ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 425-439

НЕВИНЕРОВСКАЯ ДИНАМИКА ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ

ПРИ НЕНУЛЕВОЙ ПЛОТНОСТИ ФОТОНОВ ОКРУЖЕНИЯ

А. М. Башаровa,b*, А. И. Трубилко^c

^a Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^b Кафедра математики и математических методов физики,

Московский физико-технический институт (государственный университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^c Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 27 августа 2018 г.,

после переработки 27 августа 2018 г.

Принята к публикации 11 сентября 2018 г.

Предложена модель коллективного распада локализованного ансамбля одинаковых атомов в вакуумном

широкополосном электромагнитном поле с ненулевой плотностью фотонов с учетом слагаемых второго

порядка по константе взаимодействия атомов и поля. Модель основана на стохастическом дифференци-

альном уравнении для оператора эволюции атомного ансамбля и окружения, управляемом основными

квантовыми случайными процессами и независимыми классическими винеровскими процессами. Пока-

зано, что ненулевая плотность фотонов в ряде случаев не влияет на эффект подавления коллективного

излучения атомов и при этом ее наличие проявляется лишь в виде дополнительного механизма перерас-

пределения атомов по коллективным подуровням.

DOI: 10.1134/S0044451019030052

частицами и иногда интерпретируются как локаль-

ные поправки к электромагнитному полю, действу-

ющему на квантовую частицу.

1. ВВЕДЕНИЕ

Невинеровская динамика открытых квантовых

Какими бы ни были особенности интерпретации

систем обусловлена своеобразной интерференцией

обсуждаемых процессов, каждому процессу соответ-

конкурирующих квантовых процессов, приводящей

ствует определенное слагаемое в эффективном га-

к эффектам стабилизации их возбужденных состоя-

мильтониане системы и, как правило, эти слагае-

ний. Одни из интерферирующих процессов выража-

мые различаются порядком по константе связи от-

ются в переходах в квантовой системе с изменени-

крытой системы с окружением. Последнее обстоя-

ем ее квантового состояния и излучением реально-

тельство, казалось бы, не позволяет ожидать, что

го фотона, например в переходе с возбужденного

процессы более высокого порядка оказывают влия-

квантового уровня на основной, при котором энер-

ние на процессы более низкого порядка (в том числе

гия высвечивается в виде фотона. Это — процессы

и первого порядка). Качественно могут возникать

разрушения возбужденного состояния. Другие про-

новые каналы взаимодействия и перераспределения

цессы относят к разряду виртуальных — состояние

энергии, но существенные количественные поправки

квантовой системы, в том числе и возбужденное, не

к процессам первого порядка представлялись мало-

меняется, а излучение и поглощение виртуального

вероятными. Однако оказалось, что интерферирую-

фотона с близкими параметрами формирует сдвиги

щие слагаемые в эффективном гамильтониане име-

энергий этих квантовых состояний. Такие процессы

ют различную алгебраическую природу. Это разли-

ответственны за взаимодействие между квантовыми

чие в алгебраической природе позволяет говорить о

своеобразной интерференции квантовых процессов

^* E-mail: basharov@gmail.com

разного порядка по параметрам связи. В результате

425

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

такой интерференции возбужденное состояние ста-

лучения [1-3]).

билизируется по отношению к коллективным про-

Существенным ограничением квантовой теории

цессам излучения реальных фотонов (процессы пер-

случайных процессов [6-10] в ее приложении к неви-

вого порядка), «застряв» в процессах виртуального

неровской теории открытых квантовых систем явля-

переизлучения фотонов (процессы второго порядка

ется условие нулевой плотности фотонов поля окру-

по константе связи открытой системы с окружени-

жения. От этого ограничения свободна винеровская

ем). Оказалось, что упомянутая выше интерферен-

теория, но она не дает описания эффектов стабили-

ция определяется числом одинаковых частиц, участ-

зации и становится неприменимой с ростом числа

вующих в обсуждаемом процессе, причем сначала

атомов локализованного ансамбля одинаковых ато-

эффект растет с увеличением числа частиц. Затем

мов. Ограничение нулевой плотности фотонов для

зависимость результатов от числа частиц становит-

считывающего процесса достаточно естественно —

ся немонотонной [1-3]. В указанных работах впер-

считывающий процесс учитывает число фотонов в

вые употреблен термин «невинеровская динамика»

системе, и наличие ненулевой начальной плотности

для процессов интерференции.

фотонов сразу делает рассматриваемую величину

Математическим основанием для решения за-

бесконечной, поскольку бесконечно число мод окру-

дач квантовой оптики, которые приводят к эффек-

жения, тем более в приближении открытой системы.

там стабилизации возбужденных состояний, яви-

Обходить такую бесконечность в формализме кван-

лись алгебраическая теория возмущений [4,5] и тео-

товых стохастических дифференциальных уравне-

рия основных квантовых случайных процессов на

ний пока не ясно как. Нулевая плотность фотонов

основе квантовых стохастических дифференциаль-

отвечает нулевой абсолютной температуре окруже-

ных уравнений [6-10]. Алгебраическая теория воз-

ния, что не соответствует реальности. Даже в срав-

мущений позволила записать эффективный гамиль-

нении с огромной величиной кванта резонансного

тониан ряда задач в марковском приближении в

перехода в открытой системе реальная плотность

терминах базовых квантовых случайных процес-

фотонов окружения должна рассматриваться как

сов — рождающего, уничтожающего и считываю-

ненулевая.

щего [1-3]. Квантовая теория этих случайных про-

В настоящей работе предложен вариант опи-

цессов определяет алгебраический аппарат для рас-

сания задач квантовой оптики в случае ненуле-

чета оператора эволюции открытых квантовых си-

вой плотности фотонов окружения и необходимости

стем. Общая структура алгебраических соотноше-

рассмотрения считывающего квантового случайно-

ний и кинетического уравнения, управляемого все-

го процесса. Соответствующий математический ап-

ми тремя базовыми квантовыми процессами, описа-

парат развит для представления электромагнитного

на в работах [7, 8].

поля окружения открытой системы при ненулевых

Следует отметить, что одновременно с матема-

температурах в виде совокупности полей различной

тическими методами [6] физики ввели в исследо-

природы. Один тип электромагнитного поля дает-

вание задач спонтанного излучения аппарат сто-

ся широкополосным квантованным полем с нулевой

хастических дифференциальных уравнений [11, 12],

плотностью фотонов; другой тип — классическим

управляемых только двумя квантовыми случайны-

шумовым дельта-коррелированным электромагнит-

ми процессами — рождающим и уничтожающим.

ным полем, которое и описывает ненулевую плот-

Чтобы отличить процессы (и соответствующий ма-

ность фотонов. Такое представление физически ра-

тематический аппарат), управляемые только ука-

зумно и согласуется с различными частными случа-

занными этими двумя базовыми квантовыми слу-

ями.

чайными процессами, от процессов, в описании ко-

Предложенное представление оправдано той ро-

торых задействованы все три базовых случайных

лью, которую играют различные слагаемые в ки-

процесса, удобно использовать термины «винеровс-

нетическом уравнении открытой системы, получен-

кая» и «невинеровская» динамика. Различие здесь

ном в рамках винеровского описания взаимодей-

не только в названии — именно наличие и необходи-

ствия открытой системы с квантованным электро-

мость учета считывающего процесса обусловливает

магнитным окружением ненулевой плотности фото-

своеобразие процессов интерференции в невинеров-

нов. Известно, что матрица плотности ρ^S локализо-

ской динамике и возникновение эффекта стабилиза-

ванной открытой системы в случае винеровской ди-

ции возбужденных состояний, а также связанного с

намики описывается кинетическим уравнением об-

ним эффекта подавления коллективного излучения

щего линдбладовского вида с релаксационным опе-

ансамбля одинаковых атомов (подавление сверхиз-

ратором

Γ [13]:

426

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Невинеровская динамика открытых систем.. .

dρ^S

[

]

Γ₀ →

Γ_non-W и H^Shift-S → H^Shift-Snon-W = 0, так и

ρ^S, H^Eff-S

- Γρ^S ,

(1)

ℏ

ˆ,

составляющая

Γ_D релаксационного оператора

[

]

описывающая дефазировку квантовых излучателей

^Γρ^S = -

ρ^S, H^Shift-S

+Γ₀ρ^S +

Γ_nρ^S,

(2)

