ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1181-1190

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.957

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

НА ГРАФЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

Рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка на сети, яв-

ляющееся моделью системы стержней Эйлера-Бернулли. На основе метода монотонных

итераций установлено существование решения краевой задачи на графе для этого урав-

нения, при этом использовались положительность функции Грина и принцип максимума

для соответствующего линейного дифференциального уравнения. Приведён пример, ил-

люстрирующий полученные результаты.

DOI: 10.31857/S0374064123090030, EDN: WOQOFU

Введение. Теория дифференциальных уравнений на графах возникла в 1980-х гг. Урав-

нения четвёртого порядка на графах впервые стали рассматривать лишь во второй поло-

вине 1990-х гг. Основные результаты в этом направлении были получены для линейных диф-

ференциальных уравнений [1-4]. Что касается нелинейных уравнений на графах, то многие

исследования в основном были сосредоточены на вопросах корректности и стабилизации [5,

6]. В статье [7] рассмотрено уравнение типа Ямабе на графах и установлено существование

нетривиальных решений с помощью теоремы о горных перевалах Амбросети-Рабиновича. В [8]

исследовано асимптотическое поведение задачи переноса на звёздообразных сетях упругих и

термоупругих стержней. Имеется много работ, связанных с обратными задачами спектраль-

ного анализа, для дифференциальных операторов на произвольных компактных графах (см.,

например, [9, 10]). Вопросам распределения нулей решений, положительности функции Грина

и принципу максимума в задачах четвёртого порядка на графах посвящены работы [11-15].

В данной статье изучен вопрос существования решения краевой задачи на геометрическом

графе Γ для нелинейного уравнений четвёртого порядка

(

)

d²

d²u

p(x)

= f(x,u,p(x)u^′′), x ∈ Γ,

dΓ²

u|∂Γ = u^′′|∂Γ = 0.

(1)

Во внутренних точках рёбер производная du/dΓ определяет классическую производную u^′

по направлению ребра, а в узловых точках графа дифференциальный оператор задаётся на-

борами условий согласования (как, например, в [11-15]). При изучении дифференциальных

операторов четвёртого порядка на графах рассматривают условия согласования в зависимо-

сти от способов соединения стержней.

В нелинейном анализе для изучения такого типа задач применяются метод нижних и верх-

них решений, метод монотонных итераций, теорема Красносельского о неподвижной точке,

теорема Лере-Шаудера и теория бифуркаций. На сегодняшний день проведены обширные

исследования краевых задач на графе для нелинейных уравнений второго порядка (см., на-

пример, [8, 16-18] и приведённую в них библиографию). В частности, в [16] доказано суще-

ствование решений уравнений теории среднего поля на произвольном связном конечном гра-

фе, с помощью вариационных принципов и метода верхних и нижних решений в статье [17]

устанавливается существование по крайней мере одного решения уравнения Каздана-Уорнера.

Отметим также работу [19], в которой изучены существование и единственность решения нели-

нейной дробной краевой задачи Капуто на звёздообразном графе.

1181

1182

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

В статьях [20-22] изучались двухточечные краевые задачи для нелинейных уравнений чет-

вёртого порядка, а в [23-25] - многоточечные задачи. Нелинейные уравнения четвёртого по-

рядка на графах практически не изучались. Здесь можно упомянуть работу [26], в которой для

краевой задачи на графе с уравнением четвёртого порядка и условиями шарнирного сочле-

нения получены условия существования неотрицательных решений. Обратим внимание, что в

качественной теории уравнений на сетях условия согласования в узлах играют ключевую роль.

Даже в линейном случае свойства решений (распределение нулей, положительность, принцип

максимума) существенно разнятся для различных условий связи и даже для различных гра-

ничных условий [4, 27-31].

В данной работе рассматривается краевая задача для уравнения с так называемыми усло-

виями дельта-типа в узловых вершинах графа [32, разд. 4.3] и условиями шарнирного закреп-

ления на границе графа. Соответствующий дифференциальный оператор допускает фактори-

зацию в виде композиции двух операторов второго порядка, что, в свою очередь, позволяет

привлечь свойства оператора Штурма-Лиувилля на графе [11, гл. 4]. Как будет показано,

для решений такой краевой задачи справедлив принцип максимума, позволяющий применить

технику монотонных итераций. Отметим, что результаты данной статьи обобщают резуль-

таты работы [21], полученные для нелинейного уравнения четвёртого порядка на конечном

интервале.

