ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1089-1097
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.28
О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ И РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
© 2023 г. Ю. Г. Смирнов, О. В. Кондырев
Рассматривается скалярная трёхмерная краевая задача дифракции волны для уравнения
Гельмгольца с условиями сопряжения, предполагающими наличие бесконечно тонкого ма-
териала на границе сред. Доказываются теоремы единственности и существования реше-
ния. Исходная задача сводится к системе интегральных уравнений по поверхности раздела
сред. Приводятся расчётные формулы для системы линейных алгебраических уравнений,
полученные после применения метода коллокации, и численные результаты решения зада-
чи, когда область является шаром с определёнными условиями сопряжения.
DOI: 10.31857/S0374064123080083, EDN: IPHEJN
Введение. Краевые задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца встречаются во мно-
гих разделах математической физики: акустике, механике, электродинамике. В частности, это
задачи дифракции акустических или электромагнитных волн на препятствиях. Основные ти-
пы этих задач исследованы достаточно подробно (см., например, [1-4]). Однако в последнее
время появился интерес к краевым задачам со специальными условиями сопряжения, кото-
рые предполагают наличие бесконечно тонкого слоя материала на поверхности раздела сред.
В качестве примера можно рассмотреть случай графена, покрывающего диэлектрик [5, 6].
Поскольку графен имеет толщину в один атом, то его можно считать бесконечно тонким.
Но его наличие на поверхности раздела сред изменяет условия сопряжения. В общем случае
графен проявляет нелинейность в инфракрасном и терагерцовом диапазонах частот [7], одна-
ко во многих важных для приложений случаях нелинейностью можно пренебречь (формула
Кубо-Хансена [8]). В настоящей статье будут рассмотрены линейные условия сопряжения.
Одним из наиболее популярных методов решения задач сопряжения является метод сведе-
ния к системе интегральных уравнений. Такой подход не только позволяет исследовать свой-
ства и разрешимость задачи, но и ориентирован на её численное решение. При решении мно-
гих задач переход к интегральным уравнениям приводит к понижению размерности решаемой
задачи, что очень важно при реализации вычислительного алгоритма с точки зрения быст-
родействия и памяти компьютера. Кроме того, вычислительные алгоритмы, построенные для
решения интегральных уравнений, легко распараллеливаются, что позволяет использовать
суперкомпьютеры для их решения.
В настоящей статье будут изучены вопросы единственности решения задачи сопряжения,
разрешимости системы интегральных уравнений и представлены результаты численного ре-
шения задачи сопряжения в одном конкретном случае.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу дифракции на теле (в области) Q с границей
∂Q класса гладкости C2, расположенном в однородном пространстве R3, характеризующим-
ся постоянным волновым числом k0.
Пусть u0 = eik0x3 , x = (x1, x2, x3) ∈ R3, - падающая плоская волна. Выбор источника в
виде плоской волны не является принципиальным и будет использован только при численном
решении конкретной задачи.
В области Q среда однородна и характеризуется волновым числом k = k0. На границе
∂Q будем определять только предельное значение волнового числа с разных сторон поверхно-
сти. Требуется определить решение задачи сопряжения (полное поле), где искомая функция
должна удовлетворять условиям гладкости
u ∈ C2(Q)
⋂C1( Q)⋂ C1(R3\Q),
(1)
1089
1090
СМИРНОВ, КОНДЫРЕВ
уравнению Гельмгольца
{
k20, x ∈ R3\Q,
Δu + k2(x)u = 0, k2(x) =
(2)
k2, x ∈ Q,
условию излучения Зоммерфельда для рассеянного поля us = u - u0
∂us
- ik0us = o(1/r), r = |x| → ∞,
(3)
∂r
и условиям сопряжения на границе ∂Q
]
[∂u
[u]∂Q = 0,
= [γu]∂Q,
(4)
∂n∂Q
где [ · ]∂Q означает разность следов функции с разных сторон ∂Q. Здесь n - внешняя нормаль
к области Q, а вещественный коэффициент γ равен γ1 вне области Q и γ2 внутри неё.
2. Единственность решения задачи сопряжения.