в шумовом классическом поле со своим операто-

ℏ

ром Линдблада L^SD, отличном от L^S винеровской

динамики:

Γ₀ρ^S =

L^S†L^Sρ^S +

ρ^SL^S†L^S - L^Sρ^SL^S†,

(3)

[

]

^Γρ^S

ρ^S, H^Shift-S

+Γ_non-Wρ^S +

)

non-W

=-ℏ

⁽1

Γ_nρ^S = n

L^S†L^Sρ^S+

ρ^SL^S†L^S-L^Sρ^SL^S†

+Γnρ^S +

Dρ^S,

(5)

]

)

⁽1

^[1

Γ_Dρ^S =

(L^SD)²ρ^S +

ρ^S(L^SD)² - L^SDρ^SL^S

+s_q

L^S†L^S†ρ^S +

ρ^SL^S†L^S† - L^S†ρ^SL^S†

)

⁽1

Вклад в H^Shift-Snon-W дают как квантовая составляю-

L^SL^S†ρ^S +

ρ^SL^SL^S† - L^S†ρ^SL^S

щая, так и классическая. При этом все операторы

)

⁽1

Линдблада, за исключением операторов, определя-

+s^∗

L^SL^Sρ^S +

ρ^SL^SL^S - L^Sρ^SL^S

(4)

ющих

Γ_n, отличаются от операторов винеровской

динамики как в классическом поле, так и в кванто-

Здесь n

— ненулевая плотность фотонов кван-

вом. Оператор

Γ_n при этом неизменно присутствует

тованного электромагнитного поля окружения,

в операторе релаксации как винеровской динамики,

s_q

— параметр, характеризующий сжатие поля,

√

так и в предложенном случае невинеровской дина-

удовлетворяющий неравенству |s_q|

≤

n(n + 1),

мики.

H^Eff-S — эффективный гамильтониан открытой

В статье обосновывается вывод общего релакса-

системы, H^Shift-S и LS — операторы Линдбла-

ционного оператора в случае невинеровской дина-

да, описывающие унитарную эволюцию (сдвиг

мики в поле с ненулевой плотностью фотонов. Про-

частот) и необратимую динамику, связанные с

анализированы роль и влияние слагаемых, получив-

релаксационными процессами. Для обсуждаемого

шихся при представлении электромагнитного поля с

случая винеровского описания H^Shift-S

= 0. В

ненулевой плотностью фотонов через квантованное

случае одного двухуровнего атома L^S = |E₁〉〈E₂|,

поле с нулевой плотностью фотонов и классическое

где |E₁〉 и |E₂〉 — нижний и верхний квантовые

шумовое поле, на эффект подавления коллектив-

энергетические уровни двухуровневого атома.

ного спонтанного излучения ансамбля одинаковых

В работе [14] показано, что воздействие на от-

возбужденных атомов.

крытую систему только классического шумового по-

ля «интенсивности» n с параметром сжатия, удовле-

творяющим неравенству |s_q| ≤ n, также описывает-

2. МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ся при помощи кинетического уравнения (1). При

ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ С

этом операторы релаксации следующие:

ШИРОКОПОЛОСНЫМ ВАКУУМНЫМ

ПОЛЕМ С НЕНУЛЕВОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

H^Shift-S = 0,

Γ₀ = 0,

ФОТОНОВ. ЭФФЕКТИВНЫЙ

ГАМИЛЬТОНИАН

а оператор

Γ_n получается в точности таким же, как

в выражении (4), как и операторы Линдблада L^S.

Прямой способ получения эффективного гамиль-

Таким образом, представление квантованного широ-

тониана открытой системы в широкополосных по-

кополосного электромагнитного поля при ненулевой

лях — использование алгебраической теории воз-

плотности фотонов в виде суперпозиции квантован-

мущений [4, 5]. Эта теория представляет собой ал-

ного широкополосного поля с нулевой плотностью

гебраическую версию метода усреднения Боголюбо-

фотонов и классического дельта-коррелированного

ва - Крылова - Митропольского [15]. Однако в неал-

электромагнитного поля в винеровской динамике

гебраическом варианте применение метода усредне-

оправдано, как минимум, для описания резонанс-

ния к рассматриваемой нами задаче весьма трудоем-

ных процессов вне области максимального сжатия

ко — еще в книге [16] изложено применение метода

электромагнитного поля.

Боголюбова - Крылова - Митропольскогодля описа-

При описании невинеровской динамики для

ния однофотонных и двухфотонных резонансных

предложенного в статье представления электромаг-

процессов в классических когерентных полях, и чи-

нитного поля окружения появляются как операторы

татель может оценить трудоемкость этого метода.

427

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Поэтому применим здесь алгебраический вариант

это рассмотрение выполнено в рамках винеровского

метода усреднения, состоящий в использовании уни-

подхода, а его недостаточно для описания динами-

тарной симметрии квантовой теории и преобразова-

ки локализованных атомных ансамблей с достаточ-

нии исходного волнового вектора открытой системы

но большим числом атомов (порядка сотни [1]). В

и его резонансного окружения. Отметим, что алгеб-

работах [20, 21] в рамках невинеровской динамики

раизация метода усреднения, не связанная напря-

рассматривалось резонансное воздействие на атом-

мую с задачами нелинейной и квантовой оптики, об-

ный ансамбль квантованных полей — широкополос-

суждается в [17].

ного поля с нулевой плотностью фотонов и однофо-

Будем рассматривать ансамбль одинаковых

тонного пакета.

неподвижных частиц, которые могут в начальном

Подчеркнем, что в работах [20, 21] развита по-

состоянии заселять только пару энергетических

следовательная квантовая теория построения основ-

невырожденных уровней, связанных между собой

ного кинетического уравнения исследуемой откры-

оптически разрешенным переходом. Обозначим эти

той системы при ее взаимодействии с широкополос-

уровни |E₁〉 и |E₂〉. Окружающее ансамбль кван-

ными электромагнитными полями. Она основана на

тованное электромагнитное поле, характеризуемое

алгебраических свойствах всех основных квантовых

ненулевыми температурой и плотностью числа

стохастических процессов, которые возникают есте-

фотонов n, может вызывать переходы с указанных

ственным образом, не привлекая каких-либо допол-

уровней на лежащие выше. Будем полагать, что

нительных соображений извне, в отличие от раз-

такое поле в случае резонанса с другими оптически

личных феноменологических теорий [22-24]. Следу-

разрешенными переходами характеризуется плот-

ет также отметить естественное использование уни-

ностью n ≪ 1, чтобы в первом приближении можно

тарной симметрии квантовой механики. В работах

было бы пренебречь резонансными переходами с

[20, 21] для одного из полей не применялось приб-

рассматриваемых уровней |E₁〉 и |E₂〉 на другие

лижение Найквиста (см. следующий раздел), кото-

квантовые уровни.

рое ниже нами будет использовано для всех участ-

Однако внешнее поле может быть создано ши-

вующих полей, взаимодействующих с атомным ан-

рокополосным источником, например параметриче-

самблем. Тем не менее и работы [20, 21], а также

ским генератором, с плотностью фотонов n > 1 в

[22-24] и представленный ниже анализ относятся

определенном частотном интервале. В этом случае

к парадигме невинеровских квантовых стохастиче-

будем предполагать, что его эффективная ширина

ских дифференциальных уравнений, расширяющих

не захватывает другие оптически разрешенные пе-

обычные представления винеровской теории и, по-

реходы с рассматриваемой пары уровней, и она мно-

видимому, необходимых для выхода за рамки при-

го больше ширин обсуждаемой пары уровней. Это

ближения вращающейся волны в случае квантован-

позволяет принять для рассмотрения модель, в ко-

ных полей. До сих пор учет так называемых ан-

торой однофотонные переходы во внешнем широ-

тивращающих слагаемых [25-27], появляющихся за

кополосном поле с ненулевой плотностью фотонов

пределами приближения вращающейся волны, не

происходят только между рассматриваемой парой

проведен для широкополосных полей, за исключе-

энергетических уровней атомов ансамбля, которые

нием работ [1-3].

будем называть резонансными. Такое предположе-

ние не означает, что мы исключаем из рассмотре-

Стандартным предположением невинеровской

ния другие атомные уровни — они проявятся во вто-

теории является приближение локализованного

ром порядке алгебраической теории возмущений и

атомного ансамбля — именно в этом приближении

будут определять параметры виртуальных перехо-

удается исключить из рассмотрения простран-

дов с рассматриваемой пары резонансных уровней.

