ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1199-1204

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.2

О СУЩЕСТВОВАНИИ БЕСКОНЕЧНОГО СПЕКТРА

ЗАТУХАЮЩИХ ВЫТЕКАЮЩИХ ТЕ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ

ВОЛН ОТКРЫТОГО НЕОДНОРОДНОГО

ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО

ВОЛНОВОДА, ПОКРЫТОГО СЛОЕМ ГРАФЕНА

Рассматривается задача о вытекающих волнах неоднородной волноведущей структуры,

покрытой слоем графена, которая сводится к краевой задаче для продольных компонент

электромагнитного поля в пространствах Соболева. Для определения решения исполь-

зуется вариационная формулировка задачи. Вариационная задача сводится к изучению

оператор-функции. Исследуются свойства оператор-функции, необходимые для анализа

её спектральных свойств. Доказываются теоремы о дискретности спектра и о распределе-

нии характеристических чисел оператор-функции на комплексной плоскости.

DOI: 10.31857/S0374064123090054, EDN: WORJJJ

Введение. Появление новых материалов, таких как графен, приводит к необходимости

рассмотрения краевых задач электродинамики нового типа, когда условия сопряжения на

границе диэлектриков содержат бесконечно тонкий проводящий слой графена [1-4]. При этом

требуются как теоретическое исследование свойств задачи, так и разработка численных мето-

дов для её решения и проведение практически важных расчётов для конкретных структур.

Нами рассматривается металлодиэлектрический слой кругового поперечного сечения, по-

крытый слоем графена и расположенный в свободном пространстве. Цель исследования -

изучить спектр собственных вытекающих волн, которые могут существовать в структуре. Ос-

новным теоретическим результатом в таких задачах обычно является теорема о дискретности

спектра [5, 6]. Именно этот результат будет доказан ниже для металлодиэлектрического слоя,

покрытого слоем графена. Насколько известно авторам, подобные результаты для этой задачи

ранее не были получены.

В статье рассматривается задача о спектре вытекающих волн, которые растут при удалении

от волновода. Вариационным методом задача сводится к исследованию оператор-функции в

пространстве Соболева. Доказывается дискретность спектра задачи.

Важно отметить, что помимо доказательства теоремы о дискретности спектра получена

и изучена система вариационных уравнений, к которой сводится краевая задача на собствен-

ные значения. Эта система уже может решаться численно. Некоторые результаты о распро-

странении поляризованных электромагнитных волн в диэлектрической пластине, покрытой

графеном, имеются в работах [7-9].

1. Задача о вытекающих волнах. Рассмотрим трёхмерное пространство R³ с цилинд-

рической системой координат Oρϕz. Пространство заполнено изотропной средой без источни-

ков с диэлектрической проницаемостью ε₀ ≡ const, где ε₀ - диэлектрическая проницаемость

вакуума. В R³ помещён цилиндрический диэлектрический волновод

Σ := {(ρ, ϕ, z) : r₀ ≤ ρ ≤ r,

0 ≤ ϕ < 2π}

с образующей, параллельной оси Oz, и с круговым поперечным сечением. Волновод неогра-

ниченно продолжается в направлении z. Сечение волновода, перпендикулярное его оси, пред-

ставляет собой кольцо с внутренним радиусом r₀ и внешним радиусом r (рисунок). Границы

ρ = r₀ - проекция поверхности идеально проводящего, бесконечно тонкого экрана, ρ = r -

проекция поверхности соприкосновения диэлектриков. Волновод заполнен неоднородным ди-

электриком с проницаемостью ε₀ε(ρ).

1199

1200

СМИРНОВ, СМОЛЬКИН

Задача о вытекающих ТЕ-поляризованных волнах диэлек-

трического волновода состоит в отыскании нетривиальных ре-

шений однородной системы уравнений Максвелла в виде бегущей

волны, т.е. с зависимостью e^iγz от координаты z, вдоль которой

структура регулярна:

rot H = -iεE, rot E = iH,

E = (0,E_ϕ(ρ)e^iγz,0), H = (H_ρ(ρ)e^iγz,0,H_z(ρ)e^iγz),

(1)

где H - напряжённость магнитного поля, E - напряжённость

электрического поля, γ - постоянная распространения, причём

Рисунок. Сечение волновода.

должны выполняться следующие условия: энергия поля в любом

конечном объёме волновода ограничена, на поверхности идеального проводника касательных

составляющих электрического поля

E_ϕ|ρ=r0 = 0;

(2)

для касательных составляющих полей на границе раздела сред

E_ϕ|r+0 - E_ϕ|r-0 = 0, H_z|r+0 - H_z|r-0 = -σE_ϕ|r+0,

(3)

здесь σ - проводимость графена (постоянная комплексная величина такая, что σ^′ = Re σ ≥ 0

и σ^′′ = Imσ ≥ 0); а также условие излучения на бесконечности для вытекающих волн [6,

с. 63].

