ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1172-1180

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.4

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ

ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Решена система рекуррентных соотношений третьего порядка, связывающих коэффициен-

ты полиномиальных собственных функций (ПСФ) дифференциального уравнения. Полу-

чены рекуррентное соотношение для трёх последовательных ПСФ и формула дифферен-

цирования ПСФ. Рассмотрены дифференциальные уравнения, одно из которых обобщает

дифференциальные уравнения Эрмита и Лагерра, а другое является обобщением диффе-

ренциального уравнения Якоби. Для этих уравнений построены функции, приводящие их

к самосопряжённому виду, и найдены условия, при которых эти функции становятся весо-

выми. Приведены примеры, когда для невесовых функций ПСФ не имеют действительных

нулей.

DOI: 10.31857/S0374064123090029, EDN: WONVOB

1. Введение. Постановка задачи. В работе [1] строились полиномиальные решения типа

y_n(x) = e(n)0xεn + e(n)1xεn-¹ + ... + e(n)nxεn-n

следующего дифференциального уравнения:

x²(A₁x² + B₁x + C₁)y^′′ + x(A₂x² + B₂x + C₂)y^′ + (A₃x² + B₃x + C₃)y = 0.

(1)

Подставив y_n(x) в это уравнение и приравняв к нулю коэффициенты при степенях x, получим

систему рекуррентных соотношений, среди которых (из равенства нулю коэффициента при

наименьшей степени x, определяющего уравнение [2, с. 215]) находим значения параметра

ε_n, именно

(ε_n - n)(ε_n - n + 1)C₁ + (ε_n - n)C₂ + C₃ = 0,

(2)

а при наибольшей степени x справедливо равенство

ε_n(ε_n - 1)A₁ + ε_nA₂ + A₃ = 0.

(3)

В уравнении (1) положим C₂ = C₃ = B₃ = 0, C₁ = 0. Тогда из уравнения (2) следует

εn1) = n, εn2) = n - 1. Выберем ε_n = n и, учитывая (3), придём к уравнению

(A₁x² + B₁x + C₁)y^′′ + (A₂x + B₂)y^′ - n(A₂ + (n - 1)A₁)y = 0.

(4)

Получена, как указано в [3, с. 274], задача на нахождение собственных функций (решений

уравнения (4)) вида

y_n(x) = e(n)0xⁿ + e(n)1xn-1 + ... + e(n)n, n = 0,1,2,... ,

(5)

соответствующих собственным числам

λ_n = -n(A₂ + (n - 1)A₁).

(6)

Заметим, что непосредственно из уравнения (4) следует y₀(x) ≡ 1, для дальнейшего положим

y-1(x) ≡ 0.

1172

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

1173

Функции (5) будем называть полиномиальными собственными функциями (ПСФ) уравне-

ния (4).

Автору не удалось найти конкретную информацию о явном виде ПСФ уравнения (4), обыч-

но указан способ их получения. В данной работе рассмотрены два способа получения явных

формул ПСФ уравнения (4), приведены формулы ПСФ первой, второй и третьей степеней.

Эти формулы совпадают с точностью до мультипликативной константы. Кроме того, полу-

чены формулы, линейно связывающие ПСФ y_n(x), yn-1(x) и yn-2(x); найдена формула

дифференцирования ПСФ. Рассмотрены два частных случая уравнения (4): одно уравнение,

обобщающее дифференциальные уравнения Эрмита и Лагерра; второе - обобщающее диффе-

ренциальное уравнение Якоби.

2. Два способа построения нестандартизованных ПСФ уравнения (4).

2.1. Использование формулы Родрига. Приведём уравнение (4) к самосопряжённому

виду

[(A₁x² + B₁x + C₁)ρ(x)y^′n]^′ + λ_nρ(x)y_n = 0,

где λ_n определено в (6), а функция ρ(x), назовём её приводящей уравнение (4) к самосопря-

жённому виду, удовлетворяет [4, § 2] условию

(A₁x² + B₁x + C₁)ρ^′(x) = [(A₂ - 2A₁)x + B₂ - B₁]ρ(x).

