ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1123-1138

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ

НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫХ СИСТЕМ

Для линейных нестационарных сингулярно возмущённых систем (ЛНСВС) с квазидиффе-

ренцируемыми коэффициентами и малым параметром при некоторых производных рас-

сматривается задача равномерной наблюдаемости. Доказаны независящие от малого

параметра необходимые и достаточные условия квазидифференцируемости множества вы-

ходных функций, построены независящие от малого параметра матрицы наблюдаемости

связанных с ЛНСВС медленной и семейства быстрых подсистем, установлена связь между

ними и матрицей наблюдаемости исходной системы. На основе полной декомпозиции ис-

ходной ЛНСВС относительно действия группы линейных невырожденных преобразований

доказаны ранговые, независящие от малого параметра и справедливые для всех достаточно

малых его значений, достаточные условия равномерной наблюдаемости ЛНСВС. Условия

выражены через матрицы наблюдаемости медленной и семейства быстрых подсистем, име-

ющих меньшие размерности, чем исходная ЛНСВС.

DOI: 10.31857/S0374064123080113, EDN: IQNKAJ

Введение. Наблюдаемость, наряду с устойчивостью, управляемостью и стабилизируемо-

стью, является фундаментальным структурным свойством динамических систем. Суть зада-

чи наблюдаемости заключается в выяснении возможности однозначного восстановления со-

стояний системы по результатам наблюдений, что равносильно взаимно-однозначному соот-

ветствию между множеством выходных функций и множеством начальных (или текущих)

состояний системы. При этом важно понимать, в каком виде представлена информация о

выходных функциях системы наблюдения (например, известны значения выходной функции

в фиксированные моменты времени, в произвольно выбранные моменты, известны значения

производных и т.п.). Понятие наблюдаемости впервые сформулировано Р. Калманом в рабо-

те [1]; там же приведён и критерий наблюдаемости линейных стационарных систем. В неста-

ционарном случае известные необходимые и достаточные условия наблюдаемости [2, c. 66, 67]

имеют неявный характер, поскольку требуют знания фундаментальной матрицы. Существую-

щие коэффициентные признаки наблюдаемости основаны на высокой степени гладкости либо

коэффициентов [3, c. 303-306], либо выходных сигналов [4, с. 20; 5, c. 191, 192]. Отметим, что

для нестационарных систем наблюдения рассматриваются различные понятия наблюдаемости

(см. [2-10] и цитированную в них литературу), которые отличаются рядом особенностей и в

общем случае не эквивалентны.

В данной работе при исследовании наблюдаемости вместо дифференцируемости выходов

используется квазидифференцируемость по некоторой нижнетреугольной матрице P (t) [10,

11], что позволяет установить явные условия наблюдаемости, существенно усиливающие из-

вестные.

Сингулярно возмущённые системы (СВС) являются математическими моделями динамиче-

ских систем, в которых реализуются одновременно несколько взаимосвязанных подпроцессов

с существенно различающимися темпами изменения переменных, поведение которых может

быть описано в стандартной форме системами дифференциальных уравнений с малым па-

раметром при некоторых производных. Для таких систем можно рассматривать различные

постановки задач наблюдения, в частности, в зависимости от доступной информации о малом

параметре. Одним из “наивных” подходов к исследованию СВС является рассмотрение таких

систем при каждом фиксированном значении малого параметра, что позволяет применять

условия наблюдаемости и методы восстановления состояний, разработанные для систем без

1123

1124

ЦЕХАН

параметра. Однако такой подход приводит к анализу систем большой размерности, возникают

значительные вычислительные трудности, связанные, например, с обращением плохообуслов-

ленных матриц. Кроме того, результаты при таком подходе зависят от величины малого пара-

метра, т.е. не являются робастными по этому параметру. Как правило, в реальных прикладных

задачах значения малого параметра точно не известны. Поэтому для СВС стремятся получать

условия наличия различных её свойств, независящие от малого параметра и справедливые для

всех достаточно малых его значений. Такие формулировки характерны для исследований СВС

в рамках теории сингулярных возмущений [12]. Наличие тех или иных структурных свойств

СВС управления при всех достаточно малых значениях параметра обеспечивает возможность

асимптотического (по малому параметру) решения соответствующих задач управления и на-

блюдения СВС [13, 14]. Отметим ряд работ, посвящённых изучению свойства наблюдаемости

СВС [14-22] (см. также литературу в обзорах [12, 23]). При исследовании свойств систем, име-

ющих место при всех возможных реализациях параметра, используется термин “робастные

свойства” [24].

При исследовании структурных свойств СВС и разработке способов управления и наблю-

дения ими одним из эффективных методов является процедура декомпозиции, которая может

быть выполнена различными способами. Например, в [14, 25] к СВС применяется невырожден-

ное расщепляющее преобразование, эквивалентным образом сводящее исходную двухтемповую

систему к разделённым по темпам подсистемам меньшей размерности, асимптотически (по

малому параметру) близким к системам, независящим от малого параметра. При использова-

нии [12] декомпозиционного подхода представляют интерес условия, при выполнении которых

утверждения о наличии свойств для исходных систем высокого порядка вытекают из факта

наличия этих свойств для некоторых подсистем меньшего порядка. Такие условия позволяют

выводить суждения о структурных свойствах СВС при всех достаточно малых значениях па-

раметра из аналогичных свойств у связанных с ней независящих от малого параметра систем

меньшей размерности.

В данной работе для линейных нестационарных СВС с квазидифференцируемыми коэф-

фициентами и малым параметром при некоторых производных рассматривается задача рав-

номерной наблюдаемости. Для линейных нестационарных систем наблюдения без малого па-

раметра равномерная наблюдаемость исследовалась в [6-10].

1. Квазидифференцируемость. Основные результаты, полученные в данной работе,

используют понятие квазипроизводной [11] и некоторые простые факты, связанные с ним.

Пусть T = [t₀, t₁] - отрезок действительной оси R, m - заданное целое неотрицательное

число. Обозначим через U_m(T ) совокупность всех нижнетреугольных (m + 1) × (m + 1)-мат-

риц P (t) с непрерывными на T элементами p_ki(t), i, k = 0, m, удовлетворяющими условию

p_kk(t) = 0 при t ∈ T, k = 0,m. Выберем какую-либо матрицу P(t) из множества U_m(T).

Квазипроизводные0P w(t),

w(t), . . . ,^mPw(t) порядка от 0 до m относительно матрицы P (t)

непрерывной функции w : T → R определяются по следующим рекуррентным правилам:

d(0P w(t))

w(t) = p₀₀(t)w(t),

w(t) = p₁₁(t)

+ p₁₀(t)(0P w(t)), ...

k-1

∑

w(t))

...,

w(t) = p_kk(t)

+ p_ki(t)(^iP w(t)), k = 2,m.

(1)

i=0

Предполагается, что операции дифференцирования в формулах (1) выполнимы и приводят к

непрерывным функциям.

Очевидно, что всякая m раз непрерывно дифференцируемая функция квазидифференци-

руема по единичной матрице Em+1. Однако несложные примеры (см. [8, с. 15]) показывают,

что недифференцируемая в обычном смысле функция может быть m раз квазидифференци-

руема по некоторой матрице P ∈ U_m(T ).

