ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1205-1221

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

ДЛЯ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Изучена нестационарная система уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости.

На основе регуляризованной задачи, учитывающей релаксацию поля скоростей в солено-

идальное поле, обосновано существование функции давления почти всюду в рассматри-

ваемой области для решений из класса Хопфа. С помощью предложенной регуляризации

доказано существование более регулярных слабых решений исходной задачи без ограниче-

ний малости на исходные данные. В двумерном случае доказана теорема единственности.

DOI: 10.31857/S0374064123090066, EDN: WOUEAU

Введение. При доказательстве корректности начально-краевых задач для уравнений На-

вье-Стокса обычно используется регуляризация дифференциальных уравнений несжимаемой

жидкости. Способы регуляризации, как правило, направлены на добавление слагаемых с ма-

лым параметром ε от искомых функций, компенсирующих производную по времени от дав-

ления [1]. Далее методом априорных оценок доказываются теоремы существования и един-

ственности решений регуляризованной задачи и выполняется предельный переход по ε → 0 в

регуляризованных уравнениях.

Отметим, что все регуляризованные модели строятся чисто математически, для получения

априорных оценок обобщённых решений. В работах [2-4] проведён численный анализ регуляри-

зованных уравнений Навье-Стокса, где малый параметр регуляризации характеризует время

релаксации векторного поля скоростей к соленоидальному. При этом появляется естественное

условие

(∇p - f) · n = 0,

связывающее градиент функции давления p c вектор-функцией правых частей f на границе,

которое означает отсутствие гидродинамических колебаний на стенке.

В данной работе регуляризованная система дифференциальных уравнений получена до-

бавлением малой поправки к правой части уравнения неразрывности и добавлением гранич-

ных условий для функции давления и скорости. Предложенная аппроксимация рассматрива-

ется впервые и гарантирует существование функции давления для решения класса Хопфа.

На основе новых априорных оценок установлена корректность аппроксимационной задачи.

Найденные априорные оценки позволяют обосновать предельный переход регуляризованной

задачи к системе уравнений Навье-Стокса с однородными краевыми условиями в нужных

функциональных пространствах и установить существование функции давления почти всюду

в рассматриваемой области для решения класса Хопфа. Стандартная техника использования

неравенства Соболева при получении априорных оценок не позволяет доказать единственность

полученного решения в трёхмерном случае. Опираясь на результаты А.В. Фурсикова, доказа-

на регулярность функции давления в двумерном случае в классе слабых решений Хопфа для

системы уравнений Навье-Стокса при неоднородных краевых условиях. Доказанное свойство

регулярности функции давления играет важную роль при изучении корректности краевых за-

дач динамики вязкого газа, которые описываются нелинейными уравнениями Навье-Стокса

для сжимаемых сред.

Для формулировки основного результата введём необходимые функциональные простран-

ства. Через H^l(Ω), l - натуральное число, обозначим пространство Соболева функций, сум-

мируемых с квадратом вместе с производными до порядка l > 0. Пусть H¹⁰(Ω) - замыкание

1205

4^∗

1206

АМОСОВА

C∞0(Ω) в норме H¹(Ω), H-1(Ω) - сопряжённое с H¹⁰(Ω) пространство. Норму в пространст-

ве L²(Ω) обозначим через ∥ · ∥, (·,·) - скалярное произведение элементов в L2(Ω). Через

X(Ω; Ker {div}) обозначим пространство соленоидальных вектор-функций из X. Простран-

ства функций, состоящие из l раз непрерывно дифференцируемых функций на

^Ω, обозна-

чим C^l(Ω).

Введём пространства: H^ℓ = H^ℓ(Ω) для скалярных функций, H^ℓ = H^ℓ(Ω), ℓ ∈ R; для

векторных полей

V = {u ∈ H¹: (u · n)|∂Ω = 0, divu = 0},

V= {u ∈ H¹ : (u · n)|∂Ω = 0},

= {h ∈ H² : (∇h · n)|∂Ω = 0}.

H-2

Обозначим

=(H2R)^′,

H^-ℓ = (H^ℓ)^′,

H^-ℓ = (H^ℓ)^′. Очевидно, что имеют место включения

V ⊂ V ⊂ H¹ ⊂ L²(Ω) = (L²(Ω))^′,

⊂ H² ⊂ L²(Ω) = (L²(Ω))^′.

Непрерывные вложения по двойственности дают следующие непрерывные вложения:

L²(Ω) = (L²(Ω))^′ ⊂H-1 ⊂V′ ⊂ V^′, L²(Ω) = (L²(Ω))^′ ⊂H-2 ⊂H-2R.

Через L²(0, T ; X) (C^l(0, T ; X)) обозначим пространство измеримых функций (пространство

непрерывных функций, имеющих непрерывные на [0, T ] производные до порядка l), отобра-

жающих интервал (0, T ) (отрезок [0, T ]) в пространство X, таких что

∫T

∥f∥2X dt < ∞,

∥f∥2C(0,T;X) = max

∥f∥2X dt < ∞.

∥f∥2L2(0,T ;X)⁼

0≤t≤T

Обозначим через

{

если n = 2,

(1)

8/7,

если n = 3,

размерность пространства.

Пусть Ω ⊂ Rⁿ, n = 2, 3, - ограниченная область с границей ∂Ω ∈ C², Q = (0, T ) × Ω,

Σ = (0,T) × ∂Ω, T > 0, - боковая поверхность цилиндрического тела Q.

Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнений Навье-Стокса, описывающих движе-

ния вязкой однородной несжимаемой жидкости:

∂_tv + (v · ∇)v = Δv - ∇p + f, div v = 0, (t,x) ∈ Q,

(2)

v|_Σ = 0, (t,x) ∈ Σ,

(3)

v|t=0 = v₀(x), x ∈ Ω,

(4)

где f - внешние массовые силы, Δ - оператор Лапласа, ∇ - оператор градиента.

Предполагается, что известные функции обладают следующими свойствами:

f ∈ L²(0,T; H-1), v₀ ∈ L²(Ω), (v₀,∇q) = 0, q ∈ H¹(Ω).

(5)

Обозначим

(6)

E₀(f,v₀) = ∥f∥2L2(0,T; H-1)+∥v0∥2.

Определение 1. Слабым решением задачи (2)-(4) назовём элемент

v ∈ L²(0,T;H¹⁰(Ω;Ker{div})),

удовлетворяющий интегральному тождеству

∫T

[-(v, ∂_tw) + 〈(v · ∇)v, w〉_H-1(Ω)×H1

+ (rot v, rot w)] dt =

〈f, w〉_H-1(Ω)×H1

(Ω)

для любой вектор-функции w ∈L²(0, T ; H¹⁰(Ω; Ker{div})) такой, что ∂_tw ∈L²(Q), w|t=T =0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1207

В этом случае элемент v называют решением задачи (2)-(4) класса Хопфа [5], про функ-

цию давления ничего не сказано [1, с. 214].

