ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1157-1171

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.5

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Изучаются интегрально ограниченные решения дифференциального уравнения A (x) = z,

где A - линейный дифференциальный оператор порядка l, определённый на функциях

x: R → H (R = (-∞,∞), H - конечномерное евклидово пространство). Правая часть z -

интегрально ограниченная функция на R со значениями в H, удовлетворяющая неравен-

ству (ψ(t), z(t)) ≥ δ|z(t)|, t ∈ R, δ > 0. Приводятся условия на оператор A и функцию

ψ: R → H, гарантирующие для рассматриваемых решений x обратное неравенство вида

∫

|x(l)(t)| dt ≤ c

|x(t)| dt,

τ-1

в котором постоянная c не зависит от выбора действительного числа τ и функции x.

DOI: 10.31857/S0374064123090017, EDN: WOMIXW

Введение. В работе изучаются решения дифференциального уравнения A (x) = z по-

рядка l. При некоторых предположениях относительно дифференциального выражения A

и правой части z рассматриваемого уравнения для решений x устанавливаются обратное

неравенство

∫

sup

|x(l)(t)| dt ≤ c₀ sup

|x(t)| dt

τ ∈R

и некоторые его модификации, где c - положительная константа.

В п. 1 статьи содержатся определения различных функциональных классов, приводятся

сведения о клиньях и конусах, основное внимание при этом уделяется случаю конечномер-

ного пространства. В п. 2 устанавливается основной результат работы - обратные функци-

ональные неравенства, позволяющие оценивать нормы старших производных решений через

аналогичные нормы исходных решений. Правая часть z при этом предполагается интеграль-

но ограниченной и удовлетворяющей некоторому неравенству. Обсуждению и модификациям

полученных результатов посвящён п. 3.

Основу работы составляют одномерные варианты теорем вложения [1, 2] и конусные мето-

ды исследования систем дифференциальных неравенств [3-5]. Используются следующие обо-

значения: R - поле действительных чисел, N - множество натуральных чисел. Через H =

= R^m означим m-мерное действительное арифметическое пространство; скалярное произ-

ведение двух векторов u = (u₁, . . . , u_m), v = (v₁, . . . , v_m) из R^m определено равенством

√

(u, v) = u₁v₁ + . . . + u_mv_m, |u| =

(u, u) - евклидова норма вектора u.

Все банаховы пространства рассматриваются над полем действительных чисел. Если Z -

банахово пространство и v ∈ E, то ∥v; Z∥ - норма элемента v в пространстве Z, Z∗ -

сопряжённое к Z пространство, σ(Z, Z^∗) и σ(Z^∗, Z) - слабые топологии в пространствах Z

и Z^∗ соответственно. Запись Z₁ → Z₂ означает непрерывность оператора вложения банахова

пространства Z₁ в банахово пространство Z₂; если же оператор вложения вполне непрерывен,

то для этого используется запись Z₁ ⇒ Z₂. Далее будет применяться следующее утверждение.

Предложение 1 [6, c. 126]. Пусть Z, Z₁, Z₀ - банаховы пространства, причём Z₁ ⇒ Z

и Z → Z₀. Тогда существует такая функция χ: (0,∞) → (0,∞), что для каждого элемента

f ∈ Z₁ и любого положительного числа η справедливо неравенство Эрлинга

∥f; Z∥ ≤ η∥f; Z₁∥ + χ(η)∥f; Z₀∥.

1157

1158

КЛИМОВ

1. Функциональные пространства и конусы. Пусть J = [a,b] - отрезок на действи-

тельной прямой R, H - конечномерное евклидово пространство. Через L(J, H) обозначается

пространство измеримых функций на отрезке J со значениями в H, для которых имеет смысл

и конечна норма

∫

∥u; L₁(J)∥ =

|u(t)| dt;

как обычно, совпадающие почти всюду (относительно одномерной лебеговой меры mes₁) функ-

ции отождествляются; здесь и далее в обозначениях нормы символ H опускается. Наряду с

L₁(J,H), далее будут применяться аналогично определяемые пространства Лебега L_p(J,H),

а также пространства Орлича L_Φ(J, H), E_Φ∗ (J, H), порождаемые N -функцией Φ и сопря-

жённой к ней функцией Φ^∗ [7, гл. 2].

Функцию g : J → H называют абсолютно непрерывной на отрезке J = [a, b], если

∫t

g(t) = g(a) + f(s) ds,

где f ∈ L₁(J, H). В этом случае функция g(t) почти всюду на J дифференцируема и g^′(t) =

= f(t). Вместе с тем функция f является производной в смысле Соболева функции g. Класс

абсолютно непрерывных функций g : J → H образует банахово пространство W¹(J, H) с

нормой

∥g; W¹(J)∥ = ∥g; L₁(J)∥ + ∥g^′; L₁(J)∥.

Если k ∈ N и k > 1, то через W^k(J, H) обозначается совокупность всех функций g : J → H,

производные которых (до порядка k - 1 включительно) принадлежат классу W¹(J, H). Для

каждой функции g из W^k(I, H) имеет смысл и конечна норма

∑

∥g; W^k(J)∥ =

∥g(i); L₁(J)∥,

i=0

относительно которой W^k(J, H) - банахово пространство, представляющее собой одномерный

вариант классических пространств Соболева [1, 2].

Наряду с W^k(J, H), ниже будет рассматриваться банахово пространство C^k(J, H), состо-

ящее из функций x: J → H, имеющих на отрезке J непрерывные производные до порядка

k∈N

^⋃{0} включительно. Норма в C^k(J, H) определяется стандартным образом:

∑

∥g; C^k(J)∥ =

max |x(i)(t)|.

t∈J

i=0

Для единообразия иногда будут применяться обозначения

L(J, H) ≡ W⁰(J, H), C(J, H) ≡ C⁰(J, H).

