ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1240-1246

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.958

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ДЛЯ ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ

НА ПРОНИЦАЕМЫХ ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ

На основе интегральных представлений с плотностями, распределёнными вдоль отрезка

оси симметрии, построено и обосновано представление решения граничной задачи дифрак-

ции плоской волны на локальном проницаемом теле вращения с гладкой поверхностью.

Полученное интегральное представление позволяет избежать резонансов внутренней об-

ласти при анализе частотных характеристик рассеяния.

DOI: 10.31857/S037406412309008X, EDN: WQFZOQ

Введение. Впечатляющие достижения наноплазмоники позволили добиться огромных

успехов в продвижении научных результатов и технологических прорывов в последние го-

ды. Огромный вклад был внесён в разработку новых подходов к лечению онкологических

образований, инновационных средств улавливания и хранения солнечной энергии, а также

в реализацию плазмонного нанолазера [1]. Все эти технологии так или иначе связаны с ло-

кализованным плазмонным резонансом в наночастицах при облучении волнами оптического

диапазона. Совершенствование технологий синтеза частиц привело к тому, что их средний

размер уменьшился до 10-20 нм, что составляет 1/20-1/50 от длины волны внешнего возбуж-

дения [2]. Наиболее технологичными формами частиц являются тела вращения: сферы, сфе-

роиды и цилиндры [3]. Это обстоятельство позволяет использовать для анализа оптических

характеристик подобных наночастиц подход, связанный с разложением полей в ряд Фурье

по азимутальной переменной с последующей аппроксимацией каждой отдельной гармоники

[4]. В настоящей работе нами разработан подход, позволяющий строить интегральные пред-

ставления для полей в задачах дифракции плоской волны на проницаемом теле вращения с

носителями, расположенными на оси симметрии рассеивателя. Подобные представления в рам-

ках дискретного аналога - метода дискретных источников - успешно используются в задачах

наноплазмоники [5].

1. Постановка задачи. Будем рассматривать задачу дифракции поля плоской волны u⁰

на проницаемом теле вращения с внутренней областью D_i в R³, ограниченном гладкой замк-

нутой поверхностью ∂D_i ∈ C(2,ν). Математическая постановка граничной задачи имеет вид

△u_e,i + k2e,iu_e,i = 0, M ∈ D_e,i, D_e = R³ \ /D_i;

∂u_i(Q)

∂u_e(Q)

∂u⁰(Q)

u_i(Q) - u_e(Q) = u⁰(Q),

Q∈∂D_i;

∂n

∂u_e

- ik_eu_e = o(r-1), r → ∞.

(1)

∂r

Здесь k_e,i - волновые числа в областях D_e,i соответственно. Будем полагать, что k_e > 0,

Imk_i ≥ 0. Как известно, задача (1) имеет единственное классическое решение [6, с. 112].

2. Вспомогательные результаты. Прежде всего нам понадобятся некоторые вспомога-

тельные утверждения.

Лемма 1. Пусть U(M) есть функция, удовлетворяющая уравнению Гельмгольца с по-

стоянным волновым числом k в некоторой области D. Выберем цилиндрическую систему

1240

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

1241

координат (ρ,ϕ,z). Обозначим через u_m фурье-гармонику функции U(M) по ϕ. Тогда су-

ществует предел вида

u_m(ζ)

lim

= v_m(z), m ∈ {0,N},

(2)

ρ→0

ρ^m

который представляет собой аналитическую функцию координаты z. Здесь ζ = (ρ,z) -

точка, расположенная в полуплоскости Φ: ϕ = const.

Доказательство. Выберем шар B c центром в начале координат, целиком расположен-

ный в области D. Тогда функция U(M) внутри шара может быть представлена в виде [7,

с. 45, 46]

∑

U (M) =

a^mnj_n(kr)P^mn(cos θ)e^imϕ,

(3)

n=0 m=-n

здесь j_n(kr) - сферическая функция Бесселя, P^mn(cos θ) - присоединённый полином Лежанд-

ра, r = |M|. Коэффициент Фурье этой функции по ϕ принимает вид

∑

u_m(ζ) =

a^mnj_n(kr)P^mn(cos θ), m ∈ {0,N}.

n=m

Выразим присоединённый полином Лежандра через гипергеометрическую функцию [8, с. 786]

|m|

(n + |m|)! ρ

P^|m|n(cos θ) = 2^-|m|

F (|m| - n, |m| + n + 1, |m| + 1, (1 - cos θ)/2).

