ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 2, стр. 242-257

КОГЕРЕНТНОЕ РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ,

ВОЗБУЖДАЕМОЕ ПУЧКОМ РЕЛЯТИВИСТСКИХ

ЭЛЕКТРОНОВ В МОНОКРИСТАЛЛЕ В

НАПРАВЛЕНИИ ОСИ ПУЧКА

С. В. Блажевич^a, К. С. Люшина^a, А. В. Носковb*

^a Белгородский государственный университет

308015, Белгород, Россия

^b Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

308012, Белгород, Россия

Поступила в редакцию 25 августа 2018 г.,

после переработки 3 сентября 2018 г.

Принята к публикации 24 сентября 2018 г.

В рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции развита теория когерентного

рентгеновского излучения пучком релятивистских электронов в монокристалле в направлении близком

к направлению оси пучка в геометрии рассеяния Брэгга для общего случая асимметричного относитель-

но поверхности мишени отражения поля электрона. Получены и исследованы выражения, описывающие

спектрально-угловые характеристики параметрического рентгеновского излучения вблизи направления

скорости, переходного излучения и их интерференционного слагаемого.

DOI: 10.1134/S0044451019020068

ния Лауэ было представлено в работе [11]. В случае

асимметричного отражения отражающие атомные

1. ВВЕДЕНИЕ

плоскости монокристалла расположены под некото-

При пересечении релятивистским электроном

рым углом к поверхности мишени, симметричное

монокристалла его кулоновское поле рассеивается

отражение является его частным случаем. Симмет-

на системе параллельных атомных плоскостей кри-

ричное отражение реализуется, когда система отра-

сталла, порождая параметрическое рентгеновское

жающих атомных плоскостей монокристалла распо-

излучение (ПРИ, FPX) [1-3]. Теория ПРИ реляти-

ложена параллельно (в геометрии рассеяния Брэг-

вистской частицы в монокристалле предсказывает

га) или перпендикулярно (в геометрии рассеяния

излучение не только вблизи направления рассеяния

Лауэ) поверхности мишени. Первые сообщения об

Брэгга, но также и вблизи направления скорости

обнаружении ПРИВ релятивистских электронов в

частицы (ПРИВ (ПРИ вперед, FPXR)) [4-7].

монокристалле в геометрии рассеяния Лауэ появи-

В работе [8] было впервые получено выражение

лись в работах [12,13]. Детальное теоретическое опи-

для интегральной интенсивности ПРИВ в геометрии

сание ПРИВ для случая симметричного отражения

рассеяния Лауэ. Детальное теоретическое описание

в геометрии рассеяния Брэгга было дано в рабо-

динамического эффекта ПРИВ и сопровождающе-

те [14].

го его фона переходного излучения в случае сим-

метричного отражения в геометрии рассеяния Лауэ

В настоящей работе развита динамическая тео-

представлено в работе [9] и монографии [10]. Теоре-

рия когерентного рентгеновского излучения вблизи

тическое описание ПРИВ релятивистских электро-

направления оси пучка релятивистских электронов,

нов в монокристалле в общем случае асимметрич-

пересекающих монокристаллическую пластинку в

ного относительно поверхности мишени отражения

геометрии рассеяния Брэгга в общем случае асим-

кулоновского поля электрона в геометрии рассея-

метричного отражения. Получены и исследованы

выражения, описывающие ПРИВ, переходное излу-

^* E-mail: noskovbupk@mail.ru

чение (ПИ, TR) и их интерференцию с учетом расхо-

242

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

e₂

ются в виде суммы составляющих, параллельных и

² e₂

перпендикулярных плоскости рисунка: θ = θ_∥ + θ_⊥,

e₁

ψ = ψ_∥ + ψ_⊥. ПРИВ и ПИ будем рассматривать

n_g

в направлении вектора (см. рис. 1). Угол ψ₀ будем

² e₁

-2

называть начальной расходимостью пучка излуча-

² e₁

ющих электронов (см. рис. 1), он определяет конус,

ограничивающий часть пучка электронов, за преде-

лами которого плотность электронов уменьшается

более чем в e раз по сравнению с плотностью на оси

пучка.

3. АМПЛИТУДА ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

При решении задачи будем рассматривать урав-

е-образа

нение для фурь∫

Рис. 1. Геометрия процесса излучения

E(k, ω) = dt d³r · E(r, t) exp(iωt - ik · r)

димости электронного пучка, многократного рассе-

электромагнитного поля, возбуждаемого электро-

яния электронов атомами кристалла и асимметрии

ном в монокристалле, следующее из системы урав-

отражения поля электрона относительно поверхно-

нений Максвелла:

сти мишени.

(k² - ω²(1 + χ₀))E(k, ω) - k(k · E(k, ω)) -

2. ГЕОМЕТРИЯ ПРОЦЕССА ИЗЛУЧЕНИЯ

∑

Рассмотрим пучок релятивистских электронов,

-ω²

χ-gE(k + g, ω) = 4πiωJ(k, ω),

(2)

пересекающих монокристалл в геометрии рассеяния

Брэгга (рис. 1). Пусть отражающая система парал-

где J(k, ω) = 2πeVδ(ω-kV) — фурье-образ плотнос-

лельных атомных плоскостей монокристалла распо-

ти тока излучающего электрона, χ₀(ω) — средняя

ложена под некоторым углом δ к поверхности мише-

диэлектрическая восприимчивость монокристалла,

ни (рис. 1), что соответствует случаю асимметрич-

χ_g и χ-g — коэффициенты Фурье разложения ди-

ного отражения поля излучения (δ = 0 — частный

электрической восприимчивости монокристалла по

случай симметричного отражения).

векторам g, причем

Введем угловые переменные ψ, θ^′ и θ в соот-

∑

ветствии с определениями скорости релятивистско-

χ(ω, r) =

χ_g(ω)exp(ig · r) =

го электрона V и единичных векторов: n — в на-

∑

правлении импульса излученного фотона, близком

= (χ′g(ω) + iχ′′g(ω)) exp(ig · r),

(3)

к направлению вектора скорости электрона, и n_g —

в направлении рассеяния Брэгга:

(

)

где χ₀ = χ′0 + iχ′′0, χ_g = χ′g + iχ′′g.

V= 1-

γ-2 -

ψ²

e₁ + ψ, e₁ · ψ = 0,

Будем рассматривать кристалл с центральной

(

)

симметрией (χ_g = χ-g). В выражении (3) величи-

θ²

e₁ + θ, e₁ · θ = 0,

ны χ′g и χ′′g определяются следующим образом:

(1)

)

(

)

⁽F(g)⁾⁽S(g)

e₁ · e₂ = cos2θ_B,

(

)

χ′g = χ^′

exp

g²u²

N₀

n_g =

θ′2

e₂ + θ^′, e₂ · θ^′ = 0,

(

)

(4)

χ′′g = χ′′0 exp

g²u

где θ^′ — угол когерентного рентгеновского излуче-

ния в направлении рассеяния Брэгга, отсчитывае-

где F (g) — формфактор атома, содержащего Z элек-

мый от оси детектора излучения e₂ (ПРИ и ДПИ),

тронов, S(g) — структурный фактор элементарной

ψ — угол отклонения рассматриваемого электрона

ячейки, содержащей N₀ атомов, u_τ — среднеквад-

в пучке, отсчитываемый от оси электронного пучка

ратичная амплитуда тепловых колебаний атомов

e₁, θ — угол когерентного рентгеновского излучения

кристалла. В работе рассматривается рентгеновская

вблизи направления скорости релятивистского элек-

область частот (χ′g < 0, χ′0 < 0).