Предложение 2. Пусть l ≥ 1. Тогда:

1) пространство W^l(J, H) непрерывно вложено в пространство Cl-1(J, H) и компактно

вложено в пространство Wl-1(J, H);

2) оператор дифференцирования x → x(l-1) действует и вполне непрерывен из W^l(J,H)

в пространство Орлича EΦ∗(J,H) для любой N-функции Φ.

Предложение 2 есть одномерный вариант теорем вложения (см., например, [1, c. 74-78; 2,

c. 69-78].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1159

Лемма 1. Пусть l ∈ N, i = 0, l - 1, P_i(t) - m × m-матрица, элементы которой при

i < l-1 суммируемы на отрезке J, а при i = l-1 принадлежат некоторому пространству

Орлича L^Φ(J). Тогда имеет место неравенство

∥P_ix(i); L(J)∥ ≤ η∥x; W^l(J)∥ + k₀(η)∥x; L(J)∥,

в котором η - произвольная положительная постоянная, k₀(η) - убывающая положитель-

ная и не зависящая от x функция.

Равносильное лемме 1 предложение доказано в статье [5]. Там же установлено следующее

утверждение.

Предложение 3. Для любого натурального числа k найдётся такое положительное

число λ_k, что для произвольной вещественной функции v класса C^k[a, b] имеет место нера-

венство

∫

λ_k

min

|v(k)(t)| ≤

|v(t)| dt.

t∈[a,b]

(b - a)^k

Перейдём к пространствам векторных функций, определённых на всей действительной оси.

Положим J_τ = [τ, τ + 1], τ ∈ R. Функцию z : R → H назовём интегрально ограниченной,

если её сужение на любой отрезок J_τ принадлежит пространству L(J_τ , H) и число

∥z; M₁∥ = sup ∥z; L₁(J_τ )∥ < ∞.

(1)

τ ∈R

Совокупность интегрально ограниченных векторных функций с нормой (1) образует бана-

хово пространство M₁(R). Аналогичная конструкция применима и к другим пространствам

функций. Например, через Ml1(R) обозначается пространство функций x: R → H, сужения

которых на любой отрезок J_τ принадлежит W^l(J_τ ), причём

∥x; Ml1∥ = sup ∥x; W^l(J_τ )∥ < ∞;

τ ∈R

далее C^k(R), k ∈ N

^⋃{0}, - пространство функций x: R → H, сужения которых на любой

отрезок J_τ принадлежат C^l(J_τ ), при этом норма

∥x; C^k∥ = sup ∥x; C^k(J_τ )∥ < ∞.

τ ∈R

Через C₀(R) обозначается совокупность ограниченных и равномерно непрерывных на

R функций x: R → H. Класс C₀(R) составляет замкнутое подпространство пространст-

ва C⁰(R).

Лемма 2. Пусть ψ ∈ C₀(R). Тогда для любого ε > 0 существует функция ψ₁ класса

C₀(R), удовлетворяющая условиям:

1) ∥ψ - ψ₁; C⁰∥ < ε;

2) функция ψ₁ имеет ограниченные производные любого порядка, т.е.

|ψ(i)1(t)| ≤ β_i < ∞, t ∈ R, i ∈ N.

(2)

Доказательство основано на стандартной процедуре усреднения (см., например, [1, 2]).

Пусть ω(t) - бесконечно дифференцируемая финитная функция на R, ω(t) ≥ 0 и ∥ω; L₁∥ = 1.

Положим ω_δ(t) = δ-1ω(t/δ), δ > 0. Свёртка

∫

(ψ ◦ ω_δ)(t) = ω_δ(t - s)ψ(s) ds

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1160

КЛИМОВ

при любом δ > 0 есть бесконечно дифференцируемая функция, производные которой любого

порядка равномерно ограничены на R. При малых δ > 0 выполняется условие

∥ψ - (ψ ◦ ω_δ); C⁰∥ < ε,

что и завершает доказательство леммы.

Напомним определения и примеры, относящиеся к теории конусов в действительном бана-

ховом пространстве Z. Далее используется терминология, принятая в [3, 4].

Замкнутое множество K пространства Z называют клином, если для любых x, y ∈ K и

неотрицательного числа α x + y ∈ K и αx ∈ K. Если K - клин, то множество K

^⋂ (-K)

называют его лезвием. Клин K называют конусом, если его лезвие состоит лишь из одной

точки. В дальнейших построениях замкнутость клина не используется, поэтому вопрос о за-

мкнутости изучаемых клиньев не обсуждается.

Клин K ⊂ Z называют телесным, если он содержит шар ненулевого радиуса. Линейный

функционал Λ на Z называют положительным, если Λ(x) ≥ 0 при x ∈ K. Совокупность

положительных функционалов образует клин K^∗ в сопряжённом к Z пространстве Z^∗. Если

клин K не совпадает со всем пространством Z, то клин K^∗ содержит ненулевые элементы.

Функционал Λ является внутренним элементом K^∗ в том и только том случае, если при

некотором δ > 0 справедливо неравенство

Λ(x) ≥ δ∥x∥, x ∈ K.

(3)

В этой ситуации функционал Λ называют равномерно положительным, а клин K^∗ являет-

ся телесным. Равномерно положительный функционал есть внутренний элемент клина K^∗.

Действительно, если выполнено неравенство (3), Λ₁ ∈ E^∗ и ∥Λ₁ - Λ; E^∗∥ < δ, то

Λ₁(x) = Λ(x) + (Λ₁ - Λ)(x) ≥ (δ - ∥Λ - Λ₁;E^∗∥)∥x∥, x ∈ K.

Равномерно положительные функционалы на конусе K пространства Z существуют не

всегда. Например, если Z = L_p[0, 1], а K - конус неотрицательных почти всюду функций,

то равномерно положительные функционалы существуют лишь при p = 1. Однако в любом

банаховом пространстве Z можно указать такой конус K, относительно которого существу-

ют равномерно положительные функционалы, а сопряжённый конус телесен. Действительно,

пусть Λ₀ - ненулевой функционал на Z и 0 < δ₀ < ∥Λ₀∥. Введём в рассмотрение множество

K(Λ₀, δ₀) = {x ∈ Z : Λ₀(x) ≥ δ₀∥x∥}.