Следуя терминологии, взятой из [1, с. 246], решение класса Хопфа, или решение в смысле

определения 1, будем называть “очень слабым решением”.

Известно, что в двумерном случае существует единственное решение задачи (2)-(4) класса

Хопфа [1, 6]. В трёхмерном случае единственность очень слабого решения установлена либо на

малом промежутке времени [7, 8], либо в более узком пространстве, чем в котором установлено

существование [7, 8].

В случае когда f ∈ L²(0, T ; L²(Ω)) каждому слабому решению задачи (2)-(4) можно сопо-

ставить соответствующее “поле давления” как распределение [9]. В статье [10] найдены усло-

вия на область Ω, при которых обосновано существование функции давления. При ограни-

ченной области регулярность давления зависит от выбора правой части. Так, в [11] показа-

но, что существует по крайней мере одно слабое решение задачи (2)-(4), для которого p ∈

∈ W-1,∞(0,T;L²(Ω)), если f ∈ L²(0,T;H-1(Ω)). В работе [12] для стохастических уравнений

Навье-Стокса найдены априорные оценки на функцию давления без какого-либо предположе-

ния о регулярности вектора скорости. Подобные результаты были получены в [13, 14].

В теории гладкости слабых решений уравнений Навье-Стокса важную роль играет свой-

ство частичной регулярности решений, когда решения являются достаточно гладкими всюду,

за исключением, быть может, некоторого замкнутого множества. В статье [15] найдены доста-

точные условия локальной регулярности подходящих слабых решений (хотя бы одно слабое

решение Хопфа принадлежит этому классу) нестационарных трёхмерных уравнений Навье-

Стокса. Для таких решений в [16] получены достаточные условия того, что точка простран-

ственно-временного цилиндра является регулярной точкой поля скоростей. Доказано, что в

зависимости от внешних условий в окрестности регулярной точки поле скоростей может иметь

ограниченную осцилляцию или быть непрерывным по Гёльдеру. Показатель непрерывности в

данном случае определяется классом функции давления. Полная внутренняя регулярность ре-

шений двумерных уравнений системы Навье-Стокса, описывающих течение обобщённой нью-

тоновской жидкости, исследована в [17]. В работе [18] рассматривается подход к изучению

локальной регулярности слабых решений уравнений Навье-Стокса, основанный на сведении

вопросов локальной гладкости исходных решений к доказательству теорем лиувиллевского

типа для ограниченных обратных по времени решений, соответствующих локальным особен-

ностям исходной задачи.

Известно, что при дополнительной гладкости данных решение задачи (2)-(4) будет регу-

лярным и единственным. Однако вопрос регулярности решения Хопфа при отсутствии до-

полнительной регулярности на исходные данные остаётся нерешённым со времён работы [5].

Вопрос о гладкости функции давления решения Хопфа задачи (2)-(4) обсуждается в [19].

В данной статье получена новая априорная оценка функции давления для задачи (2)-(4).

Определение 2. Слабым решением задачи (2)-(4) назовём пару (v;p) такую, что v ∈

∈ L^∞(0,T;L²(Ω))

^⋂L²(0,T;H¹⁰(Ω;Ker {div})), p ∈ L^s(0,T;L²(Ω)), удовлетворяющую инте-

гральным тождествам

∫

[〈∂_tv + (v · ∇)v, u〉_H-1(Ω)×H1

+ (rot v, rot u) - (p, div u)] dt =

〈f, u〉_H-1(Ω)×H1

dt,

(Ω)

∫

p dx = 0,

(div v, q) dx = 0

(7)

для произвольных u ∈ H¹⁰(Ω), q ∈ L²(Ω) и условию (4) почти всюду в Ω.

Основным результатом работы является следующая

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1208

АМОСОВА

Теорема 1. Для любых функций f, v₀, удовлетворяющих условиям (5), существует

слабое решение в смысле определения 2 задачи (2)-(4), для которого выполняется оценка

∫T

(∥v∥2H1

+ ∥p∥^s) dt ≤ CE₀(f, v₀),

∥v∥2L∞ (0,T ;L2(Ω))⁺

(Ω)

где постоянная E₀(f,v₀) определена в (6), параметр s определён в (1). Причём если n = 2,

то решение задачи (2)-(4) единственно.

Доказательство теоремы проводится методом регуляризации.

В п. 1 статьи исследуется регуляризованная задача, учитывающая релаксацию поля ско-

ростей в соленоидальное со специально выбранными краевыми условиями. Обосновывается

сходимость слабых решений при ε → 0. Используя предложенную регуляризацию краевой за-

дачи, выводится новая априорная оценка функции давления, гарантирующая ограниченность

p почти всюду в данной области. В п. 2 рассматривается система уравнений Навье-Стокса с

неоднородными краевыми условиями для данного класса решений.

1. Регуляризованные уравнения Навье-Стокса. Для доказательства разрешимости

будем аппроксимировать задачу (2)-(4) регуляризованной задачей. Пусть ε > 0 и выпол-

няются условия (5). Рассмотрим следующую начально-краевую задачу: найти пару функций

(v_ε; p_ε), определённых на Q = Ω × (0, T ), такую, что

∂_tv_ε + (v_ε · ∇)v_ε = Δv_ε -

(div v_ε)v_ε - ∇p_ε + f,

(8)

div v_ε = εΔp_ε,

(9)

∂v_ε

×n=-

(v_ε × n), (v_ε · n) = 0,

(∇p_ε · n) = 0, (t, x) ∈ Σ,

(10)

∂n

v_ε|t=0 = v₀(x), x ∈ Ω.

(11)

Слагаемое (div v_ε)v_ε/2 в уравнении (8) называется стабилизирующим и введено в [1, c. 335].

Определение 3. Слабым решением задачи (8)-(11) назовём пару (v_ε;p_ε) такую, что

v_ε ∈ L^∞(0,T;L²(Ω))

^⋂L²(0,T; V), p_ε ∈ L^s(0,T; H2R),

удовлетворяющую тождеству

∫

〈v_ε, u〉_̂

(v_ε · u) dσ =

V^′×^V +(∇vε,∇u)-(pε,divu)+

∂Ω

= - (v_ε · ∇)v_ε +

(div v_ε)v_ε, u

+ 〈f, u〉_̂

для п.в. t ∈ (0, T ),

(12)

V^′×^V

для любой вектор-функции u ∈^V, уравнению (9) почти всюду на (0, T ) и условию (11)

в (C∞0(Ω))^′.

Точно также как в [1, c. 335] можно показать справедливость следующего утверждения.

Лемма 1. Пусть u ∈ L^∞(0, T ; L²(Ω))

^⋂L²(0,T; V). Тогда функция

(

)

t → (u · ∇)u +

(div u)u

∈ L^s(0,T; V′)

(13)

и справедлива оценка



∫



^s



u · ∇)u +

(div u)u

dt ≤ C∥u∥2s/s′

∥u∥²

⁽



L^∞(0,T;L²(Ω))

L²(0,T;V)

V′

где параметр s определён в (1).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1209

Доказательство. Обозначим через s^′ сопряжённый показатель к s, s^′ = 1/(1 - 1/s).

