ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 2, стр. 277-294

ЦВЕТОВАЯ РАНДОМИЗАЦИЯ БЫСТРЫХ ГЛЮОН-ГЛЮОННЫХ

ПАР В КВАРК-ГЛЮОННОЙ ПЛАЗМЕ

Б. Г. Захаров^*

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 18 июля 2018 г.,

после переработки 18 июля 2018 г.

Принята к публикации 19 июля 2018 г.

Изучается цветовая рандомизация двухглюонных (gg) состояний, рожденных после расщепления первич-

ного быстрого глюона в кварк-глюонной плазме. Найдено, что для условий LHC цветовая рандомизация

gg-пар довольно медленная. При энергиях струи E = 100, 500 ГэВ для типичной длины траектории

струи в плазме при центральных столкновениях Pb+Pb усредненный по SU(3)-мультиплетам цветовой

оператор Казимира gg-пары существенно отличается от его значения 2Nc для полностью рандомизиро-

ванного gg-состояния. Наши расчеты энергетической зависимости для генерации почти коллинеарных

декуплетных gg-состояний, которые могут приводить к барионной фрагментации струи, показывают, что

вклад аномальных декуплетных цветовых состояний в рождение барионов должен становиться малым

при поперечных импульсах pT ≳ 10 ГэВ.

DOI: 10.1134/S0044451019020081

излучения глюонов

[10], аналогично излучению

мягких фотонов в КЭД. Это приближение может

1. ВВЕДЕНИЕ

быть разумным для расчета фактора ядерной моди-

Результаты экспериментов по столкновениям тя-

фикации R_AA, который является чувствительным

желых ионов на RHIC и LHC убедительно свиде-

главным образом к подавлению Судакова ФФ на

тельствуют об образовании горячей кварк-глюонной

относительных импульсах x, близких к единице.

плазмы (КГП) при собственном времени τ₀

∼

Но это может быть неудовлетворительным для

∼ 0.5-1 фм. Одним из основных сигналов формиро-

мягкой области x ≪ 1. В принципе, диаграммная

вания КГП в AA-столкновениях является сильное

техника подхода интеграла по путям на свето-

подавление частиц с большими p_T (jet quenching,

вом конусе (light-cone path integral, LCPI) [3, 11],

JQ) по сравнению с pp-столкновениями. Явление JQ

первоначально разработанная для одноглюонного

считается следствием модификации средой функ-

излучения, позволяет выйти за пределы уров-

ций фрагментации (ФФ) струи из-за радиационных

ня одного глюона. Однако даже на уровне двух

[1-6] и столкновительных [7] потерь энергии пар-

глюонов и в грубом осцилляторном приближении

тонов в КГП. Потери энергии в основном связаны

[12] (когда многократное рассеяние описывается

с радиационным механизмом, влияние столкнови-

в терминах транспортного коэффициента

q [2])

тельных потерь энергии оказывается относительно

расчеты становятся очень сложными [13-15]. И до

небольшими [8, 9].

сих пор не было разработано точного метода для

Расчет модифицированных средой струйных

множественного излучения глюонов, который мог

функций фрагментации в AA-столкновениях, ис-

бы быть использован для надежного расчета эво-

ходя из первых принципов, остается нерешенной

люции струи. В последние годы много усилий было

проблемой. Имеющиеся подходы к радиационным

направлено на развитие моделей Монте-Карло для

потерям энергии [2-5] имеют дело с излучением

партонного каскадирования в среде (см., например,

одного глюона. В феноменологических приложе-

работы [16-19]). Эти модели могут быть успешными

ниях к JQ многократная эмиссия глюонов обычно

при анализе данных, но строгое теоретическое обос-

рассматривается в приближении независимого

нование вероятностной картины, предполагаемой в

схемах Монте-Карло, отсутствует.

^* E-mail: bgz@itp.ac.ru

277

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Задача динамики струи в среде осложняется тем,

что для индуцированной эмиссии глюонов отсут-

ствует упорядочение шкал (скажем, подобное угло-

вому упорядочению для вакуумного партонного кас-

+ 8 + 27 + 10 + 10

када). Важно, что, в принципе, для партонного кас-

када в среде конечных размеров невозможно отде-

лить случаи обычного, упорядоченного по виртуаль-

ности, расщепления партонов от расщеплений, вы-

Рис. 1. Расщепление g → gg в среде и возможные цвето-

званных перерассянием партонов на составляющих

вые состояния двухглюонной системы

среды. По этой причине последовательный анализ

должен иметь дело с полным, измененным средой,

партонным каскадом.

Важно, что t-канальные глюонные обмены меж-

На уровне излучения одного глюона индуциро-

ду быстрыми партонами и составляющими КГП,

ванный вклад в спектр глюонов может быть опре-

даже для очень маленьких передач импульса, мо-

делен как разница между спектром в среде и спек-

гут влиять на упорядоченную по углам эволюцию

тром в вакууме. Но эта процедура достаточно фор-

струи. Одним из механизмов этого является нару-

мальна, потому что эта разница включает интерфе-

шение когерентности цвета для расщепления парто-

ренцию между вакуумным расщеплением без вза-

на в среде, разрушающее угловую упорядоченность,

имодействия со средой и расщеплением партонов,

присущую вакуумному каскаду. В работе [23] бы-

сопровождаемым перерассеяниями партонов в сре-

ло показано, что разрушение углового упорядоче-

ния приводит к существенному смягчению спектра

де. Эффекты интерференции важны при L <Lfn,

где L^inf — типичная длина формирования индуци-

по быстроте в струе. Для струй с E ∼ 100 ГэВ, для

рованного излучения глюона в однородной среде.

которых, как было сказано ранее, длина формирова-

Только на большом расстоянии от места рождения

ния для первого партонного ветвления мала, разру-

струи, когда интерференционные вклады становят-

шение когерентности/хаотизация цвета вступает в

ся малы, можно говорить о чисто индуцированном

игру для эмиссии глюонов двухпартонными состо-

излучении глюонов. Важно, что для условий RHIC

яниями, образованными после распада начального

жесткого партона. Еще один механизм модифика-

и LHC, даже для мягких глюонов с энергией ω <

3-5 ГэВ, которые доминируют в индуцированных

ции средой струйных функций фрагментации свя-

∼

потерях энергии, величина L^inf может быть доволь-

зан с изменением полного цветового заряда струи

за счет t-канальных глюонных обменов. t-канальные

но большой, порядка 2-5 фм¹⁾. Поскольку для усло-

глюоны не изменяют общий цветовой заряд для од-

вий RHIC и LHC этот масштаб не мал по сравне-

ного быстрого партона. Но уже после первого рас-

нию с размером и временем жизни КГП, мы имеем

щепления в среде первичного партона, созданная

ситуацию, когда внутри КГП интерференция меж-

двухпартонная система может принадлежать к цве-

ду вакуумными амплитудами и амплитудами с пе-

товому мультиплету, который невозможен для ваку-

рерассяниями является очень важной. Однако ес-

умного каскада (когда для кварковых и глюонных

ли время формирования КГП τ₀ ∼ 0.5-1 фм [21],

струй триплетное и октетное цветовые состояния со-

100 ГэВ

то можно ожидать, что для струй с E <

храняются для всего партонного каскада). Это про-

первый наиболее энергичный излучаемый глюон не

иллюстрировано на рис. 1 для расщепления g → gg.

должен сильно пострадать, потому что типичная

Изменение цветового заряда струи может приводить

длина формирования для таких глюонов оказыва-

к модификации функций фрагментации струи в свя-

ется порядка (или меньше чем) τ₀ [22]. Но после-

зи с изменением картины адронизации быстрых пар-

дующая эволюция двухпартонной системы, образо-

тонов после их выхода из КГП [24-26]. В работах

вавшейся после расщепления первичного партона,

[25, 26] этот механизм обсуждался для числа пере-

должна испытывать влияние эффектов среды.

рассеяний N = 1 и N = 2 с точки зрения преде-

ла больших N_c с использованием для адронизации

¹⁾ Для бесконечной однородной КГП L^inf ∼ 2ωS_LPM /m2g ,

кластерой схемы и модели LUND. Было показано,

где S_LPM — коэффициент подавления Ландау - Померанчу-

что модифицированный средой цветовой поток мо-

ка - Мигдала, mg — квазичастичная масса глюона. Для усло-

жет давать вклад в подавления спектров адронов

вий RHIC и LHC типичны значения S_LPM ∼ 0.3-0.5 при

и увеличивать струйные функции фрагментации в

mg ∼ 400 МэВ [20]. Тогда мы получаем, что L^inf ∼ 2-5 фм

при ω ∼ 3-5 ГэВ.

мягкой области.

278

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

Рис. 2. (а) Конфигурация цветных струн, образованная быстро движущейся направо gg-парой после выхода из КГП

и нейтрализации цветового потока за счет швингеровского рождения трех qq-пар, J обозначает цветовой узел [28,29].

(б) То же самое, но после распада быстрых глюонов на пары qq

Рождение почти коллинеарных qg-систем (для

ный анализ цветовой рандомизации двухпартонных

кварковых струй) в цветовом состоянии

{⁶} и

состояний.

gg-систем (для глюонных струй) в цветовых состоя-

Количественный анализ цветовой рандомизации

ниях {10} и {10} может приводить к интересному

двухпартонных систем также представляет интерес

механизму рождения лидирующих барионов в фраг-

в связи с ролью разрушения цветовой когеренции

ментации струй [24, 27]. Потому что после выхода

в излучении в среде мягких глюонов двухпартон-

из КГП, эти состояния могут приводить к образова-

ной антенной, которое существенно зависит от ско-

нию цветовых трубок с таким же аномальным цве-

рости рандомизации цвета антенны. В последние го-

товым потоком. Разрыв этих трубок цветового по-

ды излучение глюонов двухпартонными антеннами

тока путем рождения qq-пар по механизму Швин-

активно используется как интересная теоретическая

гера, приводит к образованию конфигураций цвето-

лаборатория для исследования множественного из-

вых струн с струнным узлом (string junction), кото-

лучения глюонов в среде (см., например, [33-36]).

