ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1084-1088

УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

УДК 517.962.2+517.929.2

ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В ПРОСТРАНСТВЕ ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТОВ

И ДИАМЕТРЫ ИХ РЕШЕНИЙ

В пространстве выпуклых компактов с операцией сложения по Минковскому и операци-

ей умножения матрицы на множество рассмотрены линейные рекуррентные уравнения

первого порядка. Дано полное описание таких уравнений, все решения которых имеют по-

стоянный диаметр. Для уравнений специального вида вычислены показатели Ляпунова

последовательностей диаметров их решений.

DOI: 10.31857/S0374064123080071, EDN: IOVIRW

Введение. Дифференциальные уравнения с производной Хукухары, введённые в ста-

тье [1], рассматривались во многих работах (см., например, [2-4]) и вызывают определённый

интерес у специалистов по дифференциальным уравнениям. Поэтому, как и в случае обыкно-

венных дифференциальных уравнений, имеет смысл, наряду с дифференциальными уравне-

ниями с производной Хукухары, рассмотреть и их дискретные аналоги, поскольку дифферен-

циальные уравнения - предельный случай дискретных уравнений.

В работе рассматриваются линейные рекуррентные уравнения в пространстве выпуклых

компактов. Решения таких уравнений представляют собой последовательности компактных

выпуклых множеств пространства R^d при некотором d ∈ N, а значит, обладают нетриви-

альными геометрическими характеристиками, совокупность которых по существу определяет

свойства самих решений. Некоторые геометрические характеристики решений дифференци-

альных уравнения с производной Хукухары рассматривались в статьях автора [5-7].

1. Основные определения и формулировки теорем. Прежде чем сформулировать

полученные результаты, введём необходимые обозначения и приведём ряд определений.

Через Ω(R^d) будем обозначать семейство всех непустых ограниченных подмножеств век-

торного пространства R^d, а через K_c(R^d) - его подсемейство, состоящее из всех непустых

выпуклых компактных подмножеств. Диаметром diam X множества X ∈ Ω(R^d) называется

число sup ∥b - a∥, здесь и ниже через ∥ · ∥ обозначается евклидова норма.

a,b∈X

Суммой Минковского Z = X + Y двух непустых множеств X,Y ⊂ R^d называется множе-

= {x + y : x ∈ X, y ∈ Y }. Для действительной матрицы A, состоящей из d столбцов,

и множества X ⊂ R^d через AX обозначим множество {Ax: x ∈ X}. В том частном случае,

когда A = diag [α, . . . , α], вместо AX пишем αX. Отметим, что для произвольных действи-

тельных матриц A, B и множества X ⊂ R^d, вообще говоря, (A + B)X = AX + BX.

Итак, на совокупности непустых выпуклых компактов определены операции сложения (по

Минковскому) и умножения на матрицу. Семейство K_c(R^d) замкнуто относительно указанных

операций, а значит, мы можем рассмотреть линейное рекуррентное уравнение

∑

X(t + 1) =

A_ijX(t - j), X(0),X(1),... ,X(m - 1) ∈ K_c(R^d), t ≥ m - 1,

(1)

j=0 i=1

где d, m и n - фиксированные натуральные числа, A_ij - действительные d × d-матрицы,

i = 1,n, j = 1,m, суммирования - это операции сложения по Минковскому. Уравнение (1) в

соответствии с общепринятой математической терминологией будем называть линейным ре-

куррентным однородным уравнением m-го порядка размерности d и ранга n с постоянными

1084

ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1085

коэффициентами в пространстве выпуклых компактов (в уравнение (1) при некотором фик-

сированном j может входить меньше, чем n слагаемых (пусть k), в этом случае считаем,

что матрицы A_ij , i = k + 1, n, нулевые).

