ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1172-1180
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.4
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2023 г. В. Е. Круглов
Решена система рекуррентных соотношений третьего порядка, связывающих коэффициен-
ты полиномиальных собственных функций (ПСФ) дифференциального уравнения. Полу-
чены рекуррентное соотношение для трёх последовательных ПСФ и формула дифферен-
цирования ПСФ. Рассмотрены дифференциальные уравнения, одно из которых обобщает
дифференциальные уравнения Эрмита и Лагерра, а другое является обобщением диффе-
ренциального уравнения Якоби. Для этих уравнений построены функции, приводящие их
к самосопряжённому виду, и найдены условия, при которых эти функции становятся весо-
выми. Приведены примеры, когда для невесовых функций ПСФ не имеют действительных
нулей.
DOI: 10.31857/S0374064123090029, EDN: WONVOB
1. Введение. Постановка задачи. В работе [1] строились полиномиальные решения типа
yn(x) = e(n)0xεn + e(n)1xεn-1 + ... + e(n)nxεn-n
следующего дифференциального уравнения:
x2(A1x2 + B1x + C1)y′′ + x(A2x2 + B2x + C2)y′ + (A3x2 + B3x + C3)y = 0.
(1)
Подставив yn(x) в это уравнение и приравняв к нулю коэффициенты при степенях x, получим
систему рекуррентных соотношений, среди которых (из равенства нулю коэффициента при
наименьшей степени x, определяющего уравнение [2, с. 215]) находим значения параметра
εn, именно
(εn - n)(εn - n + 1)C1 + (εn - n)C2 + C3 = 0,
(2)
а при наибольшей степени x справедливо равенство
εn(εn - 1)A1 + εnA2 + A3 = 0.
(3)
В уравнении (1) положим C2 = C3 = B3 = 0, C1 = 0. Тогда из уравнения (2) следует
εn1) = n, εn2) = n - 1. Выберем εn = n и, учитывая (3), придём к уравнению
(A1x2 + B1x + C1)y′′ + (A2x + B2)y′ - n(A2 + (n - 1)A1)y = 0.
(4)
Получена, как указано в [3, с. 274], задача на нахождение собственных функций (решений
уравнения (4)) вида
yn(x) = e(n)0xn + e(n)1xn-1 + ... + e(n)n, n = 0,1,2,... ,
(5)
соответствующих собственным числам
λn = -n(A2 + (n - 1)A1).
(6)
Заметим, что непосредственно из уравнения (4) следует y0(x) ≡ 1, для дальнейшего положим
y-1(x) ≡ 0.
1172
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1173
Функции (5) будем называть полиномиальными собственными функциями (ПСФ) уравне-
ния (4).
Автору не удалось найти конкретную информацию о явном виде ПСФ уравнения (4), обыч-
но указан способ их получения. В данной работе рассмотрены два способа получения явных
формул ПСФ уравнения (4), приведены формулы ПСФ первой, второй и третьей степеней.
Эти формулы совпадают с точностью до мультипликативной константы. Кроме того, полу-
чены формулы, линейно связывающие ПСФ yn(x), yn-1(x) и yn-2(x); найдена формула
дифференцирования ПСФ. Рассмотрены два частных случая уравнения (4): одно уравнение,
обобщающее дифференциальные уравнения Эрмита и Лагерра; второе - обобщающее диффе-
ренциальное уравнение Якоби.
2. Два способа построения нестандартизованных ПСФ уравнения (4).
2.1. Использование формулы Родрига. Приведём уравнение (4) к самосопряжённому
виду
[(A1x2 + B1x + C1)ρ(x)y′n]′ + λnρ(x)yn = 0,
где λn определено в (6), а функция ρ(x), назовём её приводящей уравнение (4) к самосопря-
жённому виду, удовлетворяет [4, § 2] условию
(A1x2 + B1x + C1)ρ′(x) = [(A2 - 2A1)x + B2 - B1]ρ(x).
