ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1266-1282
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.5
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ
МИНИМИЗАЦИИ ВЕСА ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ПРИ ЗАДАННОЙ ЧАСТОТЕ КОЛЕБАНИЙ
© 2023 г. М. О. Арабян
Рассматриваются пологие упругие оболочки с заданной круговой границей. Ищется осе-
симметричная форма оболочки, которая минимизирует вес при заданной основной частоте
колебаний оболочки. С помощью полученной формулы для линейной части приращения
частотного функционала оценивается кратность минимальной собственной частоты коле-
баний оболочки. Устанавливается также дифференцируемость по Фреше частотного функ-
ционала и получаются условия оптимальности минимизации веса оболочки при заданной
основной частоте колебаний.
DOI: 10.31857/S037406412309011X, EDN: WPFGKJ
Введение. Проблемы оптимизации конструкции в последнее время привлекают большое
внимание, их решению посвящено значительное число работ. Существенное развитие теория
оптимального проектирования получила в связи с исследованиями задачи отыскания форм
сжатого стержня (колонны), обладающего минимальным весом и выдерживающего без потери
устойчивости заданную нагрузку. Эта задача была поставлена Ж. Лагранжем [1].
Выбор функционалов, рассмотренных при оптимальном проектировании, является частью
постановок задач оптимизации. На этот выбор влияют многие обстоятельства: основное на-
значение конструкции, условия эксплуатации, свойства модели.
Вес - одна из основных характеристик конструкции, и поэтому в большинстве работ по
оптимальному проектированию этот функционал либо рассматривается в качестве оптимизи-
руемого критерия качества, либо фигурирует среди других принимаемых ограничений.
Наиболее типичными в теории оптимального проектирования сжатых конструкций явля-
ются задачи максимизации критического значения ω0 (ω0 - минимальное из собственных зна-
чений) при заданном весе конструкции и задачи минимизации веса при ограничении ω0 ≥ μ,
где μ - заданное число. Заметим, что в отличие от динамических задач оптимального проек-
тирования, в которых ставятся ограничения не только на фундаментальную частоту, но и на
высшие частоты, учёт в задачах оптимального проектирования ограничений по устойчивости
основан на рассмотрении только минимальных собственных значений.
В данной работе рассматриваются пологие упругие оболочки с заданной круговой грани-
цей. Наша цель - определить форму осесимметричной оболочки, которая имеет минимальный
общий вес для заданной основной частоты пологой оболочки.
Рассматривается задача оптимального управления, описываемая задачей на собственные
значения для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, неко-
торые из них неинтегрируемы вблизи нуля. Для решения этой проблемы в статье [2] были
введены специальные весовые пространства, затем были установлены теоремы вложения и
свойства функций весовых пространств, а также существование решений краевой задачи и
задачи на собственные значения.
В настоящей работе изучена дифференцируемость по Фреше частотного функционала и
получены необходимые условия в оптимизационной задаче, поэтому сначала определена крат-
ность собственного значения. В дальнейшем, получив липшицеву непрерывность задачи на
собственные значения и формулу градиента частотного функционала, методом Лагранжа най-
дены необходимые условия оптимальности.
В таких задачах оптимального управления кратность собственного значения не опреде-
ляется, а рассматривается только как гипотеза [3-5]. Отметим также, что подобные задачи
изучаются в работах [6-17].
1266
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1267
1. Основные обозначения и постановка задачи. Рассмотрим задачу оптимизации из
теории тонких оболочек в полярных координатах. При определённых предположениях попе-
речные колебания оболочки вращения описываются системой двух дифференциальных урав-
нений [18-20].
Обозначим W = W (r), ϕ = ϕ(r). Переменная r ∈ [0, b] указывает текущий радиус;
W (r) - амплитуда перемещения точек серединной поверхности в осевом направлении; ϕ(r) -
функция напряжения, характеризующая тангенциальное перемещение.
Строгая постановка задачи: найти все пары (λ, u), где λ ∈ R и u = (W, ϕ), такие, что
((
)
)′
D
(Lu)1 ≡ (rDW′′)′′ + νD′ -
W′
+ (f′ϕ)′ = λrhρW,
(1)
r
)
(a
(Lu)2 ≡ (arϕ′)′ -
+ νa′ ϕ - f′W′ = 0.
(2)
r
Здесь величина f(r) определяет форму серединной поверхности оболочки вращения; ρ(r) >
> 0 - удельный вес материала оболочки; h(r) - заданная толщина оболочки, удовлетворяющая
условию
0 < h0 ≤ h(r) ≤ h1.
(3)
Наконец, D(r) - жёсткость на изгиб, D(r) ≥ D0 > 0, определяемая как
Eh3(r)
1
D(r) =
,
a(r) =
,
(4)
12(1 - ν2)
Eh(r)
где E > 0 - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона, -1 < ν < 0.5.
Задача на собственные значения представляет собой систему двух уравнений (1) и (2),
дополненную следующими граничными условиями:
(
(
)
D
)W′
W′|r=0 = (rDW′′)′ + νD′ -
= 0,
(5)
r
r
r=0
W|r=b = W′|r=b = 0,
(6)
a(νϕ - rϕ′)|r=0 = a(νϕ - rϕ′)|r=b = 0,
(7)
где b > 0 - константа.
Обозначим через λ1 = w2(f′) минимальное собственное значение задачи (1)-(7), где
w(f′) - минимальная частота колебаний оболочки. Отметим, что граничные условия (5)-(7)
взяты для случая закреплённого края при r = b. Далее для шарнирно-опертого края условия
(6) имеют вид
(
)
W′
W|r=b = -D W′′ + ν
= 0.
(8)
r
r=b
Таким образом, у нас есть две задачи на собственные значения: (1)-(7) и (1)-(5), (7), (8).
Мы исследуем первую, вторая задача рассматривается аналогично.
Рассмотрим стандартную задачу минимизации веса оболочки
∫b
√
J (f′) =
2πrhρ
1 + (f′(r))2 dr → inf
(9)
0
при условии
λ1(f′) = ω2(f′) = ω20.
(10)
Пусть p(r) = f′(r) - фиксированный элемент управления. Чтобы изучить проблему соб-
ственных значений, нам нужно в первую очередь изучить краевую задачу
(Lu)1 = s1,
(11)
(Lu)2 = s2
(12)
с граничными условиями (5)-(7).