В п. 1 статьи даются некоторые определения и необходимая информация о изучаемом

дифференциальном уравнении задачи (1). В п. 2 определяется функция Грина для задачи (1) и

формулируется принцип максимума, который впоследствии используется для доказательства

основного результата. В п. 3 представлен основной результат - теорема существования решения

краевой задачи на графе для уравнения четвёртого порядка, и приводится пример задачи,

демонстрирующий применимость полученных результатов.

1. Постановка задачи. В данной статье используется терминология и обозначения ра-

бот [2, 5]. Γ ⊂ R^N обозначает связный и конечный геометрический граф без петель с мно-

жеством вершин V (Γ) и множеством точек E(Γ) рёбер графа. Ребро графа - это интервал

конечной длины, а вершина графа - концевая точка одного или нескольких рёбер. Рёбра гра-

фа обозначаются γ_i, вершины обозначаются a, b и т.д. Для любой a ∈ V (Γ) через I(a)

обозначим множество индексов рёбер, инцидентных вершине a, и через |I(a)| обозначим ко-

личество элементов множества I(a). Элементы множеств J(Γ) = {a ∈ V (Γ) : |I(a)| ≥ 2}

и ∂Γ = {a ∈ V (Γ) : |I(a)| = 1} называются внутренними и граничными вершинами соот-

ветственно. Через |∂Γ| обозначаем число граничных вершин графа Γ. Предполагаем, что

Γ = E(Γ)

^⋃J(Γ). Обратим внимание, что граничные вершины не включены в граф. Под-

графом графа Γ называется любое непустое связное подмножество Γ, которое попадает под

определение графа. Граф, не имеющий циклов, называется деревом. Граф-дерево Γ называем

цепочкой, если |I(a)| = 2 для любой вершины a ∈ J(Γ).

Введём функциональные пространства

C[Γ] = {u : Γ → R | u равномерно непрерывна на каждом ребре γ_i ⊂ E(Γ)},

C[E(Γ)] = {u : E(Γ) → R | u равномерно непрерывна на каждом ребре γ_i ⊂ E(Γ)}.

Каждая функция u ∈ C[Γ] (или C[E(Γ)]) имеет предел lim

u_i(x), i ∈ I(a), в каждой

γ_i∋x→a

вершине a ∈ V (Γ); обозначим его через u_i(a). Обратим внимание, что u_k(a) не обязательно

равны u_i(a) или u(a), где k, i ∈ I(a), k = i. Пространство непрерывных на графе Γ функций

определяется равенством

C(Γ) = {u ∈ C[Γ] : u_i(a) = u(a) для любых a ∈ J(Γ) и i ∈ I(a)}.

Теперь определим производную функции на графе. Для этого зададим функцию μ(x) ∈

∈ C[E(Γ)], линейно отображающую каждое ребро γ_i ⊂ E(Γ) на интервал (0,l_i) ⊂ R, где

l_i

- длина γ_i. Положим u^′i(x) := lim

(u_i(y) - u_i(x))/(μ_i(y) - μ_i(x)), x ∈ γ_i. Аналогично

γ_i∋y→x

определяются производные более высокого порядка.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

1183

Через Cⁿ[Γ] (или Cⁿ[E(Γ)]) будем обозначать пространство функций u(x) ∈ C[Γ] (или

Cⁿ[E(Γ)]), производные которых до порядка n включительно существуют и принадлежат

пространству C[E(Γ)]. Для функции u(x) ∈ Cⁿ[Γ] (или Cⁿ[E(Γ)]) в любой вершине a ∈

∈ V (Γ) определено множество производных u(j)i(a), 1 ≤ j ≤ n, i ∈ I(a), вдоль рёбер,

смежных с a. Производные нечётного порядка зависят от ориентации рёбер. В дальнейшем

при записи условий связи с производными в вершинах графа нам будет удобно использовать

производные по направлению “от вершины”, которые будем обозначать u(k)iν(a) (одномерный

аналог производных по внутренней нормали). Для чётной производной ориентация не важна,

и поэтому, для краткости, вместо u^′′iν (a) пишем u^′′i(a).

Под интегралом функции u ∈ C[Γ] вдоль графа Γ понимаем сумму интегралов по рёбрам:

∫

∑

u(x) dx =

u(x) dx.

γ∈E(Γ) γ

Под дифференциальным уравнением на графе, следуя [13, 14], понимаем систему диффе-

ренциальных уравнений на рёбрах и систему условий согласования во внутренних вершинах.

