ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1143-1154

ХРОНИКА

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ

ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ МОСКОВСКОМ

ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА∗)

Ниже публикуются краткие аннотации докладов, состоявшихся в весеннем семестре 2023 г.

(предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале “Дифференц. уравнения”. 2023.

Т. 59. № 2; за дополнительной информацией обращаться по адресу: nds@cs.msu.su)∗∗).

DOI: 10.31857/S0374064123080137, EDN: ISASRE

Н. А. Изобов (Минск, ИМ НАН Беларуси), А. В. Ильин (Москва, Россия, ВМК МГУ)

“Вариант антиперроновского эффекта смены показателей Ляпунова у двумерных дифферен-

циальных систем при возмущениях высшего порядка малости” (20.02.2023).

DOI: 10.31857/S0374064123080149, EDN: ISDLNW

Рассматриваем линейные дифференциальные системы

x = A(t)x, x ∈ R², t ≥ t₀,

(1)

с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, являющимися линейны-

ми приближениями для нелинейных систем

y = A(t)y + f(t,y), y = (y₁,y₂) ∈ R², t ≥ t₀.

(2)

У этих систем m-возмущения f(t, y) являются бесконечно дифференцируемыми функциями

по всем переменным и имеют порядок m > 1 малости в окрестности начала координат y = 0

и допустимого роста вне её:

∥f(t, y)∥ ≤ C_f ∥y∥^m, m > 1, C_f = const > 0, y ∈ R², t ≥ t₀.

(3)

Эффект Перрона [1; 2, c. 50, 51] состоит в смене отрицательных характеристических по-

казателей системы (1) на положительные значения у части решений системы (2) (с m = 2) и

сохранении отрицательных показателей у решений оставшейся непустой части. Исследованию

этого эффекта Перрона, в том числе и полного его варианта, посвящена серия наших работ

(и, в частности, совместных с С.К. Коровиным), завершившаяся полным описанием [3, 4] сус-

линскими множествами совокупностей как положительных, так и отрицательных (и при их

отсутствии) показателей всех нетривиальных решений системы (2) с возмущением (3).

Следует отметить, что суслинские множества впервые были использованы Е.А. Бараба-

новым [5] для описания совокупностей нижних показателей Перрона линейных дифференци-

альных систем (их существование мощности континуума и даже положительной меры Лебега

было установлено ранее одним из авторов настоящего сообщения).

Для возможных приложений представляет интерес противоположный антиперроновский

эффект существования дифференциальных систем с линейным приближением со всеми по-

ложительными характеристическими показателями и малым возмущением из определенного

∗) Семинар основан академиками РАН С.В. Емельяновым и С.К. Коровиным.

∗∗) Составитель хроники А.В. Ильин.

1143

1144

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

класса, имеющих нетривиальные решения с отрицательными показателями Ляпунова. Этот

эффект исследован нами в случае экспоненциально убывающих [6] и исчезающих на бесконеч-

ности [7] линейных возмущений.

В настоящем сообщении предложен простейший вариант антиперроновского эффекта для

возмущений высшего порядка малости.

Введём октанты

R²¹ ≡ {y = (y₁,y₂) ∈ R² : y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0}, R²² ≡ {y = (y₁,y₂) ∈ R² : y₁ ≤ 0, y₂ ≥ 0},

R²³ ≡ {y = (y₁,y₂) ∈ R² : y₁ ≤ 0, y₂ ≤ 0}, R²⁴ ≡ {y = (y₁,y₂) ∈ R² : y₁ ≥ 0, y₂ ≤ 0}

пространства R².

Справедлива следующая

Теорема. Для любых параметров λ₂ ≥ λ₁ > 0, m > θ > 1 существуют:

1) двумерная линейная система (1) с ограниченными бесконечно дифференцируемыми ко-

эффициентами и характеристическими показателями λ_i(A) = λ_i, i = 1, 2;

2) бесконечно дифференцируемое по t ≥ t₀ и y₁,y₂ ∈ R m-возмущение (3)

f (t, y): [t₀, +∞) × R² → R²

такое, что нелинейная возмущённая система (2) имеет решения

Y_i(t) ∈ R2i, t ∈ [t₀,+∞), i = 1,4,

с показателями Ляпунова

(1 + θ)(mλ₁ + θλ₂)

λ[Y_i] = -

< 0, i = 1, 4.

m² - θ²

Литература. 1. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Zeitschr. 1930.

Bd. 32. H. 5. S. 702-728. 2. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчиво-

сти движения. М.; Ижевск, 2006. 3. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение произвольного суслинского

множества положительных характеристических показателей в эффекте Перрона // Дифференц. урав-

нения. 2019. Т. 55. № 4. С. 464-472. 4. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение счётного числа различ-

ных суслинских множеств характеристических показателей в эффекте Перрона смены их значений

// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 12. С. 1585-1589. 5. Барабанов Е.А. Структура множества

нижних показателей Перрона линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1986.

Т. 22. № 11. С. 1843-1853. 6. Изобов Н.А., Ильин А.В. О существовании линейных дифференциальных

систем со всеми положительными характеристическими показателями первого приближения и экспо-

ненциально убывающими возмущениями и решениями // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11.

С. 1450-1457. 7. Изобов Н.А., Ильин А.В. Линейный вариант антиперроновского эффекта смены поло-

жительных характеристических показателей на отрицательные // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58.

№ 11. С. 1443-1452.

И. В. Асташова, Д. А. Лашин, А. В. Филиновский (МГУ ВМК, Москва, Россия)

“Оптимизация с помощью управления весовой и начальной функциями в параболической экс-

тремальной задаче с точечным наблюдением” (20.03.2023).

