ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1247-1259

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.22

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ

С ДВУМЯ ГРАНИЧНЫМИ И ОДНОЙ ВНУТРЕННЕЙ

СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ

Получены явные решения модельного и немодельного интегральных уравнений типа Воль-

терры с двумя граничными и одной внутренней сингулярными точками, изучены свойства

полученных решений. В случае, когда решение модельного уравнения содержит произ-

вольную постоянную, выяснена корректная постановка задач с условиями, заданными на

сингулярных многообразиях.

DOI: 10.31857/S0374064123090091, EDN: WOWZYC

К 85-летию академика Национальной академии

наук Таджикистана Нусрата Раджабова

Введение. В настоящее время теория сингулярных интегралов и сингулярных интеграль-

ных уравнений находит всё более широкое применение в различных областях математики,

механики и физики. К сингулярным интегральным уравнениям сводятся граничные задачи

теории функций, к которым, в свою очередь, приводятся многие важные задачи математи-

ческой физики и механики, в частности, теории упругости и гидроаэродинамики. Отметим,

что теория сингулярных интегральных уравнений, ядра которых имеют слабую или сильную

особенность, особенность первого порядка, особенности степенного или логарифмического ти-

па, с ядром Коши или когда интеграл понимается в смысле главного значения, встречается

во многих работах. В частности, в [1-5] для нахождения решения интегральных уравнений

используется в основном численный метод.

Проблеме исследования интегральных уравнений типа Вольтерры с сингулярными и сверх-

сингулярными точками в ядре посвящено много исследований. Так, в работах [6-11] изучены

интегральные уравнения типа Вольтерры с одной граничной, или внутренней сингулярной,

или сверхсингулярной точкой, а в [12-14] - c двумя граничными сингулярными точками. В на-

стоящей статье найдены явные решения некоторых интегральных уравнений типа Вольтерры

с двумя граничными и одной внутренней сингулярными точками. На основе полученных инте-

гральных представлений решений и их свойств, когда общие решения содержат произвольные

постоянные, исследуются задачи типа Коши с условиями, заданными на сингулярных много-

образиях.

Сингулярным интегральным уравнением называется интегральное уравнение с ядром, об-

ращающимся в бесконечность на граничных или внутренних точках данной области.

Пусть Γ₀ = {x : a < x < b} - множество точек на вещественной оси и c ∈ Γ₀. Далее

обозначим Γ = Γ₀ \ {c}, Γ₁ = {x : a < x < c}, Γ₂ = {x : c < x < b}.

На множестве Γ рассмотрим интегральное уравнение

∫c

A(t)ϕ(t) dt

ϕ(x) +

= f(x),

(t - a)(b - t)|c - t|

где A(x) и f(x) - заданные функции, ϕ(x) - искомая функция.

Сначала изучим модельное интегральное уравнение вида

∫x

ϕ(t) dt

ϕ(x) + λ

= f(x),

(1)

(t - a)(b - t)|c - t|

где λ - заданная постоянная.

1247

1248

РАДЖАБОВ, РАДЖАБОВА

Будем искать решения ϕ(x) интегрального уравнения (1) в классе функций C(Γ₀), удо-

влетворяющие условию ϕ(c) = 0 и с асимптотическим поведением

ϕ(x) = o[|x - c|^ε] при x → c

для некоторого ε > 0.

Тогда из (1) следует, что если решение интегрального уравнения (1) существует, то f(c)=0.

Пусть в уравнении (1) x ∈ Γ₁, тогда |x - c| = c - x и уравнение (1) на Γ₁ примет вид

∫x

ϕ(t) dt

ϕ(x) + λ

= f(x), x ∈ Γ₁.

(2)

(t - a)(b - t)(c - t)

Если x ∈ Γ₂, то |c - x| = x - c и уравнение (1) имеет вид

∫c

ϕ(t) dt

ϕ(x) - λ

= f(x), x ∈ Γ₂.

(3)

(t - a)(b - t)(t - c)

Если обозначим решение уравнения (2) через ϕ₁(x), а уравнения (3) через ϕ₂(x), то решение

интегрального уравнения (1) можем записать как

{

ϕ₁(x), когда x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

ϕ₂(x), когда x ∈ Γ₂.

Пусть x ∈ Γ₁. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция

)1/(b-c)]λ/(b-a)

^[(c - x)1/(c-a)(c - x

ω₁(x) =

(4)

x-a

b-x

при λ > 0 является решением однородного интегрального уравнения (2). Данное решение в

окрестности точки x = c - 0 обращается в нуль с асимптотическим поведением

ω₁(x) = O[(c - x)λ/((c-a)(b-c))] при x → c - 0.

Решение (4) неограниченно в точке x = a, его поведение при x → a определяется из асимп-

тотической формулы

ω₁(x) = O[(x - a)-λ/((c-a)(b-c))] при x → a.

