ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 2, стр. 371-381

АНАЛИЗ ТЕЧЕНИЙ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ В

ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ ПРИ НАГРЕВЕ СБОКУ

И. Н. Черепанов^*, Б. Л. Смородин, А. С. Сидоров

Пермский государственный национальный исследовательский университет

614990, Пермь, Россия

Поступила в редакцию 6 августа 2018 г.,

после переработки 6 августа 2018 г.

Принята к публикации 15 августа 2018 г.

Проведено экспериментальное и теоретическое исследование конвекции стратифицированной магнитной

жидкости в вертикальном канале при нагреве сбоку. Исследована динамика поведения конвективных

валов: скорость их движения и деформации. Показано, что сложная неоднородная структура течения

обусловлена гравитационной стратификацией наночастиц в поле тяжести. На основе математической

модели конвекции в приближении Буссинеска проведена большая серия вычислительных экспериментов

для различных параметров задачи: начального распределения наночастиц, числа Больцмана, параметра

Соре, седиментационной длины. Определена область параметров, в которых численные и эксперимен-

тальные результаты имеют качественное сходство.

DOI: 10.1134/S0044451019020172

как бегущие волны [3-6], перебросовые колебания

[7], сложные колебательные [8] и хаотические режи-

мы [9-11].

1. ВВЕДЕНИЕ

Процесс стратификации изотермического колло-

ида теоретически исследован в работе [12]. Харак-

Магнитные жидкости — это непроводящие жид-

терное время установления равновесного баромет-

кости, в которых твердые однодоменные ферромаг-

рического распределения концентрации описывает-

нитные частицы (магнетит, кобальт) со средним раз-

ся выражением

мером 10 нм, покрытые поверхностно-активным ве-

ществом (ПАВ), взвешены в органическом раство-

τ ≈ h²/π²D,

(1)

рителе (керосин, трансформаторное масло). Маг-

где h — высота слоя, D — коэффициент диффузии,

нитные жидкости относятся к классу коллоидных

который может быть оценен по формуле Эйнштей-

растворов, занимающих промежуточное положение

на - Стокса:

между истинными (молекулярными) растворами и

D = k_BT/6πνr,

(2)

грубодисперсными взвесями [1]. Наночастицы при-

меси участвуют в тепловом движении, несмотря на

где k_B — постоянная Больцмана, T — температу-

то, что их размер на порядок больше отдельной мо-

ра, ν — кинематическая вязкость несущей жидко-

лекулы. В коллоидных суспензиях наблюдаются яв-

сти, r — радиус наночастиц. Характерное значение

ления диффузии и термодиффузии наночастиц.

коэффициента диффузии для магнитной наножид-

Как правило, магнитные жидкости рассматри-

кости составляет 10-8 см²/с, что для канала высо-

ваются как однородная по составу среда, без учета

той 1 см дает значение времени установления баро-

их многокомпонентного состава [2]. Однако под дей-

метрического распределения значение порядка τ =

ствием внешних полей (гравитационного, магнитно-

= 10⁷ c ≈ 10² суток.

го, температурного) в коллоидном растворе может

Экспериментальное исследование стратифика-

возникать неоднородность распределения примеси,

ции в поле тяжести проводилось в работе [13]. Наб-

что приводит к появлению конвективных течений,

людения проводились в цилиндрическом канале вы-

не наблюдаемых в однородных жидкостях, таких

сотой 9 см в течение 1.67·10⁴ ч. За время наблюдений

равновесного состояния достигнуто не было. Однако

^* E-mail: che-email@yandex.ru

в работе отмечается, что существенные для конвек-

371

12*

И. Н. Черепанов, Б. Л. Смородин, А. С. Сидоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

тивных течений неоднородности плотности возника-

ла с периодическими условиями на горизонтальных

ют на малых временах порядка 0.01τ.