Пусть w ∈ Ls′ (0, T ;V) - произвольная вектор-функция. Согласно вложениям

V ⊂ H¹ ⊂

⊂ L⁴(Ω) при n = 2,3

u_i ∈ L²(0,T;L⁴(Ω)), (D_iu_j) ∈ L²(Q), w_j ∈ Ls′(0,T;V),

здесь D_i = ∂/∂x_i - дифференциальный оператор. В силу неравенства Гёльдера u_i(D_iu_j )w_j ,

1 ≤ i,j ≤ n, принадлежит L¹(Q). Поэтому

∫

(

)

I(t) =

(u · ∇)u +

(div u)u w dx ≤ C∥u∥_L4_(Ω)∥u∥_H1_(Ω)∥w∥_L4_(Ω)

(14)

для п.в. t ∈ (0, T ). Ограниченность выражения, стоящего в правой части (14), зависит от

размерности пространства. Для его оценки применим неравенства Соболева [20]:

(15)

∥u∥2L4(Ω)≤β(Ω)∥u∥(∥u∥+∥∇u∥),u∈H1(Ω),n=2,

∥u∥_L4_(Ω) ≤ β(Ω)∥u∥1/4(∥u∥ + ∥∇u∥)3/4, u ∈ H¹(Ω), n = 3.

(16)

Подставив (15) или (16) в (14) и проинтегрировав по переменной t от 0 до T, найдём

∫

I(t) dt ≤ C

(∥u∥∥u∥2H1 (Ω)+∥u∥1/2∥u∥H1(Ω))1/2∥w∥1/2∥w∥

≤ C∥w∥1/2

∥u∥1/2

∥u∥3/2

n = 2,

L²(0,T;V)

L^∞(0,T;L²(Ω))

L²(0,T;H¹(Ω))

∫

I(t) dt ≤ C

(∥u∥4/3∥u∥4/3

+ ∥u∥1/3∥u∥7/3

)3/4∥w∥_̂

dt ≤

H¹(Ω)

∥u∥7/4

n = 3.

≤C∥w∥L8(0,T;V)∥u∥L

^∞(0,T ;L²(Ω))

L²(0,T;H¹(Ω))

Получим необходимую оценку



u · ∇)u +

(div u)u

sup

(u · ∇)u +

(div u)u, w

≤

(



L^s(0,T;V′)

∥w∥

L^s(0,T;V′)×L^s′ (0,T;V)

Ls′ (0,T; V)⁼¹

≤ C sup

{∥w∥Ls′(0,T;̂V)∥u∥2/s′

∥u∥2/s

}≤

L^∞(0,T;L²(Ω))

L²(0,T;H¹(Ω))

∥w∥

Ls′ (0,T; V)⁼¹

≤ C∥u∥2/s′

∥∇u∥2/s

L^∞(0,T;L²(Ω))

L²(0,T;H¹(Ω))

Лемма доказана.

Теорема 2.Для любых f, v₀, удовлетворяющих (5), существует слабое решение задачи

(8)-(11), причём если n = 2, то это решение единственно.

Доказательство. Для фиксированного параметра ε > 0 докажем разрешимость зада-

чи (8)-(11), применяя метод Галёркина. Рассмотрим базис пространства

^V, состоящий из

элементов u_j ∈ H¹, определяемых из условий:

∫

(∇u_j , ∇w) +

(u_j · w) dσ = λ_j (u_j , w), j ∈ N, w ∈^V.

∂Ω

Здесь число ε > 0 фиксировано.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1210

АМОСОВА

Рассмотрим скалярный базис пространства H¹ из функций r_j ∈ H¹, удовлетворяющих

следующей спектральной задаче Неймана:

- Δr_j = μ_j(r_j - (mes Ω)-1(r_j,1)),

(∇r_j · n)|∂Ω = 0, j ∈ N.

Для каждого m определим приближённое решение задачи (8)-(11) v_ε, p_ε соотношениями

∑

v_εm(t) =

g_jm(t)u_j, p_εm(t) =

s_jm(t)r_j.

j=1

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных g_jm, s_jm,

j = 1,m:

∫

(∂_tv_εm, u_k) + (∇v_εm, ∇u_k) - (p_εm, div u_k) +

(v_εm · u_k) dσ =

∂Ω

(

)

= - (v_εm · ∇)v_εm +

(div v_εm)v_εm, u_k

+ (f(t), u_k),

(17)

(v_εm, ∇r_l) = ε(∇p_εm, ∇r_l), (p_εm, 1) = 0, k = 1, m, l = 1, m,

(18)

v_εm(0) = v0m,

(19)

где v0m = P_mv₀, P_m : L²(Ω) → span{u₁, . . . , u_m} - оператор проектирования.

Уравнения (17), (18) образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений относи-

тельно функций g1m, g2m, . . . , g_mm, s1m, s2m, . . . , s_mm. Заметим, что нелинейность задачи

Коши (17)-(19) гладкая. Повторяя рассуждения [1, с. 227], можно показать, что существу-

ет решение, определённое на некотором промежутке [0, t_m), а приводимые ниже априорные

оценки показывают, что фактически t_m = T.

Умножим (17) на g_jm(t), а (18) на s_jm(t) и просуммируем по j = 1, m. Учитывая (9),

найдём

1 d

∥v_εm∥² + ∥∇v_εm∥² + ε∥∇p_εm∥² +

∥v_εm∥2L2(∂Ω)⁼

2 dt

= (f, v_εm) ≤

∥∇v_εm∥² + C∥f∥2¯H-1 .

(20)

Перенося первое слагаемое правой части (20) влево и интегрируя от 0 до t, получаем апри-

орную оценку

∫^t(

)

∥v_εm(t)∥² +

∥∇v_εm∥² + ε∥∇p_εm∥² +

∥v_εm∥²

ds ≤ CE₀(f, v₀).

(21)

L²(∂Ω)

Здесь постоянная C не зависит от ε, m.

Получим оценку, гарантирующую компактность последовательности v_εm в пространстве

L²(Q). Обозначим

(

)

Φ(t) = C

∥∇v_εm(t)∥² + ε∥∇p_εm(t)∥² + ∥f(t)∥2¯H-1 +

∥v_εm(t)∥²

t ∈ (0,T).

L²(∂Ω)

Умножим (17) на g_jm(t), затем умножим на (-g_jm(τ)), просуммируем по j = 1, m, где τ, t ∈

∈ (0, T ). Складывая получившиеся выражения и учитывая (18), получаем

1 d

∥v_εm(t) - v_εm(τ)∥² ≤ Φ(t) + Φ(τ) + ∥v_εm(t)∥_L4_(Ω)∥∇v_εm(t)∥∥v_εm(τ)∥_L4_(Ω).