Семейство всех непрерывных функций, обладающих непрерывными квазипроизводными

(1) относительно заданной матрицы P ∈ U_m(T ), обозначим через C^mP(T ). Очевидно, C^mP(T ) -

векторное пространство над полем действительных чисел.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ

1125

2. Описание системы наблюдения. Рассмотрим на отрезке T = [t₀,t₁] линейную неста-

ционарную сингулярно возмущённую систему

x(t) = A₁(t)x(t) + A₂(t)y(t), x ∈ Rn1 ,

μy(t) = A₃(t)x(t) + A₄(t)y(t), y ∈ Rn2,

x(t₀) = x₀, y(t₀) = y₀

(2)

со скалярной выходной функцией

v(t) = c₁(t)x(t) + c₂(t)y(t), t ∈ T.

(3)

Здесь μ - малый параметр, μ ∈ (0, μ⁰], μ⁰ ≪ 1; x(t) - вектор медленных переменных; y(t) -

вектор быстрых переменных; v(t) - выходная функция системы; A_i(t), i = 1, 4, - непрерывные

на T матричные функции соответствующих размерностей; c_j(t), j = 1, 2, - непрерывные на

T функции, записанные как вектор-строки.

Обозначим n = n₁ + n₂, z^т(t) = (x^т(t), y^т(t)), z^т0 = (x^т0, y^т0),^т - символ транспонирования.

Чтобы подчеркнуть зависимость решения системы (2) от параметра μ и начальных условий

(в зависимости от контекста), будем использовать одну из записей: z(t), z(t, μ), z(t, μ, x₀, y₀),

z(t, μ, z₀). Определим по параметрам ЛНСВС (2), (3) вектор-функцию c(t) = (c₁(t), c₂(t)), а

также зависящую от параметра μ > 0 матричную функцию

(

)

A₁(t)

A₂(t)

A(t, μ) =

A₃(t)/μ A₄(t)/μ

Тогда систему наблюдения (2), (3) можно представить в эквивалентном виде

Ż(t) = A(t, μ)z(t), z ∈ Rⁿ, t ∈ T, z(t₀) = z₀,

v(t) = c(t)z(t), v ∈ R, t ∈ T.

(4)

Отождествим систему (4) с парой (A_μ, c), состоящей из матричных функций A(t, μ) и

c(t), а совокупность всех таких пар с непрерывными на T компонентами обозначим Σ_μ, μ ∈

∈ (0, μ⁰]. С целью анализа свойств систем из Σ_μ, справедливых для всех достаточно малых

значений параметра μ, представим матрицу A(t, μ) в виде

(

)

(

)

A₁(t) A₂(t)

A(t, μ) = A⁰(t) +

A¹(t), A⁰(t) =

A¹(t) =

(5)

A₃(t) A₄(t)

В силу (5) систему (4), определяемую тройкой матричных функций A⁰, A¹, c и малым

параметром μ ∈ (0, μ⁰], отождествим также со множеством {A⁰, A¹, c, μ}. Если параметр μ

принимает всевозможные значения из полуинтервала (0, μ⁰], то получаем μ-параметрическое

семейство систем {A⁰, A¹, c}_μ0 . Фиксированное μ ∈ (0, μ⁰] выделяет из семейства {A⁰, A¹, c}_μ0

конкретную систему (A_μ, c).

Пусть в системе (2) реализовались некоторые фиксированное μ ∈ (0, μ⁰] и неизвестное

начальное состояние z₀ = z(t₀), которые породили в силу (2), (3) процесс z(t, μ) = z(t, μ, z₀),

t ∈ T, и выходную функцию v(t,μ) = v(t,μ,z₀), t ∈ T. Для системы (A_μ,c) обозначим через

V_μ = {(v(t,μ,z₀),t ∈ T), z₀ ∈ Rⁿ}

множество выходных функций.

Пусть задана некоторая матрица P ∈ U_m(T ).

Определение 1. При фиксированном μ ∈ (0,μ⁰] система (A_μ,c) имеет P-класс m

(записываем как (A_μ, c) ∈ {P, m}), если всякая её выходная функция v(t, μ, z₀), t ∈ T, из

множества V_μ имеет непрерывные квазипроизводные относительно матрицы P до порядка m

включительно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1126

ЦЕХАН

Будем говорить, что семейство систем {A⁰, A¹, c}_μ0 имеет P -класс m, если любая сис-

тема из этого семейства имеет P -класс m.

При заданном положительном m обозначим через P_m(A_μ, c) подмножество множества

U_m(T), состоящее из таких матриц P, относительно которых система (A_μ,c) имеет класс m.

Пусть выбрана некоторая независящая от μ матрица P ∈ P_m(A_μ, c).

Укажем условия, при выполнении которых система (A_μ, c) имеет P -класс m. Применение

к системе (4) леммы 2.1 из [8, с. 32] показывает, что при фиксированном μ ∈ (0, μ⁰] указанная

система имеет P -класс m тогда и только тогда, когда для всех k = 1, m существуют и

непрерывны функции-строки

∑

s₀(t,μ) = p₀₀(t)c(t), s_k(t,μ) = p_kk(t)(sk-1(t,μ)A(t,μ) + sk-1(t,μ)) +

p_ki(t)s_i(t,μ).

(6)

i=0

С целью выяснения структуры зависимости функции s_k(t, μ) от параметра μ по рекур-

рентным формулам (6) с учётом структуры матриц (5) определим n-вектор-функции строки

s0k(t), s1k(t), ..., s^kk(t), k = 0,m, следующим образом:

s⁰⁰(t) = p₀₀(t)c(t), s¹⁰(t) = 0, s₀(t,μ) = s⁰⁰(t),

s⁰¹(t) = p₁₁(t)(s⁰⁰(t)A⁰(t)+ s⁰⁰(t))+p₁₀(t)s⁰⁰(t), s¹¹(t) = p₁₁(t)s⁰⁰(t)A¹(t), s₁(t,μ) = s⁰¹(t)+

s¹¹(t),

∑

s⁰²(t) = p₂₂(t)(s⁰¹(t)A⁰(t) + s⁰¹(t)) +

p2j(t)s0j(t), s²⁰(t) = 0,

j=0

∑

s¹²(t) = p₂₂(t)(s⁰¹(t)A¹(t) + s¹¹(t)A⁰(t) + s¹¹(t)) +

p2j(t)s1j(t), s²²(t) = p₂₂(t)s¹¹(t)A¹(t),

j=0

∑

s₂(t,μ) = s⁰²(t) +

s¹²(t) +

s²²(t) =

sj2(t), ... ,

μ²

μ^j

j=0

(k-1∑

∑

s_k(t,μ) = p_kk(t)

(sjk-1(t)A⁰(t)+ sjk-1(t))+

sjk-1(t)A¹(t) + pkj(t)

s^ij(t) =

μ^j

μj+1

μⁱ

j=0

i=0

(

) ∑k

∑

p_kk(t)(sjk-1(t)A⁰(t) + sj-1k-1(t)A¹(t) + sjk-1(t)) +

p_ki(t)s^ji(t)

s^jk(t).

μ^j

j=0

i=0

j=0

Здесь n-вектор-функции s^jk(t), j = 0, k, k = 0, m, определены по рекуррентным формулам

∑

s^jk(t) = p_kk(t)(sjk-1(t)A⁰(t) + sjk-1(t) + sj-1k-1(t)A¹(t)) +

p_ki(t)s^ji(t)

i=0

с учётом того, что s^ik(t) = 0 при i < 0 или i > k.

Обозначим через C¹(T, R) множество непрерывно дифференцируемых на отрезке T ска-

лярных функций.

Лемма 1. Для заданных скалярных функций a_i(t), t ∈ T, i = 0, θ (θ - заданное целое

неотрицательное число), их линейная комбинация

∑

a_i(t)

f (t, μ) =

t∈T,

(7)

μⁱ

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ

1127

непрерывно дифференцируема на отрезке T при любом μ > 0 тогда и только тогда, когда

каждая из функций a_i(t), i = 0, θ, непрерывно дифференцируема на T.

