) +
+ Φi′(x + t))/2, uit(x,t) = (-Φi′(x - t) + Φi′(x + t))/2, то -uit(l,t) = -uix(l,t) + Φi′(l - t) и,
следовательно,
-ut(l,t) = -ux(l,t) + Φ′(l - t),
где Φ′(l - t) = (Φ′1(l - t), Φ′2(l - t)). Обозначим g(t) = (g1(t), g2(t)) = u(l, t) = (u1(l, t), u2(l, t)).
Заметим, что
-g′(t) ∈ NC(t)(g(t)) + Φ′(l - t).
Рассмотрим случай, когда 0 ≤ t ≤ l. Тогда Φ′(l-t) = ϕ′(l-t). Введём функцию g0(t), равную
g(t) при 0 ≤ t ≤ l. Получим, что g0(t) - решение задачи
-g′0(t) ∈ NC(t)(g0(t)) + ϕ′(l - t), t ∈ [0,l],
g0(0) = ϕ(l).
(6)
Покажем, что данная задача имеет единственное решение, которое определено для всех t ∈
∈ [0, l].
∫t
Рассмотрим функцию w(t) = g0(t) +
ϕ′(l - s) ds, где
0
∫
t
(∫t
∫
t
)
ϕ′(l - s) ds =
ϕ1′ (l - s)ds, ϕ2′ (l - s)ds
,
0
0
0
∫t
и множество D(t) = C(t)+
ϕ′(l -s) ds. Так как функции ϕi(x) и отображение C(t) удовле-
0
творяют условию Липшица, то отображение D(t) также удовлетворяет условию Липшица (в
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1050
ЗВЕРЕВА
смысле расстояния по Хаусдорфу). Заметим, что NC(t)(g0(t)) = ND(t)(w(t)). Таким образом,
получаем задачу
d
-
w(t) ∈ ND(t)(w(t)), w(0) = ϕ(l) ∈ D(0), t ∈ [0, l].
dt
Согласно теоремам 1 и 2 эта задача имеет единственное решение w(t), определённое на всём
отрезке [0, l]. Функция w(t) удовлетворяет условию Липшица, и её производная почти всюду
ограничена. Тогда задача (6) имеет единственное решение g0(t), где g0(t) ∈ C(t), и g0(t)
также удовлетворяет условию Липшица. Поскольку для i = 1, 2 имеют место равенства
Φi(l - t) + Φi(l + t) = 2gi0(t),
то получаем Φi(x) = 2gi0(x - l) - ϕi(2l - x), где x ∈ [l, 2l]. Заметим, что каждая функция
Φi(x) удовлетворяет условию Липшица на отрезке [l,2l] и имеет почти всюду ограниченную
производную. Таким образом, Φi ∈ W12[l, 2l]. Покажем, что Φi(l - 0) = Φi(l + 0). Имеем
Φi(l - 0) = ϕi(l) и Φi(l + 0) = 2gi0(0) - ϕi(l) = 2ϕi(l) - ϕi(l) = ϕi(l).
Пусть t ∈ [l, 2l]. Определим на данном отрезке функцию g1(t) = g(t). Рассмотрим задачу
d
-
g1(t) ∈ NC(t)(g1(t)) + Φ′(l - t), t ∈ [l,2l],
dt
g1(l) = g0(l).
Так как Φ(l - t) = -ϕ(t - l), то получаем задачу
- g′1(t) ∈ NC(t)(g1(t)) + ϕ′(t - l), t ∈ [l,2l],
g1(l) = g0(l).
Аналогично (6) доказывается, что последняя задача имеет единственное решение g1(t), где
g1(t) ∈ C(t) и g1(t) удовлетворяет условию Липшица. Таким образом, можем определить
Φi(x), где x ∈ [2l,3l], как
Φi(x) = 2gi1(x - l) + ϕi(x - 2l).
