ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 1, стр. 184-188

СКЕЙЛИНГ В ПРОБЛЕМЕ ЗАХВАТА ДИФФУНДИРУЮЩИХ

ЧАСТИЦ НА ПОГЛОЩАЮЩИЕ ЛОВУШКИ В

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

В. Е. Архинчеев^*

Laboratory of Applied Physics, Advanced Institute of Materials Science, Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Faculty of Applied Sciences, Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Поступила в редакцию 1 июля 2018 г.,

после переработки 15 августа 2018 г.

Принята к публикации 22 августа 2018 г.

Исследована асимптотика вероятности выживания частиц в средах с поглощающими ловушками в элект-

рическом поле. Асимптотическое поведение вероятности выживания при анизотропной диффузии иссле-

довано в двух случаях: на малых временах в приближении эффективной среды и на больших временах

во флуктуационной области. Показано, что в обоих случаях описание можно представить в скейлинговом

виде.

DOI: 10.1134/S0044451019010152

вероятность определяется флуктуациями плотности

поглощающих ловушек и носит экспоненциальный

1. ВВЕДЕНИЕ

характер:

Проблема диффузии частиц в средах с погло-

⁽Dtc² )1/2

щающими ловушками изучалась во многих работах

W (t; c) ∼

3π

[1-3]. Было показано, что в приближении эффектив-

(

)

3π1/2(Dtc²)1/3

ной среды вероятность выживания диффундирую-

× exp

(2)

щих частиц равна [3]

W (t, c) ∝ W₀ exp(-Dtc²).

(1)

Проблема диффузии в средах со случайно распреде-

ленными ловушками также является классической

Здесь D — коэффициент диффузии, c — концентра-

моделью для диффузионно-контролируемых хими-

ция ловушек в одномерном случае. Соответственно,

ческих реакций [6-9] и изучалась во многих работах

возникает характерное время диффузии, на рассто-

[10, 11].

янии порядка среднего расстояния между ловуш-

Впервые проблема диффузии частиц в средах с

ками: t_c = 1/Dc². В работах [4, 5] подробно иссле-

поглощающими ловушками в электрических полях

довался случай захвата на поглощающие ловушки

изучалась в работах [12] и [13]. Было установлено

случайно распределенных в пространстве диффун-

экспоненциальное убывание, соответствующее при-

дирующих частиц на больших временах вне прибли-

ближению эффективной среды в электрическом по-

жения эффективной среды. Было показано, что в

ле:

пределе больших времен t ≫ t_c = 1/Dc² прибли-

(

)

v²t

жение эффективной среды неприменимо и вероят-

W (t; E) ∝ W (t; 0) exp

(3)

ность выживания частиц определяется существова-

нием достаточно больших областей, свободных от

Далее, в работе [14] был исследован многомерный

ловушек. Другими словами, на больших временах

случай. Авторы утверждали, что постоянный дрейф

^* E-mail: valeriy.arkhincheev@tdtu.edu.vn

ведет к асимптотически-экспоненциальному убыва-

184

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Скейлинг в проблеме захвата диффундирующих частиц. . .

нию в пределе больших времен с линейным по элект-

Здесь L — длина цепочки, x_i, xi+1 — координаты

рическому полю множителем в экспоненте:

поглощающих ловушек. Решение уравнения диффу-

(

)

зии с поглощающими граничными условиями имеет

v²t

вид

W (t; E) ∝ W (t; 0) exp

- πcvt

(4)

{

}

∑

В работах [15, 16] утверждалось, что электрическое

W (x, t) =

exp

Dk2nt

поле приводит к «фазовому переходу» — переходу

n=0

от локализации в области с ловушками к дрейфово-

sin(k_n(x - x_i))

(8)

му поведению с увеличением электрического поля —

k_nl_i

и, согласно их результатам, существует критическое

где

значение электрического поля, ниже которого дрей-

(2n + 1)π

фовая скорость равна нулю, а выше — возникает

k_n =

l_i = |x_i - xi+1|.

ненулевая скорость.

l_i

В настоящей работе продолжено исследование

Искомая величина

— вероятность выживания

нового механизма переноса частиц, обусловленного

W (t) — равна среднему значению:

дрейфом частиц [17]. При включении электрическо-

го поля в проблему диффузии с поглощающими ло-

∫

∑

вушками дополнительно возникает новое характер-

W (t) = W_i =

W (x, t) dx.

(9)

ное время — «полевое» время; на временах порядка

«полевого» времени дрейфовое смещение сравнива-

ется с диффузионным: v²t2E ∝ Dt_E , а на временах,

Для случайного пуассоновского распределения ло-

больших по сравнению с «полевым», дрейф частиц

вушек f(l) = c exp(-cl), где c = N/L, l — расстояние

становится доминирующим:

между ловушками, получим на больших временах

описанный выше результат (1).

t_E =

(5)

Электрическое поле в задачу диффузии в средах

v²

с поглощающими ловушками вводится стандартным

Соответственно, временные асимптотики вероятно-

образом как анизотропия вдоль направления элект-

сти выживания частиц, диффундирующих в сре-

рического поля и в противоположном направлении.

