ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1191-1198

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.911.5+517.927

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Рассматривается непрерывная аппроксимация задачи Штурма-Лиувилля с разрывной по

фазовой переменной нелинейностью. Аппроксимирующая задача получается из исходной

малыми возмущениями спектрального параметра и аппроксимацией нелинейности кара-

теодориевыми функциями. Вариационным методом доказывается теорема о близости ре-

шений аппроксимирующей и исходной задач. Полученная теорема применяется к одномер-

ным моделям Гольдштика и Лаврентьева об отрывных течениях.

DOI: 10.31857/S0374064123090042, EDN: WORAIG

Введение. Проблема исследования вопроса близости решений аппроксимирующей задачи

с непрерывной нелинейностью и решений исходной задачи с разрывной нелинейностью бы-

ла поставлена в работе [1] и, безусловно, является актуальной. Для эллиптических краевых

задач с разрывными нелинейностями данная проблема изучалась в статьях [2-4]. Аппроксима-

ция основных краевых задач для уравнений эллиптического типа со спектральным парамет-

ром и разрывной по фазовой переменной нелинейностью исследовалась в работах [5-8]. Ап-

проксимация задачи с разрывной нелинейностью последовательностью задач с непрерывной

нелинейностью для оператора Лапласа на конкретных примерах склейки вихревых и потенци-

альных течений рассматривалась в [9]. Непрерывным аппроксимациям задачи Гольдштика об

отрывных течениях несжимаемой жидкости посвящены статьи [10, 11]. В данной работе, яв-

ляющейся продолжением этих исследований, рассматриваются непрерывные аппроксимации

задачи Штурма-Лиувилля с разрывной по фазовой переменной нелинейностью.

Проблема существования решений задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью

изучалась в работах [12-18], а обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

с разрывными правыми частями исследовались в [19-28].

В отличие от работ [2-4], в данной статье изучаемые задачи содержат спектральный пара-

метр, в работах [3, 4] рассматривался другой вид аппроксимаций нелинейности. Кроме того,

в отличие от работ [2-10], рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения с

разрывными правыми частями, а не уравнения с частными производными. По сравнению с

работами [12-14, 17] в данной статье ослабляются ограничения на множество точек разрыва

нелинейности, изучаются полуправильные решения, исследуется проблема близости решений

аппроксимирующей и исходной задач.

1. Постановка задачи. Определения и обозначения. Пусть -∞ < a < b < +∞,

кривые S_i = {(x, u) ∈ R² : x ∈ [a, b], u = ϕ_i(x)}, ϕ_i ∈ W2q((a, b)), q > 1, i = 1, m, попарно

не пересекаются. Будем считать, что ϕ_i(x) < ϕi+1(x) для любого x ∈ [a, b] и i = 1, m - 1.

Существует число d > 0 такое, что для любого x ∈ [a, b] отрезки [ϕ_i(x)-d, ϕ_i(x)+d], i = 1, m,

попарно не пересекаются.

Кривые S_i, i = 1, m, разбивают область D = (a, b) × R на непересекающиеся подобласти

D₀ = {(x,u) ∈ D : u < ϕ₁(x)}, D_i = {(x,u) ∈ D : ϕ_i(x) < u < ϕi+1(x)}, i = 1,m - 1,

D_m = {(x,u) ∈ D : u > ϕ_m(x)}.

На множествах D_i заданы каратеодориевы функции g_i(x, u) такие, что для почти всех

(п.в.) x ∈ (a, b) и любого u верны неравенства

|g_i(x, u)| ≤ α(x), (x, u) ∈ D_i,

(1)

где α ∈ L_q((a, b)), q > 1, i = 0, m.