рый отслеживает барионное число в схеме тополо-

Эти исследования показывают, что, как и для ва-

гического разложения [28, 29], которые должны ад-

куумного партонного каскада [37], эффекты коге-

ронизироваться в систему с лидирующим барионом.

рентности очень важны в множественном излуче-

Этот механизм барионной фрагментации струн для

нии глюонов в среде. Обычно цветовая рандомиза-

декуплетных gg-пар проиллюстрирован на рис. 2

ция двухпартонной антенны описывается одним па-

(мы отсылаем заинтересованного читателя к работе

раметром: временем декогеренции, которое характе-

[24] для детального обсуждения этого механизма).

ризует экспоненциальное уменьшение вероятности

Точный расчет вклада этого механизма в рожде-

для антенны остаться в начальном цветовом муль-

ние барионов в AA-столкновениях невозможен. Но

типлете. Но было бы интересно исследовать более

качественный анализ, выполненный в работе [24],

подробно как происходит рандомизация цвета. Ска-

указывает на то, что этот механизм может давать

жем, для понимания L-зависимости распределения

значительный вклад в аномальное рождение бари-

двухпартонных систем по неприводимым цветовым

онов при средних значениях поперечных импуль-

мультиплетам. Это распределение, например, име-

сов p_T , наблюдаемое в AA-столкновения на RHIC и

ет решающее значение для излучения глюонов с

LHC [30-32]. Расчеты работы [24] были выполнены в

обратным поперечным глюонным импульсом боль-

предположении быстрой рандомизации двухпартон-

ше, чем поперечный размер двухпартонной систе-

ных состояний в КГП. Однако приближение пол-

мы, которое чувствительно только к полному цве-

ностью рандомизированного состояния становится

товому заряду струи (как для вакуумного глюонно-

неприменимо для достаточно больших энергий, ко-

го излучения [37] быстрыми партонами после вы-

гда поперечный размер пары gg остается малым

хода из КГП, так и для излучения в среде [38]).

(скажем, по сравнению с радиусом Дебая в КГП)

Информация о величине цветовой декогеренции в

на продольном масштабе около типичной длины пу-

КГП также может быть полезна при построении ка-

ти струи в КГП. Чтобы лучше понять роль аномаль-

чественной картины того, что происходит со струя-

ных цветовых состояний в барионной фрагментации

ми в AA-столкновениях во всем фазовом простран-

струй, было бы интересно выполнить количествен-

стве [38-40] и для разработки моделей Монте-Карло,

279

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

которые учитывают (по крайней мере качественно)

эффекты декогеренции, например, как в работе [23].

В настоящей работе мы проводим анализ рандо-

z₁

мизации цвета для пары gg, образующейся из распа-

да первичного глюона высокой энергии. Мы выпол-

няем расчеты для условий соответствующих КГП

z₂

в центральных столкновений Pb+Pb при энергии

LHC

√s = 2.76 ТэВ. Мы описываем рандомизацию

Рис. 3. Схематичное диаграммное представление для ин-

цвета с помощью уравнения эволюции для цветовой

теграла по путям на световом конусе для квадрата ам-

матрицы плотности для системы gg. Дифракцион-

плитуды |〈bc|T|a〉|², описывающего вероятность перехода

ный оператор для четырехглюонной системы, кото-

a → bc в подходе LCPI [11]. Линии со стрелками вправо и

рый является важнейшим компонентом для наших

влево соответствуют амплитуде и комплексной сопряжен-

расчетов, был ранее рассчитан в работе [41], посвя-

ной амплитуде. Для перехода в среде линии могут взаи-

щенной прямому рождению gg-струй в pA-столкно-

модействовать с конституентами среды через t-канальные

вениях.

глюонные обмены

План работы выглядит следующим образом. В

туде, взаимодействуют со средой аналогично анти-

разд. 2 описан формализм для расчета L-зависи-

партонным линиям. Это означает, что в интегра-

мости цветовой матрицы плотности системы gg в

ле по путям часть лагранжиана, соответствующая

КГП. В разд. 3 обсуждаются модель файербола

взаимодействию, аналогична лагранжиану взаимо-

КГП и параметризация дипольного сечения, кото-

действия для фиктивной системы партонов (верх-

рое используется в наших расчетах. В разд. 4 пред-

ние линии на рис. 3) и антипартонов (нижние ли-

ставлены численные результаты. Выводы представ-

нии на рис. 3). Эта система фиктивна, потому что в

лены в разд. 5. Некоторые формулы, относящиеся к

лагранжиане кинетический член для антипартонов

нашим расчетам, приведены в Приложении.

отрицательный из-за комплексного сопряжения.

Важно, что фиктивная партон-антипартонная

2. ЭВОЛЮЦИЯ ЦВЕТОВОЙ МАТРИЦЫ

система при любом z находится в синглетном цвет-

ПЛОТНОСТИ gg-ПАРЫ

ном состоянии. Действительно, поскольку мы вы-

В этом разделе мы формулируем нашу модель

полняем усреднение по состояниям цвета начально-

для эволюции в среде цветового состояния двухглю-

го жесткого партона a, в начальный момент вре-

онной пары, рожденной через расщепление g → gg

мени z = 0 у нас есть пара aa в состоянии цвето-

начального жесткого глюона с энергией E. Мы пред-

вого синглета (это означает, что две глюонные ли-

полагаем, что родительский быстрый глюон рожда-

нии в начальный момент времени на рис. 3 замы-

ется при z = 0 (мы выбираем ось z вдоль его им-

каются в смысле цветового потока.) А последую-

пульса, поэтому величина z равна длине пути струи

щие t-канальные двухглюонные обмены не меняют

L в КГП). Мы описываем КГП в приближении ста-

цветового заряда нашей фиктивной системы. Это

тических цветных дебаевски экранированных рассе-

происходит потому, что только синглетные цвето-

ивающих центров [1].

вые двухглюонные состояния выживают после сум-

В общем случае, в формализме LCPI [11], веро-

мирования по конечным состояниям среды с по-

ятность расщепления a → bc в приближении ма-

мощью условия полноты. После выполнения этой

лых углов может быть представлена как интеграл

операции на уровне подынтегрального выражения

по путям по поперечным партонным координатам

эффект t-канальных глюонных обменов²⁾ приводит

на световом конусе t - z = const, показанным диа-

граммно на рис. 3, где стрелки вправо и влево обо-

²⁾ В литературе, взаимодействие партонных траекторий

значают траектории для соответственно амплиту-

с КХД-материей часто описывается в терминах факторов

ды и комплексной сопряженной амплитуды. Гене-

вильсоновских линий. Это может создавать впечатление, что

картина с фиктивной, синглетной по цвету, взаимодейству-

раторы цвета для партона p и для его антипарт-

ющей со средой партон-антипартонной системой справедли-

нера p удовлетворяют соотношению Tα¯p = -(T^αp)^∗

ва даже для непертурбативных флуктуаций цветовых полей

(для p = g мы имеем g = g). С помощью это-

среды. Однако это не так, потому что для непертурбатив-

го соотношения можно показать, что в приближе-

ной ситуации векторные потенциалы в линиях Вильсона для

амплитуды и для комплексно-сопряженной амплитуды мо-

нии двухглюонного обмена между быстрыми пар-

гут быть разными. Даже в теории возмущений справедли-

тонами и конституентами среды партонные линии,

вость этой картины ограничивается только двухглюонными

соответствующие комплексно-сопряженной ампли-

t-канальными обменами.

280

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

к появлению в лагранжиане фиктивной партон-

антипартонной системы взаимодействия между тра-

екториями, описываемого мнимым потенциалом

n(z)σ(z, {ρ}, {ρ})

V (z, {ρ}, {ρ}) = -i

(1)

где {ρ} и {ρ} — наборы поперечных координат пар-

тонов и антипартонов, n(z) — плотность конституен-

тов среды, σ(z, {ρ}, {ρ}) — дифракционный опера-

тор для рассеяния фиктивной системы на конститу-

енте среды посредством двухглюонных обменов (как

показано на рис. 4 для четырехпартонной системы

bcbc). В выражении (1) (и ниже) для упрощения

формул мы опускаем знак суммирования по видам

Рис. 4. Дифракционный оператор для рассеяния системы

конституентов среды (кварки и глюоны). На диа-

из четырех частиц bcbc на конституенте среды в двухглю-

грамме рис. 3 для двухчастичной (z < z₁) и трехча-

онном приближении. Большой эллипс содержит все воз-

стичной (z₁ < z < z₂) партон-антипартонной систем

можные присоединения t-канальных глюонов к партонным

возможно только одно синглетное цветовое состоя-

и антипартонным линиям

ние³⁾. В обоих случаях цветовые синглетные состо-

яния являются собственными состояниями дифрак-

ционного оператора. По этой причине для двух- и

трехчастичных участков дифракционный оператор

может быть просто заменен на полное сечение для

двух- и трехчастичной системы, синглетной по цве-

ту. Для четырехчастичного участка z > z₂ ситуация

сложнее, потому что имеется несколько синглетных

Рис. 5. Партонные траектории для квадрата амплитуды

по цвету четырехпартонных состояний, а дифрак-

|〈bc|T |a〉|² для расщепления a → bc в приближении жест-

кой геометрии, используемом в настоящем анализе

ционный оператор имеет недиагональные элементы,

описывающие переходы между ними. По этой при-

чине для четырехчастичного участка на диаграмме

меньше чем типичный масштаб для цветовых по-

рис. 3 интегрирование по путям по поперечным ко-

лей в КГП, скажем, чем радиус Дебая. Аппрокси-

ординатам не может быть отделено от цветовой ал-

мация прямыми траекториями для быстрых парто-

гебры.