Отметим, что Φi ∈W12[2l, 3l]. Покажем, что Φi(2l-0)=Φi(2l+0). Имеем равенства Φi(2l - 0)=
= 2gi0(l) - ϕi(0) = 2gi0(l) и Φi(2l + 0) = 2gi1(l) + ϕi(0) = 2gi0(l).
Аналогично рассмотрим случай, когда t ∈ [2l, 3l]. Определим функцию g2(t) = g(t), где
t ∈ [2l,3l]. Тогда функция g2(t) - решение задачи
d
-
g2(t) ∈ NC(t)(g2(t)) + 2g′0(t - 2l) + ϕ′(3l - t), t ∈ [2l,3l],
dt
g2(2l) = g1(2l).
Теперь можем определить каждую функцию Φi(x) на отрезке x ∈ [3l, 4l] как
Φi(x) = 2gi2(x - l) + 2gi0(x - 3l) - ϕi(4l - x).
Рассмотрим случай t ∈ [3l, 4l]. Определив g3(t) = g(t), получим, что g3(t) - решение
задачи
d
-
g3(t) ∈ NC(t)(g3(t)) + 2g′1(t - 2l) + ϕ′(t - 3l), t ∈ [3l,4l],
dt
g3(3l) = g2(3l),
и при x ∈ [4l, 5l] определим функции
Φi(x) = 2gi3(x - l) + 2gi1(x - 3l) + ϕi(x - 4l).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ЗАДАЧА О ДВУМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ
1051
Покажем, что при x ∈ [(m+1)l, (m+2)l], где m - чётное число, функции Φi(x) имеют вид
∑
Φi(x) = 2
gi2k(x - (m + 1 - 2k)l) - ϕi((m + 2)l - x);
k=0
если же m - нечётное число, то
(m+1)/2∑
Φi(x) = 2
gi2k-1(x - (m + 2 - 2k)l) + ϕi(x - (m + 1)l).
k=1
В свою очередь, функции gm(t), где t ∈ [ml, (m + 1)l], для чётных номеров m ≥ 2 являются
решениями задач
∑
- g′m(t) ∈ NC(t)(gm(t)) + 2
g′2k(t - ml + 2kl) + ϕ′(ml + l - t),
k=0
gm(ml) = gm-1(ml),
а для нечётных m ≥ 3 - решениями задач
(m-1)/2∑
- g′m(t) ∈ NC(t)(gm(t)) + 2
g′2k-1(t - l - ml + 2kl) + ϕ′(t - ml),
k=1
gm(ml) = gm-1(ml).
Для m = 2, 3 утверждение доказано. Предположим, что оно верно для m ≤ M. Проверим
справедливость утверждения для m = M + 1. Рассмотрим случай, когда M - чётное число.
Покажем, что
(M+2)/2∑
Φi(x) = 2
gi2k-1(x - (M + 3 - 2k)l) + ϕi(x - (M + 2)l),
k=1
где x ∈ [(M + 2)l, (M + 3)l]. Определив g(t) = gM+1(t), где t ∈ [(M + 1)l, (M + 2)l], получим
- g′M+1(t) ∈ NC(t)(gM+1(t)) + Φ′(l - t), Φ = (Φ1,Φ2).
Поскольку
M/2∑
Φ′(l - t) = 2
g′2k-1(t - l - (M + 1 - 2k)l) + ϕ′(t - l - Ml),
k=1
то
M/2∑
- g′M+1(t) ∈ NC(t)(gM+1(t)) + 2
g′2k-1(t - 2l - Ml + 2kl) + ϕ′(t - l - Ml).