Определение. Решением X(·) линейного уравнения (1) называется последовательность

(X(t))t∈N⋃{0} выпуклых компактов в R^d, при подстановке которых в (1) получается при

каждом натуральном t ≥ m - 1 верное равенство; множества X(0), . . . , X(m - 1) называют-

ся начальными множествами уравнения (1). Диаметром решения X(·) назовём числовую

последовательность (diam X(t))t∈N⋃{0}. Будем говорить, что у уравнения (1) все решения по-

стоянного диаметра, если из того, что начальные множества решения имеют один и тот же

диаметр, следует, что и все остальные элементы решения имеют тот же диаметр, т.е.

diam X(t) = diam X(0) = diam X(1) = . . . = diam X(m - 1)

при любом натуральном t ≥ m.

Естественно возникает задача получить необходимое и достаточное условие того, что у

уравнения (1) все решения постоянного диаметра. В работе найдено полное решение этой

задачи для уравнения (1) первого порядка, т.е. для уравнения

∑

X(t + 1) = A_iX(t), X(0) ∈ K_c(R^d), t ∈ N

^⋃ {0}.

(2)

i=1

Для уравнения (2) понятие решения постоянного диаметра упрощается и равносильно выпол-

нению равенства diam X(t) = diam X(0) при всех t ∈ N. Необходимое и достаточное условие

того, что у уравнения (2) все решения постоянного диаметра, даёт следующая

Теорема 1. У уравнения (2) тогда и только тогда все решения постоянного диамет-

ра, когда существуют такие действительные числа α₁, α₂, . . . , α_n и ортогональная

∑_n

d × d-матрица A, что

|α_i| = 1 и A_i = α_iA,

1 ≤ i ≤ n.

i=1

Рассмотрим частный случай уравнения (2):

X(t + 1) = αX(t) + AX(t), X(0) ∈ K_c(R^d), t ∈ N

^⋃ {0},

(3)

где α ∈ R и A ∈ M_d(R). Через μ(A) обозначим максимальное по модулю собственное значе-

ние матрицы A. Показатель Ляпунова λ[x] произвольной последовательности x(0), x(1), . . .

действительных чисел определяется по формуле

= lim |x(t)|1/t.

t→+∞

Показатель Ляпунова λ[x] называется строгим, если существует предел lim

|x(t)|1/t. Вы-

t→+∞

числены показатели Ляпунова диаметров решений уравнения (3), которые при t = 0 обладают

непустой внутренностью, а именно, доказана следующая

Теорема 2. Пусть X₀ ∈ K_c(R^d) - выпуклое компактное множество с непустой внутрен-

ностью, а X(·) - такое решение уравнения (3), что X(0) = X₀. Тогда показатель Ляпунова

λ[diam X] диаметра решения X(·) является строгим и равен |α| + |μ(A)|.

2. Доказательства теорем. Докажем несколько вспомогательных утверждений. Через

= {x ∈ R^d : ∥x∥ = 1} обозначим единичную (d - 1)-мерную сферу с центром в нуле.

Лемма 1. Пусть B = {B_i : i ∈ N} - множество действительных d×d-матриц. Если для

каждого вектора v ∈ Sd-1 найдётся индекс i = i(v) такой, что B_iv ∈ Sd-1, то множество

B содержит хотя бы одну ортогональную матрицу.

Доказательство. Обозначим F_i = {v ∈ Sd-1 : B_iv ∈ Sd-1}, i ∈ N. Множества F_i замкну-_⋃

тые иi∈NF_i = Sd-1. По теореме Бэра о категориях [8, с. 78] одно из множеств, скажем F₁,

содержит единичный вектор v вместе с некоторой его окрестностью на сфере Sd-1. Пока-

жем, что B₁ - ортогональная матрица. Выберем какой-либо вектор u ∈ Sd-1, ортогональный

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1086

ВОЙДЕЛЕВИЧ

вектору v. Покажем, что ∥B₁u∥ = 1 и B₁v ⊥ B₁u = 0. Найдётся такой угол ϕ₀ > 0, что

v cos ϕ + u sin ϕ ∈ F₁ при всех ϕ ∈ (0, ϕ₀). Следовательно,

(v cos ϕ + u sin ϕ)^тB^т1B₁(v cos ϕ + u sin ϕ) =

= cos² ϕ + u^тB^т1B₁u sin² ϕ + v^тB^т1B₁u sin(2ϕ) = 1, ϕ ∈ (0, ϕ₀).