границах, заполненный вихрями одного калибра. В

Кроме седиментации в задачах о конвекции сме-

коллоидных растворах распределение примеси по

сей присутствует еще один механизм разделения —

высоте, в общем случае, отличается от линейного за-

термодиффузия. При подогреве заполненной колло-

кона. Градиент концентрации является неоднород-

идной наносуспензией полости снизу термодиффу-

ным по высоте, а следовательно, течения в верхней

зионный и гравитационный потоки, в зависимости

и нижней частях канала могут различаться. Кроме

от знака термодиффузии, могут быть сонаправлен-

того, сам концентрационный градиент определяет-

ными, или иметь противоположное направление. Но

ся не внешними факторами, а конкуренцией стра-

равновесие возможно, и конвекция возникает, если

тификационных механизмов и конвективным пере-

градиент температуры превышает некоторое кри-

мешиванием смеси. В связи с этим для определения

тическое значение [14]. Появление дополнительного

характера конвективных течений необходимо прово-

потока вещества под действием теплового градиен-

дить численное моделирование всей области.

та может приводить как к стабилизации системы

Данная работа посвящена экспериментальному

(отрицательная термодиффузия при нагреве сни-

и теоретическому исследованию конвекции страти-

зу), так и к дестабилизации. Положительная тер-

фицированной магнитной жидкости в вертикальном

модиффузия понижает порог устойчивости коллои-

канале при боковом нагреве.

дов, а также возможно появление течений при на-

греве смеси сверху, если параметр термодиффузии

отрицателен.

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ

В случае нагрева ячейки с коллоидным рас-

ИССЛЕДОВАНИЕ

твором сбоку тепловое расширение создает гори-

Опыты проводились с магнитной жидкостью на

зонтальный градиент плотности, а гравитационная

основе керосина, параметры приведены в таблице.

стратификация — вертикальный, что делает рав-

Намагниченность насыщения, равная 43 кА/м, и

новесие жидкости невозможным и ведет к возник-

средний размер частиц магнетита, составляющий

новению конвективного течения [15]. Однако пе-

10 нм, были измерены в лаборатории «Динамика

рераспределение примеси в замкнутой ячейке мо-

дисперсных систем» Института механики сплошных

жет привести к значительному ослаблению конвек-

сред УрО РАН, Пермь [18].

тивного течения [16] за счет того, что неоднород-

В экспериментах использовалась конвективная

ность плотности, вызванная тепловым расширени-

камера в форме прямоугольного параллелепипеда

ем, компенсируется увеличением концентрации тя-

толщиной h = (6.0 ± 0.1) мм и размерами сторон

желой компоненты, приносимой конвективным те-

H_z = 70 мм и H_y = 255 мм (рис. 1). Полость 1 с маг-

чением. При малой разности температур на боко-

нитной жидкостью ограничивалась с одной из широ-

вых границах примесь перераспределяется таким

ких сторон латунным теплообменником 2 толщиной

образом, что суммарный градиент плотности в го-

ризонтальном направлении практически равен ну-

Таблица. Основные параметры задачи

лю. Конвективное течение, поддерживающее данное

распределение, является очень медленным.

Потеря устойчивости слабого течения, и образо-

Массовая концентрация C = 0.5

вание вторичных конвективных течений рассматри-

Объемная концентрация ϕ = 0.14

валось в работе [17]. Ввиду нелинейности градиента

Плотность

ρ = 1.44 г/см³

концентрации по высоте конвективные вихри появ-

Плотность носителя

ρ_s = 0.8 г/см³

ляются в верхней части ячейки. Также в работе ис-

Плотность примеси

ρ_p = 5 г/см³

следовано влияние термодиффузии на возникающие

течения.

Тепловое расширение

α = 10-3 K-1

При наличии вертикальной стратификации ком-

Кинематическая вязкость ν = 5.32 · 10-6 см²/с

понентов смеси при большой разности температур

Температуропроводность χ = 10-7 см²/с

на боковых границах в канале возникают слоистые

Число Прандтля

Pr = 53

течения, подробно описанные в монографии [15] для

Число Льюиса

Le = 2 · 10-4

случая постоянного вертикального градиента кон-

центрации. Постоянство вертикального градиента

Число Релея

R = 2 · 10⁴

концентрации позволяет рассмотреть участок кана-

372

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Анализ течений магнитной жидкости. . .