k=1
Заметим, что
Φ((2 + M)l) - Φ(Ml)
gM+1((M + 1)l) =
2
∑M/2
∑(M-2)/2
Так как Φ((M + 2)l) = 2
g2k(l + 2kl) и Φ(Ml) = 2
g2k(l + 2kl), то
k=0
k=0
gM+1((M + 1)l) = gM ((M + 1)l).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1052
ЗВЕРЕВА
Задача
∑
-g′M+1(t) ∈ NC(t)(gM+1(t)) + 2
g′2k-1(t - 2l - Ml + 2kl) + ϕ′(t - l - Ml),
k=1
gM+1((M + 1)l) = gM ((M + 1)l)
имеет единственное решение gM+1(t), определённое на промежутке [(M + 1)l, (M + 2)l]. По-
скольку
Φ(l - t) + Φ(l + t)
gM+1(t) =
,
2
то
Φi(x) = 2giM+1(x - l) - Φi(2l - x),
где x ∈ [(M + 2)l, (M + 3)l]. Так как
M/2
∑
Φi(2l - x) = -2
gi2k-1(x - 3l - Ml + 2kl) - ϕi(x - 2l - Ml),
k=1
то
M/2∑
Φi(x) = 2giM+1(x - l) + 2
gi2k-1(x - 3l - Ml + 2kl) + ϕi(x - 2l - Ml) =
k=1
(M+2)/2∑
=2
gi2k-1(x - 3l - Ml + 2kl) + ϕi(x - 2l - Ml),
k=1
что и требовалось. Другие случаи рассматриваются аналогично.
Таким образом, получено представление для функций Φi(x), i = 1, 2. Покажем, что функ-
ции ui(x, t), определённые равенством (5), составляют решение задачи (1). Заметим, что ui ∈
∈W12(QT ) для всех T, поскольку Φi(x) непрерывны на всей оси; Φi ∈ W12(ml,(m + 1)l) для
m = 0,1,2,... ; при x < 0 функции Φi(x) определены нечётным образом.
Так как u(l, t) = g(t), где g(t) = gm(t) при t ∈ [ml, (m+1)l], gm(ml) = gm-1(ml) и gm(t) ∈
∈ C(t), то u(l,t) ∈ C(t) для всех t ≥ 0. Также условия ui(0,t) = 0 (i = 1,2) выполнены для
i
∂u
всех t ≥ 0;
(x, 0) = 0 выполнены для п.в. x ∈ [0, l]; ui(x, 0) = ϕi(x) выполнены для всех
∂t
x ∈ [0,l] (i = 1,2).
Поскольку почти всюду справедливы отношения
1
-uix(l,t) = -
(Φi′ (l-t)+Φi′ (l+t)), Φi′ (l+t) = 2gi′ (t)+Φi′ (l-t),
-g′(t) ∈ NC(t)(g(t))+Φ′(l-t),
2
то
- ux(l,t) ∈ NC(t)(u(l,t)).
Покажем теперь, что для i = 1, 2 выполняется интегральное тождество. Интегральное
равенство (4) может быть представлено в виде
∫
l
(∫T
)
∫
T
(∫l
)
ui(x,t)Ψitt(x,t)dt dx -
ui(x,t)Ψixx(x,t)dx dt +
0
0
0
0
T
T
∫l
∫
∫
+ Ψit(x,0)ϕi(x)dx - Ψi(l,t)uix(l,t)dt + Ψix(l,t)ui(l,t)dt =
0
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ЗАДАЧА О ДВУМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ
1053
∫l
∫
l
∫
T
=
[ui(x, T )Ψit(x, T ) - ui(x, 0)Ψit(x, 0)] dx -
uit(x,t)Ψit(x,t)dtdx -
0
0
0
∫T
∫
T
∫
l
∫
l
−
[Ψix(l, t)ui(l, t) - Ψix(0, t)ui(0, t)] dt +
uix(x,t)Ψix(x,t)dxdt + Ψit(x,0)ϕi(x)dx -
0
0
0
0
∫T
∫
T
− Ψi(l,t)uix(l,t)dt + Ψix(l,t)ui(l,t)dt =
0
0
∫T
∫
l
∫
l
∫
T
∫
T
=
uix(x,t)Ψix(x,t)dxdt -
uit(x,t)Ψit(x,t)dxdt - Ψi(l,t)uix(l,t)dt =
0
0
0
0
0
∫
T
∫
l
1
=
[Φi′ (x - t) + Φi′ (x + t)]Ψix(x, t) dx dt -
2
0
0
∫
l
∫
T
∫
T
∑
1
-
[Φi′ (x + t) - Φi′ (x - t)]Ψit(x, t) dt dx -
