ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1057-1069

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.223+517.575

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ

Определяется элементарное решение полигармонического уравнения, с помощью которого

приводится явное представление функции Грина задачи Дирихле для полигармоническо-

го уравнения в единичном шаре при всех размерностях пространства, за исключением

некоторого конечного множества. На основе полученной функции Грина строится реше-

ние однородной задачи Дирихле в единичном шаре. В качестве примера найден явный вид

решения однородной задачи Дирихле для неоднородного полигармонического уравнения

при простейшей полиномиальной правой части.

DOI: 10.31857/S0374064123080058, EDN: IOCEKI

Введение. Явный вид функций Грина для разных краевых задач представлен во мно-

гих работах. Приведём только некоторые из них. Например, в двумерном случае в [1] на

основании известной гармонической функции Грина представлены функции Грина различ-

ных бигармонических задач. Явный вид функции Грина для 3-й краевой задачи был найден

в работах [2-4], а функции Грина в секторе для бигармонического и 3-гармонического урав-

нений - в работах [5, 6]. Статьи [7-9] посвящены построению функции Грина задачи Дирихле

для полигармонического уравнения в единичном шаре, а в работе [10] находятся решения за-

дач Дирихле и Неймана для однородного полигармонического уравнения. В [11-13] приведён

явный вид функций Грина для бигармонического и 3-гармонического уравнений в единичном

шаре. В связи с бигармоническим уравнением отметим работы [14, 15], посвящённые услови-

ям разрешимости некоторых нестандартных задач в шаре для бигармонического уравнения.

В качестве наиболее общих результатов по обобщённой задаче Неймана, содержащей степени

нормальных производных в граничных условиях, отметим статью [16].

В работе [17] на основании интегрального представления функций u ∈ C⁴(D)

^⋂C³( D)

даются интегральные представления решений задач Навье [18] и Рикье-Неймана [19] для би-

гармонического уравнения в единичном шаре, а также строятся функции Грина этих задач.

В статьях [20, 21] эти результаты используются для полигармонического уравнения. Функция

Грина применяется также и для исследования нелокальных уравнений. Например, в работе [22]

исследована разрешимость четырёх краевых задач для одного нелокального бигармоническо-

го уравнения с инволюцией. Отметим также работы [23-26], где построены функции Грина

различных краевых задач . Применение функций Грина в задачах механики и физики можно

найти в работах [27, 28].

Хорошо известно (см., например, [29, с. 50]), что функция Грина задачи Дирихле для

уравнения Пуассона в шаре S = {x ∈ Rⁿ : |x| < 1} при n ≥ 2 имеет вид

(

)

G₂(x,ξ) = E(x,ξ) - E

, |x|ξ

(1)

|x|

где

⎧

⎨ 1

|x - ξ|2-n, n > 2,

E(x, ξ) =

n-2

(2)

⎩

− ln |x - ξ|,

n = 2,

1057

1058

КАРАЧИК

– элементарное решение уравнения Лапласа. По аналогии с этим в работе [11] было определено

элементарное решение

⎧

⎪

|x - ξ|4-n, n > 4, n = 3,

⎪

⎪2(n - 2)(n - 4)

⎨

E₄(x,ξ) =

ln |x - ξ|,

n = 4,

(3)

⎪

x-ξ|²

⎩^|

(ln |x - ξ| - 1),

n = 2,

бигармонического уравнения и доказано, что при n ≥ 3 функция вида

(

)

(

)

|x|² - 1 |ξ|² - 1

G₄(x,ξ) = E₄(x,ξ) - E₄

, |x|ξ

(4)

|x|

является функцией Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре S. Далее,

в статье [13] была введена функция

⎧

|x - ξ|6-n

⎪

n ≥ 3, n = 4,6,

⎪2 · 4(n - 2)(n - 4)(n - 6)

⎪

⎨−

ln |x - ξ|,

n = 6,

E₆(x,ξ) =

(

)

(5)

⎪|x - ξ|2

⎪

ln |x - ξ| -

n = 4,

⎪

(

)

⎪

^⎩-|x-ξ|4

ln |x - ξ| -

n = 2,

которая, по аналогии с функциями E(x, ξ) из (2) и E₄(x, ξ) из (3), названа элементар-

ным решением 3-гармонического уравнения. При ξ = x справедливо равенство Δ_ξE₆(x,ξ) =

= -E₄(x,ξ). Функция Грина в этом случае при n ≥ 3 и n = 4 представлена в виде

(

)

(

)

1 |x|² - 1 |ξ|² - 1

G₆(x,ξ) = E₆(x,ξ) - E₆

, |x|ξ

E₄

, |x|ξ

|x|

(

)

1 (|x|² - 1)

(|ξ|² - 1)²

, |x|ξ

|x|

В настоящей работе исследуется представление решений однородной задачи Дирихле для

полигармонического уравнения в единичном шаре S = {x ∈ Rⁿ : |x| < 1}

Δ^mu(x) = f(x), x ∈ S,

(6)



∂u

∂m-1u



u|_∂S = 0,

= 0, . . . ,

= 0.