нов широко использовалась для анализа излучения

В настоящей работе мы выполняем расчеты с ис-

мягких глюонов в жестких процессах в КХД. На-

пользованием жесткой геометрии с прямыми траек-

пример, эта схема использовалась в расчетах мат-

ториями, одинаковыми для амплитуды и комплекс-

рицы аномальных размерностей для излучения мяг-

но-сопряженной амплитуды, как показано на рис. 5

ких глюонов на большие углы в жестком рассеянии

для перехода a → bc. Это приближение представ-

gg → gg [42-45]. Можно сказать, что приближение

ляется разумным для относительно жестких пар-

прямых линий, в терминологии недавнего анализа

тонных расщеплений, когда вариации траекторий

[40], должно быть разумным для излучения вакуум-

быстрых партонов малы и расстояние между точ-

ного типа. Однако мы также будем применять его и

кой рождения струи для амплитуды и комплекс-

к относительно мягкому расщеплению g → gg (где

но-сопряженной амплитуды (порядка 1/Q) гораздо

его применимость сомнительна) для качественного

анализа цветовой декогеренции в излучении глюо-

³⁾ Для трех глюонов существуют два цветовых синглет-

нов.

ных состояния: антисимметричное (∝ f_αβγ ) и симметричное

В нашем случае процесса g

→ gg фиктив-

(∝ d_αβγ ). Однако в случае расщепления g → gg система трех

партонов на диаграмме рис. 3 может находиться только в ан-

ная, синглетная по цвету, четырехчастичная систе-

тисимметричном цветовом состоянии, потому что после пе-

ма bcbc — это просто синглетная по цвету четырех-

рехода g → gg два глюона находятся в антисимметричном

глюонная система, так как глюон самосопряженная

цветовом октетном состоянии, а t-канальные глюонные об-

мены не могут изменить симметрию трехглюонной цветовой

частица и gggg = gggg. Будем обозначать конеч-

волновой функции.

ные два глюона в амплитуде через g₁ и g₂, а конеч-

281

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

ные два глюона в комплексно-сопряженной ампли-

даже для самосопряженных мультиплетов, когда

туде через g₃ и g₄. Мы будем описывать цветовое

|RR〉 = |RR〉). Дело в том, что начальное двухглю-

состояние двухглюонной системы с помощью мат-

онное состояние после перехода g → gg — это анти-

рицы плотности 〈ab|ρ|cd〉 , где a, b, c и d — цветовые

симметричный октет 8_A. С точки зрения описания

индексы для глюонов соответственно g₁, g₂, g₃ и g₄₄₎.

матрицы плотности через четырехглюонную волно-

Мнимому потенциалу (1) в формулировке интегра-

вую функцию это соответствует цветовому сингле-

ла по путям соответствует уравнение эволюции для

ту |8_A8_A〉. Последующая эволюция этого состояния

двухглюонной цветовой матрицы плотности вида

(и любого другого состояния типа |RR〉/|RR〉) не

генерирует смешанные состояния (6), потому что

d ρ(z)

n(z)

σρ,

(2)

матричные элементы дифракционного оператора σ

между состояниями из (5) и (6) исчезают. Это озна-

где σ — дифракционный оператор для рассеяния че-

чает, что смешанные состояния (6) оказываются

тырехглюонной системы при двухглюонном обмене,

полностью отщепленными в цветовой рандомизации

двухглюонной системы. Таким образом, четырех-

как показано на рис. 4. Цветовая матрица плотности

двухглюонной системы (2) может рассматриваться

глюонная волновая функция в среде может быть

как цветовая волновая функция фиктивной, син-

представлена как сумма по синглетным цветовым

глетной по цвету, четырехглюонной системы

состояниям, приведенным в (5):

∑

〈abcd|Ψ〉 = 〈ab|ρ|cd〉 .

(3)

〈abcd|Ψ〉 =

c_R〈abcd|RR〉.

(7)

Цветовые волновые функции глюонных пар g₁g₂

Соответствующее разложение матрицы плотности

и g₃g₄ могут принадлежать к одному из неприводи-

можно записать как

мых мультиплетов в разложении Клебша - Гордана

∑

прямого произведения двух октетов

〈ab|ρ|cd〉 =

P_R〈ab|ρ_R|cd〉,

(8)

8 ⊗ 8 = 1 + 8_A + 8_S + 27 + 10 + 10,

(4)

где P_R — вероятность того, что двухглюонная сис-

где 8_A и 8_S обозначают антисимметричное и сим-

тема принадлежит мультиплету R, а ρ_R — матри-

метричное октетные состояния, которые могут быть

ца плотности для мультиплета R. Полная матри-

построены из SU(3)-тензоров соответственно f_αβγ

ца плотности ρ и ее компоненты ρ_R удовлетворяют

и d_αβγ. Из неприводимых мультиплетов в разло-

условиям нормировки

жении Клебша - Гордана (4) можно построить во-

∑

〈ab|ρ|ab〉 = 1 ,

〈ab|ρ_R|ab〉 = 1 .

(9)

семь цветовых синглетных состояний четырехглю-

a,b

онной системы. Существуют шесть состояний типа

|RR〉/|RR〉,

Зависимость от z вектора

|11〉, |8A8A〉, |8S 8S〉, |27 27〉, |10 10〉, |10 10〉,

(5)

P = (P₁,P8A,P8S,P₂₇,P₁₀,P₁₀)

(10)

и два смешанных состояния, построенных из октет-

характеризует процесс рандомизации цвета в среде

ных мультиплетов,

для gg-пары. Эволюция в среде должна удовлетво-

рять сохранению суммарной вероятности найти па-

|8_A8_S 〉, |8S 8A〉 .

(6)

ру gg в любом цветовом состоянии:

∑

Цветовую рандомизацию в среде двухглюонной си-

P_R = 1 .

(11)

стемы, рожденной в процессе g → gg, можно опи-

сать в терминах шести состояний (5) (в наших фор-

В пределе очень большой толщины среды пара gg

мулах будем обозначать эти состояния как |RR〉

должна стремиться к полностью рандомизирован-

⁴⁾ Отметим, что мы рассматриваем ситуацию, когда цвето-

ному цветовому состоянию, когда величина P_R опре-

вые индексы для конечных глюонов в амплитуде и комплекс-

деляется только размерностью мультиплетов:

но-сопряженной амплитуде могут быть разными. Это отлича-

ется от расчета глюонного спектра, когда выполняется сум-

dim[R]

мирование по a = c и b = d [11, 46, 47], и конечные глюонные

P_R|_randomized =

∑

(12)

dim[R^′]

(N2c - 1)²

линии со стрелками вправо и влево на рис. 3, 5 становятся

замкнутыми (в смысле цветовых потоков).

R^′

282

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

Нормированная на единицу матрица плотности

〈RR|σ|R^′ R^′〉 для конфигураций глюонов при жест-

ρR для заданного мультиплета R может быть запи-

кой геометрии (как показано на рис. 5) с попереч-

сана в виде

ными координатами b₁ = b₃ и b₂ = b₄, которая

используется в настоящем анализе. Отметим, что

〈ab|ρ_R|ab〉 =

P [R]^abcd ,

(13)

недиагональные элементы дифракционного опера-

dim[R]

тора не равны нулю только между мультиплетами

где

с различной перестановочной симметрией. Из выра-

∑

жений (13) и (16) видно, что соотношение между ко-

P [R]^abcd =

〈ab|Rν〉〈Rν|cd〉

(14)

эффициентами c_R в разложении волновой функции

(7) и коэффициентами P_R в разложении матрицы

является проектором на состояния неприводимого

плотности (8) имеет вид

мультиплета R (здесь ν обозначает состояние внут-

√

c_R = P_R/

dim[R] .

(19)

ри мультиплета R). Тот факт, что матрица плотно-

сти ρ_R, определяемая выражением (13), нормирова-

Тогда уравнение эволюции (18) в терминах коэффи-

на на единицу, является следствием соотношения

циентов P_R можно записать в виде

∑

√

P [R]^abab = dim[R] .

(15)

n(z)

dim[R]

a,b

〈RR|σ|R^′ R^′

〉P_R′

(20)

dim[R^′]

Вывод формул для проекторов может быть найден

Стоит отметить, что при описании эволюции в

в работах [41,44]. Для удобства читателя мы приво-

среде в терминах четырехглюонной волновой функ-

дим эти формулы в Приложении.

∑

ции величина 〈Ψ|Ψ〉 =_R |c_R|² не соответствует

Четырехглюонная цветовая волновая функция

полной вероятности найти двухглюонную систему в

〈abcd|RR〉 в терминах проектора P [R]^abcd имеет вид

любом цветовом состоянии. И эволюционное уравне-

∑

ние (18) не сохраняет сумму_R |c_R|². Общая веро-

〈abcd|RR〉 =

√

P [R]^abcd .