Нетрудно видеть, что множество K(Λ₀, δ₀) есть конус в пространстве Z. Если Λ ∈ Z^∗ и

∥Λ - Λ₀; Z^∗∥ < δ₀, то для всех x из конуса K(Λ₀, δ₀) выполнено неравенство

Λ(x) ≥ (δ₀ - ∥Λ - Λ₀; E^∗∥)∥x∥,

поэтому Λ - равномерно положительный на K(Λ₀, δ₀) функционал.

Приведём ещё один вариант предшествующей конструкции. Пусть F - замкнутое выпук-

лое подмножество банахова пространства Z, не содержащее нуля θ пространства Z. Через

K(F ) обозначим множество элементов вида αx, где α ≥ 0 и x ∈ F. Множество K(F ) -

конус [4, c. 11]. Выпуклое множество D называют [8, c. 35] базой конуса K, если каждый

ненулевой элемент из K допускает единственное представление x = αy, где α > 0, y ∈ D.

Например, если Λ - равномерно положительный на конусе K функционал, то при любом

h > 0 множество D(Λ,h) = {x ∈ K : Λ(x) = h} образует базу конуса K. Если K = K(F), то

существует равномерно положительный на конусе K функционал [4, с. 40; 8, c. 21].

Подробно обсудим этот вопрос в частном случае, когда Z совпадает с конечномерным

евклидовым пространством H. В этой ситуации сопряжённое к Z = H пространство Z^∗

можно отождествить с H. Введём обозначения: Kv(H) - совокупность непустых выпуклых

компактных подмножеств пространства H; B = {v ∈ H : |v| ≤ 1} - шар единичного радиуса

с центром в нуле θ; если F₁, F₂ ∈ Kv(H), то h₀(F₁, F₂) = min{t ≥ 0 : F₂ ⊂ F₁ + tB} -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1161

уклонение множества F₂ от множества F₁. Вообще говоря, h₀(F₁, F₂) = h₀(F₂, F₁). Если

v₀ ∈ H, F ∈ Kv(H), то

h₀(v₀,F) = min|v - v0|, h0(F, v0) = max|v - v0|.

v∈F

Число h(F₁, F₂)=max{h₀(F₁, F₂), h₀(F₂, F₁)} называют расстоянием (по Хаусдорфу) меж-

ду F₁, F₂. Относительно метрики Хаусдорфа Kv(H) есть полное метрическое пространство.

Метрической проекцией нуля θ на множество F класса Kv(H) называют такой элемент

v = Pr(F) из F, что |v| = min{|y| : y ∈ F}. Проекция определяется однозначно и непрерывно

зависит от F. Более точно, справедливо неравенство

√

|Pr(F₁) - Pr(F₂)| ≤ 2

2R(h(F₁, F₂))1/2,

где R = max{h₀(F₁, θ), h₀(F₂, θ)} [9, c. 186, 187]. Таким образом, проекция Pr(F ) удовлетво-

ряет локальному условию Гёльдера порядка 1/2.

Лемма 3. Пусть F ∈ Kv(H), θ ∈ F, ψ = Pr(F ), r = |ψ|, R = h₀(F, θ) = max{|v| : v ∈

∈ F}. Тогда имеет место неравенство

(ψ, z) ≥

|z|,

z ∈ K(F).

Доказательство. Поскольку ψ = Pr(F ), то

(ψ, v - ψ) ≥ 0, v ∈ F.

Следовательно, (ψ, v) ≥ (ψ, ψ) = r², v ∈ F. Если z ∈ K(F ), то z/t ∈ F при некотором

положительном t. Отсюда следуют оценки

(

)

|z|

r²

r≤

≤ R, ψ,

≥ r², (ψ,z) ≥ r²t ≥

|z|.

Лемма доказана.

В лемме 3 указывается вполне определённый способ построения равномерно положительно-

го функционала Λ на конусе K(F ). Соответствие K(F ) → Λ = Pr(F ) не только однозначно,

но и квалифицированно непрерывно.

Пусть ψ - ненулевой элемент из H, 0 < δ < |ψ|, K(ψ, δ) = {z ∈ H : (ψ, z) ≥ δ|z|}. Множе-

ство K(ψ, δ) называют эллиптическим конусом в пространстве H. Из леммы 3 следует, что

любой конус K(F ) принадлежит более широкому эллиптическому конусу. Так как в конечно-

мерном пространстве любой конус совпадает с некоторым конусом K(F ) (см., например, [4,

c. 40; 8, c. 23], то любой конус в H есть часть некоторого эллиптического конуса.

2. Обратные неравенства. Пусть l ∈ N и l > 1. Как и выше, M₁(R) и Ml1(R) - прост-

ранства функций f : R → H, наделённые соответствующими нормами. Введём в рассмотрение

дифференциальные операторы

∑

L₀(x) = x(l), L₁(x) =

P_ix(i), L (x) = L₀(x) + L₁(x).

i=0

Здесь P_i, i = 0, l - 1, - m × m-матрицы, удовлетворяющие условиям леммы 1 на каждом

отрезке J_τ c константами, не зависящими от τ. Более точно, если v - элемент матрицы P_i,

то верны оценки

∥v; L₁(I_τ )∥ ≤ R₀, i = 0, l - 2,

∥v; L^Φ(J_τ )∥ ≤ R₀, i = l - 1,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1162

КЛИМОВ

константа R₀ и N -функция Φ не зависят от τ. Предположение относительно матрицы

Pl-1(t) эквивалентно следующему условию: для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что

∫

∥Pl-1(τ + t)∥ dt < ε

для любого τ ∈ R и всякого измеримого множества T ⊂ [0, 1], mes₁T < δ (см., например,

[10, c. 171])∗). Из леммы 1 следует оценка

∥L₁(x); L(J)∥ ≤ η∥x; W^l(J)∥ + k(η)∥x; L₁(J)∥,

(4)

константа η может быть любой положительной величиной, функция k(η) может зависеть

от J, однако для отрезков J = [a, b], длины которых удовлетворяют условиям 0 < d₁ ≤ b -

- a ≤ d₂ < ∞, d₁, d₂ - фиксированные положительные числа, функцию k(η) можно взять

одной и той же. Из оценки (4) следует неравенство коэрцитивности.