(4)

Продифференцировав тождество (4) по переменной ϕ, получим

(u^тB^т1B₁u - 1) sin(2ϕ) + 2v^тB^т1B₁u cos(2ϕ) = 0, ϕ ∈ (0, ϕ₀),

а значит, u^тB^т1B₁u = 1 и v^тB^т1B₁u = 0.

Произвольный вектор w ∈ R^d представим в виде линейной комбинации w = αv + βu, где

∥u∥ = 1 и v ⊥ u. Поэтому ∥B₁w∥² = α² +β² = ∥w∥², т.е. B₁ - ортогональная матрица. Лемма

доказана.

Опорной функцией произвольного ограниченного множества X ∈ Ω(R^d) называется функ-

= sup v^тx. Несложно видеть, что для

x∈X

произвольного вектора v ∈ R^d верны соотношения s(Sd-1, v) = s(B^d, v) = ∥v∥, где через

= {x ∈ R^d : ∥x∥ ≤ 1} обозначен замкнутый шар единичного радиуса с центром в начале

координат.

Лемма 2. Для любого X ∈ K_c(R^d) верно равенство diam X = max (s(X, v) + s(X, -v)).

v∈Sd-1

Доказательство. Выберем произвольно вектор v ∈ Sd-1. Так как X - компактное мно-

жество, то найдутся такие точки p, q ∈ X, что s(X, v) = v^тp и s(X, -v) = -v^тq. Поэтому

s(X, v) + s(X, -v) = v^т(p - q) ≤ ∥p - q∥ ≤ diam X. Так как v - произвольный единичный

вектор, то sup (s(X, v) + s(X, -v)) ≤ diam X.

v∈Sd-1

Утверждение леммы очевидно выполнено для одноэлементного множества X, поэтому

далее без нарушения общности будем считать, что множество X содержит хотя бы две точки.

Из компактности множества X следует существование таких точек a и b ∈ X, что diam X =

= ∥b - a∥ = 0. Пусть v = (b - a)/∥b - a∥. Тогда

s(X, v) + s(X, -v) ≥ v^тb - v^тa = v^т(b - a) = ∥b - a∥ = diam X,

а значит, max (s(X, v) + s(X, -v)) = diam X. Лемма доказана.

v∈Sd-1

Следствие 1. Пусть X ∈ K_c(R^d) - центрально-симметричное относительно нуля мно-

жество, т.е. X = -X, тогда diam X = 2 max s(X, v).

v∈Sd-1

Далее для упрощения будем писать αX - βX вместо αX + (-β)X.

Лемма 3. Пусть α и β - неотрицательные действительные числа. Равенство diam X =

= diam (αX - βX) верно для любого X ∈ K_c(R^d), если и только если α + β = 1.

Доказательство. Если diam X = diam (αX - βX) при всех X ∈ K_c(R^d), то, в частности,

получаем 2 = diam B^d = diam (αB^d - βB^d) = diam (α + β)B^d = 2(α + β), т.е. α + β = 1.

Докажем, что если α, β ≥ 0 и α + β = 1, то diam X = diam (αX - βX) при всех X ∈

∈ K_c(R^d). Выберем произвольно две точки p₁,p₂ ∈ αX -βX. Для некоторых точек a_i,b_i ∈ X

верно равенство p_i = αa_i - βb_i, i = 1, 2. Следовательно,

∥p₂ - p₁∥ = ∥α(a₂ - a₁) - β(b₂ - b₁)∥ ≤ α∥a₂ - a₁∥ + β∥b₂ - b₁∥ ≤ (α + β)diam X = diam X.

Поэтому diam (αX - βX) ≤ diam X.