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1268
АРАБЯН
Первый вопрос, который возникает при изучении задачи (1)-(7), (9), (10), как решить за-
дачу (1)-(7) для фиксированного управления p(r). На самом деле некоторые коэффициенты
системы не интегрируемы на отрезке [0, b], поэтому в п. 2 вводятся конкретные весовые прост-
ранства (см. [2]).
2. Весовые пространства, обобщённое решение и некоторые вспомогательные
результаты. Введём весовые гильбертовы пространства
H1[0,b],
H2[0,b] со следующими,
соответственно, скалярными произведениями:
∫b
(
)
∫
b
(
)
uv
u′v′
〈u, v〉̃H1 =
ru′v′ +
dr,
〈u, v〉̃H2 =
ru′′v′′ +
+ uv dr,
r
r
0
0
где u, v, u′, v′, u′′, v′′ ∈ L1,loc(0, b). Соответствующие нормы определяются как обычно.
Приведём следующий результат о теореме вложений.
Теорема 1 [2]. Любая функция u ∈H1[0, b] может быть отождествлена с непрерывной
на отрезке [0,b] функцией и любая функция v ∈H2[0,b] с непрерывно дифференцируемой на
[0, b] функцией, удовлетворяющими следующим оценкам и условиям:
max
(13)
|u| ≤ c1∥u∥̃H1[0,b],u(0)=0,max[0,b](|v′|+|v|)≤c2∥v∥ H2[0,b],v′(0)=0.
[0,b]
Теперь мы можем приступить к исследованию задачи на собственные значения (1)-(7).
Пусть V
- следующее линейное подпространство пространства
H1 × H2:
V = {v : v = (v1,v2) ∈H1 × H2, v2(b) = v′2(b) = 0}.
Тип механических граничных условий, включённых в определение V, заключается в том, что
оболочка зажата по всей границе.
На пространстве V × V рассмотрим билинейную форму
∫b
[
]
u′2v′2
u1v1
B(u, v) =
rDu′′2v′′2 +(D -νD′r)
-pu1v′2 +aru′1v′1 +(a+νa′r)
+pu′
v1
dr - aνu1v1|b0,
2
r
r
0
порождённую дифференциальным оператором и граничными условиями задачи (5)-(7).
В дальнейшем нам понадобится следующее
Определение. Для любой s = (s1,s2), s1,s2 ∈ L2[0,b], функцию u ∈ V назовём обоб-
щённым решением задачи (5)-(7), (11), (12), если выполняется соотношение
B(u, v) = 〈s1, v2〉L2 + 〈s2, v1〉L2 , v = (v1, v2) ∈ V.
(14)
Как показано в [2, теорема 5], билинейная форма B(u, v) положительно определена и огра-
ничена, если два из указанных ниже условий 1)-3) выполнены:
1) D(r), D(r) - νD′(r)r, a′(r) ∈ L∞[0, b], p ∈ L1[0, b];
2) D(r) ≥ D0 > 0, D(r) - νD′(r)r ≥ D10 > 0, a(r) ≥ a0 > 0;
3) t(r) = h(r)ρ(r) ∈ L∞[0, b], t(r) ≥ t0.
Далее представим результат о существовании и единственности решения краевой зада-
чи (14).
Теорема 2 [2]. Предположим, что два из указанных выше условий 1)-3) выполнены. Тогда
для любой s = (s1, s2)т, s1, s2 ∈ L2[0, b], задача (14) имеет единственное решение u ∈ V.
Кроме того, для решения u справедлива оценка
∥u∥V ≤ c1(∥s1∥2L
+ ∥s2∥2 )1/2.L
2
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1269
Возьмём любую функцию ψ ∈ L2[0, b]. Тогда условие
√
B(u, v) = 〈
rtψ,v2〉L2 , v ∈ V,
√
получаемое из (14) для s = (
rtψ,0)т, определяет функцию u ∈ V. Таким образом определён
оператор G : ψ ∈ L2[0, b] → u = Gψ ∈ V и верна оценка
√
rtψ∥L2.
(15)
∥u∥̃H1× H2=∥Gψ∥ H1× H2≤c1∥
√
Далее показано, что оператор F1ψ =
rt(Gψ)2, отображающий L2[0,b] на L2[0,b], ком-
пактный и самосопряжённый [2].
Легко видеть, что если μ является собственным числом оператора F1, а ψ - соответству-
ющая собственная функция, т.е. F1ψ = μψ, то λ = 1/μ и u = Gψ - собственное значение и
собственная функция, соответственно, задачи
B(u, v) = λ〈rtu2, v2〉L2 , v ∈ V.
(16)
Действительно,
√
1
B(u, v) = B(Gψ, v) = 〈
rtψ,v2〉L2 =
〈rt(Gψ)2, v2〉L2 = λ〈rtu2, v2〉L2 , v ∈ V.
μ
Таким же образом можно доказать, что если λ - со√твенное число, а u - соответствующая
собственная функция задачи (16), то μ = 1/λ и ψ =
rtu2 являются собственным числом и
собственной функцией оператора F1 соответственно.
Как показано в работе [2, теорема 6], если выполняются все условия 1)-3), то:
а) существует последовательность положительных собственных значений λ1, λ2, . . . , λk,
... задачи (16) с λk → +∞ при k → ∞;
б) каждому собственному значению λk соответствует только конечное число линейных
независимых собственных функций из пространства V.
3. О некоторых свойствах решений задачи на собственные значения. Теперь изу-
чим некоторые свойства решений следующей задачи:
B(u, v; p) = λ〈rtu2, v2〉L2 , v ∈ V.
(17)
Для нашего исследования важна следующая лемма. Она будет использована для получения
однократности минимального собственного значения λ1(p).
Лемма 1. Допустим, что функции D(r), a(r), t(r) удовлетворяют условиям 1)-3) и
p(r), δp(r) ∈ L1[0, b]. Далее пусть u(p),
u(p) - две линейно независимые собственные функ-
ции, соответствующие собственному значению λ1(p) задачи (17). Тогда верно следующее
равенство:
(u′2(p)u1(p) - u′2(p)u1(p))|r = 0, r ∈ (0, b).
(18)
Доказательство. Из соотношения (17) при v = (v1, 0)т имеем
∫
b
[
]
u1v1
aru′1v′1 + (a + νa′r)
+ pu′
v1
dr - aνu1v1|b0 = 0, v ∈ V.
(19)
2
r
0
Теперь докажем, что п.в. на (0, b) выполняется соотношение
(pu′2(p)u1(p) - pu′2(p)u1(p))|r = 0.