Лемма 4. Для функций x из Ml1(R) справедливо неравенство

c₁(J)∥x;W^l(J)∥ ≤ ∥L (x);L₁(J)∥ + ∥x;L₁(J)∥,

где положительное число c₁(J) зависит от J, однако для отрезков J, длины которых рас-

положены между двумя положительными числами, это число можно взять постоянным.

Доказательство следует из неравенства треугольника

∥L (x); L₁(J)∥ ≥ ∥x(l)|; L₁(J)∥ - ∥L₁(x); L(J)∥

и вытекающей из (4) оценки

)

⁽1

∥L₁(x); L₁(J)∥ ≤

∥x; Wl1(J)∥ + k

∥x; L₁(J)∥.

Пусть ниже ψ(t) - функция на R, удовлетворяющая условиям:

1) ψ ∈ C₀(R);

2) inf |ψ(t)| > 0.

t∈R

Таким образом, функция ψ : R → H равномерно непрерывна на R и равномерно ограни-

чена от 0 и ∞:

0 < r₀ ≤ |ψ(t)| ≤ R₀ < ∞.

Сопоставим функции ψ(t) и постоянной δ ∈ (0, r₀) переменный эллиптический конус

K(ψ(t), δ) = {v ∈ H : (ψ(t), v) ≥ δ|v|}.

Функцию ψ(t) для дальнейшего удобно считать достаточно гладкой. Это позволяет сделать

Лемма 5. Для любого переменного эллиптического конуса K(ψ(t), δ) существует содер-

жащий его переменный эллиптический конус K(ψ₁(t), δ₁), для которого ψ₁ ∈ C₀(R)

^⋂C^∞(R)

и справедливы оценки (2).

Лемма 5 следует из леммы 2.

K(ψ,δ)функцийz

Сопоставим переменному эллиптическому конусу K(ψ, δ) множество

класса M₁(R), удовлетворяющих почти при всех t неравенству

(ψ(t), z(t)) ≥ δ|z(t)|.

(5)

Условие (5) означает, что z(t) ∈ K(ψ(t), δ) почти при всех t.

∗) Норма ∥P ∥ матрицы P размерности m×m определяется равенством ∥P ∥ = max{|P v| : v ∈ H, |v| ≤ 1}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1163

Через K(L , ψ, δ) обозначим совокупность функций x класса Ml1(R), для которых L (x)∈

∈ K(ψ,δ). Множество K(L,ψ,δ) образует клин в пространстве Ml1(R). Для элементов клина

K(L , ψ, δ) верны обратные неравенства.

Теорема 1. Существует такая постоянная c = c(L , ψ, δ), что для всех функций x

класса K(L , ψ, δ) верно неравенство

∥x; Ml1∥ ≤ c(L , ψ, δ)∥x; M₁∥.

(6)

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что функция ψ бесконечно

дифференцируема и выполнены аналогичные (2) условия ограниченности производных

|ψ(i)(t)| ≤ β_i < ∞, t ∈ R, i ∈ N.

(7)

Если x ∈ K(L , ψ, δ), то сужение функции v(t) = (x(t), ψ(t)) на любой отрезок J принад-

лежит классу Cl-1(J). Зафиксируем действительное число τ. Применив к функции v(t) и

отрезкам [τ - 1, τ] и [τ + 1, τ + 2] предложение 3, получим соотношения

∫

min

|v(l-1)(t)| ≤ λl-1

|v(t)| dt,

min

|v(l-1)(t)| ≤ λl-1

|v(t)| dt.

(8)

t∈[τ-1,τ]

t∈[τ+1,τ+2]

τ-1

τ+1

Ввиду (8) существуют такие числа t₀ ∈ [τ -1, τ] и t₁ ∈ [τ +1, τ +2], что выполнены неравенства

∫

|vl-1(t₀)| ≤ λl-1

|v(t)| dt,

|vl-1(t1)| ≤ λl-1

|v(t)| dt.

(9)

τ-1

τ+1

Введём отрезок J = [t₀, t₁], длина t₁ - t₀ которого 1 ≤ t1 - t0 ≤ 3. Поскольку x ∈

∈ K(L,ψ,δ), то почти при всех t справедлива оценка

(ψ(t), L (x)(t)) ≥ δ|L (x)(t)|.

(10)

Интегрируя (10) по отрезку J, приходим к соотношению

∫t1

Q := (ψ(t), L (x)(t)) dt ≥ δ∥L (x); L₁(J)∥.

(11)

t₀

Из неравенства коэрцитивности следует оценка

∥x; W^l(J)∥ ≤ c₁(Q + ∥x; L₁(J)∥).

(12)

Теперь оценим правую часть (12) сверху. Очевидно, что

∥x; L₁(J)∥ ≤ ∥x; L₁(τ₁, τ + 2)∥.

Более трудно оценить сверху определяемое из (11) число Q. Поскольку L (x) = L₀(x)+L₁(x),

то Q = Q₀ + Q₁, где

∫t1

∫

t₁

Q₀ := (ψ(t),x(l)(t))dt, Q₁ := (ψ(t),L₁(x)(t))dt.

t₀

Интегрирование по частям влечёт за собой равенство

∫t1

Q₀ = (ψ(t),x(l)(t))dt = Q₀₁ - Q₀₂,

t₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1164

КЛИМОВ

в котором

t₁

∫

Q₀₁ = (ψ(t),x(l-1)(t))|t1t₀ , Q0,2 = (ψ^′(t),x(l-1)(t))dt.

t₀

Таким образом,

Q=Q₀₁ -Q₀₂ +Q₁.