Полученное решение (4) обладает свойством

ω₁(t)

1 dω₁(t)

(5)

(t - a)(b - t)(c - t)

λ dt

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция

ϕ(x) = K-1(f(x)) ≡ f(x) -

∫x

{[(

c-x

⁾⁽t - a)]1/(c-a)[(c - x⁾⁽b - t)]1/(b-c)}λ/(b-a)

f (t) dt

-λ

(6)

x-a c-t

b-x c-t

(t - a)(b - t)(c - t)

будет частным решением неоднородного уравнения (2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ

1249

Если функция f(x) удовлетворяет условию f(c - 0) = 0 с асимптотическим поведением

f (x) = o[(c - x)γ1 ], γ₁ >

при x → c,

(7)

(c - a)(b - c)

то общее решение интегрального уравнения (2) при λ > 0

ϕ₁(x) = c₁ω₁(x) + K-1(f(x)),

(8)

где c₁ - произвольная постоянная. Решение вида (8) в точке x = c - 0 обращается в нуль с

асимптотическим поведением

ϕ(x) = o[(c - x)λ/((c-a)(b-c))] при x → c - 0.

Данное решение в точке x = a неограниченно, а его поведение определяется из асимптотиче-

ской формулы

ϕ(x) = O[(x - a)-λ/((c-a)(b-a)) ] при x → a.

Умножив обе части равенства (8) на (c - x)-λ/((c-a)(b-c)), после перехода к пределу при x =

= c - 0 получим

[ϕ(x)(c - x)-λ/((c-a)(b-c))]x=c-0 = [(c - a)1/(c-a)(b - c)1/(b-c)]-λ/(b-a)c₁.

В случае λ < 0 из представления (8) следует, что если решение интегрального уравнения

(2) существует, то оно определяется равенством (8) при c₁ = 0:

ϕ₁(x) = K-1(f(x)).

(9)

Решение вида (9) существует, если f(x) ∈ C(Γ), f(c - 0) = 0 и

f (x) = o[(c - x)^ε], ε > 0, при x → c - 0.

(10)

Таким образом, доказана

Лемма 1. Пусть в интегральном уравнении (2) функция f(x) ∈ C(Γ) удовлетворяет

условию f(c - 0) = 0 с асимптотическим поведением (7) при λ > 0 и с асимптотическим

поведением (10) при λ < 0. Тогда любое решение интегрального уравнения (2) из класса

C(Γ₁) представимо в виде

{

c₁ω₁(x) + K-1(f(x)), когда λ > 0, x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

K-1(f(x)),

когда λ < 0, x ∈ Γ₁.

Пусть x ∈ Γ₂. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция

)1/(b-c)]|λ|/(b-a)

^[(x - c)1/(c-a)(x - c

ω₂(x) =

(11)

x-a

b-x

при λ < 0 является решением однородного уравнения (3). Данное решение обладает свойством

dω₂(x)

|λ|

ω₂(x), x ∈ Γ₂.

(x - a)(b - x)(x - c)

Теперь покажем, что при λ < 0 и выполнении условия f(c + 0) = 0 с асимптотическим

поведением

|λ|

f (x) = o[(x - c)γ3 ], γ₃ >

при x → c + 0,

(12)

(c - a)(b - c)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1250

РАДЖАБОВ, РАДЖАБОВА

функция

∫x

{[(

x-c

⁾⁽t - a)]1/(c-a)[(x - c⁾⁽b - t)]1/(b-c)}|λ|/(b-a)

ϕ₂(x) = f(x) - λ

x-a t-c

b-x t-c

f (t) dt

≡ K+1 (f(x))

(13)

(t - a)(b - t)(t - c)

будет частным решением неоднородного интегрального уравнения (3).

Подставив значение функции ϕ₂(x) из равенства (13) в уравнение (3), далее сократив на

f (x) и заменив порядок интегрирования в кратном интеграле, получим равенство

∫x

{[(

x-c

⁾⁽t - a)]1/(c-a)[(x - c⁾⁽b - t)]1/(b-c)}|λ|/(b-a)

f (t) dt

-λ

x-a t-c

b-x t-c

(t - a)(b - t)(t - c)

∫x

∫

f (t) dt

^{(τ - a)1/(c-a)(b - τ)1/(b-c)}|λ|/(b-a)

f (τ) dτ

+λ

-λ²

(t - a)(b - t)(t - c)

τ -c

τ-c

(τ - a)(b - τ)(τ - c)

∫x

^{(t - c)1/(c-a)(t - c)1/(b-c)}|λ|/(b-a)

= 0.