ственные эффекты и в таком простейшем случае

Это отличает наш подход от других (см., например,

представить одно из слагаемых эффективного га-

недавнюю работу [18]), где все рассмотрение огра-

мильтониана (второго порядка по константе связи с

ничивается учетом исключительно только двух ре-

вакуумным полем с нулевой плотностью фотонов)

зонансных уровней.

через квантовый считывающий процесс.

Заметим, что ранее [19] обсуждались возмож-

ные квантовые переходы и описывалась их динами-

С учетом указанных выше предположений

ка в случае дополнительного (наряду с вакуумным

исходный гамильтониан H^Ini открытой системы

полем) воздействия на квантовую систему нерезо-

и окружающего резонансного квантованного поля

нансного когерентного классического поля. Однако

можно записать в стандартном виде как

428

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Невинеровская динамика открытых систем.. .

H^Ini = H^A + H^F + H^Int,

более адекватном и простом их описании, совпада-

∑

ющим в предельных случаях с известными резуль-

H^A = E_j|E_j〉(i)〈E_j|(i),

татами.

^i,j ∑

В связи с принятым предположением запишем

H^F = ℏω_qb†qb_q,

H^Int в виде

(6)

∑

(

)∑

H^Int = H^Q + H^Cl,

H^Int = - Γ_q

b^†

+b_q

d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i),

∑

(

)∑

H^Q = - Γ_q

b^†q

+b_q

d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i),

i,kj

∑

i,kj

|E_j 〉(i)〈E_j |(i) = 1(i),

〈E_j |(i)E_k〉(i) = δ_jk.

H^Cl = - [E(t)exp(-iΩ₂₁t) + E^∗(t)exp(iΩ₂₁t)] ×

∑

Здесь |E_j〉 — квантовое состояние атома с энерги-

∑

× d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i),

ей E_j, d_kj = 〈E_k|d|E_j〉, d =_kj d_kj|E_k〉〈E_j| — опе-

i,kj

ратор дипольного момента атома. Верхний индекс

у вектора атомного состояния отмечает простран-

E₂ - E₁

Ω₂₁ =

ство состояний i-го атома, и суммирование по это-

ℏ

му индексу означает суммирование по всем атомам

Обращаем внимание на то, что здесь операторы b_q

ансамбля, т. е. i = 1, . . . , N_a, где N_a — число ато-

и b†q отличаются от операторов, представленных в

мов ансамбля, которое предполагается неизменным.

исходном гамильтониане (6), хотя и обозначены те-

Операторы рождения b†q и уничтожения b_q фотонов

ми же буквами. Переход к представлению H^Int =

с волновым вектором q удовлетворяют стандартно-

= H^Q+H^Cl можно обосновать (до некоторой степе-

му коммутационному соотношению [b_q, b†q′] = δqq′ .

ни) и на уровне операторов рождения и уничтоже-

Дисперсионное соотношение дается обычным равен-

ния, однако это уведет в сторону и здесь далее не

ством ω_q = qc. Параметр связи Γ_q в случае трехмер-

обсуждается.

ного электромагнитного поля дается выражением

Амплитуду E(t) разложим в интеграл Фурье:

√

∫

2πℏqc

E (t) = e^-iωtc_ω dω, c_ω =

e^iωtE(t)dt.

Γ_q =

2π

ℓ³

Предположения о характере начального состоя-

где ℓ³ — объем квантования.

ния |ΨA+F 〉 и электромагнитных полей при t = 0 в

В расширенном пространстве состояний атомной

алгебраической теории возмущений и в методах эф-

системы и квантованного электромагнитного поля

фективного гамильтониана делаются после построе-

исходный гамильтониан H^Ini определяет уравнение

ния эффективного гамильтониана задачи. Класси-

Шредингера для волнового вектора:

ческое поле введено в рассмотрение для описания

ненулевой плотности фотонов, тогда как квантован-

iℏ

|ΨA+F 〉 = H^Ini|ΨA+F 〉.

ное поле будет характеризоваться нулевой плотно-

стью.

Мы предполагаем, что квантованное широкополос-

Следуя общей схеме [4,5,18], преобразуем волно-

ное электромагнитное поле с ненулевой плотностью

вой вектор |ΨA+F 〉:

фотонов в состоянии термодинамического равно-

весия (термостат) можно представить в виде сум-

|ΨA+F 〉 = T |ΨA+F 〉, T = e^-iS, S^† = S.

мы квантованного электромагнитного поля и клас-

сического шумового электромагнитного поля несу-

Преобразованный вектор будет удовлетворять кине-

щей частоты, равной частоте резонансного перехо-

тическому уравнению

да, с амплитудой E(t). Можно ожидать, что удастся

d|ΨA+F 〉

как охватить особенности невинеровской динамики

iℏ

= H|ΨA+F〉

в условиях ненулевой плотности фотонов, так и из-

бежать проблем с бесконечностью квантового счи-

с преобразованным гамильтонианом

тывающего процесса в случае ненулевой его плот-

ности. К тому же известно, что к одному и тому же

H₌ T H^IniT^† - iℏT

T†.

кинетическому уравнению для матрицы плотности

открытой системы приводят разные модели случай-

Разложим

H и S в ряд по взаимодействию с ва-

ности его окружения, и весь вопрос состоит в наи-

куумным и классическим полями:

429

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

S =S⁽¹⁰⁾ +S⁽⁰¹⁾ +S⁽¹¹⁾ +S⁽²⁰⁾ +...,

можно налагать на исходные начальные вектора со-

стояния или на преобразованные вектора состояний.

H= H(00)+ H(10)+ H(01)+ H(11)₊

Возникающие здесь различия ярко иллюстрирует

модельная задача, рассмотренная в работе [14].

+ H⁽²⁰⁾ +

H (02)₊ . . .

В результате несложных вычислений, детали ко-

Здесь левый индекс каждой пары верхних индек-

торых в других условиях можно найти в работах

сов описывает порядок по константе связи с кванто-

[1, 5, 31-34], получаем (в представлении взаимодей-

ванным полем, а правый — с классическим полем.

ствия, что отмечаем явным написанием аргументов

Реально порядок взаимодействия с полями опреде-

в эффективном гамильтониане)

ляется отношением энергии взаимодействия с полем

∑

к энергии кванта резонансного перехода.

H (10)(t)=-

Γ_qb_qd₂₁ exp[-i(ω_q - Ω₂₁)t] ×

С учетом формулы Бейкера - Хаусдорфа нетруд-

но получить

× |E₂〉(j)〈E₁|(j) + H.c.,

H (00)=HA+HF ,

(7)

∑

[

]

H (01)(t)=-d21 exp(iΩ₂₁t)

|E₂〉(j)〈E₁|(j) ×

dS⁽¹⁰⁾

H (00)

H (10)=HQ- i S⁽¹⁰⁾,

+ℏ

(8)

∫

× cω exp(-iωt)dω + H.c.,

[

]

dS⁽⁰¹⁾

H (01)=HCl- i S⁽⁰¹⁾,

H (00)

+ℏ

(9)

[

]

H (11)(t)=

i [

H (11)=-

S⁽¹⁰⁾, HCl -

S⁽¹⁰⁾,

H (01)

∫

∑

[

]

= Γ_qb_q dω c∗ω exp[-i(ω_q - ω)t] ×

i [

S⁽⁰¹⁾, HQ -

S⁽⁰¹⁾,

H (10)

jqk

[

]

dS⁽¹¹⁾

(Π_k(ω_q) + Π_k(ω)) |E_k〉(j)〈E_k|(j) + H.c.,

−i S⁽¹¹⁾,

H (00)

+ℏ

(10)

[

]

∑

i [

H (20)(t)=

H (20)=-

H (10)

Γ_qΓ_q′ b†qb_q′ exp[i(ω_q′ - ω_q)t] ×

S⁽¹⁰⁾, HQ -

S⁽¹⁰⁾,

jqq

′

[

]

dS⁽²⁰⁾

∑

H (00)

−i S⁽²⁰⁾,

+ℏ

(11)

(Π_k(ω_q) + Π_k(ω_q′)) |E_k〉(j)〈E_k|(j),

[

]

∑

i [

H (02)=-

H (01)

S⁽⁰¹⁾, HCl -

S⁽⁰¹⁾,

H (02)(t)= I(t)

Π_k(Ω₂₁)|E_k〉(j)〈E_k|(j),

[

]

dS⁽⁰²⁾

−i S⁽⁰²⁾,

H (00)

+ℏ

(12)

∑

Эти простые формулы заменяют несколько стра-

V^Ex = - Γ^2q

^′ |E_k〉(i)〈E_j |(i)|E_j 〉(i′)〈E_k|(i′) ×

ниц вычислений [16] по методу усреднения. Ведущей

i=i^′,kj

идеей для нахождения слагаемых S(ij) и эффектив-

|d_kj |²

ного гамильтониана

ℏ(ω_q - Ω_kj )

H^Eff =

H (00)+ H(01)+ H(10)+ H(11)+ H(20)+ H(02)

(

)

∑

|d_kj |²

Π_k(ω) =

служит отсутствие быстро меняющихся во време-

ℏ

Ω_kj + ω

Ω_kj - ω

ни слагаемых в

H (ij) в представлении взаимодей-

E_k - E_j

ствия. Заметим, что естественное требование алгеб-

Ω_kj =

I(t) = |E(t)|².