250

200

150

100

T, C

Рис. 2. Эволюция конвективных структур при θ = 5^◦C: а —

цветовая шкала температуры в^◦C. Термограммы сняты

после 0 (б), 3 (в), 5 (г), 12 (д), 18 (е) часов после начала

эксперимента; ж — усредненный по ширине канала про-

филь температуры для поля e; h = 6.0 мм, Hy/h = 42.5

Рис. 1. Схема конвективной камеры: 1 — рабочая полость,

Перепад температур в слое жидкости измерял-

2 — металлический теплообменник, 3 — текстолитовая

ся дифференциальной медь-константановой термо-

пластина, 4, 5 — рамки из плексигласа, 6 — поле темпера-

парой. Сигнал с термопары регистрировался прибо-

туры, фиксируемое на поверхности текстолита

ром «Термодат-38В1», который подключался к ком-

пьютеру и опрашивался при помощи приложения

TermodatNet. Спаи термопары размещались в цент-

ральной части камеры: один спай помещался в мас-

сив латунного теплообменника, второй — приклеи-

19 мм, в котором имеются каналы для прокачки тер-

вался с внутренней стороны текстолитовой пласти-

мостатирующей жидкости. С другой широкой сто-

ны. Между широкими боковыми границами изна-

роны к полости 1 примыкала текстолитовая пласти-

чально стратифицированного слоя магнитной жид-

на 3 толщиной 0.7 мм, которая прижималась рамкой

кости поддерживался постоянный перепад темпера-

из плексигласа 4. С боковых сторон полость 1 окру-

тур θ = T₁ - T₂.

жалась рамкой 5 из плексигласа, толщина которой

задавала толщину слоя h. Для визуализации тече-

На рис.

представлена эволюция поля тем-

ний использовалась инфракрасная камера, которая

пературы на поверхности текстолитовой пласти-

регистрировала распределение поля температуры 6

ны. Видно, что в начале эксперимента формирова-

на внешней поверхности текстолитовой пластины 3.

лась система коротковолновых конвективных вих-

Инфракрасная камера «FLIR-CEDIP Titanium» с

рей (рис. 2б). Горизонтальные границы вихрей четко

разрешением матрицы 640×512 пикселей и рабочим

не определены, испытывают колебания и разрывы.

диапазоном температуры от -20^◦C до +3000^◦C, из-

Вдоль широкой нагретой стенки, обращенной к чи-

меряла тепловое излучение в диапазоне длин волн

тателю, границы горизонтальных вихрей движутся

8-12 мкм. Изображение с тепловизора выводилось

вверх. После 3 ч от начала эксперимента (рис. 2в)

на монитор компьютера в реальном времени и запи-

основное подъемно-опускное течение разбилось на

сывалось на жесткий диск с заданной частотой кад-

отдельные горизонтальные вихри, границы которых

ров. Для скоростей конвективных движений в экс-

движутся вверх. Приближаясь к верхней стенке кон-

периментах порядка 10-3 м/с съемка задавалась с

вективной камеры, границы теряют устойчивость и

минимально разрешимой частотой 2.5 Гц. Для об-

разрушаются (рис. 2а). Таким образом, с течением

работки изображений полей температуры использо-

времени количество наблюдаемых горизонтальных

валось программное обеспечение Altair, в котором

валов уменьшается за счет конвективного переме-

можно получать пространственно-временные про-

шивания (рис. 2д,е). В экспериментах неоднородно-

фили температуры. Разрешение тепловизора по из-

сти в нижней части слоя всегда существовали доль-

мерению температуры 0.01^◦C. Методика определе-

ше. В работе [20] показано, что такие концентраци-

ния температуры таким способом подробно описана

онные неоднородности могут разрушаться и возни-

в работах [19, 20].

кать вновь в течение нескольких недель.

373

И. Н. Черепанов, Б. Л. Смородин, А. С. Сидоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Рис. 4. Обработка термограмм, полученных тепловизо-

ром а — исходное изображение, б — результат вычисления

усредненного градиента яркости, в — результат усиления

контраста

ная неустойчивость. Для рассматриваемой нами об-

ласти параметров реализуется тип неустойчивости,

похожий на термоконцентрационную ячеистую, но

реализующуюся в случае барометрического распре-

деления частиц по высоте.