Ψi(l,t)uix(l,t)dt =
2
0
0
i=1 0
l
l
∫
∫
1
1
=
Ψix(x,T)[-Φi(x - T) + Φi(x + T)]dx -
Ψix(x,0)[-Φi(x) + Φi(x)]dx -
2
2
0
0
T
l
T
∫
∫
∫
1
1
-
Ψixt(x,t)[Φi(x + t) - Φi(x - t)]dxdt -
Ψit(l,t)[Φi(l + t) - Φi(l - t)]dt +
2
2
0
0
0
T
l
T
∫
∫
∫
1
1
+
Ψit(0,t)[Φi(t) - Φi(-t)]dt +
Ψitx(x,t)[Φi(x + t) - Φi(x - t)]dxdt -
2
2
0
0
0
∫T
∫
T
∫
T
1
1
- Ψ(l,t)uix(l,t)dt = -
Ψit(l,t)[Φi(l + t) - Φi(l - t)]dt -
[Φi′ (l - t) + Φi′ (l + t)]Ψi(l, t) dt =
2
2
0
0
0
∫
T
∫
T
1
1
=-
Ψit(l,t)[Φi(l + t) - Φi(l - t)]dt +
Ψit(l,t)[Φi(l + t) - Φi(l - t)]dt = 0.
2
2
0
0
Теорема доказана.
Замечание. Задача (1) имеет единственное решение. Предположим, что ϕ(l) является
внутренней точкой множества C(0). Тогда колебательный процесс осуществляется подобно
процессу для струны с жёстко закреплённым и свободным концами до момента времени t1,
когда происходит соприкосновение с границей множества C(t) (если соприкосновения не про-
исходит, то правый конец струны остаётся свободным всё время). Таким образом, для t ∈ [0, t1]
получаем задачи
∂2ui
∂2ui
=
,
0<x<l,
0<t<t1,
∂x2
∂t2
i
∂u
ui(x,0) = ϕi(x),
(x, 0) = 0,
∂t
ui(0,t) = 0, uix(l,t) = 0,
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1054
ЗВЕРЕВА
где i = 1, 2. Согласно [2] каждая из этих задач имеет единственное решение ui(x, t). Таким
образом, для t ∈ [0, t1] функция u(x, t) однозначно определена.
В момент времени t1 происходит соприкосновение струны с ограничителем, т.е. u(l, t) =
= c(t) = (c1(t), c2(t)), где c(t) ∈ C(t). Таким образом, u1(l, t) = c1(t), u2(l, t) = c2(t). И в
течение временного промежутка [t1, t2] происходит совместное перемещение конца струны с
ограничителем, т.е. функции ui(x, t) являются решением задач
∂2vi
∂2vi
=
,
0<x<l, t1 <t<t2,
∂x2
∂t2
i
∂v
vi(x,t1) = u(x,t1),
(x, t1) = u′t(x, t1),
∂t
vi(0,t) = 0, vi(l,t) = ci(t).
Согласно [2] каждая из этих задач также имеет единственное решение ui(x, t), где t ∈ [t1, t2].
Продолжая аналогичные рассуждения, получаем, что исходная задача может иметь лишь
единственное решение.
4. Задача граничного управления. Рассмотрим теперь задачу граничного управления
колебательным процессом
∂2u
∂2u
=
,
0<x<l,
0<t<T,
∂x2
∂t2
∂u
u(x, 0) = ϕ(x),
(x, 0) = 0,
∂t
∂u
−
(l, t) ∈ NC(t)(u(l, t)), u(0, t) = μ(t).
(7)
∂x
Требуется найти функцию μ(t) = (μ1(t), μ2(t)), где μi(t) ∈ W12[0, T ], такую, что
u(x, T ) = ϕ∗(x), ut(x, T ) = ψ∗(x),
где ϕ∗i ∈ W12[0, l], ψ∗i ∈ L2[0, l], i = 1, 2, - заданные функции. Предполагаем, что функции
ϕi(x) и отображение C(t) удовлетворяют условию Липшица на своих областях определения.