(7)
Тогда ПСФ yn(x) находится по формуле Родрига
1
yn(x) =
[(A1x2 + B1x + C1)nρ(x)](n), n = 0, 1, 2, . . .
ρ(x)
Оказывается, что для нахождения yn(x) совершенно не требуется знать явный вид при-
водящей функции ρ(x), а достаточно использовать равенство (7). Продемонстрируем это при
нахождении ПСФ y1(x), y2(x) и y3(x):
1
y1(x) =
[(A1x2 + B1x + C1)ρ(x)]′ = A2x + B2,
ρ(x)
1
y2(x) =
[(A1x2 + B1x + C1)2ρ(x)]′′ =
ρ(x)
1
=
[(4A1x + 2B1)(A1x2 + B1x + C1)ρ(x) + (A1x2 + B1x + C1)2ρ′(x)]′ =
ρ(x)
[
(
)]′
1
A1x2
+B1x + C1
=
(A1x2 + B1x + C1)ρ(x) 4A1x + 2B1 +
ρ′(x)
=
ρ(x)
ρ(x)
1
=
[(A1x2 + B1x + C1)ρ(x)]′((A2 + 2A1)x + B2 + B1) + (A1x2 + B1x + C1)(A2 + 2A1) =
ρ(x)
= (A2 + A1)(A2 + 2A1)x2 + 2(A2 + A1)(B2 + B1)x + B2(B2 + B1) + C1(A2 + 2A1),
1
y3(x) =
[(A1x2 + B1x + C1)3ρ(x)]′′′ =
ρ(x)
[
(
)]′′
1
(A1x2 + B1x + C1)ρ′(x)
=
(A1x2 + B1x + C1)2ρ(x) 6A1x + 3B1 +
=
ρ(x)
ρ(x)
1
=
[(A1x2 + B1x + C1)2ρ(x)((A2 + 4A1)x + B2 + 2B1)]′′ =
ρ(x)
1
=
[((A1x2 +B1x+C1)2ρ(x))′′((A2 +4A1)x+B2 +2B1)+2((A1x2 +B1x+C1)2ρ(x))′(A2 +4A1)].
ρ(x)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
2∗
1174
КРУГЛОВ
Подставим выражение для y2(x) вместо
((A1x2 + B1x + C1)2ρ(x))′ = (A1x2 + B1x + C1)((A2 + 2A1)x + B2 + B1).
Тогда получим
y3(x) = (A2 + 2A1)(A2 + 3A1)(A2 + 4A1)x3 + (B2 + 2B1)(A2 + 2A1)(A2 + 3A1)(A2 + 4A1)x2 +
+ 3(A2 + 2A1)[(B2 + B1)(B2 + 2B1) + C1(A2 + 4A1)]x + B2(B2 + B1)(B2 + 2B1) +
+ C1[(B2 + 2B1)(A2 + 2A1) + 2(B2 + B1)(A2 + 4A1)].
2.2. Сведение к системе рекуррентных уравнений третьего порядка относитель-
но коэффициентов полинома (5). Подставим полином (5) в уравнение (4). В результате
получим систему рекуррентных уравнений третьего порядка
e(n)1 =n(B2 +(n-1)B1)e(n)0,
A2 + (2n - 2)A1
e(n)k =(n-k+1)(B2 +(n-k)B1)e(n)k-1 +(n-k+1)(n-k+2)C1e(n)k-2, k = 2,... ,n.
(8)
k(A2 + (2n - k - 1)A1)
k(A2 + (2n - k - 1)A1)
На решении этой системы остановимся ниже.
3. Матричное решение рекуррентного уравнения третьего порядка. Так как ре-
куррентные соотношения третьего порядка справедливы для каждой системы ортогональных
полиномов [5, теорема 3.2.1; 6, гл. 1, § 2], имеет смысл найти решение следующей системы
рекуррентных соотношений:
f(n)1 = p(n)0f(n)0, f(n)k = p(n)k-1f(n)k-1 + m(n)k-2f(n)k-2, k = 2,... ,n.