Лемма (Реллиха) [9, с. 50]. Пусть u(x) - регулярное вне сферы Sr0 , |x| = r > r0, решение
уравнения Гельмгольца. Если
∫
lim
|u|2 dS = 0,
r→∞
Sr
где Sr - сфера радиуса r (с центром в нуле), то u ≡ 0 при r > r0.
Запишем решение задачи в следующем виде:
{
u+(x), x ∈ R3\Q,
u(x) =
u-(x), x ∈ Q.
Теорема 1. Решение задачи
Δu+(x) + k02u+(x) = 0, x ∈ R3\Q,
Δu-(x) + k2u-(x) = 0, x ∈ Q,
∂u+
∂u-
∂us
u+|∂Q = u-|∂Q,
-
=γ1u+|∂Q-γ2u-|∂Q,
- ikus = o(1/r), r → ∞, (5)
∂n
∂n
∂r
∂Q
∂Q
удовлетворяющее условию (1), где us = u+ - u0, единственно.
Доказательство. Так как поставленная задача линейна, достаточно рассмотреть соответ-
ствующую однородную задачу и показать, что она имеет только тривиальное решение.
Рассмотрим задачу
Δus(x) + k02us(x) = 0, x ∈ R3\Q,
Δu- + k2u- = 0, x ∈ Q,
us|∂Q = u-|∂Q,
(6)
∂us
∂u-
-
=γ1us|∂Q - γ2u-|∂Q,
(7)
∂n
∂n
∂Q
∂Q
∂us
- ikus = o(1/r), r → ∞.
(8)
∂r
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ И РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ
1091
Вместе с функциями us и u- будем рассматривать комплексно-сопряжённые им us и u-.
Они удовлетворяют тем же однородным уравнениям и условиям сопряжения на границе ∂Q.
Условия на бесконечности примут следующий вид:
∂us
+ ikus = o(1/r), r → ∞.
(9)
∂r
Применим вторую формулу Грина к функциям u- и u- в области Q:
∫ (
)
∂u-
∂u-
-u-
dS = 0,
u- ∂n1
∂n1
∂Q
где n1 - единичная нормаль к поверхности ∂Q, направленная во внешность тела.
Пусть ΣR - сфера такого радиуса R, что содержит в себе область Q. Тогда, применив
формулу Грина к функциям us и us в области между ΣR и ∂Q, получим
∫
(
)
∫
(
)
∂u
s
∂us
∂us
∂us
us
-us
dS +
us
-us
dS = 0,
∂n2
∂n2
∂r
∂r
∂Q
ΣR
где n2 - единичная нормаль к поверхности интегрирования и n2 = -n1 на ∂Q.
Сложим два предыдущих равенства:
∫
(
)
∫
(
)
∫
(
)
∂u
-
∂u-
∂us
∂us
∂us
∂us
u-
-u-
dS +
-us
dS +
us
-us
dS = 0.
∂n1
∂n1
us ∂n2
∂n2
∂r
∂r
∂Q
∂Q
ΣR
Воспользуемся условием (6) и его аналогом для сопряжённой функции и приведём к одному
вектору нормали. В результате получим
∫
(
)
))
∫
(
)
(∂u
-
∂us
(∂us
∂u-
∂us
∂us
u-
-
+u-
-
dS +
us
-us
dS = 0.
∂n1
∂n1
∂n1
∂n1
∂r
∂r
∂Q
ΣR
Из условия (7) имеем равенство
∫
∫
(
)
∂us
∂us
(u-(γ2 u- - γ1 us) + u-(γ1us - γ2u-)) dS +
us
-us
dS = 0.
∂r
∂r
∂Q
ΣR
В нём первое слагаемое в силу условия (6) равно нулю. Второе слагаемое преобразуем с по-
мощью условий (8) и (9) на бесконечности. При R → ∞ будем иметь
∫
lim
|us|2 dS = 0.
R→∞
ΣR
∑
Воспользовавшись леммой получаем, что us ≡ 0 всюду вне сферыR . Тогда, анали-
тически продолжая us вплоть до границы ∂Q (в силу аналитичности решения однородного
уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом), находим, что us ≡ 0 всюду вне Q.
