ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 514-521

СЛАБЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИЗМ ВДОЛЬ ОСИ ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКА И БАЗИСНАЯ АНИЗОТРОПИЯ, ВЫЗВАННЫЕ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ДЗЯЛОШИНСКОГО - МОРИЯ

И КУБИЧЕСКИМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ

КРИСТАЛЛОВ FeBO₃

С. Г. Овчинников^*, В. В. Руденко^**, А. М. Воротынов^***

Институт физики им. Л. В. Киренского Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 3 июля 2018 г.,

после переработки 6 сентября 2018 г.

Принята к публикации 13 сентября 2018 г.

На основе спинового гамильтониана и с учетом кубического инварианта кристаллического поля и вза-

имодействия Дзялошинского - Мория слабый ферромагнитный момент вдоль оси третьего порядка и

базисная анизотропия кристаллов бората железа FeBO3 рассчитаны во втором порядке теории возму-

щения.

DOI: 10.1134/S0044451019030131

действием Дзялошинского - Мория. Расчеты были

выполнены во втором порядке теории возмущений.

Вычисленные матричные элементы, используемые в

1. ВВЕДЕНИЕ

разд. 3, представлены в Приложении. Отметим, что

Кристаллы бората железа были синтезированы

свободная энергия рассматривалась ранее в работе

довольно давно и хорошо изучены, но все же при-

[3], но в менее правильной, с точки зрения ее запи-

влекают пристальное внимание исследователей как

си, форме, чем в настоящей работе, хотя и дает тот

подходящие объекты для разработки различных мо-

же результат. Для обменного члена использовалось

делей, связанных с магнетизмом [1]. Эти кристал-

приближение молекулярного поля. Количественная

лы имеют относительно простую решетку, высокую

оценка полученных выражений для базисной гекса-

температуру Нееля, узкие линии антиферромагнит-

гональной анизотропии и слабого ферромагнитно-

ного резонанса [2] и ряд изоструктурных диамагнит-

го момента вдоль оси третьего порядка была сдела-

ных аналогов. Так (на кристаллах бората железа),

на с использованием данных электронного парамаг-

Дмитриенко с соавторами в 2014 г. впервые опре-

нитного резонанса (ЭПР) на изоструктурных бора-

делил знак и величину векторных компонент вза-

ту железа кристаллах MBO₃ + Fe³⁺ (M = Ga, In, Sc,

имодействия Дзялошинского - Мория [1]. Отметим,

Lu) (см. разд. 4). Основные результаты этой работы

что работа [1] была подтверждена и использована в

представлены в разд. 5.

нашей работе, что следует из данных расчета и экс-

перимента по гексагональной анизотропии (разд. 4).

В настоящей работе учитывается знак базисной гек-

2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

сагональной анизотропии FeBO₃ и рассчитывается

ЭНЕРГИИ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ

слабый ферромагнитный момент вдоль оси третье-

АНИЗОТРОПИИ И СЛАБОГО

ФЕРРОМАГНИТНОГО МОМЕНТА ВДОЛЬ

го порядка кристаллов FeBO₃, обусловленный вли-

ОСИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА КРИСТАЛЛОВ

янием кубического электрического поля и взаимо-

FeBO3

^* E-mail: sgo@iph.krasn.ru

^** E-mail: rvv@iph.krasn.ru

Магнитные свойства кристаллов бората железа

^*** E-mail: sasa@iph.krasn.ru

описываются свободной энергией [4]

514

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Слабый ферромагнетизм вдоль оси третьего порядка. ..

последние два члена — энергия анизотропии в плос-

кости (111); θ и ϕ представляют собой полярный и

азимутальный углы вектора L, отсчитываемого со-

ответственно от оси третьего порядка (z) и от плос-

кости симметрии кристалла (оси x) (см. рисунок).

Феноменологические выражения для эффективной

базисной анизотропии и слабого ферромагнитного

момента вдоль оси третьего порядка получены пу-

тем минимизации свободной энергии (1) по θ и M_z

и имеют вид [3, 7]

E_q sin⁶ θ cos6ϕ =

Положение 1

Положение 2

(qM)²

sin⁶ θ cos6ϕ,

(2)

Эффективные положения ионов BO3-3 и кубических осей

4M(a + d2DM /B)

электрического поля для двух неэквивалентных положений

иона M в решетке MBO3 (M = Fe, Ga, In, Lu, Sc) [5]

M_z = -

sin³ θ sin3ϕ.

