ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1139-1142

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.925.5

СРАВНЕНИЕ СПЕКТРОВ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

КОЛЕБЛЕМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

И СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Изучены показатели колеблемости дифференциальных систем. Установлено отсутствие за-

висимости между спектрами показателей колеблемости нелинейной системы и системы её

первого приближения, а именно, построена двумерная нелинейная система, спектры по-

казателей колеблемости сужения которой на любую открытую окрестность нуля фазовой

плоскости состоят из всех рациональных чисел отрезка [0, 1], а спектры линейной системы

её первого приближения - только из одного элемента.

DOI: 10.31857/S0374064123080125, EDN: IRCYRW

Введение. Для изучения колебательных свойств движения И.Н. Сергеевым были введены

сначала характеристические частоты [1], а затем и показатели колеблемости, вращаемости

и блуждаемости [2, 3].

Все перечисленные показатели, как и линейные (см. [4]), оказались применимыми лишь к

решениям, гарантированно определённым на всей положительной полуоси времени. Это за-

трудняет их вычисление для нелинейных систем, где такой гарантии дать нельзя. В работе [4]

предпринята первая попытка распространить определения этих показателей на случай несу-

ществования решений системы на всей полуоси, а именно, определены и изучены сферические,

радиальные и шаровые функционалы и показатели. В статьях [5, 6] были анонсированы ре-

зультаты исследования этих показателей по первому приближению.

В настоящей работе изучаются линейные показатели колеблемости нелинейной системы и

системы её первого приближения. Установлено существование нелинейной системы со счётны-

ми спектрами линейных показателей колеблемости, в то время как спектры соответствующей

линейной системы её первого приближения состоят ровно из одного неотрицательного числа.

1. Базовые понятия. Для заданного натурального n > 1 и заданной открытой окрест-

ности G точки 0 в евклидовом (векторном) фазовом пространстве Rⁿ рассмотрим диффе-

ренциальную, вообще говоря нелинейную, систему вида

x = f(t,x), x ∈ G, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(R₊ × G),

(1)

обеспечивающую наличие нулевого решения, а также существование и единственность реше-

ний задач Коши. С системой (1) свяжем линейную систему её первого приближения

x = A(t)x ≡ f_′(t,x), A(t) = f^′x(t,0), t ∈ R₊, x ∈ Rⁿ,

(2)

при условии

sup |f(t,x) - f_′(t,x)| = o(x), x → 0.

t∈R₊

Через S_∗(f) будем обозначать множество всех непродолжаемых ненулевых решений систе-

мы (1), через x_f ( · , x₀) - то из них, которое удовлетворяет начальному условию x_f (0, x₀) = x₀,

а через G_∗, G_δ или G_δ,γ - множества всех значений x₀ ∈ G, удовлетворяющих соответственно

условиям x₀ = 0, |x0| = δ или δ < |x0| < γ.

Сначала дадим основные определения.

Определение 1 [1]. Будем говорить, что в точке t > 0 происходит строгая (нестрогая)

смена знака функции y : R₊ → R, если в любой проколотой окрестности этой точки функция

1139

1140

СТАШ

y принимает как положительные (соответственно неотрицательные), так и отрицательные

(соответственно неположительные) значения.

Определение 2 [2, 3]. Для ненулевого вектора m ∈ R^n∗ и вектор-функции x_f(·,x₀) ∈

∈ S_∗(f) через ν^α(f,x₀,m,t) при α ∈ {-,∼,0,+,∗} соответственно обозначим:

- число точек строгой смены знака скалярного произведения 〈x_f ( · , x₀), m〉 на промежут-

ке (0, t];

- число точек нестрогой смены знака скалярного произведения 〈x_f ( · , x₀), m〉 на проме-

жутке (0, t];

- число нулей функции 〈x_f ( · , x₀), m〉 на промежутке (0, t];

- число корней (т.е. нулей с учётом их кратности) функции 〈x_f ( · , x₀), m〉 на промежут-

ке (0, t];

- число гиперкорней функции 〈x_f ( · , x₀), m〉 на промежутке (0, t], где в процессе подсчёта

этого количества каждый некратный корень считается ровно один раз, а кратный - бесконечно

много раз, независимо от его фактической кратности.

Определение 3 [2-4]. Верхние (нижние) сильный и слабый показатели колеблемости

знаков, нулей, корней и гиперкорней функции x_f ( · , x₀) ∈ S_∗(f) при α ∈ {-, ∼, 0, +, ∗} соот-

ветственно зададим формулами

(

)

ν^α•(f,x₀) ≡ inf

lim

ν^α(f,x₀,m,t)

ν^α•(f,x₀) ≡ inf lim

ν^α(f,x₀,m,t) ,

m∈R^n∗

t→+∞ t

m∈R^n∗ t→+∞

(

)

ν^α◦(f,x₀) ≡ lim

inf

ν^α(f,x₀,m,t)

ν^α◦(f,x₀) ≡ lim

inf

ν^α(f,x₀,m,t)

t→+∞

m∈R^n∗ t

t→+∞

m∈R^n∗

В случае совпадения какого-либо нижнего показателя с аналогичным верхним будем называть

его точным, убирая в его обозначении знаки “ ˇ” и “ ˆ”. В случае совпадения какого-либо

слабого показателя с аналогичным сильным будем называть его абсолютным, убирая в его

обозначении знаки “_◦ ” и “_• ”.