(7)



∂ν

∂νm-1

∂S

В статье [7] показано, что функция Грина G2m(x, ξ) этой задачи имеет вид (формула

Боджио)

∫

G2m(x,ξ) = k_m|x - ξ|2m-n

(t² - 1)m-1t1-n dt,

где



 x



g(x, ξ) =

|x|ξ

k_m =

^,

|x - ξ| |x|-

ω_n((2m - 2)!)²

а в [30] построена функция G2m(x,ξ) в случае n = 2. В работе [9] находится явное представ-

ление функции G2m(x, ξ) в зависимости от чётности n и положительности величины 2m-n.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

1059

1. Элементарное решение. Пусть m ∈ N. Тогда множество N \ {1} можно разбить на

два непересекающихся множества N_m = {n ∈ N : n > 2m > 1}

^⋃ (2N + 1) и дополнение к нему

N^cm = {2,4,... ,2m}. Поскольку множество N^cm конечное, то N_m бесконечное. Очевидно, что

Ncm-1 ⊂ N^cm, а поэтому N_m ⊂ Nm-1. Определим элементарное решение m-гармонического

уравнения Δ^mu = 0 в виде

⎧

(-1)^m|x - ξ|2m-n

⎪

n∈N_m,

⎨(2 - n, 2)m(2, 2)m-1

E2m(x,ξ) =

(

)

(8)

m-n/2∑

∑

⎪

(-1)^m|x - ξ|2m-n

⎪

ln |x - ξ| -

n∈N^cm,

⎩(2-n,2)∗

(2, 2)m-1

k=1

k=n/2

где (a, b)_k = a(a + b) · · · (a + kb - b) - обобщённый символ Похгаммера с соглашением (a, b)₀ =

= 1, а символ (a, b)^∗k означает, что если среди сомножителей a, (a + b), . . . , (a + kb - b),

входящих в (a, b)_k, есть 0, то его следует заменить на 1, например, (-2, 2)∗3 = (-2) · 1 · 2 = -4.

Кроме того, если в суммах, входящих в (8), верхний индекс становится меньше нижнего, то

сумма считается равной нулю.

Замечание 1. В работе [21] установлено, что функция E2m(x, ξ) совпадает с элементар-

ными функциями из (2), (3) и (5) при m = 1, m = 2 и m = 3 соответственно.

Замечание 2. Элементарная функция E2m(x, ξ) незначительно отличается от фундамен-

тального решения полигармонического уравнения G_m,n(x), рассматриваемого С.Л. Соболе-

вым [31, c. 521]. При n ∈ N_m отличие в множителе (-1)^m, а при n ∈ N^cm различие более

заметно. Это связано со следующим ниже свойством функции E2m(x, ξ), которого у функций

Gm,n(x) при n ∈ N^m нет.

Введём обозначения

(

)



²



E^∗

(x, ξ) = E2m

- |x|ξ

h(x, ξ) = |x - ξ|², h_∗(x, ξ) =^

- |x|ξ

(9)



|x|

Очевидно, что h(x, ξ) и h_∗(x, ξ) - многочлены второго порядка. Относительно функций

E2m(x,ξ) и E∗2m(x,ξ) необходимы некоторые утверждения.

Лемма 1. 1. Симметричая функция E2m(x, ξ), определённая при x = ξ, удовлетворяет

равенствам

Δ_xE2m(x,ξ) = -E2(m-1)(x,ξ), Δ_xE₂(x,ξ) = 0.

2. Симметричная функция E∗2m(x, ξ) при x ∈ S и ξ

S удовлетворяет равенствам

Δ_xE∗2m(x,ξ) = -|ξ|²E∗2m-2(x,ξ), Δ_xE∗2(x,ξ) = 0,

а значит, является m-гармонической по x ∈ S при ξ

Доказательство. Первая часть утверждения леммы доказана в [20, лемма 2.1]. Для дока-

зательства второй части заметим, что |x/|x|-|x|ξ| ≥ |x/|x||-|x||ξ| = 1-|x||ξ| ≥ 1-|x| > 0 при

x ∈ S, ξ

S, и значит, функция E∗2m(x,ξ) определена и дифференцируема при заданных

значениях x и ξ. Симметричность E∗2m(x, ξ) следует из равенства |x/|x| - |x|ξ|² = 1 - 2xξ +

+|x|²|ξ|² = |ξ/|ξ| - |ξ|x|². Далее нетрудно видеть, что

(

)

(

)

∂

-x|ξ| +

= -|ξ|f_i

-x|ξ| +

∂x_i

|ξ|

где f_i(x) - производная функции f(x) по i-й переменной. При f(x) = |x|2m-n(c₁ ln |x| +

+c₂) производная f_i(x) существует, если |x| > 0. В нашем случае |x/|x|-|x|ξ| > 0, а значит,

производные любого порядка функции f(x) существуют. Поэтому в силу первого утверждения

леммы

ΔE∗2m(x,ξ) = Δ(E2m(-x|ξ| + ξ/|ξ|)) = (-|ξ|)²Δ(E2m(-x|ξ| + ξ/|ξ|)) = -|ξ|²E∗2m-2(x,ξ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1060

КАРАЧИК

Отсюда также следует, что Δ_xE∗2(x, ξ) = 0. Второе утверждение леммы доказано.

Исследуем произведение полигармонических функций. Известно, что произведение гармо-

нических функций может быть как гармонической функцией, так и функцией, которая не

m-гармоническая ни при каком m ∈ N, например, uv и u² при u(x₁, x₂) = ex1 cos x₂,

v(x₁, x₂) = ex1 sin x₂. Кроме того, по известной формуле Альманси функция |x|2m-2u(x) яв-

ляется m-гармонической функцией, если u(x) - гармоническая. Введём оператор

∑

Λu(x) = x_iuxi ,

(10)

i=1

для которого верно равенство ΔΛu = (Λ + 2)Δu. Из этого равенства следует, что Δ^mΛu =

= (Λ+2m)Δ^mu, а поэтому, если функция u(x) является m-гармонической, функция Λu тоже

m-гармоническая, хотя в её представлении есть слагаемые вида x_iuxi .

Для следующего результата необходима небольшая модификация метода математической

индукции:

Утверждение. Пусть даны утверждения A_n,m при n, m ∈ N и для них выполнены

следующие условия:

1) утверждения An,1 и A1,m верны при n, m ∈ N;

2) из справедливости утверждений An-1,m и An,m-1, индекс которых принадлежит N²,

следует справедливость A_n,m.

Тогда утверждения A_n,m верны при всех n, m ∈ N.

