ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 1, стр. 147-174

СПЕКТРАЛЬНО-ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗЛЕТА

ГОРЯЧЕГО ПЛАЗМЕННОГО СЛОЯ

Е. А. Говрас^*, В. Ю. Быченков

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119333, Москва, Россия

ФГУП «ВНИИА им. Н. Л. Духова»

127055, Москва, Россия

Поступила в редакцию 21 марта 2018 г.,

после переработки 5 июля 2018 г.

Принята к публикации 5 июля 2018 г.

Представлена теоретическая модель, описывающая разлет плазменного слоя в вакуум при произвольном

значении температуры электронной компоненты плазмы. На основании сравнения с известными предель-

ными случаями квазинейтрального разлета и кулоновского взрыва, а также с результатами одномерно-

го электростатического моделирования продемонстрирована хорошая точность предлагаемой модели в

описании спектрально-энергетических и пространственных характеристик ионов, ускоряемых при разлете

плазмы. Описана процедура получения связи характеристик ускоренных ионов с параметрами лазерного

импульса и мишени применительно к качественным предсказаниям и описанию результатов численного

кинетического моделирования и экспериментов по лазер-плазменному ускорению ионов.

DOI: 10.1134/S0044451019010139

ский, прогресс в ускорении ионов ставит на повестку

дня разработку принципиально новых схем (напри-

1. ВВЕДЕНИЕ

мер, ускорение ионов «медленным» светом [4]) или

На протяжении последних десятилетий лазер-

существенную, целенаправленную оптимизацию из-

но-иниицированное ускорение заряженных частиц

вестных схем лазерно-инициированного ускорения

продолжает оставаться одной из самых интенсивно

ионов. Важную роль в этом направлении должны

развивающихся областей лазерной физики высоких

играть теоретические модели, которые, несмотря на

плотностей энергии. Если за эти годы прогресс в

свою упрощенность, позволяют описывать основные

ускорении электронов был колоссален, демонстри-

физические процессы, сопровождающие ускорение

руя увеличение их энергии с нескольких мегаэлек-

ионов, и выявлять скейлинги, получение которых в

тронвольт до нескольких гигаэлектронвольт, то при-

численных расчетах затруднено в силу многопара-

менительно к генерации пучков ускоренных ионов,

метричности задачи. Даже классическая задача о

например протонов, за последние двадцать лет на-

разлете плазмы в вакуум, к которой зачастую сво-

блюдалось лишь сравнительно незначительное, при-

дится лазерно-плазменное ускорение ионов, все еще

мерно двукратное, увеличение максимально дости-

привлекает внимание с точки зрения параметриза-

жимой энергии частиц: с 50-60 МэВ [1] до значений

ции ее решения. Примером служит продолжающе-

порядка 100 МэВ [2,3]. В то же время, если принять

еся совершенствование модели, сформулированной

во внимание энергию использованных лазерных им-

50 лет в пионерской работе [5], вплоть до настоя-

пульсов (400 Дж [1] и 27 Дж [2]), то можно все же

щего времени [6,7]. Конечным итогом любой теоре-

говорить об умеренном прогрессе в улучшении кон-

тической модели остается установление зависимости

версии энергии лазера в энергию ускоренных час-

характеристик и спектра ускоренных частиц от па-

тиц: с 0.145 МэВ/Дж до 3.4 МэВ/Дж в расчете на

раметров лазерного импульса и используемой мише-

1 Дж вложенной лазерной энергии. В целом мож-

ни, что ставится целью и данной работы.

но утверждать, что такой, отнюдь не оптимистиче-

Теоретическое изучение ускорения ионов из

^* E-mail: egovras@lebedev.ru

плазмы началось с работы [5], в которой было

147

10*

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

показано, что полуограниченная плазма, состоящая

мишени. Заметим, что использование тонких ми-

из нагретых больцмановских электронов и одного

шеней толщиной порядка скин-слоя лазерного

сорта ионов, при своем расширении в вакуум

излучения действительно оправдано вследствие

является источником ускоренных ионов. Рассмот-

очень эффективного, объемного, нагрева элект-

ренный квазинейтральный режим разлета, когда

ронов мишени, что приводит к возникновению

не возникало сильного поля разделения заряда,

сильных полей разделения заряда. Несмотря на

фактически отвечал имевшимся на тот момент

это, на данный момент создано достаточно мало

лазерным установкам наносекундного диапазона,

теоретических моделей, описывающих ускорение

нагревавшим электроны плазменной короны до

ионов из тонких фольг. Кроме того, такие модели

килоэлектронвольтных энергий [8]. Рост мощности

обычно рассматривают «рафинированные» режи-

лазерных импульсов, стимулированный открыти-

мы разлета: квазинейтральный разлет [23-26] или

ем CPA-технологии (chirped pulse amplification)

кулоновский взрыв [27], а также модельное, неса-

усиления [9], привел к увеличению характерной

мосогласованное поведение электронной плотности

температуры нагреваемой электронной компоненты

в течение разлета ионной плазмы [28-30].

плазмы. С теоретической точки зрения это требует

До сих пор остается нерешенной задача об ана-

учета возникающего поля разделения заряда, что, в

литическом или полуаналитическом описании само-

частности, позволяет описывать параметры фронта

согласованного разлета в вакуум плазменного слоя

ионов, где нарушается условие квазинейтральности,

конечной толщины с электронами любой заданной

использованное в работе [5] и при использовании

температуры (т. е. в случае произвольного отноше-

которого невозможно получить такие важные ха-

ния дебаевского радиуса нагретых электронов к тол-

рактеристики, как скорость разлета ионной плазмы

щине мишени), которая включала бы в себя, в каче-

и максимальная энергия частиц. Такое описание

стве предельных случаев, разлет полубесконечной

было впервые дано в работе Мора [6] для полуогра-

плазмы и кулоновский взрыв тонкой мишени. По-

ниченной, по-прежнему, плазмы. Полученная им

строению этой востребованной теоретической моде-

формула для максимальной энергии ионов широко

ли и, прежде всего, теории спектров ускоренных из

использовалась и используется до сих пор для

такой мишени ионов на основании обобщения из-

оценок результатов экспериментов и численного

вестных результатов и посвящена настоящая рабо-

моделирования.

та. Мы даем полную формулировку модели, кратко

Дальнейшее развитие лазерных технологий

и недетализированно изложенную в работе [31], ос-

[10-12], а также использование плазменных зер-

нованную на ясных физических аргументах, дока-

кал [13, 14] позволили достичь контраста порядка

завших свою состоятельность при описании резуль-

10-8 для лазерного импульса на пикосекундном

татов трехмерного численного кинетического моде-

временном масштабе, что уже не приводит к преж-

лирования [32-34]. Также дается подробный ана-

девременному разрушению мишени до прихода

лиз точности получаемых спектральных распреде-

основной части импульса. Вместе с технологиями

лений на основании сравнения с результатами одно-

производства мишеней толщиной вплоть до всего

мерной электростатической численной модели. Кро-

нескольких нанометров [15-18] это позволило про-

ме того, ниже описана процедура получения свя-

водить эксперименты по взаимодействию мощных

зи спектрально-энергетических характеристик уско-

лазерных импульсов с тонкими мишенями, которые

ренных ионов с параметрами лазерного импульса

оказались наиболее эффективными для ускорения

и мишени на примере сравнения теоретических ре-

ионов, что непосредственно вытекало из целого

зультатов с трехмерным кинетическим моделирова-

ряда экспериментов, продемонстрировавших рост

нием, проведенном с использованием кода VSim [35].

энергии ускоренных ионов с уменьшением толщины

Начиная с 60-х годов прошлого столетия и по

мишени [14, 15, 19-22]. Для качественного описания

настоящее время в многочисленных работах по опи-

экспериментов с ультратонкими мишенями все

санию ускорения ионов плазмы учет электронной

еще используется подход Мора [6] (см., например,

компоненты осуществляется на основе предположе-

работы [21, 22]), хотя его использование выходит

ния о больцмановском распределении их плотности

за рамки формальной применимости модели [6],

с заданной температурой T [5,29,30,36-39], причем

заключающейся в малости дебаевского радиуса

для связи последней с интенсивностью облучающе-

лазерно-нагретых электронов (который вовсе не

го мишень лазера применяются различные скейлин-

мал из-за достигаемых релятивистских и ультраре-

ги, среди которых наиболее популярным и нашед-

лятивистских энергий) по сравнению с толщиной

шим подтверждение в экспериментах с твердотель-

148

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

ными мишенями является пондеромоторный скей-

для распределений электростатического поля, спек-

линг, предложенный в работе [40]:

тров ускоренных ионов и зависимостей спектрально-

[√

]

энергетических характеристик ионов от основных

T = mc²

-1 .

(1)

управляющих параметров задачи. Процедура полу-

чения связи спектральных распределений ускорен-

Здесь m — масса электрона, c — скорость света, a =

ных ионов с заданными параметрами лазерного им-

√

= 0.85

I λ2L · 10-18, где I — поглощенная мишенью

пульса и мишени приводится в разд. 7, где пред-

интенсивность лазерного излучения, выраженная в

ставлено сравнение теоретических результатов с ре-

единицах Вт/см², а λ_L — длина волны лазера в мик-

зультатами трехмерного кинетического PIC-модели-

рометрах. Фактически, учет воздействия лазерного

рования, проведенного с использованием кода VSim

импульса в рамках нашей модели сводится к зада-

[35]. В Заключении приводится обзор полученных

нию параметров электронной компоненты мишени,

результатов и формулируются выводы данной ра-

благодаря запасу энергии которой и создается по-

боты (разд. 8).

ле разделения зарядов, ускоряющее ионы. Рассмат-

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ривая разлет плазмы в течение действия лазерного

импульса (моменты времени t < τ, где τ — дли-

Рассмотрим одномерный разлет в вакуум плаз-

тельность лазерного импульса), поддерживающего

менного слоя конечной толщины L. Изначально по-

электроны в нагретом состоянии, мы для опреде-

коящиеся ионы плазмы занимают область простран-

ленности считаем температуру электронов постоян-

ства -L/2 < x < L/2. Однородный внутри, профиль

ной во времени до t = τ. На расстоянии от мишени,

их плотности имеет ступенчатый характер на грани-

меньшем размера пятна фокусировки лазерного им-

цах слоя, x = ±L/2. Движение ионной плазмы опи-

пульса, трехмерные эффекты, приводящие к силь-

сывается уравнением Власова с самосогласованным

ному уменьшению ускоряющего поля, не играют су-

полем E(x, t), удовлетворяющим уравнению Пуас-

щественной роли, и поэтому мы будем рассматри-

сона. Так как электроны плазмы приходят в равно-

вать только одномерную стадию разлета плазменно-

весие с электростатическим потенциалом на време-

го слоя, в течение которой ионы и набирают основ-

нах, значительно меньших, чем характерные време-

√

ную часть своей энергии. Однако учет влияния пе-

на разлета плазмы порядка ω-1p

M/4 πZ² e² ni0

рехода разлета плазмы в трехмерный режим будет

(M, Z e и ni0 — соответственно масса ионов, их

качественно проведен при сравнении теоретических

заряд и начальная плотность; e — заряд электро-

результатов с результатами трехмерного численного

на), распределение электронов считается больцма-

моделирования.

новским с постоянной температурой T = const:

Настоящая работа состоит из восьми разделов. В

n_e(x, t) = ne0 exp[e ϕ(x, t)/T].

разд. 2 формулируется физико-математическая по-

Такая модель также известна как модель Больцма-

становка решаемой задачи и приводится использу-

на - Власова - Пуассона (БВП) [41].

емая система безразмерных единиц. Обзор извест-

В соответствии с обозначенными выше предполо-

ных решений [5, 6, 25, 27], которые будут исполь-

жениями электростатический потенциал ϕ(x, t) удо-

зованы как составляющие элементы нашей моде-

влетворяет следующему уравнению:

ли, дается в разд. 3. В качестве одного из ме-

тодов решения системы уравнений, а также для

ϕ^′′(x, t) =

(

)

контроля точности формулируемой теоретической

^[eϕ(x, t)^]

модели использовался одномерный электростатиче-

= -4πe

-ne0 exp

+ Zn_i(x,t)

(2)

ский код, основанный на методе «частица-в-ячейке»

(PIC). Результаты этого моделирования и их обсуж-

где распределение плотности ионов∫

дение представлены в разд. 4. Процедура постро-

n_i(x, t) = f_i(x, p, t)dp

ения теоретической модели, пригодной для полу-

необходимо найти, решив уравнение Власова для

чения спектрально-энергетических характеристик

функции распределения ионов f_i(x, p, t). Величина

ускоренных ионов при произвольной температуре

ne0 определяется из условия полной электроней-

электронов плазменного слоя, описана в разд. 5.