(7)

Тогда ПСФ y_n(x) находится по формуле Родрига

y_n(x) =

[(A₁x² + B₁x + C₁)ⁿρ(x)](n), n = 0, 1, 2, . . .

ρ(x)

Оказывается, что для нахождения y_n(x) совершенно не требуется знать явный вид при-

водящей функции ρ(x), а достаточно использовать равенство (7). Продемонстрируем это при

нахождении ПСФ y₁(x), y₂(x) и y₃(x):

y₁(x) =

[(A₁x² + B₁x + C₁)ρ(x)]^′ = A₂x + B₂,

ρ(x)

y₂(x) =

[(A₁x² + B₁x + C₁)²ρ(x)]^′′ =

ρ(x)

[(4A₁x + 2B₁)(A₁x² + B₁x + C₁)ρ(x) + (A₁x² + B₁x + C₁)²ρ^′(x)]^′ =

ρ(x)

[

(

)]_′

A₁x²

+B₁x + C₁

(A₁x² + B₁x + C₁)ρ(x) 4A1x + 2B1 +

ρ^′(x)

ρ(x)

[(A₁x² + B₁x + C₁)ρ(x)]^′((A₂ + 2A₁)x + B₂ + B₁) + (A₁x² + B₁x + C₁)(A₂ + 2A₁) =

ρ(x)

= (A₂ + A₁)(A₂ + 2A₁)x² + 2(A₂ + A₁)(B₂ + B₁)x + B₂(B₂ + B₁) + C₁(A₂ + 2A₁),

y₃(x) =

[(A₁x² + B₁x + C₁)³ρ(x)]^′′′ =

ρ(x)

[

(

)]_′′

(A₁x² + B₁x + C₁)ρ^′(x)

(A₁x² + B₁x + C₁)²ρ(x) 6A1x + 3B1 +

ρ(x)

[(A₁x² + B₁x + C₁)²ρ(x)((A₂ + 4A₁)x + B₂ + 2B₁)]^′′ =

ρ(x)

[((A₁x² +B₁x+C₁)²ρ(x))^′′((A₂ +4A₁)x+B₂ +2B₁)+2((A₁x² +B₁x+C₁)²ρ(x))^′(A₂ +4A₁)].

ρ(x)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

2^∗

1174

КРУГЛОВ

Подставим выражение для y₂(x) вместо

((A₁x² + B₁x + C₁)²ρ(x))^′ = (A₁x² + B₁x + C₁)((A₂ + 2A₁)x + B₂ + B₁).

Тогда получим

y₃(x) = (A₂ + 2A₁)(A₂ + 3A₁)(A₂ + 4A₁)x³ + (B₂ + 2B₁)(A₂ + 2A₁)(A₂ + 3A₁)(A₂ + 4A₁)x² +

+ 3(A₂ + 2A₁)[(B₂ + B₁)(B₂ + 2B₁) + C₁(A₂ + 4A₁)]x + B₂(B₂ + B₁)(B₂ + 2B₁) +

+ C₁[(B₂ + 2B₁)(A₂ + 2A₁) + 2(B₂ + B₁)(A₂ + 4A₁)].

2.2. Сведение к системе рекуррентных уравнений третьего порядка относитель-

но коэффициентов полинома (5). Подставим полином (5) в уравнение (4). В результате

получим систему рекуррентных уравнений третьего порядка

e(n)1 =n(B2 +(n-1)B1)e(n)0,

A₂ + (2n - 2)A₁

e(n)k =(n-k+1)(B2 +(n-k)B1)e(n)k-1 +(n-k+1)(n-k+2)C1e(n)k-2, k = 2,... ,n.

(8)

k(A₂ + (2n - k - 1)A₁)

На решении этой системы остановимся ниже.

3. Матричное решение рекуррентного уравнения третьего порядка. Так как ре-

куррентные соотношения третьего порядка справедливы для каждой системы ортогональных

полиномов [5, теорема 3.2.1; 6, гл. 1, § 2], имеет смысл найти решение следующей системы

рекуррентных соотношений:

f(n)1 = p(n)0f(n)0, f(n)k = p(n)k-1f(n)k-1 + m(n)k-2f(n)k-2, k = 2,... ,n.