(n - |m|)!m! r^|m|

Принимая во внимание, что F (|m| - n, |m| + n + 1, |m| + 1, 0) = 1, предел (2) можно записать

в следующем виде:

∑

u_m(ζ)

j_n(kz)

lim

= v_m(z) =

b^m

ρ→0

ρ^m

ⁿ z^m

n=m

где b^mn = a^mn2^-|m|(n + |m|)!/((n - |m|)!m!). Учитывая асимптотику сферических функций Бес-

селя [9, с. 258]

j_n(x)

(x → 0) =

xⁿ

(2n + 1)!!

можно заключить, что v_m(z) представляет собой аналитическую функцию переменной z при

всех m ∈ N

^⋃ {0}. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть Z₀ - отрезок оси Z, целиком расположенный внутри области D

^⋂Φ.

Тогда из того, что v_m(z) ≡ 0, z ∈ Z₀, следует u_m(ζ) ≡ 0, ζ ∈ D

^⋂Φ.

Доказательство. В силу условия леммы имеем

∑

j_n(kz)

b^m

≡ 0.

ⁿ z

n=m

Устремляя последовательно z → 0 для n = m, m + 1, . . . и учитывая асимптотику функции

Бесселя в нуле, получаем, что все b^mn = 0. Лемма доказана.

Представление для функции U(M), удовлетворяющей уравнению Гельмгольца с постоян-

ным волновым числом, можно получить не только в виде ряда (3). В частности, она может

быть представлена в виде потенциала простого или двойного слоёв или их комбинации [6, с. 64,

65] с плотностями, распределёнными по поверхности ∂D_i. Причём в случае нерезонансной по-

верхности это представление единственно.

Теорема 1. Конкретный вид функций для интегрального представления фурье-гармоник

полей, удовлетворяющих условиям излучения, с плотностями, распределёнными по отрезку

оси Z, следующий:

Y em(ζ, z) = h(1)m (kR_ζz)Pmm (cos θ_z),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1242

ЕРЕМИН, ЛОПУШЕНКО

здесь R2ζ¯z = ρ² + (z - z)², P^mm(cos θ_z) = (sin θ_z)^m, sin θ_z = ρ/R_ζz, hm1)(kR) - сферические

функции Ханкеля, удовлетворяющие условиям излучения задачи (1).

Доказательство. Будем использовать в области D_i представление для функции U(M)

в виде потенциала простого слоя с плотностью μ. Тогда

∫

U (M) = Ψ(M, P )μ(P ) dσ_P , M ∈ D_i,

∂D_i

где Ψ(M, P ) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца. Перейдём к фурье-гармо-

никам u_m(ζ), ζ ∈ Φ:

∫

u_m(ζ) = S_m(ζ,ξ)μ_m(ξ)dl_ξ.

L_i

Здесь L_i - образующая поверхности вращения ∂D_i, ξ ∈ L_i и функции

2π

∫

S_m(ζ,ξ) =

Ψ(M, P ) exp{-imϕ_p}dϕ_p

2π

являются S-функциями, которые были введены Е.Н. Васильевым [10, с. 232, 233]. Для них

справедливы следующие представления:

∑

^√π

(ρρ)2l+|m|

Im S_m(ζ,ξ) = -

R-(2l+|m|+1/2)1J2l+|m|+1/2(R₁),

l!(l + |m|)!22l+|m|

l=0

∑

^√π

(ρρ)2l+|m|

ReS_m(ζ,ξ) = -

R-(2l+|m|+1/2)1N2l+|m|+1/2(R₁),

l!(l + |m|)!22l+|m|

l=0

где R²¹ = ρ² + ρ² + (z - z)², а J_α, N_α - цилиндрические функции Бесселя и Неймана соот-

ветственно. Из представлений для функций S_m(ζ, ξ) непосредственно следует, что

S_m(ζ,ξ)

lim

= q_mh(1)m (kR_ζz)Pmm (cos θ_z), q_m = const.

ρ→0

ρm

Теорема 1 доказана.

Легко видеть, что система функций

{Y_m(M)} = hm1)(kR_ζz)P^mm(cos θ_z) exp(imϕ), M =

= (ρ, ϕ, z), удовлетворяет вне оси Z уравнению Гельмгольца и условиям излучения на беско-

нечности.