тральности плазмы при t = 0:

Обсуждение точности и корректности построенной

теоретической модели дается в разд. 6, где про-

∫

∞

^[eϕ(x,0)^]

водится анализ подробного сравнения теоретиче-

ne0

exp

dx = Z L ni0.

(3)

ских (разд. 5) и численных результатов (разд. 4)

-∞

149

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Поскольку потенциал определен с точностью до

условию (3), безразмерный параметр η = ne0/Z ni0

произвольной константы, считаем ϕ(0, 0) = 0, тем

находится из уравнения

самым рассматривая ne0 как начальную плотность

∞

∫

^[ ϕ(x, 0)^]

электронов в центре фольги. Ввиду очевидной сим-

1 = η exp

dx.

(8)

метрии задачи, далее будем рассматривать только

правую половину слоя, x > 0. Полная электронейт-

Этот параметр определяет степень эвакуации элект-

ральность плазмы и указанная симметрия задачи

ронов из мишени (0 < η < 1) в зависимости от их

обусловливают следующие граничные условия для

температуры и аппроксимируется следующим скей-

электрического поля E = -∂ ϕ/∂ x:

лингом [42]:

E|x=0 = 0, E|x=∞ = 0.

η=

(9)

1+2T

Характеристики уравнения Власова для ионной

Основная характеристика ускоренных ионов —

функции распределения,

их спектральное распределение — при однопотоко-

вом движении имеет следующий вид в терминах

∂f_i

p ∂f_i

∂f_i

+ Z eE(x,t)

=0,

(4)

лагранжевых переменных:

∂t

m ∂x

∂p



∂ε(x0, t)-1



(10)

являются траекториями частиц, x(t). Нахождение



dε

∂x₀

этих траекторий и спектрально-энергетических ха-

Количественное сравнение спектральных распреде-

рактеристик ионов является целью кинетической

лений удобно проводить по относительной доле час-

теории и сводится к решению следующих уравне-

тиц, попадающих в определенный спектральный

ний, полностью эквивалентных уравнению Власова:

диапазон Δ вблизи максимальной энергии:

M x = Z eE(x,t),

∫

x(0) = x₀,

0 ≤ x₀ ≤ L/2,

(5)

N_Δ =

dε.

(11)

dε

x(0) = 0.

(1-Δ) εmax

В условиях реального эксперимента достаточно

Зная траектории частиц, находим плотность ионов

трудно измерять узкие спектральные диапазоны,

n_i для однопотокового режима:

меньшие

10 %. Поэтому мы считаем разумным



-1

рассматривать интервал значений 0.1 < Δ < 1. В

∂x(x0, t)

n_i(x, t) = ni0



(6)



силу определения N₀ ≡ 0 и N₁ ≡ 1.

∂x₀

Аналитическое решение системы уравнений (7)

Всюду ниже будем использовать безразмерные

внутри ионной плазмы для произвольной темпера-

переменные со следующими единицами для физиче-

туры T электронов представляется невозможным в

ских величин: L/2 для координаты x; ω-1 для вре-_p

силу согласованности движения частиц и вычисле-

мени t; ni0 для электронной n_e и ионной n_i плотно-

ния электростатического поля. Существует несколь-

стей; 4 π (Z e)² ni0 (L/2)² для энергии (Z e ϕ, Z T и

ко способов, с помощью которых можно избежать

ε = M x²/2), где e — заряд электрона. Если не ого-

или упростить трудоемкое самосогласованное вы-

ворено отдельно, под e далее понимается основание

числение плотности ионов. Во-первых, можно рас-

натурального логарифма, e ≈ 2.718 . . . Система ос-

сматривать предельные случаи или слабого разделе-

новных уравнений в безразмерных переменных за-

ния заряда (квазинейтральный разлет плазмы) при

писывается следующим образом:

T → 0, или, наоборот, случай экстремально силь-

]

ного электростатического поля, возникающего при

^[ϕ

ϕ^′′ = η exp

- n_i(x, t),

кулоновском взрыве мишени при T → ∞. Во-вто-

рых, доступно прямое численное решение системы

ϕ^′|x=0 = 0, ϕ^′|x=∞ = 0,

(7), например, методом «частица-в-ячейке». Нако-

(7)

x = E(x),

x(0) = 0,

нец, можно сконструировать упрощенную аналити-

x(0) = x₀,

0 ≤ x₀ ≤ 1,

ческую (полуаналитическую) модель, которая, тем

не менее, будет учитывать все основные физические

n_i(x, t) = |∂x/∂x₀|-1 .

эффекты, сопровождающие разлет плазмы в ваку-

Заметим, что в выбранной системе единиц случаю

ум. Все эти методы решения системы (7) будут рас-

полубесконечной плазмы отвечает T → 0. Согласно

смотрены в следующих разделах.

150

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

3. ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ РЕШЕНИЙ

и отвечающее ему значение электростатического по-

ля

√

Приведем известные решения основной системы

2ηT

E_f (0) =

(18)

уравнений (7) для различных случаев. По мере раз-

e^η

лета плазмы мы считаем, что граница ионной плаз-

В пионерской работе [5] рассматривался разлет

мы, располагающаяся в точке с координатой x_f (t),

полубесконечной плазмы в вакуум в квазинейтраль-

остается резкой, т.е. n_i(x > x_f ) ≡ 0. Тогда элект-

ном режиме, когда n_i ≡ n_e. Этот случай отвечает

рическое поле в окружающем электронном облаке

очень слабому нагреву электронов плазмы, T → 0.

√

записывается аналитически:

Со скоростью ионного звука, c_s =

T, внутрь плаз-

мы двигается волна разрежения, вовлекающая ионы

ϕ(x ≥ x_f ) =

в движение. Их плотность записывается кусочной

[√

[

]]

ϕ_f

функцией относительно положения x_∗ фронта вол-

= -2T ln

(x - x_f ) + exp -

(12)

ны разрежения:

⎧

⎨

x≤x_∗,

E(x ≥ x_f ) =

[

]

n_i =

(19)

(√

√

[

])-1

⎩ exp -

-1 , x≥x_∗.

ϕ_f

c_s

2ηT

(x - x_f ) + exp -

(13)

На больших временах, t ≫ 1, электрическое поле

Здесь ϕ_f (t) — значение потенциала на фронте ион-

однородно всюду в движущейся плазме:

ной плазмы, которое находится из условий непре-

√

рывности поля и потенциала при x = x_f (t). Из выра-

Ess =

(20)

жений (12), (13) получаем связь поля E_f (t) на фрон-

те и потенциала ϕ_f (t):

что приводит к следующему спектральному распре-

√

делению ускоренных ионов:

^[ϕ_f(t)^]

[

]

√

E_f (t) =

2η T exp

2ε

√

exp

(21)

[

]

(14)

dε

2ε

c_s

E²

ϕ_f = T ln^f

2η T

Спектр (21) не имеет энергии отсечки ввиду того,

что появление фронта разлетающихся ионов, свя-

При произвольной температуре электронов рас-

занного с самыми энергетичными частицами, неиз-

пределение электростатического поля внутри плаз-

бежно приводит к нарушению условия нейтральнос-

мы можно найти аналитически только в начальный

ти n_i ≡ n_e, использованного в работе [5].

момент времени. С учетом выбора ϕ(0, 0) = 0 имеем

Нарушение квазинейтральности вблизи фронта

следующие неявные зависимости:

разлетающейся полубесконечной плазмы рассмотре-

√

но в работе [6], где впервые было предложено следу-

2x=

ющее выражение для электростатического поля на

∫

{

(

[

)

}-1/2

границе ионной плазмы:

dy η T exp -

-1

(15)

√

{

(

)₂}

-1/2

E_f =

√

(22)

E(x, t = 0) =

Первый множитель в формуле (22) отвечает частно-

√

(

)

му случаю формулы (18) в квазинейтральном пре-

√

^[ ϕ(x, 0)^]

ηT exp

-1

- ϕ(x, 0).

(16)

деле T → 0, когда, в соответствии с выражением (9),

√

η → 1. Величину t_QN =

2e в формуле (22) можно

интерпретировать как характерное время перехода

Соблюдая непрерывность поля и потенциала при

x = x_f(0) = 1, из соотношений (12)-(16) находим

от начального поведения поля E_f ∼ E_f (0) - t² при

t ≪ tQN к асимптотическому, квазинейтральному,

начальный потенциал на фронте плазмы,

√

поведению E_f ∝

T/t согласно (20) для t ≫ t_QN .

ϕ_f (0) = -η T,

(17)

Выражение для поля (22) приводит к следующим

151

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

]

^[p-q

законам эволюции фронта ионов и их максималь-

n_i(x < x_∗, t) = exp

ной энергии:

(

)

(

)

∂B

p+q

∂B

p+q

2x=

-1

(

∂q

∂p

xf (t) = 1 + 2 cs tQN

∂B

t_QN

2t =

∂q

∂p

[

√

]

√

)

t²

^[q-p^]

(27)

× ln

(23)

B(p, q) = exp

t_QN

t2QN

t²

(√

)

∫

[(

)

p (ξ - q)

e-ξ/4

I₀

(

[

√

])₂

ε_max(t) = 2 T ln

(24)

(√

)]

(

)

t_QN

t²

q (ξ - p)

eξ/4

I₀

dξ.

Форму спектрального распределения (21) вместе с

формулой (24) для энергии отсечки будем называть

Здесь I₀ — модифицированные функции Бесселя ну-

результатами для квазинейтрального режима разле-

левого порядка.

та, T → 0. Соответствующее им число частиц (11),

Предельный случай системы (7) при T → ∞ —

обладающих спектральным разбросом Δ (в процен-

кулоновский взрыв плоской фольги — был детально

тах) от максимальной энергии запишется в виде

изучен в работе [27]. После полной эвакуации элек-

тронов лазерным импульсом разлет ионного слоя

]

[(_e

)√1-Δ

происходит с сохранением однородности начально-

N_Δ = c_s t

(25)

2t²

го профиля плотности плазмы,

Для разброса [0, εmax], что соответствует Δ

n_i =

(28)

x_f (t)

= 100 %, при t ≫ 1, когда справедливо выраже-

ние для спектра (21), получаем логичный результат

где край фольги разлетается по закону

N_100% = c_s t: полное число движущихся частиц (на

единицу площади мишени) отвечает области, охва-

x_f (t) = 1 + t²/2

(29)

ченной волной разрежения на данный момент вре-

мени. Заметим, что в работе [6] не было получено

ввиду постоянства значения поля на ионном фрон-

локальных распределений плотности ионов и поля

те,

вблизи фронтов плазмы и волны разрежения.

E_f (t) ≡ 1.

(30)

В работах [5, 6] рассматривался разлет полубес-

Это приводит к линейному росту электростатиче-

конечной плазмы. Конечность толщины слоя плаз-

ского поля внутри расширяющейся мишени:

мы при ее квазинейтральном разлете была учтена в

работе [25]. В этом случае волны разрежения, иду-

E(x) =

(31)

щие с двух концов мишени, x = ±1, встречаются в

1 + t²/2

центре и начинают взаимодействовать. Граница об-

Спектральное распределение ускоренных ионов за-

ласти их взаимодействия, которую можно ассоции-

писывается в виде

ровать с фронтом x_∗ отраженной волны, движется

по разреженной плазме как

(32)

dε

2√ε

max

√ε

x_∗ = ±1 ± c_s t [2 ln(c_s t) - 1] ,

(26)

где максимальная энергия эволюционирует следую-

щим образом:

где верхние знаки отвечают правой половине мише-

t²

ни, x > 0, а нижние знаки — левой половине, x <

ε_max =

(33)

< 0. Плотность перед фронтом отраженной волны,

Число частиц в фиксированном спектральном диа-

x > x_∗, по-прежнему описывается формулой (19).