Уравнения на рёбрах имеют вид

(p_i(x)u^′′i)^′′ = f_i(x, u_i, p_i(x)u^′′i), x ∈ γ_i ∈ E(Γ),

(2)

где p(x) ∈ C²[E(Γ)], inf p(x) > 0. В каждой вершине a ∈ J(Γ) накладываем следую-

x∈E(Γ)

щие условия согласования, характерные для сочленённых стержней (см., например, [12; 33,

разд. 4.3] или [3]):

u_i(a) = u(a), (p_iu^′′i)(a) = (p_ku^′′k)(a), i,k ∈ I(a),

∑

u^′iν(a) = 0,

(p_iu^′′i)^′ν (a) = f(a, u(a), (pu^′′)(a)), a ∈ J(Γ).

(3)

i∈I(a)

Здесь стоит отметить, что из условий для вторых производных следует, что вторая квазипро-

изводная p(x)u^′′(x) допускает непрерывное продолжение с E(Γ) на весь граф Γ. Поэтому в

последнем условии в (3) мы полагаем (pu^′′)(a) = (p_iu^′′i)(a) с произвольным индексом i ∈ I(a).

Уравнение (2), (3) имеет естественную физическую интерпретацию [3, 12, 32]. Оно моде-

лирует малые деформации балок Эйлера-Бернулли: u(x) обозначает смещение системы из

состояния равновесия; эти смещения описываются уравнением (2); первые два равенства в (3)

задают локальные условия связи в узлах - перемещения всех соединяемых рёбер непрерывны

и изгибающие моменты также непрерывны, третье условие - геометрическое, а последнее -

условие динамического равновесия.

Решением дифференциального уравнения (1) называется любая функция u ∈ C(Γ)

^⋂C⁴[Γ],

удовлетворяющая обыкновенному дифференциальному уравнению (2) на каждом ребре гра-

фа Γ и условиям согласования (3) в каждой его внутренней вершине a ∈ J(Γ). Краевая задача

на графе - это система (2), (3) вместе с граничными условиями.

Всюду далее будем считать, что выполнены следующие условия:

1) p ∈ C²[Γ], inf p(x) > 0;

x∈Γ

2) f : Γ×R×R → R; для любого компакта Ω ⊂ R×R функция f равномерно непрерывна

на E(Γ) × Ω и для любой вершины a ∈ J(Γ) функция f(a, · , · ) непрерывна в R × R;

3) ∂Γ = ∅.

2. Принцип максимума. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L, соот-

ветствующий следующей краевой задаче:

(p_i(x)u^′′i)^′′ = h_i(x), x ∈ γ_i ∈ E(Γ),

u_i(a) = u(a), i ∈ I(a), p_i(a)u^′′i(a) = p_k(a)u^′′k(a), i,k ∈ I(a),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1184

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

∑

u^′iν(a) = 0,

(p_iu^′′i)^′ν (a) = h(a), a ∈ J(Γ),

i∈I(a)

где h ∈ C[Γ].

Имея своей целью сформулировать принцип максимума для однородного дифференциаль-

ного уравнения Lu = 0, x ∈ Γ, покажем сначала, что оператор L с граничными условиями

u|∂Γ = u^′′|∂Γ = 0 положительно обратим. Точнее, покажем, что функция Грина G(x, s) соот-

ветствующего оператора L строго положительна на Γ × Γ.

Лемма 1. Для любой функции h ∈ C[Γ] краевая задача

Lu = h(x), x ∈ Γ, u|∂Γ = u^′′|∂Γ = 0

(4)

однозначно разрешима.

Доказательство. Очевидно, что задача (4) является однозначно разрешимой тогда и толь-

ко тогда, когда соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

Пусть u - некоторое решение однородной задачи (4). Умножим функцию u на Lu и

проинтегрируем полученное выражение по всему графу Γ. Дважды интегрируя по частям,

получаем

∫

0 = uLudx = p(x)[u^′′(x)]2 dx +

∑

[(p_iu^′′i)u^′iν - (p_iu^′′i)^′ν u_i]x=a +

[(pu^′′)u^′ν - (pu^′′)^′ν u]x=a.

a∈J(Γ) i∈I(a)

a∈∂Γ

Использовав условия согласования в вершине a ∈ V (Γ), имеем

∫

∑

0 = p(x)[u^′′(x)]2 dx +

p(a)u^′′(a)

u^′iν(a) -

a∈J(Γ)

i∈I(a)

∫

∑

−

u(a)

(p_iu^′′i)^′ν (a) =

p(x)[u^′′(x)]² dx.

a∈J(Γ)

i∈I(a)

