ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 527-537

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННАЯ СВЯЗЬ В ТЕОРИИ

ЭЛИАШБЕРГА - МАКМИЛЛАНА ЗА ПРЕДЕЛАМИ

АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

М. В. Садовский^*

Институт электрофизики Уральского отделения Российской академии наук

620016, Екатеринбург, Россия

Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620108, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 14 августа 2018 г.,

после переработки 14 августа 2018 г.

Принята к публикации 20 сентября 2018 г.

Теория сверхпроводимости Элиашберга - Макмиллана основана на применимости адиабатического при-

ближения. Параметр малости теории возмущений имеет при этом вид λΩ0/EF ≪ 1, где λ — безраз-

мерная константа электрон-фононного взаимодействия, Ω0 — характерная частота фононов, а EF —

энергия Ферми электронов. В данной работе предпринята попытка описания электрон-фононного взаи-

модействия в рамках подхода Элиашберга - Макмиллана в ситуации, когда характерная частота фононов

Ω0 становится достаточно большой (сравнимой или превышающей энергию Ферми EF ). Рассматрива-

ется общее определение спаривательной электрон-фононной константы связи λ, с учетом конечности

частоты фононов. Получено простое выражение для обобщенной константы связи

^λ, определяющей пе-

ренормировку массы, с учетом конечной ширины зоны проводимости, описывающее плавный переход

от адиабатического режима в область неадиабатичности. В условиях сильной неадиабатичности, когда

Ω0 ≫ EF , в теории возникает новый параметр малости λEF /Ω0 ∼ λD/Ω0 ≪ 1 (D — полуширина

электронной зоны), а поправки к электронному спектру становятся несущественными. В то же время,

температура сверхпроводящего перехода Tc и в антиадиабатическом пределе определяется спариватель-

ной константой связи Элиашберга - Макмиллана λ, а предэкспоненциальный множитель в формуле для

Tc, сохраняющей типичный вид для приближения слабой связи, определяется шириной зоны (энерги-

ей Ферми). Для случая взаимодействия с одним оптическим фононом получена единая формула для

Tc, справедливая как в адиабатическом, так и в антиадиабатическом режимах. Полученные результаты

обсуждаются в контексте проблемы высокотемпературной сверхпроводимости в системе FeSe/STO.

DOI: 10.1134/S0044451019030155

применена для описания рекордной сверхпроводи-

мости в соединениях водорода под высоким давле-

нием [4].

1. ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что теория сверхпроводимос-

Теория сверхпроводимости Элиашберга - Мак-

ти Элиашберга - Макмиллана целиком основана на

миллана является наиболее совершенным подходом

применимости адиабатического приближения и тео-

к микроскопическому описанию свойств традицион-

реме Мигдала [5], позволяющей пренебречь вер-

ных сверхпроводников с электрон-фононным меха-

шинными поправками при расчетах, связанных с

низмом куперовского спаривания [1-3]. Ее основные

электрон-фононным взаимодействием в типичных

положения могут быть непосредственно обобщены

металлах. При этом реальный параметр малости

и для рассмотрения нефононных механизмов спари-

теории возмущений имеет вид λΩ₀/E_F ≪ 1, где λ —

вания в новых высокотемпературных сверхпровод-

безразмерная константа электрон-фононного взаи-

никах. В последнее время эта теория была успешно

модействия Элиашберга - Макмиллана, Ω₀ — харак-

терная частота фононов, а E_F

— энергия Ферми

^* E-mail: sadovski@iep.uran.ru

электронов. В частности, это ведет к распростра-

527

М. В. Садовский

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

ненному мнению о том, что вершинными поправка-

D(0)(q,

-i

)

ми в этой теории можно пренебречь даже при λ > 1,

благодаря выполнению неравенства Ω₀/E_F ≪ 1, ха-

рактерного для типичных металлов. Это безусловно

верно в континуальном приближении, когда прене-

G(p + q, i

)

брегается эффектами дискретности решетки в элек-

(p, i

) =

тронном спектре.