3. Интегральное представление решения. Будем строить решение (1) на основе ин-

тегральных представлений аналогично схеме [11]. Поскольку построенные ранее функции

hm1)(kR_ζz)P^mm(cos θ_z)exp(imϕ), j_m(kR_ζz)P^mm(cos θ_z)exp(imϕ), j_m(·) - сферические функции

Бесселя [8, с. 790], удовлетворяют уравнениям Гельмгольца по M в соответствующих обла-

стях, то достаточно удовлетворить граничным условиям задачи (1). Разложим поле плоской

волны u⁰ в ряд Фурье по переменной ϕ следующим образом [8, с. 781]:

∑

u⁰(M) = exp[ik_e(xsin θ₀ - z cos θ₀)] = exp[-ik_ez cos θ₀]

(2 - δm0)(-j)^mJ_m(ρ sin θ₀) cos(mϕ),

m=0

здесь θ₀ - угол падения плоской волны, δm0 - символ Кронекера. Зафиксируем произвольное

целое m, тогда фурье-гармоники граничных условий приобретают вид

∂u^mi(ζ)

∂u^me(ζ)

∂u0m(ζ)

u^mi(ζ) - u^me(ζ) = u0m(ζ),

ζ ∈L_i,

(4)

∂n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

1243

где L_i - образующая поверхности вращения ∂D_i. Теперь наша задача состоит в том, чтобы

показать, что граничные условия для гармоник можно выполнить посредством интегральных

представлений с любой степенью точности.

Для этого на отрезке оси симметрии Z₀ зададим плотности β_e,i ∈ L₂(Z₀) и будем искать

представления решения граничной задачи (1) в виде

∫

u^me(ζ) = Ψ_m(k_e,ζ,z)β_e(z)dz,

(5)

Z₀

∫

u^mi(ζ) = Φ_m(ζ,z)β_i(z)dz,

(6)

Z₀

здесь Ψ_m(k_e, ζ, z) = hm1)(k_eR_ζz)P^mm(cos θ_z), Φ_m(ζ, z) = j_m(k_iR_ζz)P^mm(cos θ_z).

Обозначим соответствующие интегральные операторы в (5), (6) как A_e,i. Операторы дей-

ствуют из L₂(Z₀) в L₂(L_i). Формально подставляя интегральные представления для полей в

условия сопряжения задачи (1), получаем следующие соотношения:

A_iβ_i - A_eβ_e = p(ζ), ζ ∈ ∂D_i;

∂

A_iβ_i -

A_eβ_e = q(ζ),

{p, q} ∈ L₂(L_i) = L₂(L_i) × L₂(L_i).

∂n_ζ

Образуем матричный оператор

[

]

A_i A_e

∂_ζA_i

∂_ζA_e

действующий из L₂(Z₀) = L₂(Z₀) × L₂(Z₀) в L₂(L_i). Здесь для краткости введено обозначе-

ние ∂_ζ = ∂/∂n_ζ . В силу того, что все элементы матричного оператора представляют собой

вполне непрерывные операторы, матричный оператор B является оператором с незамкнутой

областью значений в L₂(L_i) [12, с. 227]. Наша задача состоит в том, чтобы показать, что

замыкание области его значений R(B) совпадает со всем пространством L₂(L_i).

Теорема 2. Замыкание области значений R(B) оператора B совпадает со всем про-

странством L₂(L_i).

Доказательство.

1. Поскольку оператор B определён на всём пространстве L₂(Z₀), то существует сопря-

жённый оператор [12, с. 191], действующий из L₂(L_i) в L₂(Z₀): (Bx, y) = (x, B^∗y). Запишем

его как

[

]

∗

A^∗i

(∂_QA_i)

B^∗ =

A^∗e

(∂_QA_e)^∗ .

2. Для доказательства теоремы достаточно показать, что имеет место равенство [12, с. 227]

N (B^∗) = {∅}.

От противного предположим, что существуют функции {p, q} ∈ L₂(L_i) такие, что ∥p∥ +

+∥q∥ = 0, и в то же время

B^∗{p,q} = 0.

Заметим, что функции {p, q} должны удовлетворять дополнительным условиям при ρ →

→ +0 [13, с. 175-178], которые запишем подробно, опустив знаки комплексного сопряжения:

∫

[Ψ_m(k_e, ζ, z)p(ζ) + ∂_ζ Ψ_m(k_e, ζ, z)q(ζ)] dσ_ζ = 0, z ∈ Z₀,

L_i

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1244

ЕРЕМИН, ЛОПУШЕНКО

∫

[Φ_m(ζ, z)p(ζ) + ∂_ζ Φ_m(ζ, z)q(ζ)] dσ_ζ = 0, z ∈ Z₀.