Система уравнений Максвелла (1) записана в нормированном виде. Перейдём к безразмер-

ным величинам [5]:

k₀ρ → ρ, γ →

^√μ₀H → H, E → E,

k₀

ε₀

где k²⁰ = ω²μ₀ε₀, ω - круговая частота, μ₀ - магнитная проницаемость вакуума (временной

множитель e^-iωt всюду опущен).

Диэлектрическая проницаемость во всем пространстве равна

{

ε(ρ), r₀ ≤ ρ ≤ r,

ε=

ρ > r.

Среда предполагается изотропной и немагнитной. Пусть также ε(ρ) - вещественная непре-

рывно дифференцируемая функция на отрезке [r₀, r].

Запишем систему уравнений Максвелла (1) в координатном виде:

iγH_ρ - H^′z = -iεE_ϕ,

-iγE_ϕ = iH_ρ,

(ρE_ϕ)^′ = iH_z.

(4)

Выразим функции H_ρ и H_z через E_ϕ из второго и третьего уравнений системы (4) и получим

′

(ρE_ϕ)

H_ρ = -γE_ϕ, H_z = -i

откуда следует, что поле ТЕ-волны может быть представлено в виде скалярной функции

u := iE_ϕ(ρ).

Тем самым задача сводится к нахождению функции u. Всюду ( · )^′ обозначает дифференци-

рование по переменной ρ.

Из первого уравнения системы (4) получим следующее дифференциальное уравнение:

u^′′ +

u^′ -

u + (ε- γ²)u = 0.

(5)

ρ²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ БЕСКОНЕЧНОГО СПЕКТРА

1201

Граничные условия (2) и условия сопряжения (3) примут вид

u(r - 0) = u(r + 0), u^′(r - 0) = u^′(r + 0) + iσu(r + 0),

(6)

где [f]|ρ0 = lim

f (ρ) - lim f(ρ).

ρ→ρ₀-0

ρ→ρ₀+0

При ρ > r имеем ε = 1, тогда из (5) получаем

u^′′ +

u^′ -

u - λ²u = 0,

ρ²

где λ² = γ² - 1.

Учитывая условие на бесконечности для вытекающих волн, выберем решение последнего

уравнения в виде

u(ρ; γ) = CI₁(λρ),

(7)

где I₁ - модифицированная функция Бесселя (функция Инфельда) [10], C - некоторая по-

стоянная.

При r₀ ≤ ρ ≤ r имеем ε = ε(ρ), и из (5) получаем следующее дифференциальное урав-

нение:

Lu := (ρu^′)^′ -

u + ρ(ε - 1 - λ²)u = 0.

(8)

Определение. Если существует нетривиальная функция u, отвечающая некоторому λ ∈

∈ C и удовлетворяющая условиям (6), которая при ρ > r определяется формулой (7), а при

r₀ ≤ ρ ≤ r является решением уравнения (8), то λ называется характеристическим числом

задачи (6)-(8).

Задача о вытекающих волнах является задачей на собственные значения для системы урав-

нений Максвелла относительно спектрального параметра λ.

2. Задача о спектре оператор-функции. Будем искать решения u задачи в простран-

стве Соболева [11] H¹⁰(r₀, r; ρ) со скалярным произведением и нормой

∫r

∫

(f, g)₁ = ρ(f^′g^′ + fg) dρ,

∥f∥²¹ = (f, f)₁ = ρ(|f^′|² + |f|²) dρ.

r₀

Замечание. Здесь использовано обозначение пространства Соболева H¹⁰(r₀, r; ρ), не сов-

падающее со стандартным (в нашем случае f|r0 = 0, но, вообще говоря, f|_r = 0).

Дадим вариационную формулировку задачи. Умножим уравнение (8) на произвольную

пробную функцию v, считая её пока непрерывно дифференцируемой на отрезке [r₀, r]. Ис-

пользовав формулу Грина для уравнения (8) на отрезке [r₀, r], получим

∫r

∫

(

)

λ²

ρuv dρ + ρu^′v^′ dρ + ρ

- ε - 1 uv dρ - ru^′(r - 0)v(r - 0) = 0.

(9)

ρ²

r₀

Зная решение (7), выразим из формул (6) значения производной в точке ρ = r следующим

образом:

I′1(λr)

u^′(r + 0) = λ

u(r + 0).