Доказательство. Пусть при выполненных условиях 1) и 2) найдутся утверждения A_n,m,

которые не верны. Выберем среди них такое A_n∗_,m∗ , у которого сумма индексов n^∗ + m^∗

наименьшая. По условию 1) для A_n∗_,m∗ не может быть ни n^∗ = 1, ни m^∗ = 1. Тогда по усло-

вию 2) не должно быть выполнено либо утверждение A_n∗-1,m∗ , либо утверждение A_n∗_,m∗-1.

Для этих утверждений сумма индексов равна n^∗ + m^∗ - 1, чего не может быть по выбору

утверждения A_n∗_,m∗ . Значит все утверждения A_n,m верны. Утверждение доказано.

Лемма 2. Пусть k₁, k₂ ∈ N₀, k₃ ∈ N и k = k₁ + k₂ + k₃. Тогда функция

hk1 (x,ξ)hk2∗(x,ξ)E²k (x,ξ)₃

является k-гармонической по x ∈ S при ξ

Доказательство. 1^◦. Докажем, что функция Fk2,k₃ (x, ξ) ≡ h∗2 (x, ξ)E2k3 (x, ξ) при k2 ∈

∈ N₀, k₃ ∈ N является (k₂+k₃)-гармонической по x ∈ S. Пусть сначала n ∈ Nk2+k₃. Нетрудно

видеть, что в этом случае n ∈ Nk3 , и тогда из (8) получим

Fk₂,k₃ (x, ξ) = Ck₃ h∗3-n/2+k2 (x, ξ) =Ck3 E²k₂+2k₃ (x, ξ),C

k₂+k₃

где Ck3 - числовой коэффициент при |x - ξ|2k3-n в E2k3 , когда n ∈ Nk3 . Поэтому, в силу

леммы 1, функция Fk2,k₃ (x, ξ) является (k2 + k3)-гармонической по x ∈ S. Если же n ∈

∈ Nck2+k₃,ноn∈Nk3,тонайдётсянатуральноеsтакое,чтоk3+1≤s≤k2+k3и2s=n.

В этом случае

Fk₂,k₃ (x, ξ) = Ck₃ h∗3+k2-s(x, ξ).

Далее нетрудно подсчитать, что



 x

^α

 x

α-2



Δ^

- |x|ξ

= α(α + n - 2)|ξ|²

|x|ξ

(11)



|x|

^ |x|-

и поскольку 1 ≤ k₃ + k₂ - s + 1 ≤ k₂, то полином Fk2,k₃ (x, ξ) будет (k2 + 1)-гармоническим

по x ∈ S. Так как k₂ + 1 ≤ k₂ + k₃, то утверждаемое верно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

1061

Пусть теперь n ∈ Nck3 . Тогда найдётся натуральное s ≤ k₃ такое, что 2s = n, а поэтому

полином hk3-s∗(x, ξ), аналогично предыдущему случаю, является (k₃ - s + 1)-гармоническим.

Из формулы (8) найдём

E∗2k

(x, ξ) = Ck3 hk3-s∗(x, ξ) ln |x/|x| - |x|ξ| - Ck3 Lk3 hk3-s∗(x, ξ),

где Ck3 - числовой множитель при |x - ξ|2k3-n, а Lk3 - числовое слагаемое при логарифме в

E2k3 , когда n ∈ N^c . Поэтому_k

Fk₂,k₃ (x, ξ) = Ck₃ h∗3+k2-s(x, ξ) ln |x/|x| - |x|ξ| - Ck₃ Lk₃ h∗3+k2-s(x, ξ).

Так как n ∈ N^c

, то из (8) следует

k₂+k₃

hk2+k3-s∗(x,ξ)ln |x/|x| - |x|ξ| = C-1k

E∗2k

(x, ξ) + Lk2+k₃ h∗2+k3-s(x, ξ)

2+k3

2+2k3

и, значит,

Fk₂,k₃ (x, ξ) = Ck₃ Ck12+k₃ E²k2+2k3(x,ξ)+Ck3(Lk2+k3^-Lk3)h∗2+k3-s(x,ξ).

Первое слагаемое в полученном равенстве согласно лемме 1 является (k₂ + k₃)-гармонической

функцией по x ∈ S, а второе слагаемое - (k₂ + k₃ - s + 1)-гармоническим полиномом. Так как

s ≥ 1, то утверждение 1^◦ выполнено.

2◦. Теперь докажем, что функция Gk1,k′₂ (x, ξ) = hk1 (x, ξ)Fk′₂ (x, ξ), где Fk′ (x, ξ) - произ-₂

вольная k′2-гармоническая функция по x ∈ S и k₁ ∈ N₀, k′2 ∈ N, является (k₁ + k′2)-гар-

монической по x ∈ S. Доказательство проведём методом индукции, сформулированном выше

в утверждении, по двум индексам k₁ ∈ N₀ и k′2 ∈ N.

1. Если k₁ = 0, то G0,k′

(x, ξ) = F_k′

(x, ξ), и значит, G0,k′

(x, ξ) является k′2-гармонической

по условию. Если k′2 = 1, то Gk1,1(x, ξ) = hk1 (x, ξ)F1(x, ξ), и поскольку h(x, ξ) = |x - ξ|², то

согласно формуле Альманси функция Gk1,1(x, ξ) является (k1 + 1)-гармонической.

2. Предположим, что функции вида hk1-¹(x, ξ)F_k′

(x, ξ) и hk1 (x, ξ)F_k′-1(x,ξ) являются

(k₁ + k′2 - 1)-гармоническими по x ∈ S. Так как ввиду (9)

∂

hk1 (x,ξ) = 2k₁(x_i - ξ_i)hk1-¹(x,ξ),

∂x_i

то, использовав оператор Λ из (10), получим

∑

∂F_k′ (x,ξ)

Δ_xGk1,k′2(x,ξ) = Fk′2 (x,ξ)Δxhk1 (x,ξ) + 4k1hk1-¹(x,ξ)

(x_i - ξ_i)

∂x_i

i=1

+ hk1(x,ξ)Δ_xF_k′

(x, ξ) = 2k₁(2k₁ + n - 2)hk1-¹(x, ξ)F_k′ (x, ξ) +

+ 4k₁hk1-¹(x, ξ)(Λ_xF_k′

(x, ξ) - ξ · ∇_xF_k′

(x, ξ)) + hk1 (x, ξ)Δ_xF_k′ (x, ξ).

