В настоящее время многослойные неоднородные голографические дифракционные структуры (МНГДС) привлекают свое внимание множество исследователей своими уникальными дифракционными характеристиками [1–11]. Селективный отклик таких структур отличается от стандартных одиночных голографических дифракционных структур (ГДС) наличием локальных максимумов, заключенных в общий контур селективности, который при этом аналогичен одиночной ГДС [3–6]. Варьируя соотношением толщин буферных и дифракционных слоев, а также их количеством, возможно изменять вид селективного отклика [3–6, 12–14]. Данная особенность позволяет рассматривать данные структуры, например, в качестве элементов спектральных фильтров или же для генерации последовательности фемтосекундных лазерных импульсов [7–11].
В предыдущей работе [14] была продемонстрирована возможность управления дифракционными характеристиками МНГДС, сформированных в капсулированных полимером жидких кристаллах (КПЖК), с помощью внешнего электрического воздействия. При электрическом воздействии на определенные дифракционные слои появлялась возможность “отключать” дифракцию на необыкновенных собственных волнах, что в итоге приводило к трансформации селективного отклика на выходе всей МНГДС. Следовательно, на основе таких структур появляется возможность построения уже электрически управляемых дифракционных оптических элементов для спектральной фильтрации оптического излучения.
Однако, проведенные исследования с КПЖК показывают, что среда является оптически однородной, происходит полное разделение фаз, и при управлении внешним электрическим полем директор капсул жидких кристаллов (ЖК) поворачивается по толщине слоев ГДС одинаково. При рассмотрении же случая, когда концентрация ЖК достаточно велика (более 90%), среда имеет плавную оптическую неоднородность [15, 16], что необходимо учитывать при решении задачи дифракции.
Таким образом, целью данной работы является разработка аналитической модели дифракции света на МНГДС в ФПМ-ЖК, которые имеют плавную оптическую неоднородность по толщине слоев.
При значительно большой концентрации ЖК (более 90%) по сравнению с фотополимерным материалом (ФПМ), их ориентация определяется границами дифракционного слоя и описывается уравнением Фредерикса [15, 16]:
Для начала поворота директора ЖК необходимо достичь уровня критической напряженности Фредерикса, которое определяется как [14–16]:
Для демонстрации причины возникновения плавной оптической неоднородности по глубине ФПМ-ЖК слоя, на рис. 1а приведен численный расчет угла поворота директора ЖК от прикладываемого внешнего электрического поля. Из представленного рисунка хорошо видно, что угол поворота директора ЖК имеет разные значения по глубине дифракционного слоя, что в итоге и обуславливает оптическую неоднородность среды. На рис. 1б также продемонстрирована векторная диаграмма дифракции света на необыкновенных волнах при изменении угла поворота директора ЖК.
Зависимость угла поворота директора ЖК по толщине ФПМ-ЖК слоя (а) и векторная диаграмма дифракции (б).
Учитывая угол поворота директора ЖК из выражения (1), тензор диэлектрической проницаемости для $n$-го слоя с ФПМ-ЖК записывается как [16]:
Изменение тензора диэлектрической проницаемости можно представить в виде ряда Фурье по пространственным гармоникам решеток, учитывая, что ${{\Delta \varepsilon }}_{p}^{n}{{\delta }} \ll {{\varepsilon }}_{p}^{n}$ и ${{\Delta \varepsilon }}_{{LC}}^{n}{{\delta }} \ll {{\varepsilon }}_{{LC}}^{n}{\text{:}}$
При решении задачи дифракции будем предполагать, что на МНГДС, у которой каждый дифракционный слой с ФПМ-ЖК расположен между двумя пластинами, выполненными ${\text{из}}$ оптически прозрачного материала (стекло), где на внутреннюю сторону каждой пластины нанесены электроды из проводящего оптически прозрачного материала (оксид индия-олова), падает произвольно поляризованный квазимонохроматический световой пучок ${{\vec {E}}^{0}}$ с волновым вектором ${{\vec {k}}_{0}}$ и единичным комплексным вектором поляризации ${{\vec {e}}_{0}}$ (рис. 2). Для схемы дифракции будем также рассматривать обобщенный случай, когда дифракционная структура наклонена, вследствие возможной последовательной записи нескольких наложенных решеток (рис. 2) [17].