(10)

I₁(λr)

Из (9) с учётом (10) имеем

∫r

∫

(

)

I′1(λr)

λ²

ρuv dρ + ρ(u^′v^′ + uv) dρ +

- ρε uv dρ - λ

u(r)v(r) - iσru(r)v(r) = 0.

(11)

I₁(λr)

r₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1202

СМИРНОВ, СМОЛЬКИН

Вариационное соотношение (11) получено для гладких функций v и распространяется на

любые функции v ∈ H¹⁰(r₀, r; ρ) по непрерывности.

Интегралы, входящие в (11), можно рассматривать как полуторалинейные формы над по-

лем C, заданные на H¹⁰(r₀, r; ρ), от аргументов u, v. Эти формы определяют [12] некоторые

линейные ограниченные операторы T : H¹⁰(r₀, r; ρ) → H¹⁰(r₀, r; ρ) по формуле

t(u, v) = (Tu, v), v ∈H10,

при условии, что сами формы ограничены: |t(u, v)| ≤ C∥u∥∥v∥. Линейность следует из линей-

ности формы по первому аргументу, а непрерывность - из оценок

∥Tu∥² = t(u, Tu) ≤ C∥u∥∥Tu∥.

Рассмотрим полуторалинейные формы и порождаемые ими операторы:

∫r

∫

(

)

k(u, v) := ρuv dρ = (Ku, v),

k(u, v) :=

- ρε uv dρ = (Ku, v),

r₀

∫r

a(u, v) := ρ(u^′v^′ + uv) dρ = (Iu, v), s(u, v) := u(r)v(r) = (Su, v),

r₀

где v ∈ H¹⁰(r₀, r; ρ).

Ограниченность формы a(u, v) очевидна. Ограниченность форм k(u, v) иk(u, v) следу-

ет из теоремы Соболева-Кондрашева [11, с. 44]. Ограниченность формы s(u, v) показана в

статье [13].

Теперь вариационную задачу (11) можно записать в операторном виде

(N(λ)u, v) = 0, u ∈H10,

или в эквивалентном

N(λ)u := (λ²K + I +K - s(λ)S - iσS)u = 0,

(12)

где

I′1(λr)

s(λ) = λ

I₁(λr)

Уравнение (12) - операторная запись вариационного соотношения (11).

3. Свойства оператор-функции. Справедливы следующие свойства операторов [13].

Лемма 1. Ограниченные операторы KиK : H¹⁰(r₀, r; ρ) → H¹⁰(r₀, r; ρ) являются компакт-

ными и K > 0.

Лемма 2. Оператор S : H¹⁰(r₀, r; ρ) → H¹⁰(r₀, r; ρ) является компактным конечномерным

оператором.

Лемма 3. Функция s(λ) является мероморфной функцией с полюсами в точках из мно-

жества Λ₀ := {λ : I₁(λr) = 0}.

Доказательство мероморфности заключается в проверке свойств указанной функции.

Согласно [14, с. 191] функция s(λ) имеет только простые полюсы в качестве особых точек,

лежащие на мнимой оси. Совокупность всех полюсов функции s(λ) совпадает с Λ₀.

Теорема 1. Оператор-функция N(γ) : H¹⁰(r₀, r; ρ) → H¹⁰(r₀, r; ρ) является конечно-меро-

морфной и фредгольмовой в поле C.

Доказательство. В C функция N(λ) является конечно-мероморфной [15] (как функция

от λ) в силу леммы 3. Из лемм 1 и 2 следует, что оператор-функция N(λ) является фред-

гольмовой, как сумма обратимого I и компактных K,

K и S операторов. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ БЕСКОНЕЧНОГО СПЕКТРА

1203

Лемма 4. Существует λ ∈ R такое, что оператор N(λ) непрерывно обратим, т.е.

резольвентное множество ϱ(N) := {λ : существует N-1(λ) : H¹⁰(r₀,r;ρ) → H¹⁰(r₀,r;ρ)}

оператор-функции N(λ) не пусто; ϱ(N) = ∅.

Доказательство. Для доказательства непустоты резольвентного множества ϱ(N) опе-

ратор-функции N(λ) достаточно найти такое λ₀ ∈ Λ, что из N(λ₀)u = 0 будет следовать

u = 0. Тогда из альтернативы Фредгольма получим, что оператор N(λ) непрерывно обратим.