пазоне (11) выражается как

Выражение для плотности внутри области взаимо-

действия, x ≤ x_∗, было найдено в параметрическом

√

виде через переменные p и q:

N_Δ = 1 -

1-Δ

(34)

152

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

и, в отличие от соотношения (25), не зависит от вре-

ионы в движение (положение фронтов волн отме-

мени. Также выражение (34) не зависит от темпе-

чено на рис. 1 вертикальными штриховыми линия-

ратуры, представляя собой, как и формулы (30) и

ми). Также виден избыточный положительный за-

(33), предельную величину, достижимую для разле-

ряд вблизи фронта ионов, который нарушает усло-

та плазмы тонкой мишени в вакуум при экстремаль-

вие квазинейтральности. Существование этого заря-

но сильном нагреве электронной компоненты.

да было впервые обнаружено в работе [43], а уже

Рассмотренные в этом разделе известные част-

затем было использовано в [6] для получения поля

ные решения системы (7) будут использованы для

на ионном фронте (22), которое в два раза превы-

построения нашей обобщенной теоретической моде-

шает однородный, автомодельный уровень (20) (см.

ли, а также для проверки правильности ее перехо-

рис. 2 в [6]). Для наглядности на нижние два гра-

дов к предельным случаям.

фика для T = 0.001 нанесено положение фронтов

(26) с указанием направления их движения, причем

видно, что отраженные волны распространяются по

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

спадающему профилю плотности в отличие от пер-

вичных волн разрежения.

В данном разделе представлены результаты чис-

Анализ графиков для T = 1 на рис. 1 показыва-

ленного решения системы (7) PIC-методом. Урав-

ет, что в самом начале разлета присутствует сильное

нение Пуассона, содержащее больцмановское рас-

разделение зарядов по всему объему мишени. Одна-

пределение плотности электронов, зависящее от по-

ко в течение разлета внутрь расширяющейся ионной

тенциала, и самосогласованную плотность ионной

плазмы попадают электроны из окружающего обла-

компоненты, решалось на эйлеровой сетке с про-

ка, что приводит к компенсации начального избы-

странственным шагом, связанным с разлетом плаз-

точного положительного заряда, и на поздних вре-

мы. При таком подходе динамика электронной ком-

менах разлет будет стремиться к квазинейтрально-

поненты учитывается усредненно в пренебрежении

му с n_i ≈ n_e. Поэтому для построения теоретиче-

эффектами с характерными временами порядка

ской модели, корректно описывающей в том числе

обратной электронной плазменной частоты. Такое

и поздние стадии разлета, особенное внимание сле-

приближение оправдано вследствие малости харак-

дует уделить рассмотрению именно квазинейтраль-

терных времен электронных процессов в плазме по

ного режима, для которого, несмотря на достаточно

сравнению с характерными временами разлета плаз-

широкое обсуждение в литературе, до сих пор оста-

мы: в начале — порядка обратной ионной плазмен-

ется открытым вопрос о структуре пространствен-

ной частоты, а в последствии — еще большей ве-

ного распределения электростатического поля.

личиной отношения масштаба неоднородности плаз-

Даже в логарифмическом масштабе для обеих

мы к скорости ионного звука. Чтобы избежать роста

температур, представленных на рис. 1, видно, что

численных ошибок в центре плазмы, моделирование

происходит резкий рост производной ∂n_i/∂x вбли-

проводилось для целой мишени. Была использова-

зи ионного фронта. Это подтверждает существова-

на пространственная сетка, содержащая 800 узлов.

ние сингулярности плотности ионов, обнаруженной

Число макрочастиц (10⁶ для всей фольги) в течение

впервые для полуограниченной плазмы [43] и недав-

расчета оставалось постоянным. Граница расчетной

но подтвержденной в работе [44]. При этом сингу-

области [-x_b, x_b] сдвигалась синхронно с разлетом

лярна только производная плотности вблизи фрон-

плазмы: x_b = x_f + 1. Так как поверхность с этой ко-

та, сама же плотность остается конечной. Для слу-

ординатой всегда находится в электронном облаке,

чая T

= 1 данная сингулярность становится бо-

граничное условие может быть получено из выра-

лее заметной на поздних временах, когда разлет

жений (12), (13) аналогично формуле (14):

стремится к квазинейтральному. Также графики на

√

рис. 1 подтверждают симметрию разлета плазмы от-

^[ ϕ(x_b, t)^]

E(x_b, t) =

2η T exp

(35)

носительно ее центра.

Перейдем к более детальному изучению случая

На рис. 1 приведены примеры расчетов распреде-

разлета плазмы со слабонагретой электронной под-

лений плотностей компонент плазмы для слабого,

системой (T ≪ 1) с помощью одномерного электро-

T = 0.001, и умеренного нагрева электронов, T = 1.

статического численного моделирования. На рис. 2

В случае слабого разделения зарядов, T = 0.001,

показана временная эволюция пространственного

внутрь плазмы с обоих концов распространяются

распределения относительной разности плотностей

волны разрежения со скоростями ±c_s и вовлекают

ионов и электронов в логарифмическом масштабе,

153

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

T = 0.001

T = 1

t = 8.0

n_e

t = 0.5

n_e

0.1

10^-2

-1.8

-1.2

-0.6

0.6

1.2

1.8

–2.4

–1.6

–0.8

0.8

1.6

2.4

t = 42.2

n_e

t = 4.9

n_e

0.1

10^-2

0.1

10^-3

10^-4

10^-2

-9

-6

-3

-9

-6

-3

t = 72.7

n_e

t = 28.1

n_e

0.1

10^-2

10^-3

10^-4

–15

–10

–5

–105

–70

–35

105

Рис. 1. Эволюция распределений ионной (черные кривые) и электронной плотности (серые кривые) из численного мо-

делирования для T = 0.001 (левая колонка) и T = 1 (правая колонка). Для T = 0.001 при движении к центру мишени

(показано стрелками) штриховые линии соответствуют положению фронтов волн разрежения (т.е. x∗ = ±1 ∓ cs t), а при

движении от центра — фронтов отраженных волн (26)

lg[(n_i - n_e)/n_i], и электростатического поля E для

динамической) моделью [45] с использованием урав-

случая T = 0.001. Представлены моменты времени

нения Пуассона для учета полей разделения заря-

до отражения волн разрежения в центре мишени,

да, необходимого вблизи фронта ионов. Положение

√

t ≤ t₀, где время t₀ = 1/c_s = 1/

0.001 ≈ 31.62. Ког-

волны разрежения, идущей внутрь плазмы со ско-

да температура электронов мала, изначально разде-

ростью ионного звука c_s, показано на рис. 2 штри-

ление заряда возникает только вблизи фронта ионов

ховой линией, а стрелка указывает направление ее

в области с характерным размером порядка локаль-

движения — от края мишени к центру.

ного дебаевского радиуса (см. верхние графики на

Если мишень достаточно толстая, то волны раз-

рис. 2). В остальной части плазмы разлет будет

режения, идущие с двух концов мишени, не встре-

практически квазинейтральным, n_i ≈ n_e. В этом

тятся; соответственно время t₀ = c-1s, требующее-

случае результаты кинетического описания разлета

ся каждой волне, чтобы преодолеть половину слоя,

плазмы [5] могут быть с хорошей точностью воспро-

превышает характерное время разлета слоя, t_exp.

изведены бесстолкновительной жидкостной (гидро-

В таком случае разлет слоя полностью аналоги-

154

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

и относительной плотности компонент плазмы по-

сле отражения волн представлены на рис. 3. По-

ложение фронта отраженной волны (26) показа-

но на рис. 3 вертикальными штриховыми линия-

x_*

ми. Стрелки указывают направление движения это-

го фронта.

Результаты, представленные на рис. 2 и 3, пока-

III

t₀

зывают, что волны до и после отражения связаны

x_f

с перемещением избыточного положительного заря-

да, обусловливающего рост электрического поля. На

x_*

рис. 2 и 3 видно, что даже при очень малых темпера-

турах, T = 0.001, имеет место нарушение квазиней-

тральности на масштабах порядка локального деба-

евского радиуса. В частности, это приводит к тому,

Рис. 4. Траектории на плоскости (x, t) фронтов волн за-

что фронт волн зарядовой плотности будет обладать

рядовой плотности при T = 0.001: фронт ионной плаз-

некоторой шириной. Это хорошо видно для волны

мы (сплошная кривая) x_f , фронты волны разрежения до

разрежения, отраженной волны и ионного фронта.

(штриховая линия x∗) и после (серая кривая x∗) отраже-

Так как электрическое поле пропорционально пол-

ния. Пунктирные линии отвечают звуковому распростра-

ному избыточному заряду,

нению: x = 1 + cs t и x = cs(t - t0). Римские цифры обо-

∫

значают различные области плазмы

E(x) ∝

[(n_i(x) - n_e(x)] dx,

существенный вклад в поведение поля будет давать

мишени, t₀, эта область полностью исчезает. Анализ

область, отвечающая полной ширине фронта дви-

движения отдельных частиц в численном моделиро-

жущейся волны. Поэтому на рис. 3 полный пере-

вании показывает, что после встречи волн, t > t₀,

ход от линейно растущего поля к однородному уров-

частицы в каждой из половин плазмы не пересе-

ню (20) происходит правее позиции (26), получен-

кают середину мишени. Этот факт подтверждается

ной для полного пренебрежения разделением заря-

графиками на рис. 2, где для всех моментов вре-

да, n_i ≡ n_e.

мени поле всюду неотрицательно. Данные выводы

Результаты анализа эволюции локальных рас-

позволяют утверждать, что при встрече волн раз-

пределений плотности и электростатического по-

режения в центре мишени происходит именно их

ля можно проиллюстрировать с помощью диаграм-

отражение, а не прохождение на противоположную

мы областей, возникающих внутри разлетающейся

половину плазмы, как это предполагалось в работе

плазмы в различные моменты времени. На рис. 4

[25], где не происходит излома характеристик, от-

показаны траектории в пространстве (x, t) фронтов

вечающих фронту x_∗. Область III на рис. 4, огра-

волн зарядовой плотности, распространяющихся в

ниченная фронтом ионной плазмы (сплошная кри-

разлетающейся плазме. Область I на рис. 4 отвечает

вая x_f ), волной разрежения (штриховая линия x_∗)

окружающему электронному облаку, которое отде-

и отраженной волной (серая кривая x_∗), фактиче-

лено от расширяющейся ионной плазмы ее фронтом

ски является областью квазинейтрального течения

(сплошная кривая x_f на рис. 4). Размер области, за-

плазмы, n_i ≈ n_e. Всюду в этой области, за исклю-

нятой невозмущенной плазмой (область II на рис. 4)

чением слоя позади ионного фронта толщиной по-

уменьшается со временем по мере распространения

рядка локального дебаевского радиуса, электроста-

в глубь волны разрежения (штриховая кривая x_∗ на

тическое поле однородно (см. рис. 3) и совпадает с

рис. 4), и в момент времени встречи волн в центре

величиной (20). Наличие части плазмы (область IV

на рис. 4), находящейся позади отраженной волны

на рис. 4), отличает случай разле-

(серая кривая x_∗

Рис. 3. Численные распределения для T

= 0.001 от-

та слоя конечной толщины от истечения полубеско-

носительной разности плотностей ионов и электронов,

нечной плазмы. Из графиков на рис. 3 видно, что

lg(ni - ne)/ni, (слева) и электрического поля E (спра-

с хорошей точностью поле можно считать линейно

ва) в моменты времени после отражения волн разрежения,

растущим до однородного уровня (20) внутри обла-

t > t0. Штриховые линии — положение фронта отражен-

ной волны, (26), стрелки — направление его движения

сти IV, т. е. при 0 ≤ x ≤ x_∗. Данные выводы о пове-

дении электрического поля в различных частях раз-

157

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

lg|n

- n |/n

кальных дебаевских радиусов показывает, что уста-

навливаются колебания с kλ_De ∼ 1. Этим объясня-

t = 335.49

ется уменьшение характерной длины волны осцил-

ляций в глубь плазмы. Оценить декремент затуха-

ния представленных колебаний достаточно трудоем-

-2

ко, так как известные формулы затухания ионно-

x_*

звуковых колебаний неприменимы ввиду сильно-

неоднородного, экспоненциально спадающего про-

филя плотности плазмы (см. рис. 1). График на

рис. 5 отвечает достаточно позднему моменту време-

-40

102

ни, t = 335.49 ≈ 10 t₀, когда видно достаточное коли-

чество осцилляций. Их число увеличивается с тече-

Рис. 5. Волны зарядовой плотности, возбуждаемые за

нием времени, как только размер следующего пери-

фронтом разлетающейся плазмы на больших временах.