Из условия inf p(x) > 0 следует, что u^′′ = 0 на Γ, т.е. u - линейная функция на каждом

x∈Γ

ребре графа. Из равенства u|∂Γ = 0 заключаем, что существует внутренняя вершина a₀ ∈ J(Γ)

такая, что max|u(x)| = |u(a0)|. Без потери общности можно считать, что u(a0) ≥ 0. Тогда

x∈Γ

∑

u^′iν(a₀) ≤ 0 для всех i ∈ I(a₀). Но

u^′iν(a₀) = 0. Следовательно, u_i(x) ≡ const ≥ 0

i∈I(a₀)

для всех i ∈ I(a₀). Теперь легко видеть, что u(x) ≡ const ≥ 0 на Γ. Поскольку u|∂Γ = 0, то

u(x) ≡ 0 на графе Γ. Лемма доказана.

Из леммы 1 следует, что функция Грина оператора L существует. Более того, G(x, s)

обладает следующими свойствами (см. [11, 14]).

1. Функция G(x, s) и её производные по x до четвёртого порядка включительно непре-

рывны вплоть до границы на каждом из прямоугольников γ_i × γ_j , i = j, и на каждом из

треугольников, на которые квадрат γ_i × γ_i разбит диагональю x = s.

(

)

∂

2. На диагонали x = s, s ∈ γ ∈ E(Γ), третья квазипроизводная

p(x)

G(x, s)

∂x

∂x²

удовлетворяет условию

(

)

(

)

∂

∂²

∂

∂²

G (s + 0, s) -

G (s - 0, s) = 1,

∂x

∂x²

∂x

∂x²

где ориентация предельного перехода s ± 0 и направление дифференцирования задаются мет-

рической функцией, заданной на графе.

3. Для каждого s ∈ γ ∈ E(Γ) функция G( · , s) является решением однородного уравне-

ния LG = 0 на Γ \ {s} и обращается в нуль на ∂Γ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

1185

4. Для каждой вершины a ∈ J(Γ) функция G( · , a) является решением краевой задачи



∂²G



LG = h(x), x ∈ Γ, G(·,a)|∂Γ =

(·,a)^

= 0,

∂x²

∂Γ

где h(x) = 0 для x ∈ Γ \ {a} и h(a) = 1.

5. Решение задачи (4) можно представить в виде

∫

∑

u(x) = G(x, s)h(s) ds +

G(x, a)h(a).

(5)

a∈J(Γ)

Рассмотрим дифференциальное уравнение Lu = h(x), порождённое следующими выраже-

ниями:

u^′′i = h_i(x), x ∈ γ_i ∈ E(Γ),

∑

u_i(a) = u(a),

u^′iν(a) = h(a), a ∈ J(Γ), i ∈ I(a).

i∈I(a)

Далее нам потребуются следующие результаты.

Теорема 1 [12]. Краевая задача

Lu = h(x), x ∈ Γ, u|∂Γ = 0

(6)

однозначно разрешима для любой правой части h ∈ C[Γ]. Если G(x,s) - соответствующая

функция Грина, то

(i) G(x,s) < 0 на Γ × Γ;

(ii) решение задачи (6) даётся формулой

∫

∑

u(x) = G(x, s)h(s) ds +

G(x, a)h(a).

a∈J(Γ)

Лемма 2 [12]. Всякое нетривиальное решение краевой задачи

Lu = 0, u|∂Γ ≥ 0

(7)

положительно на Γ.

Теорема 2. Пусть G(x, s) - функция Грина краевой задачи (4), а G(s, x) - функция Грина

задачи (6). Тогда G(x, s) > 0 на Γ × Γ и выполнено равенство

∫

dξ

G(x, s) = G(x, ξ)G(ξ, s)

p(ξ)

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу

Lw = h(x), x ∈ Γ, w|∂Γ = 0.

(8)

Из определения функции Грина следует, что решение w(x) задачи (8) может быть представ-

лено в виде

∫

∑

w(x) = G(x, s)h(s) ds +

G(x, a)h(a).

(9)

a∈J(Γ)

Введём функцию

∫

w(ξ)

u(x) = G(x, ξ)

dξ.