(16)

dim[R]

ятность найти двухглюонную систему в любом цве-

∑

товом состоянии дается суммой

P_R. Тот факт,

Из того факта, что P[R]P[R] = P[R], и соотноше-

что уравнение эволюции (20) удовлетворяет сохра-

ния (15) можно видеть, что волновая функция (16)

нению вероятности для P_R (11), является нетриви-

нормирована на единицу, т. е.

альным следствием цветовой прозрачности для то-

∑

чечных цветовых синглетных состояний партонов.

〈RR|abcd〉〈abcd|RR〉 = 1 .

(17)

Действительно, из уравнения (20) видно, что сохра-

∑

abcd

нение суммы_R P_R требует выполнения соотноше-

Мы явно показываем здесь сумму по цветовым со-

ния

стояниям глюонов, чтобы продемонстрировать, что

∑

√

〈RR|σ|R^′ R^′〉

dim[R] = 0

(21)

условия нормировки для компонент матрицы плот-

ности для данного мультиплета 〈ab|ρ_R|cd〉 и для син-

глетной по цвету четырехглюонной волновой функ-

для любого R^′. Левую часть выражения (21) можно

ции 〈abcd|RR〉, построенной из R и

^R, определены

записать как

по-разному.

∑

√

Из выражений (2) и (3) можно легко получить

〈RR|abcd〉〈abcd|σ|R^′ R^′〉

dim[R] =

уравнение эволюции в терминах коэффициентов c_R

∑

в разложении четырехглюонной волновой функции

= P[R]^abcd〈abcd|σ|R^′ R^′〉.

(22)

по состояниям RR (7):

Но из условия полноты проекторов,

dc_R

n(z)

〈RR|σ|R^′ R^′〉c_R′ .

(18)

∑

P [R]^abcd = 11^abcd = δ_acδ_bd ,

(23)

Формулы для дифракционного оператора в бази-

се синглетных цветовых состояний |RR〉 для произ-

для левой части соотношения (22) можно получить

вольных положений глюонов были выведены в ра-

∑

боте [41]. Для удобства читателя в Приложении мы

〈abab|σ|R^′ R^′〉 ∝ 〈(g₁g₃){1}(g₂g₄){1}|σ|R^′ R^′〉 , (24)

приводим формулу для дифракционной матрицы

283

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

где (g₁g₃){1} и (g₂g₄){1} обозначают синглетные цве-

U_ts = U_st и U2ts = 11

товые состояния глюонных пар g₁g₃ и g₂g₄. В нашем

(подробнее см. Приложение). Обратим внимание на

случае эти пары имеют нулевой размер. Для таких

то, что это возможно только для полного набо-

конфигураций полный вклад t-канальных двухглю-

ра цветовых синглетных состояний, т. е. для крос-

онных обменов должен обращаться в нуль. Это до-

∑

синг-матрицы 8 × 8.

казывает сохранение суммы_R P_R. Отметим, что

Решение уравнения эволюции (18) может быть

приведенные выше соображения также можно ис-

выражено через собственные функции дифракци-

пользовать, чтобы доказать, что для вектора (10) с

онной матрицы. Собственные векторы могут быть

величиной P_R в режиме полной цветовой рандоми-

легко записаны в терминах t-канальных состояний,

зации, определенной по (12), правая часть уравне-

аналогичных (5), и линейных комбинаций (26) сос-

ния (20) исчезает (это означает, что выражение (12),

тояний 8_A8_S и 8_S8_A. Дело в том, что пары g₁g₃ и

в терминах коэффициентов c_R, соответствует соб-

g₂g4 — точечные объекты. По этой причине t-ка-

ственному вектору дифракционного оператора с ну-

нальные глюоны не могут различить их цветовую

левым собственным значением). Действительно, для

структуру и не изменяют цветовые мультиплеты

величины P_R′, определенной в (12), правая часть

для пар g₁g₃ и g₂g₄. В результате дифракционный

уравнения (20) пропорциональна выражению

оператор в t-канальном базисе |Ψ^ti〉 имеет простую

∑

√

диагональную форму с

〈RR|σ|R^′ R^′〉

dim[R^′] ,

(25)

R^′

〈Ψ^ti|σ|Ψ^tj〉 = δ_ij σRi (ρ₁₂) ,

(27)

которое, аналогично (21), исчезает для любого муль-

где R_i обозначает цветовой мультиплет, из которого

типлета R. Приведенные выше формулы соответ-

построено состояние Ψ^ti, σRi — дипольное сечение

ствуют синглетным цветовым состояниям четырех

для синглетного цветового состояния R_i

R_i (с точ-

глюонов, записанным в терминах цветовых состоя-

ки зрения дипольного сечения нет никакой разницы

ний глюонных пар g₁g₂ и g₃g₄. Однако можно опи-

между октетами 8_A и 8_S ), ρ₁₂ = |b₁ - b₂| — по-

сывать четырехглюонную систему и в терминах цве-

перечный размер пары g₁g₂ (который равен разме-

товых синглетных состояний, построенных из пар

ру для пары g₃g₄). В приближении статических де-

g₁g₃ и g₂g₄. Как и в работе [41], назовем эти два

баевски экранированных рассеивающих центров [1]

базиса s- и t-канальными базисами. t-канальные ба-

дипольное сечение для цветового синглетного состо-

зисные состояния можно получить из s-канальных

яния RR имеет вид

с помощью унитарного преобразования U_ts (а об-

∫

[1 - exp(iq_⊥ · ρ)]

ратная матрица U_st преобразует t-канальные состо-

σR(ρ) = CT CR dq⊥α^s(q^⊥)

(28)

яния в s-канальные). Так как полный набор цвето-

(q2⊥ + m2D)²

вых синглетных четырехглюонных состояний вклю-

где m_D — дебаевская масса, C_T и C_R — цветовые

чает и смешанные состояния (6), размерность крос-

операторы Казимира для конституента КГП и для

синг-матрицы U_ts есть 8 × 8. Матрица U_ts была вы-

мультиплета R. Операторы Казимира для SU(3),

числена в работе [41]. Для удобства читателя мы

которые нам необходимы, имеют вид

приводим U_ts в Приложении (мы исправляем неко-

C₁ = 0, C₈ = N_c, C₁₀ = 2N_c, C₂₇ = 2(N_c+1).

торые ошибки в формуле (C17) работы [41]). Удобно

записать кроссинг-матрицу, используя для смешан-

Шесть собственных состояний дифракционного опе-

ных состояний (6) линейные комбинации

ратора в s-канальном базисе можно получить, дей-

ствуя кроссинг-матрицей U_st на t-канальные состо-

|(8_A8_S )_±〉 =

√

(|8_A8_S〉 ± |8_S 8_A〉) .

(26)

яния

|11〉_t, |8A8A〉t, |8S 8S〉t, |(8A8S )+〉t, |27 27〉t,

В этом базисе t-канальное состояние |(8_A8_S)_-〉 име-

√

(29)

ет ненулевую проекцию только на то же s-каналь-

(|1010〉_t + |1010〉_t)/

ное состояние |(8_A8_S )_-〉, а t-канальное состояние

Для каждого собственного состояния эффект

|(8_A8_S )₊〉 имеет ненулевые проекции только на со-

среды сводится к тривиальному умножению на глау-

стояния |1010〉 и |1010〉 в s-канальном базисе. Соот-

беровский коэффициент затухания

ветствующим выбором фазовых факторов для со-

⎡

⎤

∫z

стояний |8_A8_S 〉 и |8_S8_A〉 унитарную кроссинг-мат-

S_R(z, z_s) = exp^⎣-¹

dz n(z)σ_R(ρ₁₂(z))^⎦ ,

(30)

рицу можно сделать вещественной и симметричной,

т. е. мы имеем

284

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

где z_s — продольная координата расщепления g →

Для начального двухглюонного состояния, воз-

→ gg, R — мультиплет, входящий в t-канальное

никающего через расщепление глюона g → gg, в

состояние. Собственным состоянием, соответствую-

правой части соотношений (31) и (32) нет сумми-

щим состоянию |(8_A8_S)₊〉_t в пересчете на s-каналь-

рования по R₀, потому что в этом случае у нас есть

√

ный базис, является (|1010〉 - |1010〉)/

2, т. е. оно

только одна ненулевая компонента для R₀ = 8_A с

описывает разницу между вероятностями для де-

P8A = 1.

куплетного P₁₀ и антидекуплетного P₁₀ состояний.