(20)
Пусть r - произвольная точка из интервала (0, b).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
8∗
1270
АРАБЯН
Шаг 1. Начнём со случая, когда u1(p)|r = 0, u1(p)|r = 0. Рассмотрим следующие функции:
{
{
u1(p)|r, r ∈ [0,r],
u1(p)|r, r ∈ [0,r],
x=
y=
0,
r ∈ (r,b],
0,
r ∈ (r,b].
Заметим, что эти функции непрерывные, так как u1(p) и u1(p) непрерывные.
Теперь вычтем соотношение (19) при u = u(p), v1 = y из того же соотношения с u = u(p),
v1 = x и получим
∫
r
[pu′2(p)u1(p) - pu′2(p)u1(p)] dr = 0, r ∈ (0, b].
(21)
0
Соотношение (20) доказано в [21, с. 331].
Шаг 2. Теперь рассмотрим общий случай. Без ограничения общности можно считать, что
одна из функций u1(p),
u1(p) обращается в нуль при r, т.е. u1(p)|r = 0, u1(p)|r = 0. Дейст-
вительно, для этого мы можем заменить u(p) нетривиальной линейной комбинацией c1u(p) +
+ c2u(p). Проделаем указанную выше операцию с функцией y, заменив её на функцию
⎧
⎨u1(p)|r,
r ∈ [0,r],
z=
u1(p)|r(r + δ - r)/δ,
r ∈ (r,r + δ],
⎩0,
r ∈ (r + δ,b].
Тогда получим
r
∫
[pu′2(p)u1(p) - pu′2(p)u1(p)] dr -
0
r+δ
[
]
ar
r + δ - r u1(p)
r+δ-r
-
-
u′1(p)u1(p)
+ (a + νa′r)
u1(p)
+ pu′2(p)
u1(p)
dr = 0.
δ
δ
r
δ
r
r
r
r
Оценим в этом соотношении три слагаемых второго интеграла, начиная со второго и тре-
тьего.
Ввиду абсолютной непрерывности интеграла Лебега получаем, что
∫
∫
r + δ - r u1(p)
r+δ-r
(a + νa′r)
u1(p)
dr → 0,
pu′2(p)
u1(p)
r→0
d
δ
r
δ
r
r
r
r
при δ → 0.
Действительно, подынтегральные выражения здесь интегрируемы по Лебегу, поскольку
0 ≤ (r + δ - r)/δ ≤ 1 для любого r ∈ (r,r + δ), r > 0, а остальные функции непрерывны.
Далее оценим первое слагаемое во втором интеграле данного соотношения. С учётом нера-
венства Коши-Буняковского имеем, что
∫
∫
1
1
I(p, r, δ) :=
aru′1(p)u1(p)|r dr
z|r - z|r+δ)
aru′1(p) dr
=
≤
δ
δ(
r
r
∫
∫
)1/2
≤ (z′)2 dr
(aru′1(p))2 dr
r
r
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1271
Отсюда в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, заключаем, что I(p, r, δ) → 0
при δ → 0.
Таким образом, мы снова получили соотношение (21), а это означает, что равенство (20)
доказано.
Далее докажем соотношение (18). Предположим противное, т.е. что для некоторой точки
r0 ∈ (0,b) имеем (u′2(p)u1(p)-u′2(p)u1(p))|r0 = 0. Поскольку функция непрерывна, существует
интервал (r0 - α, r0 + α) такой, что
(u′2(p)u1(p) - u′2(p)u1(p))|r = 0, r ∈ (r0 - α, r0 + α).
(22)
Отсюда и из (20) получаем, что п.в.
p(r) = 0, r ∈ (r0 - α, r0).
(23)
Далее, заменив v на z в (19) и устремив δ к нулю, имеем
∫
r
[
]
(u1(p))2
ar(u′1(p))2 + (a + νa′r)
+ pu′2(p)u1(p) dr = 0, r ∈ (0,b].
(24)
r
0
Но тогда, вычитая соотношение (24) при r = r0 -α из того же самого соотношения при r = r0,
находим
∫
r0
(
)
∫
r0
(u1(p))2
ar(u′1(p))2 + (a + νa′r)
dr = -
pu′2(p)u1(p)dr.
(25)
r
r0-α
r0-α
Теперь проинтегрируем по частям:
r0
r0
∫
∫
νa′(u1(p))2 dr = νa(u1)2|r0r0
-α
-2
νau′1(p)u1(p) dr.
r0-α
r0-α
Далее без ограничения общности можно считать, что u1(p)|r0-α = 0. Тогда с учётом соотно-
шений (23), (25) и a(r) ≥ a0 ≥ 0 получаем, что
∫r0
(
)
∫
r0
(u1(p))2
(1 - ν)a0
r(u′1(p))2 +
dr ≤
pu′2(p)u1(p)dr = 0.
(26)
r
r0-α
r0-α
Отсюда имеем
u1(p)|r = 0, r ∈ (r0 - α,r0).
(27)
Таким же образом можно доказать, что u1(p)|r = 0 для любого r ∈ (r0 - α, r0).
Но тогда с учётом равенства (27) (u′2(p)u1(p)- u′2(p)u1(p))|r = 0 для любого r ∈ (r0 -α, r0),
что противоречит (22).
Следовательно, соотношение (18) доказано. Лемма доказана.
Теперь докажем следующие две леммы и следствие.
Имеем, что u(p) = (u1(p), u2(p)) удовлетворяет соотношению (17). Далее пусть ri ∈ [0, b),
i ∈ N, - нули функции u1(p). Так как u(p) ∈ V, то u1(p)|r=0 = 0, а это означает, что r1 = 0.
Обозначим b = rN+1.
Лемма 2. Пусть u(p) - собственная функция, соответствующая собственному значе-
нию λ1(p) задачи (17). Пусть для некоторых i ∈ N выполняется условие
u1(p)|r = 0, r ∈ (ri,ri+1).
Тогда для этих же i имеем
u′2(p)|r = 0, r ∈ (ri,ri+1).
(28)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1272
АРАБЯН
Доказательство. Докажем от противного. Допустим, что соотношение (28) не выполня-
ется. Тогда существует число r ∈ (r1, r2) такое, что u′2(p)|r = 0.