2 dt

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1211

Проинтегрируем последнее неравенство по t на отрезке [τ, τ + h] и по τ на отрезке [0, T - h].

Учитывая (21), точно так же как и в [21] имеем оценку равностепенной непрерывности для

последовательности v_εm :

∫

∥v_εm(τ + h) - v_εm(τ)∥² dτ ≤ Ch1/2.

(22)

Как следствие неравенства (21) из (18) получим оценку равностепенной непрерывности

для последовательности ∇p_εm. Рассмотрим выражение

∫

∥∇p_εm(τ + h) - ∇p_εm(τ)∥² dτ =

∫

=ε

(∇p_εm(τ + h), ∇p_εm(τ + h)) dτ + ε

(∇p_εm(τ), ∇p_εm(τ)) dτ -

∫

- 2ε

(∇p_εm(τ + h), ∇p_εm(τ)) dτ =

∫

= (v_εm(τ + h), ∇p_εm(τ + h)) dτ + (v_εm(τ), ∇p_εm(τ)) dτ -

∫

− (v_εm(τ), ∇p_εm(τ + h)) dτ - (v_εm(τ + h), ∇p_εm(τ)) dτ =

∫

= (v_εm(τ + h) - v_εm(τ), ∇p_εm(τ + h) - ∇p_εm(τ)) dτ ≤

∫

≤

∥v_εm(τ + h) - v_εm(τ)∥² dτ +

∥∇p_εm(τ + h) - ∇p_εm(τ)∥² dτ.

2ε

Перенеся последнее слагаемое влево, найдём

∫

ε²

∥∇p_εm(τ + h) - ∇p_εm(τ)∥² dτ ≤ Ch1/2.

(23)

Отметим, что в оценках (21)-(23) постоянная C не зависит от m и ε, а E₀(f, v₀) определена

в (6).

Перейдём к пределу при m → ∞ в (17)-(19), используя оценки (21)-(23).

Существует последовательность m^′ → ∞ такая, что

v_εm′ → v_ε слабо в L²(0,T;H¹),

∗-слабо в L^∞(0, T ; L²(Ω)), сильно в L²(Q),

p_εm′ → p_ε слабо в L²(0,T;H²), сильно в L²(0,T;H¹).

(24)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1212

АМОСОВА

Пусть ψ ∈ C[0, T ], ψ(T ) = 0. Умножим (17), (18) на ψ(t) и проинтегрируем от 0 до T :

∫T

- (v_εm′, u_kψ^′(t)) dt + (v0m′ , u_kψ(0)) +

∫T

∫

[(∇v_εm′ , ∇u_kψ(t)) - (p_εm′ , div u_kψ(t))] dt +

(v_εm′ · u_k) dσ dt =

0 ∂Ω

∫T

(

)

∫

(v_εm′ · ∇)v_εm′ +

(div v_εm′ )v_εm′ , u_kψ(t) dt + (f(t), u_kψ(t)) dt,

(25)

∫

(div v_εm′ , r_lψ(t)) dt = - ε(∇p_εm′ , ∇r_lψ(t)) dt, k = 1, m, l = 1, m.

(26)

Используя (24), перейдём к пределу при m^′ → ∞ в линейных слагаемых (25) и в (26). В нели-

нейных слагаемых (25) предельный переход осуществим следующим образом:

∫

(

)

∫

(

)

(v_εm′ · ∇)v_εm′ +

(div v_εm′ )v_εm′ , u_kψ(t) dt -

(v_ε · ∇)v_ε +

(div v_ε)v_ε, u_kψ(t) dt =

∫T

∫

= - [(v_εm′ ·∇)u_k,v_εm′ -(vε ·∇)u_k,v_ε]ψ(t)dt-

[(div v_εm′ )v_εm′ - (div v_ε)v_ε]u_kψ(t) dx dt =

∫T

∫

[(v_εm′ · ∇)u_k, v_εm′ - (v_ε · ∇)u_k, v_ε]ψ(t) dt -

(div v_εm′ - div v_ε)v_εu_kψ(t) dx dt -

∫

(div v_εm′ )(v_εm′ - v_ε)u_kψ(t) dx dt → 0 при m^′ → ∞.

Мы показали, что (v_ε; p_ε) - слабое решение задачи (8)-(11), удовлетворяющее оценке

∫^t(

)

∥v_ε(t)∥² +

∥∇v_ε∥² + ε∥∇p_ε∥² +

∥v_ε∥²

ds ≤ CE₀(f, v₀).

(27)

L²(∂Ω)

Здесь постоянная C не зависит от ε, E₀(f, v₀) определена в (6).

Теперь если v_ε, p_ε удовлетворяют (12), (9), то согласно (13) уравнение (12) можно запи-

сать в виде

∫

(v_ε · u) dσ -

〈v_ε, u〉̂V′× V=-(∇vε,∇u)+(pε,divu)+

∂Ω

- (v_ε · ∇)v_ε +

(div v_ε)v_ε, u

+ 〈f, u〉_̂

V^′×^V

для любой u ∈^V.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1213

Отсюда и из леммы 1.1 [1] следует, что ∂_tv_ε ∈ L^s(0, T ;V′), где параметр s определён в (1)

и вектор-функция v_ε п.в. равняется некоторой непрерывной функции из [0, T ] в

V^′. Таким

образом, условие (11) имеет смысл.

В случае n = 2 единственность слабого решения задачи (8)-(11) устанавливается анало-

гично [1]. Теорема доказана.

Получим дополнительную априорную оценку для p_ε. Во-первых, покажем, что p_ε удовле-

творяет однородному начальному условию. В теореме 2 установлено, что условие (11) пони-

мается в таком смысле:

〈v_ε(t), u〉̂V′× V→〈v0,u〉 V′× Vприt→0

для произвольной u ∈^V.

Обозначим

H² = {h ∈H2R: (h,1) = 0},

H-2 = (H2)^′.

Справедливы непрерывные вложения

H² ⊂ L²(Ω) = (L²(Ω))^′ ⊂H-2.

Из теории разрешимости краевых эллиптических задач следует, что существует оператор

R: {r ∈ L²(Ω), (r,1) = 0} →H2

такой, что b = R(r), если

Δb = r, (b,1) = 0,

(∇b · n)|∂Ω = 0.

(28)

Тогда

∥R(r)∥2̃

≤ C∥r∥².

(29)

H²

Пусть g ∈ L²(Ω). Для функции π ∈H2, удовлетворяющей условиям

Δπ = g, (π,1) = 0,

(∇π · n)|∂Ω = 0,

справедлива оценка

∥π∥² ≤ C∥g∥2̃

(30)

H-2

Действительно. Пусть r ∈ L²(Ω), а b - решение задачи (28). Применив формулу Грина, найдём

(π, r) = (g, b).