L_i

Введём в области D_i следующие функции:

∫

W (ξ) =

{Ψ_m(k_e, ζ, ξ)p(ζ) + ∂_ζ Ψ_m(k_e, ζ, ξ)q(ζ)} dσ_ζ , ξ ∈ Φ

^⋂D_i,

(7)

L_i

∫

V (ξ) =

{Φ_m(ζ, ξ)p(ζ) + ∂_ζ Φ_m(ζ, ξ)q(ζ)} dσ_ζ .

(8)

L_i

С учётом (7), (8) и на основе результатов леммы 2 получаем

W (ξ) = 0, ξ ∈ Φ

^⋂D_i,

(9)

V (ξ) = 0, ξ ∈ Φ

^⋂D_i,

(10)

где выражение (9) представляет собой соотношение метода нулевого поля для фурье-гармо-

ники [14].

Для завершения доказательства необходимо преобразовать соотношение (10). Будем дей-

ствовать по схеме, изложенной в работе [15]. Заметим, что V (ξ) - целая функция в полуплос-

кости в силу свойств ядра Φ_m. Следовательно, равенство (10) справедливо в любой конечной

части полуплоскости Φ.

Выберем полуокружность Σ_R с радиусом R так, чтобы область Φ

^⋂D_i целиком содержа-

лась внутри и не касалась полукруга. Будем полагать, что внутренняя область нерезонансная

для заданного значения k_i. В силу предыдущего, на Σ_R имеет место равенство

∫

[Φ_m(ζ, ξ)p(ζ) + ∂_ζ Φ_m(ζ, ξ)q(ζ)] dσ_ζ = 0, ξ ∈ Σ_R.

(11)

L_i

Воспользуемся обобщённой теоремой сложения Гегенбауера следующего вида [16]:

∑

hm1)(kR_ζξ)

h(1)l+m(kr_ζ) jl+m(kr_ξ)

=κ_m

γ_lm

r_ξ < r_ζ,

(12)

R^m

(kr_ζ )^m

(kr_ξ)^m

ζξ

l=0

где

κ_m = k^-m2m+1/2(2m - 1)!!Γ(m + 1/2), γ_lm = (l + m + 1/2)Cm+1/2l(cos(θ_ζ - θ_ξ)),

Cm+1/2l(x) - полиномы Гегенбауэра.

Аналогичное (12) соотношение имеет место для функций j_m(kR_ζξ)/R^mζξ :

∑

j_m(kR_ζξ)

jl+m(kr_ζ) jl+m(kr_ξ)

=κ_m

γ_lm

(13)

R^m

(kr_ζ )^m (kr_ξ)^m

ζξ

l=0

Поступим по аналогии с работой [15].

1. На Σ_R подставим вместо функции Φ_m(ζ, ξ) в (11) её разложение вида (13).

2. Из нерезонансности полуокружности Σ_R для заданного k_i следует, что все члены по-

лученного ряда обращаются в нуль:

∫

]

^[jl+m(k_ir_ζ)

jl+m(k_ir_ζ)

κ_mγ_lm

p(ζ) + ∂_ζ

q(ζ) dσ_ζ = 0, l ∈ N

^⋃ {0}.

(14)

(k_ir_ζ)m

L_i

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

1245

3. Умножаем каждый член (14) на h(1)l+m(k_iR)/(k_iR)^m и суммируем по l от 0 до ∞ на Σ_R.

Сходимость функционального ряда обеспечивается выбором R. В результате получим функ-

цию вида

∫

V_i(ξ) = V (k_i,ξ) =

{Ψ_m(k_i, ζ, ξ)p(ζ) + ∂_ζ Ψ_m(k_i, ζ, ξ)q(ζ)} dσ_ζ .

L_i

Для неё вне полукруга Σ_R имеет место граничная задача вида

△V_i + k2iV_i = 0,

|ξ| > R,

V_i(ξ) = 0, ξ ∈ Σ_R,

с условиями излучения на бесконечности. Таким образом, V_i(ξ) ≡ 0 вне полуокружности Σ_R,

а в силу аналитичности функции V_i всюду в Φ

^⋂D_e. В результате имеем

V_i(ξ) ≡ 0, ξ ∈ Φ

^⋂D_i.

(15)

4. Полученные соотношения (9) и (15) представляют собой базовые соотношения метода

нулевого поля [14].