Далее аналогично (26) можно доказать, что верно неравенство
r+δ
(
)
∫
(u1(p))2
(1 - ν)a0
r(u′1(p))2 +
dr ≤ - pu′2(p)u1(p) dr.
r
r-δ
r-δ
Разделив это соотношение на 2δ и устремив δ к нулю, получим
(u1(p))2|r
a(u1(p))2|r
(1 - ν)a0
≤
≤ -pu′2(p)u1(p)|r = 0.
r
r
Отсюда имеем u1(p)|r = 0, что противоречит нашему предположению. Таким образом, соот-
ношение (28) справедливо. Лемма доказана.
Лемма 3. Предположим, что выполнены условия леммы 2. Тогда существуют одновре-
менно не равные нулю константы di, i ∈ N, такие, что справедливы соотношения
pu′2(p)|r = dipu′2(p)|r,
u1(p)|r = diu1(p)|r, r ∈ [ri,ri+1].
Доказательство. Рассмотрим случай i = 1. Допустим, что u1(p)|r = 0 для любого r ∈
∈ (r1, r2). На основании леммы 2 также получаем, что u′2(p)|r = 0 для любого r ∈ (r1, r2).
Далее из равенства (18) имеем
u′2(p)
u1(p)
=
=: d1|r, r ∈ (r1,r2).
(29)
u′2(p)
u1(p)
r
r
Заменив u и v1 в (19) на u(p) и v02 соответственно, где
{
0,
r ∈ (r1,r2),
v02 =
d1u1(p)|r,
r ∈ (r1,r2),
с учётом (29) получим
∫
r2
[
]
(d1u1(p))2
ar(d1u1(p))′2 + (a + νa′r)
+ d21pu′2(p)u1(p) dr = 0.
(30)
r
r1
Теперь в соотношении (19) заменим v2 на v12, где
{
0,
r ∈ [r1,r2],
v12 =
d21u1(p)|r,
r ∈ [r1,r2],
и вычтем полученное равенство из соотношения (30). В результате будем иметь
r2
∫
ar(d′1u1(p))2 dr = 0.
r1
Поскольку u1(p) = 0 при r ∈ (r1, r2), заключаем, что (d1)′ = 0 для r ∈ (r1, r2). Отсюда
d1(r) ≡ d1 для r ∈ (r1,r2]. Аналогично можно доказать, что d2(r) ≡ d2 для любого r ∈
∈ (r2, r3].
Таким образом, для любого r ∈ (ri, ri+1), i = 1, 2, выполняются следующие соотношения:
u′2(p)|r = diu′2(p)|r,
u1p|r = diu1(p)|r.
(31)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1273
Теперь докажем это для r = ri, i = 1, 2. В силу непрерывности функций u1(p), u′2(p)
верно следующее:
u1(p)
u1(p)
= lim
lim
u1(p))
= diu1(p)|ri,
(32)
r→ri u1(p)
r→ri
ri
r
r
u′2(p)
u′2(p)
= lim
lim
u′2(p)
= diu′2(p)|ri.
(33)
r→ri u′2(p)
r→ri
ri
r
r
Из соотношений (31)-(33) получаем, что при i = 1, 2 верны равенства
u′2(p)|r = diu′2(p)|r,
u1(p)|r = diu1(p)|r
для любого r ∈ (ri, ri+1]. Лемма доказана.
Следствие. Пусть u(p),
u(p) - функции из формулировки леммы 1. Тогда существуют
константы c1, c2 такие, что |c1| + |c2| = 0 и
û1(p)|ri = 0,
û2(p)|ri = 0,
û′2(p)|ri = 0, i ∈ N,
û(p) = c1u(p) + c2u(p). Кроме того, число нулей N функции u1(p) на отрезке [0, b] не
превосходит кратности m собственного значения λ1(p), т.е. N ≤ m.
Доказательство. Из соотношения (17) при v = (0, v2)т имеем
∫
b
[
]
∫
b
u′2v′2
rDu′′2v′′2 + (D - νD′r)
- pu1v′
2
dr = λ1(p) rtu2v2 dr, v ∈ V.
(34)
r
0
0
Пусть r - любая точка из интервала (0, b). Построим функцию
⎧
⎨u2(p)|r,
r ∈ [0,r],
[(2(r - r)/δ + 1)u2(p)|r + (r - r)u′2(p)|r]((r + δ - r)/δ)2,
r ∈ (r,r + δ],
z=⎪⎩
0,
r ∈ (r + δ,b].
Заметим, что она непрерывно дифференцируема на отрезке [0, b] и z|b = z′|b = 0.
Далее в соотношении (34) заменим v на z и u на u(p). Устремив δ к нулю в полученном
соотношении, получим
∫
r
[
]
∫
r
(u′2(p))2
rD(u′′2(p))2 + (D - νD′r)
- pu′2(p)u1(p) dr = λ1(p) rt(u2(p))2 dr, r ∈ (0,b].
r
0
0
Теперь зафиксируем произвольное i = i0 ∈ N. Можно найти константы c1, c2 такие, что
|c1| + |c2| = 0 и
û2(p)|ri0 = (c1u2(p) + c2u2(p))|ri0 = 0. У нас также û1(p)|ri0 = c1u1(p)|
+
ri0
+c2u1(p)|
= 0.
ri0
Далее, вычитая соотношение (34) при r = ri0 - δ из того же самого соотношения при
r = ri0 + δ и заменяя u(p) на û(p), получаем
∫
[
]
∫
(û′2(p))2
rD(û′′2(p))2 + (D - νD′r)
- pû1(p)û′2(p) dr = λ1(p)
rt(û2(p))2 dr.
r
ri0 -δ
ri0 -δ
Разделив это равенство на 2δ и устремив δ к нулю, будем иметь
(û′2(p))2|ri0
ri0 D(û′′2(p))2|ri
+D10
= pû1(p)û′2(p)|ri
+ λ1(p)(û2(p))2|ri
(35)
0
0
0
ri0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1274
АРАБЯН
Отсюда в силу
û1(p)|ri0 = û2(p)|ri0
= 0 заключаем, что û′2(p)|
= 0. Таким образом,
ri0
имеем û1(p)|ri = û2(p)|ri = û′2(p)|ri = 0, i ∈ N.
Покажем, что N ≤ m. Сделаем это для m = 2. Докажем от противного, предположив, что
N = 3. Тогда можно построить три собственные функции ui(p), i = 1,2,3, соответствующие
собственному значению λ1(p):
{
û(p), r ∈ (ri, ri+1),
ui(p) =
0,
r ∈ (ri,ri+1),
причём по доказанному выше функции ui1(p), i = 1, 2, 3, непрерывны, а функции ui2(p), i =
= 1, 2, 3, непрерывно дифференцируемы. А это противоречит нашему предположению. Отсюда
заключаем, что N ≤ 2.