DOI: 10.31857/S0374064123080150, EDN: ISEPGM

Рассматривается смешанная задача для параболического уравнения:

u_t = (a(x,t)u_x)_x + b(x,t)u_x + h(x,t)u, (x,t) ∈ Q_T = (0,1) × (0,T), T > 0,

(1)

u(0, t) = ϕ(t), u_x(1, t) = ψ(t),

0 < t < T, u(x,0) = ξ(x),

0 < x < 1,

(2)

с гладкими коэффициентами a, b, h в области Q_T . Кроме того, предполагается, что гра-

ничные функции ϕ и ψ принадлежат пространству W¹²(0, T ), а начальная функция ξ -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

1145

пространству L₂(0, 1). Исследуется следующая задача управления с точечным наблюдением:

фиксируя функции ξ, ψ и управляя температурой ϕ на левом конце отрезка, стараемся до-

биться того, чтобы температура u(x₀, · ) в заданной точке x₀ ∈ (0, 1) оставалась интегрально

близкой с некоторым весом ρ к заданной функции z(·) на всём интервале времени (0, T ).

Таким образом, рассматривается задача минимизации интегрального функционала качества

по ϕ. Продолжая исследования [1-4], мы изучаем также задачу об экстремуме полученного

значения по некоторому классу весовых функций ρ.

Различные типы экстремальных задач с финальным или распределённым наблюдениями

для параболических уравнений изучались в работах [5, 6].

Пусть V1,02(Q_T ) - банахово пространство функций u ∈ W1,02(Q_T ) с конечной нормой

∥u∥_V 1,0

= sup

∥u( · , t)∥L2 (0,1) + ∥ux∥L₂(Q_T ),

(Q_T )

0≤t≤T

для которых отображение [0, T ] → L₂(0, 1), действующее по правилу t → u( · , t), непрерывно

[7, с. 15]. Через

(Q_T ) обозначим множество функций η ∈ W¹²(Q_T ), для которых η( · , T ) =

= η(0,·) = 0. Слабым решением задачи (1), (2) будем называть функцию u ∈ V1,02(Q_T ),

удовлетворяющую условию u(0, · ) = ϕ и для всех η ∈W12(Q_T ) интегральному тождеству

∫

(a(x, t)u_xη_x - b(x, t)u_xη - h(x, t)uη - uη_t) dx dt = ξ(x)η(x, 0) dx + a(1, t)ψ(t) η(1, t) dt.

Q_T

Теорема 1 [8]. Задача (1), (2) имеет единственное слабое решение u ∈ V1,02(Q_T ), причём

существует такая константа C (не зависящая от ϕ, ψ, ξ), что выполняется неравенство

∥u∥_V 1,0(QT )

≤ C(∥ϕ∥_W1

(0,T )

+ ∥ψ∥_W 1

(0,T )

+ ∥ξ∥L2(0,1)).

Пусть Φ ⊂ W¹²(0, T ) - множество управляющих функций ϕ, которое далее считаем непу-

стым, замкнутым, выпуклым и ограниченным, а Z ⊂ L₂(0, T ) - множество целевых функ-

ций z. Рассмотрим функционал

∫T

J [z, ρ, ϕ] = (u_ϕ(x₀, t) - z(t))²ρ(t) dt, ϕ ∈ Φ, z ∈ Z,

где u_ϕ - решение задачи (1), (2) с заданной управляющей функцией ϕ, а ρ - весовая функция

из множества P = {ρ ∈ L_∞(0, T ) : ess inf ρ(t) > 0}. Зафиксировав функции z и ρ, рассмотрим

t∈(0,T )

задачу минимизации

m[z, ρ, Φ] = inf J[z, ρ, ϕ].

ϕ∈Φ

Теорема 2 [3, 8, 9]. Для любых функций z ∈ L₂(0, T ) и ρ ∈ P существует единственная

функция ϕ₀ ∈ Φ, для которой

m[z, ρ, Φ] = J[z, ρ, ϕ₀].

Для чисел ρ₂ > ρ₁ > 0 введём подкласс

P ⊂ {ρ ∈ P : essinf ρ(t) ≥ ρ₁, esssupρ(t) ≤ ρ₂} и

t∈(0,T )

поставим задачу нахождения величин

M₁[z

P,Φ]= inf m[z,ρ,Φ] и M₂[z

P,Φ] = supm[z,ρ,Φ].

Определение [10]. Подмножество Y ⊂ X^∗ пространства, сопряжённого к банахову прост-

ранству X, называется регулярно выпуклым, если для любого y ∈ X^∗ \ Y существует такое

x₀ ∈ X, что sup f(x₀) < y(x₀).

f ∈Y

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1146

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Теорема 3. Если множество

P регулярно выпуклo в L_∞(0,T), то для любой функции

z∈L₂(0,T) существуют функции ρ_i

P и ϕ_i ∈ Φ, i = 1,2, для которых

M_i[z

P,Φ] = J[z,ρ_i,ϕ_i].

(3)

В доказательстве теоремы 3 используются следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [10, теорема 10]. Если X - сепарабельное банахово пространство, то множество

Y ⊂ X^∗ регулярно выпукло тогда и только тогда, когда оно выпукло и ∗-слабо замкнуто.

Лемма 2 [11, гл. 8, § 7]. Для любой ограниченной последовательности ρ₁, ρ₂, . . . ∈ L_∞(0, T )

существуют подпоследовательность (ρkj )j∈N и такая функция ρ₀ ∈ L_∞(0,T), что при

любой функции ζ ∈ L₁(0, T ) выполнено равенство

∫

lim

ρkj (t)ζ(t)dt = ρ₀(t)ζ(t)dt.

j→+∞

Замечание. Отметим, что равенство (3) теоремы 3 при i = 1 установлено в работе [4].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского научного фонда

(проект 20-11-20272).