5. Как показано в статье [17], в силу единственности решения исходной граничной задачи

дифракции ∥p∥ + ∥q∥ = 0. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Перейдём к формулировке основного результата статьи. Поскольку D(B) = L₂(Z₀) и

R(B) = L₂(∂D_i), то имеет место следующая

Теорема 3. Для любого δ > 0 существуют функции {β^e,δ, β^m,δi} ∈ L₂(Σ) и имеет место

оценка ∥u^me - u^e,δ∥ + ∥u^mi - u^m,δi∥ ≤ δ. Здесь {u^me, u^mi} - фурье-гармоники решения задачи

(1) с граничными условиями (4), а {u^e,δ,u^m,δi} - их интегральные представления (5), (6).

Следовательно, в любой ограниченной замкнутой области в Φ

^⋂D_e справедливо предельное

равенство

limum,δe(ζ) = ume(ζ), ζ ∈ Φ

^⋂D_e.

(16)

δ→0

Таким образом, интегральное представление сходится в пределе к точному решению задачи

(1) для m-й гармоники Фурье.

Замечание 1. Аналогичный (16) результат имеет место для гармоники внутреннего поля

u^mi в области Φ

^⋂D_i.

Замечание 2. Следует отметить, что поскольку m было выбрано произвольно, то оче-

видно, что решение граничной задачи (1) может быть получено с любой степенью точности

посредством конечной суммы ряда Фурье интегральных представлений.

Отметим, что распределение плотностей интегрального представления решения по оси вра-

щения имеет преимущество по сравнению с интегральными представлениями полей с плотно-

стями, распределёнными на вспомогательной поверхности внутри рассеивателя [18]. Кроме

того, по аналогии с [19] можно показать, что такой важный показатель рассеяния как ин-

тегральный поперечник можно вычислить в аналитическом виде, не прибегая к численному

интегрированию по единичной сфере.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Stockman M.I., Kneipp K., Bozhevolnyi S.I. et al. Roadmap on plasmonics // J. Opt. 2018. V. 20.

P. N043001.

2. Shi H., Zhu X., Zhang S., et al. Plasmonic metal nanostructures with extremely small features: new

effects, fabrication and applications // Nanoscale Adv. 2021. V. 3. P. N4349.

3. Phan A.D., Nga D.T., Viet N.A. Theoretical model for plasmonic photothermal response of gold

nanostructures solutions // Opt. Commun. 2018. V. 410. P. 108-111.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1246

ЕРЕМИН, ЛОПУШЕНКО

4. Еремин Ю.А., Лопушенко В.В. Исследование эффекта пространственной дисперсии в металличе-

ской оболочке несферической магнетоплазменной наночастицы // Оптика и спектроскопия. 2022.

Т. 130. Вып. 10. С. 1596-1602.

5. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Квазиклассические модели квантовой наноплазмоники на основе

метода дискретных источников (обзор) // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2021. Т. 61.

№ 4. С. 34-62.

6. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

7. Свешников А.Г., Могилёвский И.Е. Математические задачи теории дифракции. М., 2010.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1973.

9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1979.

10. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М., 1987.

11. Еремин Ю.А., Захаров Е.В. Свойства системы интегральных уравнений первого рода в задачах

дифракции на проницаемом теле // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 9. С. 1230-1237.

12. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1985.

13. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике.

М., 2008.

14. Doicu A., Eremin Yu., Wriedt T. Acoustic and Electromagnetic Scattering Analysis Using Discrete

Sources. San Diego, 2000.

15. Eremin Yu.A., Tsitsas N.L., Kouroublakis M., Fikioris G. New scheme of the discrete sources method for

two-dimensional scattering problems by penetrable obstacles // J. Comput. Appl. Math. 2023. V. 417.

P. 114556.

16. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функций. М., 1949.

17. Еремин Ю.А., Свешников А.Г., Скобелев С.П. Метод нулевого поля в задачах дифракции волн

// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2011. Т. 51. № 8. С. 1490-1494.

18. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использова-

нием априорной информации об аналитических свойствах решения. М., 2014.

19. Еремин Ю.А., Захаров Е.В. Аналитическое представление для интегрального поперечника рассея-

ния в рамках интегрофункционального метода дискретных источников // Дифференц. уравнения.

2022. Т. 58. № 8. С. 1073-1077.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 15.05.2023 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 15.05.2023 г.

Принята к публикации 20.07.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023