Φ=

3. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ

^[1

АНИЗОТРОПИИ И СЛАБОГО

BM² +

a cos² θ + d_DM (L_xM_y - L_yM_x) +

ФЕРРОМАГНИТНОГО МОМЕНТА ВДОЛЬ

]

ОСИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА КРИСТАЛЛОВ

+ q sin3 θcosθ cos3ϕ + tMz sin3 θ sin3ϕ ;

(1)

FeBO3 НА ОСНОВЕ СПИНОВОГО

ГАМИЛЬТОНИАНА, УЧИТЫВАЮЩЕГО

ВЛИЯНИЕ КУБИЧЕСКОГО

M₁ + M₂

M₁ - M₂

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

M = 2|M₁| = 2|M₂| = NgβsB5/2(x),

ДЗЯЛОШИНСКОГО - МОРИЯ

M₁, M₂ — намагниченности подрешеток, N — чис-

Спиновый гамильтониан с учетом двух неэкви-

ло Авогадро, g — фактор спектроскопического рас-

валентных положений ионов Fe³⁺ и взаимодействия

щепления, β — магнетон Бора, S — спин иона же-

Дзялошинского - Мория имеет вид [3,8]

леза, равный 5/2, и B5/2(x) — функция Бриллю-

F_cf

a_cf

эна. Все константы в выражении (1) имеют размер-

Ĥ₌ gβH^effj s_j +

D_cf O02j +

O04j -

ность магнитного поля. Несмотря на относительно

180

[

)]

простую кристаллическую структуру FeBO₃ (струк-

√ (

× O04j-20

O34j cos3α_cfj-Õ3

sin3α_cfj

тура кальцита), поведение магнитной системы при

вращении антиферромагнитного вектора L в плос-

+ d_DM(sx1sy2 - sy1sx2).

(3)

кости (111) относительно последних двух членов в

(1) довольно сложное [3,4]. Такое сложное поведение

Здесь первый член (энергия обменного взаимодей-

(которое можно видеть, в частности, на рисунке, по-

ствия) в уравнении (3) записан в приближении мо-

казывающем распределение осей кубического кри-

лекулярного поля, s — оператор спина иона, O^mn яв-

сталла), полученное из спектров электронного пара-

ляются эквивалентными операторами спинов, фор-

магнитного резонанса (ЭПР) в кристаллах ScBO₃ +

ма и матричные элементы которых приведены, на-

+ Fe³⁺ [5] и CaCO₃ + Mn²⁺ [6], изоструктурных бо-

пример, в работах [9,10]; α_cfj является углом меж-

рату железа, характерно для эффективной базисной

ду проекциями оси кубического кристаллического

анизотропии, а также для вектора ферромагнетиз-

поля на плоскость (111) и плоскостью симметрии

ма M вдоль оси третьего порядка кристалла FeBO₃.

кристалла в положении j (рисунок, см. более по-

Первый член в уравнении (1) характеризует

дробное описание в работах [7, 8]). Второй, третий

энергию изотропного обмена в кристалле; второй —

и четвертый члены (для постоянной Гамильтониана

одноосную анизотропию; третий — взаимодействие

a_cf ) описывают взаимодействия аксиальной и куби-

Дзялошинского, приводящее к возникновению сла-

ческой симметрии. Последний член описывает взаи-

бого ферромагнетизма в базисной плоскости (111);

модействие Дзялошинского - Мория.