Литература. 1. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On the dense controllability for the parabolic problem

with time-distributed functional // Tatra Mt. Math. Publ. 2018. V. 71. P. 9-25. 2. Astashova I.V., Filinov-

skiy A.V. On properties of minimizers of a control problem with time-distributed functional related to

parabolic equations // Opuscula Math. 2019. V. 39. № 5. P. 595-609. 3. Astashova I., Filinovskiy A.,

Lashin D. On the estimates in various spaces to the control function of the extremum problem for parabolic

equation // WSEAS. J. Appl. Theor. Mech. 2021. V. 16. P. 187-192. 4. Асташова И.В., Лашин Д.А., Фили-

новский А.В. Об одной задаче двойного экстремума в параболической задаче управления с точечным

наблюдением // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 11. С. 1583-1585. 5. Troltzsch F. Optimal Control

of Partial Differential Equations. Theory, Methods and Applications (Graduate Studies in Mathematics).

V. 112. Providence, 2010. 6. Lurie K.A. Applied Optimal Control Theory of Distributed Systems. Berlin,

2013. 7. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения

параболического типа. М., 1967. 8. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об управлении с то-

чечным наблюдением для параболической задачи с конвекцией // Тр. Моск. мат. о-ва. 2019. Т. 80. № 2.

С. 258-274. 9. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об экстремальной задаче управления

с точечным наблюдением для параболического уравнения // Докл. РАН. Математика, информатика,

процессы управления. 2022. Т. 504. № 1. С. 28-31. 10. Krein M.,

Šmuljan V. On regularly convex sets in

the space conjugate to a Banach space // Ann. of Math. 1940. V. 41. № 3. P. 556-583. 11. Банах С. Теория

линейных операций. М.; Ижевск, 2001.

А. И. Астровский (БГЭУ, Минск, Беларусь) “О преобразовании линейных нестационар-

ных систем наблюдения к стационарному виду” (27.03.2023).

DOI: 10.31857/S0374064123080162, EDN: ISNQON

Рассмотрим на отрезке T = [t₀, t₁] ⊂ R линейную нестационарную систему наблюдения

x(t) = A(t)x(t), y(t) = c(t)x(t), t ∈ T,

(1)

у которой x(t) - n-вектор-столбец состояния в момент t, а n×n-матричная функция A(t) и n-

вектор-строка c(t) непрерывны на T. Отождествим систему наблюдения (1) с парой матрич-

ных функций (A, c), а совокупность всех таких пар с непрерывными элементами обозначим

через Σ_n.

Пусть G - группа, состоящая из невырожденных при каждом t ∈ T n × n-матричных

функций с непрерывно дифференцируемыми элементами. Действие “ ∗ ” группы G на множе-

стве Σ_n определим стандартным образом:

G ∗ (A,c) := (G-1AG - G-1G˙,cG), G ∈ G, (A,c) ∈ Σ_n.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

1147

Через O(A, c) обозначим порождённую парой (A, c) орбиту действия группы G, а множе-

ство орбит действия группы G на множестве Σ_n обозначим через Σ_n/G. Орбиту, в которой

существует стационарная система (т.е. система (1), у которой матрица A(t) и вектор-строка

c(t) постоянны при t ∈ T ), будем называть стационарной. Опишем условия на матрицы

системы (1), при выполнении которых её орбита будет стационарной.

Пусть Y_T (A, c) - множество всех выходных функций системы (1), т.е.

Y_T (A,c) = {y ∈ C(T,R) : y(t) = c(t)F_A(t,t₀)x₀, t ∈ T, x₀ ∈ Rⁿ},

где F_A(t, t₀) - матрица Коши системы (1).

Несложно видеть [1, с. 42-44, лемма 2.3], что две системы (A, c) и (B, d) из множества Σ_n

принадлежат одной и той же орбите относительно действия группы G тогда и только тогда,

когда их множества выходов Y_T (A, c) и Y_T (B, d) совпадают. Отсюда следует, что задаваемое

системой (A, c) отображение H : Rⁿ → Y_T (A, c), x₀ → H(x₀) := {y(t) = c(t)F_A(t, t₀)x₀ : t ∈

∈ T}, инвариантно относительно действия группы G. Однако построение этого отображения

непосредственно по параметрам исходной системы в общем случае невозможно, так как рав-

носильно интегрированию линейной дифференциальной системы в (1). Ниже укажем полный

инвариант действия группы G на множестве равномерно наблюдаемых систем.

Говорят [2, с. 225, 226], что система (1) равномерно наблюдаема на T, если каждая её

выходная функция y ∈ Y_T (A, c) является n - 1 раз непрерывно дифференцируемой на T

и отображение x(t) → (y(t), y⁽¹⁾(t), . . . , y(n-1)(t)), задаваемое системой (1), инъективно для

любого t ∈ T. Множество равномерно наблюдаемых систем из Σ_n обозначим через R.

Пусть орбита O(A, c) пары (A, c) ∈ Σ_n является стационарной. Тогда, поскольку, как от-

мечено выше, множество выходных функций для каждой системы из орбиты одно и то же,

каждая выходная функция из множества Y_T (A, c) бесконечно дифференцируема. Следова-

тельно [1, с. 35, 36], для этой пары (A, c) можно по следующему рекуррентному правилу

определить n-вектор-строки:

s₀(t) = c(t), s_i(t) = si-1(t)A(t) + si-1(t), i ∈ N,

(2)

и построить по первым n из них для пары (A, c) матрицу наблюдаемости

S(A, c)(t) := col (s₀(t), . . . , sn-1(t)).

Для бесконечно дифференцируемых выходных функций пары (A, c) ∈ Σ_n методом матема-

тической индукции несложно показать, что y(i)(t) = s_i(t)x(t), i ∈ N

^⋃{0}.