Поскольку для перехода g → gg в начальный мо-

3. МОДЕЛЬ ФАЙЕРБОЛА КГП И

мент имеем P₁₀ = P₁₀, это состояние можно просто

ДИПОЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ

игнорировать. Тогда z-зависимость коэффициентов

c_R в s-канальном базисе может быть представлена

Мы выполняем численные расчеты для модели

как

файербола КГП с 1+1D-расширением Бьеркена [48],

∑

что для модели идеального газа дает T³⁰τ₀ = T³τ,

c_R(z) =

〈RR|U_st|R^′ R^′〉S_R′ (z, z_s) ×

где τ₀ — время термализации вещества. Как и в на-

R^′,R0

ших предыдущих анализах явления JQ [22, 49, 50],

× 〈R^′ R^′|U_ts|R₀ R₀〉cR0 (z_s) ,

(31)

мы берем τ₀ = 0.5 фм, и для простоты пренебрегаем

где суммирование по промежуточным t-канальным

изменением T₀ с поперечными координатами. Чтобы

состояниям включает только шесть первых состо-

учесть, что формирование КГП — явно не мгновен-

яний типа |RR〉. Таким образом, для расщепления

ный процесс, мы берем плотность среды, пропорци-

g → gg нам нужен только блок 6×6 от полной крос-

ональную τ при τ < τ₀. Фиксируем начальную тем-

синг-матрицы 8 × 8. Из (31) для вектора

P мы по-

пературу КГП по начальной плотности энтропии,

лучаем

определенной через плотность множественности за-

ряженных частиц по псевдобыстроте, dN^AAch/dη, в

∑

P_R(z) =

〈RR|U_st|R^′ R^′〉S_R′ (z, z_s) ×

центральной области (η = 0) с помощью соотноше-

R^′,R0

ния Бьеркена [48]

√

dim[R]

C dN^AAch

× 〈R^′ R^′|U_ts|R₀ R₀〉PR0 (z_s)

(32)

s₀ =

(34)

dim[R₀]

τ₀S_f dη

∕

В пределе очень большой толщины в выражени-

Здесь C = (dS/dy) (dN^AAch/dη) ≈ 7.67 [51] — от-

ях (31) и (32) в сумме по промежуточным t-каналь-

ным состояниям «выживает» только состояние |11〉

ношение энтропия/множественность, а S_f — попе-

c σ₁ = 0, S₁ = 1, поэтому соотношение (32) в пределе

речная площадь файербола КГП. Для центральных

z → ∞ можно записать в виде

столкновений Pb+Pb при

√s = 2.76 ТэВ эта проце-

дура для модели идеального газа дает T₀ ≈ 420 МэВ

∑

P_R(z)|_z→∞ ≈

〈RR|U_st|11〉 ×

(мы берем N_f = 2.5 для учета массового подавле-

ния странных кварков в КГП). Для приведенного

√

выше значения T₀ для 1+1D-расширения Бьеркена,

dim[R]

× 〈11|U_ts|R₀

R₀〉PR0 (z_s)

(33)

КГП достигает температуры порядка T_c (здесь T_c ≈

dim[R₀]

≈ 160 МэВ — температура кроссовера) при τ_QGP ∼

t-канальная синглетная цветовая волновая функция

∼ 10 фм. Это означает, что материя остается в плаз-

есть

менной фазе до сильного охлаждения вещества при

δ_acδ_bd

〈abcd|11〉 =

(1-2)R_A (здесь R_A ∼ 6 фм — радиус ядра), ко-

τ >

(N_c - 1)²

гда поперечное расширение становится очень силь-

Используя эту формулу, с помощью выражений (15)

ным [48].

и (16) можно получить

В наших расчетах свойства КГП входят только

√

через произведение плотности КГП и дипольного

dim[R]

〈RR|U_st|11〉 =

сечения в формуле для коэффициентов затухания

N2c - 1

Глаубера (30). Так как дипольное сечение пропор-

и аналогичную формулу для 〈11|U_ts|R₀

R₀〉. Тогда с

ционально оператору Казимира рассеивающего цен-

этими матричными элементами правая часть соот-

тра, в этом произведении можно избежать суммиро-

ношения (33) сводится к рандомизированному цве-

вания по видам конституентов КГП при использо-

товому распределению (12).

вании дипольного сечения для рассеяния на кварке,

285

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

, мб

∼ 0.25 при T = 250 МэВ. Это разумно согласуется

c качественными расчетами в пертурбативной КХД

[55], q ∼ 2ε3/4 , где ε — плотность энергии КГП (q ≈

T = 200 МэВ

≈ 15T³ в терминах температуры КГП).

На рис. 6 видно, что дипольное сечение стано-

вится почти плоским при ρ ∼ 2/m_D ∼ 1/T . Рису-

нок 6 показывает, что между квадратичным и плос-

300 МэВ

ким участками существует довольно широкая об-

ласть, где дипольное сечение приблизительно про-

порционально ρ. Отметим, что для режимов с ди-

450 МэВ

польным сечением, пропорциональным ρ² (или ρ),

для заданного поперечного импульса gg-пары и про-

дольной координаты z_s точки расщепления, вероят-

ность недиагональных переходов убывает приблизи-

, фм

тельно как 1/E2N (или 1/E^N), где N — количество

перерассеяний. По этой причине, как будет показано

Рис. 6. Октет-октетное дипольное сечение на кварке в КГП

ниже, вероятность рождения декуплетных gg-сос-

в зависимости от размера диполя для различных значений

тояний, которое требует N ≥ 2, резко уменьшается

температуры КГП

с ростом энергии струи.

а для плотности числа цветовых центров использо-

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

вать сумму n = n_q +n_gC_A/C_F (здесь n_q — плотность

кварков и антикварков, а n_g — плотность глюонов,

Мы проводим анализ z-зависимости вектора рас-

C_A и C_F — операторы Казимира глюона и квар-

пределения вероятности

P для gg-состояния, усред-

ка). При расчете дипольного сечения мы использу-

ненного по внутреннему импульсу gg-системы. Мы

ем дебаевскую массу m_D в КГП, полученную в ре-

описываем глюонное (x, q)-распределение для пере-

шеточном анализе [52], который дает, что отноше-

хода g → gg по КХД-формуле ведущего порядка

ние m_D/T медленно уменьшается с T (m_D/T ≈ 3

[

]

при T ∼ 1.5T_c и m_D/T ≈ 2.4 при T ∼ 4T_c). Как и

C_Aα_s(q²)

1-x

+x(1-x)

в наших работах [22, 49, 50] по JQ, мы используем

dx dq

π²

1-x

однопетлевую функцию α_s, замороженную при ма-

q²

лых импульсах на некотором значении α^frs. Анали-

(35)

(q² + ϵ²)²

зы структурных функций при малых x [53] и потери

энергии тяжелых кварков в вакууме [54] показыва-

где C_A — цветовой фактор Казимира для глюона,

ют, что для излучения глюонов в вакууме для этой

а ϵ² = m2g(1 - x + x²). Здесь эффективная глюон-

параметризации величина α^frs ≈ 0.7-0.8. Однако в

ная масса m_g играет роль инфракрасного регулято-

КГП тепловые эффекты могут подавить КХД-конс-

ра. Для численных расчетов берем m_g = 0.75 ГэВ.

танту связи в среде. Анализ данных LHC по коэф-

Это значение было получено из анализа протонной

фициенту ядерной модификации R_AA в столкнове-

структурной функции F₂ при малых x в диполь-

ниях Pb+Pb при

√s = 2.76 ТэВ в подходе LCPI

ном уравнении BFKL [53]. Она хорошо согласует-

к индуцированному излучению глюонов дает значе-

ся с естественным инфракрасным обрезанием для

ние α^frs ≈ 0.4 [49]. Мы будем использовать это зна-

пертурбативных глюонов, m_g

∼ 1/R_c, где R_c

≈

чение в данной работе. На рис. 6 мы показываем

≈ 0.27 фм — глюонный радиус корреляции в ваку-

ρ-зависимость дипольного сечения полученного для

уме КХД [56]. Для заданного x мы ограничиваем

gg-состояния для нескольких значений температу-

значение q величиной q_max = Ex(1 - x), где E —

0.1 фм) ди-

энергия родительского глюона. В расчете распреде-

ры КГП. При малых ρ (скажем, ρ <

польное сечение имеет почти квадратичную форму,

ления (35) используем величину α_s, замороженную

σ₈(ρ) ≈ Cρ², где C логарифмически зависит от ρ. В

при значении α^frs = 0.7. Это значение было получе-

терминах транспортного коэффициента q [2] и эф-

но ранее при фитировании данных по структурной

фективной плотности числа триплетных цветовых

функции протона F₂ при малых x в дипольном урав-

центров рассеяния можно написать C = q/2n. Наше

нении BFKL [53]. Это значение также согласуется с

значение σ₈(ρ) при ρ ∼ 0.1 фм соответствует q ∼

соотношением

286

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

P_R

1.0

/2 <

< 3L

z_s = 0

0.8

0.6

R=8_A

0.4

0.2

8_S

z, фм

Рис. 7. Коэффициенты PR для g → gg-расщепления с x = 0.1, усредненные по поперечному импульсу, в зависимости от

длины траектории струи для энергии начального глюона E = 100 ГэВ (подробнее см. основной текст): а — положение

точки расщепления в интервале L_f /2 < zs < 3Lf /2; б — расщепление при zs = 0

P_R

1.0

/2 <

< 3L

= 0

0.8

0.6

R=8_A

0.4

0.2

8_S

z, фм

Рис. 8. То же самое, что на рис. 7, при E = 100 ГэВ, x = 0.5

2∫ГэВ

ный импульс q определяет угол между глюонны-

α_s(Q²)

≈ 0.36 ГэВ,

(36)

ми импульсами конечной gg-пары. Геометрия глю-

онных траекторий также зависит от продольной ко-

ординаты z_s точки расщепления. Из соотношения

полученным в работе [54] из анализа энергетических

неопределенности Δp_z Δz ∼ 1 для типичной длины

потерь тяжелого кварка в вакууме.

образования gg-пары можно получить

Определим усредненную по q величину P_R как

∫

2x(1 - x)E

dq P_R(z, q)

L_f ∼

(38)

dx dq

q² + ϵ²

P_R(z) =

∫

(37)

Мы выполняем вычисления для двух версий: для

dx dq

мгновенного распада первичного глюона, т. е. z_s = 0,

где P_R(z, q) — решение уравнения эволюции (20) для

и для запаздывающего распада, когда точка рас-

заданной геометрии расщепления g → gg. Попереч-

щепления равномерно распределена в интервале

287

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

P_R

1.0

/2 <

< 3L

z_s

= 0

0.8

0.6

R=8_A

0.6

R=8_A

0.4

0.2

8_S

z, фм

Рис. 9. То же самое, что на рис.