√

трона (ПРИВ и ПИ), γ = 1/

1 - V ² — лоренц-фак-

Поскольку излучаемое релятивистским элект-

тор электрона. Угловые переменные рассматрива-

роном электромагнитное поле в рентгеновском

243

С. В. Блажевич, К. С. Люшина, А. В. Носков

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

диапазоне частот является поперечным, падаю-

где

(

)

щая E(k, ω) и дифрагированная в монокристалле

γ_g

E(k + g, ω) электромагнитные волны определя-

β =α-χ₀

α=

(k^2g - k²),

γ₀

ω²

ются двумя амплитудами с разными значениями

γ₀ = cosφ₀, γ_g = cosφ_g,

поперечной поляризации:

E(k, ω) = E⁽¹⁾⁰(k, ω)e⁽¹⁾⁰ + E⁽²⁾⁰(k, ω)e⁽²⁾⁰,

φ₀ — угол между волновым вектором подающей вол-

(5)

ны k = kn и вектором нормали к поверхности пла-

E(k + g, ω) = E^(1)g(k, ω)e^(1)g + E^(2)g(k, ω)e^(2)g,

стинки N, φ_g — угол между волновым вектором

где векторы e⁽¹⁾⁰ и e⁽²⁾⁰ перпендикулярны вектору k,

дифрагированной волны и вектором нормали (см.

рис. 1).

а векторы e^g1) и e^g2) перпендикулярны вектору k_g =

Решая (8) относительно λ₀ и λ_g, получим выра-

= k+g. Векторы e⁽²⁾⁰, e^g2) лежат в плоскости векто-

жения, описывающие динамические добавки для па-

ров k и k_g (π-поляризация) и перпендикулярны ей

дающего и дифрагированного фотонов в монокрис-

(σ-поляризация). В рамках двухволнового прибли-

талле:

жения динамической теории дифракции уравнение

(

√

)

(2) сводится с учетом (5) к хорошо известной систе-

γ₀

γ_g

λ(1,2)0 = ω

-β ± β²+4χ_gχ-gC(s)2

, (9a)

ме уравнений [15]:

4γ_g

γ₀

(

√

)

γ_g

(k² - ω²(1 + χ₀))E(s)0 - ω²χ-gC(s,τ)E(s)g =

λ(1,2)g =

β ± β²+4χ_gχ-gC(s)2

, (9b)

= 8π²ieωe(s)0Vδ(ω - k · V),

(6)

при этом заметим, что дисперсионное уравнение (8)

ω²χ_gC(s,τ)E(s)0 - (k^2g - ω²(1 + χ₀))E(s)g = 0.

дает только два значимых решения в рентгеновской

области частот, так как выполняются неравенства

Величины C(s,τ) в системе уравнений (6) определе-

λ²⁰ ≪ 2ωλ₀ и λ^2g ≪ 2ωλ_g. Представим выражения

ны следующим образом:

(9) в виде

C(s,τ) = e(s)0 · e(s)1 = (-1)^τ C(s),

(

ω|χ′g|C(s)

iρ(s)(1+ε)

C⁽¹⁾ = 1, C⁽²⁾ = |cos 2θ_B|,

(7)

λ(1,2)0 =

ξ(s)-

∓ ξ(s)2-ε -

2ε

e⁽¹⁾⁰ · V = θ_⊥ - ψ_⊥, e⁽²⁾⁰ · V = θ_∥ - ψ_∥,

− iρ(s)((1 + ε)ξ(s) - 2κ(s)ε)-

)))1/2

где θ_B — угол между осью пучка электронов и от-

⁽ (1 + ε)²

ражающими слоями (угол Брэгга). Длина вектора

- ρ(s)2

-κ(s)2ε

(10a)

обратной решетки определяется выражением g =

= 2ω_B sinθ_B/V , где ω_B — частота Брэгга. Систе-

(

ω|χ′g|C(s)

iρ(s)(1+ε)

ма уравнений (6) при s = 1 и τ

= 2 описывает

λ(1,2)g =

ξ(s)-

± ξ(s)2-ε -

поля σ-поляризованные, а при s = 2 поля π-поля-

ризованные, при этом τ = 2, если 2θ_B < π/2, а в

− iρ(s)((1 + ε)ξ(s) - 2κ(s)ε)-

противном случае τ = 1. Решим следующее из систе-

)))1/2

⁽ (1 + ε)²

мы (6) дисперсионное уравнение для рентгеновских

- ρ(s)2

-κ(s)2ε

(10b)

волн в монокристалле:

В выражениях (10) приняты следующие обозначе-

(ω²(1 + χ₀) - k²)(ω²(1 + χ₀) - k^2g) -

ния:

- ω⁴χ-gχ_gC(s,τ)2 = 0.

(8)

1+ε

ξ(s)(ω) = η(s)(ω) +

2ν(s)

Длины волновых векторов падающего и дифра-

k^2g - k²

гированного фотонов в монокристалле будем искать

η(s)(ω) =

2|χ′g|C(s)ω²

в виде

(

)

√

2 sin² θ_B

ω(1 + θ_∥ ctg θ_B)

k=ω

1+χ₀ +λ₀, k_g =ω

1+χ₀ +λ_g,

(11)

V²|χ′g

|C(s)

при этом будем использовать известное соотно-

χ′gC(s)

χ′′0

шение, связывающее динамические добавки λ₀ и

ν(s) =

ρ(s) =

χ′0

|χ′g|C(s)

λ_g [16]:

ωβ

γ_g

χ′′g

C(s)

|γ_g|

sin(θ_B - δ)

λg =

+λ₀

κ(s) =

ε=

γ₀

χ′′0

γ₀

sin(θ_B

+ δ)

244

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

Поскольку в области рентгеновских частот выпол-

жения и определяется неравенством ξ(s)2 < ε или

няется неравенство 2 sin² θ_B/V²|χ′g|C(s) ≫ 1, η(s)(ω)

(см. (11))

является быстрой функцией частоты ω, поэтому

1+ε

для дальнейшего анализа спектров ПРИВ и ДПИ

-√ε -

< η(s)(ω) <

√ε -

(12)

2ν(s)

очень удобно рассматривать η(s)(ω) или ξ(s)(ω) как

спектральную переменную, характеризующую час-

откуда видно, что ширина области определяется ве-

тоту ω.

личиной 2√ε.

Параметр ρ(s) характеризует степень поглоще-

Решение первого уравнения системы (6) для по-

ния рентгеновских волн в кристалле и равен от-

ля в вакууме впереди и позади мишени соответ-

ношению длины экстинкции L(s)ext

= 1/ω|χ′g|C(s)

ственно имеет вид

к длине поглощения L_abs = 1/ωχ′′0 рентгеновских

(s)

8π²ieΩ

δ(λ∗0 - λ₀)

волн: ρ(s) = L(s)ext/L_abs.

E(s)vacI0 =

(13a)

χ₀ + 2λ₀/ω

Параметр ν(s), принимающий значения в проме-

жутке 0 ≤ ν(s) ≤ 1, определяет степень отражения

поля от рассматриваемой системы параллельных

8π²ieΩ(s) δ(λ∗0 - λ₀)

атомных плоскостей монокристалла, которая обу-

E(s)vacII0 =

χ₀ + 2λ₀/ω

словливается характером интерференции волн, от-

раженных от разных плоскостей: конструктивным

(

ωχ₀ )

(ν(s) ≈ 1) или деструктивным (ν(s) ≈ 0).