(9)
Запишем систему (9) в матричном виде
⎛
⎞
⎛
⎞
(n)
p(n)0
f1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜m(n)0⎟
⎜f(n)2⎟
⎜
⎟
n)
Dnn ⎜⎜
⎟
=
⎜
0
⎟f(
,
⎟
0
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
fnn)
0
где
⎛
⎞
1
⎜
⎟
-p(n)1
1
⎜
⎟
⎜
(n)
⎟
⎜−m
-p(n)2
1
⎟
1
Dnn =
⎜
⎟
⎜
0
-m(n)2
-p(n)3
1
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
0
0
0
0
···
-m(n)n-1
-pnn)
1
– нижнетреугольная тридиагональная квадратная матрица порядка n.
Для матрицы Dns, s = 2, n,
⎛
⎞
1
⎜
⎟
⎜-p(n)1
1
⎟
⎜
⎟
Dns =
⎜−m(n)1
-p(n)2
1
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
0
0
0
···
-m(n)s-2
-p(n)s-1
1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1175
обратная матрица D-1ns имеет нижнетреугольную структуру
⎛
⎞
1
⎜
⎟
p(n)1
1
⎜
⎟
⎜
(n)
⎟
⎜d
p(n)2
1
⎟
31
D-1ns =
⎜
⎟,
⎜d(n)41
d(n)42
p(n)3
1
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
d(n)s1
d(n)s2
d(n)s3
d(n)s4
···
d(n)ss-3
d(n)ss-2
p(n)s-1
1
где
d(n)ii =1, d(n)ii-1 =p(n)i-1, d(n)31 =m(n)1+ p(n)1p(n)2, d(n)41 =m(n)2p(n)1+ p(n)3d(n)31, d(n)42 =m(n)2+ p(n)2p(n)3,
d(n)sj = m(n)s-2d(n)s-2,j + p(n)s-1d(n)s-1,j, j = 1,s - 2, s = 3,n.
Проверка того, что Dns и D-1ns - взаимно обратные матрицы, достаточно проста. Тогда
⎛
⎞
⎛
⎞
(n)
p(n)0
f1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜m(n)0⎟
⎜f(n)2⎟
⎜
⎟
n)
⎜
⎟
=D-1ns
⎜
0
⎟f(
,
⎜
⎟
0
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
fsn)
0
и, следовательно, полагая f(n)0 = 1, получаем
f(n)1 = p(n)0, f(n)2 = p(n)0p(n)1 + m(n)0,
f(n)3 = d(n)31p(n)0 + m(n)0p(n)2 = m(n)0p(n)2 + m(n)1p(n)0 + p(n)0p(n)1p(n)2,
f(n)4 = p(n)0d(n)41 +m(n)0d(n)42 = m(n)0m(n)2 +m(n)0p(n)2p(n)3 +m(n)1p(n)0p(n)3 +m(n)2p(n)0p(n)1 +p(n)0p(n)1p(n)2p(n)3,
f(n)5 = p(n)0d(n)51 + m(n)0d(n)52 = m(n)0m(n)2p(n)4 + m(n)0m(n)3p(n)2 + m(n)1m(n)3p(n)0 +
+m(n)0p(n)2p(n)3p(n)4 + m(n)1p(n)0p(n)3p(n)4 + m(n)2p(n)0p(n)1p(n)4 + m(n)3p(n)0p(n)1p(n)2 + p(n)0p(n)1p(n)2p(n)3p(n)4,
f(n)s = d(n)51p(n)0 + d(n)52m(n)0, s = 2,n.
Отметим, что количество слагаемых, из которых состоит
s
, равно [7, формула (28)] s-му
члену последовательности Фибоначчи.