В общем случае таким же образом можно доказать, что число нулей функции u1(p) не
превосходит кратности λ1(p), т.е. m. Следствие доказано.
4. Некоторые известные и вспомогательные результаты. Теперь изучим дифферен-
циальные свойства функционала λ1(p) - минимального собственного значения задачи
B(u, v; p) = λ〈rtu2, v2〉L2 , v ∈ V.
Далее нам понадобятся следующие две леммы из статьи [22].
Лемма 4. Пусть μ = μ(p) - собственное число оператора F1(p) кратности m, а Γ -
окружность с центром в точке μ, причём окружность принадлежит множеству регуляр-
ных точек и не содержит других точек спектра оператора F1(p).
Для каждого 0 < ∥δp∥L2 ≤ 1 пусть μ1(p + δp), . . . , μm(p + δp), . . . представляет собой
последовательность собственных значений оператора F1(p + δp). Тогда существует такое
число h0 > 0, что для каждого 0 < ∥δp∥L2 ≤ h0 определены операторы
∫
∫
1
1
E(μ(p)) =
Rz(F1(p))dz, E(μ(p + δp)) =
Rz(F1(p + δp))dz,
(36)
2πi
2πi
Γ
Γ
где Rz(F1) = (F1 - zE)-1 - проекторы. Областью значений E(μ(p)) и R(E(μ(p))) является
пространство собственных функций F1(p), соответствующих числу μ(p), а R(E(μ(p+δp)))
есть прямая сумма пространств собственных функций оператора F1(p+δp), соответству-
ющих собственным значениям μ1(p + δp), μ2(p + δp), . . . , μm(p + δp). Более того,
dim R(E(μ(p))) = dim R(E(μ(p + δp))) = m.
В дальнейшем мы будем использовать непрерывную зависимость оператора G(p) от p(r).
Пусть G(p) - оператор G, а G(ψ; p) - это Gψ, соответствующий управлению p(r), т.е.
√
B(G(ψ; p), v; p) = 〈
rtψ,v2〉L2 , v ∈ V.
(37)
Ниже приведён результат из работы [23], показывающий, что при определённых условиях
на коэффициенты имеем липшицеву непрерывность операторов G(p), F1(p).
Лемма 5. Пусть μ1(p+δp), . . . , μm(p+δp) такие же, как в лемме 4. Тогда существуют
положительные константы M2 и h0 такие, что для любых ∥δp∥L2 ≤ h0 выполняются
следующие условия:
1) у оператора F1(p + δp) имеются ровно m собственных значений μ1(p + δp),
..., μm(p + δp), лежащих внутри круга Γ = {μ ∈ C : |μ - μ1(p)| = h0};
2) для любого базиса {ϕi(p)}mi=1 из R(E(μ(p))) существует базис {χi(p + δp)}mi=1 из об-
ласти R(E(μ(p + δp))) такой, что
max
∥ϕj (p) - χj(p + δp)∥L2 ≤ M2∥E(μ(p)) - E(μ(p + δp))∥L2 .
1≤j≤m
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1275
Как показано в [23, лемма 6.1], справедливо следующее неравенство:
∥[E(μ(p)) - E(μ(p + δp))]ψ∥L2 ≤ M∥F1(p) - F1(p + δp)∥L2,L2 ∥ψ∥L2 .
Из леммы 5 следует, что кратность n собственного значения μ1(p + δp) не превосходит крат-
ности μ1(p), т.е. m.
Лемма 6. Допустим, что функции D(r), a(r), t(r) удовлетворяют условиям 1)-3).
Пусть δp(r) ∈ S = {p : p ∈ L1[0, b]}. Тогда существуют такие положительные константы
M1, M2, что для любых δp выполняется следующее неравенство:
∥G(ψ; p + δp) - G(ψ; p)∥̃
H2×H1 ≤M1∥δp∥L1∥ψ∥L1.
Таким образом, получаем
∥G(p + δp) - G(p)∥L
(38)
2,H2×H1 ≤M1∥δp∥L1
и
√
∥F1(p + δp) - F1(p)∥L2,L2 ≤ M1∥
rt∥L∞ ∥δp∥L1 = M2∥δp∥L2 .
Отметим, что в [23] мы доказываем липшицеву непрерывность решений задачи на собственные
значения (17).
Следующая теорема имеет решающее значение для нашего исследования. Ею будем пользо-
ваться для обоснования дифференцируемости по Фреше функционала λ1(p) и его градиентной
формулы.
Теорема 3. Допустим, что функции D(r), a(r), t(r) удовлетворяют условиям 1)-3) и
p ∈ L2[0,b]. Пусть λ1(p) - минимальное собственное значение задачи (17), а S1 является
подпространством собственных функций, соответствующих собственному значению λ1(p).
Тогда dim S1 = 1.
Доказательство. От противного предположим, что dim S1 =2, а u(p) и u(p) - две ли-
нейно независимые собственные функции, соответствующие собственному значению λ1(p) за-
дачи (17). Рассмотрим функцию p0(r) ∈ C1[0, b] такую, что
p0(r) > 0, r ∈ (0,b].
(39)
Далее пусть w(p0) = (w1(p0), w2(p0)) - собственная функция, соответствующая собствен-
ному значению λ1(p0) задачи (17) при p0. Докажем, что w1(p0)|r тождественно не равняется
нулю. От противного предположим, что w1(p0)|r ≡ 0. Тогда из соотношения (20) с u = w(p0)
и p = p0 имеем
∫
b
p0w′2(p0)v1 dr = 0, v ∈ V.
0
Поскольку p0w′2(p0) ∈
H1, то, подставив v1 = p0w′2(p0), получаем p0w′2(p0) ≡ 0. А это с
учётом условия (39) равносильно следующему: w′2(p0) ≡ 0.
Но тогда в силу краевого условия w2(p0)|b = 0 заключаем, что w2(p0) ≡ 0. Таким образом,
w(p0) = (w1(p0), w2(p0)) ≡ 0. Полученное противоречие доказывает, что w2(p0) тождественно
не равняется нулю.
Построим собственную функцию
z(p) := (u(p) - d1u(p))/(d2 - d1).