(10)

p(ξ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1186

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

Используя равенства (9) и (7), получаем

∫

∑

dξ

u(x) = G(x, ξ)

G(ξ, s)h(s) ds

G(x, ξ)G(ξ, a)

h(a) =

p(ξ)

a∈J(Γ)Γ

∫

∑

dξ

G(x, ξ)G(s, ξ)

h(s) ds +

G(x, ξ)G(ξ, a)

h(a) =

p(ξ)

a∈J(Γ)Γ

Γ Γ

∫

∑

= G(x, s)h(s) ds +

G(x, a)h(a).

a∈J(Γ)

Для завершения доказательства остаётся показать, что функция u(x) удовлетворяет (2),

(3) и граничным условиям

u|∂Γ = u^′′|∂Γ = 0.

Из теоремы 1 и (10) делаем вывод, что u(x) является решением задачи

w_i(x)

u^′′i =

x ∈ γ_i ⊂ E(Γ),

p_i(x)

∑

u_i(a) = u(a),

u^′iν(a) = 0, a ∈ J(Γ), i ∈ I(a),

i∈I(a)

u(b) = 0, b ∈ ∂Γ.

Из равенств p(x)u(x)^′′ = w(x), (9) и теоремы 1 следует, что

(p_i(x)u^′′i)^′′ = h_i(x), x ∈ γ_i ⊂ E(Γ),

∑

p_i(a)u^′′i(a) = p_k(a)u^′′k(a), i,k ∈ I(a),

(p_iu^′′i)^′ν (a) = h(a), a ∈ J(Γ),

i∈I(a)

u^′′(b) = 0, b ∈ ∂Γ.

Наконец, неравенство G(x, s) > 0 следует из утверждения (i) теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие. Дифференциальный оператор L можно представить в виде композиции

двух операторов второго порядка L ◦ (pL).

Лемма 3. Пусть u(x) ∈ C(Γ)

^⋂C⁴[Γ] - решение краевой задачи

Lu = 0, u|∂Γ ≥ 0, u^′′|∂Γ = 0.

Тогда u(x) ≥ 0 на Γ.

Доказательство. Пусть v = u^′′. Тогда v - решение задачи

Lv = 0, v|∂Γ = 0.

Из теоремы 1 следует, что v ≡ 0 на Γ. Применив следствие и лемму 2, получим, что u ≥ 0

на Γ. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть u(x) ∈ C(Γ)

^⋂C⁴[Γ] - решение краевой задачи

Lu = 0, u|∂Γ = 0, u^′′|∂Γ ≤ 0.

Тогда u(x) ≥ 0 на Γ.

Доказательство. Пусть v = u^′′. Поскольку v - решение задачи

Lv = 0, v|∂Γ ≤ 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

1187

из леммы 2 следует, что v ≤ 0 на Γ. Ввиду следствия 1 и теоремы 1 получаем, что u ≥ 0

на Γ. Лемма доказана.

Теперь из лемм 3, 4 следует принцип максимума.

Теорема 3. Всякое нетривиальное решение краевой задачи

Lu ≥ 0, u|∂Γ ≥ 0, u^′′|∂Γ ≤ 0

положительно на графе Γ.

3. Существование решения. Далее методом монотонных итераций установим существо-

вание решения краевой задачи (1).

Определение 1. Функция α ∈ C⁴[Γ] называется нижним решением задачи (1), если

Lα ≤ f(x,α,pα^′′), x ∈ Γ, α|∂Γ ≤ 0, α^′′|∂Γ ≥ 0.

Определение 2. Функция β ∈ C⁴[Γ] называется верхним решением задачи (1), если

Lβ ≥ f(x,β,pβ^′′), x ∈ Γ, β|∂Γ ≥ 0, β^′′|∂Γ ≤ 0.

Введём в пространстве C(Γ) отношение частичного порядка и рассмотрим некоторый по-

рядковый отрезок [α, β] в C(Γ). Решение u задачи (1) называем минимальным (или мак-

симальным) решением задачи (1) в порядковом промежутке [α,β], если u(x) ≤ v(x) (или

v(x) ≤ u(x)) на Γ для любого решения v ∈ [α, β] краевой задачи (1).

В следующей теореме устанавливается существование экстремальных решений задачи (1).

Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:

(i) существуют нижнее α и верхнее β решения задачи (1), удовлетворяющие условиям

α(x) ≤ β(x) для всех x ∈ Γ, β^′′(x) ≤ α^′′(x) для всех x ∈ E(Γ);

(ii) функция f удовлетворяет условиям

f (x, s, v) - f(x, t, v) ≤ 0 для α(x) ≤ s ≤ t ≤ β(x), v ∈ R, x ∈ Γ,

f (x, u, s) - f(x, u, t) ≥ 0 для β^′′(x) ≤ s ≤ t ≤ α^′′(x), u ∈ R, x ∈ Γ.