Доказательство. Достаточность очевидна, так как свойство непрерывной дифферен-

цируемости функций сохраняется при умножении их на ненулевую константу.

Необходимость. Зададим θ + 1 различных положительных действительных чисел μ₀,

μ₁, ..., μ_θ и, используя обозначение ξ_j = 1/μ_j, запишем, исходя из формулы (7), равенства

∑

f (t, μ_j) =

a_i(t) =

ξ^ija_i(t), t ∈ T, j = 0,θ,

μⁱ

i=0

которые можно представить следующим образом:

⎛

⎞

⎛

⎞

f (t, μ₀)

a₀(t)

⎜f (t, μ1)⎟

⎜a1(t)⎟

⎝

⎠=V

⎝

⎠, t ∈ T,

f (t, μ_θ)

a_θ(t)

где (θ + 1) × (θ + 1)-матрица V является невырожденной матрицей Вандермонда [26, c. 43, 44]

⎛

⎞

ξ₀

ξ²⁰

... ξθ0

⎜

⎟

ξ₁

ξ²¹

... ξθ1

⎜

⎟

V =

⎝

⎠^.

ξ_θ ξ2θ ... ξ^θ

Значит, существует обратная матрица V-1 и справедливо равенство

⎛

⎞

⎛

⎞

f (t, μ₀)

a₀(t)

f (t, μ₁)⎟

⎜a1(t)⎟

V-1 ⎝

⎠=

⎝

⎠,

f (t, μ_θ)

a_θ(t)

из которого следует непрерывная дифференцируемость на T функций a_i(t), i = 0, θ. Лемма

доказана.

Из определения квазипроизводных (1) относительно матрицы P ∈ U_m(T ) для функции

f (t, μ) вида (7) следует представление

∑

a_j(t)

f (t, μ) =

k = 0,m,

μ^j

j=0

с учётом которого из леммы 1 вытекает

Следствие 1. Функция f(t, μ) вида (7) имеет при любом μ > 0 непрерывную квази-

производную порядка k, k ≤ m, относительно матрицы P тогда и только тогда, когда

каждая из функций a_j(t), j = 0, θ, имеет непрерывную квазипроизводную порядка k отно-

сительно P.

Используя лемму 2.1 из [8], лемму 1 и следствие 1, несложно доказать следующую теорему.

Теорема 1. Для независящей от параметра μ матрицы P ∈ U_m(T ) система (A_μ, c)

имеет P-класс n-1 при каждом μ ∈ (0,μ⁰] тогда и только тогда, когда n-вектор-функции

s^jk(t), k = 0,n - 1, j = 0,k, непрерывно дифференцируемы на T. При этом для функций

s_k(t,μ) справедливо представление в виде

∑

s_k(t,μ) =

s^jk(t).

μ^j

j=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1128

ЦЕХАН

Следствие 2. Любое семейство {A⁰, A¹, c}_μ, μ > 0, имеет имеет P -класс n тогда и

только тогда, когда верны предположения теоремы 1.

3. Квазидифференцируемость и равномерная наблюдаемость. Пусть для заданной

матрицы P из множества Un-1(T ) и фиксированного μ ∈ (0, μ⁰] система (A_μ, c) ∈ {P, n - 1}.

Тогда на множестве V_μ выходных функций системы (A_μ, c) правила (1) задают оператор,

который каждой функции v( · , μ, z₀) ∈ V_μ ставит в соответствие n-вектор-строку

(0P v(t,μ,z₀),1P v(t,μ,z₀),... ,n-1Pv(t,μ,z₀)), t ∈ T.

(8)

В соответствии с соотношением для выхода системы (4) любая функция v( · , μ, z₀) ∈ V_μ яв-

ляется образом некоторого процесса z(t, μ, z₀), t ∈ T, поэтому композиция отображений (1)

и (4) определяет линейное отображение из множества процессов Z(μ) = {(z(t, μ, z₀), t ∈ T ),

z₀ ∈ Rⁿ} во множество n-векторов V_P (μ) = {(V_P (t,μ,z₀),t ∈ T), z₀ ∈ Rⁿ} квазипроизводных

выходных функций и при каждом t ∈ T задаёт отображение из множества {z(t, μ, z₀), z₀ ∈

∈ Rⁿ} векторов состояния во множество {V_P(t,μ,z₀),z₀ ∈ Rⁿ} векторов квазипроизводных

выходных функций в точке t ∈ T.

Следуя работе [6], введём определение P -равномерной наблюдаемости ЛНСВС (2), (3).

Определение 2. При фиксированном μ ∈ (0,μ⁰] cистема (2), (3) класса {P,n - 1} на-

зывается P -равномерно наблюдаемой на T , если для каждого t ∈ T отображение

{z(t, μ, z₀), z₀ ∈ Rⁿ} → {V_P (t, μ, z₀), z₀ ∈ Rⁿ},

(9)

задаваемое системой (4) и правилами (1), является инъекцией.

Семейство систем {A⁰, A¹, c}_μ0 ∈ {P, n - 1} называется P -равномерно наблюдаемым на

T, если любая система семейства P-равномерно наблюдаема на T.

P -равномерная наблюдаемость системы (A_μ, c) при фиксированном μ ∈ (0, μ⁰] означает,

что в каждый момент времени t ∈ T по известному μ и известным в этот момент време-

ни выходной функции v(t) и её последовательным квазипроизводным^kP v(t), k = 0, n - 1,

состояние z(t, μ) системы (2), (3) можно определить однозначно.

P -равномерная наблюдаемость семейства систем (A⁰, A¹, c)_μ0 означает, что такое восста-

новление состояния возможно при любом μ ∈ (0, μ⁰]. В силу линейности отображения из

определения 2 это равносильно тому, что при любом z₀ ∈ Rⁿ μ-параметрическому семейству

векторов квазипроизводных V_P ≡ {(V_P (t, μ, z₀), t ∈ T ), μ ∈ (0, μ⁰]} однозначно соответствует

процесс z(t, μ) как функция от (t, μ) на T × (0, μ⁰], т.е. при любом μ ∈ (0, μ⁰] совпадающим

вектор-функциям (V_P (t, μ), t), t ∈ T, соответствуют совпадающие процессы z(t, μ), t ∈ T.

Приведём пример, который показывает зависимость инъективности отображения (9) от

параметра μ > 0. Для этого рассмотрим систему (2), (3) второго порядка с матрицами

(

)

A(t, μ) =

c(t) =

⁽t t⁾, n₁ = n₂ = 1, t₀ = 0, t₁ = 1,

−1.01μ-1

-μ-1

для случая дифференцируемых выходов (т.е. квазидифференцируемых по матрице P = E₂).

Несложно показать, что для начальных условий (x(0), y(0)) = (x₀, y₀) решение данной

системы имеет вид

x(t, μ, x₀, y₀) = e^tx₀, y(t, μ, x₀, y₀) = 1.01x₀(1 + μ)-1(e^-t/μ - e^t) + e^-t/μy₀,

а соответствующая выходная функция и её первая производная равны

v(t, μ, x₀, y₀) = t(e^tx₀ + 1.01x₀(1 + μ)-1(e^-t/μ - e^t) + e^-t/μy₀),

v(t, μ, x₀, y₀) = e^tx₀ + 1.01x₀(1 + μ)-1(e^-t/μ - e^t) + e^-t/μy₀ +

+ t(e^tx₀ - 1.01x₀(1 + μ)-1(μ-1e^-t/μ + e^t) - μ-1e^-t/μy₀).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ

1129

При t = 0 и любом μ > 0 начальные состояния (x¹⁰, y¹⁰) = (0, 1) и (x²⁰, y²⁰) = (1, 0) неразли-

чимы по информации (8), так как v(0, μ, 0, 1) = v(0, μ, 1, 0) = 0,

v(0, μ, 0, 1) = v(0, μ, 1, 0) = 1.