(9)

Запишем систему (9) в матричном виде

⎛

⎞

⎛

⎞

(n)

p(n)0

f₁

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜m(n)0⎟

⎜f(n)2⎟

⎜

⎟

D_nn ⎜⎜

⎟

⎜

⎟f⁽

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

fnn)

где

⎛

⎞

⎜

⎟

-p(n)1

⎜

⎟

⎜

(n)

⎟

⎜−m

-p(n)2

⎟

D_nn =

⎜

⎟

⎜

-m(n)2

-p(n)3

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

···

-m(n)n-1

-pnn)

– нижнетреугольная тридиагональная квадратная матрица порядка n.

Для матрицы D_ns, s = 2, n,

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜-p(n)1

⎟

⎜

⎟

D_ns =

⎜−m(n)1

-p(n)2

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

···

-m(n)s-2

-p(n)s-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

1175

обратная матрица D-1ns имеет нижнетреугольную структуру

⎛

⎞

⎜

⎟

p(n)1

⎜

⎟

⎜

(n)

⎟

⎜d

p(n)2

⎟

D-1ns =

⎜

⎟,

⎜d(n)41

d(n)42

p(n)3

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

d(n)s1

d(n)s2

d(n)s3

d(n)s4

···

d(n)ss-3

d(n)ss-2

p(n)s-1

где

d(n)ii =1, d(n)ii-1 =p(n)i-1, d(n)31 =m(n)1+ p(n)1p(n)2, d(n)41 =m(n)2p(n)1+ p(n)3d(n)31, d(n)42 =m(n)2+ p(n)2p(n)3,

d(n)sj = m(n)s-2d(n)s-2,j + p(n)s-1d(n)s-1,j, j = 1,s - 2, s = 3,n.

Проверка того, что D_ns и D-1ns - взаимно обратные матрицы, достаточно проста. Тогда

⎛

⎞

⎛

⎞

(n)

p(n)0

f₁

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜m(n)0⎟

⎜f(n)2⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

=D-1ns

⎜

⎟f⁽

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

fsn)

и, следовательно, полагая f(n)0 = 1, получаем

f(n)1 = p(n)0, f(n)2 = p(n)0p(n)1 + m(n)0,

f(n)3 = d(n)31p(n)0 + m(n)0p(n)2 = m(n)0p(n)2 + m(n)1p(n)0 + p(n)0p(n)1p(n)2,

f(n)4 = p(n)0d(n)41 +m(n)0d(n)42 = m(n)0m(n)2 +m(n)0p(n)2p(n)3 +m(n)1p(n)0p(n)3 +m(n)2p(n)0p(n)1 +p(n)0p(n)1p(n)2p(n)3,

f(n)5 = p(n)0d(n)51 + m(n)0d(n)52 = m(n)0m(n)2p(n)4 + m(n)0m(n)3p(n)2 + m(n)1m(n)3p(n)0 +

+m(n)0p(n)2p(n)3p(n)4 + m(n)1p(n)0p(n)3p(n)4 + m(n)2p(n)0p(n)1p(n)4 + m(n)3p(n)0p(n)1p(n)2 + p(n)0p(n)1p(n)2p(n)3p(n)4,

f(n)s = d(n)51p(n)0 + d(n)52m(n)0, s = 2,n.

Отметим, что количество слагаемых, из которых состоит

, равно [7, формула (28)] s-му

члену последовательности Фибоначчи.

Вернёмся к решению системы (8). Здесь

p(n)k-1 =(n-k+1)(B2 +(n-k)B1),

k(A₂ + (2n - k - 1)A₁)

m(n)k-2 =(n-k+1)(n-k+2)C1,

m(n)-1 = 0, k = 1,n + 1,

k(A₂ + (2n - k - 1)A₁)

при n = 1

(

)

y₁(x) = f⁽¹⁾¹x + xf⁽¹⁾⁰ = x +B2

f⁽¹⁾⁰,

A₂

при n = 2

y₂(x) = f⁽²⁾⁰x² + f⁽²⁾¹x + f⁽²⁾² =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1176

КРУГЛОВ

[

]

2(B₂ + B₁)

B₂(B₂ + B₁)