Следуя методу медленноменяющихся амплитуд в случае брэгговской дифракции световых пучков на МНГДС в оптически неоднородных слоях ФПМ-ЖК (рис. 2), амплитуды взаимодействующих волн определяются системами уравнений связанных волн в частных производных [14–16]:
Однако, согласно результатам, приведенным в работе [16], зависимость ${{\Theta }^{{m,n}}}(\vec {r},E)$ имеет сложный вид, что делает получение решений для (4) в случае высокой эффективности дифракции невозможным. Вместе с тем, каждый ФПМ-ЖК слой можно аппроксимировать параболической функцией, тогда интегральную фазовую расстройку ${{\Theta }^{{m,n}}}(\vec {r},E)$ для каждого n-го слоя можно представить в аналитическом виде [16]:
И если ввести коэффициенты аппроксимации для интегральной фазовой расстройки для каждого ФПМ-ЖК слоя вида:
Таким образом, связь между слоями задается ${{\Theta }^{{m,n - 1}}}$ и для определения решения уравнений (4) необходимо произвести аппроксимацию параметра ${{\Theta }^{{m,n}}}(\vec {r})$ для каждого слоя и определить коэффициенты ${{a}_{n}}$ и ${{b}_{n}}$ из (7) путем минимизации интегральной среднеквадратической ошибки аппроксимации [16]:
Возвращаясь к схеме дифракции (рис. 2), определим выражения для пространственных распределений световых полей для 0-го и 1-го дифракционного порядка на выходе МНГДС [14, 16]:
Для описания преобразования плоских световых волн в многослойных средах воспользуемся матричным методом. Для этого перейдем от амплитудных распределений частотных Фурье-компонент дифрагирующих пучков к их угловым спектрам [6, 14]:
В результате процесс преобразования частотно-угловых спектров взаимодействующих световых пучков для необыкновенных волн на выходе МНГДС представится в виде [6, 14]:
где${{\vec {T}}^{N}} = {{\vec {T}}^{{e,N}}} \cdot {{\vec {A}}^{{e,N - 1}}} \cdot {{\vec {T}}^{{e,N - 1}}} \cdot ... \cdot {{\vec {A}}^{{e,n}}} \cdot {{\vec {T}}^{{e,n}}} \cdot ...$ $ \ldots \cdot {{\vec {A}}^{{e,1}}} \cdot {{\vec {T}}^{{e,1}}}$ – матричная передаточная функция всей МНГДС, ${{\vec {E}}^{{e,n}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{0}^{{e,n}}({{\omega }},{{\theta }})} \\ {E_{1}^{{e,n}}({{\omega }},{{\theta }})} \end{array}} \right],$ ${{\vec {T}}^{{n,m}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {T_{{00}}^{{n,m}}\left( {{{\omega }},{{\theta }}} \right)}&{T_{{10}}^{{n,m}}\left( {{{\omega }},{{\theta }}} \right)} \\ {T_{{01}}^{{n,m}}\left( {{{\omega }},{{\theta }}} \right)}&{T_{{11}}^{{n,m}}\left( {{{\omega }},{{\theta }}} \right)} \end{array}} \right]$ – матричная передаточная функция, ${{\vec {E}}^{0}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{0}}({{\omega }},{{\theta }})} \\ 0 \end{array}} \right],$ ${{\vec {A}}^{{e,n}}}$ – матрица перехода для промежуточного слоя, которая представлена в работах [6, 14].Компоненты матрицы ${{\vec {T}}^{{e,n}}}$ определяются как [16]:
При численном расчете будем полагать, что поляризация падающего излучения совпадает с поляризацией собственных необыкновенных волн для каждого слоя. Световые пучки являются плоскими монохроматическими с единичной амплитудой. Дифракционная эффективность на выходе МНГДС можно определить по известному выражению:
При численном расчете будет использована трехслойная ГДС с однородными профилями показателя преломления. Параметры для моделирования: ${{\lambda }} = 633$ нм; ${{d}_{n}} = 20$ мкм; ${{t}_{n}} = 160$ мкм; $n_{{lc}}^{o} = 1.535$ и $n_{{lc}}^{e} = 1.68$ являются обыкновенными и необыкновенными показателями преломления для ЖК соответственно; ${{n}_{p}} = 1.535$ является показателем преломления для полимера; угол Брэгга составляет ${{{{\theta }}}_{b}} = 15$ градусов; период дифракционной структуры 1.2 мкм; параметры для аппроксимации пространственной амплитуды первой гармоники показателя преломления для ФПМ-ЖК слоев функцией вида $n(y,c,s,t) = \cosh {{\left( {c(sy - t)} \right)}^{{ - 1}}}$ равны $\left\{ {с,s,t} \right\} = \left\{ {{\text{0}}{\text{.058}}, - {\text{1}}{\text{.867}}, - {\text{0}}{\text{.688}}} \right\}.$
На рис. 3 и 4 приведены зависимости дифракционной эффективности для трехслойной ГДС с ФПМ-ЖК от угла считывания и приложенного электрического поля только на второй слой.