Если μ = 0.01, то для начальных состояний вида (x³⁰, y³⁰) = (-a, a) и (x⁴⁰, y⁴⁰) = (-b, b),

a = b, текущие состояния z(t,0.01,-a,a) и z(t,0.01,-b,b) при любом t ∈ T неразличимы,

так как v(t, 0.01, -a, a) = v(t, 0.01, -b, b) ≡ 0, t ∈ T. Для t = 0 и μ = 0.01 отображение (9)

инъективно.

Далее найдём условия на матрицы системы (2), (3), при выполнении которых она P -рав-

номерно наблюдаема для всех достаточно малых значений μ > 0.

Несложно показать, что для системы (A_μ, c) ∈ {P, n - 1} справедливы соотношения

s_j(t,μ)z(t,μ) =^jP v(t,μ), j = 0,n - 1,

которые с учётом обозначений

⎛

⎞

s₀(t,μ)

⎜

s₁(t,μ)

⎟

S_P (t,μ) =

⎝

⎠

(10)

sn-1(t,μ)

приводят к системе уравнений S_P (t, μ)z(t, μ) = V_P (t, μ, z₀) относительно вектора состояния

z(t, μ), t ∈ T, явным образом задающей отображение из определения 2.

Очевидно, что для каждой матрицы P ∈ Pn-1(A_μ, c) можно определить матрицу наблю-

даемости S_P (t, μ) по формулам (6), (10). Из леммы 2.5 [8, c. 54] следует, что при каждом μ > 0

и каждом t ∈ T все матрицы наблюдаемости S_P (t, μ), P ∈ Pn-1(A_μ, c) одновременно либо

вырождены, либо невырождены. Инъективность отображения (9) в определении 2 определя-

ется невырожденостью матрицы наблюдаемости S_P (t, μ) при t ∈ T и не зависит от выбора

матрицы P ∈ Pn-1(A_μ, c).

Применив к системе (4) при фиксированном μ > 0 критерий P -равномерной наблюдаемо-

сти [8, c. 38], получим утверждение.

Теорема 2. Система (2), (3) класса {P, n - 1} P -равномерно наблюдаема на T при

фиксированном μ > 0 тогда и только тогда, когда rank S_P (t, μ) = n при каждом t ∈ T.

Для линейных стационарных СВС можно показать, что если её матрица наблюдаемости

является матрицей полного ранга хотя бы при одном μ > 0, то она является матрицей полного

ранга при всех достаточно малых μ > 0. Для линейных нестационарных СВС это не так, т.е.

существуют линейные нестационарные СВС, для которых матрица наблюдаемости S_P (t, μ)

является матрицей полного ранга при некотором μ^∗ > 0, но не является матрицей полного

ранга при всех достаточно малых μ > 0.

Продемонстрируем этот факт на примере системы (2), (3) с параметрами

(

)

-10

-0.2

)

A(t, μ) =

c(t) =

⁽-1 t

n₁ = n₂ = 1, t ∈ T = [0,2].

-1/μ

Для этой системы классическая матрица наблюдаемости имеет вид

(

)

-1

S(t, μ) =

1.2 - t/μ

а её определитель det S(t, μ) = - 1.2 + t/μ - 10t. Тогда при μ₁ = 0.1 det S(t, μ₁) = -1.2 = 0

для всех t ∈ T. Однако для μ = t(1.2 + 10t)-1, где t ∈ T, имеем det S(t, μ) = 0. Поэто-

му очевидно, что при всех μ ∈ (0, 2/21.2] в точках t = 1.2μ(1 - 10μ)-1 ∈ T определитель

det S(t, μ) = 0.

Следствие 3. Существуют ЛНСВС (2), (3) класса {P, n - 1}, которые P -равномерно

наблюдаемы на отрезке T при некотором фиксированном μ^∗ > 0, но при этом любое семей-

ство {A⁰,A¹,c}_μ, μ > 0, не является P-равномерно наблюдаемым на T.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1130

ЦЕХАН

4. Декомпозиция системы (2), (3) и описание её подсистем. С системой (2), (3)

связаны [14] независящие от параметра μ вырожденная система (ВС) и система погранич-

ного слоя (СПС), которые формально получаются из СВС, если рассмотреть её отдельно в

“быстрой” и “медленной” временных шкалах при μ = 0.

Предположим, что det A₄(t) = 0, t ∈ T. Тогда ВС (медленная подсистема) имеет вид

dx(t)

= A_s(t)x(t), x(t₀) = x₀, v_s(t) = c_s(t)x(t), t ∈ T,

A_s(t) ≡ A₁(t) - A₂(t)A-14(t)A₃(t), c_s(t) ≡ c₁(t) - c₂(t)A-14(t)A₃(t),

(11)

и является линейной нестационарной n₁-мерной системой. Отождествим её с парой (A_s, c_s).

СПС (или “быстрая” подсистема) для системы (2), (3) записывается следующим образом:

[

]

dy(τ)

t-t₀

t₁ - t₀

= A₄(t₀)y(τ), v_f (τ) = c₂(t₀)y(τ), τ =

∈T_μ ≡

(12)

dτ

y(τ) = y(t₀ + μτ) - A-14(t₀)A₃(t₀)x₀,

y(0) = y₀ ≡ y₀ + A-14(t₀)A₃(t₀)x₀.

Она является линейной стационарной n₂-мерной системой, которую отождествим с парой мат-

риц (A₄(t₀), c₂(t₀)).

Наряду со стационарной СПС (12), введём t-семейство (A₄, c₂)(t) быстрых подсистем вида

(12) c матрицами A₄(t), c₂(t), где t ∈ T рассматривается как параметр семейства стационар-

ных систем (по терминологии А.Н. Тихонова [27] - присоединённая система).

Заметим, что ВС (11), СПС (12) и t-семейство быстрых подсистем определяются сразу для

всего семейства (A⁰, A¹, c)_μ0 при любом μ⁰ > 0.

Обозначим через λ(A(t)) корни характеристического уравнения матрицы A(t), а символ

O(μ) будем использовать для описания бесконечно малых величин порядка малости μ.

Следующее утверждение, доказательство которого следует из работ [14, 28], позволяет

установить связь между исходной системой (2), (3) и системами (11), (12).

Теорема 3. Пусть Re λ(A₄(t)) ≤ -α < 0 при всех t ∈ T и матричные функции A_i(t),

i = 1, 4, непрерывно дифференцируемы на T. Тогда существует невырожденное линейное

нестационарное преобразование фазовых переменных

(

)

(

)

x(t)

ξ(t)

= K(t,μ)

y(t)

η(t)

с матрицей K(t,μ) следующей структуры:

(

)

En1

μH(t,μ)

K(t, μ) =

(13)

−L(t,μ) En2 - μL(t,μ)H(t,μ)

где det K(t, μ) = 0 для любых μ > 0 и t ∈ T, которое преобразует систему (2), (3) в систему

с разделёнными переменными

˙ξ(t) = A_ξ(t, μ)ξ(t), ξ ∈ Rn1 ,

μη(t) = A_η(t,μ)η(t), η ∈ Rn2, t ∈ T,

v(t) =

⁽c_ξ(t,μ) c_η(t,μ)⁾, t ∈ T.