Решением задачи (7) будем называть функцию u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t)) такую, что:
1) ui(x, t) ∈W12(QT ), i = 1, 2;
2) для всех 0 ≤ t ≤ T выполнены условия u(l, t) ∈ C(t), ui(0, t) = μi(t);
∂u
3) для п.в. 0 ≤ t ≤ T выполнено условие -
(l, t) ∈ NC(t)(u(l, t));
∂x
i
∂u
4) условия ui(x, 0) = ϕi(x) выполнены для всех x ∈ [0, l], а условия
(x, 0) = 0 выпол-
∂t
нены для п.в. x ∈ [0, l], i = 1, 2;
5) для i = 1, 2 выполняются интегральные равенства
∫
l
∫
T
]
∫
l
[∂2Ψi
∂2Ψi
∂Ψi
ui(x,t)
(x, t) -
(x, t) dx dt +
(x, 0)ϕi(x) dx +
∂t2
∂x2
∂t
0
0
0
∫T
[
]
∫
T
∂Ψi
∂ui
∂Ψi
+
ui(l,t)
(l, t) - Ψi(l, t)
(l, t) dt -
(0, t)μi(t) dt = 0,
∂x
∂x
∂x
0
0
где произвольные функции Ψi ∈W22(QT ), i = 1, n, такие, что Ψi(0, t) = 0, Ψi(x, T ) = 0,
∂Ψi
(x, T ) = 0.
∂t
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ЗАДАЧА О ДВУМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ
1055
Рассмотрим случай, когда T < l.
Теорема 4. Для T < l решение задачи (7) определено единственным образом. Функции
μi(t) должны иметь вид
1
μi(t) =
(ϕi(t)
ψ∗i(T - t) + ϕ∗i(T - t)).
2
При этом для всех i = 1,2 начальные и финальные данные должны быть связаны между
собой равенствами
ψ∗i(x) - ϕ∗i(x) + ϕi(x - T) ≡ 0, T ≤ x ≤ l,
ψ∗i(x) + ϕ∗i(x) - ϕi(x + T) ≡ 0,
0≤x≤l-T,
ψ∗i(x) + ϕ∗i(x) - 2gi0(T + x - l) + ϕi(2l - x - T) ≡ 0, l - T ≤ x ≤ l.
Здесь для каждого i = 1, 2 через
ψ∗i обозначена первообразная для функции ψ∗i, удовлетво-
ряющая равенству
ψ∗i(x0) - ϕ∗i(x0) + ϕi(x0 - T) = 0,
x0 ∈ [T,l] - фиксированная точка; g0(t) = (g10(t),g20(t)) - решение задачи (6).
Доказательство. Введём функции
{
μi(t), t ≥ 0,
μi(t) =
i = 1,2.
0,
t < 0,
Обозначим через v(x, t) = (v1(x, t), v2(x, t)) решение задачи (1). Аналогично теореме 3 непо-
средственной проверкой устанавливается, что ui(x, t) = μi(t - x) + vi(x, t), i = 1, 2, - решение
задачи (7). Таким образом, получаем равенство
Φi(x - t) + Φi(x + t)
ui(x,t) = μi(t - x) +
2
Тогда
Φi(x - T) + Φi(x + T)
μi(T - x) +
= ϕ∗i(x)
2
и, следовательно,
Φi′(x + T) + Φi′(x - T)
- μi′(T - x) +
= ϕ∗i′(x).
(8)
2
С другой стороны,
Φi′(x + T) - Φi′(x - T)
μi′(T - x) +
= ψ∗i(x).
(9)
2
Вычитая из (9) равенство (8), получаем
2μi′(T - x) - Φi′ (x - T ) = ψ∗i(x) - ϕ∗i′(x).