Рис. 1. Диаграмма второго порядка для собственно-энер-

Учет дискретности решетки ведет к нарушению

гетической части. Штриховая линия — функция Грина фо-

применимости теоремы Мигдала при λ ∼ 1, связан-

нона D⁽⁰⁾, сплошная линия — функция Грина электрона G

ному с проявлением поляронных эффектов [6, 7]. В

в мацубаровском представлении

то же время, в области λ < 1 этими эффектами

можно пренебречь [7]. В дальнейшем изложении мы

будем вести все рассмотрение в континуальном при-

где в обозначениях с рис. 1 имеем p^′ = p + q. Здесь

ближении, имея в виду область не слишком больших

gαp,p′ — фрелиховская константа электрон-фононно-

констант электрон-фононного взаимодействия λ.

го взаимодействия, ε_p — спектр электронов, отсчи-

В последнее время был открыт ряд сверхпро-

танный от уровня Ферми, Ωαq — фононный спектр,

водников, где адиабатическое приближение не мо-

f_p — фермиевская функция (ступенька).

жет считаться выполненным, а характерные часто-

В частности, для мнимой части собственной

ты фононов порядка или даже превышают энергию

энергии при положительных частотах отсюда полу-

Ферми электронов. Имеются в виду, главным обра-

зом, высокотемпературные сверхпроводники на ос-

чаем

нове монослоев FeSe, прежде всего системы типа

моноатомного слоя FeSe на подложке типа SrTiO₃

Im Σ(ε > 0, p) =

(FeSe/STO) [8]. Впервые на это обстоятельство в

∑

= -π

|gαpp′ |²(1 - fp′ )δ(ε - εp′ - Ωp-p′ ).

(2)

применении к таким системам обратил внимание

p^′,α

Горьков [9, 10] при обсуждении идеи о возможном

механизме повышения температуры сверхпроводя-

В этих выражениях индекс α нумерует ветви фонон-

щего перехода T_c в системе FeSe/STO за счет взаи-

ного спектра. Далее, для краткости, мы его просто

модействия с высокоэнергетическими оптическими

опускаем.

фононами в SrTiO₃ [8].

Уравнение (1) можно тождественным образом

2. СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ

переписать как

ЧАСТЬ И КОНСТАНТА

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО

∫

∑

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Σ(ε, p) = dω

|g_pp′ |²δ(ω - Ωp-p′ ) ×

p^′

Рассмотрим диаграмму второго порядка (по

{

}

f_p′

1 - f_p′

электрон-фононному взаимодействию), показанную

(3)

ε - ε_p′ + ω - iδ

ε - ε_p′ - ω + iδ

на рис. 1. Для начала достаточно рассмотреть ме-

талл в нормальном (несверхпроводящем) состоянии.

Рассмотрение можно вести как в мацубаровской

В подходе Элиашберга - Макмиллана избавля-

технике (T = 0), так и в технике T = 0. В част-

ются от явной зависимости от импульсов, про-

ности, проведя вычисления в технике конечных

водя усреднение матричного элемента электрон-

температур, после аналитического продолжения с

фононного взаимодействия по изоэнергетическим

мацубаровских частот на действительные iω_n

→

поверхностям, соответствующим энергиям электро-

→ ε±iδ и в пределе T = 0, вклад диаграммы рис. 1

на с начальным и конечным импульсами p и p^′, что

можно записать в стандартном виде [1, 11]:

обычно совпадает с усреднением по соответствую-

{

щим поверхностям Ферми, поскольку рассеяние на

∑

f_p′

Σ(ε, p) =

|gαpp′ |²

фононах происходит в узком энергетическом слое

ε - ε_p′ + Ωαp-p′ - iδ

p^′,α

вблизи уровня Ферми шириной порядка удвоенной

}

дебаевской частоты 2Ω_D, причем в типичных метал-

1 - f_p′

(1)

лах всегда Ω_D ≪ E_F . Достигается это следующей

ε - ε_p′ - Ωαp-p′

+ iδ

заменой:

528

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Электрон-фононная связь в теории Элиашберга - Макмиллана. ..

начальном |p| ∼ p_F усреднение по p^′ в выражении

типа (4) надо вести по изоэнергетической поверхнос-

ти, соответствующей E_F + Ωp-p′, как это показано,

например, на рис. 2. Соответственно, выражение (4)

непосредственно обобщается как

∑

|g_pp′ |2δ(ω - Ωp-p′) =⇒

N (0)

p+q

∑

|g_pp′ |²δ(ω - Ωp-p′ )δ(ε_p)δ(ε_p′ - Ωp-p′ ) ≡

p^′

≡

α²(ω)F(ω),

(5)

N (0)

что в последней δ-функции просто соответствует пе-

реходу от химического потенциала μ к μ + Ωp-p′.