(14)

t-a

b-t

(t - a)(b - t)(t - c)

Справедливо соотношение

∫

^{( t-c)1/(c-a)(t-c)1/(b-c)}|λ|/(b-a)

dω₂(t)

(ω₂(x) - ω₂(τ)).

t-a

b-t

(t-a)(b-t)(t-c)

|λ|

Следовательно, из равенства (14) будем иметь

∫x

{[(

x-c

⁾⁽t - a)]1/(c-a)[(x - c⁾⁽b - t)]1/(b-c)}|λ|/(b-a)

f (t) dt

-λ

x-a t-c

b-x t-c

(t - a)(b - t)(t - c)

∫x

∫

{[(

f (t) dt

x-c

⁾⁽τ - a)]1/(c-a)[(x - c⁾⁽b - τ)]1/(b-c)}|λ|/(b-a)

+λ

- |λ|

(t-a)(b-t)(t-c)

x-a τ -c

b-x τ-c

∫x

f (τ) dτ

+ |λ|

= 0.

(τ - a)(b - τ)(τ - c)

Тогда функция вида

ϕ(x) = c₂ϕ₂(x) + K⁺¹(f(x))

(15)

будет общим решением неоднородного интегрального уравнения (3) при λ < 0. При этом для

сходимости интеграла в правой части равенства (15) функция f(x) должна удовлетворять

условию (7).

В случае λ > 0 если решение интегрального уравнения (3) существует, то оно выражается

равенством (15) при c₂ = 0:

ϕ(x) = K⁺¹(f(x)).

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ

1251

Интеграл в правой части равенства (16) сходится для любой функции f(x) ∈ C(Γ₂). Но так

как решение интегрального уравнения (3) ищем в классе функций, удовлетворяющих условию

ϕ(c + 0) = 0, необходимо выполнение условия f(c + 0) = 0 с асимптотическим поведением

f (x) = o[(x - c)^ε], ε > 0, при x → c + 0.

(17)

На основе приведённых выше рассуждений справедлива

Лемма 2. Пусть в интегральном уравнении (3) функция f(x) ∈ C(Γ₂) при λ < 0 обла-

дает свойством f(c + 0) = 0 с асимптотическим поведением (12), при λ > 0 f(c + 0) = 0

с асимптотическим поведением (17). Тогда любое решение интегрального уравнения (3) из

класса C(Γ) представимо в виде

{

c₂ω₂(x) + K⁺¹(f(x)) при λ < 0,

ϕ(x) =

K⁺¹(f(x))

при λ > 0,

где c₂ - произвольная постоянная.

Из лемм 1 и 2 следуют утверждения.

Теорема 1. Пусть при λ > 0 выполнены все условия лемм 1 и 2. Тогда любое решение

интегрального уравнения (1) из класса C(Γ) представимо в виде

{

c₁ω₁(x) + K-1(f(x)) при x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

(18)

K⁺¹(f(x))

при x ∈ Γ₂,

где c₁ - произвольная постоянная, а функция ω₁(x) и интегральные операторы K-1(f(x)),

K⁺¹(f(x)) определяются равенствами (4) и (6), (13) соответственно.

Теорема 2. Пусть при λ < 0 выполнены все условия лемм 1 и 2. Тогда любое решение

интегрального уравнения (1) из класса C(Γ) представимо в виде

{

K-1(f(x))

при x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

(19)

c₂ω₂(x) + K⁺¹(f(x)) при x ∈ Γ₂,

где c₂ - произвольная постоянная, функция ω₂(x) выражается равенством (11).

Замечание 1. Из интегрального представления (18) следует, что в точке x = c при λ > 0

решение вида (18) обращается в нуль с асимптотическими поведениями

ϕ(x) = o[(c - x)λ/((c-a)(b-c))] при x → c - 0,

ϕ(x) = o[(x - c)^ε] при x → c + 0.

Замечание 2. Из интегрального представления (19) следует, что при λ < 0 решение вида

(19) в точке x = c обращается в нуль с асимптотическими поведениями

ϕ(x) = o[(c - x)^ε], ε > 0, при x → c - 0,

ϕ(x) = o[(x - c)|λ|/((c-a)(b-c))] при x → c + 0.

Замечание 3. Решения вида (18) и (19) обладают свойствами

[ϕ(x)(c - x)|λ|/((c-a)(b-c))]x=c-0 = c₁(c - a)λ/((c-a)(b-c))(b - c)λ/((b-c)(b-a)),

(20)

[ϕ(x)(x - c)λ/((c-a)(b-c))]x=c+0 = c₂(c - a)λ/((c-a)(b-c))(b - c)λ/((b-c)(b-a)) .

(21)

Интегральные представления (18), (19), а также свойства (20), (21) дают возможность для

интегрального уравнения (1) ставить и исследовать задачи типа Коши.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1252

РАДЖАБОВ, РАДЖАБОВА

Задача K₁. Требуется найти решение интегрального уравнения (1) при λ > 0, удовле-

творяющее граничному условию

[(c - x)-λ/((c-a)(b-c))ϕ(x)]x=c-0 = E₁,

(22)

где E₁ - заданная постоянная.

