ВВЕДЕНИЕ

Исследования магнитосферы Земли показали, что важной частью ее динамики являются формирование, эволюция и распад тонкого токового слоя (ТТС) в ближнем хвосте магнитосферы, в котором важную роль играет нормальная компонента магнитного поля. При этом термин “тонкий” означает, что толщина слоя $L$ сравнима с гирорадиусом образующих его ионов (в данном случае протонов) на краю слоя $R_{c}^{\infty },$ т.е. $L \sim R_{c}^{\infty }.$ Первый из вращавшихся вокруг Юпитера космических аппаратов Galileo обнаружил аналогичный ТТС в ближнем хвосте магнитосфере Юпитера [1], что вызвало значительный интерес международного научного сообщества, результатом которого стало включение более детальных исследований этого ТТС в число научных задач направленного к Юпитеру аппарата Juno.

Юпитер имеет сильное магнитное поле и обладает ярко выраженной магнитосферой, которая, помимо общих свойств с магнитосферой Земли, имеет ряд отличий. Так, характерное значение тангенциальной компоненты магнитного поля выше и ниже токового слоя (ТС) для Юпитера и для Земли одинаково: ${{B}_{{\tau 0}}} = 20$ нТл, а характерное значение нормальной компоненты ${{B}_{n}}$ для Юпитера составляет ${{B}_{{nJ}}} = 1\,$ нТл, в то время как для Земли оно в 2 раза больше: ${{B}_{{nE}}} = 2$ нТл (нижние индексы J и E во всех случаях обозначают величины для Юпитера и Земли соответственно).

Данные вышеупомянутых аппаратов Galileo и Juno [1, 2] показывают, что в ТТС ближнего хвоста магнитосферы Юпитера помимо протонов могут присутствовать тяжелые горячие ионы кислорода O⁺ и серы S⁺. Их источником являются регулярные вулканические выбросы диоксида серы SO₂ на ближайшем к Юпитеру спутнике Ио, средний радиус орбиты которого примерно равен $6{{R}_{J}},$ где ${{R}_{J}} \approx 11{{R}_{E}}$ – радиус Юпитера, а ${{R}_{E}}$ – радиус Земли. Попадая в ближнюю магнитосферу Юпитера, молекулы SO₂ разделяются на холодные ионы кислорода O⁺ и серы S⁺, которые в результате движения в магнитном и электрическом полях приобретают значительную кинетическую энергию и заполняют всю ближнюю магнитосферу Юпитера, составляя значительную долю в концентрации ионов в периоды длительной вулканической активности на Ио.

Сравнение параметров плазмы в ТТС ближнего хвоста магнитосферы Юпитера и в ближней части плазменного слоя магнитосферы Земли, показывает, что характерные значения температуры протонов составляют ${{T}_{{pJ}}} \sim 5{\text{--}}20$ кэВ и ${{T}_{{pE}}} \sim 2{\text{--}}10$ кэВ соответственно. Характерные значения температуры ионов кислорода составляют ${{T}_{{{\text{O}}J}}} \sim 20{\text{--}}40$ кэВ и ${{T}_{{{\text{O}}E}}} \sim 0.2{\text{--}}0.8$ кэВ, то есть в хвосте магнитосферы Юпитера они на 2 порядка горячее, чем ионы кислорода, которые вытягиваются из высокоширотной земной ионосферы во время возмущенных периодов, когда последовательно происходит несколько суббурь (cм. [3–5]). Наиболее горячими ионами в магнитосфере Юпитера являются ионы серы: T_SJ ~ 40–60 кэВ. Характерные значения температуры электронов составляют ${{T}_{{eJ}}} \approx 1$ кэВ и ${{T}_{{eE}}} \approx 0.5{\text{--}}0.9$ кэВ соответственно. Отметим, что оценки пространственных масштабов изменения магнитного поля позволяют считать электроны замагниченными, в том числе и в центре ТС. Концентрации ионных компонент для Юпитера лежат в пределах ${{n}_{{{{\alpha }}J}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \approx 0.01{\text{--}}0.05$ см^–3, т.е. на 1–2 порядка меньше, чем для Земли, где они составляют ${{n}_{{{{\alpha }}E}}} \approx 0.1{\text{--}}3$ см^–3. Отношение продольной скорости встречных потоков ${{V}_{{D{{\alpha }}}}}$ на краях ТС к тепловой скорости ${{V}_{{T{{\alpha }}}}}$ для Юпитера ориентировочно лежит в пределах ${{\delta }_{{{{\alpha }}J}}} = {{{{V}_{{D{{\alpha }}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{V}_{{D{{\alpha }}}}}} {{{V}_{{T{{\alpha }}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{V}_{{T{{\alpha }}}}}}} \approx 0.25{\text{--}}4,$ а для Земли они могут изменяться в более широком диапазоне ${{\delta }_{{\alpha E}}} = \frac{{{{V}_{{D\alpha }}}}}{{{{V}_{{T\alpha }}}}} \approx 0.1{\text{--}}10.$