C₁

=f(2)0 x2 +

A₂ + 2A₁

(A₂ + 2A₁)(A₂ + A₁)

A₂ + A₁

при n = 3

y₃(x) = f⁽³⁾⁰x³ + f⁽³⁾¹x² + f⁽³⁾²x + f⁽³⁾³ =

[

)

3(B₂ + 2B₁)

⁽ (B₂ + B₁)(B₂ + 2B₁)

=f(3)0 x3 +

x² +

+C₁ x+

A₂ + 4A₁

A₂ + 3A₁

A₂ + 4A₁

(

)]

B₂(B₂ + B₁)(B₂ + 2B₁)

C₁

B₂

2(B₂ + 2B₁)

(A₂ + 2A₁)(A₂ + 3A₁)(A₂ + 4A₁)

A₂ + 2A₁

A₂ + 3A₁

A₂ + 4A₁

Ввиду громоздкости формул для y_k(x), k = 4, 5, . . . , они здесь не приводятся. В дальней-

шем положим e(n)0 = f(n)0 = 1, n = 1, 2, . . . , и полученные ПСФ имеют единичный старший

коэффициент.

Несложно заметить, что свободный член ПСФ y_n(x) среди прочих слагаемых содержит

слагаемое

B₂(B₂ + B₁)··· (B₂ + (n - 1)B₁)

p(n)0p(n)1 ··· p(n)n-1 =

(A₂ + (n - 1)A₁)(A₂ + nA₂) · · · (A₂ + (2n - 2)A₁)

и все другие слагаемые не добавляют в знаменателе новых множителей. Полагая

e(n)0[(A₂ + (n - 1)A₁)··· (A₂ + (2n - 2)A₁)]-1 = 1,

получаем ПСФ, первые два старших коэффициента которой равны (A₂ + (n - 1)A₁) · · · (A₂ +

+(2n - 2)A₁) и n(B₂ + (n - 1)B₁)(A₂ + (n - 1)A₁) · · · (A₂ + (2n - 2)A₁) · · · (A₂ + (2n - 3)A₁).

Если в формуле для y₃(x) привести все дроби к общему знаменателю, то кажущаяся

разница в написании свободных членов ПСФ y₃(x), полученной двумя способами, отсутствует.

Для этого достаточно провести преобразования в свободном члене каждой ПСФ.

4. Одно свойство ПСФ.

Теорема 1. Пусть yn-1(x) и yn-2(x) - ПСФ соответствующих дифференциальных урав-

нений

(A₁x² + B₁x + C₁)y′′n-1 + (A₂x + B₂)y′n-1 = (n - 1)(A₂ + (n - 2)A₁)yn-1,

(10)

(A₁x² + B₁x + C₁)y′′n-2 + (A₂x + B₂)y′n-2 = (n - 2)(A₂ + (n - 3)A₁)yn-2.

(11)

Функция

y_n(x) = (α(n) + x)yn-1(x) + β(n)yn-2(x), n = 1,2,... ,

(12)

где

n(B₂ + (n - 1)B₁)

(n - 1)(B₂ + (n - 2)B₁)

α(n) =

(13)

A₂ + (2n - 2)A₁

A₂ + (2n - 4)A₁

]₂

^[ (n - 1)(B₂ + (n - 2)B₁)

(n - 1)(B₂ + (n - 2)B₁)

β(n) =

A₂ + (2n - 4)A₁

2(A₂ + (2n - 4)A₁)

]

^[n(B₂ + (n - 1)B₁)

(n - 2)(B₂ + (n - 3)B₁)

(n - 1)(A₂ + (n - 3)A₁)

C₁, (14)

A₂ + (2n - 3)A₁

A₂ + (2n - 5)A₁

(A₂ + (2n - 3)A₁)(A₂ + (2n - 5)A₁)

обращает в нуль выражение

I_n = (A₁x² + B₁x + C₁)y^′′n + (A₂x + B₂)y^′n - n(A₂ + (n - 1)A₁)y_n

(15)

тогда и только тогда, когда справедливо равенство

(

)

B₂A₁ - B₁A₂ - (n - 2)A₁B₁

R_n = (A₁x² + B₁x + C₁)y′n-1 + (n - 1) -A1x +

yn-1 -

A₂ + (2n - 4)A₁

- β(n)(A₂ + (2n - 3)A₁)yn-2 = 0.