(12)

В последнем равенстве было использовано тождество, аналогичное (11):

Δ_xhk1 (x,ξ) = 2k₁(2k₁ + n - 2)hk1-¹(x,ξ).

По предположению индукции и свойству оператора Λ каждое слагаемое в правой части

(12) является (k₁ + k′2 - 1)-гармонической функцией по x ∈ S. Поэтому функция Gk1,k′ (x, ξ)₂

будет (k₁ + k′2)-гармонической по x ∈ S. Теперь выберем F_k′

(x, ξ) = Fk2,k₃ (x, ξ), где k² =

= k₂ + k₃. Это возможно, поскольку, во-первых, по лемме 1 функция F₁(x,ξ) = F0,1(x,ξ) =

= E∗2(x,ξ) гармоническая по x ∈ S, а во-вторых, по утверждению 1◦ леммы функция

Fk₂,k₃ (x, ξ) является k²-гармонической по x ∈ S, когда ξ

S. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1062

КАРАЧИК

2. Функция Грина. Исследуем случай, когда n ∈ Nm-1, т.е. для почти всех n, за ис-

ключением конечного множества Ncm-1. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Функция Грина G2m(x, ξ) задачи Дирихле (6), (7) при n ∈ Nm-1 может

быть записана в виде суммы элементарного решения E2m(x,ξ) и m-гармонической функции

(

)

∑

(|x|² - 1)^k(|ξ|² - 1)^k

G2m(x,ξ) = E2m(x,ξ) -

E2m-2k

, |x|ξ

(13)

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k

|x|

k=0

Функция G2m(x, ξ) является m-гармонической по x ∈ S, x = ξ

S, и удовлетворяет

равенствам



∂G2m(x,ξ)

∂m-1G2m(x,ξ)



G2m(x,ξ)|_x∈∂S = 0,

= 0, . . . ,

= 0, ξ ∈ S.

(14)



∂ν

∂νm-1

x∈∂S

Доказательство. 1. Нетрудно видеть, что при m = 1 из (13), учитывая обозначения (9),

равенство E(x, ξ) = E₂(x, ξ) и условие (a, b)₀ = 1, следует формула (1), а при m = 2 из (13)

получаем

(|x|² - 1)(|ξ|² - 1)

G₄(x,ξ) = E₄(x,ξ) - E∗4(x,ξ) -

E∗2(x,ξ),

2·2

что совпадает с (4) при n ≥ 3. Если же m = 3, то (13) даёт

(|x|² - 1)(|ξ|² - 1)

(|x|² - 1)²(|ξ|² - 1)

G₆(x,ξ) = E₆(x,ξ) - E∗6(x,ξ) -

E∗4(x,ξ) -

E∗2(x,ξ),

4·2

8·8

что соответствует функции G₆(x, ξ).

2. Проверим m-гармоничность функции G2m(x, ξ) из (13) по x ∈ S, x = ξ

S. Для этого

заметим, что в соответствии с обозначениями (9) верны равенства

h_∗(x,ξ) - h(x,ξ) = 1 - 2x · ξ + |x|²|ξ|² - |x|² + 2x · ξ - |ξ|² = (|x|² - 1)(|ξ|² - 1),

а поэтому формулу (13) можно записать в виде

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

G2m(x,ξ) = E2m(x,ξ) -

E∗2m-2k(x,ξ).

(15)

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k

k=0

В силу леммы 1 достаточно проверить m-гармоничность функций под знаком суммы в (15),

но это сразу следует из леммы 2.

3. Теперь проверим выполнение граничных условий (14). Внешняя единичная нормальная

производная к сфере радиуса |x| < 1 от функции G2m(x, ξ) равна

∑

∂G2m(x,ξ)

x_i ∂G2m(x,ξ)

Λ_xG2m(x,ξ),

∂ν_x

|x|

∂x_i

|x|

i=1

поэтому

(

)

∂²G2m(x,ξ)

Λ_x(-1 + Λ_x)G2m(x,ξ).

∂ν2x

|x|

Λ_x |x|Λx G2m(x,ξ)=

|x|²

Значит, используя обозначение Λ[k] = Λ(Λ - 1) · · · (Λ - k + 1), можно записать

(

)_k

∂^kG2m(x,ξ)

Λ_x G2m(x,ξ) =

∂ν^kx

|x|

Λ_x(Λ_x - 1)··· (Λ_x - k + 1)G2m(x,ξ) =

Λ[k]xG2m(x,ξ).

(16)

|x|^k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

1063

Таким образом, для выполнения граничных условий (14) нужно доказать справедливость

равенств

G2m(x,ξ)|_x∈∂S = 0, Λ_xG2m(x,ξ)|_x∈∂S = 0, ... , Λ[m-1]xG2m(x,ξ)|_x∈∂S = 0.

Нетрудно видеть, что эти равенства эквивалентны следующим:

G2m(x,ξ)|_x∈∂S = 0, Λ_xG2m(x,ξ)|_x∈∂S = 0, ... , Λm-1xG2m(x,ξ)|_x∈∂S = 0.

(17)

Докажем, что они верны, а значит, выполняются и граничные условия (14). Если в (15) по-

ложить x ∈ ∂S, т.е. |x| = 1, то при ξ ∈ S, учитывая, что E2m(x, ξ) = E∗2m(x, ξ) и h(x, ξ) =

= h_∗(x,ξ) на ∂S, получаем



E2m(x,ξ)



G2m(x,ξ)|_x∈∂S = E2m(x,ξ)|_x∈∂S -

(18)



(2m - 2, -2)₀(2, 2)₀

x∈∂S

для любого m ≥ 1.