За счет одинакового направления вращения кон-

вективных валов на границе между ними образуется

резкий температурный пик (рис. 2ж). Верхний (от-

носительно границы между конвективными струк-

Рис. 3. Схема течения

турами) вихрь приносит более холодную жидкость

от охлаждаемой стенки (рис. 3). Ниже границы эле-

мент жидкости, движущийся вверх, быстро нагре-

Схематически структура течения изображена на

вается. Набегание холодной жидкости сверху и теп-

рис. 3. Оно состоит из группы вихрей имеющих оди-

лой жидкости снизу приводит к формированию теп-

наковое направление вращения. Подобные течения

лового фронта, имеющего резкий ступенчатый вид

хорошо изучены для бинарных молекулярных рас-

(рис. 2ж), что позволяет точно определить границы

творов [15]. Однако в случае молекулярных смесей

конвективных валов по температурным пикам.

вертикальный градиент концентрации является по-

Для определения границ вихря по термограммам

стоянным, не зависящим от высоты, и все вихри

применялся следующий алгоритм обработки. Тер-

имеют близкий размер.

мограмма (рис. 4а) переводилась в оттенки серого

Линейный анализ устойчивости для случая пос-

и выделялась средняя область за счет обрезки 1/3

тоянства вертикального градиента концентрации,

части изображения с правого и левого края, для ис-

проведенный в работе [15], показывает, что воз-

ключения влияния границ. Затем вычислялся гра-

можны четыре вида вторичных течений: неподвиж-

диент яркости вдоль слоя при помощи оператора

ные вихри на границе встречных потоков (гидроди-

Собеля [21]. Для усиления контраста изображение

намическая неустойчивость), концентрационно-вол-

разбивалось на вертикальные полосы толщиной 2

новая неустойчивость, колебательная крупномас-

пикселя и производилось усреднение градиента по

штабная неустойчивость (длинноволновая термо-

всей ширине. Изображения после обработки приве-

концентрационная), ячеистая термоконцентрацион-

дены на рис. 4б,в.

374

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Анализ течений магнитной жидкости. . .

x, мм

250

200

150

100

t, ч

Рис. 5. Траектории движения границ вихрей вдоль верти-

кальной оси

Треки температурных пиков, соответствующих

границам конвективных структур, приведены на

рис. 5. В верхней части ячейки конвективные вих-

ри имеют больший размер, чем в нижней, и с те-

Рис. 6. Геометрия задачи и оси координат

чением времени смещаются к верхней границе. При

этом, чем выше вихрь, тем меньше время его жиз-

ни. Спустя 5 ч после начала эксперимента два верх-

где ρ₀ — значение плотности при средних темпера-

них вихря занимают порядка 2/3 ячейки, в то время

туре T_∗ и концентрации C_∗;

как в оставшейся части существуют порядка четы-

[

рех вихрей. Отметим, что в нижней части за счет

⁽∂ρ^)]

α=- ρ-1

β = ρ-1

влияния границ ячейки, а также ограничений точ-

∂T

∂C

ности приборов, структуры малых масштабов могут

быть неразличимы.

— коэффициенты соответственно теплового и кон-

центрационного расширений; δT = T - T_∗ и δC =

Важным является то, что конвективные вихри

= C - C_∗ — отклонение температуры и концентра-

в нижней части ячейки имеют существенно мень-

ции от средних значений.

ший размер, и значительно медленнее изменяют его

Введем систему координат следующим образом:

со временем, в отличие от верхних вихрей. Данный

факт свидетельствует о существенной неоднородно-

ось x направлена перпендикулярно слою, ось y —

вертикально вверх (см. рис. 6). Полная система

сти концентрации по вертикали. Также видно, что

нижние вихри появляются с небольшой задержкой

уравнений термо-концентрационной конвекции име-

ет вид

(около 3 ч).

∂v

+(v∇)v = -∇p+Pr (Δv+RδT -BlδCn) ,

(4)

∂t

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

∂T

+ (v∇)T = ΔT, div v = 0,

(5)

∂t

С теоретической точки зрения наблюдаемые эф-

(

))

∂C

εR

фекты могут быть обусловлены множеством факто-

+(v∇)C = Le∇

∇C+

Cn+

∇T

(6)

∂t

ров: седиментационным разделением, термодиффу-

зией, магнитной реологией частиц. Рассмотрим мо-

с безразмерными параметрами: числом Рэлея R,

дель, в основе которой лежит математическое описа-

числом Больцмана B, числом Прандтля Pr, числом

ние течений бинарной смеси в приближении Бусси-

Люисса Le, безразмерной длиной седиментации l и

неска, в котором полагается, что плотность линейно

параметром разделения смеси ε:

зависит от температуры и концентрации:

gαδT h³

gβC_∗h⁴

l_sed

(7)

ρ = ρ₀(1 - αδT + βδC),

(3)

νχ

νχl_sed

375

И. Н. Черепанов, Б. Л. Смородин, А. С. Сидоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

B. 10^-4

и параметры задачи могут значительно отличаться

от теоретических оценок.