515

С. Г. Овчинников, В. В. Руденко, А. М. Воротынов

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Запишем обменный член в (3) в нулевом прибли-

тригонометрические функции в последнем члене

жении теории возмущений, взяв направление, опре-

уравнения (4) были опущены для простоты, пред-

деляемое углами θ_j и ϕ_j , отсчитываемое от оси тре-

ставлены в Приложении. Уровни энергии в нулевом

тьего порядка и в плоскости симметрии кристалла,

и втором приближениях теории возмущений в

соответственно, как ось квантования. Гамильтониан

отношении приведенных выше выражений имеют

во вращающейся системе координат можно записать

вид

в виде [10] с выражениями, ответственными за вза-

√

|d_DM |a_cf

имодействие Дзялошинского - Мория [11]:

Wj,±1/2 = ±

gβH^effj - s

eff

gβH

∑

× sin³ θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j),

Ĥ₌ gβH^effj s_zj +

am2jOm2j +

am4jOm4j +

√

|d_DM |a_cf

m=0

Wj,±3/2 = ±

gβH^effj + 9s

2gβH^eff

(5)

∑

ãm4j Õm4j + d_DM [(sx1sx2 cosθ₁ cosθ₂ +

× sin³ θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j),

m=1

√

|d_DM |a_cf

+ sy1sy2 + sz1sz2 sinθ1 sinθ₂)sin(ϕ₂ - ϕ₁)+

Wj,±5/2 = ±

gβH^effj - s²

eff

gβH_j

+ (sx1sz2 cos θ₁ sin θ₂ + sz1sx2 sin θ₁ cos θ₂) ×

× sin³ θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j).

× sin(ϕ₂ - ϕ₁) +

+ (sx1sy2 cos θ₁ - sy1sx2 cos θ₂) cos(ϕ₂ - ϕ₁) +

Здесь, не теряя общности с конечным результатом (в

+ (sz1sy2 sin θ₁ - sy1sz2 sin θ₂) cos(ϕ₂ - ϕ₁)].

(4)

приближении сильного обменного поля), мы предпо-

ложили sin θ₁ = sin θ₂ = sin θ_j (см. последнее слага-

Здесь знаки вращающейся системы координат опу-

емое в (4)). В выражении (5) |d_DM | = gβ|H_DM /m|,

щены для простоты, а ϕ₂ - ϕ₁ ≈ 180^◦ — разность

где |d_DM | и |m| — соответственно абсолютные зна-

между ориентациями подрешеток j = 1 и j = 2.

чения поля Дзялошинского - Мория и магнитного

Учесть слабый ферромагнитный момент вдоль оси

квантового числа. Окончательные выражения для

третьего порядка и базисную анизотропию во вто-

энергетических уровней принимают вид

ром приближении теории возмущений можно с по-

√

|H_DM |

Õ1

мощью выражений ã14j

, где

Wj,±1/2 = ±

gβH^effj - 2s

2a_cf

eff

H_j

(_√

)

ã14j = -a_cf

2/12

sin² θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j)

× sin³ θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j),

√

|H_DM |

Wj,±3/2 = ±

gβH^effj + 3s

2a_cf

плюс последний член в (4):

eff

(6)

|d_DM |(sz1sy2 sin θ₁ - sy1sz2 sin θ₂);

× sin³ θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j),

√

|H_DM |

в формулах (1)-(4) значение d_DM для FeBO₃ отри-

Wj,±5/2 = ±

gβH^effj - s

2a_cf

H^eff

цательно [1].

Выражение для энергии во втором порядке тео-

× sin³ θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j).

рии возмущений было приведено, например, в рабо-

При произвольных температурах вклад в слабый

те [12]:

ферромагнитный момент вдоль оси третьего поряд-

∑

ка и константы базисной анизотропии будет опреде-

〈m₁, m₂|

Ĥ^′′|m′1, m′2〉〈m′1, m′2|

Ĥ^′′|m₁, m₂〉

W^′′ =

ляться из свободной энергии кристалла

m′1,m′2

W0m1,m2-Wm′₁,m′

)

∑

∑ (

NkT

Wjmj

F =-

ln Z_j, Z_j =

exp

где

Ĥ ′′

— оператор возмущений,

|m₁, m₂〉 и

|m′1, m′2〉 — волновые функции ионов 1 и 2 соответ-

ственно в основном и возбужденном состояниях;

— сумма состояний j-го иона.

m₁, m₂

и m′1, m′2 имеют смысл соответствующих

Разложим экспоненциальную функцию в выра-

магнитных квантовых чисел; и знаменатель — это

жении для свободной энергии кристалла в ряд по

разность между энергией основного и возбужденно-

показателям (c(m_j )a_j (θ_j , ϕ_j , α_j ))/kT Ограничивая

го состояний в нулевом приближении. Вычисленные

рассмотрение членом линейного разложения, полу-

матричные элементы, в которых константы ã14j и

чим

516

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Слабый ферромагнетизм вдоль оси третьего порядка. ..