Решение задачи K₁. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда, используя интеграль-

ное представление (18), свойство (20) и условие (22), имеем

c₁(c - a)-λ/((c-a)(b-a))(b - c)-λ/((b-c)(b-a)) = E₁,

откуда находим

c₁ = (c - a)λ/((c-a)(b-a))(b - c)λ/((b-c)(b-a))E₁.

Подставив полученное значение c₁ в интегральное представление (18), получим

{

ω₁(x)(c - a)-λ/((c-a)(b-a))(b - c)-λ/((b-c)(b-a))E₁ + K-1(f(x)) при x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

(23)

K⁺¹(f(x))

при x ∈ Γ₂.

Теорема 3. Пусть в интегральном представлении (18) параметры λ и функция f(x)

удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда задача K₁ имеет единственное решение, которое

определяется формулой (23).

Задача K₂. Требуется найти решение интегрального уравнения (1) при λ < 0, удовле-

творяющее граничному условию

[(x - c)λ/((c-a)(b-c))ϕ(x)]x=c+0 = E₂,

(24)

где E₂ - заданная постоянная.

Решение задачи K₂. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда, использовав инте-

гральное представление (19), свойство (21) и условие (24), получим

c₂(c - a)λ/((c-a)(b-c))(b - c)λ/((b-c)(b-a)) = E₂,

откуда

c₂ = (c - a)-λ/((c-a)(b-c))(b - c)-λ/((b-c)(b-a))E₂.

Подставляя полученное значение c₂ в интегральное представление (19), находим решение

задачи K₂ :

{

K-1(f(x))

при x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

(25)

ω₂(x)(c - a)-λ/((c-a)(b-c))(b - c)-λ/((b-c)(b-a))E₂ + K⁺¹(f(x)) при x ∈ Γ₂.

Теорема 4. Пусть в интегральном представлении (19) параметр λ и функция f(x)

удовлетворяют условиям теоремы 2. Тогда задача K₂ имеет единственное решение, которое

определяется формулой (25).

Теперь на множестве Γ рассмотрим более общее интегральное уравнение вида

∫c

A(t)ϕ(t) dt

ϕ(x) +

= f(x)

(26)

(t - a)(b - t)|c - t|

в предположении, что A(c) = 0 и A(c - 0) = A(c + 0).

Пусть в уравнении (26) x ∈ Γ₁, тогда |x - c| = c - x и это уравнение примет вид

∫c

A(t)ϕ(t) dt

ϕ(x) +

= f(x).

(27)

(t - a)(b - t)(c - t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ

1253

В случае x ∈ Γ₂ имеем |x - c| = x - c и, следовательно, (26) запишем как

∫c

A(t)ϕ(t) dt

ϕ(x) +

= f(x).

(28)

(t - a)(b - t)(t - c)

Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что функция

)1/(b-c)]A(c-0)/(b-a)

^[(c - x)1/(c-a)(c - x

Ω₁(x) = exp[-W^-A(x)]

x-a

b-x

где

∫c

A(c - 0) - A(t)

W^-A(x) =

dt,

(t - a)(b - t)(c - t)

при A(c - 0) > 0 будет решением однородного уравнения (27), если функция A(x) в окрест-

ности точки x = c - 0 удовлетворяет условию

|A(c - 0) - A(x)| ≤ H₁(c - x)^ε(x - a)^ε, ε > 0.

(29)

Докажем, что функция вида

∫c

{[(

c-x

⁾⁽t - a)]1/(c-a)[(c - x⁾⁽b - t)]1/(b-c)}A(c-0)/(b-a)

Ω₂(x) = f(x) -

x-a c-t

b-x c-t

A(t)f(t) dt

× exp[W-A (t) - W-A (x)]

≡ M-1 (f(x))

(30)

(t - a)(b - t)(c - t)

будет частным решением неоднородного интегрального уравнения (27). Подставив значение

Ω₂(x) в (27) и изменив порядок интегрирования, получим

∫c

{[(

c-x

⁾⁽t - a)]1/(c-a)[(c - x⁾⁽b - t)]1/(b-c)}A(c-0)/(b-a)

x-a c-t

b-x c-t

∫

exp[W^-A(t) - W^-A(x)]A(t)f(t) dt

A(t)f(t) dt

(t - a)(b - t)(c - t)

∫c

A(τ)f(τ)

^[(τ - a)1/(c-a)(b - τ)1/(b-c)]A(c-0)/(b-a)

exp[W^-A(τ)] dτ ×

(τ - a)(b - τ)(c - τ) c - τ

c-τ

∫x

^[(c - t)1/(c-a)(c - t)1/(b-c)]A(c-0)/(b-a)

A(t) dt

exp[-W_A

(t)]

= 0.