В итоге для рассматриваемого ТС в ближнем хвосте магнитосферы Юпитера можно выделить три случая. В первом случае при длительном отсутствии вулканических выбросов на Ио этот ТС образован одними протонами. Во втором случае основной вклад в образование ТС вносят тяжелые горячие ионы серы. В третьем случае все ионные компоненты вносят значительный вклад в образование ТС. В первую очередь эти случаи будут отличаться толщиной ТС, а также профилями плотности тока и концентрации. Поэтому в качестве начального шага при интерпретации указанных экспериментальных данных разумно выполнить численное моделирование с помощью модели стационарного пространственно одномерного ТС с заданной нормальной компонентой магнитного поля, которая наиболее детально описана в [6, 7]. При этом входные параметры модели можно определить по данным аппарата Juno.

В данной работе выполняется такое моделирование в наиболее простом случае, когда ТС является плоским и симметричным и образован встречными продольными потоками либо одних протонов, либо одних ионов кислорода, либо одних ионов серы.

ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ

В модели все функции зависят только от одной координаты z, которая направлена поперек ТС. Использовался наиболее простой симметричный вариант модели, в котором магнитное поле имеет заданную постоянную нормальную компоненту ${{B}_{z}} \equiv {\text{Const}}$ и самосогласованную тангенциальную компоненту ${{B}_{x}}\left( z \right),$ плотность тока и электрическое поле имеют по одной самосогласованной компоненте ${{j}_{y}}\left( z \right)$ и ${{E}_{z}}\left( z \right){\text{:}}$

где ${{\vec {e}}_{x}},$ ${{\vec {e}}_{y}}$ и ${{\vec {e}}_{z}}$ – векторы декартова базиса системы координат, $\varphi {\kern 1pt} \left( {z} \right)$ – скалярный потенциал. В модели возможен учет нескольких ионных компонент. Условие симметрии ТС имеет вид где ${{f}_{\alpha }}\left( {z,\vec {\nu }} \right)$ – функции распределения ионов сорта ${{\alpha }}$. За пределами области моделирования $\left\{ {\left| z \right| < L} \right\}$ магнитное поле считается постоянным, а электрическое нулевым:

Для каждой ионной компоненты соответствующее стационарное уравнение Власова численно решается методом характеристик, детально изложенным в [6, 7]. В каждом узле равномерной пространственной сетки задается ориентированная по местному магнитному полю равномерная сетка фиксированного размера в трехмерном пространстве скоростей. Таким образом, получается сетка в фазовом пространстве переменных $\left( {z,\vec {\nu }} \right) \in {{\mathbb{R}}^{4}}.$ Из узлов этой сетки в прошлое (при $t < 0$) рассчитываются фазовые траектории ионов вплоть до их выхода из области моделирования $\left\{ {\left| z \right| < L} \right\}$ в область влета, где заданы функции распределения образующих ТС встречных продольных потоков ионов, которые являются распределением Максвелла с гидродинамической скоростью $\vec {U}_{\alpha }^{{\left( \pm \right)}} = - \left( {\frac{{z{{{\vec {B}}}^{{\left( \pm \right)}}}}}{{\left| {z{{{\vec {B}}}^{{\left( \pm \right)}}}} \right|}}} \right)V_{{D\alpha }}^{{\left( \pm \right)}},$ направленной вдоль силовых линий магнитного поля в сторону слоя и имеющей величину $V_{{D{{\alpha }}}}^{{( \pm )}}$ (свою для каждого сорта ионов):

где $n_{{{\alpha }}}^{{( \pm )}}$ – концентрация, $V_{{T{{\alpha }}}}^{{( \pm )}} = \sqrt {{{eT_{{{\alpha }}}^{{( \pm )}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{eT_{{{\alpha }}}^{{( \pm )}}} {{{m}_{{{\alpha }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\alpha }}}}}}} $ – тепловая скорость, а $T_{{{\alpha }}}^{{( \pm )}}$ – температура (в эВ) в этих потоках. Геометрия задачи показана на рис. 1.