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

1177

Доказательство. Подставим в выражение для I_n функцию (12). В полученном выра-

жении выделим левые части уравнений (10), (11), затем учтём (13), (14) и сгруппируем все

элементы при yn-1 и yn-2. В результате получим I_n = 2R_n. Пусть функция (12) обращает

в нуль выражение (15), т.е. I_n = 0. Значит, R_n = 0.

Обратно, пусть R_n = 0. Тогда I_n = 0, т.е. функция (12) обращает в нуль выражение (15).

Теорема доказана.

Формулу (16) назовём формулой дифференцирования ПСФ дифференциального уравне-

ния (4).

В дальнейшем рассмотрим частные случаи уравнения (4) с тем отличием, что ПСФ этих

уравнений будут иметь отличный от единицы старший коэффициент.

Положим в (4) A₁ = 0. Дифференциальное уравнение

(B₁x + C₁)y^′′ + (A₂x + B₂)y^′ - nA₂y = 0, A₂ = 0, n = 1, 2, . . . ,

(17)

при B₁ = B₂ = 0, C₁ = 1, A₂ = -2 становится эрмитовым; при B₁ = -A₁ = 1, B₂ =

= α + 1, C₁ = 0 - лагерровым. Коэффициенты полинома (5) удовлетворяют рекуррентным

соотношениям

e(n)1 =n(B2 +(n-1)B1)e(n)0,

A₂

e(n)k =n-k+1[(B2 + (n - k)B1)e(n)k-1 + (n - k + 2)C1e(n)k-2], k = 2, n.

kA₂

Полагая e(n)0A-n2 = 1, получаем

y₁(x) = A₂x + B₂, y₂(x) = A²²x² + 2(B₂ + B₁)A₂x + B₂(B₂ + B₁) + C₁A₂,

y₃(x) = A³²x³ + 3(B₂ + 2B₁)A²²x² + 3A₂[(B₂ + B₁)(B₂ + 2B₁) + C₁A₂]x +

+ B₂(B₂ + B₁)(B₂ + 2B₁) + C₁A₂[B₂ + 2(B₂ + 2B₁)].

Покажем, что ПСФ y_n(x), yn-1(x) и yn-2(x) уравнения (17) связаны рекуррентным соотно-

шением

y_n(x) = (A₂x + B₂ + 2(n - 1)B₁)yn-1(x) -

- (n - 1)(B₁B₂ - C₁A₂ + (n - 2)B²¹)yn-2(x), n = 1, 2, . . .

(18)

Теорема 2. Пусть yn-1(x) и yn-2(x) - ПСФ соответствующих дифференциальных урав-

нений

(B₁x + C₁)y′′n-1 + (A₂x + B₂)y′n-1 = (n - 1)A₂yn-1,

(19)

(B₁x + C₁)y′′n-2 + (A₂x + B₂)y′n-2 = (n - 2)A₂yn-2,

(20)

функция (18) обращает в нуль выражение

I(1)n = (B₁x + C₁)y^′′n + (A₂x + B₂)y^′n - nA₂y_n

тогда и только тогда, когда справедливо равенство

R(1)n = (B₁x + C₁)y′n-1 - (n - 1)B₁yn-1 + (n - 1)(B₁B₂ - C₁A₂ + (n - 2)B²¹)yn-2 = 0.

(21)

Доказательство. Подставим в выражение для In1) функцию (18). В полученном соотно-

шении выделим левые части уравнений (19), (20). Затем сгруппируем все элементы при yn-1 и

yn-2. В результате получим In1) = 2A₂Rn1). Пусть функция (18) обращает в нуль выражение

In1). Тогда Rn1) = 0. Обратно, пусть Rn1) = 0. Тогда In1) = 0, т.е. функция (18) обращает

выражение In1) в нуль. Теорема доказана.