7, при E = 500 ГэВ, x = 0.1

P_R

1.0

/2 <

< 3L

z_s

= 0

0.8

R=8_A

0.6

0.4

0.2

8_S

z, фм

Рис. 10. То же самое, что на рис. 7, при E = 500 ГэВ, x = 0.5

L_f /2 < zs < 3Lf/2. На рис. 7-10 представлены

значения для режима полной цветовой рандомиза-

результаты для P_R(z), полученные при E = 100 и

ции (особенно для симметричного расщепления). На

500 ГэВ для g → gg-расщепления с x = 0.1 и 0.5.

рис. 7-10 видно, что рандомизация цвета самая сла-

Как видно, рандомизация цвета становится силь-

бая для декуплетных состояний. Это происходит по-

нее с уменьшением продольного относительного им-

тому, что, в отличие от мультиплетов 1, 8_S, 27, пря-

пульса x. Это связано с ростом угла между глюона-

мые переходы для перерассеяния N = 1 из состоя-

ми в асимметричных gg-парах. Для версии с запаз-

ния 8_A в декуплетные состояния запрещены. И ве-

дывающим распадом рандомизация цвета заметно

дущий по плотности КГП вклад от перерассеяний

слабее, чем для мгновенного расщепления. Однако

N = 2 идет от последовательных переходов 8_A →

даже в последнем случае рандомизация цвета двух-

→ 8_S,27 → 10(10).

глюонной системы получается довольно медленной.

Например, как можно видеть, для типичной дли-

Помимо вероятностей для различных мульти-

ны пути струи L ∼ 5 фм в центральных столкно-

плетов поучительно изучить и z-зависимость усред-

вениях Pb+Pb вероятность того, что gg-пара оста-

ненного по SU(3)-мультиплетам цветового фактора

нется в состоянии 8_A, существенно отличается от

Казимира gg-пары,

288

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

С₂

z, фм

Рис. 11. Усредненный по мультиплетам оператор Казимира 〈C2〉 для g → gg-расщепления с x = 0.1 и x = 0.5 (сверху

вниз) при E = 100 ГэВ (а) и E = 500 ГэВ (б) в зависимости от длины пути струи, полученный для точки расщепления

в интервале L_f /2 < zs < 3Lf /2 (сплошные) и

для расщепления при zs = 0 (пунктирные)

∑

С₂

〈C₂〉 =

P_RC₂[R] ,

(39)

который может рассматриваться как интеграль-

ная характеристика цветовой рандомизации: 〈C₂〉 =

= C₂[8] = N_c непосредственно после g → gg-расщеп-

ления и 〈C₂〉 = 2C₂[8] = 2N_c для полностью рандо-

мизированного режима. Как уже упоминалось вы-

ше, общий фактор Казимира gg-пары определяет

излучение глюонов с обратным поперечным импуль-

сом больше поперечного размера gg-пары, когда па-

ра действует как одиночный излучатель. На рис. 11

показана z-зависимость величины 〈C₂〉. Как и на ри-

сунках для P_R, представлены результаты для вер-

z, фм

сий с мгновенным и с запаздывающим расщеплени-

ями. На рис. 11 видно, что величина 〈C₂〉 для ти-

Рис. 12. Усредненный по мультиплетам оператор Казими-

пичной длины пути струи L ∼ 5 фм для централь-

ра для мягкого индуцированного g → gg-расщепления с

ных столкновений Pb+Pb значительно отличается

x = 0.03 при E = 100 ГэВ в зависимости от длины пути

от ее значения 2N_c для полностью рандомизирован-

струи, полученный для точки расщепления (слева напра-

ного по цвету gg-состояния. При E = 500 ГэВ даже

во) zs = 0.5, 2, 3.5, 5 фм (подробнее см. основной текст)

при L = 10 фм рандомизация цвета не достигает-

ся. В этом случае 〈C₂〉 находится посередине между

значениями для чистого октетного состояния и для

туации партонных траекторий важны, и необходимо

рандомизированного двухглюонного состояния (как

использовать полную технику интеграла по путям.

для асимметричных, x = 0.1, так и для симметрич-

В этом случае цветовая алгебраическая часть вы-

ных, x = 0.5, глюонных пар).

числений должна выполняться перед интегрирова-

Как мы уже говорили, аппроксимация жест-

нием по траекториям партонов. В этом случае эф-

кой геометрией с прямыми траекториями глюонов

фекты рандомизации в пространстве цветов и влия-

(одинаковыми для амплитуды и для комплексно-

ние флуктуаций траекторий не могут быть разделе-

сопряженной амплитуды) кажется разумной для

ны. Тем не менее приближение жесткой геометрии

жесткого g → gg-расщепления. Для мягкого инду-

представляется разумным методом для качествен-

цированного глюонного излучения квантовые флук-

ного анализа рандомизации и для индуцированного

289

ЖЭТФ, вып. 2

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

P₁₀

Формализм настоящей работы позволяет количе-

0.15

ственно изучить энергетическую зависимость рож-

дения декуплетных gg-пар. Как мы говорили во Вве-

дении, это важно для лучшего понимания роли кол-

0.10

линеарных декуплетных двухглюонных состояний в

барионной фрагментации струи благодаря механиз-

му, показанному на рис. 2. В работе [24] вклад этого

0.05

механизма был оценен в приближении полной ран-

домизации цвета. Анализ работы [24] основан на вы-

числении фазового объема для формирования ди-

кварков (которые формируются из двух кварков,

образованных после перехода обоих глюонов в пары

E, ГэВ

q q, как показано на рис. 2) с массой M_D <^1-1.5ГэВ.

Рис. 13. Энергетическая зависимость вероятности декуп-

Дикварковые конфигурации с более высокими зна-

летного состояния с q < 1 ГэВ (кривая 1) и q < 1.5 ГэВ

чениями M_D должны иметь меньшую вероятность

(кривая 2) для типичной длины пути струи в КГП z =

фрагментации в лидирующий барион. Доминирую-

= 5 фм. Расщепление g → gg с x = 0.5 происходит в

щий вклад в такие дикварковые состояния происхо-

области L_f /2 < zs < 3Lf /2

дит от расщепления глюона на симметричные глю-

1 ГэВ. Качественные

онные пары с x ∼ 0.5 и q <

оценки работы [24] показывают, что приближение

полной рандомизации цвета gg-пары должно оста-

g → gg-расщепления. Для проведения такого ана-

ваться разумными для струй с E <^{20-30ГэВ.Со-}

лиза используем оценки локальной длины формиро-

ответствующий предел для барионных импульсов

вания и квадрата поперечного импульса для инду-

меньше примерно в 2-3 раза (потому что импульс

цированного глюонного излучения внутри КГП че-

дикварка меньше энергии струи примерно в 2 раза,

рез транспортный коэффициент q (см., например,

и некоторая часть продольного импульса теряется

√

работы [2, 40]): k2T

∼

^√2ωq и L^inf ∼

2ω/q. Мы

при фрагментации дикварка в наблюдаемый бари-

берем локальный транспортный коэффициент в ви-

он). Это означает, что вклад аномальных цветовых

де q ≈ 2ε3/4 ≈ 15T³ [55], который, как мы говори-

декуплетных gg-пар может быть потенциально важ-

ным для барионов в области p_T

7-10 ГэВ. Вы-

ли выше, находится в разумном согласии с нашим

∼

дипольным сечением σ₈(ρ) при малых ρ. Для ин-

ше этой p_T -области он должен резко уменьшаться

дуцированного g → gg-расщепления мы использу-

из-за падения вероятности найти gg-пару в декуп-

ем гауссово распределение по поперечным импуль-

летном цветовом состоянии, потому что для задан-

сам, dN/dk² ∝ exp(-k2T /〈k2T 〉), с 〈k2T 〉 =

^√2ωq и

ного q угол между глюонами пропорционален 1/E

локальный транспортный коэффициент q, вычис-

и поперечный размер gg-пары также уменьшается

ленный при L = z_s + L^inf/2. На рис. 12 мы пред-

как 1/E. В результате вероятность возбуждения де-

ставляем средний оператор Казимира для мягкого

куплетных состояний должна резко падать с рос-

g → gg-расщепления при E = 100 ГэВ для x = 0.03

том E, как уже было сказано в разд. 3. Однако,

(т. е. при ω = 3 ГэВ), полученный в этой модели для

конечно, оценки работы [24] очень грубые. Мы ис-

положений точки расщепления в КГП при z_s = 0.5,

пользуем наш формализм для количественного ана-

2, 3.5, 5 фм. Обратим внимание, что при x ≪ 1 ре-

лиза. На рис. 13 показана энергетическая зависи-

зультаты нечувствительны к значению E. На рис. 12

мость вероятности декуплетного состояния с q < 1

видно, что даже для индуцированного излучения

и q < 1.5 ГэВ для L = 5 фм, которая является ти-

глюонов в начальной горячей стадии КГП цветовая

пичной длиной пути струи в КГП для центральных

рандомизация требует L ∼ 5 фм. Этот график на-

столкновений Pb+Pb. Кривые получены для рас-

глядно показывает, что для глюонов, излученных на

щепления g → gg в области L_f /2 < z_s < 3L_f /2.