раической теории возмущений отличает подход ра-

ℏ

бот [4, 5, 19] от других подходов к построению эф-

Мы не стали выписывать в выражении для

фективного гамильтониана теории открытых кван-

⁽²⁰⁾(t) получающееся слагаемое H^Lamb(t), описы-

товых систем [28-30]. В случае открытых систем от-

вающее лэмбовские сдвиги уровней. Его учет состо-

личия связаны с марковскими условиями, которые

ит в переопределении энергий квантовых уровней

430

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Невинеровская динамика открытых систем.. .

∑

[1, 2, 20, 21]. Другое слагаемое, которое также отно-

|E₁〉(i)〈E₂|(i),

|E_k〉(i)〈E_k|(i)

сится к

H (20)(t) согласно формуле (11), записано от-

дельно в виде V^Ex.

удобно выражать через образующие R_± и R₃ алгеб-

Эффективный гамильтониан определяет уравне-

ры SU(2):

ние Шредингера для преобразованного волнового

∑

вектора |ΨA+F 〉 и преобразованного оператора эво-

R_- =

|E₁〉(i)〈E₂|(i), R₊ =

|E₂〉(i)〈E₁|(i),

люции

^Ũ (t, t₀),

(

)

[

∑

dŨ(t, t₀)

H (10)(t)+ H(01)(t)+ H(20)(t)+

R₃ =

|E₂〉(i)〈E₂|(i) - |E₁〉(i)〈E₁

|(i)

iℏ

]

+ H⁽¹¹⁾(t) +

H (02)(t)+V Ex

^Ũ (t, t₀),

(13)

При этом

с начальным условием

^Ũ (t₀, t₀) = 1.

[R₃, R_±] = ±R_±,

[R₊, R_-] = 2R₃

В марковском приближении в силу особеннос-

)

тей теории случайных процессов [13] уравнение (13)

∑(

|E₂〉(i)〈E₂|(i) + |E₁〉(i)〈E₁

|(i)

=N_a,

становится неопределенным и приобретает коррект-

ный статус при формулировке на его основе стоха-

где N_a — число атомов в ансамбле, которое считаем

стического дифференциального уравнения (СДУ).

неизменным.

Мы проследим этапы формулировки различных

H (10)(t),

H (01)(t),

СДУ при выражении слагаемых

H (20)(t),

H (11)(t) и

H (02)(t) эффективного гамиль-

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫМИ

тониана через случайные процессы. При этом ве-

ПРОЦЕССАМИ СЛАГАЕМЫХ ПЕРВОГО

личины E(t) и I(t), определяющие взаимодействие

ПОРЯДКА ЭФФЕКТИВНОГО

атомной системы с классическим шумовым полем,

ГАМИЛЬТОНИАНА ПО

будем рассматривать как независимые.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ С

Чтобы ввести стандартные случайные процессы

ШИРОКОПОЛОСНЫМ ВАКУУМНЫМ

и оперировать удобной алгеброй их дифференциа-

ПОЛЕМ С НЕНУЛЕВОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

лов, уравнение (13) необходимо привести к безраз-

ФОТОНОВ

мерному виду. В случае невинеровской динамики в

Упростим слагаемые

H (10)(t) и

H (01)(t) эффек-

качестве безразмерного времени удобно брать вели-

тивного гамильтониана и представим их в марков-

чину τ = Ω₂₁t. Динамика атомов в поле широкопо-

ском приближении в терминах случайных процес-

лосного электромагнитного вакуума с нулевой плот-

сов. Основным требованием, предъявляемым к слу-

ностью фотонов определяется безразмерными вели-

чайным процессам, моделирующим вакуумное со-

чинами, приведенными в работах [1-3,20,21]. Учет

стояние электромагнитного поля, является их ста-

классического поля мы проводим на феноменоло-

ционарность.

гическом уровне, и от него в конечных формулах

В случае слагаемого

H (01)(t) и классического

остается только единственный параметр, пропорци-

электромагнитного поля E(t), введенного для опи-

ональный плотности фотонов, который будет вхо-

сания ненулевой плотности фотонов исходного ва-

дить в выводимое кинетическое уравнение пример-

куумного электромагнитного поля, стационарность

но так же, как и в уравнения (1)-(4). Поэтому все

выражается в том, что коррелятор 〈E(t)E^∗(t^′)〉 =

размерные соотношения могут быть восстановлены

= g(t - t^′) зависит только от разности времен t - t^′.

на основе соотношений работ [1-3, 20, 21]. Безраз-

Также естественным требованием является равен-

мерные время и параметр, описывающий плотность

ство нулю средней амплитуды электромагнитного

фотонов, будем обозначать теми же буквами, что и

поля, 〈E(t)〉 = 0.

размерные. Остальные величины войдут как пара-

Стационарность влечет за собой некорре-

метры теории. Там, где введены параметры теории

лированность

(независимость)

спектральных

и основные случайные процессы, все величины, вхо-

компонент c_ω:

дящие в формулы, считаем безразмерными, связан-

ными с размерными формулами работ [1-3, 20, 21].

〈c_ωc^∗ω′ 〉 = δ(ω - ω^′)S(ω).

Заметим, что для компактной записи эффектив-

ного гамильтониана коллективные атомные опера-

Здесь S(ω) — спектр мощности классического элект-

торы

ромагнитного поля E(t).

431

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Примем естественное приближение S(ω) = const

Здесь, для общности, введен хронологический опе-

для спектрального диапазона с центральной часто-

ратор T и константа связи (параметр теории) κ_cl.

той, равной частоте перехода Ω₂₁ между рассмат-

Чтобы в дальнейшем развивать теорию с таким слу-

риваемыми уровнями |E₁〉 и |E₂〉, и распространим

чайным процессом необходимо разумное определе-

его на всю область спектра (приближение Найквис-

ние интеграла.

та). Тогда нетрудно заметить, что в соответствую-

Если обычным образом определить интеграл

щей нормировке имеем

∫ ^t G(t^′)dW(t^′) как предел частичных сумм

〈E(t)E^∗(t^′)〉 = nδ(t - t^′),

∑

S_n = G(τ_i)[W(t_i) - W(ti-1)] ,

и можно потребовать, чтобы величина n ≥ 0, долж-

i=1

ным образом приведенная к безразмерному виду,

то результат будет зависеть от конкретного выбо-

строго равнялась безразмерной плотности фотонов

ра промежуточных точек τ_i на интервалах разбие-

исходного широкополосного квантованного электро-

ния ti-1 ≤ τ_i ≤ t_i. В этом нетрудно убедиться на

∫t

магнитного поля (n > 0 при ненулевой температу-

примере интеграла

W_j(t^′)dW_j(t^′), если исполь-

ре).