Из условий сопряжения для функции u- получаем однородную переопределённую задачу
в области Q
Δu- + k2u- = 0, x ∈ Q,
∂u-
u-|∂Q = 0,
= 0,
∂n
∂Q
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1092
СМИРНОВ, КОНДЫРЕВ
откуда, применяя третью формулу Грина [4, с. 80] для решения однородного уравнения Гельм-
гольца, заключаем, что функция u- тождественно равна нулю.
3. Сведение задачи к системе интегральных уравнений. Обозначим
ik|x-y|
e
eik0|x-y|
G = G(x,y) =
,
G0 = G0(x,y) =
4π|x - y|
4π|x - y|
Функции us и u- будем искать в виде потенциалов простого слоя:
∫
us(x) = G0(x,y)φ(y)dsy,
(10)
∂Q
∫
u-(x) = G(x,y)ψ(y)dsy,
(11)
∂Q
где x = (x1, x2, x3) ∈ R3 и y = (y1, y2, y3) ∈ R3. Падающая волна имеет вид u0(x) = eik0x3 .
Итак, на контуре ∂Q будут выполняться два условия:
u0 + us = u-,
(12)
∂u0
∂us
∂u-
+
-
= γ1(u0 + us) - γ2u-.
(13)
∂n
∂n
∂n
Запишем условия (12) и (13) с учётом (10) и (11). Воспользуемся теоремой о производной
потенциала простого слоя по направлению нормали [4, с. 65] и получим
∫
∫
u0|∂Q + G0(x,y)φ(y)dsy = G(x,y)ψ(y)dsy,
(14)
∂Q
∂Q
∫
(
)
∂u0
1
∂
∂
-
(φ(x) + ψ(x)) +
G0(x,y)φ(y) -
G(x, y)ψ(y) dsy =
∂n
2
∂nx
∂nx
∂Q
(
∫
)
∫
=γ1
u0|∂Q + G0(x,y)φ(y)dsy
-γ2
G(x, y)ψ(y) dsy .
(15)
∂Q
∂Q
Систему интегральных уравнений (14) и (15) запишем в операторном виде
S11φ - S12ψ = f1, (I + S21)φ + (I + S22)ψ = f2,
(16)
где
∫
∫
S11φ = G0(x,y)φ(y)dsy, S12ψ = G(x,y)ψ(y)dsy,
∂Q
∂Q
∫
∫
∂
S21φ = 2γ1 G0(x,y)φ(y)dsy - 2
G0(x,y)φ(y)dsy,
∂nx
∂Q
∂Q
∫
∫
∂
S22ψ = 2
G(x, y)ψ(y) dsy - 2γ2
G(x, y)ψ(y) dsy ,
∂nx
∂Q
∂Q
)
(∂u0
f1 = -u0|∂Q, f2 = 2
-γ1u0|∂Q
∂n
∂Q
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ И РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ
1093
4. Существование решения системы интегральных уравнений. Пусть
ϕ=φ+ψ,
ψ = φ - ψ. Тогда система (16) примет вид
1
1
1
1
(S11 - S12)ϕ+
(S11 + S12
ψ=f1,
ϕ+
(S21 + S22)ϕ+
(S21 - S22
ψ=f2.
(17)
2
2
2
2
Будем искать решения системы интегральных уравнений в пространствах Гёльдера
ϕ
ψ∈
∈ C0,α(∂Q), f1 ∈ C1,α(∂Q), f2 ∈ C0,α(∂Q), где 0 < α < 1.
Линейные ограниченные операторы S21, S22 : C0,α(∂Q) → C0,α(∂Q) компактны [4, с. 73],
следовательно, компактны операторы S21 + S22, S21 - S22 : C0,α(∂Q) → C0,α(∂Q).