Ввиду погрешности измерений параметров за-

12.5

l_sed

дачи и упрощений математической модели точное

сопоставление времени моделирования и реального

10.0

эксперимента является некорректным.

7.5

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

5.0

Математическое моделирование проводилось

для безразмерной высоты канала H_y = 42.

2.5

В качестве начального распределения рассмот-

рим случай полностью стратифицированного кол-

лоида, когда распределение концентрации описыва-

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

ется выражением

r, нм

C₀(y) =

e^-γy, γ =

(10)

Рис. 7. Зависимости числа Больцмана B (сплошная ли-

1-e^-γ

ния) и безразмерной седиментационной длины l (штрихо-

Характерная структура течения, наблюдаемая

вая линия) от радиуса наночастиц для параметров, приве-

при численном моделировании, приведена на рис. 8

денных в таблице

и подтверждает структуру течения, в которой вих-

ри вращаются в одном направлении, а на границе

этих вихрей образуются тепловые пики (рис. 3).

Pr =

ε = S_TC_∗(1 - C_∗)

Le =

(8)

Треки границ конвективных структур для

нескольких значений числа B приведены на рис. 9.

k_BT

Границы вихрей определялись по температурным

l_sed =

(9)

пикам вблизи вертикальной границы, так же как и

δρv_pg

при экспериментальном исследовании. В начальный

В системе уравнений (4)-(6), используются сле-

момент времени образуется большое количество

дующие масштабы: длины — h, времени — h²/χ, вяз-

мелкомасштабных вихрей, которые через неболь-

кости — χ/h, температуры — δT , концентрации —

шое время сливаются в более крупные структуры.

C_∗, давления — ρχ²/h². Отметим, что безразмерная

Увеличение числа Больцмана приводит к увели-

единица времени соотносится с реальным временем

чению времени жизни мелкомасштабных течений.

как τ = h²/χ ≈ 0.1 ч, т. е. 25 ч наблюдения соответ-

При этом течение в нижней части слоя может

ствуют примерно 250 единицам безразмерного вре-

возникать с некоторой задержкой по отношению к

мени.

началу эксперимента (рис. 9в).

Решение задачи проводилось численными мето-

Распределение концентрации по высоте C(y),

дами на базе пакета OpenFOAM. Размерные пара-

взятое на середине ширины канала, имеет ступенча-

метры жидкости и безразмерные числа, используе-

тый вид. Внутри конвективных валов концентрация

мые в ходе численного моделирования, приведены в

практически однородна, а на границе между валами

таблице. Для сопоставления теоретических и экспе-

наблюдается резкий градиент (см. рис. 10).

риментальных данных важным является правиль-

По мере перемешивания коллоида число вихрей

ный выбор параметров. Однако сложность числен-

N сокращается. Так, при t = 10 в ячейке имеется

ного моделирования заключается в следующем. Се-

большое количество мелких вихрей (N = 11), при

диментационные свойства коллоида определяются

t = 300 — N = 2, а при t = 400 остается один вихрь,

параметрами B и l, которые сильно зависят от раз-

целиком заполняющий ячейку. С течением времени

меров наночастиц. Так, если рассматривать откло-

наиболее интенсивно увеличиваются вихри вблизи

нения радиуса в 1 нм r = (5±1) нм, то число Больц-

горизонтальных границ, в то время как централь-

мана должно лежать в интервале B = (4-13) · 10⁴,

ные вихри долгое время имеют практически одина-

а длина седиментации l = (21-72) (см. рис. 7). Кро-

ковый размер.

ме того, ввиду полидисперсности и наличия в смеси

Учет эффекта термодиффузии не приводит к

агрегатов частиц начальное распределение примеси

качественному изменению характера течения. На

376

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Анализ течений магнитной жидкости. . .