(14)

При этом матричные функции L(t, μ), H(t, μ) в формуле (13) являются непрерывно

дифференцируемыми на T с ограниченными производными и справедливы представления

L(t, μ) = L₀(t) + μR_L(t, μ), L₀(t) = A-14(t)A₃(t),

H(t, μ) = H₀(t) + μR_H (t, μ), H₀(t) = A₂(t)A-14(t).

(15)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ

1131

Матричные функции R_L(t, μ), R_H (t, μ) в (15) ограничены на T, а для матриц системы (14)

имеет место равномерная по t асимптотика с точностью порядка μ:

A_ξ(t,μ) ≡ A₁(t) - A₂(t)L(t,μ) = A_s(t) + μA₂R_L(t,μ) = A_s(t) + O(μ),

A_η(t,μ) ≡ A₄(t) + μL(t,μ)A₂(t) = A₄(t) + O(μ),

c_ξ(t,μ) ≡ c₁(t) - c₂(t)L(t,μ) = c_s(t) - μc₂R_L(t,μ) = c_s(t) + O(μ),

c_η(t,μ) ≡ c₂(t) + μc₁(t)H(t,μ) - μc₂(t)L(t,μ)H(t,μ) = c₂(t) + O(μ).

(16)

Доказательство. Условия данной теоремы гарантируют выполнение условий теоремы 3.1

из работы [14]. Поэтому существует преобразование K(t, μ) вида (13), где L(t), H(t) - огра-

ниченные непрерывно дифференцируемые матрицы с ограниченными на T производными.

Кроме того, матричные функции A-14(t)A₃(t), A₂(t)A-14(t) непрерывно дифференцируемы

на T. Поэтому существуют и ограничены производные

L₀(t),

H₀(t). Следовательно, матрич-

ные функции R_L(t, μ), R_H (t, μ) ограничены на T и справедливы аппроксимации [14, с. 212]

L(t, μ) = L₀(t) + O(μ), H(t, μ) = H₀(t) + O(μ).

(17)

Из формул (17), (15) и (11) вытекает справедливость представлений (16).

Следствие 4. Матричные функции A_ξ(t, μ), A_η(t, μ), c_ξ(t, μ), c_η(t, μ) системы (14)

являются O(μ)-возмущениями матриц вырожденной системы (A_s, c_s) (11) и t-семейства

быстрых подсистем (A₄,c₂)(t), связанных с (12).

5. Класс {P, m} для подсистем ЛНСВС. Пусть задана нижнетреугольная матрица

P ∈ Un-1(T), а матрица

P есть её верхний левый блок размерности n₁ × n₁. Заметим, что

P ∈ Un1-1(T). Для вырожденной системы (11) понятие класса {P, m} вводится, как и в

[8]. Так как система пограничного слоя и любая система из t-семейства быстрых подсистем

стационарны, то они являются системами класса

P,m} при любом целом неотрицательном

m и любой матрице

P ∈ U_m(T).

Лемма 2. Если (A_μ, c) ∈ {P, n - 1} при любом μ > 0, то (A_s, c_s) ∈ {P, n - 1} и (A_s, c_s) ∈

∈

P,n₁ - 1}, где

P образует верхний левый блок матрицы P.

Доказательство. Из формул (11)-(17) следует, что для выходной функции (3) справед-

ливо представление

v(t, μ, z₀) = c_s(t)x_s(t) + c₂(t)y_f (τ) + O(μ).

(18)

Так как для любого t ∈ T система (A₄(t), c₂(t)) является системой класса

P,m} при лю-

бой матрице

P ∈ U_m(T) и любом целом неотрицательном m, то выход быстрой подсистемы

v_f (τ) = c₂(t)y_f (τ) имеет непрерывные квазипроизводные любого порядка относительно мат-

рицы P. Тогда из представления выхода v(t, μ, z₀) в виде суммы (18) и следствия 1 вытекает

принадлежность системы (A_s, c_s) классу {P, n - 1}. Очевидно, что Cn-1P(T ) ⊂ Cn1-^1¯(T ) и из

(A_s, c_s) ∈ {P, n - 1} следует (A_s, c_s) ∈

P,n₁ - 1}, что и завершает доказательство леммы.

Однако из принадлежности (A_s, c_s) ∈

P,n₁-1) в общем случае не следует существования

матрицы P ∈ Un-1(T ), для которой матрица

P образует её верхний левый блок и при этом

(A_μ, c) ∈ {P, n - 1} хотя бы для одного μ > 0. Продемонстрируем это на примере системы

(2), (3) с матрицами

(

)

a₁

a₂

)

A(t, μ) =

c(t) =

⁽γ(t) + 1

-1

n₁ = n₂ = m = 1, t₀ = 0, t₁ = 2,

γ(t)/μ

-1/μ

где γ(t) - непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция на T. Легко показать, что

A_s = a₁ + γ(t)a₂, c_s = 1 и ВС принадлежит классу

P,0) при

P = E₁. Вместе с тем данная

система не принадлежит классу (P, 1) ни при какой матрице P с верхним левым блоком

ни при каком μ > 0, так как c(t) не дифференцируема.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1132

ЦЕХАН

6. Связь матриц наблюдаемости ЛНСВС и её подсистем.

Определение 3. Вырожденная система (11) класса

P,n₁-1} называется

P -равномерно

наблюдаемой на T, если для каждого t ∈ T и любого x₀ ∈ Rn1 отображение

x(t) → (0¯Pv_s(t),1¯P v_s(t), . . . ,n1-^1¯vs(t)), vs(t) = vs(t,x0),

задаваемое системой (11) и правилами (1), инъективно.

Пусть (A_s, c_s) ∈

P,n₁ - 1}. Определим n₁ × n₁-матрицу наблюдаемости вырожденной

системы (A_s, c_s):

⎛

⎞

s₀(t)

⎜

s₁(t)

⎟

(t) =

⎝

⎠, t ∈ T,

(19)

sn₁-1(t)

где n₁-вектор-строки s_j(t), j = 1, 2, . . . , определяются по формулам

∑

s₀(t) = p₀₀(t)c_s(t),

sj (t) = pjj(t)(sj-1(t)As(t)

sj-1(t)) +

pji(t)si(t).

(20)

i=0

Применяя к линейной нестационарной системе (11) условия из [8], убеждаемся, что спра-

ведлива

Теорема 4. Вырожденная система класса

P,n₁ - 1}

P -равномерно наблюдаема на T

тогда и только тогда, когда ran

(t) = n₁ для любого t ∈ T.

Пусть задана некоторая матрица

P ∈ Un2-1(T).

Определение 4. Система пограничного слоя (12) называется

P -равномерно наблюдаемой

на T_μ, если для каждого τ ∈ T_μ и любого y₀ ∈ Rn2 отображение

y(τ) → (^0˜vf (τ),1˜

v_f(τ),... ,n2-^1˜vf(τ)), vf(τ) = vf (τ, y0),

задаваемое системой (12) и правилами (1), инъективно.

Будем говорить, что t-семейство быстрых подсистем (A₄, c₂)(t)

P -равномерно наблюда-

емо на T_μ, если каждая подсистема из этого семейства

P -равномерно наблюдаема.

Так как система (12) является стационарной системой, то для неё условия

P -равномерной,

равномерной, полной и дифференциальной наблюдаемости совпадают. Поэтому справедлива

Лемма 3. При любой матриц

P ∈ Un2-1(T) t-семейство быстрых подсистем (A4,c2)(t)

P -равномерно наблюдаемо на T_μ тогда и только тогда, когда каждая система из этого

семейства полностью наблюдаема.

Наблюдаемость t-семейства быстрых подсистем соответствует понятию “сильной наблюда-

емости замороженного объекта” в терминологии статьи [29].