Правило дифференцирования произведения приводит к равенству

(

)

∑

l-1

Q₀₁ = (ψ(t),x(t))(l-1)|t1 -_t

(13)

(ψ(l-1-i)(t), x(i)(t))|t1t₀ = I1 + I2.

i=0

Для оценки первого слагаемого I₁ в правой части (13) применим соотношения (9), связанные

со специальным выбором чисел t₀, t₁, и получим

∫

|x(t)| dt,

(14)

|I₁| = |(ψ(t), x(t))(l-1)|t1t₀ | ≤ c1

τ-1

где c₁ - некоторая постоянная. Второе слагаемое I₂ оценивается следующим образом:

|I₂| ≤ η∥x; W^l(J)∥ + k₁(η)∥x; L₁(J)∥.

(15)

Для доказательства (15) достаточно учесть неравенства (7) и полную непрерывность операто-

ра вложения пространства W^l(J) в пространство C^k(J) при k < l - 1. Постоянная η может

быть взята сколь угодно малой в силу неравенства Эрлинга. Аналогичными рассуждениями

устанавливается оценка интегрального слагаемого -Q₀₂ + Q₁ :

| - Q₀₂ + Q₁| ≤ η∥x;W^l∥ + k₂(η)∥x;L₁(J)∥,

из которой и неравенств (14), (15) следует соотношение

|Q| ≤ 2η∥x; W^l(J)∥ + k(η)∥x; L₁(τ - 1, τ + 2)∥,

где постоянная k(η) не зависит от x и τ.

Объединив (12) c полученной выше оценкой сверху числа |Q|, имеем неравенство

∥x; W^l(J)∥ ≤ ε∥x; W^l(J)∥ + C(ε)∥x; L₁(τ - 1, τ + 2)∥,

где ε = 2c₁η. Постоянная ε за счёт малости η может быть сделана сколь угодно малой.

Положив ε = 0, 5, приходим к неравенству

∥x; W^l(J)∥ ≤ 2C(1/2)∥x; L₁(τ - 1, τ + 2)∥,

которое (так как J_τ ⊂ J = [t₀, t₁]) влечёт за собой оценку

∥x; W^l(J_τ )∥ ≤ 2C(1/2)∥x; L₁(τ - 1, τ + 2)∥.

(16)

Ввиду произвольности τ из оценки (16) следует неравенство (6). Теорема доказана.

В определённом смысле оценка (16) более информативна, чем вытекающее из неё неравен-

ство (6).

3. Модификации и обобщения. Обсудим модификации теоремы 1 для случая, когда

вместо дифференциального оператора L рассматривается дифференциальный оператор

∑

A (x) = P_ix(i).

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1165

Коэффициенты P_i при i < l - квадратные матрицы размеров m × m, элементы которых

удовлетворяют требованиям теоремы 1. Квадратная матрица P_l(t) при каждом t обрати-

ма, причём P_l(t) и обратная к ней матрица P-1l(t) равномерно непрерывны и равномерно

ограничены на R, т.е

∥P_l(t)∥ + ∥P-1l(t)∥ < a₁ < ∞.

Пусть K(ψ(t), δ) - переменный эллиптический конус в пространстве H. Сопоставим конусу

K(ψ(t), δ) множество

^K(ψ, δ) функций z класса M₁(R), удовлетворяющих почти при всех

t неравенству (5). Через K(A , ψ, δ) обозначим совокупность функций x класса Ml1(R), для

которых A (x) ∈K(ψ, δ). Множество K(A , ψ, δ) образует клин в пространстве Ml1(R). Для

элементов клина K(A , ψ, δ) верны обратные неравенства.

Теорема 2. Существует такая постоянная c = c(A , ψ, δ), что для всех функций x

класса K(A , ψ, δ) верно неравенство

∥x; Ml1∥ ≤ c(A , ψ, δ)∥x; M₁∥.

Доказательство. Пусть x ∈ K(A , ψ, δ). Тогда A (x) = z, где z ∈K(ψ, δ). Это равно-

сильно равенству A₁(x) = z₁, где

∑

A₁(x) = x(l) +

P-1lP_ix(i), z₁ = P-1lz.

i=0

Положим ψ₁(t) = P^∗l(t)ψ(t). Из определения ψ₁ вытекает, что функция ψ₁(t) равномерно

непрерывна на R и равномерно ограничена от нуля и ∞. Верны соотношения

(ψ₁(t), z₁(t)) = (ψ(t), z(t)) ≥ δ|z(t)|.

Проведённые рассуждения влекут за собой равенство K(A , ψ, δ) = K(A₁, ψ₁, δ). Следова-

тельно, справедливо доказываемое обратное неравенство, в котором c(A , ψ, δ) = c(A₁, ψ₁, δ).

Теорема доказана.

Приведём более “геометричный” вариант теоремы 2. Обозначим через F (t) мультиотоб-

ражение F : R → Kv(H), удовлетворяющее условиям: f₁) отображение F из R в Kv(H)

равномерно непрерывно; f₂) справедливы неравенства

0 < r ≤ h₀(θ,F(t)), h₀(F(t),θ) ≤ R < ∞,

(17)

постоянные r и R не зависят от t.

В силу (17) при любом t компакт F (t) отстоит от θ на расстояние не меньшее, чем r > 0.

Вместе с тем F (t) содержится в шаре RB = {v ∈ H : |v| ≤ R}. Введём в рассмотрение

функцию ψ(t) = Pr(F (t)) - метрическую проекцию θ на F (t). Функция ψ(t) равномерно

ограничена от θ и ∞: 0 < r ≤ |ψ(t)| ≤ R < ∞. Отсюда вытекает оценка

√

|ψ(t₁) - ψ(t₂)| ≤ 2

2R(h(F (t₁), F (t₂)))1/2,

из которой в силу условия f₁) следует равномерная непрерывность функции ψ(t).