ода осцилляций умещается в область, занятую плаз-

В серых областях содержится избыточный отрицательный

мой. Эволюция числа видимых осцилляций ионной

заряд

плотности хорошо прослеживается на рис. 2 и 3.

В момент времени t = t₀ избыточный заряд, при-

летающегося плазменного слоя будут использованы

несенный волной разрежения, локализован в центре

в следующем разделе при построении обобщенной

мишени (см. последний график на рис. 2). Его даль-

теоретической модели.

нейший перенос, связанный с отраженной волной,

Как видно из графиков распределения плотно-

хотя и осуществляется со сверхзвуковой скоростью

сти на рис. 2 и 3, области III и IV на рис. 4 харак-

(см. пунктирную линию и серую кривую на рис. 4 и

теризуются наличием осциллирующего поведения

формулу (26)), не несет скачкообразного изменения

плотности ионов плазмы позади волновых фронтов.

ионной плотности. Поэтому, в отличие от движе-

Для более детальной иллюстрации поведения плот-

ния фронта ионной плазмы, здесь следует говорить

ности на рис. 5 представлено распределение лога-

о распространении не бесстолкновительной ударной

рифма модуля относительной разности плотностей

волны, а локализованного горба или солитона плот-

ионов и электронов, lg |(n_i - n_e)/n_i|. Серым цветом

ности по спадающему профилю плазмы. Тем не ме-

на рис. 5 выделены области, в которых содержит-

нее для него остается характерным неустойчивое по-

ся избыточный отрицательный заряд. Осцилляции

ведение (см. рис. 3) с испусканием ионно-звуковых

ионной плотности позади фронта плазмы характе-

колебаний в своей кильватерной области (область

ризуются затухающей амплитудой, уменьшающим-

IV на рис. 4). Распространяясь вблизи центра мише-

ся в глубь периодом и увеличением со временем об-

ни, эти осцилляции, пришедшие с разных половин

ласти пространства, охваченной осцилляциями (см.

мишени, могут так же, как и первичные волны раз-

также рис. 2 и 3). Возбуждение сильнозатухающих

режения, взаимодействовать и отражаться. В част-

колебаний ионной плотности ионно-звукового типа

ности, это приводит к возрастанию положительного

соответствует нестационарной структуре бесстолк-

заряда, сконцентрированного вблизи центра мише-

новительной ударной волны, вызванной распадом

ни (см. рис. 3). Как показывают графики на рис. 3,

разрыва начальной ионной плотности и описанной

солитон плотности, распространяющийся на отра-

в работе [46]. Действительно, на фронте разлетаю-

женной волне, двигается со скоростью, превышаю-

щейся ионной плазмы распространяется ступенча-

щей локальную скорость плазмы. Поэтому на до-

тый скачок избыточной плотности ионов (см. рис. 1)

статочно больших временах (см. рис. 5) он догоняет

со сверхзвуковой скоростью, что следует из сравне-

волны, испущенные нестационарным фронтом плаз-

ния пунктирной линии на рис. 4, отвечающей звуко-

мы, и начинает с ними взаимодействовать, сохраняя

вому истечению плазмы, и кривой x_f реального дви-

при этом свою форму. Заметим, что аналогичные

жения фронта. Логично предположить, что если на-

солитоны плотности, бегущие по спадающему про-

чальное распределение плотности будет достаточно

филю плотности, могут наблюдаться эксперимен-

гладким, не содержащим разрывов, то соответству-

тально при взаимодействии лазерных импульсов с

ющие нестационарные структуры, вызванные рас-

плазменной короной мишени при их поглощении в

падом разрыва, не будут образовываться. Анализ

области критической плотности и дальнейшем рас-

локального распределения электронной плотности

пространении возмущения плотности в обратном на-

(см., например, рис. 1) и соответствующих ему ло-

правлении.

158

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

Таким образом, в разлетающемся слое плазмы

водит к меньшему значению интенсивности лазерно-

конечной толщины присутствуют движущиеся ло-

го импульса, a ∼ 1/D_f . Тогда оптимальная толщи-

кализованные области избыточного положительно-

на мишени [32], обеспечивающая наиболее эффек-

го заряда различной природы, связанные как с дви-

тивное поглощение лазерного излучения и как след-

жением фронта ионной плазмы, волны разреже-

ствие нагрев электронов плазмы, будет достаточно

ния и отраженной волны, так и с сильнозатухаю-

малой, L_opt ∼ a. Окончательно, безразмерная длина

щими неустойчивостями ионно-звукового типа по-

ускорения, соответствующая расстоянию до грани-

зади фронта и отраженной волны. Подобная волно-

цы одномерной стадии разлета, в течение которой

вая структура расширяющейся плазмы, безусловно,

ионы набирают основную часть своей энергии, за-

представляет интерес: возможен нагрев ионов плаз-

дается формулой l_acc = D_f /(L_opt/2). Она может до-

мы при их рассеивании на низкочастотных фононах-

стигать значений порядка нескольких сотен. Анализ

плазмонах. Такой дополнительный нагрев, пусть и

графиков на рис. 1-3 показывает, что локальное рас-

в низкочастотной части спектра ускоренных ионов,

пределение плотности ионов в разлетающейся плаз-

может быть полезен, например, для инициирования

ме имеет достаточно сложную структуру. Даже если

ядерных реакций. Однако влияние на распределе-

оно будет построено, необходимо решить нелинейное

ние электростатического поля оказывают лишь ос-

уравнение Пуассона из системы (7) с этой модель-

новные волны — фронт плазмы, волна разрежения

ной плотностью. Чтобы избежать подобных труд-

и отраженная волна. Поэтому далее при построе-

ностей, наша теоретическая модель будет основа-

нии теоретической модели мы не будем стремиться

на на конструировании модельного распределения

к микроскопически верному описанию локального

электростатического поля.

распределения плотности компонент плазмы.

Как уже упоминалось ранее, для квазинейтраль-

ного режима истечения плазмы, в отличие от куло-

новского взрыва, до сих пор не было получено ло-

5. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

кальное распределение ускоряющего поля. Поэтому

наше построение начнем именно с предела малых

Перейдем к построению обобщенной аналити-

температур. На приведенных выше рис. 2, 3 видно,

ческой модели, пригодной для вычисления спек-

что поле имеет кусочную структуру с точкой перехо-

тральных распределений ускоренных ионов плазмы

да в окрестности фронтов отраженной волны и вол-

при произвольной степени нагрева электронов. Так

ны разрежения. В разд. 4 обсуждалось, почему на

как получение аналитического решения системы (7)

рис. 3 линейно растущее с координатой поле дости-

напрямую представляется невозможным ввиду са-

гает однородного уровня при значениях координаты

мосогласованности движения ионов и вычисления

x, несколько большем, чем дается выражением (26),

электростатического поля из нелинейного уравне-

полученном в рамках полного пренебрежения разде-

ния Пуассона, при конструировании модели мы бу-

лением заряда, n_i ≡ n_e. Сравнение с численным мо-

дем опираться на обоснованные физические сооб-

делированием показывает, что реальное положение

ражения, известные решения для частных случаев

точки сшивки в квазинейтральном режиме хорошо

(разд. 3) и результаты численного моделирования из

описывается значением (26), умноженным на коэф-

разд. 4. Заметим, что именно такой подход был ис-

фициент 1.3. Окончательно, для положения точки

пользован в работе [6] для получения формулы (22).

сшивки и ее скорости в квазинейтральном режиме

Несмотря на отсутствие последовательного теорети-

имеем

ческого вывода, полученная формула (22) активно

{

1 - c_st,

t≤t₀,

используется для анализа результатов эксперимен-

xQN∗ (t) =

(36)

тов и численных моделирований (см., например, ра-

1.3 {1+c_st [2 ln(c_st)-1]} , t ≥ t₀,

боту [21]). Кроме адекватности модели для всего

{

возможного диапазона температур электронов мы

-c_s,

t≤t₀,

v^QN∗ (t) =

(37)

будем стремиться к ее корректности при описании

1.3 [c_s + 2c_s ln(c_st)] , t ≥ t₀.

разлета плазмы на большие расстояния. Это необхо-

димо, например, при рассмотрении взаимодействия

Видно, что волна разрежения соответствует вели-

плазмы и лазерного импульса, сфокусированного

чине v^∗N < 0, а отраженная волна — v^∗N > 0. Да-

в пятно размером больше 10 мкм. Действительно,

лее будем считать, что поле имеет кусочную струк-

большой размер D_f пятна фокусировки, при фик-

туру при любых температурах с точкой сшивки

сированных энергии импульса и длительности при-

x∗(T, t), которая перемещается со скоростью v∗(T, t).

159

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Очевидно, что квазинейтральному пределу этих ве-

= exp[ϕ/T], временное поведение потенциала в цен-

личин отвечают выражения (36), (37). Отметим, что

тре плазмы, ϕ₀(t), можно найти из решения (27):

при сшивке поля в точке x_∗ мы требуем непрерыв-

{

ности только значения поля, но не его производных.

t≤t₀,

ϕQN0 (t) =

(39)

Для удобства построения обобщенной модели

-Tq(t), t ≥ t₀,

введем дополнительный параметр: величину E_∗,

где функция q(t) задана неявно:

равную значению электростатического поля в точ-

ке сшивки x_∗. Очевидно, что в квазинейтральном

пределе выражение для E_∗(T → 0) имеет вид (20).

∫

(

)

Уравнением для поля E_∗ будет являться условие

e-q/4 = 1 -

+4q yeqy2

+ qy²

t₀

правильного описания полного падения потенциала

(

)

в слое ионной плазмы:

1+4y²

× I₀(q y) + I₁(q y)

dy.

(40)

∫

E(x, t, E_∗) dx = ϕ₀(t) - ϕ_f (t) .

(38)

При слабом нагреве электронов плазмы разделе-

ние зарядов возникает только на малых масштабах,

что является следствием сильного дебаевского экра-

Законы падения потенциала в центре мишени, ϕ₀(t),

нирования (см. рис. 2 и 3). Полагая, что на протяже-

и на ее границе, ϕ_f (t), справедливые для произволь-

нии всего разлета поле экранируется вблизи фрон-

ных температур, и их требуется найти. Заметим,

та расширяющейся плазмы, будем считать, что поле

что в квазинейтральном пределе, когда n_i = n_e =

справа от точки сшивки имеет вид

(

])

(

^[x-x

^[x-x_f ]

^[x_∗ -x_f ])

E_∗

1 - exp

+ E_f exp

- exp

λ(x)

λ(x_∗)

E(x ≥ x_∗) =

(41)

^[x_∗ -x_f ]

1 - exp

λ(x_∗)

причем требование E(x = x_∗) = E_∗ выполнено для

произвольных отношений λ(x)/x_f . Использование

∂W(x,t)

+ W(x,t){C(t,E_∗) + D(t,E_∗) ×

локального значения дебаевского радиуса λ(x) га-

∂x

рантирует его самосогласованное изменение по мере

× exp[(x - x_f (t))W(x, t)]} = 0 ,

(42)

расширения плазмы. Плотность электронов подчи-

E_f (t)

няется распределению Больцмана, поэтому их деба-

x_∗ ≤ x ≤ x_f (t), W(x_f , t) =

√ ,

евский радиус записывается как

где

√

]

^[x_∗ -x

E_∗ - E_f exp

λ(x, t) =

λ(x_∗)

η exp[ϕ(x, t)/T ]

C(t, E_∗) =

]

^[x_∗ -x_f

1 - exp

λ(x_∗)

(43)

С ростом температуры и при соответствующем

E_f - E_∗

увеличении дебаевского радиуса экспоненциальное

D(t, E_∗) =

^[x_∗ -x_f

поведение поля автоматически сменяется линейной

1 - exp

λ(x_∗)

зависимостью (31). Однако при разлете на доста-

точно большие расстояния, когда x_f (t)/λ(x, t) ∼ 1,

Граничное условие для W (x) в уравнении (42) от-

экранированное поведение может возникать снова.