100

200

300

400

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

100

200

300

400

Рис. 8. (В цвете онлайн) Схема течения в вертикальном

слое. Цвет соответствует

безразмерной температуре, на-

100

200

300

400

правление движения жидкости отображено стрелками

Рис. 9. Треки границ вихрей: a — B = 1·10⁴ , б — B =

2·10⁴,

в — B = 4 · 10⁴; l = 35, ε = 0

рис. 11 представлены треки температурных пиков

для двух типов течений: с нулевой термодиффузи-

ей — синие треки, и для положительной термодиф-

Проведено большое число вычислительных экс-

фузии (ε = 10) — оранжевые треки. Видно, что при

периментов с различным начальным распределени-

ε = 10 время жизни конвективных вихрей увеличи-

ем концентрации. Качественное сходство расчетных

вается, что можно объяснить термодиффузионным

структур течений с натурным экспериментом бы-

разделением компонент в горизонтальном направле-

ло получено при безразмерной длине седиментации

нии.

l = 8. Треки движения границ вихрей для этого слу-

377

И. Н. Черепанов, Б. Л. Смородин, А. С. Сидоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

t = 10

t = 100

t = 300

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

100

150

200

250

Рис. 10. Профиль концентрации примеси вдоль вертикаль-

ной оси в центре ячейки, B = 10⁴, ε = 0

Рис. 12. Треки границ вихрей при B = 4 · 10⁴, l = 8

чальный момент времени конвективные вихри обла-

дают примерно одинаковым размером (см. рис. 9).

Время жизни мелкомасштабных возмущений

определяется концентрационным градиентом. Если

перепад концентрации между соседними вихрями

слабый, конвективное течение размывает границу

довольно быстро, что приводит к слиянию вих-

рей. В случае сильного градиента соседние вихри

существуют длительное время без слияния.

Отметим также, что безразмерная длина седи-

ментации l = 8 в размерных единицах будет состав-

лять l_sed = 4.8 см. Для такого значения l_sed размер

частиц должен быть порядка r ≈ 17 нм, что намно-

100

200

300

400

го выше экспериментальных данных для одиночной

наночастицы r = 5 нм.

Рис. 11. (В цвете онлайн) Треки границ вихрей при B =

По-видимому, наблюдаемая в эксперименте кар-

= 10⁴ для случаев положительной (ε = 10 — оранжевые

тина течения обусловлена более сложным началь-

кривые) и нулевой (ε = 0 — синие кривые) термодиффу-

ным профилем концентрации, т. е. не описывается

зии

уравнением (10). Такой эффект может быть вызван

наличием агрегатов (устойчивого скопления частиц)

в коллоиде, что косвенно подтверждается приведен-

чая приведены на рис. 12. В нижней части вихри по-

ной выше оценкой радиуса частицы r ≈ 17 нм, а так-

являются с небольшой задержкой, при этом самый

же зависимостью коэффициента диффузии от кон-

нижний трек стремится к нижней границе, а осталь-

центрации. В экспериментальном исследовании кон-

ные движутся вверх. Верхние вихри имеют значи-

центрации в покоящейся феррожидкости от высо-

тельно больший размер и быстро разрушаются, при

ты [13], интегрально учитывающем описанные вы-

этом треки направлены вверх. Картина качествен-

ше эффекты, получена зависимость, которую мож-

но соответствует экспериментальным данным (см.

но записать в виде

рис. 4).

Однако поведение системы в верхней части ячей-

C = A(e-y/b′ + D).

(11)

ки, полученное в ходе моделирования, отличает-

ся от экспериментальных данных. Мелкомасштаб-

Эту зависимость, оказывается, можно применить

ные вихри в численном моделировании разрушают-

и в нашем случае численного моделирования, что

ся очень быстро, что свидетельствует о более слабом

можно пояснить следующим образом. Теоретичес-

градиенте концентрации, чем в эксперименте. В на-

кий анализ устойчивости вертикальной стратифи-

378

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Анализ течений магнитной жидкости. . .

был рассчитан, и может служить лишь для оценки

степени неоднородности смеси.