1191

1192

ПОТАПОВ

Функция g : (a, b) × R → R суперпозиционно измерима и на D_i совпадает с g_i(x, u),

причём для п.в. x ∈ (a, b), если (x, u) ∈ S_i, g(x, u) принадлежит отрезку с концами gi-1(x, u)

и g_i(x,u), i = 1,m. Будем предполагать, что для п.в. x ∈ (a,b) справедливо равенство

g(x, 0) = 0

(2)

gi-1(x,u) ≤ g_i(x,u), если (x,u) ∈ S_i, i = 1,m.

(3)

Зафиксируем последовательность положительных чисел {δ_k}, сходящуюся к нулю и огра-

ниченную сверху определённым выше числом d.

Нелинейность g(x, u) аппроксимируется последовательностью каратеодориевых функций

{g^k(x, u)} таких, что для п.в. x ∈ (a, b) выполняются следующие условия:

(i) g^k(x, u) = g(x, u), если |u - ϕ_i(x)| > δ_k для любого i = 1, m;

(ii) для любого u ∈ R

|g^k(x, u)| ≤ α(x),

(4)

где функция α из оценки (1).

Исходная задача Штурма-Лиувилля с разрывной по фазовой переменной u нелинейно-

стью g(x, u) имеет вид

Lu(x) = λg(x, u(x)), x ∈ (a, b),

(5)

u(a) = u(b) = 0.

(6)

Здесь Lu(x) ≡ -(p(x)u^′(x))^′ + q(x)u(x) - дифференциальный оператор с коэффициентами

p ∈ C1,β([a,b]), q ∈ C0,β([a,b]),

0 < β ≤ 1, λ - положительный параметр.

Нам потребуются следующие определения.

Определение 1. Сильным решением задачи (5), (6) называется функция u ∈ W2q((a,b)),

q > 1, удовлетворяющая для п.в. x ∈ (a,b) уравнению (5) и граничным условиям (6).

Определение 2. Полуправильным решением задачи (5), (6) называется такое сильное

её решение u, значение которого u(x) для п.в. x ∈ (a, b) является точкой непрерывности

функции g(x, · ).

Определение 3. Прыгающим разрывом функции f : R → R называется такое u ∈ R, что

f (u-) < f(u+), где f(u±) = lim f(s).

s→u±

Отметим, что в силу равенства (2) функция, почти всюду на интервале (a, b) равная нулю,

является сильным решением задачи (5), (6), а из неравенства (3) следует, что для п.в. x ∈ (a, b)

точки разрыва функции g(x, · ) прыгающие.

Пусть X = H1◦((a, b)). С задачей (5), (6) свяжем функционал J^λ, определённый на функ-

циональном пространстве X, следующим образом: J^λ(u) = J₁(u) - λJ₂(u), где

∫

J₁(u) =

p(x)(u^′(x))² dx +

q(x)u²(x) dx, J₂(u) = dx

g(x, s) ds.

Будем предполагать, что выполнено условие

(iii) найдётся û ∈ X, для которого J2(û) > 0.

В дальнейшем рассматриваются два случая: коэрцитивный и резонансный.

В коэрцитивном случае (J₁(u) ≥ γ∥u∥², u ∈ X, γ - положительная константа, независя-

щая от u) из теоремы в работе [15] следует существование λ₀ > 0 такого, что inf J^λ(v) < 0

v∈X

для любого λ > λ₀, найдётся û₀ ∈ X, для которого J^λ(û₀) = inf

J^λ(v), и любое такое û0

v∈X

является ненулевым полуправильным решением задачи (5), (6).

Если ядро дифференциального оператора с соответствующими граничными условиями

ненулевое (резонансный случай), то дополнительно предположим выполнение условия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

1193

(iv) линейное пространство N(L) решений задачи

Lu = 0, x ∈ (a,b),

u(a) = u(b) = 0

одномерно и ψ(x) - базисная функция этого подпространства.