Так как для двух систем (A, c) и (B, d) из одной орбиты их матрицы наблюдаемости

S(A, c)(t) и S(B, d)(t) связаны равенством S(A, c)(t) = G(t)S(B, d)(t) для некоторой G ∈ G,

то если система (A, c) принадлежит стационарной орбите, ранг её матрицы наблюдаемости

S(A, c)(t) для всех t ∈ T принимает одно и то же значение.

Доказано [1, с. 38], что ранг матрицы наблюдаемости S(A, c)(t) равен n при любом t ∈

∈ T для каждой пары (A,c) из множества R равномерно наблюдаемых систем. Поэтому, как

следует из предыдущего, матрица G(t), связывающая две равномерно наблюдаемые системы

(A, c) и (B, d) из одной орбиты, имеет вид G(t) = S-1(A, c)(t)S(B, d)(t).

Через R_n обозначим множество равномерно наблюдаемых систем, у которых каждая вы-

ходная функция непрерывно дифференцируема не менее n раз (это гарантирует существова-

ние n-вектор-строки s_n(t)). Доказано [1, c. 66], что отображение

f : R_n → C(T,Rⁿ), f(A,c)(t) := s_n(t)S-1(A,c)(t),

(3)

является полным инвариантом действия группы G на множестве R_n. Другими словами,

отображение f, определённое соотношением (3), принимает одно и то же значение на орбите

O(A, c) пары (A, c) ∈ R_n и имеет разные значения на различных орбитах.

Пусть R^cn - подмножество множества R_n, для каждой системы (A, c) которого полный

инвариант f(A, c)(t) = col(f₁(A, c)(t), . . . , f_n(A, c)(t)) является не изменяющейся по времени

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1148

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

функцией, т.е. R^cn := {(A, c) ∈ R_n : f_j(A, c)(t) ≡ γ_j , γ_j ∈ R, j = 1, n}. Понятно, что множе-

ство стационарных наблюдаемых систем вида (1) является подмножеством множества R^cn и

полный инвариант для таких систем совпадает с вектором из последовательных коэффициен-

тов характеристического многочлена их матрицы коэффициентов.

Сказанное выше позволяет сформулировать следующие утверждения.

Теорема 1. Равномерно наблюдаемая пара (A, c) ∈ Σ_n обладает стационарной орбитой

относительно группы G тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству R^cn.

Теорема 2. В орбите O(A, c) пары (A, c) ∈ Σ_n имеется стационарная наблюдаемая пара

тогда и только тогда, когда каждая выходная функция системы (A,c) бесконечно диффе-

ренцируема и существуют такие действительные числа α₀, ... , αn-1, что для всех t ∈ T

выполняется равенство

s_n(t) = α₀s₀(t) + ... + αn-1sn-1(t).

Приведём способ построения эквивалентной стационарной системы наблюдения для линей-

ной нестационарной равномерно наблюдаемой системы (1), если такая имеется.

1. Для заданной пары (A, c) ∈ Σ_n по рекуррентным формулам (2) находим n-вектор-

строки s_i(t), i = 0, n - 1. Если их нельзя построить, то стационарной системы в орбите

O(A, c) нет.

2. Формируем матрицу наблюдаемости S(A, c)(t). Если ранги матрицы S(A, c)(t) при раз-

ных t ∈ T не совпадают, то стационарной системы в орбите O(A, c) нет. Это следует из

равенства S(A, c)(t) = G(t)S(B, d)(t) для систем из одной орбиты и того факта, что для ста-

ционарной системы ранг матрицы наблюдаемости не зависит от t ∈ T.

Далее алгоритм работает только для случая равномерно наблюдаемой пары, т.е. когда

rank S(A, c)(t) = n для всех t ∈ T. Поэтому проверяем невырожденность матрицы S(A, c)(t)

при всех t ∈ T.

3. Вычисляем полный инвариант f(A, c)(t) по формуле (3). Если его значение равно неко-

торому постоянному вектору, то пара (A, c) преобразуется к стационарной системе при по-

мощи преобразования G(t) = S-1(A, c)(t). Если значения полного инварианта зависят от

переменной t, то стационарной системы в орбите O(A, c) нет.

Отметим, что в отличие от классического, введённого А.М. Ляпуновым, понятия приводи-

мости для линейных дифференциальных систем на бесконечном промежутке времени, свой-

ство приводимости для систем наблюдения (1) означает возможность одновременного преоб-

разования матричных функций A(t) и c(t) к стационарным (постоянным) матрицам на ко-

нечном промежутке T. Множество приводимых по Ляпунову систем является важным клас-

сом линейных нестационарных систем, так как многие свойства таких систем (устойчивость,

стабилизируемость и др.) изучаются посредством стационарных систем. Н.П. Еругин [3] за-

ложил основы общей теории приводимых систем, доказал ряд необходимых и достаточных

условий приводимости линейных дифференциальных систем и описал некоторые подклассы

таких систем.

Литература. 1. Астровский А.И., Гайшун И.В. Линейные системы с квазидифференцируемыми

коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений. Минск, 2013. 2. Гайшун И.В. Введение

в теорию линейных нестационарных систем. Минск, 1999. 3. Еругин Н.П. Приводимые системы // Тр.

Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1946. Т. 13. С. 3-96.

В. А. Зайцев, И. Г. Ким (УдГУ, Ижевск, Россия) “Назначение конечного спектра и

стабилизация билинейных систем с сосредоточенным и распределённым запаздываниями”

(10.04.2023).

DOI: 10.31857/S0374064123080174, EDN: ISSNVD

Пусть K = C или K = R; Kⁿ = {x = col (x₁, . . . , x_n): x_i ∈ K} - линейное n-мерное

пространство над полем K; M_m,n(K) - пространство m × n-матриц с элементами из поля K;

M_n(K) := M_n,n(K); I ∈ M_n(K) - единичная матрица; SpH - след матрицы H.