Вернёмся к решению системы (8). Здесь
p(n)k-1 =(n-k+1)(B2 +(n-k)B1),
k(A2 + (2n - k - 1)A1)
m(n)k-2 =(n-k+1)(n-k+2)C1,
m(n)-1 = 0, k = 1,n + 1,
k(A2 + (2n - k - 1)A1)
при n = 1
(
)
y1(x) = f(1)1x + xf(1)0 = x +B2
f(1)0,
A2
при n = 2
y2(x) = f(2)0x2 + f(2)1x + f(2)2 =
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1176
КРУГЛОВ
[
]
2(B2 + B1)
B2(B2 + B1)
C1
=f(2)0 x2 +
x+
+
,
A2 + 2A1
(A2 + 2A1)(A2 + A1)
A2 + A1
при n = 3
y3(x) = f(3)0x3 + f(3)1x2 + f(3)2x + f(3)3 =
[
)
3(B2 + 2B1)
3
( (B2 + B1)(B2 + 2B1)
=f(3)0 x3 +
x2 +
+C1 x+
A2 + 4A1
A2 + 3A1
A2 + 4A1
(
)]
B2(B2 + B1)(B2 + 2B1)
C1
B2
2(B2 + 2B1)
+
+
+
(A2 + 2A1)(A2 + 3A1)(A2 + 4A1)
A2 + 2A1
A2 + 3A1
A2 + 4A1
Ввиду громоздкости формул для yk(x), k = 4, 5, . . . , они здесь не приводятся. В дальней-
шем положим e(n)0 = f(n)0 = 1, n = 1, 2, . . . , и полученные ПСФ имеют единичный старший
коэффициент.
Несложно заметить, что свободный член ПСФ yn(x) среди прочих слагаемых содержит
слагаемое
B2(B2 + B1)··· (B2 + (n - 1)B1)
p(n)0p(n)1 ··· p(n)n-1 =
(A2 + (n - 1)A1)(A2 + nA2) · · · (A2 + (2n - 2)A1)
и все другие слагаемые не добавляют в знаменателе новых множителей. Полагая
e(n)0[(A2 + (n - 1)A1)··· (A2 + (2n - 2)A1)]-1 = 1,
получаем ПСФ, первые два старших коэффициента которой равны (A2 + (n - 1)A1) · · · (A2 +
+(2n - 2)A1) и n(B2 + (n - 1)B1)(A2 + (n - 1)A1) · · · (A2 + (2n - 2)A1) · · · (A2 + (2n - 3)A1).
Если в формуле для y3(x) привести все дроби к общему знаменателю, то кажущаяся
разница в написании свободных членов ПСФ y3(x), полученной двумя способами, отсутствует.
Для этого достаточно провести преобразования в свободном члене каждой ПСФ.
4. Одно свойство ПСФ.
Теорема 1. Пусть yn-1(x) и yn-2(x) - ПСФ соответствующих дифференциальных урав-
нений
(A1x2 + B1x + C1)y′′n-1 + (A2x + B2)y′n-1 = (n - 1)(A2 + (n - 2)A1)yn-1,
(10)
(A1x2 + B1x + C1)y′′n-2 + (A2x + B2)y′n-2 = (n - 2)(A2 + (n - 3)A1)yn-2.
(11)
Функция
yn(x) = (α(n) + x)yn-1(x) + β(n)yn-2(x), n = 1,2,... ,
(12)
где
n(B2 + (n - 1)B1)
(n - 1)(B2 + (n - 2)B1)
α(n) =
-
,
(13)
A2 + (2n - 2)A1
A2 + (2n - 4)A1
]2
[ (n - 1)(B2 + (n - 2)B1)
(n - 1)(B2 + (n - 2)B1)
β(n) =
-
×
A2 + (2n - 4)A1
2(A2 + (2n - 4)A1)
]
[n(B2 + (n - 1)B1)
(n - 2)(B2 + (n - 3)B1)
(n - 1)(A2 + (n - 3)A1)
×
+
+
C1, (14)
A2 + (2n - 3)A1
A2 + (2n - 5)A1
(A2 + (2n - 3)A1)(A2 + (2n - 5)A1)
обращает в нуль выражение
In = (A1x2 + B1x + C1)y′′n + (A2x + B2)y′n - n(A2 + (n - 1)A1)yn
(15)
тогда и только тогда, когда справедливо равенство
(
)
B2A1 - B1A2 - (n - 2)A1B1
Rn = (A1x2 + B1x + C1)y′n-1 + (n - 1) -A1x +
yn-1 -
A2 + (2n - 4)A1
- β(n)(A2 + (2n - 3)A1)yn-2 = 0.