Согласно лемме 3 она имеет следующий вид:
{
0,
r ∈ [r1,r2],
z(p) =
u(p),
r ∈ [r2,r3].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1276
АРАБЯН
Отсюда, в частности, вытекает, что u(p)|r = 0 для любого r ∈ (r2, r3). В противном случае
существовала бы точка r ∈ (r2, r3) такая, что u(p0)|r = 0. Но тогда можно построить три
собственные функции u(p),
z(p), z(p), соответствующие собственному значению λ1(p), где
{
{
u(p), r ∈ [r2, r],
u(p), r ∈ [r, r3],
z(p) =
z(p) =
0,
r ∈ [r2,r],
0,
r ∈ [r,r3],
а это противоречит нашему предположению.
Далее, в силу непрерывности функции w1(p0) существуют числа δ > 0 и r1 + δ < r2
такие, что
w1(p0)|r = 0, r ∈ (r2,r2 + δ).
(40)
Аналогично равенству (20) можно доказать, что п.в. на (0, b) выполняется соотношение
[p0w′2(p0)u1(p) - pu′2(p)w1(p0)]|r = 0.
Тогда с учётом (40) получим
p0w′2(p0)
pu′2(p)
=
r ∈ (r2,r2 + δ).
,
w1(p0)
u1(p)
r
r
Обозначив p0w′2(p0)/w1(p0)|r =: c|r, отсюда имеем
pu′2(p)|r = cu1(p)|r, r ∈ [r2,r2 + δ).
(41)
Далее, вычитая соотношение (24) при r = r2 из того же соотношения при r = r2 + δ, с
учётом (41) получаем равенство
∫
[
]
∫
(u1(p))2
ar(u1(p))′2 + (a + νa′r)
dr = - c(u1(p))2 dr.
r
r2
r2
Интегрируя его по частям, имеем
∫
[
]
∫
(u1(p))2
ar(u′1(p))2 + a
- 2aνu′1(p)u1(p) dr + νa(u1(p))2|r2+δr
= - c(u1(p))2 dr.
(42)
2
r
r2
r2
Оценим правую часть этого соотношения. Так как
∫r
u1(p)|r = u′1(p)|ξ dξ,
r2
то заключаем, что
∫
δ
(u1(p))2|r ≤
r(u′1(p))2|r dr
r2
r2
для любого r ∈ [r2, r2 + δ].
Но тогда в силу непрерывности функции c|r, равенства (42) и условий a(r) ≥ a0, ν ≤ 1
получим
∫
[
]
∫
(u1(p))2
ru′1(p)2 +
dr ≤ Mδ2
r(u′1(p))2 dr,
(43)
r
r2
r2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1277
где
M1
M =
,
M1 = max |c|.
(1 - ν)a0r2
[r2,r2+δ]
Выберем δ0 такое, что Mδ20 < 1/2. Тогда из (43) следует неравенство
∫
[
]
(u1(p))2
r(u′1(p))2 +
dr ≤ 0.
r
r2
Отсюда заключаем, что u1(p)|r ≡ 0 для любого r ∈ [r2, r2 + δ0].
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
5. Дифференцируемость по Фреше частотного функционала. Теперь мы можем
сформулировать и доказать дифференцируемость по Фреше функционала λ1(p).
Теорема 4. Пусть λ1(p) - минимальное собственное значение задачи (17). Тогда его
производная по Фреше существует в гильбертовом пространстве L2[0,b] и равна
dλ1(p)
-2u′2(p)u1(p)
=
,
dp
〈rtu2(p), u2(p)〉L2
где u(p) = (u1(p), u2(p)) - любая ненулевая функция из подпространства S1 (см. формули-
ровку теоремы 3).
Доказательство. С учётом свойств собственных значений компактных самосопряжённых
операторов и в силу однократности μ1(p) [21, с. 248] получаем
〈F1(p)ψ, ψ〉L2
〈F1(p)ϕ(p), ϕ(p)〉L2
μ1(p) = max
=
,
ψ=0
〈ψ, ψ〉L2
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L2
ψ∈L2
где ϕ(p) - единственная собственная функция, соответствующая собственному числу μ1(p).
Следовательно, учитывая это соотношение, имеем
μ1(p + δp) - μ1(p) =
〈F1(p + δp)ψ, ψ〉L2
〈F1(p)ϕ(p), ϕ(p)〉L2
〈(F1(p + δp) - F1(p))ϕ(p), ϕ(p)〉L2
= max
-
≥
(44)
ψ=0
〈ψ, ψ〉L2
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L2
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L2
ψ∈L2
для всех δp, для которых ∥δp∥L1 < +∞. Подставим v = (0,v2)т и v = (-v1,0)т в (37).
Сложив полученные равенства, получим
√
K(Gψ, v; p) = (
rtψ,v2)L2 , v ∈ V,
(45)
где
∫b
[
u′2v′2
K(u, v; p) =
rDu′′2v′′2 + (D - νD′r)
- pu1v′2 -
r
0
]
u1v1
- aru′1v′1 - (a + νa′r)
- pu′2v1 dr + aνu1v1|b0, u, v ∈ V,
r
является симметричной билинейной формой. Далее имеем
K((G(p + δp) - G(p))ϕ(p), v; p) = K(G(p + δp)ϕ(p), v; p) - K(G(p + δp)ϕ(p), v; p + δp) =
= δp[(G(p + δp)ϕ(p))1v′2 + (G(p + δp)ϕ(p))′2v1]dr, v ∈ V.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1278
АРАБЯН
Отсюда и из соотношения (45) при v = G(p)ϕ(p) находим
b
∫
δp[(G(p + δp)ϕ(p))1(G(p)ϕ(p))′2 + (G(p + δp)ϕ(p))′2(G(p)ϕ(p))1]dr =
0
= 〈(F1(p + δp) - F1(p))ϕ(p), ϕ(p)〉L2 .
(46)
Тогда, преобразовав левую часть равенства (46) с помощью оценок (13), (15) и (38) для
всех δp,
∥δp∥L1 < h1, получим
∫b
〈(F1(p + δp) - F1(p))ϕ(p), ϕ(p)〉L2 ≥ 2 δp(G(p)ϕ(p))′2(G(p)ϕ(p))1 dr - M3∥δp∥2L
∥ϕ(p)∥2 , (47)L
1
2
0
√
где M3 = 2M1c1c2c3∥
rt∥L∞ .