поздних этапах (L ∼ 3-5 фм), рандомизация цве-

На рис. 13 видно, что для струй с E ∼ 5-7 ГэВ ве-

та является неполной даже при L ∼ 10 фм. Таким

личина P₁₀ близка к значению для полной цветовой

образом, наши результаты показывают, что значи-

рандомизации, т. е. P₁₀ = 10/64, а от E ∼ 10 ГэВ

тельная часть глюонных пар, рожденных в индуци-

до E ∼ 30 ГэВ величина P₁₀ резко уменьшается.

рованных g → gg-процессах, может покидать КГП

В терминах барионного поперечного импульса это

без полной цветовой декогеренции.

означает, что аномальный вклад в рождение бари-

290

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

онов становится малым при p_T

10-15 ГэВ. Это

тов, прямой переход 8_A → 10(10) для перерассеяния

∼

согласуется с последними данными ALICE [32] по

N = 1 запрещен и возбуждение декуплетных состоя-

спектрам при больших p_T в Pb+Pb-столкновениях

ний происходит через возбуждение промежуточных

при

√s = 2.76 ТэВ, которые показывают, что отно-

8_S- и 27-мультиплетов.

шение (p + p)/(π⁺ + π^-) становится близким к его

Мы изучили энергетическую зависимость

10-15 ГэВ.

генерации почти коллинеарных декуплетных

значению в pp-столкновениях при p_T >

Резкое снижение вероятности рождения декуплет-

gg-состояний, которые могут приводить к образова-

ных gg-состояний является следствием того, что воз-

нию лидирующих барионов в фрагментации струи

буждение декуплетного состояния требует, как было

[24, 27]. Мы обнаружили, что вероятность наблюде-

сказано ранее, как минимум двух рассеяний и роста

ния таких пар резко уменьшается с ростом энергии

длины формирования (что приводит к уменьшению

30 ГэВ.

струи и становится очень малой при E >

эффективной длины пути пары gg в КГП).

Это позволяет сделать вывод о том, что вклад

этого механизма в образование барионов должен

становиться очень небольшим при p_T ∼ 10 ГэВ. Это

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

разумно согласуется с данными ALICE [32] по от-

ношению (p + p)/(π⁺ + π^-) в Pb+Pb-столкновениях

В этой статье мы изучили динамику цветовой

при

√s = 2.76 ТэВ.

рандомизации двухглюонных состояний, рожден-

ных после расщепления первичного быстрого глю-

Работа выполнена при финансовой поддержке

она в КГП, образующейся при столкновениях тя-

РНФ (грант № 16-12-10151).

желых ионов. Численные расчеты были выполнены

для центральных столкновений Pb+Pb при энергии

ПРИЛОЖЕНИЕ

LHC

√s = 2.76 ТэВ. Анализ основан на уравнении

эволюции для цветовой матрицы плотности gg-сис-

Вклад в двухглюонную цветовую функцию

темы, полученном в дипольном подходе. В нашем

〈ab|Ψ〉 заданного неприводимого SU(3)-мультиплета

формализме матрица плотности двухглюонной па-

R в декомпозиции Клебша-Гордана (4) может

ры может рассматриваться как волновая функция

быть записан как P [R]^abcd〈cd|Ψ〉, где P [R] являет-

синглетной пары по цвету четырехглюонной систе-

ся проекционным оператором для мультиплета

мы. L-зависимость этой волновой функции управля-

R, определяемого общей квантово-механической

ется дифракционным оператором для рассеяния че-

формулой (14). Проекторы на мультиплеты 1, 8_A,

тырехглюонной системы на конституентах КГП. Мы

8_S, 27, 10 и 10 могут быть записаны в терминах

обнаружили, что рандомизация цвета пары gg явля-

дельта-символов Кронекера, антисимметричного

ется довольно медленной. Наши расчеты показыва-

тензора f_abc и симметричного тензора d_abc:

ют, что для энергий струи E = 100, 500 ГэВ усред-

P [1]^abcd =

δ_abδ_cd ,

(40)

ненный по цветовым SU(3)-мультиплетам фактор

Казимира C₂ gg-состояния для типичной длины пу-

P [8_A]^abcd =

f_abkf_kcd ,

(41)

ти струи L ∼ 5 фм для центральных столкновений

Pb+Pb значительно отличается от его значения 2N_c

P [8_S ]^abcd =

d_abkd_kcd ,

(42)

для полностью рандомизированного по цвету gg-сос-

тояния. Для струй с E = 500 ГэВ даже при L =

= 10 фм рандомизация цвета не достигается. В этом

P [27]^abcd =

(δ_acδ_bd + δ_adδ_bc) -

δ_abδ_cd -

случае усредненный цветовой фактор Казимира ле-

жит посередине между значениями для чистого ок-

d_abkd_kcd ,

(43)

тетного состояния (как для глюона) и значением для

полностью рандомизированного двухглюонного со-

P [10]^abcd =

(δ_acδ_bd-δ_adδ_bc)-

f_abkf_kcd+

Y^abcd ,

(44)

стояния (как для асимметричных, x = 0.1, так и

для симметричных, x = 0.5, глюонных пар).

Мы обнаружили, что скорость рандомизации

P [10]^abcd =

(δ_acδ_bd-δ_adδ_bc)-

f_abkf_kcd-

Y^abcd ,

(45)

цвета является самой малой для декуплетных цвето-

где

вых мультиплетов, 10 и 10. Это происходит потому,

что, в отличие от других состояний в разложении

Yabcd =-

(d_ackf_kbd + f_ackd_kbd) .

(46)

Клебша - Гордана прямого произведения двух окте-

291

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Двухглюонные цветовые волновые функции для

〈RR|Tα1|RR〉 ∝ (P [R]a′bcd)^∗f_αa′_aP [R]^abcd .

(49)

состояний 1, 8_S, 27 симметричны при перестановках

глюонных цветовых индексов a ↔ b и c ↔ d, а для

) =

^′b

состояний 8_A, 10, 10 они антисимметричны. Вклады

= P[R]a′ab ∝ δ_aa′, можно видеть, что левая часть

первых трех слагаемых в формулах для декуплет-

выражения (49) пропорциональна f_αaa

= 0. Тот

ных проекторов явно антисимметричны. Тот факт,

факт, что проекционный оператор (14) пропорцио-

что член Y^bccd также антисимметричен при переста-

нален синглетной цветовой волновой функции |RR〉,

новке a ↔ b и c ↔ d очевиден из тождества

не удивителен, потому что последний множитель

d_ackf_kbd + f_ackd_kbd = d_cbkf_kda + f_cbkd_kda .

(47)

в правой части соотношения (14) пропорционален

волновой функции комплексно-сопряженного состо-

Вычисление проекторов для мультиплетов 1, 8_S , 27

яния 〈cd|Rν〉 (здесь компонента ν имеет «магнит-

и 8_A является тривиальными, но для мультиплетов

ные» квантовые числа, противоположные их значе-

10 и 10 они сложнее. Проекторы P[10] и P[10] мо-

ниям для ν) с фазовым множителем, аналогичным

гут быть получены после прямых (несколько утоми-

тому, который появляется в сумме Клебша - Гордана

тельных) вычислений с помощью стандартной фор-

по внутренним квантовым числам ν для синглетно-

мулы (14) с использованием для декуплетных (анти-

го цветового состояния |RR〉 [57, 58], построенного

декуплетных) состояний симметричного спинорного

из состояний |Rν〉 и |Rν〉.

тензора Ψ^ijk (Ψ_ijk). Для двухглюонного состояния

Оператор кроссинга U_ts из s-канального базиса

эти тензоры могут быть построены с использова-

в t-канальный можно рассчитать с помощью приве-

нием спинорной формы волновой функции глюона

√

денных выше формул для s-канальных проекторов

(g_a)^ik = (1/

2)(λ_a)^ik.

и аналогичных формул для t-канального базиса (ко-

Важным фактом для наших расчетов является

торые можно получить перестановкой b ↔ c). Одна-

то, что проекторы пропорциональны четырехглюон-

ко операция кроссинга включает также смешанные

ным цветовым волновым функциям цветовых син-

состояния |8_A8_S〉 и |8_S8_A〉. Удобно использовать ли-

глетов |RR〉, построенных из мультиплетов R и

нейные комбинации (26) и брать волновые функции

(16). Тот факт, что волновая функция, определяе-

для компонент |8_A8_S〉 и |8_S8_A〉 в s-канальном базисе

мая выражением (16), описывает цветовой синглет,

в форме

можно проверить, вычисляя среднее значение

〈RR|T^α|RR〉

(48)

〈abcd|8_A8_S 〉 =

√

f_abkd_kcd ,

∑₄

для полного цветового генератора T^α =

T^αi че-

(50)

i=1

тырех глюонов, которое должно обращаться в нуль

〈abcd|8_S8_A〉 =

√

d_abkf_kcd .