Кроме того, пусть для базисной функции ψ пространства N(L) выполнены условия Лан-

десмана-Лазера

∫

g_-(x)ψ(x)dx +

g₊(x)ψ(x)dx < 0 <

g_-(x)ψ(x)dx +

g₊(x)ψ(x)dx,

(7)

ψ<0

ψ>0

ψ<0

где g_±(x) = lim g(x, u).

u→±∞

Известно [29], что условия Ландесмана-Лазера влекут за собой равенство

lim

J₂(u) = -∞.

u∈N(L),∥u∥→+∞

Поэтому если дополнительно потребовать неотрицательность J₁(u) на X, то из теоремы 4

в работе [30] следует существование λ₀ > 0 такого, что inf

J^λ(v) < 0 для любого λ > λ₀,

v∈X

найдётся

û₀ ∈ X, для которого J^λ(û₀) = inf

J^λ(v), и любое такое û0 является ненулевым

v∈X

полуправильным решением задачи (5), (6).

Зафиксируем λ > λ₀, и пусть числовая последовательность {λ_k} сходится к λ, λ_k > 0.

Рассмотрим аппроксимирующую задачу

Lu(x) = λ_kg^k(x, u(x)), x ∈ (a, b),

(8)

u(a) = u(b) = 0,

(9)

где аппроксимирующая последовательность каратеодориевых функций {g^k(x, u)} определена

выше.

Положим

∫b

∫

J^k(u) = J₁(u) - λ_k dx

g^k(x,s)ds, k ∈ N.

По построению функция g^k(x, u) каратеодориева и для неё при п.в. x ∈ (a, b) верна оценка (4)

с функцией α из (1).

Согласно теореме из [15] (коэрцитивный случай) и теореме 4 из [30] (резонансный случай)

для любого k ∈ N существует u_k ∈ X такое, что J^k(u_k) = inf J^k(v), причём любое такое

v∈X

u_k ∈ W2q((a,b)) и является сильным решением соответствующей аппроксимирующей краевой

задачи.

2. Основной результат. Теорема о близости решений аппроксимирующей задачи (8), (9)

к решениям исходной задачи (5), (6) является основным результатом данной работы.

Теорема. Пусть выполнены оценка (1), равенство (2), неравенство (3), оценка (4), усло-

вие (iii) и дополнительно коэффициент q(x) оператора L неотрицателен на (a, b) (в коэр-

цитивном случае), функционал J₁(u) неотрицателен на X, выполнены условия (iv) и (7) (в

резонансном случае). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) последовательность {u_k} решений аппроксимирующих задач (8), (9), построенная вы-

ше, является минимизирующей последовательностью для функционала J^λ на X;

2) последовательность {u_k} содержит подпоследовательность {ukl}, сходящуюся в рав-

номерной метрике C₁([a, b]) к полуправильному решению u₀ предельной задачи (5), (6), для

которого J^λ(u₀) = inf J^λ(v);

v∈X

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1194

ПОТАПОВ

3) если инфимум J^λ на X достигается в единственной точке u₀, то u_k → u₀ в

C₁([a,b]).

Доказательство. Пусть |λ_k - λ| < ε_k, где ε_k → +0 при k → ∞. Для u ∈ X и k ∈ N

имеем соотношения

 ∫

∫



∫



|J^k(u) - J^λ(u)| =^ dx

(-λ_kg^k(x, s) + λg(x, s)) ds

|λ_kg^k(x, s) - λg(x, s)| ds ≤

≤

∫b

∫

≤ dx

(|λ_k - λ||g^k(x, s)| + |λ||g^k(x, s) - g(x, s)|) ds ≤

∫b

∫

≤ ε_k dx

|g^k(x, s)| ds + |λ| dx

|g^k(x, s) - g(x, s)| ds ≤

∫^b

∫

∑

≤ ε_k dx α(x)ds + |λ|

|g^k(x, s) - g(x, s)| ds ≤

i=1

ϕ_i(x)-δ_k

∫b

∫

∑

≤ ε_k α(x)|u(x)|dx + |λ|

(α(x) + α(x)) ds =

i=1

ϕ_i(x)-δ_k

∫b

∫

= ε_k α(x)|u(x)|dx + 4|λ|mδ_k α(x)dx.