(

)

NkT

∑ ∑

gβH^effj m_j

ваясь рассмотрением только линейного члена, полу-

F =-

exp

чим

(

)

(

)

c_j(m_j)a_j(θ_j, ϕ_j, α_j)

∑

z2j

× 1-

F =

a_j

(8)

(7)

√

|H_DM |

a_j(θ_j, ϕ_j, α_j) = s

2a_cf

j в уравне-

Разлагая синусоидальные функции a

H^eff

ниях (6) и (7), вводя азимутальные углы ϕ + α и

× sin³ θ_j cosθ_j sin3(ϕ_j + α_j),

ϕ+π -α для вектора антиферромагнетизма анало-

c_j(m_j) имеют величины, полученные из урав-

гично [13] и суммируя по j, мы приходим к выраже-

нений

(6) и

(7). Проведя обозначения Y_j

нию

= exp(-gβH^effj /kT) и суммируя по m_j, мы пере-

√

|H_DM |

пишем выражение для F в виде

F =

2a_cf

r(Y ) sin³ θ[(cos θ₁ - cos θ₂) ×

H^eff

)

∑ {(

)(

× sin3α cos3ϕ + (cos θ₁ + cosθ₂)cos 3αsin3ϕ].

(9)

NkT

2a_j

F =-

Y1/2j + Y-1/2

В (9), согласно определению, cos θ₁ - cos θ2 =

)

(

)(1+3a

= 2cosθ, cosθ₁ + cosθ₂ = 2m_z. Запишем выражение

+ Y3/2j +Y-3/2

для констант гексагональной анизотропии, которое

)}

(

)(1-a

следует из уравнений (1) и (9) в соответствии с од-

+ Y5/2j +Y-5/2

ноионным вкладом [4]:

∑ (

)

NkT

a_j

{

}

ln z0j -

z2j

√

|H_DM |

q_cfDM = N

2a_cfr(Y )

sin3α-

cos3α

H^eff

{

(

)}

∑

NkT

a_j z2j

5 z₂

ln z0j + ln

r(Y ) =

kT z0j

2 z₀

-Y⁵ + 3Y⁴ - 2Y³ - 2Y² + 3Y - 1

где

(10)

Y⁵ + Y⁴ + Y³ + Y² + Y + 1

Y5j + Y4j + Y3j + Y2j + Y_j

z0j =

Эта функция была введена Вольфом при расче-

Y5/2

те одноионной магнитной анизотропии кубических

-Y5j + 3Y4j - 2Y3j - 2Y2j + 3Y_j

-1

кристаллов [14]. В уравнении (10) a_cf выражается в

z2j =

единицах энергии.

Y5/2

Эффективное поле измеренной гексагональной

Разлагая функцию ln[1 - (a_j /kT )(z2j/z0j)] в ряд

анизотропии, которое следует из (2), (9) и (10), име-

по малому параметру (a_j /kT )(z2j/z0j) и ограничи-

ет вид

{[

]

}₂

a2cf [r(Y )/s]²

DM |/H^eff

sin3α - (1/3)cos3α

H_qcfDM sin⁶ θ cos6ϕ = -

sin⁶ θ cos6ϕ.

(11)

2 {H_A(0) + [H2DM (0)] /H_E (0)} B35/2(x)

Заметим, что в уравнении (11) отношение между

На основании этого выражения находим изме-

эффективными полями H_DM /H^eff , умноженное на

ренный магнитный момент вдоль оси третьего по-

M = NgβB5/2(x) равно слабому ферромагнитному

рядка на моль кристаллического вещества FeBO₃:

моменту [4]. Приравнивая энергию m_z в (1) к (9),

получим

√

a_cf |H_DM |

√

σ_z(T) = m_zM = -

2NgβsB5/2(x)

2a_cf|H_DM|

2(H^eff )

t=N

r(Y ) cos 3α,

H^eff

и затем определим в соответствии с (2)

r(Y )

cos3αsin³ θ sin3ϕ.