(31)

t-a

b-t

(t - a)(b - t)(c - t)

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция Ω₁(x) обладает свойством

Ω₁(x)A(x)

dΩ₁(x)

(x - a)(b - x)(c - x)

использовав которое, получим

∫

Ω₁(t)A(t)dt

dΩ₁(t)

= -Ω₁(x) + Ω₁(τ).

(t - a)(b - t)(c - t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

7^∗

1254

РАДЖАБОВ, РАДЖАБОВА

Тогда

∫x

∫

A(τ)f(τ) dτ

Ω₁(t)A(t)dt

J (x) =

Ω₁(τ)(τ - a)(b - τ)(c - τ)

(t - a)(b - t)(c - t)

∫x

[

]

A(τ)f(τ) dτ

A(τ)

Ω₁(x)

[Ω₁(τ) - Ω₁(x)]

f (τ) dτ.

Ω₁(τ)(τ - a)(b - τ)(c - τ)

(τ - a)(b - τ)(c - τ)

Ω₁(τ)

На основе полученных равенств для выражения (31) запишем равенство

∫c

∫

Ω₁(x)

A(t)f(t) dt

A(τ)f(τ) dτ

Ω₁(t) (t - a)(b - t)(c - t)

(t - a)(b - t)(c - t)

(τ - a)(b - τ)(c - τ)

∫x

Ω₁(x)

A(τ)f(τ) dτ

= 0.

Ω₁(τ) (τ - a)(b - τ)(c - τ)

При A(c-0) > 0 частное решение вида (30) существует, если функция A(x) в окрестности

точки x = c - 0 удовлетворяет условию (29), а функция f(x) ∈ C(Γ) удовлетворяет условию

f (c - 0) = 0 с асимптотическим поведением

A(c - 0)

f (x) = o[(c - x)γ4 ], γ₄ >

при x → c - 0.

(32)

(c - a)(b - c)

Далее, добавляя частное решение неоднородного уравнения (27) (функцию Ω₂(x)) к общему

решению однородного интегрального уравнения (27), найдём общее решение неоднородного

уравнения (27):

ϕ(x) = c₁Ω₁(x) + M-1(f(x)).

(33)

На основе приведённых выше рассуждений справедлива

Теорема 5. Пусть в интегральном уравнении (27) функция A(x) ∈ C(Γ₁) имеет в точке

x = c разрыв первого рода, пусть A(c - 0) > 0 и в окрестности точки x = c - 0 выпол-

няется условие (29). Пусть функция f(x) ∈ C(Γ₁) удовлетворяет условию f(c - 0) = 0 с

асимптотическим поведением (32). Тогда интегральное уравнение (27) в классе C(Γ₁) всегда

разрешимо, а его общее решение задаётся формулой (33), где c₁ - произвольная постоянная.

Пусть теперь A(c - 0) < 0. Из представления (33) следует, что если в этом случае суще-

ствует решение интегрального уравнения (27), то оно будет выражаться равенством (33) при

c₁ = 0:

ϕ(x) = M-1(f(x)).

(34)

Решение (34) существует, если f(x) ∈ C(Γ₁) и f(c - 0) = 0 с асимптотическим поведением

f (x) = o[(c - x)^ε], ε > 0, при x → c - 0.

(35)

Следовательно, справедлива

Теорема 6. Пусть в интегральном уравнении (27) функция A(x) удовлетворяет всем

условиям теоремы 5, кроме условия A(c - 0) > 0. Пусть A(c - 0) < 0, а функция f(x) ∈

∈ C(Γ₁) удовлетворяет условию f(c - 0) = 0 с асимптотическим поведением (35). Тогда

интегральное уравнение (27) в классе C(Γ₁) имеет единственное решение, которое выража-

ется равенством

∫x

{[(

x-a

⁾⁽c - t)]1/(c-a)[(b - x⁾⁽c - t)]1/(b-c)}|A(c-0)|/(b-a)

ϕ(x) = f(x) -

c-x t-a

c-x b-t

A(t)f(t) dt

× exp[W-A (t) - W-A (x)]

≡ M-1 [f(x)].

(t - a)(b - t)(c - t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ

1255

Замечание 4. Решение вида (33) в точке x = c - 0 обращается в нуль с асимптотическим

поведением

ϕ(x) = o[(c - x)A(c-0)/((c-a)(b-c))] при x → c - 0,

а в точке x = a обращается в бесконечность с асимптотическим поведением

ϕ(x) = O[(x - a)-A(c-0)/((c-a)(b-c))] при x → a + 0.

Замечание 5. Решение вида (33) обладает свойством

[ϕ(x)(c - x)-A(c-0)/((c-a)(b-c))]x=c-0 = [(c - a)-1/(c-a)(b - c)-1/(b-c)]A(c-0)/(b-a)c₁.