+E(s)Rad0δ λ₀ +

(13b)

Параметр κ(s) определяет степень проявления

где

эффекта аномального низкого фотопоглощения

(эффекта Бормана) в прохождении рентгеновс-

⁽γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ₀)

λ∗₀ = ω

ких фотонов через монокристалл. Необходимым

условием проявления эффекта Бормана как для

кристаллической, так и для периодической слоистой

Ω⁽¹⁾ = θ_⊥ - ψ_⊥, Ω⁽²⁾ = θ_∥ - ψ_∥,

структуры, является κ(s) ≈ 1.

R(s)Rad — амплитуда напряженности поля когерент-

Для фиксированного значения θ_B параметр ε

ного рентгеновского излучения. Решение системы

определяет ориентацию входной поверхности ми-

уравнений (6) для падающего поля в монокристалле

шени относительно отражающей системы парал-

имеет вид

лельных атомных плоскостей монокристалла. При

уменьшении угла падения (θ_B + δ) электрона на ми-

шень параметр δ становится отрицательным и да-

ω²β + 2ω

γ_g λ₀

8π²ieΩ(s)

γ₀

лее возрастает по модулю (в предельном случае δ →

E(s)0 =

γ_g

→ -θ_B), что приводит и к возрастанию ε. Напротив,

(λ₀ - λ⁽¹⁾⁰)(λ₀ - λ⁽²⁾⁰)

γ⁰

при увеличении угла падения ε убывает (предель-

ный случай δ → θ_B ). В случае симметричного отра-

× δ(λ∗0 - λ₀) + E(s)(1)0δ(λ₀ - λ⁽¹⁾⁰)+

жения, когда δ = 0, параметр асимметрии ε = 1. На

рис. 1 указано положительное направление угла δ.

+ E(s)(2)0δ(λ₀ - λ⁽²⁾⁰),

(13c)

Из формулы (10a) следует, что существует ча-

стотная область, в которой волны излучения, ис-

где E(s)(1)0 и E(s)(2)0 — свободные поля, соответству-

пущенные вблизи входной поверхности, полностью

ющие двум решениям (10a) дисперсионного уравне-

отражаются в кристалле атомными плоскостями

ния (8). Из второго уравнения системы (6) следует

и вперед не проходят. Длина волнового вектора

выражение

k(1,2) = ω√1 + χ0 + λ(1,2)0 в этой области частот при-

нимает комплексные значения даже в отсутствие по-

2ωλ_g

глощения (ρ(s) = 0):

E(s)0 =

E(s)g,

ω²χ_gC(s,τ)

(

√

)

|C^s

√

ω|χ′g

связывающее дифрагированное и падающее поля

k(1,2) = ω

1+χ′0 +

ξ(s) ∓

ξ(s)2 - ε

2ε

в среде. Воспользовавшись обычными граничными

условиями на передней и задней границах моно-

т. е. подкоренное выражение отрицательно. Эта об-

кристалла

ласть частот называется областью полного отра-

245

С. В. Блажевич, К. С. Люшина, А. В. Носков

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

∫

E(s)vacI0dλ₀ = E(s)0dλ₀,

∫

(

)

∫

(

)

E(s)0 exp iλ0L dλ0 = E(s)vacII0 exp iλ0 L dλ0,

(14)

γ₀

∫

(

)

E(s)g exp i

λ₀ L dλ₀ = 0,

γ₀

получим выражение для напряженности поля излучения:

(

)

λ^∗

+ ωχ₀/2

[

(

)

exp i

(s)

8π²ieΩ

γ₀

E(s)Rad =

(

)

(

) λ⁽²⁾

(1)

^g ωχ₀ + 2λ∗0

-λ∗0

2(λ∗0 - λ⁽²⁾⁰)

λ^g2) exp iλ0

-λ^g1) exp iλ02)-λ0 L

γ₀

(

)

) (

)

(

)

(2)

-λ∗0

λ(1)0-λ∗0

× exp i

-1

exp i

-λ⁽¹⁾

γ₀

^g ωχ₀ + 2λ∗0

2(λ∗0 - λ⁽¹⁾⁰)

(

)

) (

)]

(1)

-λ∗0

λ(2)0 - λ^∗

× exp i

-1

exp i

⁰L

(15)

γ₀

Разделим выражение для поля излучения на составляющие, соответствующие вкладам ПРИВ (FPXR) и

переходного излучения:

(

)

λ^∗

+ ωχ₀/2

exp i

(s)

8π²ieΩ

γ₀

E(s)FPXR =

(

)

(

)×

2λ^∗

⁰ λg2) exp iλ01)-λ0

-λ^g1) exp iλ02)-λ0L

γ₀

[

( (

)

) (

)

(1)

λg1)λ

λ⁽¹⁾⁰ - λ∗0

λ(2)0 - λ∗0

λg2)λ⁽²⁾⁰

exp i

-1

exp i

λ∗0 - λ⁽¹⁾⁰

γ₀

λ∗0 - λ⁽²⁾

(

)

) (

)]

(2)

-λ∗0

λ(1)0 - λ^∗

× exp i

-1

exp i

⁰L

(16a)

γ₀

(

)(

)

(s)

8π²ieΩ

λ∗0 + ωχ₀/2

E(s)TR =

exp i

γ₀

ωχ₀ + 2λ∗0

2λ^∗

⎛

(

)

⎞

(

)

λ⁽²⁾⁰ + λ⁽¹⁾⁰ - 2λ^∗

⎜

λ^g2) - λg1)

exp i

⁰L

⎟

⎜

γ₀

⎟

⎜

(

)

(

)-1⎟.

(16b)

⎜

⎟

⎠

^⎝λ^(2)gexp iλ01) - λ0

- λg1) exp iλ02) - λ0L

γ₀

Используя (10), запишем амплитуды полей ПРИВ (FPXR) и ПИ (TR) в виде

(

)

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

(s)

exp iω

[

]

8π²ieΩ

2 sin(δ + θ_B)

(1 - iρ(s)κ(s))²

E(s)FPXR =

Δ(s)1 - Δ(s)

(17a)

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ₀

Δ(s)

(

8π²ieΩ

(s)

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²) ((

)-1

E(s)TR =

exp iω

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ₀

2 sin(δ + θ_B)

⎛

(

))

⎞

(s)

ρ(s)(1 - ε)

2K(s) exp

-ib(s) σ(s) + i

⎟

(

)-1)⎜

2ε

⎟

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

⎜

+1⎟,

(17b)

⎝

Δ(s)

⎠

246

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

где

(

))

) (

)

ρ(s)(1 - ε)

ξ(s) - K(s)

K(s)

exp

-ib(s) σ(s) + i

-1

exp ib(s)

2ε

Δ(s)1 =

(s)

ρ(s)(1 - ε)

ξ(s) - K

σ(s) + i

2ε

(

))

) (

)

(s)

ρ(s)(1 - ε)

ξ(s) + K

K(s)

exp

-ib(s) σ(s) + i

-1

exp

-ib(s)

2ε

Δ(s)2 =

(s)

ρ(s)(1 - ε)

ξ(s) + K

σ(s) + i

2ε

(

)

(

) (

)

(

)

(18)

ρ(s)(1 + ε)

K(s)

ρ(s)(1 + ε)