Для каждого показателя колеблемости κ = ν^α•, ν^α•, ν^α◦, ν^α◦ при α ∈ {-, ∼, 0, +, ∗} введём

обозначение κ(f, M) ≡ {κ(f, x₀) | x₀ ∈ M}.

2. Формулировка и доказательство основного результата.

Теорема. При n = 2 и G = R² существуют две системы с устойчивым по Ляпунову

нулевым решением, первая из которых, линейная вида (2) и служащая системой первого

приближения для другой, удовлетворяет соотношениям

ν^-(f_′,G_∗) = ν^∼(f_′,G_∗) = {0},

(3)

ν⁰(f_′,G_∗) = ν⁺(f_′,G_∗) = ν^∗(f_′,G_∗) = {1},

(4)

а вторая система вида (1) - при любом ε > 0 соотношению

κ(f, G0,ε) = [0, 1]

⋂ Q, κ = ν^-,ν^∼,ν⁰,ν⁺,ν^∗.

(5)

Сначала докажем вспомогательное утверждение.

Лемма. При n = 2 и G = R² для некоторой линейной системы вида (2) с условиями

(3), (4) при любых q ∈ [0,1]

⋂Q и 0 < α < β ≤ 1 найдётся возмущённая система

x = A(t)x + B(x,t) ≡ f(t,x),

|B(x, t)| ≤ |x|², x ∈ R², t ∈ R₊,

обладающая свойствами

ν^-(f,G_α) = ν^-(f,G_β) = ν^∼(f,G_α) = ν^∼(f,G_β) = {0},

ν⁰(f,G_α) = ν⁰(f,G_β) = ν⁺(f,G_α) = ν⁺(f,G_β) = ν^∗(f,G_α) = ν^∗(f,G_β) = {1},

ν^-(f,G_α,β) = ν^∼(f,G_α,β) = ν⁰(f,G_α,β) = ν⁺(f,G_α,β) = ν^∗(f,G_α,β) = {q}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

СРАВНЕНИЕ СПЕКТРОВ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОЛЕБЛЕМОСТИ

1141

Доказательство леммы. 1. Рассмотрим линейную периодическую систему (2), записы-

ваемую в фиксированном базисе в R² ≡ G в виде

(

)

-1

x = ζ(t)Ix ≡ f_′(t,x), ζ(t) ≡

cos t, I ≡

(6)

Она задаёт вращение фазовой плоскости вокруг точки x = 0 с мгновенной скоростью ζ(t) в

каждый момент t ∈ R₊, в результате чего ориентированный угол поворота любого начального

вектора x₀ ∈ G_∗ за время t равен

[

]

ϕ(t, xf′ ( · , x₀)) =

sin t ∈

k ∈ N.

xf′(tk^,x0)=(-1)k-1xf′ (t1, x0), tk ≡ πk -

На каждом промежутке [t_k, tk+1), k ∈ N, решение xf′ ( · , x₀), совершая поворот на угол

π, будет ортогонально в одной точке заданному ненулевому вектору. Принимая во внима-

ние, что угол между векторами xf′ ( · , x₀) и x₀ заключён в пределах от -π/2 до π/2 и

функция

xf′(·,x0)обнуляетсятольковточкахtk,приходимкотсутствиюнестрогихсмен

знака у скалярной функции 〈xf′ ( · , x₀), x₀〉. Следовательно, при любом t ∈ R₊ выполнено

ν^-(f_′,x₀,x₀,t) = ν^∼(f_′,x₀,x₀,t) = 0, откуда следует свойство (3). Для любого вектора m,

не коллинеарного вектору x₀, функция 〈xf′ ( · , x₀), m〉 не имеет кратных нулей и на каждом

промежутке [t_k, tk+1) длины π имеет один нуль, а значит, выполняется свойство (4).

2. На отрезке r ∈ [0, 1] для выбранных 0 < α < β ≤ 1 зададим функции

r²(r - α)²(r - β)

ψ_±(r) ≡ 1 ±

∈ (0, 2).

(r² + 2)²

Для нелинейной периодической системы вида (1) с правой частью g(t, x) = ψ_-(|x|)f_′(t, x)

при любом t ∈ R₊ имеем

[

] (

)

ϕ(t, x_g( · , x₀)) =

ψ_-(|x₀|)sin t ∈

ψ_-(|x₀|),

ψ_-(|x₀|)

⊂

α < |x₀| < β.