Исследуем другие граничные условия из (17). Верно равенство

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

Λ_xG2m(x,ξ) = Λ_xE2m(x,ξ) -

Λ_xE∗2m-2k(x,ξ) -

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k

k=0

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))k-1

kΛ_x(h_∗(x,ξ) - h(x,ξ))

E∗2m-2k(x,ξ).

(19)

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k

k=1

Рассмотрим последний член в первой сумме в (19), имеющий вид

m-1

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))

εm-2(x) ≡

Λ_xE∗2(x,ξ).

(2m - 2, -2)m-1(2, 2)m-1

По лемме 2 эта функция m-гармоническая в S. Поскольку h_∗(x, ξ) = h(x, ξ) при x ∈ ∂S, то

после применения к функции εm-2(x) операторов Λ^kx, k = 0, m - 2, пределы при x → ∂S

всех полученных при этом функций обратятся в нуль. Нижний индекс у εm-2(x) указыва-

ет на максимальный порядок оператора Λ_x, при котором это свойство выполнено. Поэтому

в дальнейшем изложении все функции, обладающие таким свойством, будем обозначать как

εm-2(x). Эти функции на выполнение граничных условий (17) не влияют. Кроме того, заме-

тим, что при n ∈ N_m, в соответствии с (8), верны равенства

(-1)^m|x - ξ|2m-n

(-1)^m

Λ_xE2m(x,ξ) = Λ_x

Λ_xhm-n/2(x,ξ) =

(2 - n, 2)_m(2, 2)m-1

-E2m-2(x,ξ)

Λ_xh(x,ξ)

= (m - n/2)

Λ_xh(x,ξ) = -

E2m-2(x,ξ).

(2m - n)(2m - 2)

2(2m - 2)

Если же n = 2m, то опять, в соответствии с (8), имеем

(-1)^m ln |x - ξ|

(-1)^m

Λ_xE2m(x,ξ) = Λ_x

Λ_x ln h(x,ξ) =

(2 - 2m, 2)^∗m(2, 2)m-1

(-1)m-1(2, 2)m-1(2, 2)m-1 2

-E2m-2(x,ξ)

Λ_xh(x,ξ)

Λ_xh(x,ξ) = -

E2m-2(x,ξ).

2(2m - 2)

Аналогично проделанным вычислениям нетрудно получить для n ∈ Nm-1

Λ_xh_∗(x,ξ)

Λ_xE∗2m(x,ξ) = -

E∗2m-2(x,ξ).

2(2m - 2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1064

КАРАЧИК

Исходя из сказанного, равенство (19) запишем в виде

Λ_xh(x,ξ)

Λ_xG2m(x,ξ) = -

E2m-2(x,ξ) +

2(2m - 2)

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k Λ_xh_∗(x, ξ)

E∗2m-2k-2(x,ξ) + εm-2(x) -

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k 2(2m - 2k - 2)

k=0

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

(k + 1)Λ_x(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))

E∗2m-2k-2(x,ξ).

(20)

(2m - 2, -2)k+1(2, 2)k+1

k=0

Заметим, что в последней сумме была сделана замена индекса k → k + 1. Объединив две

последние суммы, имеющие одинаковые верхние и нижние индексы, в одну сумму

(

)

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

Λ_xh_∗(x,ξ)

(k + 1)Λ_x(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))

E∗2m-2k-2(x,ξ)

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k

2(2m - 2k - 2)

(2m - 2k - 2)(2k + 2)

k=0

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

Λ_xh(x,ξ)

E∗2m-2k-2(x,ξ),

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k 2(2m - 2k - 2)

k=0

а затем использовав равенство

(2m - 2, -2)k+1 = (2m - 2, -2)_k(2m - 2k - 2) = (2m - 2)(2m - 4, -2)_k ,

запишем

∑

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

E∗2m-2k-2(x,ξ).

2(2m - 2)

(2m - 4, -2)_k(2, 2)_k

k=0

Таким образом, (20) преобразуется к виду

Λ_xh(x,ξ)

Λ_xG2m(x,ξ) = -

E2m-2(x,ξ) +

2(2m - 2)

∑

Λ_xh(x,ξ)

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

E∗2(m-1)-2k(x,ξ) + εm-2(x),

2(2m - 2)

(2(m - 1) - 2, -2)_k(2, 2)_k

k=0

откуда получаем

Λ_xh(x,ξ)

Λ_xG2m(x,ξ) = -

G2m-2(x,ξ) + εm-2(x).

(21)

4(m - 1)

Отсюда сразу следует, что

Λ2xh(x,ξ)

Λ_xh(x,ξ)

Λ2xG2m(x,ξ) = -

G2m-2(x,ξ) -

Λ_xG2m-2(x,ξ) + Λ_xεm-2(x).

4(m - 1)

В силу равенства (21), взятого при m = m - 1, и с учётом равенств

Λ_xh(x,ξ)

Λ_xεm-2(x) = εm-3(x),

εm-3(x) = εm-3(x),

4(m - 1)

а также εm-3(x) + εm-3(x) = εm-3(x), можем записать

Λ2xh(x,ξ)

(Λ_xh(x, ξ))

Λ2xG2m(x,ξ) = -

G2m-2(x,ξ) +

G2m-4(x,ξ) + εm-3(x).