K(s)

Δ(s) = ξ(s) - i

− K(s) exp

-ib(s)

- ξ(s) -i

+ K(s) exp ib(s)

(

))1/2

⁽ (1 + ε)²

K(s) = ξs2 - ε - iρ(s)((1 + ε)ξ(s) - 2κ(s)ε) - ρ(s)2

-κ(s)2ε

(s)

ω|χg′|C

b(s) =

2 sin(δ + θ_B)

σ(s) =

(γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ′0).

|χ′g|C(s)

В соответствии с выражением для амплитуды

Область полного отражения определяется следую-

ПРИВ E(s)FPXR (17a) возможны две ветви рентгенов-

щими неравенствами:

ских волн в кристалле, дающие вклад в выход ПРИ

-√ε < ξ(s)(ω) <√ε,

вперед. Вклады первой и второй ветвей будут су-

1+ε

√

1+ε

(21)

щественны, когда имеют решения соответствующие

−√ε -

< η(s)(ω) <

ε-

2ν(s)

уравнения

из которых следует, что ширина этой области опре-

(

)

ρ(s)(1 - ε)

ξ(s) - K(s)

деляется величиной 2√ε.

Re σ(s) + i

≈

2ε

√

4. СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВАЯ ПЛОТНОСТЬ

ξ(s) -

ξ(s)2 - ε

≈σ(s) -

= 0,

(19a)

ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

(

)

ρ(s)(1 - ε)

ξ(s) + K(s)

Для получения выражений, описывающих спект-

Re σ(s) + i

≈

рально-угловые плотности ПРИВ, ПИ и их интерфе-

2ε

√

ренцию подставим выражение для амплитуды сум-

ξ(s) +

ξ(s)2 - ε

≈σ(s) -

= 0.

(19b)

марного поля E(s)Rad = E(s)FPXR + E(s)TR в известное

[15] выражение для спектрально-угловой плотности

Поскольку параметр σ(s) > 1, можно показать,

рентгеновского излучения:

что уравнение (19b) имеет решение всегда, а уравне-

∑

d²N

ние (19a) разрешимо только при условии ε < 1/σ(s)2.

= ω²(2π)-6

|E(s)Rad|²,

(22)

dωdΩ

s=1

В частности, в работе [14] указано, что вклад пер-

вой ветви оказался пренебрежимо малым, так как

где dΩ = dθ_⊥dθ_∥. В результате получим выраже-

рассматривался лишь случай симметричного отра-

ние, описывающее спектрально-угловую плотность

жения, соответствующий ε = 1. Решение уравне-

ПРИВ:

ний (19a) и (19b) определяет частоту, в окрестности

d²N(s)FPXR

e²

которой сосредоточен спектр фотонов ПРИВ, из-

dω dΩ

π²

лучаемых под фиксированным углом наблюдения.

Ω(s)2

Из уравнений (19) следует, что максимум спектра

R(s)FPXR,

(23a)

(γ-2+(θ_⊥-ψ_⊥)²+(θ_∥-ψ_∥)²-χ′0)²

ПРИВ всегда расположен вне области полного от-

ражения (экстинкции):



(

)₂



(s)



Δ₁

Δ(s)2

(

)₂

R(s)FPXR =

1+ρ(s)2κ(s)2



(23b)

σ(s)

√ε - 1

Δ(s)

Δ(s)

ξ(s)(ω) =

√ε +

√ε.

(20)

2σ(s)

247

С. В. Блажевич, К. С. Люшина, А. В. Носков

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

где выражение R(s)FPXR, описывающее «чистый»

емых, описывающих вклады в спектр ПРИВ двух

спектр ПРИВ, является спектральной функцией,

ветвей рентгеновских волн, а также их интерферен-

которую можно представить в виде суммы слага-

ционного слагаемого:

(

)₂

1+ρ(s)2κ(s)2

R(s)FPXR = R(s)1 + R(s)2 + R(s)INT , R(s)1 =

|Δ(s)1|²,

|Δ(s)|²

(

)₂

(

)₂

(24)

1+ρ(s)2κ(s)2

(

)

R(s)2 =

|Δ(s)2|², R(s)INT = -2

Re Δ(s)1Δ(s)2∗

|Δ(s)|²

где звездочка «∗» обозначает комплексное сопряжение. Получим выражения для спектрально-угловой плот-

ности ПИ и слагаемого, описывающего интерференцию ПРИВ и ПИ:

(s)

(

)₂

d²N_T

e²

Ω(s)2

R(s)TR,

(25a)

dωdΩ

π²

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′



(

))



ρ(s)(1 - ε)

ξ(s)



2K(s) exp

-ib(s) σ(s) + i



2ε



R(s)TR =



+1

(25b)



Δ(s)



(s)

d²N_I

e²

Ω(s)2

dω dΩ

π² γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

(

)

R(s)INT ,

(26a)

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ′0

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

[(

)₂

(

)

1 - iρ(s)κ(s)

(s)

R(s)

= 2Re

Δ₁

−Δ(s)

INT

Δ(s)

⎛

(

))

⎞⎤

(s)

⎜2K

(s)^∗ exp ib(s) σ(s) - iρ(s)(1-ε)

⎟⎥

⎜

2ε

⎟⎥

⎜

+1⎟⎥

(26b)

⎝

Δ(s)∗

⎠⎦

Выражение для R(s)TR описывает спектр ПИ, а

5. СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВАЯ ПЛОТНОСТЬ

ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ ТОНКОЙ

выражение для R(s)INT — интерференцию спектров

НЕПОГЛОЩАЮЩЕЙ МИШЕНИ

ПИ и ПРИВ. Выражения (23)-(26), описывающие

вклады в спектрально-угловую плотность излуче-

ния релятивистского электрона ПРИВ, ПИ и их

Выберем для рассмотрения толщину монокри-

интерференционного слагаемого с учетом отклоне-

сталла так, чтобы длина пути электрона в пластин-

ния направления скорости электрона V от направ-

ке Le = L/ sin(θB + δ) была больше длины экс-

ления оси электронного пучка e₁, заданного углом

тинкции рентгеновских волн в кристалле, т. е. b(s) =

ψ(ψ_⊥, ψ_∥), представляют главный результат настоя-

= L_e/2L_ext ≫ 1, что является условием проявле-

щей работы. Эти выражения получены для общего

ния динамических эффектов в излучении. В то же

случая асимметричного отражения поля электрона

время будем рассматривать монокристалл как тон-

относительно поверхности мишени и содержат зави-

кую непоглощающую мишень, в которой длина пу-

симость от коэффициента асимметрии ε.