Определим n₂ × n₂-матрицу наблюдаемости семейства (A₄, c₂)(t), t ∈ T :

⎛

⎞

s₀(t)

⎜

s₁(t)

⎟

S(t) =

⎝

⎠,

(21)

sn₂-1(t)

где n₂-вектор-строки s₀(t),

s₁(t), ... определяются по формулам

sj(t) = sj-1(t)A4(t),

s₀(t) = c₂(t).

(22)

Заметим, что

S(t₀) совпадает с матрицей наблюдаемости стационарной СПС (12).

Записывая для системы (12) условия из [8], убеждаемся, что справедлива

Теорема 5. При любой матрице

P ∈ Un2(T) система пограничного слоя (12)

P -рав-

номерно наблюдаема тогда и только тогда, когда ran

S(t₀) = n₂, а t-семейство быстрых

подсистем (A₄,c₂)(t)

P -равномерно наблюдаемо тогда и только тогда, когда ran

S(t) = n₂

для любого t ∈ T.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ

1133

7. Условия P-равномерной наблюдаемости ЛНСВС. Пусть задана нижнетреуголь-

ная матрица P ∈ Un-1(T ), а матрица

P есть её верхний левый блок размерности n₁ × n₁.

Теорема 6. Пусть матричные функции A_i(t), i = 1, 4, непрерывно дифференцируемы на

отрезке T и Re λ(A₄(t)) ≤ -α < 0 для любого t ∈ T. Если n ≥ 2, то считаем матричные

функции s^mj(t), j = 0, n - 2, m = 0, j, непрерывно дифференцируемыми на T. Если вырож-

денная система (A_s,c_s)

P -равномерно наблюдаема на T и t-семейство быстрых подсистем

(A₄, c₂)(t) полностью наблюдаемо на T, то найдётся такое

μ ∈ (0,μ⁰], что семейство

{A⁰, A¹, c}_μ систем (2), (3) P -равномерно наблюдаемо на T.

Доказательство. Из условий теоремы 6 следует, что det A₄(t) = 0, t ∈ T. Из теоре-

мы 3 вытекает, что существует невырожденное преобразование K(t, μ), которое преобразует

систему (2), (3) в систему (14). Свойство P -равномерной наблюдаемости системы (2), (3) ин-

вариантно относительно преобразования K(t, μ) [8, с. 66]. Поэтому система (2), (3) и система

(14) одновременно являются P -равномерно наблюдаемыми или нет. Из теоремы 1 следует, что

система (A_μ, c) имеет класс {P, n - 1} для любого μ > 0. Так как [8, с. 44, следствие 2.1] для

любого m > 0 множество систем класса {P, m} инвариантно относительно преобразования

K(t, μ), то система (14) также является системой класса {P, n - 1} при любом μ > 0. Тогда

для неё определена матрица наблюдаемости

⎛

⎞

h₀(t,μ)

⎜

h₁(t,μ)

⎟

S_ξη(t,μ) =

⎝

⎠, t ∈ T,

hn-1(t,μ)

составленная из n-вектор-строк h_j(t, μ), j = 0, n - 1, определённых по формулам

∑

h_j(t,μ) = p_jj(t)(hj-1(t,μ)A_ξη(t,μ) +hj-1(t,μ)) +

p_ji(t)h_i(t,μ), h₀(t,μ) = p₀₀(t)c_ξη(t,μ).

i=0

В силу диагонального вида матрицы A_ξη(t, μ) матрица наблюдаемости S_ξη(t, μ) системы

(14) имеет блочную структуру

S_ξη(t,μ) = (S_ξ(t,μ)

. S_η(t,μ)),

(23)

где

⎛

⎞

⎛

⎞

sξ0(t,μ)

sη0(t,μ)

⎜

sξ1(t,μ)

⎟

⎜

sη1(t,μ)

⎟

S_ξ(t,μ) =

⎝

⎠, Sη(t, μ) =

⎝

⎠,

sξn-1(t,μ)

sηn-1(t,μ)

∑

s_ξk(t,μ) = p_kk(t)(sξ,k-1(t,μ)A_ξ(t,μ) + sξ,k-1(t,μ)) +

p_ki(t)s_ξi(t,μ),

i=0

(

∑

A_η(t,μ)

s_ηk(t,μ) = p_kk(t) sη,k-1(t,μ)

+ sη,k-1(t,μ)

+ p_ki(t)s_ηi(t,μ), k = 1,2,... ,

i=0

sξ0(t,μ) = p₀₀(t)c_ξ(t,μ), sη0(t,μ) = p₀₀(t)c_η(t,μ).

(24)

Докажем, что в условиях теоремы 6 для матрицы наблюдаемости S_ξη(t, μ) системы (14)

справедливо представление

⎛

⎞

s₀(t) + O(μ)

p₀₀(t)s₀(t) + O(μ)

⎜

⎟

⎜

s₁(t) + O(μ)

(p₁₁(t)p₀₀(t)s₁(t) + O(μ))

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

S_ξη(t,μ) =

⎜

⎟,

(25)

⎜

)

⎟

⎜

(n-1∏

⎟

⎠

⎝ sn-1(t) + O(μ)

pn-1-j,n-1-j(t)sn-1(t) + O(μ)

μn-1

j=0

где s_j(t),

sj(t), j = 0, n - 1, вычисляются по формулам (20), (22).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1134

ЦЕХАН

Отметим, во-первых, что согласно лемме 2 функции s_j(t), j = 0, n - 1, определены.

Методом математической индукции докажем формулы

)

∑

(j+1∑

s_ξj(t,μ) =

μ^mf^mj(t,μ), s_ηj(t,μ) =

μ^mg^mj(t,μ) ,

j = 0,n - 1,

(26)

μ^j

m=0

где ограниченные на T функции f^mj(t, μ), g^mj(t, μ), j = 0, 1, . . . , определены рекуррентными

соотношениями:

∑

f^mj(t,μ) = p_jj(t)(fmj-1(t,μ)A_s(t)+fm-1j-1(t,μ)A₂(t)R_L(t,μ)

fmj-1(t,μ))+

p_ji(t)fmi-1(t,μ), (27)

i=m

f⁰⁰(t,μ) = p₀₀(t)c_s(t), f¹⁰(t,μ) = -p₀₀(t)c₂(t)R_L(t,μ), f^mj(t,μ) = 0, m < 0 или m > j + 1,

∑

g^mj(t,μ) = p_jj(t)(gmj-1(t,μ)A₄(t) + gm-1j-1(t,μ)L(t,μ)A₂(t) + ġm-1j-1(t,μ)) +

p_ji(t)gmi-1(t,μ), (28)

i=m

g⁰⁰(t,μ) = p₀₀(t)c₂(t), g¹⁰(t,μ) = p₀₀(t)(c₁(t)H(t,μ) + c₂L(t,μ)H(t,μ)),

g^mj(t,μ) = 0, m < 0 или m > j + 1.

Справедливость формул (26) для j = 0 следует из (24), (16), (27), (28). Пусть (26) верны

для j ≤ k -1. Поскольку (A_ξη(t, μ), c_ξη) ∈ {P, n-1} при любом μ > 0, то h_j ( · , μ) ∈ C¹(T, R),

j = 0,n - 2, откуда в силу (23) следует s_ξj(·,μ) ∈ C¹(T,R), s_ηj(·,μ) ∈ C¹(T,R), j = 0,n - 2,

для любых μ > 0. Тогда согласно лемме 1 имеем f^mj( · , μ) ∈ C¹(T, R), j = 0, k - 1.