(16)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1177
Доказательство. Подставим в выражение для In функцию (12). В полученном выра-
жении выделим левые части уравнений (10), (11), затем учтём (13), (14) и сгруппируем все
элементы при yn-1 и yn-2. В результате получим In = 2Rn. Пусть функция (12) обращает
в нуль выражение (15), т.е. In = 0. Значит, Rn = 0.
Обратно, пусть Rn = 0. Тогда In = 0, т.е. функция (12) обращает в нуль выражение (15).
Теорема доказана.
Формулу (16) назовём формулой дифференцирования ПСФ дифференциального уравне-
ния (4).
В дальнейшем рассмотрим частные случаи уравнения (4) с тем отличием, что ПСФ этих
уравнений будут иметь отличный от единицы старший коэффициент.
Положим в (4) A1 = 0. Дифференциальное уравнение
(B1x + C1)y′′ + (A2x + B2)y′ - nA2y = 0, A2 = 0, n = 1, 2, . . . ,
(17)
при B1 = B2 = 0, C1 = 1, A2 = -2 становится эрмитовым; при B1 = -A1 = 1, B2 =
= α + 1, C1 = 0 - лагерровым. Коэффициенты полинома (5) удовлетворяют рекуррентным
соотношениям
e(n)1 =n(B2 +(n-1)B1)e(n)0,
A2
e(n)k =n-k+1[(B2 + (n - k)B1)e(n)k-1 + (n - k + 2)C1e(n)k-2], k = 2, n.
kA2
Полагая e(n)0A-n2 = 1, получаем
y1(x) = A2x + B2, y2(x) = A22x2 + 2(B2 + B1)A2x + B2(B2 + B1) + C1A2,
y3(x) = A32x3 + 3(B2 + 2B1)A22x2 + 3A2[(B2 + B1)(B2 + 2B1) + C1A2]x +
+ B2(B2 + B1)(B2 + 2B1) + C1A2[B2 + 2(B2 + 2B1)].
Покажем, что ПСФ yn(x), yn-1(x) и yn-2(x) уравнения (17) связаны рекуррентным соотно-
шением
yn(x) = (A2x + B2 + 2(n - 1)B1)yn-1(x) -
- (n - 1)(B1B2 - C1A2 + (n - 2)B21)yn-2(x), n = 1, 2, . . .
(18)
Теорема 2. Пусть yn-1(x) и yn-2(x) - ПСФ соответствующих дифференциальных урав-
нений
(B1x + C1)y′′n-1 + (A2x + B2)y′n-1 = (n - 1)A2yn-1,
(19)
(B1x + C1)y′′n-2 + (A2x + B2)y′n-2 = (n - 2)A2yn-2,
(20)
функция (18) обращает в нуль выражение
I(1)n = (B1x + C1)y′′n + (A2x + B2)y′n - nA2yn
тогда и только тогда, когда справедливо равенство
R(1)n = (B1x + C1)y′n-1 - (n - 1)B1yn-1 + (n - 1)(B1B2 - C1A2 + (n - 2)B21)yn-2 = 0.
(21)
Доказательство. Подставим в выражение для In1) функцию (18). В полученном соотно-
шении выделим левые части уравнений (19), (20). Затем сгруппируем все элементы при yn-1 и
yn-2. В результате получим In1) = 2A2Rn1). Пусть функция (18) обращает в нуль выражение
In1). Тогда Rn1) = 0. Обратно, пусть Rn1) = 0. Тогда In1) = 0, т.е. функция (18) обращает
выражение In1) в нуль. Теорема доказана.