Зависимость дифракционной эффективности для трехслойной ГДС с ФПМ-ЖК от угла считывания и значения внешнего электрического поля на втором слое.
Зависимость дифракционной эффективности для трехслойной ГДС с ФПМ-ЖК от угла считывания и дискретных значений внешнего электрического поля на втором слое.
Как видно из рис. 3 и 4, при подаче напряжения только на второй дифракционный слой селективный отклик трехслойной ГДС начинает трансформироваться до вида двухслойной ГДС, но с увеличенным промежуточным слоем, что обуславливает добавление локальных максимумов контура селективности. Однако, кроме трансформации, из-за плавной оптической неоднородности в ФПМ-ЖК слоях, наблюдается смещение угловой селективности даже при небольшом увеличении значения внешнего электрического воздействия, относительно критической напряженности Фредерикса, что не было так характерно для случая с КПЖК [14].
На рис. 5 и 6 приведены зависимости дифракционной эффективности для трехслойной ГДС в случае электрического воздействия на всех слоях.
Зависимость дифракционной эффективности для трехслойной ГДС с ФПМ-ЖК от угла считывания и значения внешнего электрического поля на всех слоях.
Зависимость дифракционной эффективности для трехслойной ГДС с ФПМ-ЖК от угла считывания и дискретных значений внешнего электрического поля на всех слоях.
Как видно из рис. 5 и 6, при электрическом воздействии на всех слоях происходит существенное смещение угловой селективности вследствие увеличения интегральной фазовой расстройки в каждом дифракционном слое. В общем случае, при дальнейшем увеличении значения электрического поля дифракция отключится. Однако, при небольшом увеличении значения электрического поля, относительно критической напряженности Фредерикса, появляется возможность плавно смещать угловую селективность, что в случае с МНГДС можно интерпретировать как канальную перестройку, если рассматривать такие структуры в качестве спектральных фильтров.
Также стоит отметить, что в случае увеличения числа и толщины дифракционных слоев при электрическом воздействии на всех слоях, произойдет увеличение коэффициента смещения угловой селективности, что обусловлено ростом интегральной фазовой расстройки из-за плавной оптической неоднородности от каждого дифракционного слоя с ФПМ-ЖК.
Приведенные закономерности необходимо учитывать при построении управляемых оптических спектральных фильтров на основе МНГДС с ФПМ-ЖК, так как это позволяет не только иметь возможность трансформации селективного отклика, но и осуществлять канальную перестройку с помощью внешнего электрического воздействия.
Представлена новая аналитическая модель дифракции света на пропускающих электрически управляемых многослойных неоднородных голографических дифракционных структурах в фотополимерных композициях с жидкокристаллической компонентой, которая учитывает плавную оптическую неоднородность вдоль глубины решеток. Представленные передаточные функции описывают эволюцию частотно-угловых спектров световых пучков при их дифракции на многослойных неоднородных голографических дифракционных структурах.
С помощью численного расчета было продемонстрировано, что при воздействии электрического поля на выбранный ФПМ-ЖК слой селективный отклик МНГДС может трансформироваться. При этом, вследствие плавной оптической неоднородности ФПМ-ЖК слоев, трансформация протекает со смещением угловой селективности, направление которого зависит от направления приложенного электрического поля.
Выявленные закономерности можно использовать для осуществления перестройки каналов, если рассматривать многослойные неоднородные голографические дифракционные структуры в качестве электрически управляемых элементов оптических спектральных фильтров.
Работа выполнена в рамках программы стратегического академического лидерства “Приоритет-2030”.