ти фотона (L_f

≈ L_e) будет значительно меньше

длины поглощения рентгеновских волн в монокрис-

248

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

талле L_abs = 1/ωχ′′0, т. е. выполняется неравенство

ние из рассмотрения и положив ρ(s) = 0 из (23), (24)

2b(s)ρ(s) = L_f /L_abs ≪ 1. Тогда, исключив поглоще-

получим

(s)

d²N_F

e²

Ω(s)2 R(s)FPXR

PXR

(27a)

dω dΩ

π² (γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ′0)²

R(s)FPXR = R(s)1 + R(s)2 + R(s)INT ,

(27b)

⎛

√

⎞⎞

ξ(s) -

ξ(s)2 - ε

sin²

⎝b(s)

⎝_σ(s)_-

⎠⎠

R(s)1 =

⎛

√

⎞

(27c)

⎛

√

⎞2

b(s) ξ(s)2 - ε

ξ(s) - ξ(s)2 - ε

ξ(s)2 - ε + ε sin² ⎝

⎠

⎝σ(s)

⎛

√

⎞⎞

ξ(s) +

ξ(s)2 - ε

sin²

⎝b(s)

⎝σ(s) -

⎠⎠

R(s)2 =

⎛

√

⎞

√

(27d)

⎛

⎞2

b(s) ξ(s)2 - ε

ξ(s) + ξ(s)2 - ε

ξ(s)2 - ε + ε sin² ⎝

⎠

⎝σ(s)

⎛

√

⎞

⎡

⎛

√

⎞

⎤

(

))

ξ(s)2 - ε

ξ(s)

- cos^⎝b(s)

⎠

⎣_cos⎝_b(s)

⎠_- cos b(s) σ(s) -

⎦

R(s)INT =

⎛

√

⎞

⎛

√

⎞⎛

√

⎞.

(27e)

b(s) ξ(s)2 - ε

ξ(s) - ξ(s)2 - ε

ξ(s) + ξ(s)2 - ε

ξ(s)2 - ε + ε sin² ⎝

⎠ ⎝_σ(s)_-

⎠⎝_σ(s)

⎠

Выражения (27) справедливы при ξ(s)(ω) >

√ε, в

ражения поля электрона. Расчеты будем проводить

этой области и находится пик ПРИВ (см. (20)). Дан-

для σ-поляризации (s = 1). Будем рассматривать

ный факт учитывался при выводе этих выражений.

случай, когда электрон движется вдоль оси пучка

В качестве примера в настоящей работе будем про-

(ψ_⊥ = 0, ψ_∥ = 0). Угол наблюдения θ_⊥ = 4 мрад,

водить численные расчеты спектрально-угловых ха-

θ_∥ = 0. В этом случае спектральная переменная из

рактеристик излучений для условий близких к усло-

(11) принимает следующий вид:

(

)

виям недавно опубликованного эксперимента [17] по

2 sin² θ_B

генерации когерентного излучения пучком реляти-

η⁽¹⁾(ω) =

V²|χ′g|

ω_B

вистских электронов с энергией E = 255.5 МэВ (γ =

= 500) на системе атомных плоскостей монокрис-

На рис. 2 представлены кривые, построенные по

таллической пластинки алмаза С(111). Угол между

формулам (27a) и (27d) и описывающие спект-

системой дифрагирующих атомных плоскостей мо-

рально-угловую плотность ПРИВ при фиксирован-

нокристалла и осью падающего пучка электронов —

ном угле наблюдения. Кривые демонстрируют рост

θ^B = 16.2^◦, частота Брэгга — ω_B = 10.9 кэВ. Сис-

спектрально-угловой плотности ПРИВ при увеличе-

тема отражающих плоскостей монокристалла (111)

нии толщины мишени. Поскольку для рассматри-

расположена под углом δ = -5.7^◦ к поверхности

ваемых условий параметр ν(s) ≈ 0.4, область пол-

мишени, т. е. рассматривается случай асимметрич-

ного внешнего отражения (21) составляет -5.30 <

ного относительно поверхности мишени (ε ≈ 2) от-

< η(s)(ω) < -2.43.

249

С. В. Блажевич, К. С. Люшина, А. В. Носков

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

d N²⁽¹⁾

FPXR

d d

L = 20 мкм

L = 38.4 мкм

L = 38.6 мкм

38.5

38.4

38.6

-20

⁽¹⁾( )

Рис. 2. Спектрально-угловые плотности ПРИВ при различ-

Рис. 3. Спектрально-угловые плотности ПИ в случае де-

ных толщинах мишени. Угол наблюдения θ_⊥ = 4 мрад,

структивной интерференции волн ПИ, с частотами дале-

θ_∥ = 0

кими от брэгговских, генерируемых на передней и задней

границах мишени (L = 38.5 мкм), т. е. при условии (30)

(n = 30), и при других близких толщинах мишени

Выражение, описывающее переходное излуче-

ние (25), в случае тонкой непоглощающей мишени

и существенно отличаются от формул для ПИ в

(ρ(s) = 0), принимает вид

аморфной пластине той же толщины L. Это разли-

чие вызвано эффектами динамической дифракции.

(s)

d²N_T

e²

Оно является значительным только в окрестности

Ω(s)2 ×

dω dΩ

π²

брэгговской частоты |ξ(s)(ω)| ≤ ε1/2. Вне окрестнос-

(

ти |ξ(s)(ω)| ≫ ε1/2 выражение (28a) принимает вид

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

хорошо известного выражения для ПИ в аморфной

)₂

диэлектрической пластине [18], которое с учетом от-

R(s)TR,

(28a)

клонения скорости электрона относительно оси пуч-

γ-2+(θ_⊥-ψ_⊥)² + (θ_∥-ψ_∥)²-χ^′

ка принимает вид

d²N(s)TR

e²

ξ(s)2 - ε

Ω(s)2 ×

R(s)TR = 1 +

⎛

√

⎞×

dω dΩ

π²

(

b(s) ξ(s)2 - ε

⎠

ξ(s)2 - ε + ε sin² ⎝

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

)₂

⎡

((

√

)

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

×^⎣1 -

√

ξ(s) + ξ(s)2 - ε

(

)

ξ(s)2 - ε

× 1 - cos(b(s)σ(s)) ,

(29)

⎛

√

⎞⎞

где

ξ(s) - ξ(s)2 - ε

× cos^⎝b(s) ⎝σ(s) -

⎠⎠_-

b(s)σ(s) =

ωL

(

)

(

√

)

γ-2+(θ_⊥-ψ_⊥)²+(θ_∥-ψ_∥)²-χ′0

− ξ(s) - ξ(s)2 -ε

2 sin(δ+θ_B)

⎛

√

⎞⎞⎞⎤

Для рассмотрения динамических эффектов нас бу-

ξ(s)+ ξ(s)2-ε

дут интересовать частоты близкие к брэгговской

× cos^⎝b(s) ⎝σ(s)-

⎠⎠⎠⎦ .

(28b)

частоте ω_B. Из выражения (29) следует, что де-

структивная интерференция волн ПИ, испущенных

Выражения (28) справедливы для всех возмож-

из входной и выходной поверхностей монокристал-

ных значений величин

лической пластины, будет полностью подавлять час-

тоты, далекие от брэгговской частоты в условиях

1+ε

ξ(s)(ω) = η(s)(ω) +

резонанса

2ν(s)

250

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

b(s)σ(s) = 2πn,

(30)

R(s)FPXR1,TR =

¹√

ξ(s) - ξ(s)2 - ε

σ(s) -

где n — натуральное число. На рис. 3 представлены

⎡

( √

)

кривые, построенные по формуле (28a) и описываю-

×^⎣2

ξ(s)2 - ε + ξ(s)

щие спектрально-угловую плотность поля переход-

ного излучения при фиксированном угле наблюде-

⎛

√

⎞⎞

ния θ_⊥ = 4 мрад, θ_∥ = 0. Кривые построены для

ξ(s) - ξ(s)2 - ε

различных, мало различающихся толщин мишени.