С учётом (29) получим

∥π∥ = sup (π, r) = sup (g, b) = sup

〈g, b〉_̃

H-2×H2 ≤

∥r∥=1

≤ sup

{∥g∥̃H-2 ∥b∥̃H2 } ≤ sup

{C∥g∥̃H-2 ∥r∥} ≤ C∥g∥̃H-2 .

∥r∥=1

Рассмотрим вариационную задачу. Пусть g ∈H-2. Требуется определить функцию π ∈

∈ L²(Ω) такую, что

(31)

(π, Δb) = 〈g, b〉̃H-2× H2,b∈H2.

Лемма 2. Для произвольной функции g ∈H-2 задача (31) имеет единственное решение

π ∈ L²(Ω), удовлетворяющее оценке

∥π∥² ≤ C∥g∥2̃

H-2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1214

АМОСОВА

Доказательство. Единственность следует непосредственно, если положить g = 0, а Δb =

= π в (31). Докажем существование. Пусть g ∈H-2. Вложение (L²(Ω)/R) ⊂H-2 плотно.

Следовательно, существует последовательность {gn} ∈ L2(Ω) такая, что gn → g в

H-2.

Пусть π_n ∈H2 удовлетворяет условиям:

Δπ_n = g_n, (π_n,1) = 0,

(∇π_n · n)|∂Ω = 0.

Справедлива оценка (30), из которой заключаем, что существует π и π_n → π слабо в L²(Ω).

Переходя к пределу по n → ∞ в равенстве

(π_n, r) = (g_n, b), r ∈ L²(Ω),

где b - решение (28), и учитывая единственность задачи (31), получаем, что π = π. Лемма

доказана.

В теореме 2 установлено, что v_ε(t) ∈

V^′ для всех t ∈ [0,T]. Отсюда заключаем, что

div v_ε(t) ∈H-2R ⊂H-2 для всех t ∈ (0, T ).

Пусть r ∈ L²(Ω), b - решение (28). Умножив первое уравнение (9) на b ∈H2 и применив

формулу Грина, получим равенство

(32)

(εp_ε(t), r) = 〈div v_ε(t), b〉̃H-2× H2,r∈L2(Ω),

где

pε = pε - (mesΩ)-1(pε, 1). Вследствие леммы 2 из (32) заключаем, что

pε(t) ∈ L²(Ω). Из

(32) также найдём

-(εp_ε(t), r) = 〈v_ε(t), ∇b〉_̂

V^′×^V →^(v0,∇b)=0,r∈L2(Ω),

где b - решение (28).

Мы показали, что

pε|t=0 = 0 п.в. в Ω.

(33)

Далее покажем, что сужение на границу вектора вихря скорости (rot v_ε × n)|_Σ введено

корректно в некотором функциональном пространстве.

Рассмотрим вспомогательную задачу: в области Q найти пару (w; χ), удовлетворяющую

условиям

∂_tw + Δw + ∇χ = z, div w = 0,

(34)

(w · n) = 0, (rot w × n) = 0, (t, x) ∈ Σ,

(35)

w|t=T = 0, x ∈ Ω.

(36)

Задача (34)-(36) является обратно-временной задачей Стокса.

Определение 4. Пусть z ∈ L²(0,T;V′). Слабым решением задачи (34)-(36) назовём век-

тор-функцию w ∈ L²(0, T ; V), которая удовлетворяет равенству

(w, y) - (rot w, rot y) = 〈z, y〉_V′×V, y ∈ V.

(37)

Точно так же как в монографии [1] докажем следующую теорему.

Теорема 3. Для произвольной функции z ∈ L²(0, T ;V′) существует единственное слабое

решение задачи (34)-(36) такое, что ∂_tw ∈ L²(0,T;V^′) и при этом w ∈ C([0,T];L²(Ω)).

В дальнейшем нам понадобятся более регулярные свойства слабого решения задачи

(34)-(36).

Лемма 3. Пусть z ∈ L^ℓ(0, T ;V′), 2 ≤ ℓ < ∞. Тогда слабым решением задачи (34)-(36)

является функция w ∈ L^ℓ(0, T ; V), ∂tw ∈ Lℓ(0,T;V′), и справедлива оценка

∥w∥ℓLℓ(0,T ;V)+∥∂tw∥Lℓ(0,T ;V′)≤C∥z∥Lℓ(0,T; V′₎.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1215

Для доказательства леммы 3 умножим (37) на произвольную функцию ξ ∈ Ll/(l-1)(0, T )

такую, что ξ^′ ∈ L¹(0, T ), ξ(0) = 0, и проинтегрируем получившееся выражение от 0 до T.

Применяя неравенство Гёльдера [20] с сопряжёнными показателями l, l ≥ 2 и l^′ = l/(l - 1),

и учитывая (37), получаем требуемую оценку.

Будем искать векторное поле a из условий

rot a = j, div a = 0, (a · n)|_Σ = 0.

(38)

Относительно разрешимости задачи (38) справедлива следующая

Теорема 4 [22]. Пусть Ω - односвязная область с границей ∂Ω ∈ C². Если j ∈ Wl-1m(Ω),

m > 1, то справедлива оценка

∥a∥_W l

(Ω)

≤ C∥j∥_Wl-1.

(39)

Пусть j = rot v_ε, тогда согласно (38), (39)

∥a∥_L2(0,T;H1₎ ≤ C∥rot v_ε∥_L2(Q).

Заметим, что вследствие (9), (38) векторное поле a ∈ L²(0, T ; V) определяется равенством

a = v_ε - ε∇p_ε.

(40)

Обозначим

s = (v_ε · ∇)v_ε +

(div v_ε)v_ε - ∇div v_ε - f.

(41)

Согласно лемме 1 и условиям (5) функция t → s(t) ∈ L^s(0, T ;V′) и выполняется оценка

(42)

∥s∥Ls(0,T ; V′)≤CE0(f,v0),

где постоянная E₀(f, v₀) определена в (6).

Пусть z ∈ Ls′ (0, T ;V′) - произвольная вектор-функция, s^′ - сопряжённый показатель s,

s^′ = 1/(1 - 1/s), где параметр s определён в (1), и w - слабое решение задачи (34)-(36). Из

(12) с учётом (37), (40), (41), применив формулу Грина и интегрирование по частям, получим

равенство

∫T

∫

〈(rot v_ε × n), w〉_H-1/2(∂Ω)×H1/2(∂Ω) dt =

[〈s, w〉_V′×V - 〈z, a〉_V′×V] dt - (v₀, w(0)).

(43)

Мы показали, что существует след на границу области вектора вихря

(rot v_ε × n)|_Σ : L^s(0, T ; L²(Ω)) → L^s(0, T ; H-1/2(∂Ω)), s > 1,

определяемый формулой (43), для которого вследствие теоремы 3 и леммы 3 справедлива

оценка

∥rot v_ε × n∥^s

(44)

L^s(0,T;H-1/2(∂Ω))

≤ C(∥rot v_ε∥2L2(Q) ⁺∥s∥sLs(0,T;̂_V′₎ + ∥v0∥2)^.