Для любого u ∈ X справедливо неравенство

∫

α(x)|u(x)| dx ≤ M∥u∥,

где постоянная M равна произведению ∥α∥Lq ((a,b)) на норму оператора вложения X в прост-

ранство L_p((a, b)), p = q/(q - 1), q > 1. Таким образом,

∫

|J^k(u) - J^λ(u)| ≤ ε_kM∥u∥ + 4|λ|mδ_k α(x) dx, u ∈ X.

Поскольку в коэрцитивном случае коэффициент q(x) оператора L неотрицателен на (a, b),

то для любого решения u задачи (5), (6) имеем

∫b

(∫b

)1/q(∫b

)1/p

χ∥u∥² ≤ (Lu, u) = λg(x, u(x))u(x) dx ≤ |λ|

|g(x, u(x))|^q dx

|u(x)|^p dx

≤

(∫b

)1/p

≤ |λ|∥α∥Lq ((a,b))

|u(x)|^p dx

≤ |λ|M∥u∥,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

1195

где χ - положительная константа, независящая от u, ∥u∥ - норма в пространстве X. Из этого

следует, что ∥u∥ ≤ |λ|M/χ.

Аналогично доказывается, что

|λ_k|M

∥u_k∥ ≤

k ∈ N,

где u_k - решение аппроксимирующей задачи (8), (9). В резонансном случае ограниченность

последовательности {u_k} доказывается от противного по схеме, предложенной в работе [5].

Пусть постоянная N > 0 из неравенства ∥u∥ ≤ N (например, в коэрцитивном случае

N = sup|λ_k|M/χ). Тогда

k∈N

∫

|J^k(u) - J^λ(u)| ≤ ε_kMN + 4|λ|mδ_k α(x) dx = F_k,

(10)

если u или решение задачи (5), (6), или решение одной из аппроксимирующих задач (8), (9).

Отсюда следует (d_λ = inf

J^λ(v), J^λ(û₀) = d_λ)

v∈X

d_λ - F_k ≤ J^λ(u_k) - F_k ≤ J^k(u_k) ≤ J^k(û₀) ≤ J^λ(û₀) + F_k = d_λ + F_k,

что влечёт неравенство |J^k(u_k) - d_λ| ≤ F_k для любого k ∈ N. Тогда, с учётом (10), имеем

|J^λ(u_k) - d_λ| ≤ |J^λ(u_k) - J^k(u_k)| + |J^k(u_k) - d_λ| ≤ 2F_k

(11)

для любого натурального k.

Из того что ε_k → +0, δ_k ↓ 0 при k → ∞ следует, что F_k → 0. Поэтому (11) влечёт

lim

J^λ(u_k) = d_λ, и, значит, {uk} - минимизирующая последовательность для функциона-

k→∞

ла J^λ на X.

В коэрцитивном случае имеем

(∫b

)1/q

|λ_kg^k(x, u_k(x))|^q dx

∥Lu_k∥Lq ((a,b)) =

≤ |λ_k|∥α∥Lq ((a,b)) < (εk + λ)∥α∥Lq ((a,b))

в силу оценки (4). Поскольку ε_k → +0 при k → ∞, то существует константа K > 0 такая,

что для произвольного k справедливо неравенство ε_k < K и, значит, верна оценка

∥Lu_k∥Lq ((a,b)) ≤ (K + λ)∥α∥Lq ((a,b)),k∈N,

что приводит к ограниченности последовательности {u_k} в пространстве W2q((a, b)) при сде-

ланных выше предположениях относительно оператора L. В резонансном случае ограничен-

ность последовательности {u_k} в W2q((a, b)) доказана в статье [5].