Докажем первую формулу из (26) для j = k. Действительно, из (24) имеем

∑

s_ξk(t,μ) = p_kk(t)(sξ,k-1(t,μ)A_ξ(t,μ) + sξ,k-1(t,μ)) +

p_ki(t)s_ξ,i(t,μ) =

i=0

(∑k

)

∑

= p_kk(t)

μ^mfmk-1(t,μ)(A_s(t) + μA₂(t)R_L(t,μ)) +

μ^mf˙mk-1(t,μ)

m=0

(∑k

∑

+ p_ki(t) μ^mfmi-1(t,μ) = p_kk(t)

μ^mfmk-1(t,μ)A_s(t) +

μ^mfm-1k-1(t,μ)A₂(t)R_L(t,μ) +

i=0

m=0

m=1

∑

+ μ^mf˙mj-1(t, μ)

+ μ^m p_ki(t)fmi-1(t,μ) =

μ^mf^mk(t,μ).

m=0

i=m

m=0

Аналогично доказывается вторая формула из (26). Пусть она верна для j ≤ k-1. Докажем

её для j = k. Действительно, из (24) имеем

(

∑

s_ηk(t,μ) = p_kk(t) sη,k-1(t,μ)

A_η(t,μ) + sη,k-1(t,μ)

+ p_ki(t)s_η,i(t,μ) =

i=0

(

) ∑k

)

∑

= p_kk(t)

μ^mgmj-1(t,μ) A₄(t) +

L(t, μ)A₂(t)

+ μm ġmk-1(t,μ)

μ^k

μk-1

m=0

(

(∑k

∑

+ p_ki(t)

μ^mgmi-1(t,μ) = p_kk(t)

μ^mgmk-1(t,μ)A₄(t) +

μ^k

i=0

m=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ

1135

∑

))k-1∑

∑

+ μ^mgm-1k-1(t,μ)L(t,μ)A₂(t) +

μ^m ġmk-1

(t, μ)

+ μ^m p_ki(t)gmi-1(t,μ) =

m=1

m=0

i=m

∑

μ^mg^mk(t,μ).

μ^k

m=0

Таким образом, формулы (26) доказаны. Из (26) с учётом (27), (28) для j = 0, n - 1 легко

получить соотношения

(

)

∑

s_ξj(t,μ) = s_j(t) + μ

μ^mfm+1j(t,μ), s_ηj(t,μ) =

c₂(t)Aj4(t) + μ

μ^mgm+1j(t,μ)

(29)

μ^j

m=0

При выполнении условий теоремы 6 для любого j = 0, n - 1 верно h_j( · , μ) ∈ C(T, Rⁿ).

Кроме того, из леммы 2 имеем (A_s, c_s) ∈ {P, n - 1}, а значит, определены и ограничены на T

векторные функции s_j (t), j = 0, n - 1. Поэтому функции s_ξj(t) - s_j(t), μ^js_ηj (t) - c₂(t)Aj4(t)

для j = 0, n - 1 ограничены на T и из (29) следуют равенства

)

(^j∏

s_ξj(t,μ) = s_j(t) + O(μ), s_ηj(t,μ) =

p_j-p,j-p(t)c₂(t)Aj4(t) + O(μ)

μ^j

p=0

т.е. формулы для матрицы (25) справедливы.

Умножим слева матрицу S_ξη(t, μ) на невырожденную матрицу

{

)-1

)-1^}

(n1∏

∏

M_P = diag En1,μn1

p_j-i,j-i(t)

,...,μn1+n2-¹

p_j-i,j-i(t)

i=0

В результате получим блочную матрицу вида

⎛

⎞

(t) + O(μ)

∗

S_ξη(t,μ) =^⎝

⎠_,

O(μ)∗

S(t)An14 + O(μ)∗

где

(t),

S(t) определены в (19), (21), а ∗, O(μ)∗ - некоторые матрицы подходящих размер-

ностей, при этом элементы матриц O(μ)∗ являются бесконечно малыми величинами порядка

малости μ при любом t ∈ T. Ранг матриц

S_ξη(t,μ) равен рангу матрицы S_ξη(t,μ) при всех

t∈T.

Рассмотрим матрицу

⎛

⎞

(t)

∗

S_sf(t) =^⎝

⎠_,

S(t)

которая получается из матрицы S_ξη(t) умножением её справа на невырожденную матрицу

diag {En1 , (An14 )-1} и отбрасыванием членов O(μ). При выполнении условий теоремы 6 с учё-

том теоремы 4 верхний левый блок

(t) полученной матрицы имеет полный ранг по столб-

цам для любого t ∈ T : ran

(t) = n1. С учётом теоремы 5 нижний правый блок этой

матрицы также имеет полный ранг по столбцам ran

S(t) = n₂, t ∈ T. Поскольку оба диа-

гональных блока

(t) и

S(t) матрицы S_sf (t) имеют полный ранг по столбцам, то матрица

S_sf(t) также имеет полный ранг по столбцам для любых t ∈ T. Действительно, если это не

так, то существует n₁ + n₂-вектор-столбец (g^т1, g^т2)^т, g₁ ∈ Rn1 , g₂ ∈ Rn2 ,

∥g₁∥ + ∥g₂∥ = 0 :

S_sf(t)(g^т1,g^т2)т = 0, что равносильно

(t)g₁ + ∗g₂ = 0,

S(t)g₂ = 0. Из последнего равен-

ства в силу полноты ранга матрицы

S(t) следует g₂ = 0, тогда из первого равенства имеем

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

9^∗

1136

ЦЕХАН

(t)g₁ = 0, g₁ = 0, что противоречит полноте ранга

(t). Таким образом, rank S_sf (t) = n

при всех t ∈ T.

С учётом сохранения полноты ранга при малых аддитивных возмущениях матрицы для

достаточно малых μ > 0 справедливо ran

S_ξη(t,μ) = rankS_ξη(t,μ) = n для любого t ∈ T,

откуда с учётом связи между матрицами наблюдаемости S_ξη(t, μ) = SAμ,c(t, μ)K(t, μ) систем

(2), (3) и (14) следует rank SAμ,c(t, μ) = n для любого t ∈ T для всех достаточно малых μ > 0,

что согласно теореме 2 завершает доказательство теоремы 6.

8. Пример. Рассмотрим на отрезке T = [0,2] систему

x₁(t) = γ(t)x₁(t),

x₂(t) = γ(t)x₂(t) + (1 - γ(t))y(t),

x₃(t) = x₁(t) + γ(t)x₃(t) + y(t),

μy(t) = x₁(t) + x₂(t) - y(t)

(30)

с выходной функцией v(t) = -x₁(t) - x₂(t) + x₃(t) + y(t).

Здесь вещественная функция γ(t), t ∈ T, непрерывно дифференцируема, но её производ-

ная φ(t) = γ(t) не является дифференцируемой на T,

1 - γ(t) = 0, t ∈ T, n₁ = 3, n₂ = 1,

n = n₁ + n₂ = 4. Матрицы системы наблюдения (30) имеют вид

⎛

⎞

⎛

⎞

γ(t)

A₁(t) =^⎝ 0 γ(t)

⎠,A2(t) = ⎝1 - γ(t)⎠,

γ(t)

)

A₃(t) =

⁽1

A₄(t) =

⁽-1⁾, c(t) =⁽-1

-1

Несложно убедиться в том, что для этой системы выполнены условия теоремы 6, но мат-

ричная функция

⎞

^⎛γ(t)

⎜

γ(t)

1 - γ(t)⎟

A(t, μ) =

⎝

⎠

γ(t)

μ-1

не является дважды непрерывно дифференцируемой на T. Заметим, что система (30) имеет

класс {P, 3} относительно матрицы

⎛

⎞

⎜-γ(t)

0⎟

P (t) =

⎝

⎠.