Рассмотрим вариационную задачу. Пусть Ω - ограниченная область с границей ∂Ω ∈ C²,

s₁, h - заданные вектор-функции. Найти пару (g;π), удовлетворяющую условиям

(rot g, rot g₁) - (π, div g₁) = -〈s₁, g₁〉̂V′× V-〈h,g1^〉H-1/2(∂Ω)×H1/2(∂Ω)^,

〈∇π₁, g〉_V′×V = 0, g₁ ∈^V, π₁ ∈ L²(Ω), (π₁, 1) = 0.

(45)

Теорема 5. Если s₁ ∈V′, h ∈ H-1/2(∂Ω), то существует обобщённое решение задачи

(45) и справедлива априорная оценка

∥g∥_̂

+ ∥π∥_L2(Ω/R) ≤ C(∥s₁∥̂V′ + ∥h∥_H-1/2(∂Ω)).

(46)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1216

АМОСОВА

Доказательство теоремы 5 проводится аналогично доказательству теоремы 2 в работе [23].

Пусть s₁ ∈ L^s(0, T ;V′), h ∈ L^s(0, T ; H-1/2(∂Ω)), где параметр s определён в (1). Тогда

условия (45), (46) останутся верными для п.в. t ∈ (0, T ). Учитывая (42), (44), выберем (h ×

× n) = (rot v_ε × n)|_Σ, s₁ = s в (45), (46). Запишем первое равенство (45) в следующем виде:

〈rot rot g, g₁〉_̂

V^′×^V -(π,divg1)=-〈s,g1^〉V′×V,g1∈L∞(0,T;V).

Используя формулу Грина и выбирая g₁ = ∇q, где q ∈ L^∞(0, T ;H2R) - произвольная функция,

из последнего равенства найдём

〈Δπ + div s, q〉_̃

(47)

H-2R×H2R =〈(∇π+[rotrotvε+s])·n,q〉H-3/2(∂Ω)×H3/2(∂Ω)^.

Запишем равенство (12), учитывая (41), в виде

(48)

〈∂_tv_ε + rot rot v_ε + s + ∇p_ε, w₁〉̂V′× V=0,w1∈L∞(0,T;V).

В теореме 2 установлено, что ∂tvε

∈ L^s(0,T;V′), где параметр s определён в (1), и,

следовательно, ε∂_tΔp_ε = ∂_t(div v_ε) ∈ L^s(0, T ;H-2R).

Применим формулу Грина в (48) и положим w₁ = ∇q, где q ∈ L^∞(0, T ;H2R) - произволь-

ная функция. Из (48), учитывая (9), (10), получаем

〈ε∂_tΔp_ε + Δp_ε + div s, q〉̃H-2

(49)

×H2R =〈[rotrotvε+s]·n,q〉H-3/2(∂Ω)×H3/2(∂Ω)^.

Сравнивая (47) и (49), запишем равенство

〈ε∂_tΔp_ε + Δp_ε - Δπ, q〉̃H-2

(50)

×H2R +〈∇π·n,q〉H-3/2(∂Ω)×H3/2(∂Ω)⁼⁰

для п.в. t ∈ (0, T ) и любых q ∈ L^∞(0, T ;H2R).

Пусть q =R(p_ε)+(mes Ω)-1(q, 1), где оператор R определён в (28), p_ε =p_ε-(mes Ω)-1(p_ε, 1),

π = π - (mesΩ)-1(π,1). Применив вторую формулу Грина в (50), с учётом краевых условий

(10) будем иметь

ε(∂_t p_ε, p_ε) + (p_ε, p_ε) = (π, p_ε) для п.в. t ∈ (0, T ).

(51)

Запишем первое слагаемое в (51) в виде

ε(∂_t p_ε, p_ε) = (ε/s)∥p_ε∥2-s

∥p_ε∥^s,

где параметр s определён в (1). Из (51) найдём

∥p_ε(t)∥2-s

∥p_ε(t)∥^s + ∥p_ε(t)∥2-s∥p_ε(t)∥^s = (π, p_ε) ≤ ∥π(t)∥∥p_ε(t)∥ для п.в. t ∈ (0,T),

так что или ∥p_ε(t)∥ = 0, или

ε d

∥p_ε(t)∥^s +

∥p_ε(t)∥^s ≤ ∥π(t)∥^s.

s dt

Но ∥p_ε(t)∥ есть непрерывная функция от t, поэтому для всех t, учитывая (33), имеем

∫t

∫

ε∥p_ε(t)∥^s +

∥p_ε(τ)∥s ds ≤ C

∥π(τ)∥s dτ, t ∈ (0,T),

(52)

где постоянная C не зависит от ε.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1217

Заметим, что из (46) при s₁ = s, (h × n) = (rot v_ε × n)|∂Ω в силу оценок (27), (42), (44)

следует неравенство

(53)

∥π∥sLs(0,T;L2(Ω))≤∥s∥sLs(0,T;̂_V′₎ +∥rotvε×n∥Ls(0,T;H-1/2∂Ω)≤CE0(f,v0).

Из (52), учитывая (53), получаем следующую оценку:

∫

ε max

∥p_ε∥^s +

∥p_ε∥s dτ ≤ CE₀(f,v₀),

(54)

0≤t≤T

где постоянная C не зависит от ε.

Доказательство теоремы 1. Пусть n = 2, 3 и v_ε, p_ε - слабое решение задачи (8)-(11)

в смысле определения 3. Построенные в теореме 2 решения (v_ε, p_ε) удовлетворяют оценкам

(21), (22), (54). Можно выделить подпоследовательность - обозначим её также (v_ε; p_ε):

v_ε → v^∗ слабо в L²(0,T;H¹⁰(Ω)),

∗-слабо в L^∞(0, T ; L²(Ω)), сильно в L²(Q),

(√ε)-1vε → q слабо в L2(0, T ; L2(∂Ω)),

√ε∇p_ε → χ слабо в L²(Q),

pε → p^∗ слабо в L²(Q) при n = 2,

pε → p^∗ слабо в L8/7(0, T ; L²(Ω)) при n = 3.

(55)

Используя (55), перейдём к пределу при ε → 0 в (9), (10). Рассмотрим

(div v_ε, q) = -ε(∇p_ε, ∇q) →

√ε(χ, ∇q) → 0, q ∈ H¹(Ω),

для п.в. t ∈ (0, T ). Следовательно, div v_ε = 0 в смысле теории распределений. Рассуждая

аналогично, получаем

(v_ε, q₁)_L2(∂Ω) →

√ε(q, q₁)_L2(∂Ω) → 0, q₁ ∈ L²(∂Ω),

для п.в. t ∈ (0, T ). Следовательно, v_ε = 0 для п.в. (t, x) ∈ Σ.