Напомним, что у нас, как всегда, все энергии отсчи-

тываются от μ = 0.

После замены типа (4) или (5) явная зависи-

q₀

мость от импульсов в собственно-энергетической

части пропадает и мы, фактически, работаем далее

с усредненной по поверхности Ферми величиной

∑

Σ(ε) ≡

δ(ε_p)Σ(ε, p),

N (0)

которая теперь записывается как

∫

Рис. 2. а) Элементарный акт рассеяния электрона из

окрестности поверхности Ферми на фононе. б) Поверхнос-

Σ(ε) = dε^′ dω α²(ω)F (ω) ×

ти постоянной энергии для начального и конечного состо-

{

}

f (ε^′)

1 - f(ε^′)

яний электрона при рассеянии на оптическом фононе с

(6)

энергией сравнимой с энергией Ферми. Усреднение мат-

ε - ε^′ + ω - iδ

ε - ε^′ - ω + iδ

ричного элемента взаимодействия в (12) или в (14) идет

Это выражение, фактически, лежит в основе теории

по области их пересечения

Элиашберга - Макмиллана и определяет структуру

уравнений Элиашберга для описания сверхпроводи-

∑

мости.

|g_pp′ |²δ(ω-Ωp-p′ ) =⇒

|g_pp′ |² ×

N (0)

p^′

× δ(ω - Ωp-p′)δ(ε_p)δ(ε_p′) ≡

α²(ω)F(ω),

(4)

3. ПЕРЕНОРМИРОВКА МАССЫ И

N (0)

КОНСТАНТА ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО

где в последней строке введено определение функ-

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ции Элиашберга α²(ω), а

В случае собственно-энергетической части, зави-

∑

сящей только от частоты (но не от импульса), мы

F (ω) = δ(ω - Ω_q)

имеем следующие простые формулы, связывающие

перенормировку массы электрона с вычетом в по-

— фононная плотность состояний.

люсе функции Грина [12]:

В случае, когда энергия фонона становится сопо-



ставимой или, тем более, превышает энергию Фер-

∂Σ(ε)

Z-1 = 1 -



(7)

ми, рассеяние электронов идет не в узком слое вбли-

∂ε



ε=0

зи поверхности Ферми, а в более широком интерва-

(



)

ле энергий порядка Ω₀ ∼ E_F , где Ω₀ — характерная

∂Σ(ε)

m^⋆ =

=m 1-



(8)

частота (например, оптического) фонона. Тогда при



∂ε

ε=0

529

ЖЭТФ, вып. 3

М. В. Садовский

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Тогда из (6) непосредственными вычислениями (все

основе железа критической температурой T_c, почти

интегралы здесь берутся в бесконечных пределах)

на порядок превышающей ее значение в объемном

получаем

FeSe (см. обзор [8]), обострило проблему поиска мик-



∫

роскопических механизмов повышения T_c. Последо-

∂Σ(ε)



вавшее за этим открытие в ARPES-экспериментах

−

= dε^′ dωα²(ω)F (ω) ×



∂ε

существования в системе FeSe/STO так называемых

ε=0

{

}

f (ε^′)

1 - f(ε^′)

«реплик» зоны проводимости [15] привело к идее

(ω - ε^′ - iδ)²

(ω + ε^′ + iδ)²

о повышении T_c за счет взаимодействия электро-

∫∞

нов проводимости с оптическими фононами SrTiO₃,

dω

обладающими высокой энергией (частотой) около

α²(ω)F(ω),

(9)

100 мэВ, и рассеивающими электроны «почти впе-

ред» (т. е. с малым передаваемым импульсом фоно-

так что, вводя безразмерную константу элект-

на) за счет особенностей взаимодействия с оптиче-

рон-фононного взаимодействия Элиашберга - Мак-

ски активными диполями Ti-O на интерфейсе STO.

