ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 9, с.1283-1296

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1+517.922+517.911.5

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ

НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается дифференциальное включение F (t, x, x) ∋ 0 с ограничением на произ-

водную искомой функции

x(t) ∈ B(t), t ∈ [a, b], где F, B - многозначные отображения,

F : [a,b]×Rⁿ×Rⁿ×R^m ⇒ R^k суперпозиционно измеримо, B : [a,b] ⇒ Rⁿ измеримо. В тер-

минах свойств упорядоченного накрывания и монотонности многозначных отображений,

действующих в конечномерных пространствах, для задачи Коши получены условия суще-

ствования и оценки решений, условия существования решения с наименьшей производной.

На основе этих результатов исследуется управляемая система вида f(t, x, x, u) = 0,

x(t) ∈

∈ B(t), u(t) ∈ U(t, x, x), t ∈ [a, b].

DOI: 10.31857/S0374064123090121, EDN: WPGAZA

Введение. В статье рассматривается управляемая система не разрешённых относительно

производной (неявных) нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Многие

классические методы исследования “явных” управляемых систем, в частности, использующие

редукцию к дифференциальному включению и после аппарат многозначного анализа (подроб-

нее см. [1, 2]), к таким “неявным” системам непосредственно применить не удаётся. Кроме того,

порождающие уравнения функции в данной статье не предполагаются непрерывными, и тем

более гладкими (это вполне естественно для задач управления), что не позволяет использо-

вать для исследования рассматриваемых управляемых систем известные результаты (см. [3-5])

теории неявных дифференциальных уравнений, порождаемых гладкими функциями.

Наше исследование основано на представленных в п. 1 статьи результатах о многозначных

накрывающих отображениях частично упорядоченных пространств. Понятие упорядоченного

накрывания отображений (однозначных и многозначных) введено в работах [6, 7]. Оно было

предложено в качестве аналога известного для метрических пространств свойства накрывания

(называемого также метрической регулярностью [8]), эффективно используемого в исследо-

ваниях различных вопросов теории неявных дифференциальных уравнений (см., например,

[9-11]). В статьях [12, 13] получены утверждения о точках совпадения двух отображений,

одно из которых является упорядоченно накрывающим, а другое - изотонным, а также уста-

новлена связь данных утверждений с теоремами А.В. Арутюнова [14, 15] о точках совпадения

накрывающего и липшицева отображений метрических пространств. В [16-18] сформулирова-

ны утверждения об анитонных возмущениях упорядоченно накрывающих отображений, и на

основе этих утверждений найдены условия существования и оценки решений интегральных

уравнений и краевых задач для неявных дифференциальных уравнений, аналогичные извест-

ным теоремам Чаплыгина о дифференциальном и интегральном неравенствах. В работах [19,

20] ослаблены условия теорем об анитонных возмущениях упорядоченно накрывающих отоб-

ражений, и эти результаты применены к неявным дифференциальным уравнениям высших

порядков. В [21] получена теорема об антитонных возмущениях упорядоченно накрывающих

многозначных отображений, с использованием которой исследованы вопросы существования

решений задачи Коши для дифференциального включения неявного вида.

Здесь мы продолжаем исследование [21], уточняем условия разрешимости рассмотренного

в [21] включения и определяем условия существования решения с наименьшей производной,

затем применяем эти результаты к управляемой системе неявных нелинейных дифференци-

альных уравнений. Основными результатами настоящей работы являются условия существо-

вания и оценки решений таких систем, представленные в виде аналогов теоремы Чаплыгина

о дифференциальном неравенстве.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1284

ЖУКОВСКИЙ, СЕРОВА

1. Многозначные отображения частично упорядоченных пространств. Пусть за-

даны частично упорядоченные пространства (X, ≼), (Y, ≼). Для элементов u, v ∈ X и мно-

жества U ⊂ X обозначим

⋃

O_X(u).

∀u∈U

Для элементов u, v ∈ X таких, что u ≼ v и u = v, будем писать u ≺ v. Элементы u, v ∈

∈ X, u = v, называются сравнимыми, если выполнено u ≺ v или u ≻ v. Множество S ⊂ X,

в котором любые два различных элемента сравнимы, называют линейно упорядоченным или

цепью. Если для множества U ⊂ X существует такой элемент v ∈ X, что v ≼ x (v ≽ x)

при любом x ∈ U, то множество U называют ограниченным снизу (ограниченным сверху),

а элемент v - его нижней (верхней) границей. Нижнюю (верхнюю) границу v множества U

называют точной или инфимумом (супремумом), если v ≻ v

(v ≺ v) для любой другой его

нижней (верхней) границы v. Частично упорядоченное пространство называется нижней по-

лурешёткой (верхней полурешёткой), если в нём любое двухэлементное подмножество имеет

точную верхнюю (точную нижнюю) границу. Пространство, являющееся и нижней, и верхней

полурешёткой, называют решёткой.

Элемент ũ ∈ U называют минимальным (максимальным) в множестве U, если для лю-

бого элемента u ∈ U, u = ũ, сравнимого с ũ, выполнено u ≻ ũ (соответственно u ≺ ũ).

Таким образом, в U могут существовать элементы, не сравнимые с минимальным и мак-

симальным. Элемент ũ ∈ U называют наименьшим (наибольшим) в этом множестве, если

для любого элемента u ∈ U, u = ũ, выполнено ũ ≺ u (соответственно ũ ≻ u). Очевидно,

что наименьший (наибольший) элемент в U является в этом множестве минимальным (мак-

симальным). Обратное утверждение не верно, но если множество U, рассматриваемое как

частично упорядоченное пространство, это нижняя (верхняя) полурешётка, то в нём мини-

мальный (максимальный) элемент является наименьшим (наибольшим).

Рассмотрим многозначное отображение G : X ⇒ Y, т.е. отображение, сопоставляющее

каждому элементу x ∈ X непустое множество G(x) ⊂ Y. Если для любого x ∈ X множе-

ство G(x) одноточечное, то отображение G становится “обычным однозначным” (стандартно

обозначаем такое отображение соотношением G : X → Y ).

Определение 1. Отображение G : X ⇒ Y называют изотонным (антитонным) на

множестве U ⊂ X, если для любых x,u ∈ U, таких что x ≼ u, и для любого z ∈ G(u) су-

ществует y ∈ G(x), удовлетворяющий неравенству y ≼ z (соответственно y ≽ z). Изотонное

(антитонное) на всём X отображение называют изотонным (антитонным).

Приведённое определение изотонности (антитонности) для однозначного отображения G :

X → Y означает, что неравенство x ≼ u влечёт за собой G(x) ≼ G(u) (соответственно

G(x) ≽ G(u)), т.е. для “обычных отображений” совпадает со стандартным определением этих

свойств.

Определение 2. Отображение G : X ⇒ Y будем называть упорядоченно накрывающим

множество V ⊂ Y, если при любом u ∈ X справедливо вложение

O_Y (G(u))

^⋂V ⊂ G(O_X(u)).