для синглетных цветовых состояний. Можно легко

показать, что это так. Действительно, скажем, для

Аналогичные формулы для t-канального базиса по-

вклада с i = 1 имеем

лучаются перестановкой b ↔ c. Прямой расчет дает

⎛

√

⎞

√

⎜

⎟

⎜

⎟

√

⎛

⎞

⎜

⎟⎛

⎞

⎜

⎟

|11〉

⎜

√

⎟

|11〉

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

√

⎟⎜

⎟

⎜

|8_A8_A〉

⎟

⎜

⎟⎜

|8_A8_A〉

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

√

-√

⎟⎜

⎟

⎜

|8_S 8_S〉

⎟

⎜

⎟⎜

|8_S8_S 〉

⎟

⎜

⎟

⎜

√

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜3

⎟⎜

⎟

⎜

|2727〉

⎟

⎜

⎟⎜

|2727〉

⎟

√

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

(51)

⎜

⎟

⎜

√

⎟⎜

⎟

|1010〉

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

√

-√

√

-√

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

|1010〉

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

√

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜|(8A8S )+〉⎟

⎜

√

-√

√

⎟⎜|(8A8S)+〉⎟

⎝

⎠

⎜4

⎟⎝

⎠

⎜

⎟

|(8_A8_S)_-〉

⎜

⎟

|(8_A8_S )_-〉

⎜

-√

√

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

-1

292

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Цветовая рандомизация быстрых глюон-глюонных пар.. .

Как видно, кроссинг-матрица является действи-

формул для проекторов дает (порядок состояний та-

тельной и симметричной.

кой же, как и в выражении (10))

Прямой расчет дифракционной 6 × 6-матрицы в

s-канальном базисе с помощью приведенных выше

⎛

⎞

-√

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜-√

-√

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-√

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

σ(ρ) = σ₈(ρ)

(52)

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-√

⎟

⎜

30⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-√

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

-√

где σ₈(ρ) — дипольное сечение для синглетной по

11.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 70, 171 (1999)

цвету двухглюонной системы с размером ρ.

[hep-ph/9906536].

12.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 73, 55 (2001)

[hep-ph/0012360].

ЛИТЕРАТУРА

13.

P. Arnold and S. Iqbal, JHEP 1504, 070 (2015),

1. M. Gyulassy and X. N. Wang, Nucl. Phys. B 420,

Erratum: JHEP 1609, 072 (2016) [arXiv:1501.04964].

583 (1994) [nucl-th/9306003].

14.

P. Arnold, H.-C. Chang, and S. Iqbal, JHEP 1610,

2. R. Baier, Y. L. Dokshitzer, A. H. Mueller, S. Peigné,

100 (2016) [arXiv:1606.08853].

and D. Schiff, Nucl. Phys. B 483, 291 (1997) [hep-ph/

9607355]; 484, 265 (1997) [hep-ph/9608322].

15.

P. Arnold, H.-C. Chang, and S. Iqbal, JHEP 1610,

124 (2016) [arXiv:1608.05718].

3. B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 63, 906 (1996)

[hep-ph/9607440]; Phys. Atom. Nucl. 61, 838 (1998)

16.

K. Zapp, G. Ingelman, J. Rathsman, J. Stachel, and

[hep-ph/9807540].

U. A. Wiedemann, Eur. Phys. J. C 60, 617 (2009)

[arXiv:0804.3568].

4. M. Gyulassy, P. Lévai, and I. Vitev, Nucl. Phys.

B 594, 371 (2001) [hep-ph/0006010].

17.

K. C. Zapp, F. Krauss, and U. A. Wiedemann, JHEP

1303, 080 (2013) [arXiv:1212.1599].

5. P. Arnold, G. D. Moore, and L. G. Yaffe, JHEP 0206,

030 (2002) [hep-ph/0204343].

18.

I. P. Lokhtin, A. V. Belyaev, and A. M. Snigirev, Eur.

Phys. J. C 71, 1650 (2011) [arXiv:1103.1853].

6. U. A. Wiedemann, Nucl. Phys. A 690, 731 (2001)

[hep-ph/0008241].

19.

S. Cao et al. [JETSCAPE Collaboration] Phys. Rev.

C 96, 024909 (2017) [arXiv:1705.00050].

7. J. D. Bjorken, Fermilab Preprint 82/59-THY (1982),

unpublished.

20.

P. Lévai and U. Heinz, Phys. Rev. C 57, 1879 (1998).

8. B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 86, 509 (2007)

21.

H. Song, S. A. Bass, U. Heinz, and T. Hirano, Phys.

[arXiv:0708.0816].

Rev. C 83, 054910 (2011) , Erratum: Phys. Rev. C 86,

059903 (2012) [arXiv:1101.4638].

9. G.-Y. Qin, J. Ruppert, C. Gale, S. Jeon, G. D. Moore,

and M. G. Mustafa, Phys. Rev. Lett. 100, 072301

22.

B. G. Zakharov, Письма в ЖЭТФ 88, 899 (2008)

(2008) [arXiv:0710.0605].

[arXiv:0811.0445].

10. R. Baier, Yu. L. Dokshitzer, A. H. Mueller, and

23.

A. Leonidov and V. Nechitailo, Eur. Phys. J. C 71,

D. Schiff, JHEP 0109, 033 (2001).

1537 (2011) [arXiv:1006.0366].

293

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

24.

P. Aurenche and B. G. Zakharov, Eur. Phys. J. C 71,

41.

N. N. Nikolaev, W. Schafer, and B. G. Zakharov,

1829 (2011) [arXiv:1109.6819].

Phys. Rev. D 72,

114018

(2005)

[arXiv:hep-ph/

0508310].

25.

A. Beraudo, J. G. Milhano, and U. A. Wiedemann,

JHEP 1207, 144 (2012) [arXiv:1204.4342].

42.

N. Kidonakis, G. Oderda, and G. F. Sterman, Nucl.

Phys. B 531, 365 (1998) [hep-ph/9803241].

26.

A. Beraudo, J. G. Milhano, and U. A. Wiedemann,

Phys. Rev. C 85, 031901 (2012) [arXiv:1109.5025].

43.

Yu. L. Dokshitzer and G. Marchesini, Phys. Lett.

27.

B. G. Zakharov, Proceedings of the 33rd Rencontres

B 631, 118 (2005) [hep-ph/0508130].

de Moriond: QCD and High Energy Hadronic In-

44.

Yu. L. Dokshitzer and G. Marchesini, JHEP 0601,

teractions, Les Arcs, France, March 21-28 (1998),

007 (2006) [hep-ph/0509078].

pp. 465-469 [arXiv:hep-ph/9807396].

45.

M. H. Seymour, JHEP 0510, 029 (2005) [hep-ph/

28.

G. C. Rossi and G. Veneziano, Nucl. Phys. B 123,

507 (1977).

0508305].

29.

G. C. Rossi and G. Veneziano, Phys. Rep. 63, 149

46.

J.-P. Blaizot, F. Dominguez, E. Iancu, and Y. Meh-

(1980).

tar-Tani, JHEP 1301, 143 (2013) [arXiv:1209.4585].

30.

B. I. Abelev et al. [STAR Collaboration], Phys. Rev.

47.

L. Apolinario, N. Armesto, J. G. Milhano, and

Lett. 97, 152301 (2006) [nucl-ex/0606003].

C. A. Salgado, JHEP

1502,

119

(2015)

[arXiv:

1407.0599].

31.

S. S. Adler et al. [PHENIX Collaboration], Phys. Rev.

Lett. 91, 172301 (2003) [nucl-ex/0305036].

48.

J. D. Bjorken, Phys. Rev. D 27, 140 (1983).

32.

J. Adam et al. [ALICE Collaboration], Phys. Rev.

49.

B. G. Zakharov, J. Phys. G 40, 085003 (2013) [arXiv:

C 93, 034913 (2016) [arXiv:1506.07287].

1304.5742].

33.

Y. Mehtar-Tani, C. A. Salgado, and K. Tywoniuk,

Phys. Lett. B 707, 156 (2012) [arXiv:1102.4317].

50.

B. G. Zakharov, J. Phys. G 41, 075008 (2014) [arXiv:

1311.1159].

34.

J. Casalderrey-Solana and E. Iancu, J. Phys. G 38,

124062 (2011) [arXiv:1106.3864].

51.

B. Müller and K. Rajagopal, Eur. Phys. J. C 43, 15

(2005).

35.

J. Casalderrey-Solana and E. Iancu, JHEP 1108, 015

(2011) [arXiv:1105.1760].

52.

O. Kaczmarek and F. Zantow, Phys. Rev. D 71,

114510 (2005) [hep-lat/0503017].

36.

M. R. Calvo, M. R. Moldes, and C. A. Salgado, Phys.

Lett. B 738, 448 (2014) [arXiv:1403.4892].

53.

N. N. Nikolaev and B. G. Zakharov, Phys. Lett.

B 327, 149 (1994).

37.

Basics of Perturbative QCD Y. L. Dokshitzer,

V. A. Khoze, A. H. Mueller, and S. I. Troian. 1991.

54.

Yu. L. Dokshitzer, V. A. Khoze, and S. I. Troyan,

Published in Gif-sur-Yvette, France: Ed. Frontieres

Phys. Rev. D 53, 89 (1996).

(1991), p. 274 (Basics of).

38.

J. Casalderrey-Solana, Y. Mehtar-Tani, C. A. Salga-

55.

R. Baier, Nucl. Phys. A 715, 209 (2003) [hep-ph/

0209038].

do, and K. Tywoniuk, Phys. Lett. B 725, 357 (2013)

[arXiv:1210.7765].

56.

E. V. Shuryak, Rev. Mod. Phys. 65, 1 (1993).

39.

A. Kurkela and U. A. Wiedemann, Phys. Lett. B 740,

57.

J. J. deSwart, Rev. Mod. Phys. 35, 916 (1963).

172 (2015) [arXiv:1407.0293].

40.

P. Caucal, E. Iancu, A. H. Mueller, and G. Soyez,

58.

C. Rebbi and R. Slansky, Rev. Mod. Phys. 42, 68

arXiv:1801.09703.

(1970).

294