миллана как

Модель такого рассеяния, предложенная в работе

∫∞

[15], возродила интерес к предложенной ранее в ра-

dω

ботах Долгова и Кулича модели повышения T_c за

λ=2

α²(ω)F(ω),

(10)

счет взаимодействия с рассеянием «вперед» [16,17],

что получило дальнейшее развитие, уже в примене-

немедленно получаем стандартное выражение для

нии к FeSe/STO, в работах [18, 19]. Эта модель дей-

перенормировки массы электрона за счет взаимо-

ствительно объясняет ряд экспериментальных фак-

действия с фононами:

тов, таких как появление «реплик» зон проводимо-

сти и возможность достижения высоких значений

m^⋆ = m(1 + λ).

(11)

T_c, однако ее основные выводы были подвергнуты

Функция α²(ω)F (ω) в выражении для элиашбер-

критике (с разных точек зрения) в работах [20-22]

говской константы электрон-фононного взаимодей-

и остаются дискуссионными.

ствия (10) должна вычисляться по (4) или (5) в за-

Одним из важных обстоятельств, которому не

висимости от соотношения энергии Ферми E_F и ха-

было уделено достаточного внимания в работах

рактерной частоты фононов Ω (грубо оцениваемой

[15, 18, 19], был отмеченный Горьковым [9,10] неади-

из Ω_D). Покуда Ω ≪ E_F , можно использовать стан-

абатический характер взаимодействия электронов

дартное выражение (4), тогда как в случае Ω ∼ E_F

FeSe с оптическими фононами STO. Энергия Фер-

нужно использовать (5). В принципе, все это давно

ми в зоне проводимости FeSe/STO мала, порядка

известно — в неявном виде такой результат фигу-

50-60 мэВ [8,15], что само по себе представляет со-

рировал еще в работе Аллена [13], но иногда в этом

бой серьезную проблему для теоретического объяс-

вопросе возникают недоразумения [14]. Используя

нения [20, 21]. Соответственно, энергия оптических

(5), можно переписать (10) в следующем виде:

фононов (около 100 мэВ) превышает ее практически

∫

в два раза, приводя к достаточно сильному наруше-

dω

∑∑

λ=

|g_pp′ |²δ(ω - Ωp-p′ ) ×

нию условия адиабатичности. Посмотрим, прежде

N (0) ω

p p^′

всего, к чему это может привести при расчете спа-

× δ(ε_p)δ(ε_p′ - Ωp-p′),

(12)

ривательной электрон-фононной константы связи в

подходе Элиашберга - Макмиллана.

что и задает наиболее общий способ вычисления

Рассмотрим частный пример взаимодействия

электрон-фононной константы λ, определяющей ку-

электронов с одиночной оптической (эйнштей-

перовское спаривание в теории Элиашберга - Мак-

новской) фононной модой с достаточно большой

миллана.

частотой Ω₀, которая рассеивает, в основном,

«вперед». Общая качественная картина такого

4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С

рассеяния показана на рис. 2. В этом случае в

ОПТИЧЕСКИМИ ФОНОНАМИ,

(12) плотность фононных состояний есть просто

РАССЕИВАЮЩИМИ «ВПЕРЕД»

F (ω) = δ(ω - Ω₀), a для импульсной зависимости

Открытие высокотемпературной сверхпроводи-

взаимодействия с оптическим фононом на ин-

мости в монослоях FeSe на подложках типа SrTiO₃

терфейсе FeSe/STO можно принять характерную

(FeSe/STO) с рекордной для сверхпроводников на

зависимость, полученную в [15]:

530

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Электрон-фононная связь в теории Элиашберга - Макмиллана. ..

g(q) = g₀ exp(-|q|/q₀),

(13)

ной при Ω₀/v_F q₀ > 1, что типично для интерфей-

са FeSe/STO, где Ω₀ > E_F ≫ v_F q₀ [8]. Это дела-

где типичное значение величины q₀ ∼ 0.1π/a ≪ p_F

ет увеличение T_c благодаря взаимодействию элек-

(a — постоянная решетки, а p_F — импульс Ферми),

тронов FeSe с оптическими фононами STO весь-

приводящую к рассеянию электронов на оптических

ма маловероятным. Фактически, сходные выводы

фононах почти «вперед».

были сделаны, исходя из расчетов ab initio, и в

Тогда безразмерная спаривательная константа

работе [23], где также анализировались зависимо-

электрон-фононного взаимодействия в теории Эли-

сти элиашберговской константы связи от часто-

ашберга записывается как

ты оптического фонона в STO. При этом, одна-

∑∑

ко, эффект подавления этой константы был замет-

λ=

|g_q|²δ(ε_p)δ(ε_p+q - Ω₀).