Подставляя аппроксимацию (14) в (13) получим

∫

C = f(y)dy = Ae-y/b′ + D,

(15)

где b^′ = bn, коэффициенты A, D могут быть опреде-

лены из условия сохранения средней концентрации

примеси и разности концентраций в верхней и ниж-

ней части ячейки:

∫

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1/d_v

C dy = 1,

(16)

H_y

Рис. 13. Распределение обратного диаметра вихря 1/dv

по высоте. Точки — экспериментальные данные, линия —

C(0) - C(H_y) = δC,

(17)

аппроксимация функцией (14), с коэффициентами a =

= 5.77 · 10-2, b = 12.4, рассчитанными методом наимень-

δC

δCb^′

ших квадратов

D=1-

(18)

1 - exp(-H_y/b^′)

Математическое моделирование проводилось

кации при постоянном градиенте [15] показал, что в

при b′ = 5, 8, 10, 13 и для чисел Больцмана B

области больших значений стратификационного па-

от 4 · 10⁴ до 2.4 · 104. Наиболее схожие течения

раметра

наблюдались при b^′ = 8.

R_d = gβh³|∇C|/νD,

На рис. 14 приведены течения, для которых на-

где |∇C| — значение вертикального градиента, явля-

чальное условие задавалось уравнением (15) при

ющегося внешним параметром (в нашем случае гра-

b′ = 8 и δC = 0.1.

диент определяется профилем концентрации), вол-

Наиболее близкая картина течения наблюдалась

новое число возмущений k = 2π/λ подчиняется за-

при B = 1.5 · 10⁵ и δC = 0.2, треки тепловых пи-

кону

ков приведены на рис. 15. Отметим качественные

k∝R1/5d.

(12)

сходства экспериментальных данных (рис. 5) и ре-

зультата численного моделирования (рис. 15).

Можно предположить, что и в нашем случае страти-

Ввиду большой вычислительной сложности за-

фицированной наножидкости размер вихря обратно

дачи (моделирование системы на временах в 400

пропорционален градиенту концентрации:

единиц теплового времени занимает порядка 2 су-

)_-n

(

)_-n

ток на сервере с двумя шестиядерными процессора-

⁽ dC

d_v ∝

|∇C|

(13)

ми Intel(R) Xeon(R) E5645), связанной, в основном,

с большим размером области моделирования (мо-

где d_v — диаметр вихря, n — некоторое число.

делирование проводилось для области с соотноше-

Оценим на основе экспериментальных данных

нием сторон 1 : 42 и шагом пространственной сетки

начальное распределение концентрации. На рис. 13

h= 1/40), подбор параметров для более детального

приведена зависимость обратного размера вихря

соответствия экспериментальному течению требует

1/d_v от вертикальной координаты. Точки соответ-

значительных временных затрат. Однако получен-

ствуют экспериментальным данным. Линия показы-

ные качественные соответствия позволяют сделать

вает аппроксимацию функцией

следующие выводы. Во-первых, начальное распре-

(

деление концентрации не может быть описано толь-

y⁾

dv-1 = f(y) =

exp

(14)

ко за счет седиментации наночастиц, однако близ-

ко к экспоненциальному распределению. Во-вторых,

где коэффициенты a и b рассчитывались методом

структура течения в основном определяется неодно-

наименьших квадратов.

родностью плотности по высоте и может быть каче-

Параметр b в аппроксимации (14) в значительной

ственно описана в рамках приближения, учитываю-

мере зависит от момента времени, для которого он

щего только одну компоненту примеси.

379

И. Н. Черепанов, Б. Л. Смородин, А. С. Сидоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

100

150

200

250

100

200

300

400

Рис. 15. Треки конвективных валов при B = 1.5 · 10⁵,

b^′ = 8, δC = 0.2

Показано, что неоднородные слоистые течения

образуются за счет нелинейности градиента концен-

трации в вертикальном направлении. Математичес-

кая модель начального распределения концентра-

ции, учитывающая только гравитационную страти-

фикацию, не дает качественного соответствия с экс-

100

150

200

250

периментальными данными. Наблюдаемая сильная

асимметричность (верх-низ ячейки) течения свиде-

тельствует о более сложном распределении концент-

рации. Подобное поведение может быть обусловлено

наличием агрегатов, нелинейной зависимостью диф-

фузии от концентрации, а также сложным составом

жидкости носителя.

На основе результатов численного моделирова-

ния сделаны предположения о начальном профи-

ле концентрации и значении параметра Больцма-

на, характеризующего гравитационную стратифи-

кацию смеси.