× sin² ⎝b(s)

⎝σ(s) -

⎠⎠₊

Кривая, построенная при L = 38.5 мкм, соответ-

⎛

√

⎞

ствует случаю выполнения условия деструктивной

(

√

)

2b(s) ξ(s)2 - ε

интерференции волн ПИ, излученных от передней

+ ξ(s) - ξ(s)2 -ε

⎝_cos⎝

⎠₊

и задней поверхностей мишени (30). Область полно-

го внешнего отражения, -5.30 < η(s)(ω) < -2.43,

⎛

√

⎞⎞⎞⎤

соответствует горизонтальному участку графиков

ξ(s)+ ξ(s)2-ε

+ cos^⎝b(s) ⎝σ(s)-

⎠⎠⎠⎦ .

(31c)

функции на рис. 3. Из рис. 3 следует, что неболь-

шое, но заметное изменение толщины мишени не

будет резко менять характер спектрально-угловой

плотности ПИ. Однако небольшое увеличение тол-

R(s)FPXR2,TR =

¹√

щины мишени (L = 38.6 мкм) приведет к умень-

ξ(s) + ξ(s)2 - ε

шению спектрально-угловой плотности ПИ справа

σ(s)

−

от области полного отражения и к увеличению ее

⎡

( √

)

слева, что может быль полезно при идентифика-

×^⎣2

ξ(s)2 - ε - ξ(s)

ции пика ПРИВ, так как он расположен справа, при

η(s)(ω) > -2.43.

⎛

√

⎞⎞

ξ(s) + ξ(s)2 - ε

Выражение, описывающее интерференцию

⎠⎠₊

× sin² ⎝b(s)

⎝σ(s) -

ПРИВ и ПИ, в случае тонкой непоглощающей

мишени (ρ(s) = 0) принимает вид

⎛

√

⎞

(

√

)

2b(s) ξ(s)2 - ε

+ ξ(s) + ξ(s)2 -ε

⎝_cos⎝

⎠_-

(s)

d²N_I

e²

√

⎛

⎞⎞⎞⎤

dω dΩ

π²

ξ(s)- ξ(s)2

-ε

- cos^⎝b(s) ⎝σ(s)-

⎠⎠⎠⎦.

(31d)

(s)²

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

Выражения R(s)FPXR1,TR и R(s)FPXR2,TR описывают

(

интерференцию переходного излучения с первой и

второй ветвями ПРИВ.

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

На рис. 4 представлены кривые, описывающие

)

ПРИВ, ПИ и их интерференционное слагаемое. Кри-

R(s)INT ,

(31a)

вые построены по формулам (27), (28) и (31) при

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

фиксированном угле наблюдения (θ_⊥ = 4 мрад, θ_∥ =

= 0). При этом толщина мишени L = 38.8 мкм соот-

ветствует большему падению спектрально-угловой

плотности ПИ справа, чем при L = 38.6 мкм (см.

1/2

рис. 3). На рисунке видна деструктивная интерфе-

R(s)INT =

⎛

√

⎞×

ренция волн ПРИВ и ПИ в рассматриваемых усло-

b(s) ξ(s)2 - ε

⎠

виях. На рис. 5 представлены кривые, построенные

ξ(s)2 - ε + ε sin² ⎝

при тех же условиях, что и на рис. 4, но при другом

= 0). На рисун-

угле наблюдения (θ_⊥ = 5 мрад, θ_∥

[

]

ке видно, что интерференция ПРИВ и ПИ мала, но

× R(s)FPXR1,TR -R(s)

(31b)

FPXR2,TR

конструктивна.

251

С. В. Блажевич, К. С. Люшина, А. В. Носков

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

d N²⁽¹⁾

dω

|χ′g|C(s)

dξ

(s),

d d

2 sin²

θ_B

которое следует из выражения для спектральной

функции ξ(s)(ω) в (11). Угловые плотности ПРИВ,

ПИ и интерференционное слагаемое принимают вид

ПРИВ

ПИ

(s)

e2 |χ′g|C(s)

FPXR

dΩ

π² 2 sin²

θ_B

(s)2

ИНТ

(

)₂ ×

–20

γ-2 + (θ⊥ - ψ⊥)2 + (θ∥ - ψ∥)2 - χ0

-10

-5

⁽¹⁾( )

∫

∞

R(s)FPXRdξ(s),

(32a)

Рис. 4. Спектрально-угловые плотности ПРИВ, ПИ и ре-

зультат их интерференции при толщине мишени L

√ε

= 38.8 мкм, которая немного больше L = 38.5 мкм, соот-

ветствующей условию (30). Угол наблюдения θ_⊥ = 4 мрад,

dN(s)TR

e2 |χ′g|C(s)

θ_∥ = 0

dΩ

π² 2 sin²

d N²⁽¹⁾

(

d d

×Ω(s)2

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

)₂

−

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

ПРИВ

∫

∞

ПИ

R(s)TRdξ(s),

(32b)

−∞

ИНТ

dN(s)INT

e²

|χ′g|C(s)

–10

-10

-5

dΩ

π²

2 sin² θ_B

⁽¹⁾( )

Ω(s)2

Рис. 5. То же, что на рис. 4, но при угле наблюдения

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ′0

θ_⊥ = 5 мрад, θ_∥ = 0

(

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ′0

)₂

Важно отметить, что в случае симметричного от-

ражения (ε = 1) выражения описывающие спект-

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)²

рально-угловые плотности ПРИВ (27), ПИ (28) и

∞

∫

результат их интерференции (31) переходят в вы-

× R(s)INTdξ(s).

(32c)

ражения, полученные в работе [14].

√ε

Для упрощения выражения, описывающего уг-

6. УГЛОВАЯ ПЛОТНОСТЬ ПОЛЯ

ловую плотность ПРИВ в монокристалле, проинте-

КОГЕРЕНТНОГО РЕНТГЕНОВСКОГО

грируем выражение (32a) по частотной функции.

ИЗЛУЧЕНИЯ

Поскольку приоритетным является получение вы-

Найдем угловые плотности излучений, проинте-

сокой угловой плотности ПРИВ, наиболее интерес-

грировав выражения (27), (28) и (31) по частотной

ным с этой точки зрения является случай ε ≥ 1, ко-

функции ξ(s)(ω), используя соотношение

гда основной вклад дает вторая ветвь ПРИВ (27d).

252

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

Поскольку при условии b(s) ≫ 1 спектр ПРИВ до-

dN⁽¹⁾

FPXR

статочно узкий, для интегрирования воспользуем-

ся хорошо известной аппроксимацией sin²(ax)/x² →

3.10^-4

→ πaδ(x) и получим выражение для угловой плот-

ности ПРИВ:

2.10^-4

dN(s)FPXR

e2 |χ′g|C(s)

dΩ

π² 2 sin²

θ_B

(s)2

10^-4

(

)₂ ×

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

εσ(s)2 - 1

, мрад

(

)πb(s),

(33a)

dN⁽¹⁾

FPXR

4σ(s)2ε

σ(s)2ε-1

1+(

)₂

sin²

b(s)

2σ(s)ε

σ(s)2ε-1

3. 10^-4

совпадающее в случае симметричного отражения

(ε = 1) с формулой (17) работы [14]. На рис. 6а

2.10^-4

кривые, описывающие угловую плотность ПРИВ,

построенные по формулам (32a) и (33a), показыва-

ют значительное расхождение в результатах расче-

10^-4

тов. Это расхождение проявляется в виде колеба-

ний, присутствующих на кривой распределения уг-

ловой плотности ПРИВ, рассчитанной по формуле

√

)

, мрад

цией sin²

b(s) ξ(s)2 - ε

/ε

, которая не удовле-

творяет требованию к интегрируемой функции, а

Рис. 6. а) Угловая плотность ПРИВ, построенная по фор-

именно, не является достаточно медленной для ис-

муле (32a) — сплошная кривая, и по формуле (33b) —

пользования аппроксимации sin²(ax)/x² → πaδ(x).