зовать одно из основных свойств винеровского про-

Величина

цесса W (t) — статистическую независимость прира-

щений W (t_i) - W (ti-1) друг от друга. Для так на-

∫

зываемых неупреждающих функций G(t), статисти-

E (t^′) dt^′ = W (t) = W₁(t) + exp(iϕ₀)W₂(t)

чески независимых в момент времени t от будуще-

го поведения винеровского процесса, удобен и само-

(ϕ₀ — постоянная фаза), представленная через дей-

согласован выбор Ито τ_i = ti-1. При этом предел

ствительную и мнимую части, непрерывна, но ниг-

интегральных сумм понимается как среднеквадра-

де не дифференцируема. Разными способами мож-

тичный предел. Тогда можно ввести согласованные

но показать, что плотность функции распределе-

дифференциалы Ито:

ния вероятности ρ(w_j , t) величин W_j (t) удовлетво-

dW (t) dW^∗(t) = (D₁ + D₂) dt ≡ n dt,

ряет кинетическому уравнению (уравнению Фокке-

dW (t) dW (t) = [D₁+D₂ exp(2iϕ₀)] dt ≡ s_qdt,

(15)

ра - Планка)

dW (t) dt = dt dt = 0,

〈dW (t)〉 = 0,

∂ρ(w_j , t)

∂²ρ(w_j, t)

D_j

где

∂t

∂w2j

|s_q| ≤ n.

(16)

с решением

[

]

Здесь дифференциальные соотношения следует по-

(w_j - w0j )²

ρ(w_j , t|w0j , t₀) =

√

exp -

нимать как выполнение интегральных равенств ти-

2π(t - t₀)

2D_j(t - t₀)

па (для любых неупреждающих функций G(t^′))

для начального условия ρ(w, t₀|w₀, t₀) = δ(w - w₀).

∫

Величину W (t) называют (нестандартным) комп-

G(t^′) dW (t^′) dW^∗(t^′) = n G(t^′) dt^′.

лексным винеровским процессом.

В приближении Найквиста уравнение (13), даже

Заметим, что СДУ и его решение определяют-

в случае только одного классического поля и

ся через интегральное уравнение (14). Для совре-

H (10)(t)+ H(20)(t)+ H(11)(t)+ H(02)(t)+V Ex_≡ 0,

менной математики характерно сначала определить

интеграл по мере, а потом — производные.

оказывается математически неопределенным. Но

Вывод СДУ для оператора эволюции состоит в

можно строго определить его интегральный вари-

определении дифференциала Ито:

ант

⎡

dU(t) = U(t + dt) - U(t) =

∫t

= {exp(-iκ_cl [R₊dW(t)+R_-dW^∗(t)] -1)}U(t) =

U (t) - U(t₀) = T exp^⎣-iκ_clR₊ dW (t) -

κ2cldt

= -iκ_cl [R₊dW(t)+R_-dW^∗(t)] U(t) -

⎤

∫^t

[

]

(R₊R_-+R_-R₊)n+R_-R_-s^∗q + R₊R₊s_q

− iκ_clR_- dW^∗(t)⎦.

(14)

× U(t).

(17)

432

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Невинеровская динамика открытых систем.. .

∞

∫

Здесь использована алгебра (15). В уравнениях (14)

b(t) =

√

dω e-i(ω-1)tb_ω,

и (17) в принципе отсутствует какая-либо отстрой-

2π

ка, поскольку, в предположении широкополосности

-∞

(18)

спектра внешнего электрического поля, его цент-

∫t

ральная частота будет всегда в резонансе.

B(t) = dt^′b(t^′), dB(t) = B(t + dt) - B(t),

Уравнение (17) представляет собой классическое

СДУ винеровского типа.

аналогично случаю классического поля. Также ана-

Чтобы свести к СДУ уравнение Шредингера в

логично определяется интеграл в смысле Ито:

случае квантованного поля с оператором взаимодей-

H (10)(t),

ствия атомного ансамбля с полем в виде

∫

необходимо сначала в соответствующих слагаемых

∑

ϕ(t^′) dB(t^′) = lim

ϕ(ti-1) [B(t_i)-B(ti-1)] .

для эффективного гамильтониана перейти от сум-

N →∞

i=1

мирования по волновому вектору к интегрированию

по частоте. Здесь, в случае локализованного атомно-

Алгебра Ито операторов dB(t) и dB^†(t) дается соот-

го ансамбля возникают три основных модели кван-

ношениями

тованного электромагнитного поля

— сферичес-

ки-симметричная, одномерная и однонаправленная

dB(t) dB^†(t) = dt, dB^†(t) dB(t) = 0,

[1-3,35]. Марковское приближение предполагает от-

dB(t) dB(t) = dB^†(t) dB^†(t) = 0,

сутствие частотных зависимостей в интегралах эф-

(19)

фективного гамильтониана у всех входящих вели-

dB(t) dt = dB^†(t) dt = dt dt = 0,

чин, кроме операторов рождения и уничтожения и

〈dB(t)〉 = 〈dB^†(t)〉 = 0.

временных экспонент. В результате

H (10)(t)длявсех

моделей можно записать единым образом в виде

Квантовое СДУ для дифференциала Ито dU(t) =

∫

= U(t+dt) -U(t) следует из формального решения

(

)

κ_q

H (10)(t)=

√

dω b^†ωR_-ei(ω-1)t+b_ωR₊

e-i(ω-1)t

⎛

⎞

2π

∫

U (t) = T exp^⎝-i H⁽¹⁰⁾(t^′) dt⎠ .

Здесь, в соответствии с принятым соглашением, все

величины безразмерные, поэтому вместо частоты

атомного перехода Ω₂₁ в показателях экспонент по-

Если теперь записать СДУ при наличии и кван-

явилась единица. Операторы b_ω и b^†ω удовлетворяют

тованного поля, и классического, то дополнительно

коммутационному соотношению [b_ω, b^†ω′] = δ(ω - ω^′).

необходимы условия

Величина κ_q есть константа связи атома с кванто-

ванным электромагнитным полем и в размерных ве-

dB(t) dW (t) = dB^†(t) dW (t) = 0,

личинах представляется как

√

отражающие независимость квантовых и классиче-

2Ω₂₁d₁₂

κ_q =

√

ского случайных процессов.

μc3/2

ℏ

В результате обсуждаемого представления

квантованного широкополосного вакуумного по-

Параметр μ ∼ 1 введен в работах [1-3,35] для уче-

ля с ненулевой плотностью фотонов (как суммы

та различных геометрий квантованного электромаг-

квантованного поля с нулевой плотностью фотонов

нитного поля.

и классического шумового поля) эффективный

Марковское условие предполагает также выпол-

гамильтониан первого порядка по константам

нение соотношений

связи,

H (10)(t)+ H(01)(t),

〈b_ωb^†ω′ 〉 = δ(ω - ω^′),

и квантовое СДУ для оператора эволюции,

〈b^†ωb_ω′ 〉 = 〈b_ωb_ω′ 〉 = 〈b^†ωb^†ω′ 〉 = 〈bω〉 = 〈b^ω〉 = 0,

⎛

⎞

∫

{

}

где среднее берется по начальному (преобразован-

U (t) = T exp^⎝-i

H (10)(t′)+ H(01)(t′₎ dt^′⎠ ,

ному) состоянию.

Теперь введем квантовые рождающий B^†(t) и

уничтожающий B(t) процессы,

получаем в виде

433

ЖЭТФ, вып. 3

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

[

]

H (10)(t)+ H(01)(t) dt = κ_qR_-dB^†(t) +

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫМИ

ПРОЦЕССАМИ СЛАГАЕМЫХ ВТОРОГО

+κ_qR₊dB(t) + κ_clR₊dW(t) + κ_clR_-dW^∗(t),

ПОРЯДКА ЭФФЕКТИВНОГО

[

]

ГАМИЛЬТОНИАНА ПО

dU(t) = -iκ_q

R₊dB(t) + R_-dB^†(t)

U (t) -

ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ С

κ2qdt

(20)

ШИРОКОПОЛОСНЫМ ВАКУУМНЫМ

R₊R_-U(t) - iκ_cl [R₊dW(t) +

ПОЛЕМ С НЕНУЛЕВОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

κ2cldt

ФОТОНОВ

+ R_-dW^∗(t)] U(t)-

[(R₊R_-+R_-R₊)n +

]

Слагаемое второго порядка по константе взаимо-

+R_-R_-s^∗q + R₊R₊s_q

U (t).

действия с классическим электромагнитным полем,

H (02)(t), описывает высокочастотный штарк-эф-

При этом нетрудно убедиться, что выполнено пра-

вило дифференцирования Ито:

фект

[16]

— сдвиг энергий атомных уровней.

Штарковский сдвиг энергий атомных уровней воз-

(

)

никает у каждого атомного энергетического уровня

U (t)U^†(t)

= (dU(t))U^†(t) + U(t)dU^†(t)+

в любом нерезонансном (и резонансном) поле.