Пусть u ∈ H¹⁰(Ω). Запишем (12) в виде

(v_ε, u) + 〈(v_ε · ∇)v_ε, u〉_H-1(Ω)×H1

+ (rot v_ε, rot u) - (p_ε, div u) = 〈f, u〉_H-1(Ω)×H1

(56)

(Ω)

Пусть ψ ∈ C[0, T ] и ψ(T ) = 0. Умножим (56) на ψ скалярно в L²(0, T ). Интегрируя затем

это равенство по переменной t от 0 до T, получаем

∫T

∫

− (v_ε, uψ^′) dt +

〈(v_ε · ∇)v_ε, uψ〉_H-1(Ω)×H1

dt + (rot v_ε, rot uψ) dt -

(p_ε,div uψ)dt =

(Ω)

∫T

〈f, uψ〉_H-1

dt + 〈v_ε(0), uψ(0)〉_H-1(Ω)×H1

u ∈ H¹⁰(Ω).

(57)

(Ω)×H¹(Ω)

(Ω)

Переходя к пределу при ε → 0 в (57), учитывая (55), найдём

∫T

∫

− (v^∗, uψ^′) dt +

〈(v^∗ · ∇)v^∗, uψ〉_H-1(Ω)×H1

dt + (rot v^∗, rot uψ) dt - (p^∗, div uψ) dt =

(Ω)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1218

АМОСОВА

∫T

(58)

〈f, uψ〉˜H-1(Ω)×H1(Ω)dt+〈v∗(0),uψ(0)〉H-1 (Ω)×H¹⁰(Ω),u∈H0(Ω).

Умножим (7) на ψ скалярно в L²(0, T ) и проинтегрируем по частям. Сравнив с (58),

получим 〈v^∗(0), uψ(0)〉_H-1(Ω)×H1

= 〈v₀, uψ(0)〉_H-1(Ω)×H1

для любого u ∈ H¹⁰(Ω). Выбрав

(Ω)

ψ(0) = 1, приходим к (4).

Мы показали, что если n = 2, то при ε → 0 слабое решение (v_ε; p_ε) задачи (8)-(11)

сходится к единственному решению (v; p) задачи (2)-(4) в следующем смысле:

v_ε → v слабо в L²(0,T;H¹⁰(Ω)),

∗-слабо в L^∞(0, T ; L²(Ω)), сильно в L²(Q),

pε → p слабо в L²(Q),

и выполняется оценка

∫T

(∥v∥2H1

+ ∥p∥²) dt ≤ CE₀(f, v₀),

∥v∥2L∞(0,T ;L2(Ω))⁺

(Ω)

где постоянная E₀(f, v₀) определена в (6) и не зависит от ε.

Если n = 3, то существует последовательность (v_ε′ ; p_ε′ ) решений задачи (8)-(11) в смысле

определения 3 такая, что при ε → 0 сходится к некоторому решению (v; p) задачи (2)-(4) в

следующем смысле:

v_ε′ → v слабо в L²(0,T;H¹⁰(Ω)),

∗-слабо в L^∞(0, T ; L²(Ω)), сильно в L²(Q),

pε′ → p слабо в L8/7(0, T ; L²(Ω)).

Кроме того, справедлива оценка

∫T

(∥v∥2H1

+ ∥p∥8/7) dt ≤ CE₀(f, v₀),

∥v∥2L∞ (0,T ;L2(Ω))⁺

(Ω)

где постоянная E₀(f, v₀) определена в (6) и не зависит от ε. Теорема 1 доказана.

2. Неоднородные граничные условия. Рассмотрим систему уравнений Навье-Стокса,

описывающих динамику движения несжимаемой среды, состояние которой характеризуется

распределением давления p(t, x) и полем скоростей v(t, x), (t, x) ∈ Q:

∂_tv + (v · ∇)v = Δv - ∇p + f,

(59)

div v = 0.

(60)

На боковой поверхности рассматриваемого цилиндрического тела ставится условие Дирихле:

v|_Σ = g, (t,x) ∈ Σ.

(61)

В начальный момент времени задаётся условие

v|t=0 = v₀(x), x ∈ Ω.

(62)

Относительно разрешимости задачи (59)-(62) (для ограниченной области Ω ⊂ R³ с грани-

цей ∂Ω ∈ C^∞) доказана следующая

Теорема 6 [24]. Пусть α ∈ (3/2; 2] и выполняются условия:

∫

f ∈ L²(0,T;Hα-2(Ω)), divf = 0, g ∈ G_α(Σ),

(g, n)dσ = 0,

∂Ω

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1219

v₀ ∈ Hα-2(Ω), div v₀ = 0, (v₀,n)|∂Ω = (g,n)|t=0.

Предположим, что

∥f∥2L2(0,Hα-2(Ω))+∥v0∥Hα-2(Ω)+∥g∥Gα(Σ)^<δ,

где постоянная δ достаточно мала. Тогда существует единственное решение v, (v,∇p) ∈

∈ L²(0,T;Hα-2(Ω)) × L²(0,T;Hα-2(Ω)), ∂tv ∈ L2(0,T;Hα-2(Ω)), задачи (59)-(62).

Исследуем случай α = 1.

Пусть Ω ⊂ R² - ограниченная область с границей ∂Ω ∈ C². Предположим, что известные

функции f, g = g_nn+g_rr, где n - внешний вектор нормали, r - касательное к ∂Ω векторное

поле, направленное против часовой стрелки, g_n = (g · n), g_r = (g · r), обладают следующими

свойствами:

f ∈ L²(0,T; H-1(Ω)),

g_r ∈ G_r(Σ), G_r(Σ) = L²(0,T;H1/2(∂Ω))

^⋂L1/2(0,T;H-1/2(∂Ω)),

g_n ∈ G_n(Σ), G_n(Σ) = L²(0,T;H1/2(∂Ω))

^⋂L3/4(0,T;H-1(∂Ω)),

∫

(g · n)dσ = 0 для п.в. t ∈ (0, T ),

∂Ω

v₀ ∈ L²(Ω), (v₀,∇q) = 0, q ∈ H¹(Ω).

(63)

Обозначим

(64)

G(Σ) = G_n(Σ) × G_r(Σ), E(f, g, v₀) = ∥f∥2L2(0,T ; H-1(Ω))+∥g∥G(Σ)+∥v0∥2.

Определение 5. Слабым решением задачи (59)-(62) назовём пару

(v; p) ∈ L^∞(0, T ; L²(Ω))

^⋂L²(0,T;H¹(Ω;Ker {div})) × L²(0,T;L²(Ω)),

удовлетворяющую интегральным тождествам

∫

[〈∂_tv + (v · ∇)v, u〉_H-1(Ω)×H1

+ (rot v, rot u) - (p, div u)] dt =

〈f, u〉_H-1(Ω)×H1

dt,

(Ω)

∫

p dx = 0,

(div v, q) dx = 0

для произвольных u ∈ H¹⁰(Ω), q ∈ L²(Ω), и условию (61) в смысле следа функции из указан-

ного класса.