Тогда существуют две монотонные последовательности: неубывающая {α[k]}∞k=0 и невоз-

растающая {β[k]}∞k=0, α_[0] = α и β_[0] = β, которые сходятся равномерно к экстремальным

решениям задачи (1) из порядкового отрезка [α,β].

Доказательство. Пусть F = {u ∈ C(Γ)

^⋂C²[Γ] : pu^′′ ∈ C(Γ)}. Для любой функции η ∈ F

рассмотрим краевую задачу

Lu = f(x,η,pη^′′), x ∈ Γ, u|∂Γ = u^′′|∂Γ = 0.

(11)

Из леммы 1 следует, что задача (11) имеет единственное решение u. Обозначим через G : F →

→ C⁴[Γ] интегральный оператор, обращающий краевую задачу (11). Тогда u = Gη.

Дальнейшее доказательство разобьем на три шага.

Шаг 1. Покажем, что GF₁ ⊆ F₁, где F₁ = {η ∈ F : α ≤ η ≤ β, β^′′ ≤ η^′′ ≤ α^′′}.

Зафиксируем ζ ∈ F₁ и положим w = Gζ. Из определений решений α и β следует

L(w - α) ≥ f(x, ζ, pζ^′′) - f(x, α, pα^′′) ≥ 0, x ∈ Γ,

(w - α)|∂Γ ≥ 0, (w - α)^′′|∂Γ ≤ 0.

Используя теорему 3, получаем w - α ≥ 0 на Γ.

Аналогично можно показать, что β - w ≥ 0 на Γ.

Положим теперь z = p(w - α)^′′. Тогда Lz ≥ 0, z|∂Γ ≤ 0. Из теоремы 1 и леммы 2 следует,

что z ≤ 0 на графе Γ. Следовательно, w^′′ ≤ α^′′ на графе Γ.

Аналогично можно доказать, что β^′′ ≤ w^′′ на Γ. Таким образом, Gζ ∈ F₁.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1188

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

Шаг 2. Рассмотрим пару функций η_[1], η_[2] ∈ F₁ таких, что α ≤ η_[1] ≤ η_[2] ≤ β и β^′′ ≤

≤ η′′[2] ≤ η′′[1] ≤ α^′′. Пусть u_[1] = Gη_[1], u_[2] = Gη_[2]. Покажем, что u_[1] ≤ u_[2] и u′′[2] ≤ u′′[1].

Действительно,

L(u_[2] - u_[1]) ≥ f(x, η_[2], pη′′[2]) - f(x, η_[1], pη′′[1]) ≥ 0, x ∈ Γ,

(u_[2] - u_[1])|∂Γ = (u_[2] - u_[1])^′′|∂Γ = 0.

Используя теорему 2, получаем, что u_[1] ≤ u_[2] на Γ.

Положив v = p(u_[2] - u_[1])^′′, имеем

Lv ≥ 0, v|∂Γ = 0.

Теперь из теоремы 1 следует, что u′′[2] ≤ u′′[1] на Γ.

Шаг 3. Определим две рекуррентные последовательности:

α_[0] = α, α[k+1] = Gα[k], β_[0] = β, β[k+1] = Gβ[k], k ∈ N

^⋃ {0}.

Из результатов, полученных на предыдущих шагах, следует, что при любом k ∈ N выполнены

неравенства

α=α_[0] ≤α_[1] ≤...≤α[k] ≤β[k] ≤...≤β_[1] ≤β_[0] =β,

β^′′ = β′′[0] ≤ β′′[1] ≤ ... ≤ β′′[k] ≤ α′′[k] ≤ ... ≤ α′′[1] ≤ α′′[0] = α^′′.

С учётом свойств функции Грина задачи (4) (см. п. 2) имеем

∫

∑

∂^jG

α(j)[k+1](x) =

(x, s)f(s, α[k](s), (pα′′[k])(s)) ds +

(x, a)f(a, α[k](a), (pα′′[k])(a))

∂x^j

a∈J(Γ)

при 0 ≤ j ≤ 3. Более того, если

M = sup|f(x,u,v)|,

Π = {(x,u,v) : x ∈ Γ, inf α(x) ≤ u ≤ supβ(x), inf (pβ′′)(x) ≤ v ≤ sup(pα′′)(x)},

x∈Γ

то

∫



_∂j_G



∑

_∂j_G



|α(j)[k+1](x)| ≤ M



x,s)

s+M



x,a)

^d

≤

∂x^j (

a∈J(Γ)

где константа C не зависит от k и j.