Пусть k1 > 0 такое число, при котором внутренняя задача Неймана для уравнения Гельм-
гольца с волновым числом k1 в области Q имеет только тривиальное решение. Тогда [10,
с. 43] ограниченный оператор T1 : C1,α(∂Q) → C0,α(∂Q), определённый по формуле
∫
∂
∂ eik1|x-y|
T1f =
f (y) dsy,
∂nx
∂ny 4π|x - y|
∂Q
непрерывно обратим, т.е. имеет ограниченный обратный оператор T1-1 : C0,α(∂Q)→C1,α(∂Q).
Далее пусть оператор S1 : C0,α(∂Q) → C1,α(∂Q) определён по формуле
∫
eik1|x-y|
S1f =
f (y) dsy.
4π|x - y|
∂Q
Тогда имеет место равенство [10, с. 44]
4T1S1 = 4K12 - I,
(18)
где I - тождественный оператор, а K1 : C0,α(∂Q) → C0,α(∂Q) - компактный оператор, опре-
делённый формулой
∫
∂ eik1|x-y|
K1f =
f (y) dsy.
∂nx 4π|x - y|
∂Q
Подействуем на левую и правую части первого уравнения в (17) оператором T1 и получим
1
1
T1(S11 - S12
ϕ+
T1(S11 + S12
ψ
f1,
(19)
2
2
где
f1 = T1f1. Операторы S11,S12 : C0,α(∂Q) → C1,α(∂Q) являются ограниченными [10, с. 43],
а оператор K0 = S11 - S12 : C0,α(∂Q) → C1,α(∂Q) - компактным, так как ядро интегрального
оператора и его производная не имеют особенности:
G0(x,y) - G(x,y) = i(k0 - k)/4π + O(|x - y|),
∂
(G0(x, y) - G(x, y)) = O(1) при
|x - y| → 0.
∂x
Рассмотрим оператор S11 + S12 : C0,α(∂Q) → C1,α(∂Q). Имеем
S11 + S12 = 2S1 + (S11 - S1) + (S12 - S1).
Операторы S11 - S1, S12 - S1 : C0,α(∂Q) → C1,α(∂Q) будут компактными (доказательство ана-
логично приведённому выше). Тогда, учитывая формулу (18), уравнение (19) можно записать
в виде
1
1
1
1
1
T1K0 ϕ +
T1(S11 - S1
ψ+
T1(S12 - S1
ψ+
K12
ψ-
ψ
f1,
(20)
2
2
2
2
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1094
СМИРНОВ, КОНДЫРЕВ
где все операторы (за исключением I/4), входящие в (20) и действующие в C0,α(∂Q) →
→ C0,α(∂Q), компактны.
В результате имеем систему интегральных уравнений второго рода в пространстве C0,α(∂Q)
-2T1K0
ϕ-2T1(S11 +S12 -2S1
ψ-2K12
ψ
ψ=-
f1,
1
1
ϕ+
(S21 + S22)ϕ+
(S21 - S22
ψ=f2.
(21)
2
2
Заметим, что все преобразования и переходы от одной системы к другой эквивалентны, т.е.
допускают обратные преобразования (именно для этого выбирался обратимый оператор T1).
Таким образом, система уравнений (21) эквивалентна системе (17).
Система уравнений (21) определяет фредгольмов оператор как сумму единичного и ком-
пактного операторов. Следовательно, для системы (21) справедлива альтернатива Фредгольма.
Теорема 2. Решения систем интегральных уравнений (16), (17), (21) существуют и
единственны.
Доказательство. Пусть
ϕ,
ψ - нетривиальное решение (
ϕ| +
ψ| ≡ 0) однородной сис-
темы (21) (при
f1 ≡ 0, f2 ≡ 0). Так как оператор T1 имеет ограниченный обратный, то
эти функции являются решением однородной системы (17). По формулам φ = (ϕ
ψ)/2,
ψ=
ϕ
ψ)/2 определим функции φ, ψ, которые будут нетривиальным решением однород-
ной системы (16). Далее по формулам (10), (11) определяем функции us и u-, которые, как
нетрудно проверить, дают нетривиальное решение однородной задачи (5) (с u0 ≡ 0). Но это
решение в силу теоремы 1 должно быть тривиальным. Полученное противоречие доказывает,
что однородная система (21) может иметь только тривиальное решение.