(14)

но меньше, что, вероятно, связано с нереалистиче-

N (0)Ω₀

p q

ски большим значением энергии Ферми, получен-

ным в LDA-расчетах электронного спектра систе-

Поскольку в системе FeSe/STO фактически вы-

мы FeSe/STO, не учитывающих роль корреляций

полняется неравенство Ω₀ > E_F , очевидно, что в

[23]. Соответственно в работе [23] всегда выполня-

данном случае конечность этой частоты во второй

лось неравенство Ω₀ ≪ E_F . Учет корреляций в рам-

δ-функции в этом выражении должна учитываться.

ках LDA+DMFT-расчетов, проведенных в работах

Для простых оценок предположим линеа-

[20,21], позволил получить значения энергии Ферми

ризованный характер спектра электронов: ε_p

≈

в зоне проводимости FeSe/STO, соответствующие

≈ v_F(|p|-p_F) (v_F — скорость Ферми), что позволяет

данным ARPES-экспериментов, из которых следует,

провести все вычисления явно в аналитическом

что в этой системе мы сталкиваемся с антиадиаба-

виде. Теперь, подставляя (13) в (14) и рассмат-

тической ситуацией, когда Ω₀ > E_F .

ривая двумерный случай, после вычисления всех

необходимых интегралов получим [21]

Разумеется, полученные выше результаты в

)

асимптотике высоких частот Ω₀

зависят от вида

g²⁰a

⁽ 2Ω₀

импульсной зависимости в выражении (13). На-

λ=

K₁

(15)

π²v2F

v_F q₀

пример, при выборе гауссового закона убывания

взаимодействия с передаваемым импульсом мы

где K₁(x) — функция Бесселя от чисто мнимого ар-

получим более быстрое гауссово убывание кон-

гумента (функция Макдональда). Применяя хоро-

станты взаимодействия с частотой в асимптотике

шо известную асимптотику K₁(x) и отбрасывая ряд

(17). В общем случае, при достаточно быстром

несущественных констант, имеем

убывании взаимодействия (13) на масштабе q₀, мы

q₀

всегда получим достаточно быстрое уменьшение

λ∼λ₀

(16)

4πp_F

константы взаимодействия при Ω₀ ≫ v_F q₀.

Более реалистический случай, когда оптический

при Ω₀/v_F q₀ ≪ 1, и

фонон рассеивает электроны не только «вперед»,

(

)

Ω₀

^√v_Fq₀

2Ω₀

но и в широком интервале передаваемых импуль-

λ∼λ₀

exp

(17)

πE_F Ω₀

v_F q₀

сов (как это следует, например, из расчетов ab initio

[23]), в приведенных выше формулах нужно просто

при Ω₀/v_F q₀ ≫ 1.

взять достаточно большое значение параметра q₀.

Здесь мы ввели стандартную безразмерную конс-

Выбирая, например, q₀ ∼ 4πp_F и используя низкоча-

танту электрон-фононного взаимодействия:

стотный предел (16), немедленно получаем λ ≈ λ₀,

т. е. стандартный результат. Аналогичным образом,

2g²⁰

λ₀ =

N (0),

(18)

параметр q₀ можно взять равным вектору обратной

Ω₀

решетки 2π/a. Принимая q₀ ∼ 2π/a, из (16) получа-

где N(0) — плотность электронных состояний на

ем

уровне Ферми на одну проекцию спина.

λ∼λ₀

∼λ₀

(19)

Результат (16) известен [18, 19] и сам по себе

2p_F a

достаточно неблагоприятен для существенного по-

вышения T_c в рассматриваемой модели. Еще хуже

при типичном p_F ∼ 1/2a. В общем случае тут всегда

обстоит дело с учетом большой величины часто-

остается зависимость от величины импульса Ферми

ты Ω₀, поскольку спаривательная константа взаи-

и параметра обрезания (ср. аналогичное рассмотре-

модействия оказывается экспоненциально подавлен-

ние в книге [12]).