+ (dU(t)) (dU^†(t)) = 0.

Физический смысл величины

H (02)(t) и требова-

ние ее стационарности говорит о возможности пред-

Кинетическое уравнение для матрицы плотности

ставления

H (02)(t) через (составной) классический

всей рассматриваемой системы, ρ(t) = |Ψ(t)〉〈Ψ(t)|,

пуассоновский процесс. Будем считать, что величи-

получается в результате цепочки преобразований:

на I(t) не зависит от введенного в предыдущем раз-

деле случайного винеровского процесса W (t) и опре-

dρ(t) ≡ ρ(t + dt) - ρ(t),

деляется своим действительным винеровским про-

ρ(t + dt) = |Ψ(t + dt)〉〈Ψ(t + dt)| =

цессом W^St(t):

= U(t + dt)|Ψ(0)〉〈Ψ(0)|U^†(t + dt),

(21)

W^St(t) ∼ I(t) - 〈I(t)〉.

(22)

dρ(t) = dU(t)|Ψ(0)〉〈Ψ(0)|U^†(t) +

При этом величину 〈I(t)〉Π_k (Ω₂₁) включаем в зна-

+U(t)|Ψ(0)〉〈Ψ(0)|dU^†(t)+

чения перенормированных атомных энергий. Остав-

+ dU(t)|Ψ(0)〉〈Ψ(0)|dU^†(t).

шуюся часть

H (02)(t) обозначаем как

H⁽⁰²⁾(t) и счи-

таем, что

В результате, если ограничиваться только слагае-

мыми первого порядка по взаимодействию атомной

∑

H(02)(t) dt = dWSt(t)

κ^Stk|E_k〉(j)〈E_k|(j).

(23)

системы с полями, получается (после усреднения по

j,k

состоянию полей) кинетическое уравнение для мат-

рицы плотности атомной системы ρ^S в виде (1)-(4)

Здесь κ^Stk — новые параметры теории, и мы имеем

с H^Eff-S = H^Shift-S = 0 и L^S = κ_qR_- в операторе

стандартную алгебру Ито

Γ₀ρ^S и L^S = κ_clR_- в операторе

Γ_nρ^S.

Заметим, что для резонансного взаимодействия

dW^St(t) dW^St(t) = dt, dW^St(t) dt = 0,

(24)

классического электромагнитного поля с ансамблем

〈dW^St(t)〉 = 0,

двухуровневых частиц возможен отход от прибли-

причем

жения Найквиста и учет каких-либо конкретных

спектральных распределений, например, как в рабо-

dB(t) dW^St(t) = dB^†(t) dW^St(t) =

те [36]. Тогда, как видно из предыдущего и последу-

ющего рассмотрений, такие результаты войдут ад-

= dW^St(t) dW (t) = dB(t) dW (t) =

дитивно к вкладу от квантованного электромагнит-

= dB^†(t) dW (t) = 0.

(25)

ного поля, но существенно усложнят анализ. Однако

отказ от марковского приближения в случае кван-

Последние соотношения выражают взаимную ста-

тованного поля лишит возможности введения трех

тистическую независимость введенных случайных

базовых квантовых случайных процессов, алгебраи-

процессов.

ческие свойства которых позволяют полностью про-

Следует заметить, что перенормировка энергий

суммировать ряд для оператора эволюции, в резуль-

атомных уровней из-за сдвига Лэмба и штарковско-

тате чего проявится своеобразие невинеровской ди-

го сдвига в шумовых широкополосных квантован-

намики, отмеченное еще в работах [1-3].

ных и классических полях никак не сказывается на

434

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Невинеровская динамика открытых систем.. .

∞

∫

релаксационной динамике атомной системы и ника-

G^St

H (20)(t)dt=

dω b^†ωei(ω-1)t ×

ких отстроек от резонанса не возникает. Такие пара-

2π

метры появляются только при дополнительном воз-

∫

∞

действии монохроматических, одномодовых и коге-

рентных полей, которые характеризуются опреде-

× dω^′ b_ω′e-i(ω′-1)tdt ≈

ленной частотой.

Слагаемое второго порядка по константе взаимо-

∫

∞

G^St

действия с квантованным электромагнитным полем

≈

dω b^†ωei(ω-1)t ×

2π

с нулевой плотностью фотонов,

H (20)(t), описывает

-∞

штарковское взаимодействие [1-3]. Обычно им пре-

∫∞

небрегают [37], поскольку 〈

H (20)(t)〉= 0 и оно мало

× dω^′ b_ω′e-i(ω′-1)tdt = G^StdΛ(t).

(29)

по сравнению со слагаемыми первого порядка. Од-

-∞

нако в работах [1-3] показано, что его можно пред-

Здесь безразмерный параметр теории G^St связан с

ставить через квантовый считывающий процесс:

размерными параметрами соотношениями

(

)

∫^t

N_a

G^St

= η₊

+η_-R₃

η_± = 2Ω³²¹μ-2c-3Π_±,

Λ(t) = dt^′b^†(t^′)b(t^′),

Π_± = Π₁(Ω₂₁) ± Π₂(Ω₂₁),

∞

∫

где N_a — число атомов.

b(t) =

√

dω e-i(ω-1)tb_ω,

Поскольку процессы W(t) и B(t) статистически

2π

-∞

независимы и 〈dW (t)〉 = 〈dB(t)〉 = 0, величину

H (11)(t) в принятой модели естественно считать рав-

ной нулю. Даже если предположить, что

H (11)(t)=

dΛ(t) = Λ(t + dt) - Λ(t),

〈dΛ(t)〉 = 0.

(26)

= 0, то из-за наличия классической случайной ве-

личины с нулевым средним невозможно «встраива-

В отличие от классических винеровского и

ние» величины второго порядка в слагаемые пер-

пуассоновского процессов, квантовые процессы,

вого порядка, что в случае чисто квантовых слу-

им «аналогичные», оказываются взаимосвязанны-

чайных процессов обеспечивало считывающее соот-

ми [6-10]. Эта взаимосвязь выражается алгеброй

ношение dΛ(t) dΛ(t) = dΛ(t) [1-3]. Но тогда вклад

Хадсона - Партасарати [6]:

такой величины определялся бы лишь аддитивны-

ми поправками второго порядка к константам свя-

dΛ(t) dΛ(t) = dΛ(t), dΛ(t) dB^†(t) = dB^†(t),

зи (параметрам теории) выписанных выше слага-

емых

H (01)(t) и

H⁽⁰²⁾(t). Это обстоятельство про-

dB(t) dΛ(t) = dB(t), dB(t) dB^†(t) = dt,

демонстрировано нами в задаче о воздействии на

атомный ансамбль широкополосным гауссовым од-

dB^†(t) dB(t) = dB(t) dB(t) = dΛ(t) dB(t) =

нофотонным пакетом [21]. В этой работе проведен

(27)

корректный учет проявления обсуждаемого интер-

= dΛ(t) dt = dB^†(t) dΛ(t) = dB(t) dt =

ференционного взаимодействия воздействующих на

атомную систему полей и определен порядок его

= dt dt = 0,

вклада в выводимом кинетическом уравнении для

атомной подсистемы.

〈dB(t)〉 = 〈dB^†(t)〉 = 〈dΛ(t)〉 = 0.

Величина диполь-дипольного взаимодействия

Кроме указанных соотношений имеем также соотно-

атомов, V^Ex, вообще никак явно не зависит от

шения, отражающие взаимную независимость слу-

электромагнитных полей.

чайных процессов,

Таким образом, и в случае ненулевой плотнос-

ти фотонов электромагнитного вакуумного широ-

dΛ(t) dW (t) = dΛ(t) dW^St(t) = 0.

(28)

кополосного поля в марковском приближении эф-

фективный гамильтониан взаимодействия атомно-

В марковском приближении представление ве-

го ансамбля с таким полем выражается через кван-

личины

H (20)(t) через считывающий процесс имеет

товые и классические случайные процессы, диффе-

вид

ренциалы Ито которых подчиняются алгебрам (19),

435

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

(24), (25), (27), (28). Это позволяет стандартны-

порядка по константе связи. Слагаемые второго по-

ми методами получить кинетическое уравнение для

рядка, определяемые квантовым считывающим про-

атомной системы.