Наша следующая цель - получить верхнюю оценку, аналогичную (47). В связи с этим для
всех δp,
∥δp∥L1 < h1, имеем
〈F1(p + δp)ψ(p + δp), ψ(p + δp)〉L2
〈F1(p)ϕ(p), ϕ(p)〉L2
μ1(p + δp) - μ1(p) =
-
≤
〈ψ(p + δp), ψ(p + δp)〉L2
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L2
∫b
2
≤
δp(G(p)ψ(p + δp))′2(G(p)ψ(p + δp))1 dr + M3∥δp∥2L
,
(48)
1
〈ψ(p + δp), ψ(p + δp)〉L
2 0
где ψ(p + δp) - единственная собственная функция оператора F1(p + δp), соответствующая
собственному числу μ1(p + δp).
Напомним, что согласно лемме 5 (см. п. 2) при m = 1 для собственной функции ϕ(p)
оператора F1(p) существует собственная функция ψ(p + δp) оператора F1(p + δp) такая, что
∥ϕ(p) - ψ(p + δp)∥L2 ≤ M2∥F1(p + δp) - F1(p)∥L2,L2
для всех δp ∈ L2[0, b],
∥δp∥L2 ≤ h1. Далее с помощью этой оценки и соотношения (48) при
ψ = ψ(p + δp) - ϕ(p) имеем
∫
b
2
δp(G(p)ψ(p + δp))′2(G(p)ψ(p + δp))1 dr -
〈ψ(p + δp), ψ(p + δp)〉L
2 0
∫
b
2
-
δp(G(p)ϕ(p))′2(G(p)ϕ(p))1 dr ≤ M4∥δp∥2L
1
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L
2 0
для любого δp,
∥δp∥L1 < h1, где M4 = 2MM2M1c21c2c3∥(rt)3/2∥L∞ .
Следовательно, с учётом соотношений (44), (47) и (48) получаем неравенства
∫
b
1
2δp(G(p)ϕ(p))′2(G(p)ϕ(p))1 dr - M3∥δp∥2
≤
L1
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L
2 0
b
∫
1
≤ μ1(p + δp) - μ1(p) ≤
2δp(G(p)ϕ(p))′2(G(p)ϕ(p))1 dr + (M3 + M4)∥δp∥2L
1
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L
2 0
для всех δp, для которых ∥δp∥L1 < h1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1279
Как непосредственное следствие этого, запишем представление
b
∫
dμ1(p)
1
,δp
=
2δp(G(p)ϕ(p))′2(G(p)ϕ(p))1 dr.
(49)
dp
〈ϕ(p), ϕ(p)〉L
L2
2 0
Далее с помощью соотношения
dλ1(p)
1
dμ1(p)
,δp
=-
,δp
dp
(μ1(p))2
dp
L2
L2
с учётом (49) получим формулу градиента функционала λ1(p) в гильбертовом пространст-
ве L2[0, b]:
∫
b
dλ1(p)
2
,δp
=-
δpu′2(p)u1(p)dr.
dp
〈rtu2(p), u2(p)〉L
L2
2 0
Это завершает доказательство теоремы.
6. Условия оптимальности. Приведём условия оптимальности для задачи оптимизации
(1)-(7), (9), (10). Рассмотрим следующую оптимальную задачу с переменной p в банаховом
пространстве X = L2[0, b]:
∫b
√
B0(p(·)) = J(p) =
2πrt
1 + p2 dr → inf,
(50)
0
F (p(·)) = λ1(p) = ω2(f′) = ω20,
(51)
где ω20 является фиксированным числом, a λ1(p) - минимальное собственное значение сле-
дующей задачи:
B(u, v; p) = λ〈rtu2, v2〉L2 , v ∈ V.
(52)
Построим функцию Лагранжа для задачи (50)-(52):
L(p(·), α0, α1) = α0J(p) + α1F (p).
Справедлива следующая
Теорема 5. Предположим, что функции D(r), a(r), t(r) удовлетворяют условиям 1)-3)
и p∗(r) является точкой локального минимума в задаче (50)-(52). Пусть λ1(p∗) - мини-
мальное собственное значение задачи (52), а u(p∗) - соответствующая собственная функ-
ция. Тогда существует константа α такая, что
πrtp∗
u′2(p∗)u1(p∗)
√
-α
= 0.
1+p2∗
〈rtu2(p∗), u2(p∗)〉L2
Доказательство. Ранее мы установили, что функционал F (p) имеет градиент
2u′2(p)u1(p)
F′(p) = -
,
p ∈ L2[0,b].
〈rtu2(p), u2(p)〉L2
Нетрудно установить, что функционал B0(p) тоже имеет градиент
2πrtp
B′0(p) =
√
,
p ∈ L2[0,b].
1+p2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1280
АРАБЯН
Докажем, что образ Im F′(p) является замкнутым множеством, более того,
Im F′(p∗)X = R.
Возможны два случая:
(i) u′2(p∗)u1(p∗) ≡ 0 для любого r ∈ [0, b];
(ii) существует точка c ∈ (0, b] такая, что
∫
c
2u′2(p∗)u1(p∗) dr = 0.
0
В случае (i) докажем, что u(p∗) ≡ 0. Действительно, из соотношения (19) с p = p∗, u =
= u(p∗) получим равенство
∫
b
[
]
u1(p∗)v1
aru′1(p∗)v′1 + (a + νa′r)
+p∗u′
(p∗)v1
dr - aνu1(p∗)v1|b0 = 0, v ∈ V.
(53)
2
r
0
Далее подставим в (53) v1 = u1(p∗). Используя соотношение (i) и положительную определён-
ность билинейной формы B(u, v), получаем u1(p∗) ≡ 0. Теперь из соотношения (53) имеем
∫b
p∗u′2(p∗)v1 dr = 0, v ∈ V.
(54)
0
Пусть r ∈ (0, b) - произвольная точка. Возьмём любую функцию z = (z1, z2) ∈H1 ×H2 и
построим функцию
⎧
⎨z1|r,
r ∈ [0,r],
v1 =
z1|r(r + δ - r)/δ,
r ∈ (r,r + δ],
⎩0,
r ∈ (r + δ,b].
Подставив её в (54), разделив полученное соотношение на 2δ и устремив δ к нулю, получим
∫r
∫r
p∗u′2(p∗)z1 dr = 0. Отсюда при z1 = u′2(p∗) ∈H1 получим
p∗(u′2(p∗))2 dr = 0 для любого
0
0
r ∈ (0,b). Но тогда п.в. на [0,b] будем иметь p∗u′2(p∗)|r = 0. Поскольку p∗(r) тождественно
не равняется нулю, то существует точка r ∈ (0, b) такая, что
u′2(p∗)|r = 0.