(36)

Интегральное представление (33) и свойство (36) дают возможность для интегрального

уравнения (27) ставить и решать следующую задачу.

Задача N₁. Требуется найти решение интегрального уравнения (27) из класса C(Γ₁) при

A(c - 0) > 0, удовлетворяющее граничному условию

[ϕ(x)(c - x)-A(c-0)/((c-a)(b-c))]x=c-0 = E₃,

(37)

где E₃ - заданная постоянная.

Решение задачи N₁. Пусть выполнены условия теоремы 5. Используя интегральное

представление (33), свойство (36) и условие (37), находим

[(c - a)-1/(c-a)(b - c)-1/(b-c)]A(c-0)/(b-a)c₁ = E₃.

Отсюда

c₁ = [(c - a)1/(c-a)(b - c)1/(b-c)]A(c-0)/(b-a)E₃.

Подставив последнее выражение в интегральное представление (33), получим решение задачи

N₁ в виде

ϕ(x) = Ω₁(x)[(c - a)1/(c-a)(b - c)1/(b-c)]A(c-0)/(b-a)E₃ + M₁[f(x)].

(38)

Итак, доказана

Теорема 7. Пусть выполнены все условия теоремы 5. Тогда задача N₁ имеет единствен-

ное решение, которое определяется равенством (38).

Теперь найдём решение интегрального уравнения (28). Непосредственной проверкой можно

убедиться в том, что функция вида

)1/(b-c)]|A(c+0)|/(b-a)

^[(x - c)1/(c-a)(x - c

Ω₃(x) = exp[-W+A(x)]

(39)

x-a

b-x

где

∫x

A(t) - A(c + 0)

W+A(x) =

dt,

(t - a)(b - t)(t - c)

при A(c + 0) < 0 будет решением однородного интегрального уравнения (28). Действительно,

имеем

[

][(

)1/(c-a)(

)1/(b-c)]|A(c+0)|/(b-a)

A(x) - A(c + 0)

x-c

exp[-W+A(x)] -

(x - a)(b - x)(x - c)

x-a

b-x

)1/(b-c)]|A(c+0)|/(b-a)

|A(c + 0)|

^[(x - c)1/(c-a)(x - c

+ exp[-W+A (x)]

(x - a)(b - x)(x - c) x - a

b-x

A(x) exp[-W_A

(x)]

^[(x - c)1/(c-a)(x - c)1/(b-c)]|A(c+0)|/(b-a)

A(x)

Ω₃(x).

(x - a)(b - x)(x - c) x - a

b-x

(x-a)(b-x)(x-c)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1256

РАДЖАБОВ, РАДЖАБОВА

Следовательно, справедливо равенство

dΩ₃(x)

A(x)

Ω₃(x).

(40)

(x - a)(b - x)(x - c)

Подставив значение функции Ω₃(x) из формулы (39) в однородное уравнение (28), с учётом

(40) получим

∫c

dΩ₂(t)

Ω₂(x) +

или

Ω₂(x) + Ω₂(c) - Ω₂(x) = 0.

Из равенства (39) следует, что Ω₃(c) = 0.

Далее докажем, что функция

∫x

{[(

x-c

⁾⁽t - a)]1/(c-a)[(x - c⁾⁽b - t)]1/(b-c)}|A(c+0)|/(b-a)

Ω₄(x) = f(x) +

x-a t-c

b-x t-c

A(t)f(t) dt

× exp[W+A (t) - W+A (x)]

≡ M+1 [f(x)]

(t - a)(b - t)(t - c)

будет частным решением неоднородного уравнения (28). Для этого представим её в виде

∫x

Ω₃(x)

A(t)f(t) dt

Ω₄(x) = f(x) +

Ω₃(t) (t - a)(b - t)(c - t)

и подставим в неоднородное интегральное уравнение (28). После некоторых преобразований

получим

∫

Ω₂(x)

A(t)f(t) dt

A(τ)f(τ) dτ

Ω₂(t) (t - a)(b - t)(t - c)

(t - a)(b - t)(t - c)

Ω₂(τ)(τ - a)(b - τ)(τ - c)

∫x

Ω₂(t)A(t)dt

= 0.

(41)

(t - a)(b - t)(t - c)

На основании соотношения (40) будем иметь равенство

∫

Ω₂(t)A(t)dt

dΩ₂(t)

= Ω₂(x) - Ω₂(τ),

(t - a)(b - t)(t - c)

подстановка которого в (41) даёт

∫

Ω₂(x)

A(t)f(t) dt

Ω₂(t) (t - a)(b - t)(t - c)

(t - a)(b - t)(t - c)

∫x

A(t)f(t) dt

[Ω₂(x) - Ω₂(t)]

≡ 0.