Проведенные оценки показали, что седиментаци-

онная длина и число Больцмана, характеризующие

100

150

200

250

эффект седиментации, могут изменяться в больших

пределах. Для полученного интервала значений

Рис. 14. Треки конвективных валов для начального усло-

безразмерных параметров проведена большая серия

вия (15) при b′ = 8, δC = 0.1: а — B = 8 · 104, б —

вычислительных экспериментов. Определена об-

B = 18 · 10⁴, в — B = 24 · 10⁴

ласть параметров задачи, в которой конвективные

течения качественно совпадают с результатами

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

эксперимента. При этом воспроизводятся такие осо-

Проведено экспериментальное и теоретическое

бенности течений, реализуемых в экспериментах,

исследование конвекции коллоидной смеси в вер-

как неоднородный размер вихрей по высоте, вихри

тикальном канале при нагреве сбоку. Обнаружен-

в верхней части движутся вверх и увеличиваются

ные в эксперименте сложные слоистые течения бы-

в размере, вихри в нижней части слабо изменяют

ли смоделированы математически при помощи па-

размер и положение за время наблюдения, течение

кета OpenFOAM.

в нижней части возникает с существенной задерж-

380

ЖЭТФ, том 155, вып. 2, 2019

Анализ течений магнитной жидкости. . .

кой. Также отметим, что характерные времена

10.

N. V. Kolchanov and I. M. Arefyev, Intern. J. Heat

процессов в эксперименте и численном моделирова-

Transf. 111, 1112 (2017).

нии совпадают по порядку величины.

11.

B. Smorodin, I. Cherepanov, and S. Ishutov, Fluid

Dynamics Research 48(6), 061423 (2016).

Исследования выполнены при финансовой под-

держке РФФИ (грант № 16-31-60074).

12.

Y. Raikher and M. Shliomis, J. Magn. Magn. Mater.

122, 93 (1993).

ЛИТЕРАТУРА

13.

А. Ф. Глухов, Г. Ф. Путин, в сб.: Гидродинамика,

1. К. И. Евстратова, Н. А. Купина, Е. Е. Малахова,

12, Перм. ун-т, Пермь (1999), c. 92.

Физическая и коллоидная химия, Высшая школа,

Москва (1990).

14.

B. Smorodin and I. Cherepanov, Euro. Phys. J. E 37,

118 (2014).

2. В. Е. Фертман, Магнитные жидкости, Вышэй-

шая школа, Минск (1988).

15.

Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, А. А. Непомня-

щий, Устойчивость конвективных течений, Нау-

3. D. Donzelli, R. Cerbino, and A. Vailati, Phys. Rev.

ка, Москва (1989).

Lett. 102, 10503 (2009).

16.

I. N. Cherepanov, J. Appl. Mech. Techn. Phys. 58,

4. B. L. Smorodin, I. N. Cherepanov, B. I. Myznikova,

1181 (2017).

and M. I. Shliomis, Phys. Rev. E 84, 026305 (2011).

5. S. A. Suslov, A. A. Bozhko, A. S. Sidorov, and

17.

I. N. Cherepanov and B. L. Smorodin, Microgravity

G. F. Putin, Phys. Rev. E 86, 016301 (2012).

Sci. Technol. 30, 63 (2018).

6. Б. Л. Смородин, И. Н. Черепанов, ЖЭТФ 147, 363

18.

A. V. Lebedev and S. N. Lysenko, J. Magn. Magn.

(2015).

Mater. 323, 1198 (2011).

7. А. Ф. Глухов, В. А. Демин, Г. Ф. Путин, Изв. РАН,

19.

А. Ф. Глухов, А. С. Сидоров, Вестник Пермского

Механика жидкости и газа, 2, 13 (2013).

университета. Серия: физика 1(32), 5 (2016).

8. M. T. Krauzina, Al. A. Bozhko, G. F. Putin, and

20.

А. С. Сидоров, Вестник Пермского университета.

S. A. Suslov, Phys. Rev. E 91, 013010 (2015).

Серия: физика 3(25), 50 (2013).

9. А. А. Божко, П. В. Булычев, Г. Ф. Путин, Т. Ты-

ньяла, Изв. РАН, Механика жидкости и газа, 1, 29

21.

R. O. Duda and P. E. Hart, Pattern Classification

(2007).

and Scene Analysis, John Wiley & Sons (1973).

381