Теорема 7. Для любых функций f, g, v₀, удовлетворяющих условиям (63), существует

единственное слабое решение задачи (59)-(62) и выполняется оценка

∫T

∥v∥2L∞(0,T ;L2(Ω))⁺

(∥v∥2H1 (Ω)+∥p∥2)dt≤E(f,g,v0),

где постоянная E(f,g,v₀) определена в (64).

Доказательство. Ввиду теоремы 2.2 из [24] для пары (g_n; g_r) существует непрерывный

оператор продолжения

Π: G_n(Σ) × G_r(Σ) → {u: u ∈ L²(0,T;H¹(Ω)

^⋂Ker {div }),∂_tu ∈ L²(0,T; H-1(Ω))}.

(65)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1220

АМОСОВА

Рассмотрим вектор-функцию

v₁ ∈ L²(0,T;H¹(Ω)

^⋂ Ker{div}),

∂_tv₁ ∈ L²(0,T;H-1(Ω)),

такую, что v₁|_Σ = g, (t, x) ∈ Σ. В силу (65) (см. [23]) найдётся константа K > 0 такая, что

выполняется неравенство

∥v₁∥2L2(0,T ;H1(Ω))+∥∂t^v1∥L2(0,T ; H-1(Ω))≤K∥g∥G(Σ)^.

Представим решение задачи (59)-(62) в виде суммы

v=v₁ +w.

(66)

Подставим (66) в (59)-(62) и получим условия для определения функции w :

∂_tw + ((v₁ + w) · ∇)w + (w · ∇)v₁ = Δw - ∇p + f₁,

(67)

div w = 0,

(68)

w|_Σ = 0, (t,x) ∈ Σ,

(69)

w|t=0 = v₀(x) - v₁(·,x)|t=0, x ∈ Ω,

(70)

где f₁ = f - ∂_tv₁ - (v₁ · ∇)v₁ + Δv₁ ∈ L²(0, T ;H-1(Ω)). Доказательство существования и

единственности решения задачи (67)-(70) проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Заключение. На основе метода априорных оценок доказана корректность новой регуля-

ризованной задачи при фиксированном параметре регуляризации (теорема 2). Строгое обосно-

вание ограниченности искомых функций в нужных функциональных пространствах говорит

о стремлении к нулю нормы разности решений в соответствующих пространствах регуляри-

зованной и исходной систем при ε → 0. Доказано существование функции давления почти

всюду в рассматриваемой области для решений уравнений Навье-Стокса из класса Хопфа в

случае однородных (теорема 1) и неоднородных (теорема 7) краевых условий.

Работа выполнена в Дальневосточном центре математических исследований при финансо-

вой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках

реализации программы развития региональных научно-образовательных математических цен-

тров по соглашению № 075-02-2023-946.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М., 1981.

2. Смагулов Ш. Об одном нелинейном уравнении с малым параметром, аппроксимирующем уравнение

Навье-Стокса // Тр. V Всесоюз. семинара по численным методам механики вязкой жидкости.

Новосибирск, 1975. Т. 1. С. 123-134.

3. Волков П.К., Переверзев А.В. Метод конечных элементов для решения краевых задач регуляризо-

ванных уравнений несжимаемой жидкости в переменных “скорости-давление” // Мат. моделирова-

ние. 2003. Т. 15. № 3. С. 15-28.

4. Fedoseyev A.I., Alexeev B.V. Simulation of viscous flows with boundary layers within multiscale model

using generalized hydrodynamics equations // Intern. Conf. on Comput. Sci. ICCS. 2010.

5. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die Hydrodynamischen Grandgleichungen // Math. Nachr.

1951. V. 4. P. 213-231.

6. Ладыженская О.А. Решение “в целом” краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в случае двух

пространственных переменных // Докл. АН СССР. 1958. Т. 123. № 3. С. 427-429.

7. Киселёв А.А., Ладыженская О.А. О существовании единственности решений нестационарной за-

дачи для вязкой несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21. С. 655-680.

8. Лионс Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.

9. Galdi G.P. An Introduction to the Navier-Stokes Initial-Boundary Value Problem // Fundamental

Directions in Mathematical Fluid Mechanics. Advances in Mathematical Fluid Mechanics / Eds.

G.P. Galdi, J.G. Heywood, R. Rannacher. Basel, 2000.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

РЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ДАВЛЕНИЯ

1221

10. Sohr H., Wahl W. On the regularity of the pressure of weak solutions of Navier-Stokes equations // Archiv

der Mathematik. 1986. Bd. 46. S. 428-439.

11. Simon J. On the existence of the pressure for solutions of the variational Navier-Stokes equations // J.

of Math. Fluid Mech. 1999. V. 1. № 3. P. 225-234.

12. Langa J.A., Real J., Simon J. Existence and Regularity of the Pressure for the Stochastic Navier-Stokes

Equations // Appl. Math. Optim. 2003. V. 48. P. 195-210.

13. Bensoussan A. Stochastic Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1995. V. 38. № 3. P. 267-304.

14. Capinski M., Peszat S. On the existence of solution to stochastic Navier-Stokes equations // Nonlin.

Anal. 2001. V. 44. P. 141-177.

15. Серёгин Г.А. О локальной регулярности подходящих слабых решений уравнений Навье-Стокса

// Успехи мат. наук. 2007. Т. 62. № 3 (375). C. 149-168.

16. Серёгин Г.А. Дифференциальные свойства слабых решений уравнений Навье-Стокса // Алгебра и

анализ. 2002. Т. 14. № 1. C. 194-237.

17. Шилкин Т.Н. Полная внутренняя регулярность решений двумерной модифицированной системы

Навье-Стокса // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. № 1. C. 182-221.

18. Серёгин Г.А., Шилкин Т.Н.. Теоремы лиувиллевского типа для уравнений Навье-Стокса // Успехи

мат. наук. 2018. Т. 73. № 4 (442). C. 103-170.

19. Амосова Е.В. О регулярности решений нестационарных уравнений Навье-Стокса // Мат. проблемы

механики сплошных сред: тез. докл. Всерос. конф. и школы молодых учёных, посвящ. 100-летию

акад. Л.В. Овсянникова. Новосибирск. 2019. С. 27.

20. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

21. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.

Новосибирск, 1983.

22. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в

частных производных при общих граничных условиях. М., 1962.

23. Лукина Е.В. Глобальные решения многомерных приближённых уравнений Навье-Стокса вязкого

газа // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. С. 299-401.

24. Fursikov A., Gunzburger M., Hou L. Trace theorems for three-dimensional, time-dependent solenoidal

vector fields and their applications // Trans. of the Amer. Math. Soc. 2001. V. 354. № 3. P. 1079-1116.

Институт прикладной математики ДВО РАН,

Поступила в редакцию 16.03.2021 г.

г. Владивосток,

После доработки 23.07.2023 г.

Дальневосточный федеральный университет,

Принята к публикации 21.08.2023 г.

г. Владивосток

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

5^∗