Формулу (21) назовём формулой дифференцирования ПСФ дифференциального уравне-
ния (17).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1178
КРУГЛОВ
Положим в (4) B1 = 0. Среди множества ПСФ полученного дифференциального урав-
нения
(A1x2 + C1)y′′ + (A2x + B2)y′ - n(A2 + (n - 1)A1)y = 0, A2 = 0,
(22)
есть нестандартизованные полиномы Якоби, если C1 = -A1 = 1, B2 = β - α, A2 = -(α + β +
+2), а также нестандартизованные полиномы Чебышёва первого и второго рода, Лежандра и
Гегенбауэра, если C1 = -A1 = 1, B2 = 0, A2 = -1, -3, -2, -(α + 1) соответственно.
Для коэффициентов ПСФ уравнения (22) справедливы рекуррентные соотношения (8), в
которых нужно положить B1 = 0.
Приведём в качестве примера первые четыре нестандартизованные, с отличным от единицы
старшим коэффициентом, ПСФ уравнения (22):
y0(x) = 1, y1(x) = A2x + B2,
y2(x) = (A2 + A1)(A2 + 2A1)x2 + 2B2(A2 + A1)x + B22 + C1(A2 + 2A1),
y3(x) = (A2 + 2A1)(A2 + 3A1)(A2 + 4A1)x3 + 3B2(A2 + 2A1)(A2 + 3A1)x2 +
+ 3(A2 + 2A1)[B22 + (A2 + 4A1)C1]x + B32 + B2C1(3A2 + 10A1).
(23)
Покажем, что три нестандартизованных, с отличным от единицы старшим коэффициентом,
ПСФ уравнения (22) yn(x), yn-1(x) и yn-2(x) связаны рекуррентным линейным соотноше-
нием
yn(x) = (α(n)1x + α(n)2)yn-1(x) + β(n)yn-2(x), n = 1,2,... ,
(24)
где
α(n)1 =(A2 +(2n-3)A1)(A2 +(2n-2)A1),
α(n)2 =B2(A2 +(2n-3)A1)(A2 -2A1)
,
A2 + (n - 2)A1
(A2 + (n - 2)A1)(A2 + (2n - 4)A1)
(n-1)A1B22(A2 + (2n-2)A1)
(n-1)C1(A2 + (2n-4)A1)(A2 + (2n-2)A1)
β(n) =
+
(25)
(A2 + (n - 2)A1)(A2 + (2n - 4)A1)
(A2 + (n - 2)A1)
Теорема 3. Пусть yn-1(x) и yn-2(x) - ПСФ соответствующих дифференциальных урав-
нений
(A1x2 + C1)y′′n-1 + (A2x + B2)y′n-1 = (n - 1)(A2 + (n - 2)A1)yn-1,
(26)
(A1x2 + C1)y′′n-2 + (A2x + B2)y′n-2 = (n - 2)(A2 + (n - 3)A1)yn-2.
(27)
Функция (24) обращает в нуль выражение
I(2)n = (A1x2 + C1)y′′n + (A2x + B2)y′n - n(A2 + (n - 1)A1)yn
тогда и только тогда, когда справедливо равенство
(
)
B2A1
R(2)n = (A1x2 + C1)y′n-1 - (n - 1) A1x -
yn-1 -
A2 + (2n - 4)A1
(
)
A1B22
- (n - 1)
+ (A2 + (2n - 4)A1)C1 yn-2 = 0.
(28)
A2 + (2n - 4)A1
Доказательство. Подставим функцию (24) в выражение для In2). В полученном выраже-
нии выделим левые части уравнений (26), (27). Затем, учитывая равенство (25), сгруппируем
в нём все элементы при yn-1 и yn-2. В результате получим
I(2)n = 2α(n)1R(2)n, α(n)1 = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1179
Пусть функция (24) обращает в нуль выражение In2). Тогда Rn2) = 0. Обратно, пусть Rn2) =
= 0. Тогда In2) = 0, т.е. функция (24) обращает выражение In2) в нуль. Теорема доказана.