Рассмотрим следующую форму:

∫r

Im (N(λ)u, u) = 2λ^′λ^′′ ρ|u|² dρ - Im s(λ)|u(r)|² - σ^′′|u(r)|²,

(13)

r₀

где λ₀ = λ^′ + iλ^′′. Учтём, что функции I₀(λr) и I₁(λr) вещественнозначные на мнимой оси,

все нули функций I₀(λr) и I₁(λr) перемежаются [14, с. 191]. Выберем λ₀ = iβ,

β ∈ R,

β > 0,

так, что I₀(λ₀r) = 0. Тогда в окрестности точки λ₀ найдутся такие λ₁ = iβ₁ и λ₂ = iβ₂, что

β₁,β₂ ∈ R,

0<β₁ <β<β₂ и

I₀(λ₁r) I₀(λ₂r)

< 0.

I₁(λ₁r) I₁(λ₂r)

Следовательно, выражения Im s(λ₁) и Im s(λ₂) имеют разные знаки. Пусть для определён-

ности Im s(λ₁) > 0. Функция s(λ) непрерывна в окрестности λ₁. Поэтому в δ-окрестности

точки λ₁ она сохраняет знак при достаточно малом δ > 0 (при |λ - λ₁| < δ). Выберем λ₀ =

= λ^′ + iλ^′′ так, что λ^′′ = β₁ > 0, λ^′ < 0 и |λ₀ - λ₁| < δ. Получаем, что все слагаемые в

правой части (13) неположительны, Im (N(λ₀)u, u) ≤ 0. Далее, равенство Im (N(λ₀)u, u) = 0

необходимо влечёт за собой

∫

ρ|u|² dρ = 0,

r₀

откуда находим, что u ≡ 0 (как элемент пространства H¹⁰(r₀, r; ρ)). Лемма доказана.

Теорема 2. Спектр оператор-функции N(λ) : H¹⁰(r₀, r; ρ) → H¹⁰(r₀, r; ρ) является дис-

кретным в поле C, т.е. имеет конечное число характеристических чисел конечной алгебра-

ической кратности в любом компакте K₀.

Утверждение теоремы 2 является следствием теоремы 1, леммы 4 и теоремы о конечно-

мероморфной оператор-функции [15].

Заключение. В статье рассмотрена задача на собственные значения о распространении

электромагнитных волн в металлодиэлектрическом волноводе кругового поперечного сечения,

покрытом графеном. Вариационным методом краевая задача на собственные значения сведена

к изучению спектра оператор-функции в пространстве Соболева. Доказаны фредгольмовость и

конечно-мероморфность оператор-функции на комплексной плоскости, а также дискретность

спектра оператор-функции.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-

20087).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene // Nature Materials. 2007. V. 6. P. 183-191.

2. Hanson G.W. Dyadic Green’s functions and guided surface waves for a surface conductivity model of

graphene // J. of Appl. Phys. 2008. V. 103. Art. 064302.

3. Falkovsky L.A. Optical properties of graphene // J. of Phys.: Conf. Ser. 2008. V. 129. Art. 012004.

4. Mikhailov S.A. Quantum theory of the third-order nonlinear electrodynamic effects of graphene // Phys.

Rev. B. 2016. V. 93. Art. 085403.

5. Смирнов Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза, 2009.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1204

СМИРНОВ, СМОЛЬКИН

6. Shestopalov Y., Smirnov Y., Smolkin E. Optical Waveguide Theory. Mathematical Models, Spectral

Theory and Numerical Analysis. Springer Ser. in Optical Sciences. V. 237. Singapore, 2022.

7. Hajian H., Rukhlenko I.D., Leung P.T., Caglayan H., Ozbay E. Guided plasmon modes of a graphene-

coated Kerr slab // Plasmonics. 2016. V. 11. P. 735-741.

8. Smirnov Y., Tikhov S. The nonlinear eigenvalue problem of electromagnetic wave propagation in a

dielectric layer covered with graphene // Photonics. 2023. V. 10. P. 523.

9. Смирнов Ю.Г., Тихов С.В., Гусарова Е.В. О распространении электромагнитных волн в диэлектри-

ческом слое, покрытом графеном // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2022. № 3.

С. 11-18.

10. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М., 1978.

11. Adams R. Sobolev Spaces. New York, 1975.

12. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.

13. Смирнов Ю.Г., Смолькин Е.Ю. О дискретности спектра в задаче о нормальных волнах открытого

неоднородного волновода // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 10. С. 1298-1309.

14. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1979.

15. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы

Руше // Мат. сб. 1971. Т. 84 (126). № 4. С. 607-629.

Пензенский государственный университет,

Поступила в редакцию 02.06.2023 г.

Университет Евле, Швеция

После доработки 02.06.2023 г.

Принята к публикации 21.08.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023