Отметим, что в случае одноточечного множества V = {y₀} свойство упорядоченного на-

крывания отображения G означает, что для произвольного u ∈ X такого, что для некоторого

y ∈ G(u) выполнено неравенство y₀ ≼ y, существует x ∈ X, удовлетворяющий соотношениям

x ≼ u и G(x) ∋ y₀. Для того чтобы отображение G упорядоченно накрывало произвольное

непустое множество V ⊂ Y, необходимо и достаточно, чтобы оно упорядоченно накрывало

одноточечное множество {y} при любом y ∈ V.

Определение свойства упорядоченного накрывания многозначных отображений введено в

работах [7, 13] для случая V = Y.

2. Основные обозначения. Будем полагать, что в пространстве Rⁿ с нормой | · |Rn

задан “обычный” порядок, т.е. для векторов x = (x₁, . . . , x_n), u = (u₁, . . . , u_n) выполнено

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

1285

= {x ∈ Rⁿ : x ≥ 0}. Символом h_Rn будем

обозначать расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве Rⁿ.

Обозначим через C(Rⁿ) и K(Rⁿ) множества всех непустых замкнутых и, соответственно,

непустых компактных подмножеств пространства Rⁿ. Многозначное отображение G : X ⇒

⇒ Rⁿ со значениями G(x) ∈ C(Rⁿ), x ∈ X, будем обозначать через G : X → C(Rⁿ), а если

G(x) ∈ K(Rⁿ), x ∈ X, то будем писать G : X → K(Rⁿ).

Пусть заданы действительные числа a < b и определено измеримое многозначное отобра-

жение B : [a, b] → C(Rⁿ). Обозначим множество его измеримых сечений через W(B); множе-

ство его суммируемых сечений - через L(B); а символом AC(B) обозначим множество таких

абсолютно непрерывных функций x : [a, b] → Rⁿ, что x ∈ L(B). В случае B(t) ≡ Rn эти

пространства будем обозначать через Wⁿ, Lⁿ и ACⁿ соответственно. В множествах W(B),

L(B) определим “привычный” порядок, полагая x ≤ u тогда и только тогда, когда x(t) ≤ u(t)

при п.в. t ∈ [a, b]. Пространство непрерывных функций x : [a, b] → Rⁿ обозначим Cⁿ. Счи-

таем, что пространства Cⁿ и Lⁿ наделены стандартными нормами ∥x∥_Cn = max

|x(t)|_Rn ,

t∈[a,b]

∫b

∥v∥_Ln =

|v(t)|_Rn dt. В обозначениях пространств индекс n = 1 будем опускать.

Напомним определения некоторых свойств многозначных отображений, используемых в

статье (подробнее см. [22, гл. 1; 23, гл. 2]).

Многозначное отображение B : [a, b] → C(Rⁿ) называют интегрально ограниченным [22,

с.

= max{|y|_Rn : y ∈ B(t)}, суммируема (измери-

мость этой функции прямо следует из [22, следствие 1.5.9]). Очевидно, в случае интегральной

ограниченности отображения B для любого t ∈ [a, b] выполнено B(t) ∈ K(Rⁿ), кроме того,

всякое измеримое сечение такого отображения является суммируемой функцией, т.е. множе-

ства W(B) и L(B) совпадают.

Многозначное отображение G : Rⁿ → C(R^k) называют непрерывным (в метрике Хаусдор-

фа) в точке x₀ ∈ Rⁿ, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого x ∈ Rⁿ,

удовлетворяющего неравенству |x - x0|Rn < δ, выполнено hRk (G(x0), G(x)) < ε. В случае

скалярного аргумента, т.е. при n = 1, на многозначное отображение G : R → C(R^k) рас-

пространяются определения свойства односторонней непрерывности “обычных однозначных”

отображений (см. [24]), а именно: многозначное отображение G : R → C(Rⁿ) непрерывно спра-

ва (слева) в точке x₀ ∈ R, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого

x ∈ (x₀,x0 +δ) (соответственно для любого x ∈ (x0 -δ,x₀)) выполнено h_Rk(G(x₀),G(x)) < ε.

3. Неявное дифференциальное включение. Пусть заданы многозначные функции

F : [a,b] × Rⁿ × Rⁿ × Rⁿ → K(R^k), B : [a,b] → C(Rⁿ) и вектор γ ∈ Rⁿ. Будем предполагать,

что выполнены следующие условия: при любых x, v, w ∈ Rⁿ функция F ( · , x, v, w) : [a, b] →

→ K(R^k) измерима; при п.в. t ∈ [a,b] и любом w ∈ Rⁿ функция F(t,·,·,w) : Rⁿ×Rⁿ → K(R^k)

непрерывна справа (или при п.в. t ∈ [a, b] и любом w ∈ Rⁿ функция F (t, · , · , w) непрерывна

слева) по каждой компоненте x₁, . . . , x_n и v₁, . . . , v_n векторных аргументов x, v ∈ Rⁿ; при

п.в. t ∈ [a, b] и любых x, v ∈ Rⁿ функция F (t, x, v, · ) : Rⁿ → K(R^k) непрерывна; функция B :

[a, b] → C(Rⁿ) измерима. Отметим, что из приведённых условий на многозначное отображение

F следует его суперпозиционная измеримость (см. [24, теорема 2.1]), т.е. для любых измеримых

функций x(·), v(·), w(·) ∈ Wⁿ функция F ( · , x(·), v(·), w(·)) также измерима.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения

F (t, x, x, x) ∋ 0, t ∈ [a, b],

(1)

при дополнительном ограничении на производную искомой функции

x(t) ∈ B(t), t ∈ [a, b],

(2)

с начальным условием

x(a) = γ.

(3)

Решением системы включений (1), (2) будем называть всякую функцию x ∈ AC(B), удо-

влетворяющую включению F (t, x(t), x(t), x(t)) ∋ 0 при п.в. t ∈ [a, b].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

9^∗

1286

ЖУКОВСКИЙ, СЕРОВА

Пусть задана функция η₀ ∈ AC(B) такая, что

η₀(a) ≥ γ и F(t,η₀(t), η₀(t), η₀(t))

⋂Rn+ = ∅ при п.в. t ∈ [a,b].

(4)

Сформулируем утверждение о существовании решения x ∈ AC(B) задачи (1)-(3), производ-

ная которого удовлетворяет неравенству

x≤ η₀.

Определим многозначное отображение

B : [a,b] → C(Rⁿ) соотношением

= {w ∈ B(t) : w ≤ η₀(t)}, t ∈ [a, b]

(5)

(при п.в. t ∈ [a, b] множество

B(t) не пусто, поскольку

η₀(t) ∈ B(t)). Это отображение изме-

римо, так как является пересечением двух измеримых отображений:

B(t) = B(t)

^⋂O_Rn( η₀(t)).

Теперь определим множество

∫t

{

∫

}

=γ+

B(s) ds = x ∈ Rⁿ : x = γ + w(s) ds, w ∈ L

t ∈ [a,b].

(6)

Обозначим через F |_Ω : Ω → K(R^k) сужение многозначного отображения F на множество

= {(t, x, v, w) : t ∈ [a, b], x ∈D(t), v

B(t), w

B(t)}.