(12)

sB5/2(x)

m_z sin³ θ sin3ϕ =

√

2a_cf|H_DM|

Здесь a_cf выражается в единицах поля (Э).

= -N

r(Y ) cos 3α sin³ θ sin 3ϕ.

BH^eff

517

С. Г. Овчинников, В. В. Руденко, А. М. Воротынов

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

4. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА

с параметрами решетки из работы [7]; H_E (0)

БАЗИСНОЙ АНИЗОТРОПИИ И СЛАБОГО

= 2H^eff (0) = 6020 кЭ [2, 18]; B5/2(x) — функция

ФЕРРОМАГНИТНОГО МОМЕНТА ВДОЛЬ

Бриллюэна для спина S = 5/2.

ОСИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА КРИСТАЛЛОВ

FeBO3, ВЫЗВАННОЙ КУБИЧЕСКИМ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ И

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

ДЗЯЛОШИНСКОГО - МОРИЯ

Рассмотрено влияние кубического кристалличе-

ского поля и взаимодействия Дзялошинского - Мо-

Теоретические оценки значений анизотропных

рия на величину базисной гексагональной анизотро-

взаимодействий в FeBO₃ (на основе одноионной мо-

пии и слабый ферромагнитный момент вдоль оси

дели) были выполнены с помощью эксперименталь-

третьего порядка. Вычисленное значение H_qcfDM

но определенных (методом электронного парамаг-

появляется только во втором порядке теории возму-

нитного резонанса ЭПР) констант спинового га-

щений и согласуется с данными ЭПР. В перспективе

мильтониана для изоструктурных борату железа

для определения наличия других вкладов (в част-

кристаллов MBO₃ + Fe³⁺ (M = Ga, In, Sc, Lu).

ности, «одноионного обменного») [7] и сравнения с

Оценка с использованием уравнения

(12) (с

экспериментом желательно провести измерения на

учетом кубического кристаллического поля и вза-

высокочувствительном магнитометре.

имодействия Дзялошинского - Мория во втором

Правильная оценка базисной анизотропии (с уче-

приближении теории возмущений) дает σ_z

∼

том знака вектора Дзялошинского - Мория и одно-

∼ 1 · 10-4 Гс·см³/г (при T

= 0 К), что на по-

ионного вклада) не существенно изменила конеч-

рядок меньше одноионного вклада [13], получен-

ный результат. Вычисленный вклад в слабоферро-

ного в первом приближении теории возмущений

магнитный момент вдоль оси третьего порядка с

(2.4 · 10-3 Гс·см³/г). Экспериментальное значение

учетом влияния кубического электрического поля и

при T = 77 К (по измерениям намагниченности)

взаимодействия Дзялошинского - Мория на порядок

равно 1.3 · 10-3 Гс·см³/г [15]. Чтобы проиллюстри-

меньше экспериментального значения для одиноч-

ровать уровень величин «сильного» и более тон-

ного иона, поэтому основной вклад в слабоферро-

ких взаимодействий, мы также приводим значе-

магнитный момент вдоль оси третьего порядка да-

ние слабого ферромагнитного момента Дзялошин-

ет одноионный механизм [13]. Для лучшего согла-

ского - Мория в базисной плоскости при T = 77 К

сования расчетов и эксперимента потребуется рас-

(σ_xy = 3 Гс·см³/г) [16].

смотрение дополнительных механизмов анизотроп-

Количественная оценка гексагональной анизот-

ных взаимодействий. В заключение отметим, что

ропии, вызванной ионами Fe³⁺ в FeBO₃ по отно-

в разд. 4 даны исчерпывающие экспериментальные

шению к двум механизмам (11), дает H_qcfDM (0) =

данные по исследуемой проблеме.