-γ(t)

Вырожденная система для системы (30) записывается следующим образом:

x₁(t) = γ(t)x₁(t),

x₂(t) = (1 - γ(t))x₁(t) + x₂(t),

x₃(t) = 2x₁(t) + x₂(t) + γ(t)x₃(t),

vs(t) = x3(t), t ∈ T,

⎛

⎞

γ(t)

)

A_s(t) =^⎝1 - γ(t)

⎠,cs =

⁽0

(31)

γ(t)

Она имеет класс

P,2} относительно матрицы

⎛

⎞

P (t) =^⎝-γ(t)

0⎠

(32)

-γ(t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ

1137

с матрицей наблюдаемости

⎛

⎞

(t) =^⎝

0⎠.

1 - γ(t)

Для системы (30) t-семейство быстрых подсистем имеет вид

dy(τ)

= -y(τ),

vf (τ) = y(τ), τ ≥ 0.

(33)

dτ

Так как de

(t) = 1 - γ(t) = 0, t ∈ T, то ran

(t) = 3 = n₁, ran

S(t) = 1 = n₂, t ∈ T,

и согласно теоремам 4, 5 ВС (31) и t-семейство быстрых подсистем (33)

P- и

P -равномерно

наблюдаемы соответственно. Так как выполнены условия теоремы 6, то существует

μ > 0

такое, что ЛНСВС (30) P -равномерно наблюдаема для всех μ ∈ (0, μ] относительно любой

матрицы P ∈ Un-1(T ), для которой матрица

P (32) есть верхний левый блок размерности

3 × 3 и для неё выполнены условия теоремы 6.

Применение теоремы 3 к системе (30) даёт det S_P (t, μ) = μ-3(-1 + γ(t)) = 0, t ∈ T, что

подтверждает вывод о равномерной наблюдаемости системы (30) для μ > 0.

Заключение. Для ЛНСВС доказаны независящие от малого параметра необходимые и

достаточные условия квазидифференцируемости множества выходных функций. На основе

полной декомпозиции исходной ЛНСВС относительно действия группы линейных невырож-

денных преобразований доказаны ранговые независящие от малого параметра и справедливые

для всех достаточно малых его значений достаточные условия P -равномерной наблюдаемости

ЛНСВС. Условия выражены через матрицы наблюдаемости связанных с ЛНСВС медленной

и семейства быстрых подсистем, имеющих размерности меньшие, чем исходная ЛНСВС.

Используемый в данной работе подход, основанный на понятии P -равномерной наблюда-

емости [8, с. 38] линейных нестационарных систем и декомпозиции СВС [14, 28], позволяет

существенно ослабить известные требования на гладкость коэффициентов при построении на-

блюдателей состояний [15] и обеспечить их робастность по малому параметру.

Результаты настоящей работы применимы для нахождения преобразований, приводящих

ЛНСВС к каноническим формам, решения задач наблюдаемости нестационарных СВС с по-

мощью динамического фильтра, построения композитных управлений типа обратной связи,

экспоненциальных оценивателей состояния системы.

Автор выражает благодарность проф. А.И. Астровскому за ценные советы и замечания,

сделанные при подготовке этой работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Республики Бе-

ларусь (ГПНИ “Конвергенция-2025”, задание 1.2.04).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калман Р. Об общей теории систем управления // Тр. I конгресса ИФАК. Т. 2. М., 1961. С. 521-547.

2. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.

3. Красовский Н.H. Теория управления движением. М., 1968.

4. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. Минск, 1999.

5. Астровский А.И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем. Минск, 2007.

6. Астровский А.И., Гайшун И.В. Оценивание состояний линейных нестационарных систем наблюде-

ния // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 3. С. 370-379.

7. Astrovskii A.I., Gaishun I.V. Observability of linear time-varying systems with quasiderivative coefficients

// SIAM J. Control and Optimization. 2019. V. 57. № 3. P. 1710-1729.

8. Астровский А.И., Гайшун И.В. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициентами:

управляемость и наблюдаемость движений. Минск, 2013.

9. Астровский А.И., Гайшун И.В. Квазидифференцируемость и наблюдаемость линейных неста-

ционарных систем // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 11. С. 1567-1576.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1138

ЦЕХАН

10. Астровский А.И., Гайшун И.В. Равномерная и аппроксимативная наблюдаемость линейных неста-

ционарных систем // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7. С. 3-13.

11. Дерр В.Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения // Изв. Ин-та

математики и информатики Удмуртского гос. ун-та. 1999. Вып. 1. № 16. С. 3-105.

12. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления

// Итоги науки и техники. Мат. анализ. 1982. Т. 20. С. 3-77.

13. Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущённых динамических систем. Минск,

2000.

14. Kokotović P.V., Khalil H.K., O’Reilly J. Singular Perturbations Methods in Control: Analysis and Design.

New York, 1999.

15. O’Reilly J. Full-order observers for a class of singularly perturbed linear time-varying systems // Int. J.

of Control. 1979. V. 30. № 5. P. 745-756.

16. Копейкина Т.Б. Наблюдаемость линейных стационарных сингулярно возмущённых систем в прост-

ранстве состояний // Прикл. математика и механика. 1993. Т. 57. № 6. С. 22-32.

17. Копейкина Т.Б. Относительная наблюдаемость линейных нестационарных сингулярно возмущён-

ных систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. C. 24-30.

18. Копейкина Т.Б., Цехан О.Б. К теории наблюдаемости линейных сингулярно возмущённых систем

// Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 1999. № 3. С. 22-27.

19. Glizer V.Y. Observability of singularly perturbed linear time-dependent differential systems with small

delay // J. of Dynamical and Control Systems. 2004. № 10. P. 329-363.

20. Цехан О.Б. Условия полной наблюдаемости линейных стационарных сингулярно возмущённых сис-

тем второго порядка с запаздыванием // Весн. Гродненскага дзярж. ун-та iмя Я. Купалы. Сер. 2.

Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiч. тэхнiка i кiраванне. 2014. № 1 (170). С. 53-64.

21. Цехан О.Б. Условия поточечной управляемости и поточечной наблюдаемости линейных стационар-

ных сингулярно возмущённых систем с запаздыванием // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси.

2021. Т. 29. № 1-2. С. 138-148.

22. Tsekhan O., Pawluszewicz E. Observability of singularly perturbed linear time-varying systems on time

scales // 26th Intern. Conf. on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR). 2022. Р. 116-

121.

23. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и

телемеханика. 2006. № 1. C. 3-51.

24. Гайшун, И.В., Горячкин В.В. Робастная и интервальная наблюдаемость двухпараметрических дис-

кретных систем с интервальными коэффициентами // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук.

2016. № 2. С. 6-9.

25. Kopeikina T.B. Some approaches to the controllability investigation of singularly perturbed dynamic

systems // Systems Sci. 1995. V. 21. № 1. P. 17-36.

26. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., 1989.

27. Тихонов A.H. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при произ-

водных // Мат. сб. 1952. Т. 31 (73). № 3. С. 575-586.

28. Chang K. Singular perturbations of a general boundary value problem // SIAM J. Math. Anal. 1972.

V. 3. № 3. P. 520-526.

29. Зубер И.Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для линейных нестационарных сис-

тем с одним выходом // Автоматика и телемеханика. 1995. Вып. 5. С. 42-49.

Гродненский государственный университет

Поступила в редакцию 29.04.2023 г.

имени Янки Купалы

После доработки 06.07.2023 г.

Принята к публикации 20.07.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023