пунктирная кривая; б) угловая плотность ПРИВ, построен-

ная по формуле (32a) — сплошная кривая, и по формуле

Эта же причина привела к тому, что в работе [14] в

(33b) — пунктирная кривая

угловой плотности ПРИВ появились сильные коле-

бания, что является неожиданным и неправильным.

После модификации выражения

(33a) путем

((

√

)

усреднения функции sin² b(s) ξ(s)2 - ε

/ε

в пределах интегрирования выражение

(33a)

принимает следующий вид:

Сравним численные расчеты, выполненные по

формулам (32a) и (33b). На рис. 6б видно хорошее

dN(s)FPXR

e2 |χ′g|C(s)

совпадение результатов расчетов по формулам (32a)

dΩ

π² 2 sin²

θ_B

и (33b). Таким образом, формула (33b) с хорошей

(s)2

точностью описывает угловую плотность ПРИВ в

(

)₂ ×

случае тонкой непоглощающей мишени. С другой

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

стороны, она является достаточно простой для ис-

εσ(s)2 - 1

пользования в расчетах.

(

)

πb(s),

(33b)

εσ(s)2 - 1

² + εσ(s)2

На рис. 7 представлены кривые, построенные по

где

формуле (33b) для тех же значений параметров, что

(

)

и на рис. 2. Кривые показывают рост угловой плот-

σ(s) =

γ-2+(θ_⊥-ψ_⊥)²+(θ_∥-ψ_∥)²-χ′0

|χ′g|C(s)

ности ПРИВ при увеличении толщины мишени.

253

С. В. Блажевич, К. С. Люшина, А. В. Носков

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

d N²⁽¹⁾

В этом случае угловое распределение электронов в

FPXR

пучке (34a) принимает следующий вид:

⎛

⎞

3. 10^-4

⎜

⎟

⎜

ψ²

⎟

L = 20 мкм

exp⎜-

(

))₂⎟

⎝

⎠

2. 10^-4

ψ²⁰ + ψ2st

1 + 0.038Ln

L_R

f (ψ, t) =

(

))₂)

π ψ²⁰ +ψ2st

1 + 0.038Ln

10^-4

L_R

(34b)

Результаты усреднения спектрально-угловой и угло-

вой плотностей, излучений и их интерференционно-

, мрад

го слагаемого по расширяющемуся пучку прямоли-

нейных траекторий излучающих электронов имеют

Рис. 7. Угловая плотность ПРИВ, построенная по (33b)

вид соответственно

для тех же значений параметров, что и на рис. 2, для раз-

ных толщин мишени

d²N(s)FPXR,TR,INT

dωdΩ

πL_e

(

)

ψ²

7. ВЛИЯНИЕ МНОГОКРАТНОГО

∫

∫∫

exp

ψ²⁰ + ψ2st

РАССЕЯНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ

dψ_⊥dψ_∥

ЭЛЕКТРОНОВ МАТЕРИАЛОМ СРЕДЫ НА

ψ²⁰ + ψ2st

СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВУЮ И УГЛОВУЮ

ПЛОТНОСТИ ПРИВ

d²N(s)FPXR,TR,INT

×ω

(35a)

dωdΩ

Для учета многократного рассеяния излучаю-

щих электронов в среде проведем усреднение спект-

dN(s)FPXR,TR,INT

рально-угловых и угловых плотностей полей излу-

dΩ

πL_e

чений по угловому распределению электронов в пуч-

(

)

ке в виде функции Гаусса, меняющейся с длиной пу-

ψ²

∫

∫∫

exp

ти прохождения в мишени за счет многократного

ψ²⁰ + ψ2st

× dt dψ_⊥dψ_∥

рассеяния электрона:

ψ²⁰ + ψ2st

(

)

ψ²

f (ψ, t) =

exp

(34a)

dN(s)FPXR,TR,INT

π(ψ²⁰ + ψ2st)

ψ²⁰ + ψ2st

(35b)

dΩ

т. е. усредним по расширяющемуся пучку прямо-

Рассмотрим влияние многократного рассеяния

линейных траекторий излучающих электронов на

на спектрально-угловую и угловую плотности

длине пути электрона в мишени L_e. Здесь

ПРИВ в случае, когда ε ≥ 1. Из выражений (27a)

и (27d) и (33b) с учетом (35a) и (35b) следуют

E2s

ψ2s =

выражения, описывающие спектрально-угловую и

m²γ² L_R

угловую плотности ПРИВ в условиях многократно-

— средний квадрат угла многократного рассеяния

го рассеяния

электрона на единице длины, E_s

≈ 4πm²/e²

≈

d²N(s)FPXR

e²

≈ 21 МэВ, L_R — радиационная длина. Если учи-

dω dΩ

π² πL_e

тывать также зависимость среднего квадрата угла

многократного рассеяния от длины пройденного пу-

∫∫

Ω(s)2

ти t в монокристалле, то для среднего квадрата угла

(

)₂ ×

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

многократного рассеяния необходимо использовать

(

)

выражение [19]

ψ²

∫

exp

ψ²⁰ + ψ2st

(

))₂

×R(s)2

dt dψ_⊥dψ_∥,

(36a)

E2s

ψ²⁰ + ψ2st

ψ′2s =

1 + 0.038Ln

m²γ² L_R

L_R

254

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

d N²⁽¹⁾

FPXR

d d

2.0

1.5

L = 20 мкм

1.5

1.0

L = 20 мкм

0.5

⁽¹⁾( )

(s)( )

Рис. 8. Спектрально-угловая плотность ПРИВ. То же, что

Рис. 9. То же, что и на рис. 8. Сплошные кривые соответ-

на рис. 2, но с учетом многократного рассеяния электро-

ствуют ψ2s, штрихпунктирные — ψ′2s

нов пучка материалом среды и начальной расходимости

электронного пучка ψ0 = 0.1 мрад

ПРИВ при различных толщинах мишени с учетом

многократного рассеяния. Параметры и условия те

dN(s)FPXR

e2 |χ′g|C(s)

πb(s)

же, что на рис. 7, когда начальная расходимость и

dΩ

π² 2 sin²

θ_B πLe

многократное рассеяние не учитываются. Из срав-

∫∫

(s)2

нения рис. 7 и 8 следует, что в рассматриваемых

(

)₂ ×

условиях даже для таких малых толщин мишени

γ-2 + (θ_⊥ - ψ_⊥)² + (θ_∥ - ψ_∥)² - χ^′

учет влияния многократного рассеяния на угловую

εσ(s)2 - 1

плотность необходим для точного сравнения тео-

(

)

рии и эксперимента. Однако на угловую плотность

εσ(s)2 - 1

² + εσ(s)2

ПРИВ многократное рассеяние влияет не так силь-

(

)

ψ²

но, как на спектрально-угловую плотность при фик-

∫Le

exp

ψ²⁰ + ψ2st

сированном угле наблюдения (см. рис. 2 и 8).

dt dψ_⊥dψ_∥.