(10)
Рассмотрим случай, когда T ≤ x ≤ l. Воспользовавшись представлениями для функций
μi и Φi, имеем
ψ∗i(x) - ϕ∗i(x) + ϕi(x - T) ≡ 0, T ≤ x ≤ l,
где первообразную
ψ∗i(x) функции ψ∗i(x) выберем так, чтобы она удовлетворяла равенству
ψ∗i(x0) - ϕ∗i(x0) + ϕi(x0 - T) = 0,
где x0 ∈ [T, l] - фиксированная точка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
4∗
1056
ЗВЕРЕВА
Рассмотрим равенство (10) для 0 ≤ x ≤ T :
2μi(T - x) = ϕi(T - x)
ψ∗i(x) + ϕ∗i(x),
откуда для всех 0 ≤ t ≤ T найдём μi(t) = (ϕi(t)
ψ∗i(T -t)+ϕ∗i(T -t))/2. Сложив (8) и (9),
получим соотношение Φi′ (x + T ) = ψ∗i(x) + ϕ∗i′(x).
Рассмотрим случай, когда l - T ≤ x ≤ l. Воспользовавшись полученными в теореме 3
представлениями для функций Φi, имеем тождество
ψ∗i(x) + ϕ∗i(x) - 2gi0(T + x - l) + ϕi(2l - x - T) ≡ 0.
Если же 0 ≤ x ≤ l - T, т
ψ∗i(x) + ϕ∗i(x) - ϕi(x + T) ≡ 0. Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства просвещения Российской
Федерации в рамках выполнения государственного задания в сфере науки (проект QRPK-
2023-0002).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи
мат. наук. 2005. Т. 60. № 6 (366). С. 89-114.
2. Ильин В.А. Избранные труды: в 2-х т. M., 2008.
3. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщённого
решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 11.
С. 1513-1528.
4. Моисеев Е.И., Холомеева А.А., Фролов А.А. Граничное управление смещением процессом колеба-
ний при граничном условии типа торможения за время, меньшее критического // Итоги науки и
техники. Сер. Соврем. математика и её приложения. 2019. Т. 160. С. 74-84.
5. Ильин В.А., Кулешов А.А. Об эквивалентности двух определений обобщённого из класса Lp реше-
ния смешанной задачи для волнового уравнения // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2014. Т. 284.
С. 163-168.
6. Моисеев Е.И., Холомеева А.А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце стру-
ны при заданной упругой силе на другом конце // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.
2011. Т. 17. № 2. С. 151-158.
7. Никитин А.А. Граничное управление третьим краевым условием // Автоматика и телемеханика.
2007. № 2. С. 120-126.
8. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управляемости упругих колебаний последовательно соединённых
объектов с распределёнными параметрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011.
Т. 17. № 1. С. 85-92.
9. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Наблюдаемость колебаний сети из связанных объектов с распре-
делёнными и сосредоточенными параметрами в точке соединения // Вестн. С.-Петербург. ун-та.
Сер. 10. Прикл. математика. Информатика. Процессы управления. 2011. № 1. С. 142-146.
10. Боровских А.В. Формулы граничного управления неоднородной струной // Дифференц. уравнения.
2007. Т. 43. № 1. С. 64-89.
11. Провоторов В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн
// Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. математика. Информатика. Процессы управления.
2012. № 1. С. 62-71.
12. Zvereva M. A two-dimensional model of string deformations with a nonlinear boundary condition // J.
of Nonlin. and Convex Anal. 2022. V. 23. № 12. P. 2775-2793.
13. Kamenskii M., Liou Y.C., Wen Ch.-F., Zvereva M. On a hyperbolic equation on a geometric graph with
hysteresis type boundary conditions // Optimization: J. of Math. Program. and Oper. Res. 2020. V. 69.
№ 2. P. 283-304.
14. Kunze M., Monteiro Marques M. An introduction to Moreau’s sweeping process // Lect. Notes in Phys.
2000. V. 551. P. 1-60.
Воронежский государственный университет
Поступила в редакцию 06.05.2023 г.
После доработки 06.05.2023 г.
Принята к публикации 20.07.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