Пусть diam X = ∥b - a∥, где a, b ∈ X. Тогда обе точки αa - βb и αb - βa принадлежат

множеству αX -βX, а значит, diam (αX -βX) ≥ ∥αb-βa-αa+βb∥ = (α+β)∥b-a∥ = diam X.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Предположим, что A_i = α_iA,

1 ≤ i ≤ n, для некоторой

∑_n

ортогональной матрицы A и действительных чисел α₁, α₂, . . . , α_n таких, что

|α_i| = 1.

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1087

Обозначим S = {i ∈ {1, 2, . . . , n}: α_i > 0} и, поскольку операция сложения по Минковскому

коммутативна, преобразуем уравнение (2) к виду

)

(∑)

(∑

X(t + 1) =

α_i AX(t) -

-α_i AX(t).

i∈S

∑

∑_n

Так как_i∈S α_i +_i∈S -α_i =

|α_i| = 1, то согласно лемме 3 все решения уравнения (2)

i=1

постоянного диаметра.

Предположим, что все решения уравнения (2) постоянного диаметра. Через

= {p + t(q - p): t ∈ [0, 1]}

обозначим отрезок с концами p, q ∈ R^d. Выберем произвольно вектор v ∈ Sd-1 и рассмотрим

решение X(·) уравнения (2) с начальным условием X(0) = [0, v]. Тогда X(1) - выпуклая_∑

оболочка точек вида_i∈I A_iv, где I ⊂ {1, 2, . . . , n}. Так как diam X(1) = diam X(0) = 1, то_∑∑

∥(_i∈I A_i -_j∈J A_j )v∥ = 1 для некоторых непересекающихся подмножеств I, J индексов.

Ввиду леммы 1 для∑некоторой пары непересекающихся подмножеств (I, J) ⊂ {1, 2, . . . , n}²∑

матрица_i∈I A_i -_j∈J A_j ортогональна.

Теперь рассмотрим решение X(·) уравнения (2) с начальным значением X(0) = B^d. Тогда,

согласно следствию 1, получаем равенства

)

∑

2 = diamX(1) = 2 max s

A_iB^d,v

= 2 max

s(B^d, Aтiv) = 2 max

∥Aтiv∥.

v∈Sd-1

i=1

Отсюда вытекает, что для произвольного вектора v ∈ Sd-1 верны соотношения



∑



(∑

∑ )т



1≥

∥Aтiv∥ ≥



A_i - A_j v



⁼

i=1

i∈I

j∈J

Следовательно, для произвольного вектора v ∈ Sd-1 векторы A^т1v, A^т2v, . . . , Aтnv колли-

неарны. Поэтому найдутся такие действительные числа α₁, α₂, . . . , α_n и матрица A, для_∑∑

которых A_i = α_iA, 1 ≤ i ≤ n. Поскольку матрица_i∈I A_i -_j∈J A_j ортогональная, то мат-

∑_n

рица A также может быть выбрана ортогональной. Так как

∥Aтi∥ = 1, то

|α_i| = 1.

i=1

Теорема доказана.

Лемма 4. Пусть X(·) - решение уравнения (3) такое, что X(0) = B^d. Тогда показатель

Ляпунова λ[diam X] диаметра решения X(·) является строгим и равен |α| + |μ(A)|.

Доказательство. Для любого t ∈ N

^⋃ {0} верно равенство X(t) =∑tk=0 C^ktα^t-kA^kB^d.