Рассмотрим билинейную стационарную дифференциальную систему с сосредоточенным и

распределённым запаздываниями в состоянии

x(t) = A₀x(t) + u₁A₁x(t) + . . . + u_rA_rx(t) + B₀x(t - h) + v₁B₁x(t - h) + . . . + v_sB_sx(t - h) +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

1149

∫⁰

+ (C₀(τ) + w₁(τ)C₁ + . . . + w_ℓ(τ)C_ℓ)x(t + τ) dτ, t > 0,

(1)

-h

с начальным условием x(τ) = ζ(τ), τ ∈ [-h, 0], где ζ : [-h, 0] → Kⁿ - непрерывная функция;

здесь A_j , B_μ, C_ξ ∈ M_n(K), j = 0, r, μ = 0, s, ξ = 1, ℓ; C₀ : [-h, 0] → M_n(K) - интегрируемая

функция; h > 0 - постоянное запаздывание; x ∈ Kⁿ - вектор состояния, u = col (u₁, . . . , u_r) ∈

∈ K^r и v = col(v₁,...,v_s) ∈ K^s - векторы управления, w = col(w₁,...,w_ℓ): [-h,0] → K^ℓ -

интегрируемая функция управления.

Обозначим характеристическую функцию системы (1) через ϕ(λ), т.е.

[

(

)

(

)

∫

(

)

]

∑

ϕ(λ) = det λI - A₀ + u_j A_j

-e^-λh

B₀ + v_μB_μ

C₀(τ) +

w_ξ(τ)C_ξ e^λτ dτ

j=1

μ=1

ξ=1

-h

Характеристическое уравнение ϕ(λ) = 0 системы (1) имеет вид

λⁿ + γ₁(λ)λn-1 + ... + γn-1(λ)λ + γ_n(λ) = 0,

(2)

где

∫

))

∑

( (_α∑

γ_i(λ) =

δi0j exp(-λjh)+

···

δ_iαj(τ₁,... ,τ_α)exp λ

τ_ν -jh dτ₁ ··· dτ_α, (3)

j=0

α=1 j=0_-h

ν=1

-h

i = 1,n. Здесь числа δi0j, i = 1,n, j = 0,i, и функции δ_iαj(τ₁,...,τ_α), τ_ν ∈ [-h,0], i = 1,n,

α = 1,i, j = 0,i - α, ν = 1,α, зависят от коэффициентов A_j (j = 0,r), B_μ (μ = 0,s),

C_ξ (ξ = 1,ℓ), C₀(τ) (τ ∈ [-h,0]), векторов u, v и функции w(τ) (τ ∈ [-h,0]) управления

системы (1).

Множество σ = {λ ∈ C : ϕ(λ) = 0} корней характеристического уравнения (2), (3) назы-

вается спектром системы (1). В общем случае спектр σ системы (1) состоит из бесконечного

числа точек. Если в уравнении (2) числа δi0j равны нулю для всех i = 1, n, j = 1, i, и

функции δ_iαj (τ₁, . . . , τ_α) тождественно нулевые, τ_ν ∈ [-h, 0], i = 1, n, α = 1, i, j = 0, i - α,

ν = 1,α, то характеристическая функция представляет собой полином, и спектр σ является

конечным множеством.

Рассмотрим задачу назначения произвольного конечного спектра σ для системы (1).

Определение. Для системы (1) разрешима задача назначения произвольного конечного

спектра, если для любых γ_i ∈ K, i = 1,n, существуют постоянные векторы u ∈ K^r, v ∈

∈ K^s и интегрируемая функция w: [-h,0] → K^ℓ такие, что характеристическая функция

системы (1) удовлетворяет равенству ϕ(λ) = λⁿ + γ₁λn-1 + . . . + γ_n.

Предположим, что коэффициенты системы (1) имеют следующий специальный вид: мат-

рица A₀ имеет нижнюю форму Хессенберга с ненулевыми элементами первой наддиагонали;

для некоторого p ∈ {1, . . . , n} первые p - 1 строк и последние n - p столбцов матрицы A_j ,

j = 1,r, равны нулю, т.е.

⎡

⎤

a₁₁

a₁₂

⎢

a₂₁

a₂₂

a₂₃

⎥

⎢

⎥

A₀ =

⎢

⎥,

ai,i+1 = 0, i = 1,n - 1;

(4)

⎣

⎦

an-1,1

an-1,2

........ an-1,n

an1

an2

a_nn

[

]

A_j =

A_j ∈ Mn-p+1,p(K), j = 1,r.

(5)

A_j

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1150

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Будем предполагать, что матрицы B_μ (μ = 0, s), C_ξ (ξ = 1, ℓ), C₀(τ) (τ ∈ [-h, 0]) систе-

мы (1) также имеют специальный вид: первые p - 1 строк и последние n - p столбцов этих

матриц равны нулю, т.е.

[

]

B_μ =

B_μ ∈ Mn-p+1,p(K), μ = 0,s,

(6)

B_μ

[

]

[

]

C₀(τ) =

C_ξ =

C₀(τ)

C_ξ ∈ Mn-p+1,p(K), ξ = 1,s, τ ∈ [-h,0].

(7)

C₀(τ)

C_ξ

Здесь число p то же самое, что и в (4).