Формулу (28) назовём формулой дифференцирования ПСФ дифференциального уравне-
ния (22).
Функция ρ(x), приводящая дифференциальное уравнение (22) к самосопряжённому виду,
задана уравнением
[(A1x2 + C1)ρ(x)]′ = (A2x + B2)ρ(x),
и формула Родрига приводит с точностью до константы к формулам (23).
Пусть A1 < 0, C1 > 0 (A1C1 < 0). Тогда ρ(x) становится весовой функцией, определён-
√
√
ной на промежутке (-
C1/ - A1,
C1/ - A1), и она равна
√
√
ρ(x) = (
C1 -
-A1x)-t1/√-A1 (√C1 +√-A1x)t2/√-A1 ,
1
√
√
1
√
√
t1 =
((A2 - 2A1)/
-A1 + B2/
C1), t2 =
(B2/
C1 - (A2 - 2A1)/
-A1),
2
2
при этом нужно потребовать, чтобы t1 < 1, а t2 > -1.
Если A1 > 0, C1 > 0 (A1C1 > 0), то ρ(x) уже невесовая функция ((A1x2 + C1) = 0), и
ПСФ y2(x) имеет либо два различных действительных нуля, либо не имеет ни одного дей-
ствительного нуля. Это следует из того, что дискриминант (A2 + A1)(-A1B22 - C1(A2 + 2A1)2)
полинома y2(x) положителен при A2 + A1 < 0 или отрицателен при A2 + A1 > 0.
Пусть B2 = 0. Тогда из формул (8) следует, что коэффициенты e(n)k = 0 для любого
нечётного числа k и
n!Cs1
e(n)2s =
,
(n - 2s)!2ss!(A2 + (2n - 3)A1) · · · (A2 + (2n - 2s - 1)A1)
и ПСФ уравнения (22) при B2 = 0 со старшим коэффициентом, равным единице, определяется
формулой
[n/2]∑
Cs1xn-2s
yn(x) = xn + n!
,
(n - 2s)!s!2s(A2 + (2n - 3)A1) . . . (A2 + (2n - 2s - 1)A1)
s=0
при этом
(n - 1)(A2 + (n - 3)A1)C1
yn(x) = xyn-1(x) +
yn-2(x), n = 1,2,... ,
(A2 + (2n - 3)A1)(A2 + (2n - 5)A1)
а формула дифференцирования ПСФ yn(x)
n(A2 + (n - 2)A1)C1
(A1x2 + C1)y′n - A1nxyn -
yn-1 = 0.
(A2 + (2n - 3)A1)
Функция ρ(x), приводящая дифференциальное уравнение (22) при B2 = 0 к самосопря-
жённому виду, удовлетворяет уравнению
[(A1x2 + C1)ρ(x)]′ = A2xρ(x)
и равна
ρ(x) = (A1x2 + C1)A2/(2A1-1).
Если A1 < 0, C1 > 0 и A2 < 0, то она - весовая функция, определённая на промежутке
√
√
(-
−C1/A1,
-C1/A1).
Если A1 < 0, C1 > 0 и A2 + A1 > 0, то ρ(x) - невесовая функция, и ПСФ
y2(x) = (A2 + 2A1)[(A2 + A1)x2 + C1]
не имеет действительных корней.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1180
КРУГЛОВ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Круглов В.Е. Построение полиномиальных решений одного линейного дифференциального уравне-
ния второго порядка // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 7. С. 999-1001.
2. Айнс Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1939.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.
4. Никифоров А.Ф., Уваров В.Е. Специальные функции математической физики. М., 1984.
5. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М., 1962.
6. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., 1973.
7. Круглов В.Е. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения
конечного порядка // Укр. мат. журн. 2009. Т. 61. № 6. С. 777-794.
Одесский национальный университет
Поступила в редакцию 22.03.2023 г.
имени И.И. Мечникова, Украина
После доработки 22.06.2023 г.
Принята к публикации 20.07.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023