4(m - 1)

4²(m - 1)(m - 2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

1065

Основываясь на этом соотношении и учитывая (21), предположим, что при некотором

1 < k < m - 1 верно равенство

∑

Λk-1xG2m(x,ξ) =

g(k-1)2i(x,ξ)G2m-2i(x,ξ) + ε_m-k(x),

i=1

где g(k)2i(x, ξ) - некоторые полиномы степени 2i от x. Например,

(Λ_xh(x, ξ))

g⁽¹⁾²(x,ξ) = -Λxh(x,ξ),

g⁽²⁾²(x,ξ) = -Λxh(x,ξ),

g⁽²⁾⁴(x,ξ) =

4(m - 1)

16(m - 1)(m - 2)

Используя (21) при m = m - i, запишем

∑

Λ^kxG2m(x,ξ) =

Λ_xg(k-1)2i(x,ξ)G2m-2i(x,ξ) -

g(k-1)2i(x,ξ)Λxh(x,ξ)

4(m - i - 1)

i=1

∑

× G2m-2i-2(x,ξ) +

g(k-1)2i(x,ξ)εm-i-2(x) + Λ_xε_m-k(x).

i=1

Отсюда, поскольку

∑

g(k-1)2i(x,ξ)Λxh(x,ξ)

G2m-2i-2(x,ξ) =

g(k-1)2i-2(x,ξ)Λxh(x,ξ)G2m-2i(x,ξ),

4(m - i - 1)

4(m - i)

i=1

i=2

получим равенство

(

)

∑

Λ^kxG2m(x,ξ) =

Λ_xg(k-1)2i(x,ξ) - g(k-1)2i-2(x,ξ)Λxh(x,ξ)

G2m-2i(x,ξ) + εm-k-1(x),

4(m - i)

i=1

где следует считать, что g(k)2i = 0 при i = 0 или i > k. Кроме того, здесь было учтено, что

∑

g(k-1)2i(x,ξ)εm-i-2(x) + Λ_xε_m-k(x) = εm-k-1(x),

i=1

так как наименьший индекс у функций ε_k(x) под знаком суммы равен m - k - 1. Очевидно,

что в предыдущем равенстве функция

g(k)2i(x,ξ) = Λ_xg(k-1)2i(x,ξ) - g(k-1)2i-2(x,ξ)Λxh(x,ξ)

4(m - i)

является полиномом степени 2i по x, так как deg g(k)2i(x, ξ) = 2i при k = 1, 2. Таким образом,

при 1 ≤ k ≤ m - 1 справедлива формула

∑

Λ^kxG2m(x,ξ) =

g(k)2i(x,ξ)G2m-2i(x,ξ) + εm-k-1(x).

i=1

Если здесь воспользоваться равенством (18), то с учётом определения функций ε_k(x) будем

иметь

∑

Λ^kxG2m(x,ξ)|_x∈∂S =

g(k)2i(x,ξ)G2m-2i(x,ξ)|_x∈∂S + εm-k-1(x)|_x∈∂S = 0

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1066

КАРАЧИК

для k = 0, m - 1. Это означает выполнение граничных условий (17) и, следовательно, (14).

Теорема доказана.

Замечание 3. Если n ∈ Ncm-1, то функция Грина G2m(x, ξ) задачи Дирихле может иметь

вид, несколько отличный от вида функции, полученной в теореме 1. Например, при n = 4 и

m = 3 имеем 4 ∈ Nc2. Для этого случая в работе [13, теорема 2] было получено представление

(

)

(|x|² - 1)(|ξ|² - 1)

(|x|² - 1)²(|ξ|² - 1)²

G₆(x,ξ) = E₆(x,ξ)-E∗6(x,ξ)-

E∗4(x,ξ)+

E∗2(x,ξ).

Если же n = 2 и m = 2, а поэтому 2 ∈ Nc1, то в соответствии с [11, теорема 2.3] имеем

(

)

(|x|² - 1)(|ξ|² - 1)

G₄(x,ξ) = E₄(x,ξ) - E∗4(x,ξ) -

E∗2(x,ξ) +

3. Решение однородной задачи Дирихле. В качестве продолжения исследований по

построению решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения из работы [10] при-

ведём следующее утверждение, вытекающее из теоремы 1.

Теорема 2. Решение однородной задачи Дирихле (6), (7) для полигармонического уравне-

ния в единичном шаре S при f ∈ C¹

S) и n ∈ Nm-1 можно представить в виде

∫

(-1)

u(x) =

G2m(x,ξ)f(ξ)dξ,

(22)

ω_n

где ω_n - площадь единичной сферы в Rⁿ.

Доказательство. Вычислим значение оператора Δm-1 от

∫

ством (22). Для этого заметим, что интегралы типа потенциала_S ρ(ξ)|x - ξ|^-α dξ являются

функциями класса C^p(Rⁿ) при ограниченной и интегрируемой функции ρ(x), и дифференци-

рование порядка p ∈ N₀ возможно под знаком интеграла при всяком p таком, что α + p < n

[32, с. 25]. В нашем случае для сингулярного слагаемого функции G2m(x, ξ) из (13) имеем

α = n - 2m + 1 при n ∈ Nm-1, а значит, для интеграла

∫

(-1)

u₁(x) =

E2m(x,ξ)f(ξ)dξ

ω_n

p = 2m-2 и поэтому u₁ ∈ C2m-2(Rⁿ). Следовательно, оператор Δm-1 можно внести под знак

интеграла. В силу леммы 1 функция E2m(x, ξ) обладает следующим свойством: Δ_xE2m(x, ξ) =

= -E2(m-1)(x,ξ). Отсюда при x ∈ S имеем равенства

∫

(-1)

Δm-1u₁(x) =

Δm-1xE2m(x,ξ)f(ξ)dξ = -

E₂(x,ξ)f(ξ)dξ,

ω_n

и по свойству объёмного потенциала получим

(

∫

)

Δ^mu₁(x) = Δ -

E₂(x,ξ)f(ξ)dξ

= f(x), x ∈ S.

ω_n

Условия f ∈ C¹

S) достаточно для выполнения в S равенства Δ(Δm-1u₁(x)) = f(x) [29].