По системе (1) построим матрицы Γ₀ ∈ M_n,r(K), Γ₁ ∈ M_n,s(K), Γ₂ ∈ M_n,ℓ(K) и Λ₁, Λ₂(τ) ∈

∈ Mn,1(K):

Γ₀ = [Sp (A_jAi-10)]n,ri,j=1, Γ₁ = [Sp(B_jAi-10)]n,si,j=1, Γ₂ = [Sp(C_jAi-10)]n,ℓi,j=1,

(8)

где i - номер строки, j - номер столбца,

Λ₁ = col [Sp B₀,Sp (B₀A₀),... ,Sp (B₀An-10)],

Λ₂(τ) = col [Sp C₀(τ),Sp (C₀(τ)A₀),... ,Sp (C₀(τ)An-10)],

(9)

и матрицы Δ₁ = [Γ₁, Λ₁] ∈ Mn,s+1(K), Δ₂(τ) = [Γ₂, Λ₂(τ)] ∈ Mn,ℓ+1(K).

Теорема 1. Пусть матрицы системы (1) имеют специальный вид (4)-(7). Тогда задача

назначения произвольного конечного спектра для системы (1) разрешима тогда и только

тогда, когда выполнены следующие условия:

(C1) rankΓ₀ = n;

(C2) rankΓ₁ = rankΔ₁;

(C3) rankΓ₂ = rankΔ₂(τ) для п.в. τ ∈ [-h,0].

Рассмотрим задачу стабилизации системы (1): требуется построить векторы u ∈ K^r, v ∈

∈ K^s и интегрируемую функцию w: [-h,0] → K^ℓ такие, чтобы система (1) была асимптоти-

чески устойчивой. Система (1) является асимптотически устойчивой, если её спектр σ лежит

в левой полуплоскости ω := {λ ∈ C: Re λ < 0}. Если задача назначения произвольного ко-

нечного спектра разрешима, то, выбирая многочлен λⁿ + γ₁λn-1 + . . . + γ_n, γ_i ∈ K, таким,

чтобы его корни лежали в области ω, приходим к асимптотически устойчивой системе (1).

Таким образом, из теоремы 1 вытекает очевидное

Следствие 1. Пусть матрицы системы (1) имеют специальный вид (4)-(7) и выполнены

условия (C1)-(C3). Тогда система (1) асимптотически стабилизируема.

Рассмотрим теперь систему (1), когда матрицы C_ξ (ξ = 1, ℓ) являются переменными

(C_ξ : [-h, 0] → M_n(K) - непрерывные функции, ξ = 1, ℓ):

x(t) = A₀x(t) + u₁A₁x(t) + . . . + u_rA_rx(t) + B₀x(t - h) + v₁B₁x(t - h) + . . . + v_sB_sx(t - h) +

∫0

+ (C₀(τ) + w₁(τ)C₁(τ) + . . . + w_ℓ(τ)C_ℓ(τ))x(t + τ) dτ, t > 0.

(10)

-h

Будем предполагать, что матрицы системы (10) имеют специальный вид (4)-(6) и

[

]

C_ξ(τ) =

C_ξ(τ) ∈ Mn-p+1,p(K), ξ = 0,s, τ ∈ [-h,0].

(11)

C_ξ(τ)

Построим матрицы Γ₀ и Γ₁ (см. (8)), матрицу Ψ₂(τ) = [Sp (C_ξ (τ)Ai-10)]n,ℓi,ξ=1, τ ∈ [-h, 0], и

матрицы (9).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

1151

Теорема 2. Пусть матрицы системы (10) имеют специальный вид (4)-(6), (11). Тогда

задача назначения произвольного конечного спектра для системы (10) разрешима тогда и

только тогда, когда выполнены условия (C1), (C2) и следующее условие:

(C4) для почти всякого τ ∈ [-h, 0] система линейных уравнений Ψ2(τ)X(τ) = Λ2(τ)

разрешима относительно X(τ) ∈ K^ℓ, и решение X(τ), τ ∈ [-h, 0], является интегрируемой

на [-h,0] функцией.

Следствие 2. Условия теоремы 2 являются достаточными условиями стабилизации

системы (10).

Приведённые в докладе результаты обобщают результаты работы [1] на билинейные сис-

темы, содержащие распределённое запаздывание.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках государственного задания № 075-01483-23-00 (проект FEWS-

2020-0010).

Литература. 1. Зайцев В.А., Ким И.Г. Задача назначения конечного спектра в билинейных сис-

темах с запаздыванием в состоянии // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьют.

науки. 2019. Т. 29. Вып. 1. С. 19-28.

Е. С. Можегова, Н. Н. Петров (УдГУ, Ижевск, Россия) “Об одной задаче конфликтного

взаимодействия групп управляемых объектов во временных шкалах” (17.04.2023).

DOI: 10.31857/S0374064123080186, EDN: ISSNXZ

Определение 1. Непустое замкнутое множество T ⊂ R¹ такое, что sup{t : t ∈ T} = +∞,

называется временной шкалой.

Определение 2 [1]. Функция f : T → R¹ называется Δ-дифференцируемой в точке t ∈ T,

если существует число γ ∈ R¹, для которого при любом ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что

неравенство

|f(σ(t)) - f(s) - γ(σ(t) - s)| < ε|σ(t) - s|

справедливо для всех s ∈ T

^⋂(t - δ, t + δ), где σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}. Число γ в этом

случае называется Δ-производной функции f в точке t. Будем обозначать Δ-производную

функции f в точке t через f^Δ(t).

Пусть задана некоторая временная шкала T и точка t₀ ∈ T.

В пространстве R^k (k ≥ 2) рассматривается дифференциальная игра n + m лиц: n

преследователей P₁, . . . , P_n и m убегающих E₁, . . . , E_m с законами движения вида

xΔi = u_i, x_i(t₀) = x0i, yΔj = v_j, y_j(t₀) = y0j, u_i,v_j ∈ W.