(36b)

ψ²⁰ + ψ2st

На рис. 11 представлены кривые распределения

угловой плотности ПРИВ для двух различных тол-

На рис. 8 представлены построенные по форму-

щин мишени и для среднего квадрата угла много-

ле (36a) кривые, описывающие спектрально-угло-

кратного рассеяния на единице длины пути, вычис-

вую плотность ПРИВ с учетом многократного рас-

ленного по формулам для ψ2s и ψ′s2. Из рис. 11 следу-

сеяния электронов в алмазе (радиационная длина

ет незначительное различие кривых при L = 5 мкм.

L_R = 12.7 см). Начальная расходимость электрон-

На рис. 12 представлены кривые, описывающие

ного пучка ψ₀ = 0.1 мрад. Параметры и условия

угловые плотности ПРИВ для различной началь-

те же, что на рис. 2. Рисунок 8 демонстрирует рост

ной расходимости электронного пучка, построенные

спектральной плотности ПРИВ при увеличении тол-

по формуле (36b). На рисунке видно, что угловая

щины мишени для пучка так же, как и рис. 2 для от-

плотность ПРИВ слабо зависит от начальной рас-

дельного электрона. При этом наблюдается падение

ходимости электронного пучка в рассматриваемом

амплитуды спектрально-угловой плотности ПРИВ

диапазоне расходимости.

по сравнению с рис. 2 за счет многократного рас-

сеяния.

На рис. 9 представлены кривые для двух различ-

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ных толщин мишени для случаев, когда квадрат уг-

ла многократного рассеяния на единице длины пути

Развита динамическая теория когерентного

равен ψ2s и ψ′s2.

рентгеновского излучения, возбуждаемого в моно-

На рис. 10 представлены построенные по форму-

кристалле пучком релятивистских электронов в

ле (36b) кривые, описывающие угловую плотность

направлении близком к оси пучка. Процесс излу-

255

С. В. Блажевич, К. С. Люшина, А. В. Носков

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

dN⁽¹⁾

FPXR

2.0

10^-4

2.0

10^-4

= 0.1 мрад

0.5

1.5. 10^-4

L = 20 мкм

1.5. 10^-4

10^-4

0.5. 10^-4

, мрад

Рис. 10. Угловая плотность ПРИВ. То же, что и на рис. 7,

Рис. 12. Угловые плотности ПРИВ для различной началь-

но с учетом многократного рассеяния электронов пучка

ной расходимости пучка релятивистских электронов

материалом среды и начальной расходимости электронно-

го пучка ψ0 = 0.1 мрад

увеличении толщины мишени в области толщин

близких к оптимальной для деструктивной ин-

dN⁽¹⁾

FPXR

терференции ПИ. Показано, что небольшое, но

заметное (порядка десятых долей микрона) из-

3. 10^-4

менение толщины мишени не будет резко менять

спектрально-угловую плотность ПИ в условиях

деструктивной интерференции, но приводит к

2. 10^-4

асимметрии в спектральном распределении ПИ,

которая может быть использована при иден-

L = 20 мкм

тификации пика ПРИВ. Рассмотрены вклады

ПРИВ, ПИ и интерференционного слагаемого в

10^-4

спектрально-угловую плотность. Показано, что

при различных углах наблюдения интерференция

ПРИВ и ПИ может быть как конструктивной, так

деструктивной. Для учета многократного рассеяния

, мрад

излучающих электронов в среде проведено усред-

нение спектрально-угловых и угловых плотностей

Рис. 11. То же, что и на рис. 10. Сплошные кривые соот-

излучений по угловому распределению электронов

ветствуют ψ2s, штрихпунктирные — ψ′2s

в пучке в виде функции Гаусса, меняющейся за

счет многократного рассеяния электрона с длиной

пути его прохождения в мишени. Показано, что в

чения рассмотрен в геометрии рассеяния Брэгга

результате многократного рассеяния уменьшается

для общего случая асимметричного относительно

амплитуда спектрально-угловой плотности ПРИВ

поверхности мишени отражения поля электрона.

и растет спектральная ширина ПРИВ. Показано,

На основе двухволнового приближения динами-

что многократное рассеяние влияет на угловую

ческой теории дифракции получены выражения,

плотность ПРИВ слабее, чем на спектрально-уг-

описывающие спектрально-угловую и угловую плот-

ловую плотность ПРИВ при фиксированном угле

ности ПРИВ, ПИ и интерференционные слагаемые

наблюдения. Показано, что угловая плотность

для толстой поглощающей, а также для тонкой

ПРИВ слабо зависит от начальной расходимости

непоглощающей мишени, для которой фотопогло-

электронного пучка.

щением можно пренебречь.

Проведены численные расчеты спектрально-

Исследование выполнено при финансовой под-

угловой плотности излучения для конкретных

держке Министерства образования и науки РФ

экспериментальных условий. Показан рост спект-

(проект № 3.4877.2017/ВУ).

рально-угловой и угловой плотностей ПРИВ при

256

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Когерентное рентгеновское излучение...

ЛИТЕРАТУРА

11. С. В. Блажевич, А. В. Носков, ЖЭТФ 136, 1043

(2009).

1. М. Л. Тер-Микаэлян, Влияние среды на электро-

магнитные процессы при высоких энергиях, АН

12. H. Backe, N. Clawiter et al., in Proc. Of the Intern.

АрмССР, Ереван (1969).

Symp. on Channeling — Bent Crystals — Radiation

Processes, Frankfurt am Main, Germany, EP Systema

2. Г. М. Гарибян, Ян Ши, ЖЭТФ 61, 930 (1971).

Bt., Debrecen (2003), p. 41.

3. В. Г. Барышевский, И. Д. Феранчук, ЖЭТФ 61,

13. А. Н. Алейник, А. Н. Балдин, Е. А. Богомазо-

944 (1971).

ва, И. Е. Внуков и др., Письма в ЖЭТФ 80, 447

(2004).

4. Г. М. Гарибян, Ян Ши, ЖЭТФ 63, 1198 (1972).

14. N. Nasonov, A. Noskov, Nucl. Instr. Meth. In Phys.

5. V. G. Baryshevsky and I. D. Feranchuk, Phys. Lett.

Res. В 201, 67 (2003).

A 57, 183 (1976).

15. В. А. Базылев, Н. К. Жеваго, Излучение быст-

рых частиц в веществе и внешних полях, Наука,

6. A. Caticha, Phys. Rev. B 45, 9541 (1992).

Москва (1987).

7. I. D. Feranchuk, Kristallografia 24, 289 (1979).

16. З. Г. Пинскер, Динамическое рассеяние рентгенов-

ских лучей в идеальных кристаллах, Наука, Моск-

8. V. G. Baryshevsky: Nucl. Instrum. Methods B 122,

ва (1974).

13 (1997).

17. Y. Takabayashi, K. B. Korotchenko, Yu. L. Pivova-

9. A. S. Kubankin, N. N. Nasonov, V. I. Sergienko, and

rov, and T. A. Tukhfatullin, Nucl. Instr. Meth. В 402,

I. E. Vnukov, Nucl. Instr. Meth. In Phys. Res. В 201,

79 (2017).

97 (2003).

18. Г. М. Гарибян, Ян Ши, Рентгеновское переходное

10. V. G. Baryshevsky, I. D. Feranchuk, and A. P. Ulya-

излучение, Изд. АрмССР, Ереван (1983).

nenkov, Parametric X-Ray Radiation in Crystals:

Theory, Experiment and Applications, Springer

19. Partic1e Data Group, R. М. Ваrnеtt еt al., Phys. Rev.

(2005).

D 54, 1 (1996).

257

ЖЭТФ, вып. 2