дах с ловушками, будут определяться соотношением

Соответственно уравнение диффузии в электричес-

времен t_c и t_E. Будет показано, что именно дрейфо-

ком поле примет вид

вый механизм будет определять временную асимп-

∂W(x,t)

∂²W(x, t)

∂W(x,t)

тотику вероятности выживания частиц в средах с

-v

(10)

∂t

∂t²

∂x

поглощающими ловушками как в приближении эф-

фективной среды, так и во флуктуационной облас-

Здесь v = μE — дрейфовая скорость частиц в элект-

ти.

рическом поле E, μ — подвижность частицы. На-

чальные и граничные условия ставим аналогично

сформулированным выше условиям (7). Соответ-

2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ

ственно, по-прежнему ищем решение в виде

СРЕДЫ В ПРОБЛЕМЕ ДИФФУЗИИ В

СРЕДАХ С ЛОВУШКАМИ В

∑

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

W (x, t; E) =

c_nϕ_n exp(-E_nt).

(11)

n=0

Напомним коротко известные результаты. Со-

гласно работам [4,5] строится решение стандартного

При этом выражение для собственных функций ме-

уравнения диффузии,

няется:

∂W(x,t)

∂²W(x, t)

⁽v(x - x_i)⁾

(6)

ϕ_n = exp

sin(k_n(x - x_i)),

(12)

∂t

∂x²

со следующими начальными и граничными услови-

а собственные значения определяются выражением

ями:

1-c

W (x, 0) =

W (x_i, t) = W (xi+1, t) = 0.

(7)

E_n = Dk2n +

(13)

185

В. Е. Архинчеев

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Соответственно, на больших временах t ≫ t_E

работе оно принято в пуассоновском виде.) Таким

получим экспоненциальное убывание за счет дрей-

образом, асимптотический вид решения во флукту-

фа частиц на поглощающие ловушки под действи-

ационной области определяется следующим выра-

ем электрического поля, соответствующее прибли-

жением (см. также формулу из Приложения 1 рабо-

жению среднего поля:

ты [6]):

(

)

v²t

W (t; E) ∝ exp

(14)

W (t; E) ≈

∫

∞

(

)

∑

Интересно отметить, что в приближении эффектив-

π²(2n+1)²

≈

exp

-D

-cl dl,

(17)

ной среды согласно (1) и (14) вероятность выжива-

l²

n=0 0

ния частиц в средах с ловушками оказывается рав-

ной

где интеграл соответствует усреднению по расстоя-

нию между примесями.

(

)

Далее асимптотический экспоненциальный вид

W (t; c) ∝ W₀ exp

∝

t_c

4t_E

решений будем искать методом перевала. Согласно

(

[

])

(

)

(17) перевальные точки определяются из уравнения

∝ W0 exp

(15)

t_c

2kTc

π²(2n + 1)²

+ cl = 0.

(18)

l²

В случае слабых электрических полей, когда

qE/ckT ≪ 1 (электрический потенциал на рассто-

В общем случае значение перевальной точки опре-

янии порядка среднего расстояния между ловушка-

деляется выражением

ми меньше kT ), или на временах t_c ≪ t_E временная

√

асимптотика вероятности выживания частиц зави-

π²Dt

l=³

(19)

сит только от захвата на ловушки — см. форму-

c + v/4D

лу (1).

В сильных электрических полях qE/ckT ≫ 1,

В этом выражении с учетом известного соотноше-

что соответствует обратному соотношению между

ния Эйнштейна μκT = qD и возникает указанный

временами t_c ≫ t_E, основной вклад во временную

выше энергетический параметр (5):

зависимость вероятности выживания определяется

√

«полевым временем» — см. формулу (15).

π²Dt

l=³

(20)

Введя параметры x = t/t_c, y = t/t_E, представим

c + qE/4kT

результаты (15) в скейлинговом виде:

Соответственно, асимптотическое решение в пере-

{

(

)

W₀

⁽y⁾

x, y/x ≪ 1,

вальной точке, обусловленное дрейфовым механиз-

∝ xf

(16)

мом, будет иметь вид

W (x; y)

1 ≪ y/x.

W (t; E) ∝

3. УЧЕТ ФЛУКТУАЦИЙ КОНЦЕНТРАЦИИ

⎛

⎞

(

[

]₂)1/3

ПОГЛОЩАЮЩИХ ЛОВУШЕК, В ТОМ

∝ W0 exp^⎝-3π1/2

Dtc2 1+

⎠.

(21)

ЧИСЛЕ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

4ckT

На больших временах асимптотика вероятности

выживания частиц, диффундирующих в среде с ло-

Полученный результат аналогичен результату, уста-

новленному в приближении эффективной среды,

вушками, определяется флуктуациями концентра-

ции ловушек, т. е. областями, свободными от лову-

т. е. представим в виде суммы двух экспонент:

шек из-за флуктуаций. В этих областях частицы бу-

W (t; c) ∝

дут выживать дольше всех, и именно наличие этих

областей и определяет временные асимптотики ве-

(

)

)1/3

(

)1/3

роятности выживания частиц в средах с ловушками.