= -1.0· 10-2 Э (по данным ЭПР) и эксперименталь-

ное значение H_q(0) = -1.1 · 10-2 Э (по данным ан-

тиферромагнитного резонанса) [8, 17]. В уравнении

ПРИЛОЖЕНИЕ

(11) H_D, a_cf и α_cf равны соответственно 100 кЭ [2],

130 Э [5] и 24^◦ [5], что отвечает кристаллу FeBO₃

Расчет матричных элементов:

s = 5/2, m₁ = -1/2, j = 1



′

〈m₁ = -1/2, m₂ = 1/2

^Õ

/(gβH^eff )m

= -3/2, m′2 = 1/2〉〈m′1 = -3/2,

m′2 = 1/2 |(-sz2sy1)| m₁ = -1/2, m₂ = 1/2〉 = 15/(gβH^eff ),

〈m₁ = -1/2, m₂ = 1/2 |(-sz2sy1)| m′1 = -3/2, m′2 = 1/2〉 ×



×〈m′1 = -3/2, m′2 = 1/2Õ

/(gβH^eff ) m1 = -1/2, m2 = 1/2〉 = 15/(gβHeff ),

s = 5/2, m₁ = -1/2, j = 2



〈m₁ = -1/2, m₂ = 1/2

^Õ

/(gβH^eff )m′1 = -1/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -1/2,

m′2 = 3/2 |sz1sy2| m₁ = -1/2, m₂ = 1/2〉 = 15/(gβH^eff ),

〈m₁ = -1/2, m₂ = 1/2 |sz1sy2| m′1 = -1/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -1/2,



m′2 = 3/2Õ

/(gβH^eff ) m1 = -1/2, m2 = 1/2〉 = 15/(gβHeff),

518

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Слабый ферромагнетизм вдоль оси третьего порядка. ..

s = 5/2, m₁ = 1/2, j = 1



〈m₁ = 1/2, m₂ = -1/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = 3/2, m′2 = -1/2〉〈m′1 = 3/2,

m′2 = -1/2 |-sz2sy1| m₁ = 1/2, m₂ = -1/2〉 = 15/(gβH^eff),

〈m₁ = 1/2, m₂ = -1/2 |-sz2sy1| m′1 = 3/2, m′2 = -1/2〉〈m′1 = 3/2,



m′2 = -1/2Õ

/(-gβH^eff )

 m1 = 1/2, m2 = -1/2〉 = 15/(gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = 1/2, j = 2



〈m₁ = 1/2, m₂ = -1/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = 1/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 1/2,

m′2 = -3/2 |sz1sy2| m₁ = 1/2, m₂ = -1/2〉 = 15/(gβH^eff ),

〈m₁ = 1/2, m₂ = -1/2 |sz1sy2| m′1 = 1/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 1/2,



m′2 = -3/2Õ

/(-gβH^eff )

 m1 = 1/2, m2 = -1/2〉 = 15/(gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = -3/2, j = 1



〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = -1/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -1/2,

m′2 = 3/2 |-sz2sy1| m₁ = -3/2, m₂ = 3/2〉 = -45/(gβH^eff),

〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2 |-sz2sy1| m′1 = -1/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -1/2,



m′2 = 3/2Õ

/(-gβH^eff ) m1 = -3/2, m2 = 3/2〉 = -45/gβHeff,

s = 5/2, m₁ = -3/2, j = 2



〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = -3/2, m′2 = 1/2〉〈m′1 = -3/2,

m′2 = 1/2 |sz1sy2| m₁ = -3/2, m₂ = 3/2〉 = -45/(gβH^eff),

〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2 |sz1sy2| m′1 = -3/2, m′2 = 1/2〉〈m′1 = -3/2,



m′2 = 1/2Õ

/(-gβH^eff ) m1 = -3/2, m2 = 3/2〉 = -45/(gβHeff),

s = 5/2, m₁ = 3/2, j = 1



〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2

^Õ

/(gβH^eff )m′1 = 1/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 1/2,

m′2 = -3/2 |-sz2sy1| m₁ = 3/2, m₂ = -3/2〉 = -45/(gβH^eff),

〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2 |-sz2sy1| m′1 = 1/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 1/2,



m′2 = -3/2Õ

/(gβH^eff )

m1 = 3/2, m2 = -3/2〉 = -45/(gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = 3/2, j = 2



〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2

^Õ

/(gβH^eff )m′1 = 3/2, m′2 = -1/2〉〈m′1 = 3/2,

m′2 = -1/2 |sz1sy2| m₁ = 3/2, m₂ = -3/2〉 = -45/(gβH^eff),

〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2 |sz1sy2| m′1 = 3/2, m′2 = -1/2〉〈m′1 = 3/2,



m′2 = -1/2Õ

/(gβH^eff )

m1 = 3/2, m2 = -3/2〉 = -45/(gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = -3/2, j = 1



〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2

^Õ

/(gβH^eff )m′1 = -5/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -5/2,

m′2 = 3/2 |-sz2sy1| m₁ = -3/2, m₂ = 3/2〉 = -45/(2gβH^eff),

〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2 |-sz2sy1| m′1 = -5/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -5/2,



m′2 = 3/2Õ

/(gβH^eff ) m1 = -3/2, m2 = 3/2〉 = -45/(2gβHeff),

519

С. Г. Овчинников, В. В. Руденко, А. М. Воротынов

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

s = 5/2, m₁ = -3/2, j = 2



〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2

^Õ

/(gβH^eff )m′1 = -3/2, m′2 = 5/2〉〈m′1 = -3/2,

m′2 = 5/2 |sz1sy2| m₁ = -3/2, m₂ = 3/2〉 = -45/(2gβH^eff),

〈m₁ = -3/2, m₂ = 3/2 |sz1sy2| m′1 = -3/2, m′2 = 5/2〉〈m′1 = -3/2,



m′2 = 5/2Õ

/(gβH^eff ) m1 = -3/2, m2 = 3/2〉 = -45/(2gβHeff),

s = 5/2, m₁ = 3/2, j = 1



〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = 5/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 5/2,

m′2 = -3/2 |-sz2sy1| m₁ = 3/2, m₂ = -3/2〉 = -45/(2gβH^eff),

〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2 |(-sz2sy1| m′1 = 5/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 5/2,



m′2 = -3/2Õ

/(-gβH^eff )

 m1 = 3/2, m2 = -3/2〉 = -45/(2gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = 3/2, j = 2



〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = 3/2, m′2 = -5/2〉〈m′1 = 3/2,

m′2 = -5/2 |sz1sy2| m₁ = 3/2, m₂ = -3/2〉 = -45/(2gβH^eff),

〈m₁ = 3/2, m₂ = -3/2 |sz1sy2| m′1 = 3/2, m′2 = -5/2〉〈m′1 = 3/2,



m′2 = -5/2Õ

/(-gβH^eff )

 m1 = 3/2, m2 = -3/2〉 = -45/(2gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = -5/2, j = 1



〈m₁ = -5/2, m₂ = 5/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = -3/2, m′2 = 5/2〉〈m′1 = -3/2,

m′2 = 5/2 |-sz2sy1| m₁ = -5/2, m₂ = 5/2〉 = 75/(2gβH^eff),

〈m₁ = -5/2, m₂ = 5/2 |-sz2sy1| m′1 = -3/2, m′2 = 5/2〉〈m′1 = -3/2,



m′2 = 5/2Õ

/(-gβH^eff )

 m1 = -5/2, m2 = 5/2〉 = 75/(2gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = -5/2, j = 2



〈m₁ = -5/2, m₂ = 5/2

^Õ

/(-gβH^eff )m′1 = -5/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -5/2,

m′2 = 3/2 |sz1sy2| m₁ = -5/2, m₂ = 5/2〉 = 75/(2gβH^eff),

〈m₁ = -5/2, m₂ = 5/2 |sz1sy2| m′1 = -5/2, m′2 = 3/2〉〈m′1 = -5/2,



m′2 = 3/2Õ

/(-gβH^eff ) m1 = -5/2, m2 = 5/2〉 = 75/(2gβHeff),

s = 5/2, m₁ = 5/2, j = 1



〈m₁ = 5/2, m₂ = -5/2

^Õ

/(gβH^eff )m′1 = 3/2, m′2 = -5/2〉〈m′1 = 3/2,

m′2 = -5/2 |sz2sy1| m₁ = 5/2, m₂ = -5/2〉 = 75/(2gβH^eff),

〈m₁ = 5/2, m₂ = -5/2 |-sz2sy1| m′1 = 3/2, m′2 = -5/2〉〈m′1 = 3/2,



m′2 = -5/2Õ

/(gβH^eff )