Ω₂(t)(t - a)(b - t)(t - c)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ

1257

Следовательно, функция Ω₄(x) является частным решением неоднородного интегрального

уравнения (28).

Тогда общее решение неоднородного уравнения (28) выражается формулой

ϕ(x) = c₂Ω₃(x) + M⁺¹(f(x)).

(42)

В случае A(c + 0) < 0 решение вида (42) интегрального уравнения (28) существует при

выполнении следующих условий:

a) A(x) ∈ C(Γ₂) и удовлетворяет неравенству

|A(x) - A(c + 0)| ≤ H₂|x - c|^ε(b - x)^ε, ε > 0;

(43)

b) f(x) ∈ C(Γ₂), f(c + 0) = 0 с асимптотическим поведением

|A(c + 0)|

f (x) = o[(x - c)γ5 ], γ₅ >

при x → c + 0.

(c - a)(b - c)

На основе приведённых выше рассуждений справедлива

Теорема 8. Пусть в интегральном уравнении (35) функция A(x) ∈ C(Γ₂) удовлетворяет

условию A(c + 0) < 0, имеет в точке x = c разрыв первого рода, удовлетворяет в её правой

полуокрестности условию (43). Тогда интегральное уравнение (28) всегда разрешимо в классе

C(Γ₂), а его общее решение задаётся равенством (42), где c₂ - произвольная постоянная.

Из интегрального представления (42) следует, что при A(c + 0) > 0 решение уравнения

(28) существует при c₂ = 0 и выражается равенством

ϕ(x) = M⁺¹(f(x)),

если выполнены условия f(x) ∈ C(Γ₂) и f(c + 0) = 0 с асимптотическим поведением

f (x) = o[(x - c)^ε], ε > 0, при x → c + 0.

(44)

Следовательно, справедлива

Теорема 9. Пусть в интегральном уравнении (28) функция A(x) удовлетворяет всем

условиям теоремы 8, кроме условия A(c + 0) < 0. Пусть A(c + 0) > 0, а функция f(x) ∈

∈ C(Γ₂) удовлетворяет условию f(c + 0) = 0 с асимптотическим поведением (44). Тогда

единственное решение интегрального уравнения (28) выражается равенством

∫x

{[(

x-a

⁾⁽t - c)]1/(c-a)[(b - x⁾⁽t - c)]1/(b-c)}A(c+0)/(b-a)

ϕ(x) = f(x) +

x-c t-a

x-c b-t

A(t)f(t) dt

× exp[W+A(t) - W+A(x)]

≡ M+1 [f(x)].

(45)

(t - a)(b - t)(t - c)

Замечание 6. Решение вида (42) в точке x = c + 0 обращается в нуль с асимптотическим

поведением

ϕ(x) = o[(x - c)|A(c+0)|/((c-a)(b-c))] при x → c + 0.

Замечание 7. Умножив обе части равенства (42) на функцию [(x - c)A(c+0)/((c-a)(b-c))],

после перейдя к пределу при x = c + 0, получим

[ϕ(x)(x - c)A(c+0)/((c-a)(b-c))]x→c+0 = [(c - a)1/(c-a)(b - c)1/(b-c)]A(c+0)/(b-a)c₂.

(46)

Интегральное представление (42) и свойство (46) дают возможность для интегрального

уравнения (28) ставить и исследовать граничную задачу типа Коши.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1258

РАДЖАБОВ, РАДЖАБОВА

Задача N₂. Требуется найти решение интегрального уравнения (28) из класса C(Γ₂) при

A(c + 0) < 0, удовлетворяющее граничному условию

[ϕ(x)(x - c)A(c+0)/((c-a)(b-c))]x=c+0 = E₄,

(47)

где E₄ - заданная постоянная.

Решение задачи N₂. Пусть выполнены условия теоремы 8. Использовав интегральное

представление (42), свойство (46) и условие (47), получим

[(c - a)1/(c-a)(b - c)1/(b-c)]A(c+0)/(b-a)c₂ = E₄.

Следовательно,

c₂ = [(c - a)1/(c-a)(b - c)1/(b-c)]-A(c+0)/(b-a)E₄.

Подставив полученное значение c₂ в интегральное представление (42), найдём решение задачи

N₂ в виде

ϕ(x) = Ω₂(x)[(c - a)1/(c-a)(b - c)1/(b-c)]-A(c+0)/(b-a)E₄ + M₁[f(x)].

(48)

Теорема 10. Пусть в интегральном уравнении (28) функции A(x) и f(x) удовлетво-

ряют условиям теоремы 8. Тогда задача N₂ имеет единственное решение, выражающееся

равенством (48).