Пусть K(F (t)) - переменный конус в пространстве H, порождаемый множеством F (t).

Из леммы 2 следует неравенство

(ψ(t), z) ≥

|z|,

z ∈ K(F(t)),

которое эквивалентно включению

(

)

r²

K(F (t)) ⊂ K ψ(t),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1166

КЛИМОВ

Таким образом, при выполнении условий f₁) и f₂) переменный конус K(F (t)) составляет

часть переменного эллиптического конуса вида K(ψ(t), δ).

Обозначим через K(A , K(F (t))) совокупность функций x класса M^l(R), для которых

A (x)(t) ∈ K(F (t)) почти при всех действительных t. Из проведённых выше рассуждений

следует включение

K(A , K(F (t))) ⊂ K(A , ψ, δ)

при δ = r²/R.

Теорема 3. Пусть мультиотображение F (t) удовлетворяет условиям f₁), f₂). Тогда

существует такая постоянная c = c(A ,F(t)), что для функций x класса K(A ,K(F(t)))

имеет место неравенство

∥x; Ml1∥ ≤ c(A , F (t))∥x; M₁∥.

Доказательство следует из включения K(A , K(F (t))) ⊂ K(A , ψ, δ) при δ = r²/R и

теоремы 2.

Теоремой 3 удобно пользоваться в тех случаях, когда переменный конус K(t), фигуриру-

ющий в теоремах 1-3, порождается множеством F (t). Такого рода построение часто исполь-

зуется (см., например, [3]) и, по существу, является универсальным в конечномерном прост-

ранстве H.

Остановимся на обобщениях теоремы 1, относящихся к случаю, когда z = L (x) есть

векторная мера. С этой целью заменим локальное условие типа z(t) ∈ K(ψ(t), δ) его инте-

гральным вариантом. Вместо конуса K(ψ(t), δ) рассмотрим конус

{

∫

t₁

}

K₁(ψ(t),δ) := z ∈ M₁(R) : (ψ(t),z(t))dt ≥ δ∥z;L₁[t₀,t₁]∥

(18)

t₀

В равенстве (18) t₀, t₁ - произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенствам

1 ≤ t₁ - t₀ ≤ 3, функция ψ(t) и постоянная δ > 0 не зависят от t₀, t₁. Через K₁(L ,ψ,δ)

обозначим совокупность функций x класса Ml1(R), для которых L (x) ∈ K₁(ψ(t), δ). Мно-

жество K₁(L , ψ, δ) образует клин в пространстве Ml1(R). Для элементов клина K₁(L , ψ, δ)

верны обратные неравенства (6), (16). Анализ доказательства теоремы 1 показывает, что они

сохраняют силу при замене клина K(L , ψ, δ) клином K₁(L , ψ, δ). Сформулируем вариант

оценки (16).

Теорема 4. Существует такая постоянная c₁ = c₁(L , ψ, δ), что для функций x класса

K₁(L ,ψ,δ) верно неравенство

∥x; W^l(J_τ )∥ ≤ c₁(L , ψ, δ)∥x; L₁(τ - 1, τ + 2)∥.

Вариацией вектор-функции g : J → H на отрезке J = [a, b] называется число

∑

V bag = sup

|g(s_i) - g(si-1)|,

i=1

где точная верхняя грань берётся по всем возможным разбиениям отрезка J точками

s₀ = a < s₁ < ... < sn-1 < s_n = b.

Совокупность вектор-функций g : J → H с ограниченной вариацией на отрезке J образует

линейное пространство, обозначаемое символом BV (J, H). Абсолютно непрерывная на отрез-

ке J функция g принадлежит классу BV (J, H). Имеет место равенство

V bag = ∥g^′;L(J)∥.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1167

Если g(t) - первообразная функции z(t) класса M₁(R), то неравенство, фигурирующее в

(18), эквивалентно оценке

t₁

∫

(ψ(t), dg(t)) ≥ δVt1 g.

(19)

t₀

В левой части (19) находится интеграл от функции ψ(t) по векторной мере dg(t), в правой

части (19) фигурирует вариация абсолютно непрерывной функции g(t) по отрезку [t0, t1].

От абсолютной непрерывности функции g(t) можно отказаться, однако при этом придётся

рассматривать дифференциальные неравенства и уравнения в некотором обобщённом смысле.

Согласно теореме Ф. Рисса любой линейный функционал Λ на пространстве E = C(J, H)

допускает интегральное представление

∫

Λ(ϕ) = ϕ(t)dg(t), ϕ ∈ C(J, H),

(20)

где g - функция класса BV (J, H). Будем предполагать, что функция g непрерывна справа;

в этом случае функционал Λ определяет функцию g с точностью до постоянной. Прост-

ранство E^∗ = (C(J))^∗, сопряжённое к E = C(J, H), можно отождествить с пространством

BV (J). В пространстве E^∗ можно обычным образом ввести сильную и слабую топологии.

Справедливо равенство

∥Λ; E^∗∥ = V^bag,

где функционал Λ и функция g связаны равенством (20). Сходимость Λ_n → Λ в слабой

топологии σ(E^∗, E) означает равенство

lim

Λ_n(ϕ) = Λ(ϕ), ϕ ∈ E = C(J,H).

n→∞

Каждая функция z класса L(J, H) порождает линейный функционал

∫

Λ(ϕ) = (ϕ(t), z(t)) dt

класса E^∗. Подобный функционал Λ будем называть абсолютно непрерывным, а функцию

z, определяемую им с точностью до эквивалентности, плотностью Λ. Это позволяет иден-

тифицировать пространство L(J, H) c некоторым подпространством пространства E^∗.

Пространство L(J, H) составляет собственную часть пространства E^∗. Вместе с тем имеет

место следующее утверждение.

Предложение 4. Для любого функционала Λ класса E^∗ существует такая слабо схо-

дящаяся к Λ последовательность абсолютно непрерывных функционалов Λ_n, что

lim

∥Λ_n; E^∗∥ = ∥Λ; E^∗∥.

n→∞

Предложение 4 установлено в работе [5].