Формулу (21) назовём формулой дифференцирования ПСФ дифференциального уравне-

ния (17).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1178

КРУГЛОВ

Положим в (4) B₁ = 0. Среди множества ПСФ полученного дифференциального урав-

нения

(A₁x² + C₁)y^′′ + (A₂x + B₂)y^′ - n(A₂ + (n - 1)A₁)y = 0, A₂ = 0,

(22)

есть нестандартизованные полиномы Якоби, если C₁ = -A₁ = 1, B₂ = β - α, A₂ = -(α + β +

+2), а также нестандартизованные полиномы Чебышёва первого и второго рода, Лежандра и

Гегенбауэра, если C₁ = -A₁ = 1, B₂ = 0, A₂ = -1, -3, -2, -(α + 1) соответственно.

Для коэффициентов ПСФ уравнения (22) справедливы рекуррентные соотношения (8), в

которых нужно положить B₁ = 0.

Приведём в качестве примера первые четыре нестандартизованные, с отличным от единицы

старшим коэффициентом, ПСФ уравнения (22):

y₀(x) = 1, y₁(x) = A₂x + B₂,

y₂(x) = (A₂ + A₁)(A₂ + 2A₁)x² + 2B₂(A₂ + A₁)x + B²² + C₁(A₂ + 2A₁),

y₃(x) = (A₂ + 2A₁)(A₂ + 3A₁)(A₂ + 4A₁)x³ + 3B₂(A₂ + 2A₁)(A₂ + 3A₁)x² +

+ 3(A₂ + 2A₁)[B²² + (A₂ + 4A₁)C₁]x + B³² + B₂C₁(3A₂ + 10A₁).

(23)

Покажем, что три нестандартизованных, с отличным от единицы старшим коэффициентом,

ПСФ уравнения (22) y_n(x), yn-1(x) и yn-2(x) связаны рекуррентным линейным соотноше-

нием

y_n(x) = (α(n)1x + α(n)2)yn-1(x) + β(n)yn-2(x), n = 1,2,... ,

(24)

где

α(n)1 =(A2 +(2n-3)A1)(A2 +(2n-2)A1),

α(n)2 =B2(A2 +(2n-3)A1)(A2 -2A1)

A₂ + (n - 2)A₁

(A₂ + (n - 2)A₁)(A₂ + (2n - 4)A₁)

(n-1)A₁B²²(A₂ + (2n-2)A₁)

(n-1)C₁(A₂ + (2n-4)A₁)(A₂ + (2n-2)A₁)

β(n) =

(25)

(A₂ + (n - 2)A₁)(A₂ + (2n - 4)A₁)

(A₂ + (n - 2)A₁)

Теорема 3. Пусть yn-1(x) и yn-2(x) - ПСФ соответствующих дифференциальных урав-

нений

(A₁x² + C₁)y′′n-1 + (A₂x + B₂)y′n-1 = (n - 1)(A₂ + (n - 2)A₁)yn-1,

(26)

(A₁x² + C₁)y′′n-2 + (A₂x + B₂)y′n-2 = (n - 2)(A₂ + (n - 3)A₁)yn-2.

(27)

Функция (24) обращает в нуль выражение

I(2)n = (A₁x² + C₁)y^′′n + (A₂x + B₂)y^′n - n(A₂ + (n - 1)A₁)y_n

тогда и только тогда, когда справедливо равенство

(

)

B₂A₁

R(2)n = (A₁x² + C₁)y′n-1 - (n - 1) A₁x -

yn-1 -

A₂ + (2n - 4)A₁

(

)

A₁B²²

- (n - 1)

+ (A₂ + (2n - 4)A₁)C₁ yn-2 = 0.

(28)

A₂ + (2n - 4)A₁

Доказательство. Подставим функцию (24) в выражение для In2). В полученном выраже-

нии выделим левые части уравнений (26), (27). Затем, учитывая равенство (25), сгруппируем

в нём все элементы при yn-1 и yn-2. В результате получим

I(2)n = 2α(n)1R(2)n, α(n)1 = 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

1179

Пусть функция (24) обращает в нуль выражение In2). Тогда Rn2) = 0. Обратно, пусть Rn2) =

= 0. Тогда In2) = 0, т.е. функция (24) обращает выражение In2) в нуль. Теорема доказана.