(7)

Следующая теорема несколько уточняет полученные авторами в [21, теорема 4.1] доста-

точные условия разрешимости задачи (1)-(3). В частности, в отличие от [21, теорема 4.1]

соответствующие требования к отображению F предполагаются выполненными не при всех

значениях его второго аргумента x ∈ Rⁿ, а при x ∈D(t), t ∈ [a, b]. Это уточнение существен-

но используется в приводимых ниже утверждениях о двусторонних неравенствах (в частности,

в замечании и следствии 2).

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) многозначное отображение

B : [a,b] → C(Rⁿ) интегрально ограничено (и поэтому

B(t) ∈ K(Rⁿ) для п.в. t ∈ [a, b]);

2) при п.в. t ∈ [a, b], любых значениях x ∈D(t) и v

B(t) многозначное отображение

F|_Ω(t,x,v,·)

B(t) → K(R^k) упорядоченно накрывает множество {0} ⊂ R^m;

3) при п.в. t∈[a, b] и любых значениях w

B(t) многозначное отображение F |_Ω(t, · , · , w) :

^D(t)

B(t) → K(R^k) является антитонным.

Тогда существует решение x ∈ AC(B) задачи (1)-(3) такое, что x≤ η0.

Доказательство теоремы 1 по сути не отличается от доказательства теоремы 4.1 в статье

[21] и поэтому здесь не приводится.

Отметим, что отображение

B, если n ≥ 2, может быть интегрально ограниченным даже

в случае, когда исходное отображение B имеет неограниченные значения. Например, при

n = 2 для отображения B : [a,b] → C(R²), имеющего значениями неограниченный конус

= {(v₁, v₂) : -v₁ ≤ v₂ ≤ v₁, v₁ ≥ 0}, t ∈ [a, b], и любой функции η₀ = (η₀₁, η₀₂) ∈ AC(B)

получаем

B(t) = {(v₁, v₂) : - η₀₁(t) ≤ v₂ ≤ η₀₂(t), v₁ = η₀₁(t)}, t ∈ [a, b]. А такое отображение

B : [a,b] → K(R²), очевидно, интегрально ограничено.

Обозначим через Sol_F (B) ⊂ AC(B) и DSol_F (B) ⊂ L(B) множество решений задачи (1)-(3)

и множество их производных соответственно. Рассмотрим вопрос о существовании минималь-

ного и наименьшего элементов в множестве DSol_F (B).

Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 в множестве DSol_F (B) ⊂ L(B) суще-

ствует минимальный элемент ˙x и для него выполнено неравенство x≤ η0.

Доказательство. Согласно теореме 1 множество DSol_F (B)

^⋂OL(B)(η₀)⊂L

B) не пусто.

Ввиду теоремы Хаусдорфа (см., например, [25, гл. 1]) в этом множестве существует макси-

мальная цепь, обозначим её через S. Вследствие ограниченности и замкнутости множества

B) ⊂ Lⁿ существует ˙x = inf S ∈ L

B).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

1287

Так как порядок в Lⁿ порождается правильным конусом неотрицательных функций, из

цепи S может быть выбрана невозрастающая последовательность { xⁱ}∞i=1 ⊂ S такая, что (см.

[12, предложение 7])

x = inf S = inf{xⁱ} = lim xⁱ.

i→∞

Из сходимости невозрастающей последовательности {xi} по норме Ln следует сходимость

xⁱ(t) → x(t) при п.в. t ∈ [a,b], а также очевидное неравенство x ≤ xi, i ∈ N.

Поскольку xⁱ ∈ Sol_F (B), i ∈ N, выполнено включение

F (t, xⁱ(t), xⁱ(t), xⁱ(t)) ∋ 0, t ∈ [a, b], i ∈ N,

из которого в силу антитонности при п.в. t отображения F (t, · , · , xⁱ(t)) : Rⁿ × B(t) → K(R^k)

следует соотношение

F (t, x(t), x(t), xⁱ(t))

⋂Rn+ = ∅, t ∈ [a,b], i ∈ N.

Так как отображение F (t, x(t), x(t), · ) : Rⁿ → K(R^k) непрерывно, получаем

F (t, x(t), x(t), x(t))

⋂Rn+ = ∅, t ∈ [a,b].

В силу этого соотношения из теоремы 1 следует существование решения x ∈ AC

B) задачи

(1)-(3) такого, что x ≤ x. Но так как цепь S максимальная в DSolF(B)

^⋂OL(B)(η₀), получен-

ное неравенство возможно, только если x = x ∈ Sol_F (B), и это означает, что x - минимальный

элемент в множестве DSol_F (B). Теорема доказана.

В теореме 2 утверждается не существование решения с наименьшей производной, а лишь

существование такого решения x, что для любого решения x либо

x ≤ ˙x, либо

x и

x не

сравнимы. Следующий пример показывает, что решения с наименьшей производной действи-

тельно может не существовать, причём не только для включения, но и даже для уравнения.

Пример 1. Рассмотрим при t ∈ [0, 1] задачу Коши

x₁ + x₂ = 0,

(8)

x₁(t), x₂(t) ∈ [-1,1],

(9)

x₁(0) = x₂(0) = 0.

(10)

Определим соответствующие данной задаче отображения F : [0, 1] × R² × R² × R² → R и

B : [0,1] → C(R²) соотношениями

= [-1, 1] × [-1, 1].

Покажем, что для этих отображений выполнены условия теоремы 2 (а значит, и теоремы 1).

Прежде всего, отображение B : [0, 1] → C(R²), очевидно, интегрально ограниченное. Далее

= (t, t), t ∈ [0, 1]. Для такой функции выполнено

η₀(t) ≡ (1,1), F(t,η₀(t), η₀(t), η₀(t)) ≡ 1 + 1 ≥ 0,

B(t) = B(t),

^D(t) = [0, t] × [0, t], t ∈ [0, 1].

Рассмотрим свойства отображения F как функции второго, третьего и четвёртого аргу-

ментов. Отображение F (t, x, v, · )

B(t) → R накрывает множество {0}. Действительно, для

w₁,w₂ ∈ [-1,1] из того, что w₁ + w₂ ≥ 0, следует существование

w₁, w₂ ∈ [-1,1] таких, что

w₁ ≤ w₁,

w₂ ≤ w₂ и

w₁ + w₂ = 0 (например, можно положить

w₁ = w₁,

w₂ = -w₁, тогда

w₂ = w₂ -(w₁ +w₂) ≤ w₂). Отображение F(t,·,·,w) : R² ×R² → R постоянное, следовательно,

антитонное.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1288

ЖУКОВСКИЙ, СЕРОВА

Итак, все условия теоремы 2 (и теоремы 1) выполнены. Множество производных решений

рассматриваемой задачи Коши определяется соотношением

DSol_F (B) = {(z(t), -z(t)) : z ∈ L, ∥z(t)| ≤ 1 при п.в. t ∈ [0, 1]}.