Введём некоторые функциональные пространства. Пусть l - натуральное число. Если

функция x(t) класса L(J, H) такова, что для некоторого функционала Λ класса E^∗ и любой

функции ϕ ∈ C∞0(J, H) справедливо соотношение

∫

(x(t)ϕ(l)(t)) dt = (-1)^lΛ(ϕ),

то будем говорить, что l-я обобщённая производная функции x(t) есть функционал Λ (или

соответствующая векторная мера Радона): x(l) = Λ. Через V^l(J, H) обозначим совокупность

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1168

КЛИМОВ

суммируемых по отрезку J функций x ∈ L₁(J, H), для которых x(l) ∈ E^∗. Линейное прост-

ранство V^l(J, H) есть дифференциальная надстройка над E^∗(J). Равенство

∥x; V^l(J)∥ = ∥x; L(J)∥ + ∥x(l); E^∗∥

(21)

определяет норму в V^l(J, H), относительно которой V^l(J, H) - банахово пространство. Спра-

ведливо строгое вложение W^l(J) ⊂ V^l(J, H), позволяющее идентифицировать множество

W^l(J) с некоторым собственным подпространством пространства V^l(J,H).

Разумеется, в пространстве V^l(J, H) можно ввести нормы, отличные от (21). Вопрос об

эквивалентности различных норм связан с теоремами вложения. Пространство V¹(J, H) сов-

падает с пространством BV (J, H) функций x: J → H, имеющих ограниченное изменение на

отрезке J = [a, b]. Норму в BV (J) можно определить равенством

∥x; BV ∥ = ∥x; L(J)∥ + V^bax.

Отсюда вытекает непрерывность оператора вложения V¹(J, H) в пространство L_∞(J, H) и

компактность вложения V¹(J, H) в пространство L(J, H). Функция x класса V¹(J, H) имеет

конечное или счётное число точек разрыва, а в каждой точке τ ∈ [a, b) (соответственно (a, b])

существуют односторонние пределы

x(τ + 0) = lim

x(t), x(τ - 0) = lim x(t).

t→τ+0

t→τ-0

Если x ∈ V^l(J, H) и 1 ≤ k < l, то x(k) ∈ V^l-k(J, H) и оператор дифференцирования

D^k = x(k) непрерывен. В частности, при l > 1 оператор Dl-1 действует и непрерывен из

V l(J,H) в BV (J,H). Это позволяет свести вопрос о теоремах вложения для пространства

V l(J,H) к аналогичному вопросу для BV (J,H). Если x ∈ V ^l(J,H) и l > 1, то при 0 ≤ k <

< l - 1 функция D^kx непрерывна на J, а в каждой точке τ ∈ [a,b) (соответственно (a,b])

существуют односторонние пределы

Dl-1x(τ + 0) = lim

D(l-1)x(t), Dl-1x(τ - 0) = lim D(l-1)x(t).

t→τ+0

t→τ-0

Лемма 6. Пусть x_n - ограниченная в пространстве V^l(J, H) последовательность. Тогда

существуют такая её подпоследовательность xin и такая функция x из V^l(J,H), что

D^lxin → D^lx в σ(C∗0(J),C₀(J)) и D^kxin → D^kx в L(J) при k < l.

Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы Алаоглу-Бурбаки [11, с. 118]

о слабой компактности поляры и замкнутости оператора дифференцирования. Второе утвер-

ждение вытекает из теорем вложения. Лемма доказана.

Следствие 1. В условиях леммы 6 справедливы соотношения

∥x; V^l(J)∥ ≤ lim

∥xin ; V^l(J)∥,

∥x; L(J)∥ = lim

∥xin ; L(J)∥.

n→∞

Обозначим через V^l(J, a) подпространство V^l(J), состоящее из функций x, удовлетворя-

ющих условиям

x(i)(a + 0) = 0, i = 0,l - 1.

Очевидно, что коразмерность пространства V^l(J, a) равна lm. Пространство V^l(J, H) есть

прямая сумма V^l(J, a) и ядра Ker (L ) оператора

L : V ^l(J,H) = V ^l(J,a)

^⊕ Ker (L ).

В силу хорошо известных результатов о задаче Коши для импульсных систем (см., например,

[12, гл. 4]) сужение оператора L на V^l(I, τ) задаёт гомеоморфизм пространств V^l(J, a) и E^∗.

Верно следующее утверждение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1169

Предложение 5 [12, с. 163-167]. Пусть коэффициенты дифференциального оператора L

суммируемы по отрезку J = [a,b]. Тогда для любого функционала Λ ∈ E^∗ существует

единственное решение задачи Коши

L (x) = Λ, x(i)(a + 0) = 0, i = 0, l - 1.

(22)

Оператор B, сопоставляющий мере функционала Λ решение задачи Коши (22), действует

из E^∗ в V^l(J, a) и непрерывен. Существует такая константа c(J), что

∥u; V^l(J)∥ ≤ c(J)∥L (u); C∗0(J)∥, u ∈ V^l(J, a).

(23)

Неравенство коэрцитивности (23) эквивалентно оценке

∥B(Λ); V^l(J)∥ ≤ c(J)∥Λ; E^∗∥, Λ ∈ E^∗.

Лемма 7. Пусть Λ_n ∈ E^∗, u_n = B(Λ_n), n ∈ N. Пусть

Λ_n → Λ в σ(E^∗,E) и u = B(Λ).

Тогда

D^lu_n → D^lu в σ(E^∗,E), Dⁱu_n → Dⁱu в L₁(J,H), i = 0,l - 1.

Доказательство. Сходимость D^lu_n → D^lu в σ(E^∗, E) следует из замкнутости опера-

тора D^l относительно топологии σ(E^∗, E). Второе утверждение леммы вытекает из теорем

вложения. Лемма доказана.