⁽t

∝ W0 exp

-C

-C₃

(22)

Согласно методу, развитому в работе [4], необхо-

t_c

t_E

димо усреднить полученное выше выражение (11)

по случайному расположению ловушек. (В нашей

186

ЖЭТФ, том 155, вып. 1, 2019

Скейлинг в проблеме захвата диффундирующих частиц. . .

Используя ранее введенные параметры x = t/t_c, y =

возможно, поскольку долговременные асимптоти-

= t/t_E , результат (22) можно представить в скей-

ки вероятности выживания диффундирующих час-

линговом виде:

тиц определяются областями, свободными от лову-

шек вследствие флуктуаций. Поскольку эти области

(

)

W₀

⁽y⁾

не содержат ловушек, невозможен захват заряжен-

∝x1/3g

W (x; y)

ных частиц и, как следствие, невозможно изменение

{

электрического поля из-за экранировки в этих обла-

x1/3, y/x ≪ 1,

(23)

стях, возникших вследствие флуктуаций концентра-

y1/3, y/x ≫ 1.

ций ловушек. Поэтому по крайней мере долговре-

менные асимптотики будут описываться формулой

(22), полученной для однородного электрического

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

поля.

Обсудим полученные результаты. Как следует из

Кроме того, полученные результаты будут пра-

выражений (15) и (22), на больших масштабах и/или

вильными в приближении как малых концентраций

в сильном электрическом поле вероятность выжива-

диффундирующих частиц, так и малых концентра-

ния частиц при поглощении на ловушки на больших

ций ловушек, когда влияние захваченных заряжен-

временах определяется новым механизмом — дрей-

ных частиц не будет значительно менять величину

фом частиц под действием электрического поля, что

электрического поля.

описывается соответствующим членом в экспонен-

Тем не менее вопрос об изменении величины ло-

те. Этот механизм становится существенным, когда

кального электрического поля вследствие экрани-

на длине порядка среднего расстояния между ло-

ровки электрического поля представляется важным

вушками электрический потенциал становится по-

и требует дальнейших исследований.

рядка kT : qE/c ∼ kT . Как следствие, возникает но-

вое асимптотическое поведение, обусловленное дей-

ствием электрического поля. (Отметим, что анало-

ЛИТЕРАТУРА

гичный параметр возникает и в задачах с аномаль-

1. E. W. Montroll and G. H. Weiss, J. Math. Phys. 6,

ной диффузией Леви, где наблюдается нелинейное

167 (1965).

поведение [18, 19].)

Поскольку полученные временные закономерно-

2. A. A. Овчинников, А. А. Белый, Теор. эксп. химия

сти определяются новым параметром — «полевой

2, 405 (1966).

длиной» L_E = kT/qE — и связанным с ним «по-

3. Г. В. Рязанов, ТМФ 10, 271 (1972).

левым временем» t_E = L2E /D, полученные выраже-

ния в силу автомодельности диффузионных процес-

4. Б. Я. Балагуров, В. Г. Вакс, ЖЭТФ 65, 1600

сов [20,21] могут быть представлены в скейлинговом

(1973).

виде [22,23], см. формулы (16) и (23). Представление

5. Б. Я. Балагуров, В. Г. Вакс, ЖЭТФ 65, 1939

в скейлинговом виде делает полученные результаты

(1973).

более наглядными и более понятными физически,

на наш взгляд.

6. M. Donsker and S. Varadhan, Comm. Pure Appl.

Math. 28, 525 (1975).

Подчеркнем также, что дрейфовый механизм

определяет временную асимптотику выживания

7. M. Donsker and S. Varadhan, Comm. Pure Appl.

частиц в сильных электрических полях как в обла-

Math. 32, 721 (1979).

сти, где работает приближение среднего поля, так

8. F. Benitez, C. Duclut, H. Chaté, B. Delamotte,

и во флуктуационной области. Соответственно, и

I. Dornic, and M. A. Muñoz, Phys. Rev. Lett. 117,

скейлинговое описание описывает временные асимп-

100601 (2016).

тотики вероятности выживания также в обеих обла-

стях. Напомним, что обычно скейлинговый подход

9. Sang Bub Lee, In Chan Kim, C. A. Miller, and S. Tor-

используется при переходе во флуктуационную об-

quato, Phys. Rev. B 39, 11833 (1989).

ласть.

10. I. Fouxon and M. Holzner, Phys. Rev. E 94, 022132

Необходимо отметить, что полученные выше

(2016).

формулы, описывающие влияние электрического

поля на захват заряженных частиц ловушками, не

11. N. Felekidis, A. Melianas, and M. Kemerink, Phys.

учитывают экранировку электрического поля. Это

Rev. B 94, 035205 (2016).

187