Это множество бесконечно, и любые два его различных элемента z, z не упорядочены. Дейст-

вительно, пусть z > z, тогда z₁(t) > z₁(t) на некотором множестве E ⊂ [a, b] положительной

меры, следовательно, z2(t) = -z1(t) < -z1(t) = z2(t) на E. Итак, z ≯ z, и тем самым дока-

зано, что в множестве DSol_F (B) все элементы минимальные, но нет наименьшего элемента.

Получим дополнительные условия к условиям теоремы 1, при выполнении которых в мно-

жестве DSol_F (B) существует наименьший элемент, т.е. среди решений задачи (1)-(3) есть

решение с наименьшей производной.

Теорема 3. Пусть выполнены предположения теоремы 1 и, кроме того, каждая i-я ком-

понента F_i, i = 1,n, многозначного отображения F может быть записана в виде

Fi(t, x, v, w)

Fi(t, x, v, wi),

(11)

где

Fi : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ × R → K(R) (Fi не зависит от переменных w1, . . . , wi-1, wi+1, . . .

..., w_n), а множество

B(t) ⊂ Rⁿ при п.в. t ∈ [a, b] является нижней полурешёткой. Тогда

в множестве DSol_F (B) ⊂ L(B) существует наименьший элемент.

Доказательство. Из теоремы 2 следует, что в множестве DSol_F (B) существует мини-

мальный элемент ˙x. Докажем, что этот элемент будет наименьшим. Предположим, что утвер-

ждение не верно и существует также элемент

x ∈ DSol_F(B), не сравнимый с x. Определим

измеримую функцию z = (z₁, . . . , z_n) : [a, b] → Rⁿ с компонентами z_i(t) = min{ x_i(t), x_i(t)},

t ∈ [a,b], i = 1,n. Так как при п.в. t ∈ [a,b] множество B(t) ⊂ Rⁿ является нижней полуре-

шёткой, а z(t) = min{ x(t), x(t)}, где x(t), x(t) ∈ B(t), то z(t) ∈ B(t). Очевидно, что функция

z суммируема, таким образом, z ∈ L(B). Определим функцию ς = (ς₁, . . . , ς_n) ∈ AC(B)

соотношением

∫t

= γ_i + z_i(s)ds, t ∈ [a,b], i = 1,n.

Для любого i = 1, n обозначим

E_i = {t ∈ [a,b] : z_i(t) = x_i(t)}, E_i = [a,b] \ E_i.

Вследствие этого определения z_i(t) = x_i(t) при п.в. t ∈ E_i.

Рассмотрим отображение

Fi : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ × R → K(R). При п.в. t ∈ E_i выполнено

равенство

[a, b] ⊃

Fi(t, ς(t), z(t), zi(t))

Fi(t, ς(t), z(t), xi(t)). А поскольку почти всюду на

⊃ E_i имеет место включение 0 ∈

Fi(t, x(t), xi(t), xi(t)), то в силу антитонности отображе-

ния

Fi(t, · , · , x_i(t)) при п.в. t ∈ E_i существует y ≥ 0 такой, что y ∈

Fi(t, ς(t), z(t), x_i(t)) =

=F˜_i(t,ς(t),z(t),z_i(t)). Аналогично доказывается, что при п.в. t ∈ E_i существует y ≥ 0, удо-

влетворяющий включению y

Fi(t, ς(t), z(t),x˙i(t)) =

Fi(t, ς(t), z(t), zi(t)) =

Fi(t, ς(t),ς˙(t),ς˙i(t)).

Таким образом, при любом i почти всюду на [a, b] имеет место соотношение

Fi(t, ς(t),ς˙(t),ς˙i(t))

⋂R₊ = ∅,

а значит,

F (t, ς(t),ς˙(t),ς˙(t))

⋂Rn+ = ∅, t ∈ [a,b].

Из этого соотношения согласно теореме 1 следует существование решения ζ ∈ Sol_F (B)

задачи (1)-(3) такого, что

ζ ≤ z < ˙x. Но это неравенство противоречит тому, что x является

минимальным элементом в множестве DSol_F (B). Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

1289

Заметим, что порождаемая дифференциальным уравнением из примера 1 функция F не

представима в виде (11), т.е. не удовлетворяет предположению теоремы 3, и в множестве ре-

шений задачи Коши из примера 1 нет решения с наименьшей производной. Рассмотрим неко-

торые классы дифференциальных включений, для которых соответствующее отображение F

представимо в виде (11).

Сначала рассмотрим задачу Коши (1)-(3) в скалярном случае, т.е. будем полагать, что

n = k = 1. Итак, пусть заданы многозначные функции F : [a,b] × R × R × R → K(R),

B : [a,b] → C(R) и число γ. Для такой скалярной многозначной функции F, очевидно, имеет

место представление (11), и это позволяет вывести из теорем 1, 3 утверждение о разрешимости

скалярной задачи Коши и о существовании решения с наименьшей производной.

Пусть задана функция η₀ ∈ AC(B) такая, что

η₀(a) ≥ γ и F(t,η₀(t), η₀(t), η₀(t))

⋂R₊ = ∅ при п.в. t ∈ [a,b].

Пусть при п.в. t ∈ [a, b] множество B(t) ограничено снизу. Введём β(t) = min B(t), t ∈ [a, b].

Полученная функция β : [a, b] → R измерима (согласно [22, следствие 1.5.9]). Определим

множества

B(t),D(t) ⊂ R, t ∈ [a, b], и множество Ω ⊂ [a, b] × R³ формулами (5), (6) и (7),

соответственно.

Следствие 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) функция β : [a, b] → R суммируема;

2) при п.в. t ∈ [a, b], любых значениях x ∈D(t) и v

B(t) многозначное отображение

FΩ(t, x, v, · )

B(t) → K(R) упорядоченно накрывает множество {0} ⊂ R;

3) при п.в. t ∈ [a, b] и любых значениях w

B(t) многозначное отображение F_Ω(t, · , · , w):

^D(t)

B(t) → K(R) антитонное.

Тогда существует решение x ∈ AC(B) скалярной задачи (1)-(3) такое, что

x ≤ η0;

кроме того, в множестве DSol_F (B) ⊂ L(B) существует наименьший элемент.

Доказательство. Из предположений данного утверждения для рассматриваемой скаляр-

ной задачи следуют условия теоремы 3 (включая условия теоремы 1). В частности, много-

значное отображение

B : [a,b] → C(R),

B(t) = B(t)

^⋂O_Rn( η₀(t)), t ∈ [a, b], удовлетворяет

соотношению

B(t) ⊂ [β(t), η₀(t)], t ∈ [a, b], и поэтому интегрально ограничено. Кроме того,

любое множество на прямой R, в том числе B(t), является и нижней, и верхней полурешёткой

(т.е. решёткой). Таким образом, рассматриваемое утверждение следует из теоремы 3.

Замечание. При применении сформулированных утверждений к исследованию конкрет-

ных включений наибольшие трудности вызывает проверка условия упорядоченного накрыва-

ния множества {0} соответствующим непрерывным многозначным отображением F_Ω(t, x, v, · ),

определённым на множестве

B(t), при (t, x, v) ∈ [a, b] ×D(t)

B(t). Для скалярного отобра-

жения из следствия 1 это условие выполнено, если для любой точки ω = (t,x,v,w) ∈ Ω её

образ F_Ω(ω) - связное множество и

(

∫

F t,γ + β(s)ds,β(t),β(t)) ⋂R- = ∅ при п.в. t ∈ [a,b].