Пространство W2q((a, b)) рефлексивно, значит последовательность {uk} содержит сла-

бо сходящуюся к некоторому u₀ в W2q((a, b)) подпоследовательность {ukl }. Учитывая ком-

пактность вложения W2q((a, b)) в C₁([a, b]), получаем, что {ukl } сильно сходится к u₀ в X

и C₁([a,b]).

Функционал J^λ непрерывен на X, поэтому J^λ(u₀) = lim

J^λ(ukl ). С другой стороны,

l→∞

lim

J^λ(ukl ) = d_λ. Следовательно, J^λ(u₀) = d_λ. Из этого и теоремы из [15] (коэрцитивный

l→∞

случай), теоремы 4 из [30] (резонансный случай) заключаем, что u₀ - полуправильное решение

задачи (5), (6).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1196

ПОТАПОВ

Если инфимум J^λ на X достигается в единственной точке u₀ ∈ X, то u_k → u₀ в C₁([a, b]),

поскольку в этом случае из любой подпоследовательности последовательности

{u_k} мож-

но выделить подпоследовательность, которая сильно сходится к u₀ в равномерной метрике

C₁([a,b]). Теорема доказана.

3. Приложения. В качестве приложения установленной теоремы можно рассматривать,

например, непрерывные аппроксимации одномерного аналога математической модели Гольд-

штика отрывных течений несжимаемой жидкости [11]. Действительно, одномерная задача

Гольдштика имеет вид

-u^′′ = ωg(x,u(x)), x ∈ (0,1),

(12)

u(0) = u(1) = 0.

(13)

Здесь параметр ω > 0 - завихрённость, а нелинейность

{

-1, если u < x - 1,

g(x, u) =

если u ≥ x - 1.

Прямая

S = {(x,u) ∈ R² : x ∈ [0,1], u = x - 1}

разбивает область D = (0, 1) × R на непересекающиеся подобласти

D₀ = {(x,u) ∈ D : u < x - 1}, D₁ = {(x,u) ∈ D : u > x - 1}.

На D_i, i = 0, 1, заданы каратеодориевы функции g_i(x, u), функция g : (0, 1) × R → R

суперпозиционно измерима и на D_i совпадает с g_i(x, u), причём для п.в. x ∈ (0, 1), если

(x, u) ∈ S, g(x, u) принадлежит отрезку с концами g₀(x, u) и g₁(x, u). Положим g₀(x, u) =

= -1, g₁(x,u) = 0.

Краевой задаче (12), (13) сопоставим заданный на пространстве H1◦((0, 1)) функционал

J^ω(u) = J₁(u) - ωJ₂(u), где

∫

J₁(u) =

u′2 dx, J₂(u) =

dx g(x, s) ds.

В статье [15] отмечено, что существует ω₀ > 0 такое, что

inf

J^ω(v) < 0 для любого

v∈H^◦((0,1))

ω > ω₀, найдётся û₀ ∈ H1◦((0,1)), для которого J^ω(û₀) =

inf

J^ω(v), и любое такое

û₀

v∈H^◦((0,1))

является ненулевым полуправильным решением задачи (12), (13).

Зафиксируем ω > ω₀ и пусть числовая последовательность

{ω_k}, ωk > 0, сходится

к ω. Нелинейность g(x,u) аппроксимируется последовательностью каратеодориевых функ-

ций {g^k(x, u)}. Имеем

-u^′′ = ω_kg^k(x,u(x)), x ∈ (0,1),

u(0) = u(1) = 0,

где

⎧

⎨-1,

если u < -ε + x - 1,

g^k(x,u) =

(u + 1 - x)/ε,

если

- ε + x - 1 ≤ u ≤ x - 1,

^⎩0,

если u ≥ x - 1.

Функция g^k(x, u) непрерывная и зависит от малого параметра ε > 0, в пределе при ε → +0

получается разрывная нелинейность g(x, u).