Из фредгольмовости оператора системы (21), пользуясь альтернативой Фредгольма, за-
ключаем, что решение системы (21) существует и единственно. Из эквивалентности систем
(21), (17), (16) получаем существование и единственность решений и для систем (17) и (16).
Теорема 3. Решение краевой задачи (1)-(4) существует и единственно.
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что построенное с помощью решений системы (21)
по формулам (10), (11) решение краевой задачи удовлетворяет (2)-(4). Остаётся проверить
условия гладкости решения (1). Потенциалы (10), (11), очевидно, бесконечно дифференциру-
емы в областях Q и R3\Q. Известно [4, с. 62], что первые производные потенциала простого
слоя с равномерно непрерывной по Гёльдеру плотностью можно продолжить с сохранением
непрерывности по Гёльдеру вплоть до границы области, если граница ∂Q класса гладко-
сти C2. Отсюда заключаем, что условие (1) также выполняется.
Теоремы 1-3 полностью обосновывают решение краевой задачи через потенциалы простого
слоя, а также сводят решение краевой задачи (1)-(4) к одной из интегральных систем (16), (17)
и (21).
5. Метод коллокации. Построим схему для решения системы интегральных уравне-
ний (16) методом коллокации.
Будем считать, что Q - шар радиуса R с центром в начале координат. Перейдём к сфе-
рической системе координат, точка в пространстве теперь определяется следующим образом:
x = (ϕx,θx,ρx), y = (ϕy,θy,ρy).
На ∂Q = {x : 0 < ϕ < 2π,
0 < θ < π, ρ = R} в сферических координатах введём
прямоугольную сетку
Πkl = {x : x1,k < ϕ < x1,k+1, x2,l < θ < x2,l+1, ρ = R},
2π
π
h1 =
,
h2 =
,
x1,k = h1k, x2,l = h2l,
n
n
где k, l = 0, n - 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ И РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ
1095
Определим кусочно-постоянную на сетке функцию
{
1, x ∈ Πkl,
χkl(x) =
0, x ∈ Πkl.
Перенумеруем базисные функции и их носители с помощью одного индекса χI (x), I =
= 1, N , N = n2. Теперь функции φ(x) и ψ(x) можно определить следующим образом:
∑
∑
φ(x) =
αIχI(x), ψ(x) =
βIχI(x),
I=1
I=1
где χI (x) - базисные кусочно-постоянные функции, α = (α1, . . . , αN )т, β = (β1, . . . , βN )т -
вектор-столбцы неизвестных коэффициентов.
После применения метода коллокации получим систему линейных алгебраических урав-
нений
A11α - A12β = B1, A21α + A22β = B2,
(22)
элементы матриц A11, A12, A21, A22 и вектор-столбцов B1, B2 определяются формулами
∫
∫
Aij11 = G0(xi,y)dsy, Aij12 = G(xi,y)dsy,
Πj
Πj
∫
∫
∂
Aij21 = δij + 2γ1 G0(xi,y)dsy - 2
G0(xi,y)dsy,
∂n
Πj
Πj
∫
∫
∂
Aij22 = δij + 2
G(xi, y) dsy - 2γ2 G(xi, y) dsy,
∂n
Πj
Πj
(
)
∂
Bi1 = -u0(xi), Bi2 = 2
u0(xi) - γ1u0(xi)
,
∂n
где координаты точек коллокации
xi = (xi1,xi2,R), xi1 = (i1 + 1/2)h1, xi2 = (i2 + 1/2)h2,
а δij - символ Кронекера.
Решив систему линейных алгебраических уравнений (22), найдём приближённое решение
поставленной задачи. Интегралы в коэффициентах матрицы вычислялись по квадратурным
формулам с учётом особенностей ядер интегральных операторов.
Заметим, что можно было решать систему интегральных уравнений второго рода (21) (с
учётом того, что действие оператора T1 на операторы S11 и S12 вычисляется аналитически
по формулам (18)).