Здесь i ∈ I = {1, . . . , n}, j ∈ J = {1, . . . , m}, W = {w ∈ R^k : ∥w∥ ≤ 1}. Считаем, что x0i = y0j

для всех i ∈ I, j ∈ J.

Цель группы преследователей состоит в том, чтобы “переловить” всех убегающих. Цель

группы убегающих - помешать этому, т.е. предоставить возможность хотя бы одному из убе-

гающих уклониться от встречи (точные определения приводятся ниже).

Убегающие используют кусочно-программные стратегии, преследователи - кусочно-про-

граммные контрстратегии. Пусть z⁰ = (x⁰¹, . . . , x0n, y⁰¹, . . . , y0m). Обозначим данную игру через

Γ(n, m, z⁰).

Определение 3. В игре Γ(n,m,z⁰) происходит уклонение от встречи, если существуют

кусочно-программные стратегии V₁, . . . , V_m убегающих E₁, . . . , E_m такие, что для любых

траекторий x₁(t), . . . , x_n(t) преследователей P₁, . . . , P_n найдётся номер p ∈ J, при котором

для всех i ∈ I и t ∈ T выполнено соотношение y_p(t) = x_i(t), где y_p(t) - реализовавшаяся в

данной ситуации траектория убегающего E_p.

Определение 4. В игре Γ(n,m,z⁰) происходит поимка, если для некоторого момента

T > t₀, T ∈ T, при любых кусочно-программных стратегиях V₁, ..., V_m убегающих E₁,

..., E_m существуют кусочно-программные контрстратегии U₁, ..., U_n преследователей P₁,

..., P_n такие, что найдутся моменты τ₁,...,τ_m ∈ [t₀,T]

⋂T и номера s₁,...,s_m ∈ I, для

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

10^∗

1152

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

которых выполнены равенства y_j (τ_j) = xsj (τ_j ), j ∈ J, где x_i(t), i ∈ I, и y_j(t), j ∈ J, - реа-

лизовавшиеся в данной ситуации траектории игроков P_i, i ∈ I, и E_j , j ∈ J, соответственно.

Теорема 1. Для любых натуральных чисел p, m ≥ p · 2^p + 2 в игре Γ(2^p + 1, m, z⁰) про-

исходит уклонение от встречи из произвольных начальных позиций z⁰.

Теорема 2. Для любого натурального числа p в игре Γ((k+1)^p, p(k+1)p-1, z⁰) происходит

поимка при некотором векторе начальных позиций z⁰.

Определим функцию f : N → N условием f(n) = min{m : в игре Γ(n, m, z⁰) происходит

уклонение от встречи из произвольных начальных позиций z⁰}.

Теорема 3. Существуют положительные константы C₁ и C₂ такие, что для всех

натуральных n, n = 1, справедливо неравенство

C₁n ln n ≤ f(n) ≤ C₂n ln n.

Отметим, что результаты работы [2] являются следствием приведённых в докладе резуль-

татов при T = R¹.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках государственного задания № 075-01265-22-00 (проект FEWS-

2020-0010).

Литература. 1. Guseinov G.S. Integration on time scales // J. of Math. Anal. Appl. 2003. V. 285.

№ 1. P. 107-127. 2. Петров Н.Н., Петров Н.Никандр. О дифференциальной игре “казаки-разбойники”

// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1366-1374.

В.Е. Хартовский (ГрГУ, Гродно, Беларусь) “Условия асимптотической наблюдаемости

линейных дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием” (15.05.2023).

DOI: 10.31857/S0374064123080198, EDN: ISVQOF

В работе [1] для линейных автономных систем запаздывающего типа введено понятие

асимптотической наблюдаемости, предполагающее возможность однозначного восстановле-

ния неустойчивой части решения по результатам наблюдаемого выхода, а также предложена

конструкция наблюдателей, формирующих асимптотическую оценку решения асимптотиче-

ски наблюдаемых систем. Важным аспектом такого подхода является отсутствие требования

спектральной наблюдаемости у исходного объекта. В статье [2] свойство асимптотической на-

блюдаемости используется для формирования асимптотической оценки решения систем ней-

трального типа.

В докладе идеи работ [1, 2] обобщаются на вполне регулярные линейные автономные диф-

ференциально-алгебраические системы с соизмеримыми запаздываниями, имеющие вид

(Dx(t)) = A(λ_h)x(t), t > 0,

(1)

y(t) = C(λ_h)x(t), t > 0.

(2)

Здесь D ∈ R^n×n, A(λ) ∈ R^n×n[λ], C(λ) ∈ R^r×n[λ] (R^k×n[λ] - множество полиномиальных

матриц переменной λ); λ_h - оператор сдвига, определённый для заданного h > 0 правилом

λ_hf(t) = f(t - h); функция y(t), t > 0, - наблюдаемый выходной сигнал. Решение уравне-

ния (1) однозначно определяется начальным условием

x(t) = η(t), t ∈ [-mh, 0] (m = deg A(λ)),

где η - кусочно-непрерывная функция такая, что функция Dη непрерывна. Далее предпола-

гаем, что функция η неизвестна. Условие полной регулярности уравнения (1) имеет вид

deg |pD - A(0)| = n₁,

(3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

1153

здесь и ниже n₁ = rank D, n₁ ≤ n. Заметим, что множество дифференциально-алгебраиче-

ских систем с запаздыванием (1), удовлетворяющих условию полной регулярности (3), вклю-

чает в себя класс систем нейтрального типа, кроме того, к таким системам в ряде случаев

сводится анализ непрерывно-дискретных систем.

Один и тот же выход y(t), t > t₀ (t₀ ≥ 0), может порождаться различными решениями

x(t), t > t₀, уравнения (1). Каждое такое решение x(t), t > t₀, будем называть совместимым

с выходом y(t), t > t₀.