Проверим, что для одномерной задачи Гольдштика выполнены все условия полученной в

данной работе теоремы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

1197

Для п.в. x ∈ (0, 1) выполнена оценка |g_i(x, u)| ≤ 1 для любого u с (x, u) ∈ D_i, где 1 ∈

∈ L_q((0,1)), q > 1, i = 0,1; верны равенство g(x,0) = 0 и неравенство g₀(x,u) ≤ g₁(x,u),

если (x, u) ∈ S; справедлива оценка |gk(x, u)| ≤ 1 для любого u ∈ R, где 1 ∈ Lq((0,1)),

q > 1. Покажем, что выполнено условие (iii). Возьмём отрезок F ⊂ (0,1). Тогда существует

интервал G ⊃ F такой, что G ⊂ (0, 1). Пусть функция h ∈ C_∞([0, 1]) равна единице на F,

нулю вне G и 0 ≤ h(x) ≤ 1 на G\F. Имеем

∫1

∫

J₂(u) = dx

g(x, s) ds =

(x - 1 - u(x)) dx.

{x∈(0,1): u(x)<x-1}

Положим u(x) = û(x) = 2(x - 1)h(x). Тогда

∫

J₂(û) =

(x - 1 - û(x)) dx =

(x - 1)(1 - 2h(x)) dx > 0.

{x∈(0,1): û(x)<x-1}

{x∈(0,1): h(x)>1/2}

Таким образом, найдётся û ∈ H1◦((0, 1)), для которого J₂(û) > 0. Условие (iii) выполняет-

ся. Далее имеем

∫

J₁(u) =

u′2 dx =1∥u∥2.

Существует постоянная γ ∈ (0, 1/2] (например, γ = 1/4), для которой J₁(u) ≥ γ∥u∥² для

всех u ∈ H1◦((0, 1)), т.е. имеет место коэрцитивный случай. Коэффициент q(x) ≡ 0 (функция

при u(x) в дифференциальном операторе Lu = -u^′′) неотрицателен.

Итак, для одномерной задачи Гольдштика выполнены все условия теоремы и, значит, спра-

ведливы её утверждения.

Совершенно аналогично в качестве приложения можно рассмотреть одномерную модель

Лаврентьева об отрывных течениях [31], для которой также будут выполнены условия дока-

занной теоремы. Поэтому утверждения теоремы будут справедливы и для одномерной задачи

Лаврентьева.

Установленная теорема проиллюстрирована прикладными задачами.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 23-21-

00069).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красносельский М.А., Покровский А.В. Уравнения с разрывными нелинейностями // Докл. АН

СССР. 1979. Т. 248. № 5. C. 1056-1059.

2. Павленко В.Н., Искаков Р.С. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулиней-

ных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51. № 2. С. 224-233.

3. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация резонансных краевых задач эллиптического типа

с разрывными нелинейностями // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46. № 1. С. 139-148.

4. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Правильные решения эллиптических краевых задач с разрывны-

ми нелинейностями // Алгебра и анализ. 2005. Т. 17. № 3. С. 124-138.

5. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектраль-

ным параметром и разрывной нелинейностью // Изв. вузов. Математика. 2005. № 4. С. 49-55.

6. Потапов Д.К. Устойчивость основных краевых задач эллиптического типа со спектральным пара-

метром и разрывной нелинейностью в коэрцитивном случае // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 2005.

Т. 9. № 1-2. С. 159-165.

7. Потапов Д.К. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого по-

рядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2007.

Т. 43. № 7. С. 1002-1003.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1198

ПОТАПОВ

8. Потапов Д.К. Аппроксимация однопараметрического семейства задач Дирихле для уравнений эл-

липтического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями в резонансном случае // Мат.

заметки. 2011. Т. 90. Вып. 3. С. 467-469.

9. Вайнштейн И.И., Юровский В.К. Об одной задаче сопряжения вихревых течений идеальной жид-

кости // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1976. № 5. C. 98-100.