Пусть в интегральном уравнении (27) выполняются условия A(x) ∈ C(Γ) и A(c - 0) =

= A(c + 0) = A(c), A(c) > 0. Тогда, согласно теореме 5, решение уравнения (4) выражается

формулой (33) при x ∈ Γ₁. Если x ∈ Γ₂, то решение уравнения (26) выражается равенством

(45). Из приведённых выше рассуждений следует, что решение интегрального уравнения (26)

при A(c) > 0 имеет вид

{

Ω₁(x)c₁ + M-1(f(x)) при x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

(49)

M⁺¹(f(x))

при x ∈ Γ₂.

Таким образом, справедливы следующие утверждения.

Теорема 11. Пусть в интегральном уравнении (26) функции A(x) и f(x) удовлетворя-

ют условиям теорем 5 и 9 и условию

A(c - 0) = A(c + 0) = A(c), A(c) > 0.

Тогда любое решение уравнения (26) из класса C(Γ) выражается равенством (49).

В случае когда A(c - 0) = A(c + 0) = A(c), A(c) < 0, из теоремы 8 следует, что при

x ∈ Γ₂ решение интегрального уравнения (28) определяется формулой ϕ(x) = Ω₃(x)c₂ +

+M⁺¹(f(x)), а при x ∈ Γ₁ - равенством ϕ(x) = M-1(f(x)). Следовательно, при A(c) < 0

решение интегрального уравнения (26)

{

M-1(f(x))

при x ∈ Γ₁,

ϕ(x) =

(50)

Ω₃(x)c₂ + M⁺¹(f(x)) при x ∈ Γ₂.

Теорема 12. Пусть в интегральном уравнении (26) функции A(x) и f(x) удовлетворя-

ют условиям теорем 6 и 8, а также

A(c - 0) = A(c + 0) = A(c), A(c) < 0.

Тогда любое решение интегрального уравнения (26) из класса C(Γ) выражается равенством

(50), где c₂ - произвольная постоянная.

Авторы выражают благодарность проф. И.В. Асташовой за ценные советы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ

1259

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Довгий С.А., Лифанов И.К., Черний Д.И. Метод сингулярных интегральных уравнений и вычис-

лительные технологии. Киев, 2016.

2. Солдатов А.П., Урбанович Т.М. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром

Коши в исключительном случае // Науч. ведомости. Сер. Математика. Физика. 2011. № 17 (112).

С. 165-171.

3. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 2018.

4. Расолько Г.А. Численное решение некоторых сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши

методом ортогональных многочленов. Ч. 1. Алгоритмы в MarhCad. Минск, 2017.

5. Плещинский Н.Б. Сингулярные интегральные уравнения со сложной особенностью в ядре. Казань,

2018.

6. Раджабов Н. Об одном интегральном уравнении вольтерровского типа // Докл. РАН. 2002. Т. 383.

№ 3. С. 314-317.

7. Rajabov N., Ronto M., Rajabova L.N. On some two dimensional Volterra type linear integral equation

with super-singularity // Math. Not. Miscolc. 2003. V. 4. № 1. P. 65-76.

8. Раджабов Н., Раджабова Л.Н. Исследование одного класса двумерного интегрального уравнения с

фиксированными сингулярными ядрами, связанное с гиперболическим уравнением // Докл. РАН.

2003. Т. 391. № 1. С. 20-22.

9. Раджабов Н. Интегральные уравнения типов Вольтерры с фиксированными граничными и внут-

ренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. Душанбе, 2007.

10. Rajabov N. Volterra Type Integral Equation with Boundary and Interior Fixed Singularity and Super-

Singularity Kernels and Their Application. Dushanbe, 2010.

11. Раджабов Н. Переопределённая линейная система интегральных уравнений и сингулярные, сверх-

сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерры третьего рода с логарифмическими и сверх-

сингулярными ядрами и их приложения. Душанбе, 2021.

12. Rajabov N., Saidov S. About new class of Volterra type integral equation with two boundary singularity

in kernels // Proc. Intern. Conf. on Pure Mathematics - Applied Mathematics. March 15-17. Venice,

2014. P. 214-217.

13. Саидов С.А. К теории одного класса интегральных уравнений с двумя граничными сингулярными

точками // Вестн. Таджикского нац. ун-та. Cер. естеств. наук. 2017. № 8. С. 31-34.

14. Раджабов Н., Раджабова Л.Н., Саидов С. А. Интегральные представления и граничные задачи для

одного класса интегральных уравнений типа Вольтерры с двумя граничными сингулярными точ-

ками // Матер. Междунар. науч.-теор. конф. “Современные задачи математики и их приложения”,

посвящ. 70-летию образования Таджикского нац. ун-та, 80-летию акад. Н. Раджабова. 25-26 сен-

тября 2018 г. Душанбе, 2018. С. 176-181.

Таджикский национальный университет

Поступила в редакцию 08.06.2023 г.

После доработки 08.06.2023 г.

Принята к публикации 21.08.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023