В лемме 2, с учётом обозначения (|x|² - 1)(|ξ|² - 1) = h_∗(x, ξ) - h(x, ξ) из теоремы 1, было

доказано, что функция вида

∑

(|x|² - 1)^k(|ξ|² - 1)^k

(h_∗(x, ξ) - h(x, ξ))^k

E∗2m-2k(x,ξ) =

E∗2m-2k(x,ξ)

(2m - 2, -2)k(2, 2)k

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

1067

является m-гармонической по x в S при любом ξ

S и её можно дифференцировать по x

под знаком интеграла по ξ любое число раз. Обозначим интеграл по ξ ∈ S от этой функции,

умноженной на (-1)^m/ω_nf(ξ), через u₂(x). Тогда будем иметь

∫

∑

(-1)

(|x|² - 1)^k(|ξ|² - 1)^k

Δ^mu₂(x) =

Δ^m

E∗2m-2k(x,ξ)f(ξ)dξ = 0.

(2m - 2, -2)_k(2, 2)_k

k=0 S

Поэтому, учитывая (13), функция u(x) из (22) удовлетворяет уравнению (6):

Δ^mu(x) = Δ^mu₁(x) - Δ^mu₂(x) = f(x), x ∈ S.

В силу того, что для функции u(x) из (21) в итоге имеем включение u ∈ C2m-2

S), пре-

дельный переход x → ∂S для функций Λxk]u(x) можно внести под знак интеграла. С помощью

(17) и (16) найдём



∫

∂^ku

(-1)^m



Λ[k]xG2m(x,ξ)|_x∈∂Sf(ξ)dξ = 0, k = 0,m - 1,



∂ν^k

ω_n

∂S

а значит, функция u(x) из (22) удовлетворяет всем граничным условиям (7). Теорема дока-

зана.

Рассмотрим частный случай простейшей полиномиальной правой части уравнения (6).

Теорема 3. Пусть в уравнении (6) f(x) = |x|2lH_k(x), где H_k(x) - однородный гармони-

ческий полином степени k ∈ N₀, l ∈ N и n ∈ Nm-1. Тогда решение задачи Дирихле (6), (7)

имеет вид

∫

(-1)^m

u(x) =

G2m(x,ξ)|x|2lH_k(ξ)dξ =

ω_n

|ξ|<1

(

)

∑

⁽l + m⁾

H_k(x)

|x|2l+2m -

(|x|² - 1)ⁱ

(23)

(2l + 2, 2)_m(2l + 2k + n, 2)_m

i=0

где (a, b)_m - обобщённый символ Похгаммера, определённый в (8).

Доказательство. Пусть m = 3. В [13, следствие 2] было установлено, что решение задачи

Дирихле для 3-гармонического уравнения при f(x) = |x|2lH_m(x) можно записать как

|x|2l+6 - 1 - (l + 3)(|x|² - 1) - (l + 2)(l + 3)(|x|² - 1)²/2

u(x) =

H_k(x).

(2l + 2, 2)₃(2l + 2k + n, 2)₃

В силу единственности решения задачи Дирихле [33, с. 39] и равенства (22) без труда полу-

чаем формулу (23) при m = 3. Равенство (23) обобщает эту формулу на произвольное m ∈ N.

Проверим, что функция u(x), задаваемая правой частью (23), является решением однородной

задачи Дирихле с правой частью f(x) = |x|2lH_k(x). Нетрудно видеть, что поскольку

Δ|x|2lH_k(x) = 2l(2l + 2k + n - 2)|x|2l-2H_k(x),

то из (23), учитывая, что функции |x|2kH_k(x) при k ≤ m - 1 являются m-гармоническими

полиномами, находим

(2l + 2m) · · · (2l + 2)(2l + 2m + 2k + n - 2) · · · (2l + 2k + n)

Δ^mu(x) =

|x|2lH_k(x) = |x|2lH_k(x),

(2l + 2, 2)_m(2l + 2k + n, 2)_m

т.е. u(x) удовлетворяет уравнению (6).

Проверим выполнение граничных условий (7). Сначала выделим из функции u(x) постоян-

ный множитель, т.е. представим эту функцию в виде u(x) = (2l + 2, 2)_m(2l + 2k + n, 2)_mu^∗(x).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1068

КАРАЧИК

Очевидно, что если u^∗(x) удовлетворяет условиям (17), то функция u(x) тоже им удовле-

творяет, а значит удовлетворяет и условиям (7). Далее представим функцию u^∗(x) в виде

произведения двух полиномов u^∗(x) = R_m(x)H_k(x), где

∑

⁽l + m⁾

R_m(x) = |x|2l+2m -

(|x|² - 1)ⁱ.

i=0

Легко видеть, что R_m(x)||x|=1 = 0 при m ≥ 1, а значит, u^∗(x)||x|=1 = 0. Вычислим Λu^∗(x).

Имеем

Λu^∗(x) = H_k(x)ΛR_m(x) + R_m(x)ΛH_k(x) =

(

)

∑

⁽l + m⁾

(2l + 2m)|x|2l+2m -

2i|x|²(|x|² - 1)i-1 H_k(x) + kR_m(x)H_k(x) =

i=1

(

)

∑

⁽l + m - 1⁾

= (2l + 2m)

|x|2l+2m-2 -

(|x|² - 1)i-1

|x|²H_k(x) + kR_m(x)H_k(x) =

i-1

i=1

= (2l + 2m)Rm-1(x)Hk+2(x) + kR_m(x)H_k(x),

откуда следует, что Λu^∗||x|=1 = 0 при m ≥ 2. Здесь Hk+2(x) = |x|²H_k(x). Если применить

оператор Λ к полученному равенству, то аналогично проделанному выше получим

Λ(R_m-i(x)Hk+j(x)) = (2m - 2i)Rm-i-1(x)|x|²Hk+j(x) + (k + j)R_m-i(x)Hk+j(x),

где m - i - 1 ≥ 1. Поэтому, выделив в функции Λ^su^∗(x) слагаемое с наименьшим индексом у

функции G_i(x) отдельно, а остальные слагаемые с более высоким индексом у G_i(x) обозначив

как O_i(x), можно записать

Λ^su^∗(x) = (2l + 2m)··· (2l + 2m - 2s + 2)G_m-s(x)Hk+2s(x) + O_m-s(x),

где Hk+2s(x) = |x|2sH_k(x) и m - 1 ≥ s. Поскольку R_i(x)||x|=1 = 0 при i ≥ 1, а значит,

O_m-s(x)||x|=1

= 0, то из полученного равенства следует, что Λ^su^∗(x)||x|=1 = 0 для s =

= 0, m - 1.