Введём банахово пространство MV (R, H), состоящее из функций g : R → H, для которых

имеет смысл и конечна норма

∥g; MV ∥ = sup Vτ+1τg.

τ ∈R

Сужение каждой функции g класса MV (R, H) на любой отрезок J = [a, b] имеет ограни-

ченную вариацию на J и порождает на пространстве E = C(J, H) линейный функционал Λ.

Его норма в пространстве E^∗, сопряжённом к пространству E, совпадает с вариацией функ-

ции g на отрезке J = [a, b]. Далее, MV^l(R) - банахово пространство функций x: R → H,

сужения которых на любой отрезок J_τ = [τ, τ + 1] принадлежат V^l(J_τ ), и имеет смысл и

конечна норма

∥x; MV^l∥ = sup ∥x; V^l(J_τ )∥.

τ ∈R

Пусть ψ - функция класса C₀(R), удовлетворяющая неравенствам

0 < r₀ ≤ |ψ(t)| ≤ R₀ < ∞ и

0<δ<r₀.

Обозначим через K₂(ψ, δ) часть класса MV (R, H), состоящую из функций g : R → H, удо-

влетворяющих неравенству

∫b

(ψ(t), dg(t)) ≥ δV^bag,

(24)

где a и b - произвольные действительные числа, удовлетворяющие оценкам 1 ≤ b - a ≤ 3.

В случае a = t₀, b = t₁ и абсолютно непрерывной на отрезке J = [a, b] функции g(t)

неравенство (24) совпадает с фигурирующим в определении (18) неравенством.

Включение K₁(ψ, δ) ⊂ K₂(ψ, δ) является строгим. Через K₂(L , ψ, δ) обозначим совокуп-

ность функций x класса MV^l(R), для которых L (x) ∈ K₂(ψ(t), δ). Множество K₂(L , ψ, δ)

образует клин в пространстве MV^l(R), содержащий клин K₁(L , ψ, δ) в качестве собствен-

ной части. Вместе с тем аналоги обратных неравенств (6), (16) справедливы и для клина

K₂(L ,ψ,δ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1170

КЛИМОВ

Теорема 5. Существует такая постоянная c₂(L , ψ, δ), что для всех функций x класса

K₂(L ,ψ,δ) верно неравенство

∥x; V^l(J_τ )∥ ≤ c₂(L , ψ, δ)∥x; L₁(τ - 1, τ + 2)∥.

(25)

Доказательство. Пусть x ∈ K₂(L , ψ, δ), τ ∈ R, a = τ - 1, b = τ + 2, J = [a, b].

Обозначим через v решение задачи Коши

L (v) = 0, v(i)(a) = x(i)(a + 0), i = 0, l - 1.

Функция u = x - v принадлежит пространству V^l(J, H) и L (u) = L (x) = Λ. Функцио-

нал Λ принадлежит пространству E^∗, сопряжённому к пространству E = C(J). Выберем

слабо сходящуюся к Λ последовательность абсолютно непрерывных функционалов Λ_n так,

что справедливо заключение предложения 4. Поскольку x ∈ K₂(L , ψ, δ), то справедливо

неравенство

Λ(ψ) ≥ δ∥Λ; E^∗∥,

следствием которого является оценка

Λ_n(ψ) ≥

∥Λ; E^∗∥, n > n₀,

где n₀ - достаточно большое натуральное число.

Положим

u_n = B(Λ_n), x_n = u_n + v.

Очевидно, что x_n ∈ K₁(L , ψ, δ/2). Применив к функциям x_n теорему 4, приходим к оценкам

∥x_n; W^l(J_τ )∥ ≤ c₁(L , ψ, δ/2)∥x_n; L₁(a, b)∥.

(26)

Согласно лемме 7 справедливы соотношения

Dⁱx_n → Dⁱx в σ(E^∗,E), i = 0,l, и x_n → x в L(J).

Переходя в (26) к пределу при n → ∞, получаем неравенство (25), в котором

c₂(L ,ψ,δ) = c₁(L ,ψ,δ/2).

Теорема доказана.

Следствие 2. Для всех функций x класса K₂(L , ψ, δ) верно неравенство

sup∥x; Vl(Jτ )∥ ≤ 3c2(L , ψ, δ) sup ∥x; L1(Jτ )∥.

τ ∈R

Сюрьективность дифференциальных операторов L , A в рассматриваемых выше функ-

циональных пространствах не предполагалась. К данному кругу вопросов можно добавить

проблему обратимости этих операторов, интегральное представление операторов L-1, A-1,

положительность функции Грина относительно переменных конусов. Применительно к прост-

ранствам почти периодических функций ряд важных результатов в указанных направлениях

установлен в [3, гл. 1, 2]. Интересные приложения конусных методов к задачам автоматиче-

ского регулирования приведены в книге [4, гл. 4].

Аналогичные вопросы рассматривались в работе [5]. Новизна представленных выше ре-

зультатов связана с двумя обстоятельствами: в отличие от [5] рассматривается переменный,

а не постоянный конус Rm+ в пространстве R^m; обратные неравенства из [5] имеют характер

внутренних оценок решений дифференциальных неравенств.

Установленные в статье результаты охватывают пространства функций, определённых на

всей действительной оси R.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1171

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

2. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и

квазиконформные отображения. М., 1983.

3. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.,

1970.

4. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. М., 1985.

5. Климов В.С. Внутренние оценки решений линейных дифференциальных неравенств // Дифференц.

уравнения. 2020. Т. 56. № 8. С. 1034-1044.

6. Лионс Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.

7. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., 1958.

8. Вулих Б.З. Cпециальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах. Калинин,

1978.

9. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М., 2007.

10. Богачёв В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. М.; Ижевск, 2011.

11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1977.

12. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М., 1971.

Ярославский государственный университет

Поступила в редакцию 18.05.2023 г.

имени П.Г. Демидова

После доработки 24.07.2023 г.

Принята к публикации 21.08.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023