вечает выражению (14) для потенциала на фронте.

Это отвечает переходу на больших временах раз-

Фактически уравнение (42) задает некоторую спе-

лета сильно нагретой плазмы, T ≳ 1, к квазинейт-

циальную функцию, поэтому мы считаем локальное

ральному режиму (см. рис. 1). Учитывая, что E =

распределение дебаевского радиуса λ(x) в области

= -∂ϕ/∂x, из соотношения (41) получаем диффе-

x_∗ ≤ x ≤ x_f известным.

ренциальное уравнение первого порядка для функ-

В случае очень малых температур электронов,

ции W (x, t) = 1/λ(x, t):

T ≪ 1, когда волна разрежения движется к центру

160

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

мишени, v^∗N < 0 (см. рис. 2), распределения плот-

ны можно считать линейно растущим до уровня E_ss

ности и поля перед ней остаются практически невоз-

(20), который при произвольной температуре пере-

мущенными. Мы экстраполируем это на большие

ходит в величину E_∗, а фронт отраженной волны

температуры, предполагая, что поле перед волной

переходит в положение обобщенной точки сшивки.

разрежения сохраняет начальное распределение с

Линейное поведение поля при x < x_∗ также согласу-

точностью до масштабирования на величину умень-

ется с противоположным предельным случаем куло-

шения поля на фронте к данному моменту времени,

новского взрыва, когда поле линейно всюду внутри

[

плазмы (31). Окончательно приходим к следующе-

(

)₂]-1/2

E_f (t)

му приближенному выражению для распределения

= 1+

E_f (0)

t_QN

электростатического поля внутри ионной плазмы в

различных ее областях относительно положения и

Кроме того, графики на рис. 3 показывают, что с до-

направления перемещения точки сшивки:

статочной точностью поле позади отраженной вол-

⎧

⎪

^[x - x_f(t)^]

⎪2T C(t,E∗) + 2T D(t,E∗) exp

x≥x_∗,

⎪

λ(x, t)

⎪

⎨

E_∗

x≤x_∗, v_∗ ≥0,

E(x, t, E_∗) =

x_∗

(44)

⎪

[

⎪

(

)₂]-1/2

⎪

(x, 0)

x≤x_∗, v_∗ <0.

⎩^E

t_QN

Вид поля (44) при x ≤ x_∗ определяет распределение потенциала, а следовательно, и значение дебаевского

радиуса в точке сшивки, λ(x_∗, t), в выражениях (43):

⎧

[

(

)]

E_∗

⎪

√

⎪

exp -

ϕ₀(t) -

x∗

v_∗ > 0 ,

⎨

⎡

⎤

{

λ(x_∗, t) =

(

)₂}-1/2

(45)

η ⎪

⎪

xp^⎣-

ϕ(x_∗, 0)

⎦, v_∗ ≤0.

⎩ e

t_QN

Здесь ϕ(x, 0) — начальное распределение потенциа-

который имеет вид

(

ла (15).

^[T - 0.1^])

A(T ) =

1 - th

(48)

С ростом температуры эффекты разделения за-

0.1

рядов начинают играть все более существенную

Зависимости x^∗N (t) и v^∗N (t) для квазинейтрально-

роль по сравнению с чисто гидродинамическими эф-

го режима берутся из формул соответственно (36)

фектами, такими как распространение волн ионно-

и (37).

звукового типа. При T

≈ 1 необходимо полно-

В работах [32, 33, 42] было предложено неявное

стью кинетическое рассмотрение разлета, и движе-

ние точки сшивки x_∗, обусловленное распростране-

выражение для поля E_f (T ) на фронте, примени-

мое при произвольных T и демонстрирующее удо-

нием волн зарядовой плотности, теряет смысл. Так

влетворительную точность при сравнении с резуль-

как существует некоторый произвол в приближен-

татами одномерного и полномасштабного численно-

ном выборе точки сшивки, мы качественно (но в со-

го моделирования. Это выражение было получено

ответствии с численной моделью) принимаем x_∗ =

в рамках достаточно грубого предположения, что

= 0.5 x_f уже при T = 1. Плавный переход во вре-

плотность ионов по всему слою плазмы имеет вид

менном поведении точки сшивки от гидродинами-

ni = ne + Ef/xf. Явное выражение для поля на

ческого режима к чисто кинетическому осуществ-

фронте, являющееся обобщением формулы (22) на

ляется введением интерполяционного коэффициен-

случай произвольных температур и не использую-

та A(T ),

щее дополнительных предположений о виде плотно-

x_f (t)

x_∗ = A(T)x^QN∗ (t) + [1 - A(T)]

(46)

сти ионов, получено в работе [34] путем установле-

ния зависимости времени перехода в квазинейтраль-

v_f (t)

v_∗ = A(T)v^QN∗ (t) + [1 - A(T)]

(47)

ный режим, t_QN , от температуры:

161

ЖЭТФ, вып. 1

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

[

(

)₂]-1/2

Для его получения были использованы функ-

E_f (t) = E_f (0)

(49)

циональные зависимости c-1s и асимптотика

t_QN (T)

√

t_QN (T

→ ∞) =

2T. Коэффициенты подбира-

где начальное значение поля E_f (0) приведено в фор-

лись путем сравнения с результатами численного

муле (18), а температурная зависимость t_QN (T ) вы-

моделирования. Приближение n_i

= n_e + E_f/x_f,

ражается как

использованное в работах [32, 33, 42], дает линейно

⎧

√

растущее поле

⎨

2e,

T <1,

t_QN (T) =

√

(50)

E(x, t) =

E_f (t)

(56)

⎩

2T +

√ , T ≥1.

x_f (t)

и поэтому пригодно для режимов разлета, близких

Из выражения (49) следует универсальный закон

к кулоновскому взрыву. В этом приближении, полу-

движения фронта, x_f = E_f ,

чаем

⎛

√

(

)

ϕCE0(t) = ϕ_f (t) +

E_f (t)x_f (t)-

x_f (t) = 1 + E_f (0)t2QN ⎝1 -

(

)

t_QN

E_f (0)

- -η T +

(57)

⎡

√

⎤⎞

(

)₂

ln⎣t

⎦⎠ ,

(51)

причем E_f (t), x_f (t) и ϕ_f (t) берутся соответствен-

t_QN

но из выражений (49), (51) и (54). Последнее сла-

⎡

√

⎤

гаемое в выражении (57) обеспечивает выполнение

(

)₂

√

условия ϕCE0 (0) ≡ 0 для любого T . По мере разлета

v_f (t) = 2

T ln⎣t

⎦,

(52)

t_QN

избыточный положительный заряд, изначально на-

ходившийся в ионной плазме, компенсируется элек-

и эволюции максимальной энергии ε_max = x2f /2:

тронами, попадающими в расширяющуюся плазму

из окружающего электронного облака. Поэтому по-

ε_max(t) =

ведение функции ϕ₀(t) будет близко к поведению

⎡

√

⎤

(

)₂

функции ϕQN0 на относительно больших временах

E2f(0)t2QN ln² ⎣

⎦.

(53)

при любых значениях температуры. Переход к по-

t_QN

ведению (57) с ростом температуры на малых вре-

менах будем осуществлять путем введения момента

Из формул (14), (18) и (49) вытекает логарифмиче-

времени t_j(T): при t < t_j(T) потенциал в центре ве-

ский закон падения потенциала на фронте разлета-

дет себя как ϕCE0(t) из (57), а после этого его пове-

ющейся плазмы:

дение дается квазинейтральным приближением:

[

]

(

)

⎧

⎨

ϕQN0 (t_j)

ϕ_f (t) = -η T - T ln

(54)

ϕCE0(t)

t ≤ t_j(T),

t_QN

ϕ₀(t) =

ϕCE0(t_j)

(58)

⎩

Для получения закона эволюции потенциала в

ϕQN0 (t),

t ≥ t_j(T).

центре мишени, универсального для любых тем-

Дополнительный множитель в первом случае обес-

ператур, рассмотрим уравнение (40), определяю-

печивает непрерывность функции ϕ₀(t) при t

щее величину ϕQN0 (t). Параметром, входящим в это

= t_j(T). Сравнение с численным решением дает

уравнение, является единственный временной мас-

следующий скейлинг для температурного поведения

штаб задачи, существующий в квазинейтральном

времени сшивки:

пределе, — время встречи волн разрежения в центре

√

мишени, t₀ = c-1s. Если должным образом продол-

t_j(T) =

√

+ 1.5 + 2.3

2T.

(59)

жить функцию t₀(T ), можно будет описать асимп-

тотическое поведение функции ϕ₀(t) при любом T

При выводе этого соотношения были использованы

на больших временах, когда любой первоначальный

функциональные зависимости, аналогичные выра-

разлет будет переходить в квазинейтральный. По-

жению (55).

лученный нами температурный скейлинг имеет вид

Система выражений

(36)-(51),

(54),

(55),

√

(57)-(59) задает процедуру вычисления простран-

t₀(T) =

√

+ 0.4 + 1.3

2T.

(55)

ственно-временного поведения электростатического

162

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

поля для любых температур T электронов. Следо-

тельные расхождения теоретических и численных

вательно, спектральные распределения ионов могут

результатов, порядка 20-25 %, наблюдаются только

быть найдены из решения уравнения движения

в глубине расширяющегося слоя плазмы, где дви-

с заданным полем, представляющего собой обык-

гаются низкоэнергетичные частицы. Поэтому часть

новенное дифференциальное уравнение второго

спектра ионов, представляющая практический ин-

порядка:

терес, должна описываться с хорошей точностью.

x = E(x,t).

Выводы о точности описания энергетических ха-

рактеристик ускоренных частиц, полученные вы-

В следующем разделе мы проанализируем точность

ше на основе сравнения распределений электроста-

теоретических результатов, полученных с помощью

тического поля, подтверждаются непосредственным

описанной процедуры.

сравнением их спектральных распределений. Так,

на рис. 7 показаны спектры ионов при их движе-

нии в модельном поле (черные кривые) и полу-

6. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И

ченные при численном моделировании (серые кри-

ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

вые). Для удобства сравнения распределений при

Для определения точности и границ применимо-

различных температурах электронов спектры по-

сти построенной модели проведем сравнение с ре-

строены для моментов времени, когда фронт раз-

зультатами численного моделирования, описанного

летающихся ионов достигает определенного поло-

в разд. 4. На рис. 6 представлены пространственные

жения в пространстве, x_f = 20, 200. Как уже упо-

распределения электростатического поля для раз-

миналось выше, в эксперименте может наблюдать-

личных моментов времени и температур электро-

ся ситуация, когда требуется описывать достаточно

нов, полученные численно (серые кривые) и по мо-

большие дистанции разлета. Выбранное для демон-

дельным формулам из разд. 5 (черные кривые). Для

страции максимальное значение x_f = 200 отвечает

сравнения на рис. 6 также приведены однородные

взаимодействию лазерного импульса с длиной вол-

распределения (штриховые линии) автомодельного

ны λ_L = 1 мкм, энергией ϵ_L = 12 Дж, длитель-

поля (20) из работы [5]. Видно, что при малых тем-

ностью τ = 30 фс и размером пятна фокусировки

пературах (верхний ряд графиков на рис. 6) модель-

D_f = 4 мкм с мишенью из искусственного алмаза

ное распределение хорошо согласуется с численным

(DLC) плотностью 2.2 г/см³ (ne0 = 6.6 · 10²³ см-3).

решением. Исключением является описание деталь-

Для данных параметров лазерного импульса крити-

ной структуры поля, не вносящей существенного

ческая плотность составляет n_cr = 1.1 · 10²¹ см-3,

вклада в движение частиц: неоднородности вслед-

а безразмерная амплитуда поглощенного поля —

ствие влияния волн зарядовой плотности (правый

a₀ = 48, при этом оптимальная толщина мишени,

график) и ширина переходной области вблизи вол-

обеспечивающая оптимальное поглощение лазерно-

ны разрежения (левый график). Последнее связа-

го импульса [32] Lopt = 0.5λLa0ncr/ne = 40 нм.

но с использованным приближением, что поле (44)

Одномерная стадия разлета будет соответствовать

имеет ступенчатое поведение на фронте волны раз-

длине ускорения l_acc = D_f /(L_opt/2) = 200.