Теперь, учитывая тот факт, что обе последовательности {α[k]}∞k=0 и {β[k]}∞k=0 ограничены

в C³[Γ], получаем, что α[k] ⇒ α_∗ и β[k] ⇒ β^∗ на Γ, где α_∗ и β^∗ - решения задачи (1) на Γ.

Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим планарный граф Γ ⊂ R², состоящий из трёх рёбер γ_i = (a_i, b),

i = 1, 2, 3, с общим концом b (внутренняя вершина графа). Будем считать, что все рёбра

направлены к внутренней вершине, длины γ_i всех рёбер равны 1. Пусть μ(x) - метрическая

функция на графе (см. п. 1), тогда μ_i : (a_i, b) → (0, 1), μ(a_i) = 0 и μ_i(b) = 1.

На графе Γ рассмотрим краевую задачу (1) с коэффициентными функциями

⎧

⎪

⁽ 9u′′1 )⁵

πμ₁(x)

⎪u31 -

+ sin

x∈γ₁,

⎪

π²

⎧

⎪

⎨3,

x∈γ₁,

⎨

⁽ 9u′′2 )⁵

πμ₂(x)

u³² -

+ sin

x∈γ₂,

p(x) =

x∈γ₂,

f (x, u, p(x)u^′′) =

π²

⎩

⎪

3/4,

x∈γ₃,

⎪

⁽ 9u′′3 )⁵

2πμ₃(x)

⎪u33 -

+ sin

x∈γ₃,

⎪

4π²

⎩

x = b.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

1189

Тогда равенства (2), (3) примут вид

)₅

⁽ 9u^′′i

πμ_i(x)

3u(IV)i = u3i -

+ sin

x∈γ₁

^⋃γ₂,

π²

⁽ 9u′′3 )⁵

2πμ₃(x)

u(IV)3 = u³³ -

+ sin

x∈γ₃,

4π²

u ∈ C(Γ), u′′1(b) = u′′2(b) =

u′′3(b),

u′1ν(b) + u′2ν(b) + u′3ν(b) = 0, u′′′1ν(b) + u′′′2ν(b) +

u′′′3ν(b) = 0,

u(a_i) = u^′′(a_i) = 0.

(12)

Легко проверить, что функции

⎧

⎪

πμ₁(x)

⎪sin

x∈γ₁,

⎪

⎨

πμ₂(x)

sin

x∈γ₂,

α(x) ≡ 0

и β(x) =

⎪

2πμ₃(x)

⎪

sin

x∈γ₃,

⎪

⎩√

3/2,

x = b,

являются верхним и нижним решениями задачи (12) соответственно. Очевидно, что все усло-

вия теоремы 3 выполнены. Таким образом, задача (12) имеет хотя бы одно решение u(x),

удовлетворяющее неравенствам 0 ≤ u(x) ≤ β(x), x ∈ Γ. Очевидно, что u ≡ 0 на Γ. А по-

скольку β^′′(x) ≤ u^′′(x) ≤ 0, то f(x, u, pu^′′) ≥ 0 на Γ и f(x, u, pu^′′) ≡ 0, и в силу формулы (5)

и теоремы 2 получаем, что u(x) > 0, x ∈ Γ.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации по соглашению № 075-02-2023-939.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боровских А.В., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. Об одном классе дифференци-

альных уравнений четвёртого порядка на пространственной сети // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 6.

С. 730-732.

2. Borovskikh A.V., Lazarev K.P. Fourth-order differential equations on geometric graphs // J. of Math.

Sci. 2004. V. 119. № 6. P. 719-738.

3. Dekoninck B., Nicase S. The eigenvalue problem for network of beams, in generalized functions // Linear

Algebra Appl. 2000. V. 314. № 1-3. P. 165-189.

4. Покорный Ю.В., Мустафокулов Р. О положительности функции Грина линейных краевых задач

для уравнений четвёртого порядка на графе // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2. С. 75-82.

5. Ammari K., Bchatnia A., Mehenaoui N. Exponential stability for the nonlinear Schródinger equation on

a star-shaped network // Z. Angew. Math. Phys. 2021. Bd. 72. S. 1-19.

6. Cerpa E., Crepeau E., Moreno C. On the boundary controllability of the Korteweg-de Vries equation on

a star-shaped network // IMA J. of Math. Control and Inf. 2020. V. 37. № 1. P. 226-240.

7. Grigor’yan A., Lin Y., Yang Y. Existence of positive solutions to some nonlinear equations on locally

finite graphs // Sci. China Math. 2017. V. 60. P. 1311-1324.