m1 = 5/2, m2 = -5/2〉 = 75/(2gβH^eff),

s = 5/2, m₁ = 5/2, j = 2



〈m₁ = 5/2, m₂ = -5/2

^Õ

/(gβH^eff )m′1 = 5/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 5/2,

m′2 = -3/2 |sz1sy2| m₁ = 5/2, m₂ = -5/2〉 = 75/(2gβH^eff),

〈m₁ = 5/2, m₂ = -5/2 |sz1sy2| m′1 = 5/2, m′2 = -3/2〉〈m′1 = 5/2,



m′2 = -3/2Õ

/(gβH^eff )

m1 = 5/2, m2 = -5/2〉 = 75/(2gβH^eff).

Здесь H^eff = Heff1 = -Heff2 .

520

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Слабый ферромагнетизм вдоль оси третьего порядка. ..

ЛИТЕРАТУРА

10. V. V. Lupei, A. Lupei, and I. Ursu, Phys. Rev. B 6,

4125 (1972).

1. V. E. Dmitrienko, E. N. Ovchinnikova, S. P. Collins,

G. Nisbet, G. Beutier, Y. O. Kvashnin, V. V. Ma-

11. T. Moriya, Magnetism, ed. by G. T. Rado and

zurenko, A. I. Lichtenstein, and M. I. Katsnelson,

H. Suhl, Acad. Press, New York (1963), p. 85.

Nature Phys. 10, 202 (2014).

12. J. Wertz and J. Bolton, Electron Paramagnetic Reso-

2. Л. В. Великов, А. С. Прохоров, Е. Г. Рудашевский,

nance, John Wiley and Sons, New York (1972).

В. Н. Селезнев, ЖЭТФ 66, 1847 (1974).

3. G. V. Bondarenko, S. G. Ovchinnikov, V. V. Ruden-

13. С. Г. Овчинников, В. В. Руденко, В. И. Тугаринов,

ko, V. M. Sosnin, V. I. Tugarinov, and A. M. Voro-

ФТТ 58, 1926 (2016).

tynov, J. Magn. Magn. Mater. 335, 90 (2013).

14. W. P. Wolf, Phys. Rev. 108, 1152 (1957).

4. Л. В. Великов, С. В. Миронов, Е. Г. Рудашевский,

ЖЭТФ 75, 1110 (1978).

15. P. J. Flanders, J. Appl. Phys. 43, 2430 (1972).

5. С. Н. Лукин, В. В. Руденко, В. Н. Селезнев,

Г. А. Цинцадзе, ФТТ 22, 51 (1980).

16. А. М. Кадомцева, Р. З. Левитин, Ю. Ф. Попов,

В. Н. Селезнев, В. В. Усков, ФТТ 14, 214 (1972).

6. G. E. Barberis, R. Calvo, H. G. Maldonado, and

C. E. Zarate, Phys. Rev. B 12, 853 (1975).

17. В. Д. Дорошев, И. М. Крыгин, С. Н. Лукин,

7. С. Г. Овчинников, В. В. Руденко, УФН 184, 1299

А. Н. Молчанов, А. Д. Прохоров, В. В. Руденко,

(2014).

В. Н. Селезнев, Письма в ЖЭТФ 29, 286 (1979).

8. В. В. Руденко, ФТТ 22, 775 (1980).

18. V. G. Bar’yakhtar, V. D. Doroshev, N. M. Kovtun,

9. С. А. Альтшулер, Б. М. Козырев, Электронный

and V. M. Siryuk, in Abstr. of the 19^th All-Russia

парамагнитный резонанс соединений элементов

Seminar on Low-Temperature Physics, Minsk (1976),

промежуточных групп, Наука, Москва (1972).

p. 561.

521