Ещё одним классом дифференциальных включений, для которых соответствующее отобра-

жение F представимо в виде (11), является включение вида

x ∈ G(t,x, x), t ∈ [a,b],

(12)

где многозначная функция G : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ → K(Rⁿ) удовлетворяет следующим условиям:

при любых x, v ∈ Rⁿ функция G( · , x, v) : [a, b] → K(Rⁿ) измерима; при п.в. t ∈ [a, b] функция

G(t, · , · ) : Rⁿ × Rⁿ → K(R^k) непрерывна справа (или при п.в. t ∈ [a, b] функция G(t, · , · )

непрерывна слева) по каждой компоненте x₁, . . . , x_n и v₁, . . . , v_n векторных аргументов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1290

ЖУКОВСКИЙ, СЕРОВА

x,v ∈ Rⁿ. Включение (12) - частный случай включения (1), в котором k = n, а отображение

F : [a,b] × Rⁿ × Rⁿ × Rⁿ → K(Rⁿ) определено формулой

F (t, x, v, w) = -G(t, x, v) + w, t ∈ [a, b], x, v, w ∈ Rⁿ.

(13)

Для компонент этого отображения, очевидно, имеет место представление (11), где

Fi(t, x1, . . . , xn, v1, . . . , vn, wi) = -Gi(t, x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) + wi, i = 1, n.

Сформулируем утверждение о разрешимости задачи Коши для включения (12). Будем

здесь предполагать, что при п.в. t ∈ [a, b] множество B(t) задано соотношением

= {w ∈ Rⁿ : w ≥ β(t)},

в котором функция β : [a, b] → Rⁿ суммируема. Далее, пусть задана функция η₀ ∈ AC(B)

с начальным значением η₀(a) ≥ γ такая, что при п.в. t ∈ [a, b] существует элемент z ∈ Rⁿ,

удовлетворяющий соотношениям

z ∈ G(t,η₀(t), η₀(t)), z ≤ η₀(t).

Определённое соотношением (5) измеримое многозначное отображение

B : [a,b] → C(Rⁿ) в

данном случае принимает вид

B(t) = [β(t), η₀(t)]_Rn , t ∈ [a, b].

(14)

∫t

Соответственно из (6) получаем

^D(t) = [γ +

β(s) ds, γ -η₀(a)+η₀(t)]_Rn , t ∈ [a, b]. Определим

сужение G|_Θ : Θ → K(Rⁿ) многозначного отображения G на множество

Θ={(t,x,v):t∈[a,b], x∈D(t), v

B(t)}.

Следствие 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) для функции β : [a, b] → Rⁿ при п.в. t ∈ [a, b] существует y ∈ Rⁿ такой, что

(

∫

)

y ∈ G t,γ + β(s)ds,β(t) , y ≥ β(t);

(15)

2) для любой точки θ = (t, x, v) ∈ Θ её образ G|_Θ(θ) - связное множество и при п.в.

t∈[a,b] многозначное отображение G|_Θ(t,·,·):^D(t)

B(t) → K(Rⁿ) изотонное.

Тогда существует решение x ∈ AC(B) задачи Коши для включения (12) с условиями (2),

(3) такое, что x ≤ η₀; кроме того, в множестве DSol_F (B) ∈ L(B) существует наименьший

элемент.

Доказательство. Сначала заметим, что множество

B(t) ⊂ Rⁿ, определяемое формулой

(14), это n-мерный куб, который относительно “обычного покоординатного” порядка в Rⁿ

является решёткой.

Покажем, что определённое формулой (13) отображение F как функция последнего ар-

гумента F (t, x, v, · ) :

B(t) → K(Rⁿ) упорядоченно накрывает множество {0} ⊂ Rⁿ при п.в.

t∈[a,b] илюбых (x,v)∈D(t)

B(t). Зададим произвольный вектор w ∈ B(t), для которого

существует y ∈ Rⁿ такой, что для его компонент справедливы соотношения

yi ∈ -Gi(t, x, v) + wi,

yi ≥ 0, i = 1, n.

(16)

∫t

В силу (15) выполнено β(t) - y ∈ -G(t, γ +

β(s) ds, β(t)) + β(t), и в этом включении левая

∫t

часть β(t) - y ∈ R^n-. Для x ∈D(t) и v

B(t) имеем x ≥ γ +

β(s) ds, v ≥ β(t). Из этих

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

1291

неравенств, вследствие антитонности отображения -G(t, · , · ), заключаем, что существует y ∈

∈ Rⁿ такой, что его компоненты удовлетворяют соотношениям

y_i ∈ -G_i(t,x,v) + β_i(t), y_i ≤ 0, i = 1,n.

(17)

Вследствие связности значений отображения G, согласно [22, теорема 1.2.37], при п.в. t ∈

∈ [a, b] и любых (x, v) ∈D(t)

B(t) множество

⋃

Fi(t, x, v, [βi(t), wi]) =

(-G_i(t, x, v) + z)

z∈[β_i(t),w_i]

связно в R. Этому множеству, согласно (16), (17), принадлежат числа

yi ≥ 0, yi ≤ 0, а

следовательно, и число 0. Таким образом, при любом i = 1, n для некоторого z_i ∈ [β_i(t), w_i]

выполнено 0 ∈ -G_i(t, x, v) + z_i, и значит F (t, x, v, · )

B(t) → K(Rⁿ) упорядоченно накрывает

{0} ⊂ Rⁿ.

Таким образом, выполнены все условия теоремы 3. Утверждение доказано.

4. Задача управления. Приведённые выше результаты о дифференциальном включении

(1) здесь применяются к исследованию управляемой системы не разрешённых относительно

производной (неявных) нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть заданы вектор γ ∈ Rⁿ, функция f : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ × R^m → R^k и многозначное

отображение U : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ → K(R^m), удовлетворяющие следующим условиям: при

п.в. t ∈ [a, b] и любых x, v ∈ Rⁿ функция f(t, x, v, · ) : R^m → R^k непрерывна; при любом

u ∈ R^m функция f(·,·,·,u) : [a,b] × Rⁿ × Rⁿ → R^k суперпозиционно измерима (т.е. для

любых измеримых функций x(·), v(·) функция f( · , x(·), v(·), u) измерима); многозначное

отображение U : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ → K(R^m) суперпозиционно измеримо.

Рассмотрим на отрезке [a, b] управляемую систему

f (t, x, x, u) = 0

(18)

с обратной связью

u(t) ∈ U(t, x(t), x(t)).

(19)

Решением системы (18), (19) будем называть удовлетворяющую обоим соотношениям (18),

(19) при п.в. t ∈ [a, b] пару (x, u), в которой первая компонента, называемая траектори-

ей, это абсолютно непрерывная функция x : [a,b] → Rⁿ, а вторая компонента, называемая

управлением, - измеримая функция u : [a, b] → R^m. Обозначим через Sol^Uf ⊂ ACⁿ × W^m и

DSol^Uf ⊂ Lⁿ × W^m множество решений (x, u) задачи (18), (19) и, соответственно, множество

пар ( x, u), где x - производная траектории.