531

10*

М. В. Садовский

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

∫

В предельном случае (17), полагая q₀ ∼ p_F , не-

медленно получаем

Σ(ε) = dε^′ dωα²(ω)F (ω) ×

-D

{

}

√

(

)

f (ε^′)

1 - f(ε^′)

Ω₀

λ∼

λ₀

exp

(20)

ε - ε^′ + ω - iδ

ε - ε^′ - ω + iδ

E_F

∫

dε^′ dωα²(ω)F (ω) ×

что просто означает эффективное обрезание взаимо-

{

}

действия для Ω₀ > E_F в антиадиабатическом пре-

деле. Это обстоятельство подчеркивалось в работах

ε + ε^′ + ω - iδ

ε - ε^′ - ω + iδ

Горькова [9, 10].

∫

= dωα²(ω)F (ω) ×

{

}

ε + D + ω - iδ

ε + ω - iδ

× ln

- ln

(21)

ε - D - ω + iδ

ε - ω + iδ

5. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ ЗОНЫ

Для модели с одним оптическим фононом F (ω) =

И АНТИАДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

= δ(ω - Ω₀) и мы сразу же получаем

Σ(ε) = α²(Ω₀)F (Ω₀) ×

Как уже отмечалось, обычный подход Мигда-

{

}

ε + D + Ω₀ - iδ

ε + Ω₀ - iδ

ла - Элиашберга полностью основан на адиабатиче-

× ln

- ln

ском приближении, связанном с наличием в обыч-

ε - D - Ω₀ + iδ

ε - Ω₀ + iδ

ных электрон-фононных системах (металлах) мало-

^{ε+D+Ω₀-iδ ε-Ω₀+iδ^}

= α²(Ω₀)F(Ω₀)ln

(22)

го параметра Ω_D/E_F

≪ 1 (или Ω₀/E_F ≪ 1 для

ε-D-Ω₀+iδ ε+Ω₀-iδ

случая одного оптического фонона с частотой Ω₀).

Соответственно, из (21) получаем

Фактическим параметром теории возмущений при

этом оказывается λ(Ω₀/E_F ), который мал даже при



∫

∞

λ ∼ 1. Наличие такого малого параметра позволяет



∂Σ(ε)



dε^′ dωα²(ω)F (ω)

ограничиться простой диаграммой второго порядка



∂ε

(ω+ε^′)²

ε=0

по электрон-фононному взаимодействию, рассмот-

∞

∫

ренной выше, и пренебречь всеми вершинными по-

правками (теорема Мигдала) [5]. Эти условия нару-

dωα²(ω)F (ω)

(23)

ω(ω + D)

шаются в системе FeSe/STO, где Ω₀ ∼ 2E_F .

Рассмотрение, проведенное выше, неявно пред-

так что можно ввести, по определению, обобщенную

полагало бесконечную ширину зоны проводимости.

константу связи в виде

Ясно, что в случае достаточно большой характер-

∫

∞

ной частоты фононов она может оказаться сравни-

dω

λ= 2

α²(ω)F(ω)

(24)

мой не только с энергией Ферми, но и с шириной зо-

ω+D

ны проводимости. Ниже мы покажем, что в пределе

очень сильной неадиабатичности, когда Ω₀ ≫ E_F ∼

которая при D → ∞ сводится к обычной константе

∼ D (D — полуширина зоны проводимости), фак-

Элиашберга - Макмиллана (10), а при D → 0 дает

тически, возникает ситуация, когда в теории появ-

«антиадиабатическую» константу связи

ляется новый малый параметр теории возмущений

∫

λD/Ω₀ ∼ λE_F /Ω₀.

dω

λ_D = 2D

α²(ω)F(ω).

(25)

ω²

Для этого рассмотрим случай зоны проводимо-

сти конечной ширины 2D с постоянной плотностью

Выражение (24) описывает плавный переход между

состояний (что отвечает, формально, двумерному

пределами широкой и узкой зон проводимости. Пе-

случаю). Уровень Ферми считаем, как и выше, соот-

ренормировка массы, в общем случае, определяется

ветствующим началу отсчета энергии и подразуме-

константой

^λ:

ваем типичный случай полузаполненной зоны. Тог-

m^⋆ = m(1 +

^λ).

(26)

да (6) сводится к

532

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Электрон-фононная связь в теории Элиашберга - Макмиллана. ..

В предельно антиадиабатическом случае D ≪ Ω₀,

что в модели с одним оптическим фононом сводит-

после элементарных вычислений, из (21) получим

ся к

∫

Re Σ(ε) = 2D dω α²(ω)F (ω)

(27)

Im Σ(ε > 0) = -iπDα²(Ω₀)δ(ε - Ω₀) =

ε² - ω²

iπ

λ_DΩ²⁰δ(ε - Ω₀).