8. Han Zh-J., Zuazua E. Decay rates for elastic-thermoelastic star-shaped networks // Networks and

Heterogeneous Media. 2017. V. 12. № 3. P. 461-488.

9. Bondarenko N.P. A partial inverse Sturm-Liouville problem on an arbitrary graph // Math. Meth. Appl.

Sci. 2021. V. 44. № 8. P. 6896-6910.

10. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на пространствен-

ных сетях // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71. № 3 (429) С. 149-196.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

3^∗

1190

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

11. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Диф-

ференциальные уравнения на геометрических графах. М., 2007.

12. Кулаев Р.Ч. О функции Грина краевой задачи на графе-пучке // Изв. вузов. Математика. 2013.

№ 2. С. 56-66.

13. Кулаев Р.Ч. Неосцилляция уравнения четвёртого порядка на графе // Мат. сб. 2015. Т. 206. № 12.

С. 79-118.

14. Кулаев Р.Ч. Об осцилляционности функции Грина многоточечной краевой задачи для уравнения

четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 4. С. 445-458.

15. Kulaev R.Ch. The qualitative theory of fourth-order differential equations on a graph // Mediterr. J.

Math. 2022. V. 19. Art. 73.

16. Huang A., Lin Y., Yau H. Existence of solutions to mean field equations on graphs // Comm. in Math.

Phys. 2019. V. 377. P. 613-621.

17. Ge H. Kazdan-Warner equation on graph in the negative case // J. Math. Anal. Appl. 2017. V. 453.

№ 2. P. 1022-1027.

18. Lin Y., Wu Y. Blow-up problems for nonlinear parabolic equations on locally finite graphs // Acta Math.

Scientia. 2018. V. 38. № 3. P. 843-856.

19. Mehandiratta V., Mehra M., Leugering G. Existence and uniqueness results for a nonlinear Caputo

fractional boundary value problem on a star graph // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 477. № 2. P. 1243-

1264.

20. Harjani J., Sadarangani K. Existence and uniqueness of positive solutions for a nonlinear fourth-order

boundary value problem // Positivity. 2010. V. 14. P. 849-858.

21. Ma R., Zhang J., Fu Sh. The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary

value problems // J. Math. Anal. Appl. 1997. V. 215. № 1. P. 415-422.

22. Song W., Gao W. A fourth-order boundary value problem with one-sided Nagumo condition // Bound.

Value Probl. 2011. Art. 569191.

23. Graef J.R., Qian Ch., Yang B. A three point boundary value problem for nonlinear fourth order

differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2003. V. 187. № 1. P. 217-233.

24. Wei Z., Pang C. Positive solutions and multiplicity of fourth-order m-point boundary value problems

with two parameters // Nonlin. Anal. 2007. V. 67. № 5. P. 1586-1598.

25. Zhang Q., Chen S., Lú J. Upper and lower solution method for fourth-order four-point boundary value

problems // J. Comput. Appl. Math. 2006. V. 196. № 2. P. 387-393.

26. Мустафокулов Р. Положительные решения нелинейных краевых задач для уравнения четвертого

порядка на графе // Докл. НАН Таджикистана. 1999. Т. 42. № 3. С. 40-46.

27. Кулаев Р.Ч. О свойстве неосцилляции уравнения на графе // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57. № 1.

С. 85-97.

28. Кулаев Р.Ч. Критерий положительности функции Грина многоточечной краевой задачи для урав-

нения четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 2. С. 161-173.

29. Кулаев Р.Ч., Уртаева А.А. Теоремы Штурма о распределении нулей для уравнения четвертого

порядка на графе // Мат. заметки. 2022. Т. 112. № 6. С. 977-981.

30. Kulaev R.Ch., Urtaeva A.A. Spectral properties of a fourth-order differential operator on a network

// Math. Meth. Appl. Sci. 2023. P. 1-21.

31. Li Y., Gao Y. Existence and uniqueness results for the bending elastic beam equations // Appl. Math.

Lett. 2019. V. 95. P. 72-77.

32. Xu G.Q., Mastorakis N.E. Differential Equations on Metric Graph. WSEAS Press, 2010.

Южный математический институт -

Поступила в редакцию 20.04.2023 г.

филиал Владикавказского научного центра РАН,

После доработки 21.07.2023 г.

Северо-Осетинский государственный университет

Принята к публикации 21.08.2023 г.

имени К.Л. Хетагурова, г. Владикавказ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023