Определим многозначное отображение F : [a, b]×Rⁿ×Rⁿ ⇒ R^k формулой

= f(t,x,v,U(t,x,v)), (t,x,v) ∈ [a,b]×Rⁿ×Rⁿ.

(20)

Заметим, что из непрерывности функции f(t, x, v, · ) и компактности множества U(t, x, v)

следует, что отображение F имеет компактные значения. Кроме того, F суперпозиционно

измеримо. Рассмотрим включение

0 ∈ F(t,x, x), t ∈ [a,b].

(21)

Сформулируем утверждение, позволяющее “переходить” от рассматриваемой здесь “неяв-

ной” управляемой системы (18), (19) к дифференциальному включению (21). Это утверждение

аналогично известной теореме (см., например, [22, теорема 3.4.1]) о равносильности управляе-

мой дифференциальной системы, разрешённой относительно производной, соответствующему

дифференциальному включению.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1292

ЖУКОВСКИЙ, СЕРОВА

Лемма. Управляемая система (18), (19) равносильна включению (21), т.е. если пара

(x, u) ∈ ACⁿ × W^m - решение управляемой системы (18), (19), то x ∈ ACⁿ является ре-

шением включения (21), и обратно, если x ∈ ACⁿ - решение включения (21), то существует

функция u ∈ W^m такая, что пара (x, u) является решением системы (18), (19).

Доказательство. Пусть пара (x, u) является решением управляемой системы (18), (19),

тогда u(·) ∈ W^m - измеримое сечение измеримого многозначного отображения U( · , x(·), x(·)),

а x(·) ∈ ACⁿ - соответствующее решение уравнения (18). Имеем

0 = f(t,x(t), x(t),u(t)) ∈ f(t,x(t), x(t),U(t,x(t), x(t))) при п.в. t ∈ [a,b],

следовательно, x(·) ∈ ACⁿ - решение включения (21).

Обратно, пусть функция x(·) ∈ ACⁿ является решением включения (21). Определим функ-

цию g : [a, b] × R^m → R^k формулой g(t, u) = f(t, x(t), x(t), u) для всех t ∈ [a, b] и u ∈ R^m.

Так как функция f( · , · , · , u) : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ → R^k суперпозиционно измерима, то при любом

u ∈ R^m функция g(·,u) : [a,b] → R^k измерима, а в силу непрерывности f(t,x,v,·) : R^m → R^k

при п.в. t ∈ [a, b] функция g(t, · ) : R^m → R^k непрерывна. Обозначим через V : [a, b] → K(R^m)

многозначную функцию, определяемую формулой V (t) = U(t, x(t), x(t)), t ∈ [a, b]. Так как

отображение U : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ → K(R^m) суперпозиционно измеримо, то функция V изме-

рима. Включение (21) записывается в виде 0 ∈ g(t, V (t)). По лемме Филиппова об измеримом

выборе (см., например, [22, теорема 1.5.15]) существует измеримое сечение u отображения

V, для которого при п.в. t ∈ [a,b] выполнено равенство 0 = g(t,u(t)) или, что то же самое,

0 = f(t,x(t), x(t),u(t)). Лемма доказана.

Для произведения V = ACⁿ × W^m определим операторы проектирования π₁ : V → ACⁿ,

π₂ : V → W^m для любой пары v = (x,u) ∈ V соотношениями

π₁v = x, π₂v = u.

Сформулированная выше лемма означает, что для управляемой системы (18), (19) выполнено

π₁(Sol^Uf ) = Sol_F , где отображение F задано формулой (20).

Далее с использованием этой леммы исследуем управляемую систему (18), (19), которую

для удобства формулировок условий разрешимости запишем в несколько ином виде.

Пусть заданы вектор γ ∈ Rⁿ, функция f : [a, b]× Rⁿ × Rⁿ × Rⁿ × R^m → R^k и многозначные

отображения U : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ → K(R^m), B : [a, b] → C(Rⁿ), удовлетворяющие следующим

условиям: при любых x, v, w ∈ Rⁿ, u ∈ R^m функция f( · , x, v, w, u) : [a, b] → R^k измерима;

при п.в. t ∈ [a, b] и любых x, v ∈ Rⁿ, u ∈ R^m функция f(t, x, v, · , u) : Rⁿ → R^k непрерывна;

при п.в. t ∈ [a, b] и любых w ∈ Rⁿ, u ∈ R^m функция f(t, · , · , w, u) : Rⁿ ×Rⁿ → R^k непрерывна

справа (или при п.в. t ∈ [a, b] и любых w ∈ Rⁿ, u ∈ R^m функция f(t, · , · , w, u) непрерывна

слева) по каждой компоненте x₁, . . . , x_n и v₁, . . . , v_n векторных аргументов x, v ∈ Rⁿ ; при

п.в. t ∈ [a, b] и любых x, v, w ∈ Rⁿ функция f(t, x, v, w, · ) : R^m → R^k непрерывна; при любых

x,v ∈ Rⁿ отображение U(·,x,v) : [a,b] → K(R^m) измеримо; при п.в. t ∈ [a,b] отображение

U (t, · , · ) : Rⁿ × Rⁿ → K(R^m) непрерывно справа (или при п.в. t ∈ [a, b] отображение U(t, · , · )

непрерывно слева) по каждой компоненте x₁, . . . , x_n и v₁, . . . , v_n векторных аргументов

x,v ∈ Rⁿ; функция B : [a,b] → C(Rⁿ) измерима.

Рассмотрим на [a, b] задачу Коши с начальным условием (3) для управляемой системы

f (t, x, x, x, u) = 0

(22)

с обратной связью, определяемой включением (19) и ограничением (2). Множество решений

этой задачи обозначим через Sol^Uf (B) ⊂ AC(B)×W^m. Будем рассматривать также множество

DSol^Uf (B) ⊂ L(B) × W^m пар ( x, u) таких, что (x, u) ∈ Sol^Uf (B).

Пусть задана функция η₀ ∈ AC(B). Определим многозначное отображение

U₀ : [a,b] → K(R^m), U₀(t) = U(t,η₀(t), η₀(t)), t ∈ [a,b].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

1293

Согласно [24, теорема 2.1] отображение U₀ измеримо. Пусть u₀ ∈ W(U₀) - его измеримое

сечение. Будем предполагать, что справедливы неравенства

η₀(a) ≥ γ и f(t,η₀(t), η₀(t), η₀(t),u₀(t)) ≥ 0 при п.в. t ∈ [a,b].

(23)

Определим измеримое многозначное отображение

B : [a,b] → C(Rⁿ) соотношением (5),

затем для каждого t ∈ [a, b] определим множество

^D(t) ⊂ Rⁿ соотношением (6) и множество

U (t) = U(t,D(t)

B(t)) ⊂ R^m.