∑_t

Следовательно, s(X(t), v) =

C^kt|α|^t-k∥(A^т)^kv∥, v ∈ Sd-1. Так как матрицы A и A^т

k=0

подобны, то μ(A^т) = μ(A). Согласно формуле Гельфанда справедливо равенство

lim

∥(A^т)^k∥1/k = |μ(A)|.

k→+∞

Для любого ε > 0 найдётся такая постоянная c_ε > 0, что ∥(A^т)^k∥ ≤ c_ε(|μ(A) + ε)^k при всех

k∈N

^⋃ {0}. Таким образом, имеем

∑

s(X(t), v) ≤

C^kt|α|^t-k∥(A^т)^k

∥≤c_ε

C^kt|α|^t-k(|μ(A)| + ε)^k =

k=0

= c_ε(|α| + |μ(A)| + ε)^t, v ∈ Sd-1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

6^∗

1088

ВОЙДЕЛЕВИЧ

Поэтому в силу следствия 1 верно соотношение

λ[diam X] = lim (diam X(t))1/t ≤ |α| + |μ(A)| + ε.

t→+∞

Устремив в последнем неравенстве ε к нулю, получим, что λ[diam X] ≤ |α| + |μ(A)|.

Пусть v = x + iy - единичный собственный вектор матрицы A^т, соответствующий соб-

ственному значению μ(A). Тогда ∥(A^т)^kx∥ + ∥(A^т)^ky∥ ≥ ∥(A^т)^kv∥ = |μ(A)|^k, k ∈ N

^⋃ {0}.

Следовательно, s(X(t), x) + s(X(t), y) ≥ (|α| + |μ(A)|)^t при t ∈ N

^⋃ {0}. Так как ∥x∥ ≤ 1 и

∥y∥ ≤ 1, то diam X(t) ≥ (|α|+ |μ(A)|)^t, а значит, lim (diam X(t))1/t ≥ |α|+ |μ(A)|. Последнее

t→+∞

и ранее установленные неравенства означают, что показатель Ляпунова λ[diam X] является

строгим и равен |α| + |μ(A)|. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Выберем два шара p₁ + r₁B^d и p₂ + r₂B^d таких, что

r₁ > 0

и p₁ +r₁B^d ⊂X₀ ⊂p₂ +r₂B^d.

Рассмотрим решения Y (·), X₁(·) и X₂(·) уравнения (3) с начальными условиями Y (0) = B^d,

X₁(0) = p₁ + r₁B^d и X₂(0) = p₂ + r₂B^d. Несложно видеть, что X_i(t) = (αE + A)^tp_i + r_iY (t)

при всех t ∈ N

^⋃ {0}. Согласно лемме 4 верно равенство lim (diam Y (t))1/t = |α| + |μ(A)|.

t→+∞

Так как X₁(t) ⊂ X(t) ⊂ X₂(t) и diam X_i(t) = r_i diam Y (t), то

r₁ diam Y (t) ≤ diamX(t) ≤ r₂ diamY (t) при t ∈ N

^⋃ {0},

поэтому lim

(diam X(t))1/t = lim (diam Y (t))1/t = |α| + |μ(A)|. Теорема доказана.

t→+∞

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hukuhara M. Integration des applications measurables dont la valeur est un compact convexe // Funk.

Ekv. 1967. V. 10. P. 205-223.

2. Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of Set Differential Equations in

Metric Spaces. London, 2006.

3. Очеретнюк Е.В., Слынько В.И. Качественный анализ решений нелинейных дифференциальных

уравнений с производной Хукухары в пространстве conv R² // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51.

№ 8. С. 1004-1018.

4. Атамась И.В., Слынько В.И. Формула Лиувилля-Остроградского для некоторых классов диффе-

ренциальных уравнений с производной Хукухары // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 11.

С. 1452-1464.

5. Войделевич А.С. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с производной Хукухары,

сохраняющие многогранники // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 12. С. 1695-1698.

6. Войделевич А.С. Показатели Ляпунова радиусов вписанных и описанных сфер решений стационар-

ных линейных дифференциальных уравнений с производной Хукухары // Дифференц. уравнения.

2021. Т. 57. № 4. С. 572-576.

7. Войделевич А.С. Линейные дифференциальные уравнения с производной Хукухары, сохраняющие

свойство постоянства ширины // Дифференц. уравнения. 2022. T. 58. № 1. С. 17-22.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 2009.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 20.02.2023 г.

г. Минск

После доработки 21.06.2023 г.

Принята к публикации 20.07.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023