В этой статье мы не будем доказывать сходимость метода коллокации. Доказательство
сходимости этого метода для таких систем интегральных уравнений, а также оценки скоро-
сти сходимости, см. в [11]. Некоторой трудностью при доказательстве сходимости является
то обстоятельство, что базисные функции не вложены в пространство решений, однако она
преодолевается с помощью понятия дискретной сходимости [12].
6. Численные результаты. Пусть радиус рассматриваемого тела R = 0.006м, параметр
k0 = 1846м-1, а k = 1.5k0. Условия сопряжения следующие:
-
∂u0
∂us
∂u
u0 + us = u-,
+
-
= 5000(u0 + us) - u-.
(23)
∂n
∂n
∂n
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1096
СМИРНОВ, КОНДЫРЕВ
Применим метод коллокации и решим полученную систему линейных алгебраических урав-
нений (СЛАУ). На рис. 1 изображены найденные функции плотности φ(x) (а) и ψ(x) (б).
(а)
(б)
Рис. 1. Модуль функций плотности φ(x) и ψ(x).
Рассмотрим внутреннюю сходимость приближённого решения. Для этого построим реше-
ния задачи с сеткой 10 × 10 (а), 20 × 20 (б), 30 × 30 (в) и 70 × 70 (г) (рис. 2).
(а)
(б)
(в)
(г)
Рис. 2. Сходимость функции плотности φ(x).
Зная функции плотности, можно построить полное поле (рис. 3) в выбранной области при
помощи введённых ранее потенциалов простого слоя (10) и (11).
Рис. 3. Модуль полного поля в сечении
плоскостью x = 0.
При реализации вычислительного алгоритма применялось распараллеливание вычисления
коэффициентов матрицы и решения СЛАУ на 10 процессов.
Заключение. В работе рассмотрена краевая задача для уравнения Гельмгольца со специ-
альными условиями сопряжения. С помощью потенциалов простого слоя (10) и (11) исходная
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ И РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ
1097
задача сведена к исследованию системы интегральных уравнений по границе области ∂Q.
Доказаны единственность и существование решения как системы интегральных уравнений,
так и задачи сопряжения. Существование решения обосновано с помощью теоремы единствен-
ности для решения задачи сопряжения и фредгольмовости оператора системы интегральных
уравнений.
Для численного решения системы интегральных уравнений применён метод коллокации.
Рассмотрен пример, когда область есть шар. Выполнен переход к сферической системе коор-
динат и получена блочная система линейных алгебраических уравнений с кусочно-постоян-
ными базисными функциями на прямоугольной сетке. Представлены численные результаты
для плотностей при определённых условиях сопряжения. Рассмотрена внутренняя сходимость
решения и построено полное поле внутри и вне области Q.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-
20087).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
2. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М., 1984.
3. Nedelec J.-C. Acoustic and Electromagnetic Equations. Integral Representations for Harmonic Problems.
New York, 2001.
4. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.
5. Лерер А.М. Численная оценка погрешности метода возмущения при решении задачи об отражении
электромагнитной волны от нелинейного графенового слоя // Радиотехника и электроника. 2022.
T. 67. № 9. С. 855-858.
6. Смирнов Ю.Г., Тихов С.В., Гусарова Е.В. О распространении электромагнитных волн в диэлектри-
ческом слое, покрытом графеном // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2022. № 3.
С. 11-18.
7. Mikhailov S.A. Quantum theory of the third-order nonlinear electrodynamic effects of graphene // Phys.
Rev. B. 2016. V. 93. № 8. Art. 085403.
8. Hanson G.W. Dyadic Green’s functions and guided surface waves for a surface conductivity model of
graphene // J. of Appl. Phys. 2008. V. 103. № 6. Art. 064302.
9. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики и аку-
стики. М., 1991.
10. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. New York, 2013.
11. Vainikko G. Multidimensional Weakly Singular Integral Equation. Berlin; Heidelberg, 1993.
12. Вайникко Г.М., Карма О.О. О сходимости приближённых методов решения линейных и нелинейных
операторных уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1974. Т. 14. № 4. С. 828-837.
Пензенский государственный университет
Поступила в редакцию 26.05.2023 г.
После доработки 26.05.2023 г.
Принята к публикации 20.07.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