В результате из условия постоянства функции распределения вдоль фазовой траектории по значению функции влета в точке выхода этой траектории из области моделирования рассчитываются значения функции распределения ${{f}_{\alpha }}\left( {z,\vec {\nu }} \right)$ в узлах сетки в пространстве скоростей для каждого узла пространственной сетки.

По функции распределения для каждого сорта ионов ${{\alpha }}$ в узлах пространственной сетки рассчитываются концентрация ${{n}_{{{\alpha }}}}\left( z \right)$ и y-компонента плотности тока ${{j}_{{{{\alpha }}y}}}\left( z \right).$ По ним для ионов рассчитываются суммарные плотность заряда ${{{{\rho }}}_{{i{\kern 1pt} }}}\left( z \right) = \sum\nolimits_{{\alpha }} {{{q}_{{{\alpha }}}}{{n}_{{{\alpha }}}}\left( z \right)} $ и y-компонента плотности тока ${{j}_{{iy{\kern 1pt} }}}\left( z \right) = \sum\nolimits_{{\alpha }} {{{j}_{{{{\alpha }}y}}}\left( z \right)} .$ Концентрация замагниченных электронов определяется из условия квазинейтральности ${{n}_{e}}\left( z \right) = {{{{{{\rho }}}_{i}}\left( z \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\rho }}}_{i}}\left( z \right)} e}} \right. \kern-0em} e},$ а их функция распределения считается изотропным распределением Максвелла-Больцмана в потенциальном электрическом поле с постоянной температурой ${{T}_{e}} \equiv {\text{Const}}{\text{.}}$ Эта функция является точным решением уравнения Власова в дрейфовом приближении и имеет вид

где ${{n}_{{e0}}}$ – концентрация электронов на краю ТС. Отсюда следует, что потенциал $\varphi \left( z \right)$ и изотропное давление электронов ${{p}_{e}}\left( z \right)$ связаны с их концентрацией формулами а также полное силовое равновесие электронов, то есть выполнение уравнения $e{{n}_{e}}\left( z \right)\vec {E}\left( z \right)$ = = $ - \nabla {{p}_{e}}\left( z \right).$ Из этого уравнения и выражения для плотности тока замагниченных электронов из дрейфовой теории следует: (где $\vec {b} = \frac{{\vec {B}}}{B}$ – единичный вектор вдоль магнитного поля, ${{\vec {\upsilon }}_{E}} = \frac{{\left[ {\vec {E} \times \vec {B}} \right]}}{{{{B}^{2}}}}$ – скорость электрического дрейфа), а также из условия симметрии (2) вытекает равенство нулю плотности тока замагниченных электронов: ${{\vec {j}}_{e}}\left( z \right) \equiv 0.$

Таким образом, поля в модели определяются плотностями заряда и тока ионов и температурой электронов: потенциал электрического поля определяется 2-й формулой в (5), а магнитное поле определяется из уравнения Ампера:

В расчетах использовались значение нормальной компоненты магнитного поля ${{B}_{z}} = 1$ нТл и величина тангенциальной компоненты вне слоя ${{B}_{{x0}}} = 20$ нТл. Шаг сетки в пространстве скоростей для каждого сорта ионов (${{\alpha }}$ = p, O⁺, S⁺) был равен 1/16 от их тепловой скорости в потоках: $\Delta {{\nu }_{{{\alpha }}}} = {{{{V}_{{T{{\alpha }}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{V}_{{T{{\alpha }}}}}} {16}}} \right. \kern-0em} {16}}.$ Значения температуры и продольной скорости потоков каждой ионной компоненты выбирались как характерные значения из данных аппарата Juno и составляли ${{T}_{p}} = 10$ кэВ, ${{T}_{{\text{O}}}} = 20$ кэВ, ${{T}_{{\text{S}}}} = 40$ кэВ, ${{V}_{{D{{\alpha }}}}} = 2{{V}_{{T{{\alpha }}}}},$ т.е. параметр потока ${{\delta }_{{{\alpha }}}} = {{{{V}_{{D{{\alpha }}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{V}_{{D{{\alpha }}}}}} {{{V}_{{T{{\alpha }}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{V}_{{T{{\alpha }}}}}}}$ был одинаков для всех сортов ионов: ${{\delta }_{p}} = {{\delta }_{{\text{O}}}} = {{\delta }_{{\text{S}}}} = 2.$ Температура электронов была ${{T}_{e}} = 1$ кэВ.

Важным параметром для модели является характерный тепловой гирорадиус в потоках каждой ионной компоненты плазмы на краю ТС, который определяется формулами

Полуширина ${{L}_{{{{\alpha 0}}}}}$ ТТС, образованного потоками ионов сорта ${{\alpha ,}}$ связана с гирорадиусом эмпирической оценкой [8, 9]:

При этом полуширина области моделирования ${{L}_{{{\alpha }}}}$ должна быть достаточно большой, чтобы орбиты влетающих с краев тепловых ионов сорта ${{\alpha }}$ проходили достаточно далеко от токового слоя в ее центре. При выборе шага пространственной сетки ${{\left( {\Delta z} \right)}_{{{\alpha }}}}$ нужно исходить из требования обеспечить разрешение возможной тонкой структуры профилей в центре ТТС. Из этих соображений вытекают оценки

которые позволяет оценить размер области моделирования и шаг сетки по пространству.

При указанных выше параметрах гирорадиус составляет для протонов $R_{{{\text{cp}}}}^{{{\kern 1pt} \infty }} \approx 500$ км, для ионов кислорода $R_{{{\text{c}}{\kern 1pt} {\text{O}}}}^{{{\kern 1pt} \infty }} \approx 2830$ км, и для ионов серы $R_{{{\text{c}}{\kern 1pt} {\text{S}}}}^{{{\kern 1pt} \infty }} \approx 5660$ км. В соответствии с оценками (10) полуширина области моделирования и шаг сетки по пространству в случае ТС, образованного потоками протонов составляли ${{L}_{p}} = 2{{R}_{E}} = 12\,800$ км и ${{\left( {\Delta {\kern 1pt} z} \right)}_{p}}{\kern 1pt} = 20$ км. В случае ТС, образованного потоками ионов серы, эти параметры составляли ${{L}_{{\text{S}}}} = 6.5{{R}_{E}} = 41600$ км и ${{\left( {\Delta z} \right)}_{{\text{S}}}} = 100$ км, а для ТС, образованного потоками ионов кислорода, они составляли ${{L}_{{\text{O}}}} = 4.5{{R}_{E}} = 28800$ км и ${{\left( {\Delta z} \right)}_{{\text{O}}}} = 50$ км.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Для каждого из описанных выше трех вариантов были получены стационарные конфигурации ТТС. На рис. 2 показаны полученные профили тангенциальной компоненты магнитного поля ${{B}_{x}}\left( z \right)$ в нТл. На рис. 3 показаны профили компоненты плотности тока ${{j}_{{{{\alpha }}y}}}\left( z \right)$ в нА/м², а на рис. 4 показаны профили концентрация ${{n}_{{{\alpha }}}}\left( z \right)$ в см^–3. На всех рисунках фиолетовая линия показывает профиль для ТС, образованного потоками протонов, черная линия показывает профиль для ТС, образованного потоками ионов кислорода, а синяя линия отображает профили для ТС, образованного потоками ионов серы.

Полученные результаты показали хорошее соответствие с данными измерений. Концентрации плазмы в рассчитанных конфигурациях попали в наблюдаемый диапазон значений для всех трех сортов ионов. Из графиков видно, что потоки более горячих ионов дают изменение магнитного поля при переходе через слой в $\Delta {{B}_{\tau }} = 2{{B}_{{\tau 0}}} = 40$ нТл при меньших значениях концентрации, и выполняется соотношение

которое вытекает из условия силового баланса в пространственно одномерном ТТС, изложенного в [10].