Через f|_Ξ : Ξ → R^k обозначим сужение функции f на множество

= {(t, x, v, w, u) : t ∈ [a, b], x ∈D(t), v

B(t), w

B(t), u

U (t)},

а через U|_Θ : Θ → K(R^m) - сужение многозначного отображения U на множество

= {(t, x, v) : t ∈ [a, b], x ∈D(t), v

B(t)}.

Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:

1) многозначное отображение

B : [a,b] → C(Rⁿ) интегрально ограничено (и поэтому

B(t) ∈ K(Rⁿ) для п.в. t ∈ [a, b]);

2) функция f|_Ξ(t, x, v, · , u) :

B(t) → R^k при п.в. t ∈ [a, b] и любых x ∈D(t), v

B(t),

U (t) упорядоченно накрывает множество {0} ⊂ R^k;

3) функция f|_Ξ(t, · , · , w, · ) :^D(t)

B(t)

U (t) → R^k при п.в. t ∈ [a, b] и любых w

B(t) по

каждой компоненте x₁, . . . , x_n, v₁, . . . , v_n и u₁, . . . , u_n соответствующих векторных

аргументов x, v, u убывает (не строго);

4) отображение U|_Θ(t,·,·) :^D(t)

B(t) → K(R^m) при п.в. t ∈ [a, b] изотонно.

Тогда существует решение (x, u) задачи Коши с начальным условием (3) для управляемой

системы (22) с обратной связью (19) и ограничением (2) такое, что

x ≤ η0

и u ≤ u₀.

Кроме того, в множестве DSol^Uf (B) существует пара ( x,u) такая, что ˙x - минимальный

элемент в π₁(DSol^Uf (B)) и выполнено x≤ η0 и u≤u0.

Доказательство. Введём многозначное отображение F : [a, b]×Rn×Rn×Rm ⇒ Rk по

формуле

= f(t,x,v,w,U(t,x,v)), (t,x,v,w) ∈ [a,b]×Rⁿ×Rⁿ×R^m.

(24)

Рассмотрим включение (1) с отображением F, определённым формулой (24). В силу принятых

здесь предположений это отображение удовлетворяет условиям теоремы 1 (соответственно

теоремы 2). В частности, из неравенств (23) следует, что для функции η₀ ∈ AC(B) выполнены

соотношения (4). Согласно теоремам 1, 2 множество Sol_F (B) решений задачи Коши (1)-(3)

не пусто, а в множестве DSol_F (B) производных решений есть минимальный элемент x и для

него выполнено неравенство x≤ η0.

Согласно лемме 1 рассматриваемая задача управления также разрешима и для её мно-

жества решений Sol^Uf (B) выполнено равенство π₁(Sol^Uf (B)) = Sol_F (B), а следовательно, и

равенство π₁(DSol^Uf (B)) = DSol_F (B). Поэтому элемент x является минимальным в множе-

стве π₁(DSol^Uf (B)).

Управление, соответствующее траектории x, удовлетворяет при п.в. t ∈ [a, b] включению

u(t) ∈ U(t, x(t), x(t)). Вследствие изотонности отображения U|_Θ(t, · , · ) :^D(t)

B(t) → K(R^m)

при п.в. t ∈ [a, b] множество U(t) = U(t, x(t), x(t))

^⋂O_Rm(u₀(t)) не пусто, соответствующее

многозначное отображение U : [a, b] → K(R^m) является пересечением измеримых отображе-

ний, поэтому само измеримо. Для любого измеримого сечения u отображения U пара (x, u) -

решение рассматриваемой задачи управления и u ≤ u₀. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1294

ЖУКОВСКИЙ, СЕРОВА

Отметим, что в условиях теоремы 4 в множестве π₁(DSol^Uf (B)) производных от траекторий

управляемой системы есть минимальный элемент, но в множестве π₂(Sol^Uf (B)) управлений

этой системы минимального элемента может не быть. Приведём соответствующий пример.

Пример 2. Рассмотрим уравнение (8) из примера 1 как тривиальную управляемую сис-

тему вида (22), в которой функция f не зависит от последнего аргумента - управления (т.е.

f (t, x, v, w, · ) : R → R - постоянная функция). Начальное условие и ограничение на производ-

ную траектории зададим теми же соотношениями (9), (10), что и в примере 1.

Для рассматриваемой функции f : [0, 1] × R² × R² × R² × R → R, f(t, x, v, w, u) = w₁ +

+w₂, и отображения B : [0,1] → C(R²), B(t) = [-1,1] × [-1,1], справедливы предположения

теоремы 1 (см. пример 1), где η₀ : [0, 1] → R², η₀ = (t, t), t ∈ [0, 1].

Функцию обратной связи U будем здесь полагать однозначной, зададим её следующим

образом. Разобьем плоскость R² на два непересекающихся множества

V = {v = (v₁,v₂) : v₂ < 1}, V = R² \ V = {v = (v₁,v₂) : v₂ ≥ 1}

и положим U : [-1, 1] × R² × R² → R,

{

v₁, если v ∈ V,

если v ∈ V .

Функция U( · , · , · ) постоянна по первым двум аргументам t, x, а как функция третьего

аргумента v = (v₁, v₂) непрерывна по компоненте v₁ этого аргумента и терпит разрывы по

компоненте v₂ только в точках прямой v₂ = 1, причём непрерывна в этих точках справа

(кроме одной точки (1, 1), в которой непрерывна по v₂). В силу определения функции U,

так как η0(t) ≡ (1,1) ∈ V , имеем u0(t) = U(t,η0(t), η0(t)) = 1.

Из определений множеств

B(t),

^D(t) и Θ получаем

B(t) = B(t) = [-1, 1] × [-1, 1],

^D(t) = [0, t] × [0, t], t ∈ [0, 1],

Θ = {(t,x,v) : t ∈ [0,1], x ∈ [0,t] × [0,t], v ∈ [-1,1] × [-1,1]}.

Сужение U|_Θ : Θ → R функции U на множество Θ постоянно по первым двум аргументам

t, x и возрастает (не строго) по каждой компоненте v₁, v₂ последнего аргумента v.

Итак, выполнены все предположения теоремы 4. Для рассматриваемой задачи управления

множество DSol^Uf (B) содержит все пары ( x, u) функций вида

{

z(t),

-1 < z(t) ≤ 1,

x(t) = (z(t), -z(t)), u(t) =

t ∈ [0,1],

z(t) = -1,

где z ∈ L - произвольная функция, удовлетворяющая почти всюду на [0, 1] неравенству

|z(t)| ≤ 1. Любой элемент в множестве π1(DSolUf (B)) = {(z, -z) : z ∈ L, ∥z(t)| ≤ 1, при

п.в. t ∈ [0, 1]} является минимальным. Множество π₂(DSol^Uf (B)) состоит из всевозможных

функций z ∈ L таких, что -1 < z(t) ≤ 1, t ∈ [0, 1], и в этом множестве нет минимального

элемента.

С использованием теоремы 4 получим условия существования наименьшей траектории и

наименьшего допустимого управления.