режения. При значениях температур T ≳ 1 на на-

Некоторым спектрам на рис. 7, полученным при

чальной стадии разлета выполнение условия λ ≳ L

моделировании, присущи характерные численные

обеспечивает сходство движения плазмы с режи-

эффекты в виде слабого шума. К таким эффектам,

мом кулоновского взрыва: поле линейно всюду внут-

однако, не относится сформировавшаяся сингуляр-

ри плазмы. С течением времени линейное поведе-

ность вблизи энергии отсечки. Конечность ее высо-

ние поля сменяется экранированным тем позднее,

ты связана с количеством частиц, попадающих в об-

чем больше начальная температура (это видно из

ласть вблизи максимальной энергии, которое умень-

температурных зависимостей введенных моментов

шается при рассмотрении поздних моментов време-

времени t_QN и t_j). При описании этой особенности

ни, x_f = 200. Сингулярность ионного фронта связа-

разлета предлагаемая модель также демонстриру-

на с распадом разрыва начальной плотности ионов,

ет хорошую точность. Отметим, что, как и предпо-

который имеет место при x = 1. Подобные син-

лагалось, использование в модели самосогласован-

гулярности (каустика, касп, скачок и др.) широко

ного дебаевского радиуса, подчиняющегося уравне-

обсуждались во многих работах, связанных с ди-

нию (42), позволило корректно описать поведение

намикой недиссипативных газов в расширяющейся

поля вблизи фронта во всех диапазонах как тем-

Вселенной [47] или кулоновского расширения плаз-

ператур электронов, так и времен разлета. Значи-

мы [48, 49]. Для задачи квазинейтрального разлета

163

11*

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

E, 10^-2

E, 10^-3

2.4

1.2

2.7

1.6

0.8

1.8

0.8

0.4

0.9

T = 0.01

t = 8.27

t = 18.66

t = 76.58

0.6

1.2

1.8

2.4

3.0

E, 10^-1

E, 10^-2

1.5

0.9

2.1

1.0

0.6

1.4

0.5

0.3

0.7

T = 0.1

t = 4.19

t = 8.84

t = 32.85

0.6

1.2

1.8

2.4

3.0

E, 10^-1

E, 10^-2

5.1

1.8

7.5

3.4

1.2

5.0

1.7

0.6

2.5

T = 1

t = 2.49

t = 10.53

t = 27.16

0.6

1.2

1.8

2.4

3.0

100

E, 10^-1

0.9

2.7

1.8

0.6

1.8

1.2

0.3

0.9

0.6

T = 10

t = 2.06

t = 17.44

t = 27.13

0.6

1.2

1.8

2.4

3.0

100

120

160

200

Рис. 6. Пространственные распределения электрического поля: модельное (черные кривые) и численное (серые кривые),

для различных моментов времени и температур электронов. Штриховые линии отвечают однородному автомодельному

полю (20)

этот эффект был впервые обнаружен в работе [43]

распределения использовать кинетическое уравне-

и воспроизведен недавно [44]. Это является инте-

ние для описания электронной подсистемы плазмы.

грируемой сингулярностью. Она возникает в узкой

Так, в работе [50] был рассмотрен адиабатический

пространственной области, поэтому число частиц в

разлет плазмы с решением кинетического уравне-

ней будет малым. В итоге такая структура не будет

ния как для ионов, так и для электронов. Никакой

давать существенного вклада в электрическое поле

сингулярности для случая резкой границы плазмы

на фронте, и следовательно, ее влиянием на значе-

найдено не было. С другой стороны, для изначально

ние максимальной энергии ионов можно пренебречь.

плавного профиля плотности сингулярность может

Подобные сингулярности плотности, скорее всего,

возникать.

не будут возникать, если вместо больцмановского

164

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Из графиков на рис. 7 видно, что на больших

мость, полученную для квазинейтрального истече-

временах можно говорить о некотором самоподобии

ния плазмы (25). Как и ожидалось, данные кривые

спектральных распределений, полученных для раз-

описывают результаты численного моделирования в

ных температур. Это связано с уже обсуждавшимся

пределе низких температур, существенно отклоня-

стремлением разлета к квазинейтральному режиму.

ясь при T > 1 для узкого спектрального диапазо-

Как и следует из анализа распределений электриче-

на Δ = 20 % и при T > 0.1 для широкого диапа-

ского поля, рассматриваемая модель демонстрирует

зона Δ = 60 %, причем отклонения увеличивают-

хорошее согласие в высокоэнергетичной части спек-

ся с течением времени (ср. графики для x_f = 20 и

тра и некоторое расхождение в области низких энер-

xf = 200). Очевидно, что зависимость (25) для по-

гий. Присутствующий излом на теоретических спек-

лубесконечной плазмы не способна описать переход

трах является следствием кусочной структуры поля

к кулоновскому взрыву, поэтому штриховые кривые

(44) и не вносит существенных ошибок в описание

не стремятся к пунктирным линиям, отвечающим

энергетических характеристик частиц. Окончатель-

пределу (34). Зависимость N_Δ(T ), вычисленная с

но можно заключить, что наша модель корректно

использованием рассматриваемой модели (36)-(51),

воспроизводит численные результаты во всем диапа-

(54), (55), (57)-(59) (сплошные кривые на рис. 8) с

зоне температур электронов и на протяжении всего

хорошей точностью совпадает с результатами чис-

разлета, и можно говорить, что она не имеет огра-

ленного моделирования и корректно описывает пе-

ничений по своему применению.

реход как к пределу малых температур (25), так и

Для установления количественных оценок точ-

к экстремальному нагреву электронов (34). Откло-

ности рассматриваемой модели проведем сравнение

нения от численных результатов растут с течени-

поведения количества частиц, попадающих в задан-

ем времени, достигая 20-30 %. Отметим также, что

ный спектральный диапазон (11), в зависимости от

стремление к пределу кулоновского взрыва стано-

различных величин. На рис. 8 показаны зависи-

вится слабее на больших временах. Действительно,

мости от температуры числа частиц, попадающих

предел кулоновского взрыва отвечает очень силь-

в спектральный диапазон (11) шириной Δ (в про-

ному нагреву электронов, когда их дебаевский ра-

центах) от максимальной энергии, т. е. обладающих

диус много больше характерного размера плазмы,

энергией от (1 - Δ)ε_max до ε_max. Для иллюстра-

т. е. положения ее фронта, λ(T )/x_f (t). Когда плаз-

ции выбраны достаточно узкий диапазон энергий

ма разлетелась на достаточно большие расстояния,

Δ = 20% и вся высокоэнергетичная часть Δ = 60%.

xf ≫ 1, для выполнения этого условия требуют-

Показаны моменты времени, отвечающие x_f = 20 и

ся гораздо большие температуры. Поэтому переход-

x_f = 200. Кружки на графиках соответствуют чис-

ная область, сочетающая в себе черты каждого из

ленным результатам. Видно, что с ростом темпера-

асимптотических режимов разлета, простирается на

туры число частиц, обладающих заданным разбро-

1 ≲ T ≲ 20, где и наблюдаются самые большие от-

сом по энергии, растет, достигая предельного значе-

клонения результатов модели от численных. Излом

ния (34) (пунктирные линии на рис. 8), отвечающего

на теоретических кривых в области T ∼ 1 объясня-

кулоновскому взрыву мишени. Отметим также, что

ется тем, что при ее построении мы опирались на

результаты, полученные с помощью линейного поля

предельные случаи T → 0, ∞, используя достаточно

(56) (серые линии) из работ [32, 33, 42], совпадают с

простые методы их сшивки, которые приводят к са-

зависимостями для кулоновского взрыва (пунктир-

мой большой ошибке именно в переходной области.

ные линии), для которого поле внутри плазмы так-

В целом графики на рис. 8 подобны зависимости

же линейно (31). При этом различия в результиру-

максимальной энергии от температуры, рассмотрен-

ющей максимальной энергии для этих двух случаев

ной в работе [42] в рамках простейшей аппроксима-

не существенны, так как формулу (11) для вычис-

ции плотности разлетающихся ионов.

ления N_Δ можно переписать следующим образом:

Для более полного анализа такой практически

важной характеристики пучка ускоренных частиц,

∫

как их число в данном интервале энергий, рассмот-

N_Δ =

(ξ) d ξ,

dξ

рим ее поведение на двух параметрических плоско-

(1-Δ)

стях. На рис. 9 представлены зависимости величины

где ξ = ε/ε_max, т. е. величина N_Δ зависит только

N_20% от температуры T электронов и положения x_f

от формы спектрального распределения, обуслов-

фронта разлетевшейся плазмы. Для дополнительно-

ленного распределением электростатического поля.

го контроля точности результатов модели также по-

Штриховые кривые на рис. 8 иллюстрируют зависи-

казаны численные результаты. Являясь обобщением

166

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

, %

100

N ,%

100

N ,%

100

10^-3

10^-2

0.1

100

10^-3

10^-2

0.1

100

Рис. 10. Величина NΔ в зависимости от температуры электронов и ширины выбранного диапазона энергий, Δ, в про-

центах. Слева представлены аналитические результаты, справа — результаты численного моделирования. Сплошные

кривые — линии постоянного уровня. Положение фронта ионов x_f = 20

зависимостей на рис. 8, данные графики аналогично

существенно

«немоноэнергетичен»:

10 % от об-

демонстрируют увеличение числа ускоренных час-

щего числа частиц обладают разбросом в

80 %

тиц с ростом температуры. По мере разлета ввиду

от максимальной энергии. Ситуация качественно

пространственного, а следовательно, и спектрально-

меняется при 0.1 < T < 1, когда число частиц с

го уширения пучка число частиц в заданном диапа-

близкими энергиями достаточно резко возрастает.

зоне энергий непрерывно уменьшается, причем это

Об этом можно судить по провалу линий посто-

происходит достаточно резко на начальной стадии

янного уровня вблизи этой температуры. Наличие

разлета, x_f < 50. Согласие теоретических и числен-

именно в этой области такого качественного пе-

ных результатов, демонстрируемое графиками на

рехода, связанного с возникновением достаточно

рис. 9, остается достаточно хорошим. Отметим, что

сильного поля разделения зарядов, является до-

на основе графиков с рис. 9 возможно проводить

полнительным обоснованием для выбора в качестве

планирование экспериментов по генерации пучков

области сшивки двух предельных режимов разлета

ускоренных частиц с наперед заданными параметра-

диапазона температур 0.1 < T < 1. Еще раз под-

ми. Так, для заданных энергии и мощности лазера и

черкнем хорошую точность построенной модели,

параметров мишени, которые определяют величину

демонстрируемую графиками на рис. 10.

температуры электронной компоненты, путем под-

бора длины ускорения, связанной с размером пятна

7. СРАВНЕНИЕ С ТРЕХМЕРНЫМ

фокусировки, можно определить число частиц, ко-

ЧИСЛЕННЫМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ

торые будут обладать заданным разбросом по энер-

гии.

В данном разделе мы опишем процедуру полу-

Дополнительно рассмотрим поведение числа

чения спектрально-энергетических характеристик

частиц N_Δ в зависимости от самой ширины спект-

ускоренных ионов на основе рассмотренной теоре-

рального диапазона и температуры электронов,

тической модели для реальных параметров лазер-

зафиксировав дистанцию разлета, xf = 20, ввиду

ного импульса и мишени, в частности, используя

ее слабого влияния. На рис. 10 приведены примеры

сравнение теоретических результатов с результата-

такой зависимости, полученной в рамках модели

ми полномасштабного кинетического моделирова-

и путем численного моделирования. Прежде всего

ния. Для этого был использован численный кинети-

графики на рис. 10 подтверждают известный вывод

ческий электромагнитный код VSim [35], позволяю-

о невозможности генерации моноэнергетических

щий моделировать задачи взаимодействия излуче-

пучков из мишеней с одним сортом ионной ком-

ния с плазмой: лазерное поле и самосогласованное

поненты: в узком диапазоне энергий никогда не

поле плазмы задаются и вычисляются с помощью

будет содержаться существенное число частиц.