цессом, дифференциал Ито dΛ(t) которого (совмест-

но с дифференциалами dB(t) и dB^†(t)) подчиня-

ется нетривиальной алгебре Хадсона - Партасарати,

5. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

встраиваются в слагаемые первого порядка (помимо

АТОМНОГО АНСАМБЛЯ,

отдельного вклада). В то же время новый случай-

РЕЗОНАНСНО-ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО

ный процесс W^St(t), введенный для описания дина-

С ШИРОКОПОЛОСНЫМ ВАКУУМНЫМ

мического эффекта Штарка, вследствие своей неза-

ПОЛЕМ С НЕНУЛЕВОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

висимости от других процессов обусловливает толь-

ФОТОНОВ

ко аддитивный вклад в СДУ.

Все слагаемые эффективного гамильтониана,

СДУ для оператора эволюции определяет СДУ

представленные через случайные процессы, адди-

для матрицы плотности всей рассматриваемой сис-

тивно входят в дифференциал Ито оператора эво-

темы. После усреднения по случайным процессам,

люции, записанного в экспоненциальной форме:

описывающим электромагнитные поля, из СДУ для

{

[

(

матрицы плотности атомного ансамбля и его элект-

H (10)(t)+ H(01)(t)

dU(t) = exp -i

ромагнитного окружения получается кинетическое

)

]

}

уравнение для матрицы плотности только атомного

+ H⁽²⁰⁾(t) +

H (02)(t)+V Ex dt

-1

U (t).

ансамбля. Согласно общему утверждению, оно име-

ет форму Линдблада и записывается в виде (1) со

Нетривиальные результаты появляются здесь после

следующим эффективным гамильтонианом и релак-

разложения экспоненты с использованием алгебры

сационным оператором

^Γρ^S (в представлении взаи-

(19), (24), (25), (27), (28). Эти результаты отлича-

модействия, аргумент t опущен):

ются от известных учетом невинеровской динамики

в поле с ненулевой плотностью фотонов. Приведем

H^Eff-S = V^Ex,

СДУ для оператора эволюции:

dρ^S

[

]

ρ^S, H^Eff-S

- Γρ^S ,

dU(t) = -iV^Exdt U(t) + G^edΛ(t)U(t) +

ℏ

[

]

i [

G^e + iG^St

G^e

^Γρ^S = -

ρ^S, H^Shift-S

+Γ_non-Wρ^S +

+ κ²R+

R_-dt + κ_qR₊

dB(t) +

non-W

ℏ

(G^St)²

G^St

]

+Γnρ^S +

Γ_Dρ^S,

κ_qR_-dB^†(t) U(t)-

sinG^St - G^St

G^St

H^Shift-S = κ²

R₊

R_-,

(G^St)²

− iκ_cl [R₊dW(t) + R_-dW^∗(t)] U(t)-

κ2cldt

Γ_non-W ρ

^S =

LS+non-W L^Snon-W ρ^S +

[(R₊R_- + R_-R₊)n +

]

+ R_-R_-s^∗q + R₊R₊s_q

U (t) -

+2ρSL^non-WL^non-W -Lnon-Wρ^SL^non-W,

∑

G^e

- idW^St(t)

κ^Stk|E_k〉(j)〈E_k|(j)U(t)-

L^S

non-W

=κ_q

R_-,

G^St

j,k

1 - cosG^St

∑

LS+non-W L^Snon-W = 2κ²

R₊

R_-,

(κ^Stk)²|E_k〉(j)〈E_k|(j)U(t).

(30)

(G^St)²

j,k

⁽1

Γ_nρ^S = n

LS+L^Sρ^S +

ρ^SLS+L^S -

Здесь G^e = exp(-iG^St). В частном случае G^St ≡ 0

)

⁽1

операторные множители равны

-L^Sρ^SLS+

+s_q

LS+LS+ρ^S +

)

G^e + iG^St

G^e = 0,

= -i,

ρ^SLS+LS+ - LS+ρ^SLS+

G^St

(G^St)²

)

Эти формулы позволяют проследить, как добавле-

⁽1

L^SLS+ρ^S +

ρ^SL^SLS+ - LS+ρ^SL^S

ние слагаемых второго порядка по константе свя-

)

зи с полями меняет СДУ для оператора эволюции

⁽1

+s^∗q

L^SL^Sρ^S +

ρ^SL^SL^S - L^Sρ^SL^S

(20), в котором учтены только слагаемые первого

436

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Невинеровская динамика открытых систем.. .

L^S = κ_clR_-,

никающем в обычной теории коллективного спон-

∑

танного излучения в виде оператора

Γ₀ρ^S [38].

^[1

Γ_Dρ^S =

(L^SDk)²ρ^S +

ρ^S(L^SDk)² -

(31)

]

∑

6. ОБ ЭФФЕКТЕ ПОДАВЛЕНИЯ

-L^SDkρ^SL^S

L^SDk = κ^Stk

|E_k〉(j)〈E_k|(j).

КОЛЛЕКТИВНОЙ РЕЛАКСАЦИИ В

ВАКУУМНОМ ПОЛЕ С НЕНУЛЕВОЙ

ПЛОТНОСТЬЮ ФОТОНОВ

Оператор

Γ_non-W ρ^S отвечает за эффект стаби-

лизации возбужденного состояния атомного ансамб-

Предпринятое исследование помимо учета нену-

ля и подавление коллективного спонтанного излу-

левой плотности фотонов вакуумного поля мотиви-

чения. Он обязан квантовому характеру широкопо-

ровалось желанием выяснить, повлияет ли на эф-

лосного вакуумного электромагнитного поля. Учет

фект подавления коллективного излучения ненуле-

второго порядка по константе связи с квантован-

вая температура вакуумного поля. Чтобы отчетли-

ным вакуумным полем обусловил появление в зада-

во увидеть ответ на этот вопрос, запишем уравнения

че квантового считывающего процесса (с дифферен-

(1) и (31) для диагональных матричных элементов

циалом Ито dΛ(t)), определившего отличие операто-

матриц плотности в базисе коллективных перемен-

ра Линдблада L^Snon-W от L^S . Несмотря на малость

ных |m〉:

по сравнению со слагаемыми первого порядка (про-

R₃|m〉 = m|m〉,

-r ≤ m ≤ r.

порциональными dB(t) и dB^†(t)), слагаемые второго

порядка начинают играть роль с увеличением числа

Здесь r — параметр, характеризующий неприводи-

атомов N_a в ансамбле вследствие «считывающего»

мое представление алгебры угловых моментов SU(2)

соотношения

для описания симметричных состояний ансамбля из

2r = N_a одинаковых атомов [38]. Состояние ансам-

dΛ(t) dΛ(t) = dΛ(t).

бля из полностью возбужденных квантовых частиц

дается вектором |r〉, а состояние ансамбля, все час-

Мы уже говорили об «интерференционной» интерп-

тицы которого находятся в основном состоянии, —

ретации эффекта подавления коллективной релак-

вектором | - r〉.

сации. Сам эффект обусловливает также коллектив-

В отсутствие иных, кроме рассмотренных, воз-

ный сдвиг энергии атомных уровней H^Shift-Snon-W .

действующих полей система уравнений для диа-

Оператор

Γ_nρ^S есть и в классической, и в кван-

гональных элементов образует замкнутую систему

товой интерпретации вакуумного широкополосного

уравнений. Поэтому вывод, который представляется

поля как винеровского процесса. Он обусловлива-

очевидным и оправдывает название, состоит в том,

ет вынужденные резонансные переходы между рас-

что релаксационный оператор

Γ_Dρ^S не входит в сис-

сматриваемыми уровнями |E₁〉 и |E₂〉, и единствен-

тему уравнений для диагональных матричных эле-

ным различием в случае классической интерпрета-

ментов как для коллективных состояний, так и для

ции является условие |s_q| ≤ n (16) вместо |s_q| ≤

независимых атомных состояний.

√

≤

n(n + 1).

Кинетические уравнения, отвечающие соотноше-

Оператор

Γ_Dρ^S описывает чистую дефазировку

ниям (1) и (31) для диагональных матричных эле-

атомных состояний за счет шума в сдвиге атомных

ментов, можно записать в виде

энергий из-за высокочастотного эффекта Штарка.

dρ_mm

1 - cos(η₊N_a/2)

Важно подчеркнуть, что в суммировании по k в

= -2κ²gmm-1

ρ_mm +

dτ

(η₊N_a/2)²

выражении для

Γ_Dρ^S эффективно важны только

два рассматриваемых уровня и атомный операторы

1 - cos(η₊N_a/2)

+ 2κ²gm+1m

ρm+1m+1 -

можно выразить через R₃.