Также расчеты подтвердили эмпирическую оценку (9) на полуширину ТС. Из этой оценки и значений температуры потоков протонов, температуры ионов серы и температуры ионов кислорода вытекает, что полуширина ТС для рассчитанных вариантов различается в разы:

что подтверждается результатами расчетов. Образованный потоками протонов ТС является наиболее тонким: полуширина основной его части без овершутов составляет примерно ${{L}_{{p{\text{0}}}}} \approx 0.31{{R}_{E}},$ а концентрация и плотность тока в центре ТС имеют значения вблизи максимально наблюдаемых:

В случае образования ТС потоками одних ионов серы S⁺ он получился наиболее широким с полушириной ${{L}_{{{\text{S}}0}}} \approx 3.54{{R}_{E}} \approx 8\sqrt 2 {{L}_{{p0}}},$ т.е. оценка (12) выполняется с хорошей точностью. Концентрация и плотность тока в центре ТС имеют значения вблизи минимально наблюдаемых:

Образованный потоками одних ионов кислорода O⁺ ТС занимает промежуточное положение с полушириной ${{L}_{{{\text{O}}0}}} \approx 1.78{{R}_{E}} \approx 4\sqrt 2 {{L}_{{p0}}},$ т.е. оценка (12) также выполняется с хорошей точностью. Концентрация и плотность тока в центре ТС также имеют значения примерно посредине наблюдаемого диапазона:

Отметим, что в реальности в хвосте магнитосферы Юпитера должна всегда присутствовать фоновая популяция протонов, которая не вносит вклад в плотность тока. Аналогичная фоновая популяция протонов всегда присутствует в хвосте магнитосферы Земли. В представленной модели она не учитывается. Концентрация этой популяции постоянна в ТС и по величине сравнима с концентрацией “пролетной” популяции, которая рассматривается в расчетах. Поэтому учет этой популяции уменьшит отношение ${{{{{{\rho }}}_{i}}{\kern 1pt} \left( z \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\rho }}}_{i}}{\kern 1pt} \left( z \right)} {{{{{\rho }}}_{{i0}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\rho }}}_{{i0}}}}}$ во второй формуле в (7), а, значит, уменьшит величину электрического поля. При этом следует отметить, что в рассматриваемой задаче выполнены условия ${{T}_{e}} \ll {{T}_{p}} < {{T}_{{\text{O}}}} < {{T}_{{\text{S}}}},$ из которых следует, что электрическое поле очень мало и оказывает очень слабое влияние на движение ионов в ТС, что подтверждают результаты расчетов. Поэтому пренебрежение фоновой популяцией вполне оправданно для постановки задачи, которая рассматривается в этой работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервые выполнено численное моделирование ТС в хвосте магнитосферы Юпитера на кинетическом уровне. Результаты моделирования объясняют наблюдаемый диапазон значений концентрации в ТС ближнего хвоста магнитосферы Юпитера: максимальные концентрации получаются в периоды длительных пауз в вулканической активности на Ио, когда в ближней магнитосфере Юпитера присутствуют в основном протоны. В этом случае для согласования расчетного изменения тангенциальной компоненты магнитного поля между долями хвоста с наблюдаемым значением необходима максимальная концентрация протонов, которые в магнитосфере Юпитера имеют меньшую температуру по сравнению с ионами кислорода O⁺ и серы S⁺. При этом токовый слой будет наиболее тонким. Минимальные концентрации ионов будут наблюдаться в периоды длительной вулканической активности на Ио, когда в ближней магнитосфере Юпитера присутствуют значительная доля горячих ионов серы S⁺. При этом токовый слой будет наиболее широким, на порядок шире ТС образованного только потоками протонов, а максимальное значение плотности тока в нем будет наименьшим.

Приведенные в этой статье результаты расчетов будут полезны для анализа и интерпретации данных измерений магнитного поля и параметров частиц с космического аппарата Juno по мере их обработки и опубликования.

Автор выражает благодарность Мингалеву О.В. за советы и ценные замечания при написании статьи, а также Артемьеву А.В. за предоставленные спутниковые данные, которые послужили входными параметрами для модели. Данная работа была поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”.