уравнений Максвелла, решаемых с использованием

При малых температурах генерируемый пучок

схемы Йи; релятивистское движение частиц моде-

168

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

[

]-1/2

λL

n_e

λ_s =

-1

2π

γn

√

10¹¹

где γ =

1 + a²⁰/2 — релятивистский фактор элек-

тронов, вычисленный по вакуумной амплитуде ла-

зерного поля, находим, что для рассматриваемых

10⁹

параметров толщина слоя эффективного поглоще-

ния лазерного излучения, λ_s, как раз оказывается

порядка толщины L мишени. Таким образом, име-

10⁷

ет место эффективный нагрев электронов плазмы

по всей толщине мишени, что позволяет исполь-

10⁵

зовать однотемпературное приближение при опи-

сании их энергетического распределения. Опреде-

, МэВ

ление температуры электронов, фактически явля-

Рис. 11. Спектральное распределение электронов в на-

ющейся единственным управляющим параметром,

правлении лазерного импульса из численного 3D PIC-мо-

выходит за рамки нашей модели и может быть

делирования (серая кривая) и максвелловские скейлин-

включено эмпирически, например, с использовани-

ги dN/dε

= N0 exp[-ε/T ] для значений температур,

ем данных численного моделирования. Так, ана-

вычисленных по поглощенной интенсивности T (a_abs) =

лиз динамики электронной компоненты при лазер-

= 6 МэВ (черная прямая) и вакуумной интенсивности

плазменном взаимодействии, полученной с помо-

T(a0) = 21 МэВ (штриховая линия) через 20 фс после

щью численного кода VSim для указанных пара-

прихода максимума лазерного импульса на мишень

метров лазерного импульса и мишени, показыва-

ет, что суммарно электронами мишени поглоща-

ется только 9 % всей энергии лазерного импуль-

лируется с помощью консервативных схем в ком-

са. Таким образом, вместо вакуумной интенсивно-

бинации с методом «частица-в-ячейке» для вычис-

сти I0 для определения температуры электронов

ления вклада макрочастиц в распределение тока в

следует рассматривать поглощенную интенсивность

плазме. Размерности проведенных расчетов опреде-

Iabs

= I0 C_abs [32], где C_abs — коэффициент кон-

ляются как 3D3V: трехмерная по физическому про-

версии энергии лазера в энергию лазерно-нагретых

странству (3D) и трехмерная по пространству ско-

электронов (в данном случае Cabs = 0.09), и со-

ростей (3V). В качестве примера, рассмотрим вза-

ответствующую поглощенную безразмерную ампли-

имодействие лазерного импульса с длиной волны

туду поля a_abs

= a₀

√C_abs

= 18. Согласно пон-

λ_L = 1 мкм, длительностью τ = 30 фс и безраз-

деромоторному скейлингу (1), значение температу-

мерной амплитудой a₀ = 60, сфокусированного в

ры электронов, вычисленное по поглощенному по-

пятно с D_f

= 4 мкм (что соответствует вакуум-

лю, составляет T (a_abs) = 6 МэВ. Для иллюстрации

ной интенсивности I₀ = 5 · 10²¹ Вт/см²), с полно-

необходимости использовать значение поглощенно-

стью ионизированной углеродной мишенью (Z = 6)

го лазерного поля на рис. 11 представлено полу-

толщиной L = 150 нм и электронной плотностью

ченное из численного моделирования спектральное

ne = 200 ncr, где ncr

= 1.11 · 10²¹ см-3 — кри-

распределение электронов мишени через 20 фс по-

тическая плотность для данной длины волны (что

сле прихода максимума лазерного импульса на ми-

соответствует массовой плотности вещества мише-

шень (серая кривая), когда уже произошел эффек-

ни 0.73 г/см³ и плотности числа частиц ионов C⁶⁺

тивный нагрев основной части электронов, но не на-

ni0 = 3.67 · 1022 см-3). Размеры расчетной обла-

чалось их остывание вследствие перекачки энергии

сти составляли 24 × 14 × 14 мкм³; разрешение h_x =

через электрическое поле к ускоряемым ионам. Так-

= λ_L/120 по оси x, в направлении распространения

же на рис. 11 представлены максвелловские спект-

лазерного импульса, и h_⊥ = λ_L/20 в поперечных на-

ральные распределения dN/dε

= N0 exp[-ε/T] с

правлениях; в пространственной ячейке находилось

температурами, рассчитанными по вакуумному зна-

16 частиц в продольном направлении и по 2 частицы

чению амплитуды лазерного поля T (a₀) = 21 МэВ

в поперечных направлениях.

(штриховая линия) и по поглощенному полю T (a_abs)

Используя формулу для скиновой глубины про-

(черная линия). Анализ графиков показывает, что

никновения лазерного излучения релятивистской

при использовании вакуумного значения темпера-

интенсивности,

туры электронов, T(a₀), невозможно описать реаль-

169

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

ное распределение электронов мишени по энерги-

задаваемой величиной ni0 L/2 π(D_f)²/4

— пол-

ям. В то же время температура T (a_abs), рассчи-

ному числу частиц, находившихся изначально

танная по поглощенному полю, адекватно описы-

внутри фокального объема с толщиной, равной

вает распределение электронов средних и высоких

половине толщины мишени. Анализ спектральных

энергий (ср. с работой [32]), которые и ответствен-

распределений на рис. 12, полученных численно

ны за набор энергии ионами. Очевидно, что низко-

(серые кривые) и теоретически (черные сплошные

энергетическая часть спектра на рис. 11 отвечает

кривые), для моментов времени и отвечающих

электронам, изначально находившимся на перефе-

различным положениям фронта ускоряемых ионов,

рии фокального пятна лазерного импульса, что обу-

позволяет говорить о хорошем качественном и ко-

словливает их меньшую температуру.

личественном описании ускорения ионов с помощью

Опираясь на полученную оценку температуры

построенной модели. Так, отклонения в значениях

электронной компоненты из PIC-моделирования,

максимальной энергии ионов находятся в пределе

можно найти спектральное распределение ускорен-

10-15 % и наблюдаются только на этапе набора

ных ионов в рамках нашей теоретической модели.

энергии ионами (верхний ряд графиков на рис. 12).

Для использованных в расчетах параметров лазер-

Детальный анализ спектральных распределений,

ного импульса и мишени единица измерения темпе-

получаемых в рамках построенной теории, на основе

ратуры [T ], применявшаяся при приведении к без-

сравнения с одномерным электростатическим кодом

размерному виду основной системы уравнений (7),

(см. разд. 6) продемонстрировал хорошую точность

составляет

теоретической модели при описании всех спектраль-

ных областей ускоренных ионов. Этот факт позво-

[T ] = 4 π Z e² ni0 (L/2)² = 22.38 МэВ.

(60)

ляет утверждать, что расхождения в числе частиц,

находящихся в различных спектральных областях,

Окончательно получаем безразмерное значение тем-

демонстрируемые графиками на рис. 12, связаны с

пературы T

= T(a_abs)/[T]

= 0.269, т. е. разлет

эффектами, учет которых выходит за рамки одно-

плазмы проходит в режиме, промежуточном между

мерной БВП-модели, взятой за основу при построе-

квазинейтральным и кулоновским взрывом. Чтобы

нии нашей модели. Так, завышение числа частиц в

дополнительно приблизить теоретическое описание

высокоэнергетичной области спектра связано, ско-

электростатического поля в нашей модели к реаль-

рее всего, с предположением об однородности темпе-

ности и расширить границы ее применимости, сле-

ратуры электронов в поперечном направлении, т. е.

дует учесть эффект уменьшения поля после перехо-

с пренебрежением радиальным распределением ин-

да разлета в трехмерный режим. Аналогично работе

тенсивности лазерного излучения. Численное моде-

[32], мы считаем, что, ввиду конечности поперечно-

лирование показывает, что частицы с самой боль-

го размера D_f фокального пятна, ускоряющее поле

шой энергией изначально находились в узкой обла-

должно спадать пропорционально x-2 при x ≫ D_f .

сти вблизи оси лазера и двигались внутри конуса

Вводя безразмерную границу одномерного режима,

с малым углом раствора. Число таких частиц при

L1D = 1 + D_f /(L/2) = 54, записываем

этом достаточно мало. Большее количество частиц

⎧

⎨

в холодной части спектра, демонстрируемое чис-

E(x, t),

x≤L1D ,

ленным моделированием, обусловливается ионами,

E3D =

(61)

⎩ E(L1D,t(x=L1D)),

x≥L1D ,

ускоряемыми в слабом поле из переферийной обла-

1 + (x - L1D)2

сти фокального пятна, которые также не могут быть

где E(x, t)

— поле, определяемое выражениями

учтены в рамках одномерной модели.

(36)-(51), (54), (55), (57)-(59).

Для иллюстрации необходимости учета умень-

Используя теоретическое распределение поля

шения ускоряющего поля при переходе к трехмер-

(61), для безразмерного значения температуры

ной стадии разлета на рис. 12 штриховыми кривыми

= 0.269 были получены спектральные распре-

показаны спектральные распределения, полученные

деления ускоренных ионов углерода. Сравнение

без использования части выражения (61), отвечаю-

теоретических результатов с численными из ко-

щей x ≥ L1D. Так, нижний ряд графиков на рис. 12

да VSim представлено на рис.

12. Переход к

при временах, когда часть ионов вылетела за грани-

размерным единицам в теоретических спектрах

цу одномерного режима, демонстрирует двукратное

осуществлялся с помощью единицы измерения

завышение максимальной энергии частиц вместе с

энергии

[ε]

= Z [T]

= 134.3 МэВ, следующей

соответствующей некорректно описываемой высоко-

из формулы (60), и нормировкой числа частиц

энергетичной частью спектра. Вместе с тем, элект-

170

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

dN/d

10¹⁰

x_f = 6.5

x_f = 49.5

10⁹

10⁸

10⁷

10⁶

100

150

200

150

300

450

600

, МэВ

dN/d

10¹⁰

x_f = 160

x_f = 256

10⁹

10⁸

10⁷

10⁶

250

500

750

1000

300

600

900

1200

, МэВ

Рис. 12. Сравнение спектров ионов углерода C⁶⁺, полученных из 3D PIC-моделирования (серые кривые) и теоретичес-

кой модели без учета (штриховые кривые) и с учетом трехмерного уменьшения ускоряющего поля (черные кривые) для

одномерной, x_f < L1D , (верхний ряд графиков) и «трехмерной», xf ≥ L1D , (нижний ряд графиков) стадий ускорения.

Значения положения фронта ионов даны на соответствующих графиках в безразмерных единицах

рическое поле, откорректированное с учетом трех-

температуры компонент плазмы относительно ее на-

мерного уменьшения, правильно описывает инерци-

чального значения T₀:

онный разлет плазмы практически без набора энер-

гии, что демонстрируется результатами численного

T₀

T (t) =

моделирования на рис. 12.

1 + (t/t_c)²

Дополнительным эффектом, который автомати-

Характерное время t_c остывания выражается через

чески учитывается в численном 3D PIC-моделиро-

масштаб неоднородности L_δ плотности компоненты

√

вании и может быть существен при адаптации теоре-

плазмы, как t_c = L_δ/

2c_s. Логично предположить,

тической модели, является остывание электронов по

что остывание электронов начинается сразу после

мере ускорения ионной компоненты плазмы (адиа-

окончания действия лазерного импульса, t > τ, а

батического охлаждения плазмы), приводящего к

за величину L_δ следует принять положение фронта

уменьшению ускоряющего поля. При построении

ионной плазмы на момент времени τ: L_δ = x_f (τ).

теоретической модели мы полагали, что при темпе-

Учитывая единицу времени, использованную при

ратурах T < 1 разлет плазмы в основном протекает

переходе к безразмерному виду, [t] = ω-1 = 2.4 фс,_p

в режиме, близком к квазинейтральному, поэтому

находим, что характерное время остывания со-

для оценки падения электронной температуры мож-

ставляет t_c

= 67 фс. При этом время пересече-

но воспользоваться результатами работы по адиаба-

ния границы одномерного разлета не превышает

тическому разлету плазмы в квазинейтральном ре-

t(x_f = L1D) = 58 фс, а время окончания расчетов на

жиме [23], где была получена формула для падения

рис. 12 — t(x_f = 256) = 216 фс. Несмотря на то что

171

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

эффект остывания включается при t = τ = 30 фс,

ливое для произвольного отношения дебаевского ра-

т. е. почти вдвое быстрее, чем эффект трехмерного

диуса нагретых электронов к толщине мишени. В

падения поля (при t(x_f = L1D) = 58 фс), остывание

частности, это потребовало более детального изуче-

не оказывает существенного влияния на максималь-

ния расширения плазмы в вакуум для случая слабо-

ную энергию ионов.