Определение. Систему (1), (2) назовём асимптотически наблюдаемой, если для любых

двух решений x¹ и x² уравнения (1), совместимых с выходами y¹ и y² соответственно,

выполняется условие: если при некотором t₀ > 0 выполняется тождество y¹(t) ≡ y²(t), t >

> t₀, то ∥x¹(t) - x²(t)∥_Rn → 0 при t → +∞.

Очевидно, что введённое этим определением свойство асимптотической наблюдаемости

равносильно выполнению условия: ∥x(t)∥_Rn → 0 при t → +∞ для всех решений системы (1),

совместимых с нулевым выходом y(t) ≡ 0, t > t₀.

Введём множество

{

[

]

}

W (p, e^-ph)

P = p ∈ C : rank

C(e^-ph)

где W (p, λ) = Dp - A(λ). Если множество P является пустым, то при t > t₁ (t₁ > 0 -

некоторое число) существует взаимно однозначное соответствие между множеством решений

уравнения (1) и множеством выходов (2) (см. [3, 4]).

Пусть n₂ = n - n₁, а Γ₁ ∈ Rn2×n и Γ₂ ∈ Rn×n2 - матрицы фундаментальных систем

решений линейных алгебраических систем γ₁D = 0 и Dγ₂ = 0 соответственно. В статье [4]

показано, что условие

(

)

Γ₁A(λ)Γ₂

rank

= n₂, λ ∈ C,

(4)

C(λ)Γ₂

необходимо для существования t₁ > 0 и непрерывной (в частности, не зависящей от производ-

ных выхода (2)) операции L восстановления “отрезка” одного из решений x(t), t ∈ [t₁-mh, t₁],

уравнения (1), совместимого с выходом (2), L: {y(t) : t ∈ [0, t₁]} → {x(t) : t ∈ [t₁ - mh, t₁]}. Ес-

ли одновременно выполняется условие (4) и множество P пусто, то система (1), (2) является

финально наблюдаемой [3, 4]. В этом случае указанная выше непрерывная операция L позво-

ляет определить единственную функцию x(t), t ∈ [t₁ - mh, t₁], совместимую с наблюдаемым

выходом (2). Предположим, что множество P не пусто и выполнено условие (4). Доказана

Теорема. Если для системы (1)-(3) выполняется условие (4), то она является асимпто-

тически наблюдаемой тогда и только тогда, когда множество P конечно и лежит в левой

открытой полуплоскости.

Для асимптотически наблюдаемой системы (1)-(3), удовлетворяющей условиям приведён-

ной теоремы, разработана схема формирования асимптотической оценки z(t) решения x(t)

такой, что ∥x(t)-z(t)∥_Rn → 0 при t → +∞. Реализация этой схемы заключается в следующей

последовательности действий.

1. В силу условий (3), (4) существует линейное преобразование переменных x = P x c

неособой матрицей P ∈ Rn×n, где

x = col[x₁, x₂],

x₁ ∈ Rn1,

x₂ ∈ Rn2, такое, что при

некотором t₂ > 0 функция x₁ определяется системой

x₁(t) = L(λ_h)x₁(t) +^L(λ_h)y(t), t > t₂,

(5)

с наблюдаемым выходом

^R(λ_h)y(t) = R(λ_h)x₁(t), t > t₂,

(6)

а функция x₂ - соотношением

x₂(t) = M(λ_h)x₁(t) +^M(λ_h)y(t), t > t₂.

(7)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023

1154

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Здесь L(λ) ∈ Rn1×n1 [λ], R(λ) ∈ Rr1×n1 [λ] (r₁ ≥ r), M(λ) ∈ Rn2×n1 [λ],

^L(λ) ∈ Rn1×r[λ],

^R(λ) ∈ Rr1×r[λ],

^M(λ) ∈ Rn2×r[λ]. Способ построения матрицы P и соотношений (5)-(7)

описан в работе [4, формулы (69)-(71)].

2. Методом от противного показывается, что если система (1)-(3) асимптотически наблю-

даема, то и система (5), (6) также асимптотически наблюдаема. Строим асимптотическую

оценку z₁(t) решения x₁(t) системы (5), (6), ∥x₁(t) - z₁(t)∥_Rn → 0 при t → +∞. Один из

подходов к формированию оценки z₁(t) при помощи конечной цепочки наблюдателей пред-

ложен в статье [2] (если систему (5), (6) можно преобразовать к асимптотически наблюдаемой

системе со скалярным выходом, то можно воспользоваться результатами работы [1]).

3. Предположим, что найдена оценка z₁(t). Вследствие соотношения (7) полагаем

z₂(t) = M(λ_h)z₁(t) +^M(λ_h)y(t).

После этого формируем окончательную оценку z(t) решения x(t) системы (1), (2), используя

равенство z(t) = P z(t),

z = col[z₁, z₂].

Литература. 1. Ильин А.В., Буданова А.В., Фомичев В.В. Синтез наблюдателей для асимптоти-

чески наблюдаемых систем с запаздыванием // Докл. РАН. 2013. Т. 448. № 4. С. 399-402. 2. Хартов-

ский В.Е. К вопросу об асимптотической оценке решения линейных стационарных систем нейтрального

типа с соизмеримыми запаздываниями // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 12. С. 1701-1716. 3. Ме-

тельский А.В., Минюк С.А. Полная управляемость и полная конструктивная идентифицируемость

вполне регулярных алгебро-дифференциальных систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения.

2007. Т. 43. № 3. С. 303-317. 4. Хартовский В.Е. О некоторых задачах управляемости и наблюдаемо-

сти для дифференциально-алгебраических систем с последействием // Тр. Ин-та математики НАН

Беларуси. 2021. Т. 29. № 1-2. C. 126-137.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№8

2023