Формулу (28) назовём формулой дифференцирования ПСФ дифференциального уравне-

ния (22).

Функция ρ(x), приводящая дифференциальное уравнение (22) к самосопряжённому виду,

задана уравнением

[(A₁x² + C₁)ρ(x)]^′ = (A₂x + B₂)ρ(x),

и формула Родрига приводит с точностью до константы к формулам (23).

Пусть A₁ < 0, C₁ > 0 (A₁C₁ < 0). Тогда ρ(x) становится весовой функцией, определён-

√

ной на промежутке (-

C₁/ - A₁,

C₁/ - A₁), и она равна

√

ρ(x) = (

C₁ -

-A₁x)-t1/√-A1 (√C1 +√-A1x)t2/√-A1 ,

√

t₁ =

((A₂ - 2A₁)/

-A₁ + B₂/

C₁), t₂ =

(B₂/

C₁ - (A₂ - 2A₁)/

-A₁),

при этом нужно потребовать, чтобы t₁ < 1, а t₂ > -1.

Если A₁ > 0, C₁ > 0 (A₁C₁ > 0), то ρ(x) уже невесовая функция ((A₁x² + C₁) = 0), и

ПСФ y₂(x) имеет либо два различных действительных нуля, либо не имеет ни одного дей-

ствительного нуля. Это следует из того, что дискриминант (A₂ + A₁)(-A₁B²² - C₁(A₂ + 2A₁)²)

полинома y₂(x) положителен при A₂ + A₁ < 0 или отрицателен при A₂ + A₁ > 0.

Пусть B₂ = 0. Тогда из формул (8) следует, что коэффициенты e(n)k = 0 для любого

нечётного числа k и

n!Cs1

e(n)2s =

(n - 2s)!2^ss!(A₂ + (2n - 3)A₁) · · · (A₂ + (2n - 2s - 1)A₁)

и ПСФ уравнения (22) при B₂ = 0 со старшим коэффициентом, равным единице, определяется

формулой

[n/2]∑

Cs1xn-2s

y_n(x) = xⁿ + n!

(n - 2s)!s!2^s(A₂ + (2n - 3)A₁) . . . (A₂ + (2n - 2s - 1)A₁)

s=0

при этом

(n - 1)(A₂ + (n - 3)A₁)C₁

y_n(x) = xyn-1(x) +

yn-2(x), n = 1,2,... ,

(A₂ + (2n - 3)A₁)(A₂ + (2n - 5)A₁)

а формула дифференцирования ПСФ y_n(x)

n(A₂ + (n - 2)A₁)C₁

(A₁x² + C₁)y^′n - A₁nxy_n -

yn-1 = 0.

(A₂ + (2n - 3)A₁)

Функция ρ(x), приводящая дифференциальное уравнение (22) при B₂ = 0 к самосопря-

жённому виду, удовлетворяет уравнению

[(A₁x² + C₁)ρ(x)]^′ = A₂xρ(x)

и равна

ρ(x) = (A₁x² + C₁)A2/(2A1-¹⁾.

Если A₁ < 0, C₁ > 0 и A₂ < 0, то она - весовая функция, определённая на промежутке

√

−C₁/A₁,

-C₁/A₁).

Если A₁ < 0, C₁ > 0 и A₂ + A₁ > 0, то ρ(x) - невесовая функция, и ПСФ

y₂(x) = (A₂ + 2A₁)[(A₂ + A₁)x² + C₁]

не имеет действительных корней.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1180

КРУГЛОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Круглов В.Е. Построение полиномиальных решений одного линейного дифференциального уравне-

ния второго порядка // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 7. С. 999-1001.

2. Айнс Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1939.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.

4. Никифоров А.Ф., Уваров В.Е. Специальные функции математической физики. М., 1984.

5. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М., 1962.

6. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., 1973.

7. Круглов В.Е. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения

конечного порядка // Укр. мат. журн. 2009. Т. 61. № 6. С. 777-794.

Одесский национальный университет

Поступила в редакцию 22.03.2023 г.

имени И.И. Мечникова, Украина

После доработки 22.06.2023 г.

Принята к публикации 20.07.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023