(55)
Далее в силу того, что u(p∗) ∈ V, запишем равенство
∫
b
∫
b
u′′2(p∗)v2 dr = - u′2(p∗)v′2 dr, v2 ∈ H1.
0
0
Теперь выполним указанную выше операцию с заменой v1 на функцию
⎧
⎨u2(p∗)|r,
r ∈ [0,r],
v2 =
u2(p∗)|r(r + δ - r)/δ,
r ∈ (r,r + δ],
⎩
0,
r ∈ (r + δ,b].
В результате получим
r
r
∫
∫
u′′2(p∗)u2(p∗)dr = - (u′2(p∗))2 dr, r ∈ [0,b].
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ
1281
Это равносильно следующему: u′′2(p∗)u2(p∗)|r = (u′2(p∗))2|r для любого r ∈ (0, b). Отсюда и в
силу (55) заключаем, что
u′′2(p∗)u(p∗)|r = (u′2(p∗))2|r = 0.
Тогда в силу соотношения (35) при ri0 = r,
û(p∗) = u(p) имеют место равенства
u2(p∗)|r = u′2(p∗)|r = 0.
Но это невозможно, иначе можно построить две собственные функции
{
{
u(p∗)|r, r ∈ (0, r),
0,
r ∈ (0,r),
u1(p∗) =
u2(p∗) =
0,
r ∈ (0,r),
u(p∗),
r ∈ (0,r),
соответствующие собственному значению λ1(p∗), а это противоречит однократности λ1(p∗),
полученной нами в теореме 3.
Теперь докажем, что во втором случае следующее уравнение
b
∫
-2u′1(p∗)u2(p∗)
x dr = q
(56)
〈rtu1(p∗), u1(p∗)〉L2
0
имеет решение x = x(r) для любого q ∈ R.
Действительно, легко проверить, что
⎧
∫
)-1
⎨
-2u′
(p∗)u2(p∗)|τ
1
q
dτ
,
0 ≤ r ≤ c,
x(r) =
〈rtu1(p∗), u1(p∗)〉L2
⎪
0
⎩
0,
c < r ≤ b.
Следовательно, согласно (56) имеем
Im F′(p∗)X = R.
Получили, что образ Im F′(p∗) совпадает с R. Тем самым выполнено условие регулярности
отображения F. Отсюда вытекает, что α0 = 1.
С учётом правила множителей Лагранжа [24] доказательство теоремы завершено.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lagrange J.L. Sur la figure des colonnes // Miscellanea Taurinensia. 1770-1773. V. 5.
2. Arabyan M.H. Boundary-value problems and associated eigen-value problems for systems describing
vibrations of a rotation shell // New York J. of Math. 2019. V. 25. P. 1350-1367.
3. Plaut R.H., Johnson L.W., Parbery R. Optimal forms of shallow shells with circular boundary. Part 1.
Maximum fundamental frequency // ASME J. of Appl. Mech. 1984. V. 51. № 3. P. 526-530.
4. Plaut R.H., Johnson L.W. Optimal forms of shallow shells with circular boundary. Part 2. Maximum
buckling load // ASME J. of Appl. Mech. 1984. V. 51. № 3. P. 531-535.
5. Plaut R.H., Johnson L.W. Optimal forms of shallow shells with circular boundary. Part 3. Maximum
enclosed volume // ASME J. of Appl. Mech. 1984. V. 51. № 3. P. 536-539.
6. Abdulla U.G., Cosgrove E., Goldfarb J. On the Frechet differentiability in optimal control of coeffients in
parabolic free boundary problems // Evolution Equat. and Control Theory. 2017. V. 6. № 3. P. 319-344.
7. Bucur D., Buttazzo G. Variational Methods in Shape Optimization Problems. Boston, 2005.
8. He Y., Guo B.Z. The existence of optimal solution for a shape optimization problem on starlike domain
// J. Optim. Theory and Appl. 2012. V. 152. P. 21-30.
9. Hinton E., Sienz J., Ozakca M. Analysis and Optimization of Shells of Revolution and Prismatic Shells.
London, 2003.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
1282
АРАБЯН
10. Krivoshapko S. Optimal shells of revolution and main optimization // Строительная механика инже-
нерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 3. С. 201-209.
11. Lellep J., Hein H. Optimization of clamped plastic shallow shells subjected to initial impulsive loading
// Eng. Optim. 2002. V. 34. № 5. P. 545-556.
12. Neittaanmaki P., Sprekels J., Tiba D. Optimization of Elliptic Systems. New York, 2006.
13. Olhoff N., Plaut R.H. Bimodal optimization of vibrating shallow arches // Int. J. of Solids and Struct.
1983. V. 19. № 6. P. 553-570.
14. Stupishin L.Yu., Kolesnikov A.G., Nikitin K.E. Optimal design of flexible shallow shells on elastic
foundation // J. of Appl. Eng. Sci. 2017. V. 15. № 3. P. 345-349.
15. Velichkov B. Existence and Regularity Results for Some Shape Optimization Problems. Springer, 2015.
16. Wang G., Wang L., Yang D. Shape optimization of an elliptic equation in an exterior domain // SIAM
J. Control Optim. 2006. V. 45. № 2. P. 532-547.
17. Ozakca M., Gogus M.T. Structural analysis and optimization of bells using finite elements // J. New
Music Res. 2004. V. 33. № 1. P. 61-69.
18. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих стержней и оболочек // Изв. АН
СССР. Отдел техн. наук. 1955. № 3. С. 33-68.
19. Timoshenko S., Woinorowsky-Krieger. S. Theory of Plates and Shells. New York, 1959.
20. Timoshenko S. Strength of Materials. Part 2. Advanced Theory and Problems. New York, 1976.
21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.
22. Bramble J.H., Osborn J.E. Rate of convergence estimates for nonselfadjoint approximations // Math.
Comput. 1973. V. 27. P. 525-549.
23. Аrabyan М.H. On the existence of solutions of two optimization problems // J. of Optim. Theory and
Appl. 2018. V. 177. P. 291-315.
24. Алекееев В.M., Tихомиров В.M., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., 1979.
Ереванский государственный университет,
Поступила в редакцию 26.01.2023 г.
Армения
После доработки 01.08.2023 г.
Принята к публикации 21.08.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№9
2023