Таким образом, граничные условия (7) для функции u^∗(x), а значит и для функции (23),

выполнены. Из единственности решения задачи Дирихле и равенства (22) следует справедли-

вость (23). Теорема доказана.

Замечание 4. Полином из правой части (23) является решением задачи задачи Дирихле

(6), (7) при всех n ≥ 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Begehr H. Biharmonic Green functions // Le Matematiche. 2006. V. 61. P. 395-405.

2. Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Robin function // Complex Variables and Elliptic Equat.

2013. V. 58. № 4. P. 483-496.

3. Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. On an explicit form of the Green function of the Robin

problem for the Laplace operator in a circle // Adv. Pure Appl. Math. 2015. V. 6. № 3. P. 163-172.

4. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On Green’s function of the Robin problem for the Poisson equation

// Adv. in Pure and Appl. Math. 2019. V. 10. № 3. С. 203-214.

5. Ying Wang, Liuqing Ye. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector

// Complex Variables and Elliptic Equat. 2013. V. 58. № 1. P. 7-22.

6. Ying Wang. Tri-harmonic boundary value problems in a sector // Complex Variables and Elliptic Equat.

2014. V. 59. № 5. P. 732-749.

7. Boggio T. Sulle funzioni di Green d’ordine m // Palermo Rend. 1905. V. 20. P. 97-135.

8. Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet

problem of the polyharmonic equation in a sphere // Complex Variables and Elliptic Equat. 2008. V. 53.

P. 177-183.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

1069

9. Кальменов Т.Ш., Сураган Д. О новом методе построения функции Грина задачи Дирихле для

полигармонического уравнения // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 3. С. 435-438.

10. Karachik V.V. Dirichlet and Neumann boundary value problems for the polyharmonic equation in the

unit ball // Mathematics. 2021. V. 9. № 16. Art. 1907.

11. Karachik V.V. Green’s function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball // Complex

Variables and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 9. P. 1500-1521.

12. Карачик В.В. O функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 1. С. 71-86.

13. Карачик В.В. Функция Грина задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре // Мат.

заметки. 2020. Т. 107. № 1. С. 87-105.

14. Карачик В.В., Торебек Б.Т. О задаче Дирихле-Рикье для бигармонического уравнения // Мат.

заметки. 2017. T. 102. № 1. С. 39-51.

15. Карачик В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения // Мат. тр. 2016.

Т. 19. № 2. С. 86-108.

16. Солдатов А.П. О фредгольмовости и индексе обобщённой задачи Неймана // Дифференц. уравне-

ния. 2020. Т. 56. № 2. С. 217-225.

17. Карачик В.В. Функции Грина задач Навье и Рикье-Неймана для бигармонического уравнения в

шаре // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 5. С. 673-686.

18. Sweers G. A survey on boundary conditions for the biharmonic // Complex Variables and Elliptic Equat.

2009. V. 54. P. 79-93.

19. Карачик В.В. Задача Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре // Дифференц.

уравнения. 2018. Т. 54. № 5. С. 653-662.

20. Karachik V.V. The Green function of the Navier problem for the polyharmonic equation in a ball // J.

of Math. Sci. 2023. V. 269. № 2. P. 189-204.

21. Karachik V.V. Riquier-Neumann problem for the polyharmonic equation in a ball // Mathematics. 2023.

V. 11. № 4. Art. 1000.

22. Karachik V., Turmetov B., Yuan H. Four boundary value problems for a nonlocal biharmonic equation

in the unit ball // Mathematics. 2022. V. 10. № 7. Art. 1158.

23. Begehr H., Burgumbayeva S., Shupeyeva B. Remark on Robin problem for Poisson equation // Complex

Variables and Elliptic Equat. 2017. V. 62. № 10. P. 1589-1599.

24. Akel M., Begehr H. Neumann function for a hyperbolic strip and a class of related plane domains // Math.

Nachrichten. 2017. Bd. 290. H. 4. S. 490-506.

25. Lin H. Harmonic Green and Neumann functions for domains bounded by two intersecting circular arcs

// Complex Variables and Elliptic Equat. 2020. V. 67. P. 79-95.

26. Begehr H., Burgumbayeva S., Dauletkulova A., Lin H. Harmonic Green functions for the Almaty apple

// Complex Variables and Elliptic Equat. 2020. V. 65. № 11. P. 1814-1825.

27. Grebenkov D.S., Traytak S.D. Semi-analytical computation of Laplacian Green functions in three-

dimensional domains with disconnected spherical boundaries // J. of Comput. Phys. 2019. V. 379.

P. 91-117.

28. Hsu C.-W., Hwu C. Green’s functions for unsymmetric composite laminates with inclusions // Proc. of

the Royal Soc. A: Math., Phys. and Eng. Sci. 2020. V. 476. № 2233. Art. 20190437.

29. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1982.

30. Begerh H., Vu T.N.H., Zhang Z.-X. Polyharmonic Dirichlet problems // Тр. Мат. ин-та имени

В.А. Стеклова. 2006. Т. 255. С. 19-40.

31. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М., 1974.

32. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.

33. Gazzola F., Grunau H.C., Sweers G. Polyharmonic Boundary Value Problems. Berlin, 2010.

Южно-Уральский государственный университет

Поступила в редакцию 30.03.2023 г.

(национальный исследовательский университет),

После доработки 30.03.2023 г.

г. Челябинск

Принята к публикации 14.06.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023