(η₊N_a/2)²

В отличие от предыдущих исследований полу-

− 2κ2cln(r²-m² + r)ρ_mm+κ2cln(r+m)(r-m+1)×

ченный результат (1) и (31) отвечает учету как вза-

× ρm-1m-1 + κ2cln(r-m)(r+m+1)ρm+1m+1,

(32)

имодействия с вакуумным широкополосным полем

до второго порядка включительно, так и ненуле-

где

вой плотности фотонов вакуумного поля. Последнее

проявилось в наличии операторов релаксации

Γ_nρ^S

gmm-1 = 〈m|R₊|m - 1〉〈m - 1|R_-|m〉 =

и Γ_Dρ^S, причем учет второго порядка отразился и

= (r + m)(r - m + 1).

на «ведущем» операторе релаксации

Γ_non-W ρ^S, воз-

437

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Здесь безразмерное время обозначено как τ = Ω₂₁t,

динамику ансамблей одинаковых квантовых час-

а другие безразмерные параметры связаны с раз-

тиц в вакуумных широкополосных полях с ненуле-

мерными при помощи соотношений, которые были

вой плотностью квантов в рамках как кинетичес-

определены выше. Для простоты положено η_- =

кого уравнения, так и подхода на основе стохасти-

= 0, что отвечает предположению о равенстве

ческих дифференциальных уравнений. Существен-

штарковских параметров рассматриваемых уров-

ным ограничением такого подхода остается учет

ней: Π₁(Ω₂₁) = Π₂(Ω₂₁).

пространственной распределенности ансамбля кван-

Из уравнения (32) следует, что в условиях полно-

товых частиц. В случае нулевой плотности фотонов

го подавления коллективной релаксации, например

возможный подход к указанной проблеме представ-

при числе атомов ансамбля и его параметрах, удо-

лен в работе [39]. Случай ненулевой плотности кван-

влетворяющих соотношению η₊N_a/2 = 2π, динами-

тов и пространственной распределенности ансамбля

ке атомного ансамбля отвечает простое уравнение,

квантовых частиц нуждается в отдельном анализе.

описывающее коллективный распад в чисто класси-

Другим неясным моментом представленной тео-

ческом шумовом поле:

рии является описание случаев сжатого квантован-

ного электромагнитного поля с ненулевой плотнос-

dρ_mm

тью фотонов, когда параметр сжатия s_q находится

= -2κ2cln(r² - m² + r)ρ_mm +

dτ

в диапазоне

+ κ2cln(r + m)(r - m + 1)ρm-1m-1 +

√

n<s_q ≤

n(n + 1) .

(34)

+ κ2cln(r - m)(r + m + 1)ρm+1m+1.

(33)

Можно, конечно, просто снять ограничение 0 ≤ s_q ≤

Если далее следовать стандартной полукласси-

≤ n, распространив его, как в случае винеровской

ческой теории сверхизлучения [38], то средняя энер-

динамики, на область (34). Однако указанное раз-

гия атомного ансамбля,

личие в описании квантового сжатия и его моде-

лирования сжатием классического поля указывает

∑

на необходимость строгого математического обосно-

〈E^A〉 =

E_mρ_mm,

вания предложенного представления квантованного

m=-J

широкополосного поля с ненулевой плотностью фо-

со временем не меняется. Согласно уравнениям (1),

тонов как суперпозиции квантованного широкопо-

(32), с параметрами

лосного поля с нулевой плотностью фотонов и клас-

сического дельта-коррелированного шумового поля.

H^Eff-S = H^Shift-Snon-W =

Γ_non-W =

Γ_D = 0

Вместе с тем предложенная модель равновесно-

го квантованного широкополосного электромагнит-

интенсивность излучения ансамбля равна

ного поля как окружения открытой системы в ви-

де суммы квантованного электромагнитного поля

d〈E^A〉

I(t) = -

= 0.

и классического шумового электромагнитного поля,

позволяет описать ее эволюцию в условиях невине-

При этом меняется распределение энергии по под-

ровской динамики. В частности, мы показали, что

уровням, но в контексте влияния на эффект подав-

основные механизмы невинеровской динамики дей-

ления коллективного излучения это представляется

ствуют независимо от широкополосной классиче-

не столь важным.

ской составляющей.

Таким образом, из полученных уравнений сле-

дует, что ненулевая плотность фотонов электромаг-

нитного вакуума меняет распределение по подуров-

ЛИТЕРАТУРА

ням при невинеровской коллективной динамике, но

сохраняет, хотя бы для рассмотренных значений па-

1. A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

раметров, эффект подавления коллективного излу-

2. А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 94, 28 (2011).

чения атомного ансамбля.

3. А. М. Башаров, ЖЭТФ 140, 431 (2011).

4. А. М. Башаров, А. И. Маймистов, Э. А. Маныкин,

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЖЭТФ 84, 487 (1983).

Представленные результаты исследования поз-

5. A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Op-

воляют анализировать невинеровскую резонансную

tical Waves, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1999).

438

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Невинеровская динамика открытых систем.. .

R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Comm. Math.

22.

B. Q. Baragiola, R. L. Cook, A. M. Branczyk, and

Phys. 93, 301 (1984).

J. Combes, Phys. Rev. A 86, 013811 (2012).

А. С. Холево, Итоги науки и техн., сер. Соврем.

23.

A. Dabrowska, G. Sarbicki, and D. Chruscinski, Phys.

пробл. мат. Фунд. направления 83, 5 (1991).

Rev. A 96, 053819 (2017).

В. П. Белавкин, УМН 47, 47 (1992).

24.

B. Q. Baragiola and J. Combes, Phys. Rev. A 96,

023819 (2017).

В. П. Белавкин, ТМФ 110, 46 (1997).

25.

H. S. Zenga, N. Tang, Y. P. Zheng, and T. T. Xu,

10.

A. M. Chebotarev, Lectures on Quantum Probability,

Eur. Phys. J. D 66, 255 (2012).

Sociedad Mathematica Mexicana (2000).

26.

J. Larson, Phys. Rev. Lett. 108, 033601 (2012).

11.

C. W. Gardiner and M. J. Collet, Phys. Rev. A 31,

3761 (1985).

27.

Q.-H. Chen, T. Liu, Y.-Y. Zhang, and K.-Lin. Wang,

Europhys. Lett. 96, 14003 (2011).

12.

C. W. Gardiner, Phys. Rev. Lett. 56, 1917 (1986).

28.

M. Bonitz, Quantum Kinetic Theory, Springer, Berlin

13.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

(2016).

ger-Verlag, Berlin (2004).

29.

H.-P. Breuer and F. Petruccione, Theory of Open

14.

A. M. Basharov, J. Phys.: Conf. Ser. 859, 012003

Quantum Systems, OUP, Oxford (2002).

(2017).

30.

L. Accardi, Y. G. Lu, and I. Volovich, Quantum Theo-

15.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимп-

ry and its Stochastic Limit, Springer-Verlag, Berlin

тотические методы в теории нелинейных коле-

(2002).

баний, Физматлит, Москва (1958).

31.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 102, 1126 (1992).

16.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопу-

32.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 137, 1090 (2010).

ло, Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия

света с веществом, Наука, Москва (1977).

33.

А. И. Трубилко, ЖЭТФ 150, 649 (2016).

17.

V. N. Bogaevski and A. Povzner, Algebraic Methods

34.

А. И. Трубилко, Письма в ЖЭТФ 105, 581 (2017).

in Nonlinear Perturbation Theory, Springer, Berlin

(1991).

35.

А. М. Башаров, Опт. и спектр. 116, 2 (2014).

18.

A. Chakrabarti and R. Bhattacharyya, Phys. Rev.

36.

D. Boyanovsky and D. Jasnow, Phys. Rev. A 96,

A 97, 063837 (2018).

062108 (2017).

19.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 142, 419 (2012).

37.

К. Блум, Теория матрицы плотности и ее при-

ложения, Мир, Москва (1983).

20.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 153, 726

(2018).

38.

M. G. Benedict, Super-Radiance: Multiatomic Cohe-

rent Emission, IOP, Bristol and Philadelphia (1996).

21.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

107, 555 (2018).

39.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 153, 375 (2018).

439