го разделения зарядов с помощью одномерного чис-

Также не следует ожидать перераспределения

ленного электростатического моделирования, кото-

ионов по энергиям, так как уменьшение температу-

рое показало, что в расширяющемся слое распро-

ры электронов приводит к одновременному умень-

страняются волны зарядовой плотности, оказываю-

шению ускоряющего поля во всей плазме. Слабое

щие влияние на локальную структуру плазменного

влияние остывания связано с несколькими фактора-

электростатического поля. Позади фронтов расши-

ми. Во-первых, на момент окончания действия ла-

ряющейся ионной плазмы и отраженной в центре

зерного импульса ускоряющее поле уже уменьши-

мишени волны разрежения развиваются сильноза-

лось в 5 раз относительно своего первоначального

тухающие возмущения ионно-звукового типа, впер-

значения (см. формулу (49)), т. е. основной набор

вые представленные в работе [46] для нестационар-

энергии ионами практически закончился: на этот

ной структуры фронта бесстолкновительной удар-

момент уже набрано 2/3 от итоговой максимальной

ной волны. Тем не менее эти возмущения не оказы-

энергии. Во-вторых, достаточное большое на мас-

вают существенного влияния на распределение по-

штабах разлета время остывания приводит к тому,

ля, ускоряющего ионы.

что на момент включения трехмерного уменьшения

Точность построенной модели контролировалась

поля температура потеряла всего 15 % от своей на-

сравнением с результатами одномерного численного

чальной величины. В-третьих, при одновременном

электростатического моделирования PIC-методом

действии доминирующим эффектом остается трех-

(разд. 6). Сравнение распределений электростати-

мерное уменьшение поля, а не охлаждение электро-

ческого поля, спектров ускоренных ионов и поведе-

нов. Действительно, из формулы (51) следует, что

ния числа частиц, попадающих в заданный спек-

на достаточно больших временах, t ≫ t_QN , поле

тральный диапазон, в зависимости от различных

(61) убывает как E

∝ (t ln t)-2. При этом темп

управляющих параметров показало, что представ-

убывания вследствие охлаждения ведет себя как

ленная модель имеет достаточно высокую точность

√

E ∝

T ∝ 1/t, т.е. совпадает с темпом уменьше-

во всем диапазоне температур электронов плазмы.

ния поля по мере расширения плазмы (49). Таким

Наибольшие отклонения порядка 25 % наблюдают-

образом, следует ожидать, что адиабатическое охла-

ся только для очень больших времен разлета, когда

ждение электронов существенно влияет на ускоре-

положение фронта плазмы, x_f ≫ 1, для диапазона

ние ионов в случае таких параметров лазерного им-

значений температуры 3 ≲ T ≲ 20, который фак-

пульса, когда длина ускорения (размер пятна фоку-

тически отвечает переходной области между квази-

сировки) намного превышает расстояние, на кото-

нейтральным разлетом, T ≪ 1, и кулоновским взры-

рое разлетается плазма за длительность импульса.

вом, T ≫ 1. Для сравнительно небольших простран-

ственных масштабов разлета, порядка нескольких

десятков начальных толщин плазмы, отклонения от

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

численных результатов находятся в пределе 10 %.

С ростом температуры наша модель осуществ-

Данная работа завершает построение полуана-

ляет корректный переход от предельного случая

литической самосогласованной модели разлета в

T → 0, отвечающего квазинейтральному разлету,

вакуум плазменного слоя конечной толщины при

представленному в работе [6], к асимптотике куло-

произвольном значении температуры электронной

новского взрыва, T

→ ∞ [27]. Еще раз подчерк-

компоненты плазмы, которое было начато в рабо-

нем, что часто используемая в оценках результатов

тах

[31-34]. Опираясь на известные результаты по

экспериментов и численного моделирования модель

квазинейтральному разлету плазмы и кулоновско-

разлета полубесконечной плазмы, развитая в работе

му взрыву тонких мишеней, результаты одномер-

Мора [6], не в состоянии описать широкодиапазонно-

ного электростатического моделирования и физи-

го по полю разделения зарядов разлета мишени, так

чески обоснованные элементы модели, охватываю-

как для этого требуется рассмотрение плазмы ко-

щие основные эффекты, сопровождающие расшире-

нечной толщины, сравнимой с дебаевским радиусом

ние плазмы в вакуум, мы предложили модельное

электронов или меньшей его, λ_De ≳ L. Анализ за-

распределение электростатического поля, справед-

висимостей числа частиц, попадающих в заданный

172

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Спектрально-динамическая модель. ..

спектральный диапазон, от отношения дебаевского

A. V. Brantov, E. A. Govras, V. F. Kovalev et al.,

радиуса к толщине слоя, температуры электронов и

Phys. Rev. Lett. 116, 085004 (2016).

длины ускорения, полученных численно и аналити-

А. В. Гуревич, Л. В. Парийская, Л. П. Питаевский,

чески, показал, что построенная модель хорошо опи-

ЖЭТФ 49, 647 (1965).

сывает детальную структуру спектральных распре-

делений ионов во всех рассмотренных диапазонах

P. Mora, Phys. Rev. Lett. 90, 185002 (2003).

изменения управляющих параметров. Дополнитель-

M. Allen, P. Patel, A. Mackinnon et al., Phys. Rev.

но был подтвержден известный вывод об отсутствии

Lett. 93, 265004 (2004).

генерации моноэнергетических пучков при разле-

те плазменных мишеней однокомпонентного ионно-

Н. Г. Басов, В. А. Бойко, В. А. Дементьев и др.,

ЖЭТФ 51, 989 (1967).

го состава.

Для адаптации теоретической модели к описа-

D. Strickland and G. Mourou, Opt. Comm. 56, 219

нию и предсказанию результатов экспериментов

(1985).

и численных расчетов была описана процедура

10.

H. Kiriyama, M. Mori, Y. Nakai et al., Opt. Lett. 32,

получения связи спектрально-энергетических ха-

2315 (2007).

рактеристик ускоренных ионов с параметрами

лазерного импульса и мишени. На основании этой

11.

H. Kiriyama, M. Mori, Y. Nakai et al., Opt. Comm.

процедуры было проведено сравнение теоретичес-

282, 625 (2009).

ких результатов с результатами полномасштабного

12.

S. Fourmaux, S. Payeur, S. Buffechoux et al., Opt.

численного кинетического электромагнитного 3D

Express 19, 8486 (2011).

PIC-моделирования, выполненного с помощью кода

VSim [35]. Дополнительный учет эффекта уменьше-

13.

A. Lévy, T. Ceccotti, P. D’Oliveira et al., Opt. Lett.

32, 310 (2007).

ния ускоряющего поля вследствие перехода разлета

в трехмерный режим позволил с очень хорошей

14.

A. Lévy, T. Ceccotti, H. Popescu et al., Eur. Phys. J.

точностью описать результирующую максимальную

Special Topics 175, 111 (2009).

энергию пучка ионов (в рассмотренном примере —

15.

A. Henig, S. Steinke, M. Schnürer et al., Phys. Rev.

углерода), ускоренных мощных релятивистским ла-

Lett. 103, 245003 (2009).

зерным импульсом. Возникшие отклонения в числе

частиц, попадающих в высоко- и низкоэнергетиче-

16.

A. Henig, D. Kiefer, K. Markey et al., Phys. Rev.

скую области спектра, мы связываем с эффектом,

Lett. 103, 045002 (2009).

который не может быть учтен в рамках чисто

17.

J. Braenzel, A. A. Andreev, K. Platonov et al., Phys.

одномерной модели: радиальной зависимостью

Rev. Lett. 114, 124801 (2015).

интенсивности, а следовательно, и температуры

электронов. Учет данного эффекта является одним

18.

D. Kiefer, A. Henig, D. Jung et al., Eur. Phys. J.

из возможных путей улучшения построенной тео-

D 55, 427 (2009).

ретической модели, который позволит расширить

19.

F. Dollar, T. Matsuoka, G. M. Petrov et al., Phys.

границы ее применимости и повысить ее точность.

Rev. Lett. 107, 065003 (2011).

Работа выполнена при поддержке Российского

20.

A. Mackinnon, Y. Sentoku, P. Patel et al., Phys. Rev.

научного фонда (грант № 17-12-01283).

Lett. 88, 215006 (2002).

21.

J. Fuchs, P. Antici, E. d’Humières et al., Nature Phys.

2, 48 (2006).

ЛИТЕРАТУРА

22.

F. Dollar, C. Zulick, T. Matsuoka et al., Phys.

Plasmas 20, 056703 (2013).

1. R. Snavely, M. Key, S. Hatchett et al., Phys. Rev.

Lett. 85, 2945 (2000).

23.

В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков, В. Т. Тихончук,

ЖЭТФ 122, 264 (2002).

2. I. J. Kim, K. H. Pae, I. W. Choi et al., Phys. Plasmas

24.

D. Dorozhkina and V. Semenov, Phys. Rev. Lett. 81,

23, 070701 (2016).

2691 (1998).

3. A. Higginson, R. J. Gray, M. King et al., Nature

25.

Yu. V. Medvedev, Plasma Phys. Contr. Fusion 47,

Comm. 9, 724 (2018).

1031 (2005).

173

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

26.

N. Iwata, K. Mima, Y. Sentoku et al., Phys. Plasmas

39.

Yu. V. Medvedev, Plasma Phys. Control. Fusion 39,

24, 073111 (2017).

291 (1997).

27.

В. Ю. Быченков, В. Ф. Ковалев, КЭ 35, 1143

40.

S. Wilks, W. Kruer, M. Tabak et al., Phys. Rev. Lett.

(2005).

69, 1383 (1992).

28.

M. Passoni and M. Lontano, Laser Part. Beams 22,

41.

V. Yu. Bychenkov, V. N. Novikov, D. Batani et al.,

163 (2004).

Phys. Plasmas 11, 3242 (2004).

29.

M. Passoni and M. Lontano, Phys. Rev. Lett. 101,

42.

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков, Письма в ЖЭТФ

115001 (2008).

98, 78 (2013).

30.

S. Betti, F. Ceccherini, F. Cornolti et al., Plasma

43.

А. В. Гуревич, А. П. Мещеркин, ЖЭТФ 80, 1810

Phys. Control. Fusion 47, 521 (2005).

(1981).

31.

Е. А. Говрас, В. Ю. Быченков, Краткие сообщ. по

44.

J. E. Allen and M. Perego, Phys. Plasmas 21, 034504

физике 42, 31 (2015).

(2014).

32.

A. V. Brantov, E. A. Govras, V. Yu. Bychenkov et al.,

45.

Ю. В. Медведев, Нелинейные явления при распа-

Phys. Rev. ST Accel. Beams 18, 021301 (2015).

дах разрывов в разреженной плазме, Физматлит,

Москва (2012), с. 344.

33.

В. Ю. Быченков, А. В. Брантов, Е. А. Говрас и др.,

УФН 185, 77 (2015).

46.

А. В. Гуревич, Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 65, 590

(1974).

34.

V. Yu. Bychenkov, A. V. Brantov, and E. A. Govras,

Plasma Phys. Control. Fusion 58, 034022 (2016).

47.

А. В. Гуревич, К. П. Зыбин, ЖЭТФ 94(1), 3

35.

C. Nieter and J. R. Cary, J. Comput. Phys. 196, 448

(1988).

(2004).

48.

A. Kaplan, B. Dubetsky, and P. Shkolnikov, Phys.

36.

J. E. Crow, P. L. Auer, and J. E. Allen, J. Plasma

Rev. Lett. 91, 143401 (2003).

Phys. 14, 65 (1975).

49.

V. F. Kovalev, K. I. Popov, V. Yu. Bychenkov et al.,

37.

L. Wickens, J. Allen, and P. Rumsby, Phys. Rev. Lett.

Phys. Plasmas 14, 053103 (2007).

41, 243 (1978).

50.

K. I. Popov, V. Yu. Bychenkov, W. Rozmus et al.,

38.

Ю. И. Чутов, А. Ю. Кравченко, Физика плазмы

Phys. Plasmas 17, 083110 (2010).

6, 272 (1980).

174