Скалярное произведение решения x_g( · , x₀), совершающего поворот менее чем на π, и вектора

x₀ отлично от нуля. Поэтому для значения q = 0 выберем нелинейную систему

{

f_′(t,x),

0 < |x| ≤ α или |x| ≥ β, t ∈ R₊,

f (t, x) ≡

ψ_-(|x|)f_′(t,x),

α < |x| < β, t ∈ R₊.

Для нелинейной периодической системы вида (1) с правой частью h(t, x) = ψ₊(|x|)f_′(t, x)

будем иметь

(

)

[

]

{ϕ(t, x_h( · , x₀)) | t ∈ R₊} ⊃

ψ₊(|x₀|),

ψ₊(|x₀|)

⊃

α < |x₀| < β.

На каждом промежутке [t_k, tk+1), k ∈ N, решение x_h( · , x₀), совершая поворот не менее чем

на π (но менее чем на 2π), будет ортогонально в одной или двух точках наперёд заданному

ненулевому вектору. Следовательно, для значения q = 1 выберем систему

{

f_′(t,x),

0 < |x| ≤ α или |x| ≥ β, t ∈ R₊,

f (t, x) ≡

ψ₊(|x|)f_′(t,x),

α < |x| < β, t ∈ R₊,

а для значения q = l₁/(l₁ + l₂) - систему

⎧

⎨f′(t,x),

0 < |x| ≤ α или |x| ≥ β, t ∈ R₊,

f (t, x) ≡

ψ₊(|x|)f_′(t,x),

α < |x| < β, t ∈ [0,2πl₁],

^⎩ψ_-(|x|)f_′(t, x), α < |x| < β, t ∈ [2πl₁, 2π(l₁ + l₂)],

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1142

СТАШ

где в кольце α < |x| < β функция f(t, x) периодически (с периодом T = 2π(l₁ +l₂), l₁, l₂ ∈ N)

продолжается на всю полуось R₊. Лемма доказана.

Теперь перейдём к доказательству основного результата.

Доказательство теоремы. Занумеровав все рациональные числа из отрезка [0, 1] на-

туральными числами, определим последовательность (s_p)p∈N. По этой последовательности

образуем следующую

s₁;s₁,s₂;s₁,s₂,s₃;... ;s₁,s₂,s₃,... ,s_k;... ,

которую обозначим через (q_p)p∈N.

Единичный круг |x| ≤ 1 разобьем на счётное число колец вида

αk+1 < |x| < α_k, α_k = 21-k, k ∈ N.

(7)

Далее выберем линейную систему (6) и на основании леммы достроим её в каждом кольце

(7) так, чтобы при любом k ∈ N выполнялись равенства

κ(f, Gαk+1,α_k ) = {qk}, κ = ν^-, ν^∼, ν⁰, ν⁺, ν^∗.

В кольце 1 ≤ |x| < +∞ и на каждой окружности |x| = α_k, k ∈ N, линейную систему (6)

оставляем без изменения, поэтому

ν^-(f,G_α

) = ν^-(f,G1,+∞) = ν^∼(f,G_α

) = ν^∼(f,G1,+∞) = {0},

ν⁰(f,G_α

) = ν⁰(f,G1,+∞) = ν⁺(f,G_α

) = ν⁺(f,G1,+∞) = ν^∗(f,G_α

) = ν^∗(f,G1,+∞) = {1}.

Таким образом, из условия α_k → 0 при k → +∞ для любого ε > 0 следует справедливость

соотношения (5). Теорема доказана.

Заключение. Полученный результат показывает отсутствие связи в общем случае между

спектрами показателей колеблемости нелинейной системы и системы её первого приближения.

Интересным остаётся вопрос о возможности нахождения условий на коэффициенты линейной

системы, позволяющих однозначно восстановить спектр какого-либо показателя колеблемости

нелинейной системы.

Автор выражает искреннюю признательность профессору И.Н. Сергееву за постановку

задачи и ценные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. сем.

им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной

системы// Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76. № 1. C. 149-172.

3. Сергеев И.Н. Полный набор соотношений между показателями колеблемости, вращаемости и блуж-

даемости решений дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт-

ского гос. ун-та. 2015. Т. 46. Вып. 2. С. 171-183.

4. Сергеев И.Н. Определение показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости нелинейных

дифференциальных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2021. № 3. С. 41-

46.

5. Сергеев И.Н. Исследование по первому приближению радиальных показателей колеблемости, вра-

щаемости и блуждаемости // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1574-1576.

6. Сергеев И.Н. О некоторых затруднениях при исследовании по первому приближению сферических

и шаровых показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости // Дифференц. уравнения.

2022. Т. 58. № 6. С. 856-858.

Адыгейский государственный университет,

Поступила в редакцию 07.05.2023 г.

г. Майкоп

После доработки 25.06.2023 г.

Принята к публикации 20.07.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023