10. Потапов Д.К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика // Мат. заметки. 2010. Т. 87.

Вып. 2. С. 262-266.

11. Потапов Д.К. Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных

течений несжимаемой жидкости // Сиб. журн. вычислит. математики. 2011. Т. 14. № 3. С. 291-296.

12. Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional

Sturm-Liouville boundary value problems // J. Inequal. Appl. 2005. № 4. P. 403-412.

13. Bonanno G., Bisci G.M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous

nonlinearities // Bound. Value Probl. 2009. Art. 670675.

14. Bonanno G., Buccellato S.M. Two point boundary value problems for the Sturm-Liouville equation with

highly discontinuous nonlinearities // Taiwanese J. Math. 2010. V. 14. № 5. P. 2059-2072.

15. Потапов Д.К. Задача Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения.

2014. Т. 50. № 9. С. 1284-1286.

16. Потапов Д.К. Существование решений, оценки дифференциального оператора и “разделяющее”

множество в краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка с разрывной нели-

нейностью // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 970-974.

17. Bonanno G., D’Agui G., Winkert P. Sturm-Liouville equations involving discontinuous nonlinearities

// Minimax Theory Appl. 2016. V. 1. № 1. P. 125-143.

18. Павленко В.Н., Постникова Е.Ю. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения с разрывной нелиней-

ностью // Челябинский физ.-мат. журн. 2019. Т. 4. Вып. 2. С. 142-154.

19. Нижник И.Л., Краснеева А.А. Периодические решения дифференциальных уравнений второго по-

рядка с разрывной нелинейностью // Нелин. колебания. 2012. Т. 15. № 3. С. 381-389.

20. Jacquemard A., Teixeira M.A. Periodic solutions of a class of non-autonomous second order differential

equations with discontinuous right-hand side // Phys. D: Nonlin. Phenom. 2012. V. 241. № 22. P. 2003-

2009.

21. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Solution to second-order differential equations with

discontinuous right-hand side // Electron. J. Differ. Equat. 2014. № 221. P. 1-6.

22. Llibre J., Teixeira M.A. Periodic solutions of discontinuous second order differential systems // J.

Singularities. 2014. V. 10. P. 183-190.

23. Самойленко А.М., Нижник И.Л. Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью

// Укр. мат. журн. 2015. Т. 67. № 4. С. 517-554.

24. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Non-existence of periodic solutions to non-autono-

mous second-order differential equation with discontinuous nonlinearity // Electron. J. Differ. Equat.

2016. № 4. P. 1-8.

25. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of solutions for second-order differential

equations with discontinuous right-hand side // Electron. J. Differ. Equat. 2016. № 124. P. 1-9.

26. Bensid S., Diaz J.I. Stability results for discontinuous nonlinear elliptic and parabolic problems with a

S-shaped bifurcation branch of stationary solutions // Disc. Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2017. V. 22. № 5.

P. 1757-1778.

27. Da Silva C.E.L., da Silva P.R., Jacquemard A. Sliding solutions of second-order differential equations

with discontinuous right-hand side // Math. Meth. Appl. Sci. 2017. V. 40. № 14. P. 5295-5306.

28. Da Silva C.E.L., Jacquemard A., Teixeira M.A. Periodic solutions of a class of non-autonomous

discontinuous second-order differential equations // J. Dyn. Contr. Syst. 2020. V. 26. № 1. P. 17-44.

29. Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с

разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 2001. № 5. С. 43-58.

30. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений с раз-

рывными операторами // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 911-919.

31. Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Lavrent’ev problem for separated flows with an external perturbation

// Electron. J. Differ. Equat. 2013. № 255. P. 1-6.

Санкт-Петербургский государственный университет

Поступила в редакцию 15.01.2023 г.

После доработки 15.01.2023 г.

Принята к публикации 21.08.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023