Теорема 5. Пусть выполнены предположения теоремы 4 и, кроме того, каждая i-я ком-

понента f_i, i = 1,n, функции f может быть записана в виде

f_i(t,x,v,w,u)

f_i(t,x,v,w_i,u),

(25)

где

f_i : [a,b]×Rⁿ ×Rⁿ ×R×R^m → R (f_i не зависит от переменных w₁, ... , wi-1, wi+1, ...

..., w_n), а множество

B(t) ⊂ Rⁿ при п.в. t ∈ [a, b] является нижней полурешёткой.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

1295

Тогда среди траекторий управляемой системы (22), (2), отвечающих условиям (3), (19),

существует траектория с наименьшей производной.

Если кроме перечисленных условий при п.в. t ∈ [a, b] и любых x ∈D(t), v

B(t) мно-

жество U(t, x, v) ⊂ R^k является нижней полурешёткой, то в множестве DSol^Uf (B) суще-

ствует наименьший элемент, т.е. такая пара ( x,u), что её первая компонента

x - это

наименьший элемент в множестве π₁(DSol^Uf (B)), а вторая компонента u - наименьший

элемент в π₂(DSol^Uf (B)).

Доказательство. При выполнении условия (25) дифференциальное включение, равно-

сильное рассматриваемой управляемой системе, порождается многозначным отображением

(24), компоненты которого могут быть представлены в виде (11). А так как ещё и

B(t) ⊂ Rⁿ

при п.в. t является нижней полурешёткой и выполняются условия теоремы 4, то справедли-

вы все предположения теоремы 3. Согласно теореме 3 среди решений этого включения (т.е.

траекторий управляемой системы) имеется функция x ∈ AC(B) с наименьшей производной.

Пусть теперь в дополнение к рассмотренным условиям при п.в. t ∈ [a, b] и любых x ∈D(t),

B(t) множество U(t, x, v) ⊂ R^k является нижней полурешёткой. Тогда при п.в. t ∈ [a, b]

в компактном непустом множестве U(t) = U(t, x(t), x(t))

^⋂O_Rm(u₀(t)) имеется наименьший

элемент u(t). Согласно [22, следствие 1.5.9] функция u(·) измерима. Для произвольной траек-

тории x выполнены неравенства x ≤ x и x ≤ x, из которых вследствие антитонности отобра-

жения U(t, · , · ) для любого измеримого сечения u многозначного отображения U( · , x(·),x˙(·))

справедливо неравенство u(t) ≤ u(t), t ∈ [a, b]. Таким образом, пара ( x, u) является наимень-

шей в множестве DSol^Uf (B). Теорема доказана.

Отметим, что представление компонент f_i, i = 1, n, функции f в виде (25) имеет место

для управляемой системы в скалярном случае, т.е. при n = k = 1, а также для управляемой

системы

x = g(t,x, x,u), t ∈ [a,b],

с функцией g : [a, b] × Rⁿ × Rⁿ × R^m → Rⁿ. Для таких управляемых систем из теоремы 5

несложно вывести условия существования траектории с наименьшей производной и наимень-

шего управления.

Результаты пп. 1 и 3 получены первым автором при поддержке Российского научного фон-

да (проект № 20-11-20131, https://rscf.ru/project/23-11-45014/). Результаты пп. 2 и 4 полу-

чены вторым автором при поддержке Российского научного фонда (проект № 23-11-20020,

https://rscf.ru/project/23-11-20020/).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнов А.В., Асеев С.М., Благодатских В.И. Необходимые условия первого порядка в задаче

оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями // Мат. сб.

1993. Т. 184. № 6. С. 3-23.

2. Mordukhovich B.S. Varitional Analysis and Generalized Differentiation II. Application. Berlin, 2006.

3. Давыдов А.А. Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно

производной в окрестности его особой точки // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19. № 2. С. 1-10.

4. Davydov A., Ishikawa G., Izumiya S., Sun W.-Z. Generic singularities of implicit systems of first order

differential equations on the plane // Japanese J. of Math. 2008. V. 3. № 1. P. 93-120.

5. Ремизов А.О. Неявные дифференциальные уравнения и векторные поля с неизолированными осо-

быми точками // Мат. сб. 2002. Т. 193. № 11. С. 105-124.

6. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично

упорядоченных пространствах // Докл. РАН. 2013. Т. 453. № 5. С. 475-478.

7. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Точки совпадения многозначных отображений

в частично упорядоченных пространствах // Докл. РАН. 2013. Т. 453. № 6. С. 595-598.

8. Иоффе А.Д. Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление // Успехи мат. наук.

2000. Т. 55. № 3. С. 103-162.

9. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к

дифференциальным уравнениям, не разрешённым относительно производной // Дифференц. урав-

нения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023

1296

ЖУКОВСКИЙ, СЕРОВА

10. Жуковский Е.С., Мерчела В. О накрывающих отображениях в обобщённых метрических простран-

ствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений // Уфимский мат. журн. 2020. Т. 12.

№ 4. С. 42-55.

11. Арутюнов А.В., Жуковская З.Т., Жуковский С.Е. Антипериодическая краевая задача для неяв-

ного обыкновенного дифференциального уравнения // Вестн. рос. ун-тов. Математика. 2022. Т. 27.

№ 139. С. 205-213.

12. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially

ordered spaces // Topology and its Appl. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.

13. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings

in partially ordered spaces // Topology and its Appl. 2016. V. 201. P. 330-343.

14. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки

// Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

15. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Точки совпадения и обобщённые точки совпа-

дения двух многозначных отображений // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2020. Т. 308. С. 42-49.

16. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных

неравенствах // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1610-1627.

17. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа

Чаплыгина // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30. № 1. С. 96-127.

18. Бенараб С., Жуковская З.Т., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О функциональных и дифферен-

циальных неравенствах и их приложениях к задачам управления // Дифференц. уравнения. 2020.

Т. 56. № 11. С. 1471-1482.

19. Бенараб С. Двусторонние оценки решений краевых задач для неявных дифференциальных уравне-

ний // Вестн. рос. ун-тов. Математика. 2021. Т. 26. № 134. С. 216-220.

20. Бенараб С. О теореме Чаплыгина для неявного дифференциального уравнения n-го порядка

// Вестн. рос. ун-тов. Математика. 2021. Т. 26. № 135. С. 225-233.

21. Zhukovskiy E.S., Serova I.D., Panasenko E.A., Burlakov E.O. On order covering set-valued mappings and

their applications to the investigation of implicit differential inclusions and dynamic models of economic

processes // Adv. in Systems Sci. and Appl. 2022. V. 22. № 1. P. 176-191.

22. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных

отображений и дифференциальных включений. М., 2016.

23. Арутюнов А.В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М., 2014.

24. Серова И.Д. Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщённых условиях

Каратеодори // Вестн. рос. ун-тов. Математика. 2021. Т. 26. № 135. С. 305-314.

25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1981.

Тамбовский государственный университет

Поступила в редакцию 18.05.2023 г.

имени Г.Р. Державина,

После доработки 18.05.2023 г.

Институт проблем управления

Принята к публикации 20.07.2023 г.

имени В.А. Трапезникова РАН, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№9

2023