(34)

а из (22)

=- 2

Из этих формул очевидно, что мнимая часть в этом

2Dε

Ω²⁰ε

Re Σ(ε) = α²(Ω₀)

=λ_D

(28)

пределе не особо актуальна (отлична от нуля только

ε² - Ω²⁰

ε² - Ω²

при ε = Ω₀), а уравнение для действительной части

Для модели одного оптического фонона с часто-

электронной дисперсии

той Ω₀ имеем

ε - ε_p - ReΣ(ε) = 0

(35)

λ₌

α²(Ω₀)

=λ

приобретает вид

Ω₀

Ω₀ + D

Ω₀

2Dε

=λ_D

(29)

ε - ε_p - α²(Ω₀)

= 0.

(36)

Ω₀ + D

ε² - Ω

где константа связи Элиашберга - Макмиллана

Соответственно, при ε ∼ ε_p можем написать

∫∞

2Dε_p

dω

ε - ε_p - α²(Ω₀)

= 0,

(37)

λ=2

α²(ω)F(ω) = α²(Ω₀)

(30)

ε^2p - Ω²

Ω₀

что при ε_p → 0 дает малую поправку к спектру:

а λ_D сводится к

ε ≈ ε_p-α²(Ω₀)

ε_p = ε_p-λ_Dε_p = ε_p(1-λ_D), (38)

Ω²⁰

λD = 2α²(Ω0)

= 2α²(Ω₀)

(31)

Ω²⁰

Ω₀ Ω₀

очевидно, сводящуюся к малой (λ_D ≪ 1) перенор-

где в последнем выражении выделен возникающий

мировке эффективной массы (26).

Физический смысл слабости электрон-фононной

в сильном антиадиабатическом пределе новый ма-

лый параметр D/Ω₀ ≪ 1. Соответственно, в этом

связи в сильном неадиабатическом пределе доста-

пределе всегда имеем

точно ясен из качественных соображений, — когда

ионы двигаются существенно быстрее электронов,

E_F

∼λ

≪ λ,

(32)

последние не успевают «подстраиваться» к быстро

λD = λ

Ω₀

меняющейся конфигурации ионов и, в этом смысле,

слабо реагируют на их движение.

так что при разумных значениях λ (вплоть даже до

области сильной связи, когда λ ∼ 1) «антиадиаба-

тическая» константа связи остается малой. Очевид-

6. УРАВНЕНИЯ ЭЛИАШБЕРГА И

но, что и вершинные поправки также становятся в

ТЕМПЕРАТУРА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО

этом пределе малыми, что было показано непосред-

ПЕРЕХОДА

ственными вычислениями в работе [24], во многом

оставшейся незамеченной. Таким образом, мы при-

Выше все рассмотрение проводилось для нор-

ходим к неожиданному выводу — в пределе сильной

мального состояния металла. Возникает вопрос, в

неадиабатичности электрон-фононная связь стано-

какой мере полученные результаты можно распро-

вится слабой!

странить на случай металла в сверхпроводящем со-

Для мнимой части собственной энергии в силь-

стоянии? В частности, какая константа связи (λ,

ном антиадиабатическом пределе нетрудно полу-

или λ_D) определяет температуру сверхпроводящего

чить

перехода T_c в антиадиабатическом пределе? Прове-

∫

дем соответствующий анализ с помощью надлежа-

щего обобщения уравнений Элиашберга.

Im Σ(ε > 0) = -i2πDε dω α²(ω)F (ω)δ(ε²-ω²) =

∫

С учетом того, что и в антиадиабатическом при-

ближении вершинные поправки несущественны, и в

= -i2πDε dω α²(ω)F(ω)

{δ(ε-ω)+δ(ε+ω)} =

2ε

пренебрежении вкладом прямого кулоновского вза-

= -iπDα²(ε)F(ε),

(33)

имодействия, уравнения Элиашберга могут быть

533

М. В. Садовский

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

выведены путем расчета диаграммы рис. 1, в ко-

линеаризованные уравнения Элиашберга, которые

торой электронная функция Грина в сверхпроводя-

имеют вид

щем состоянии берется в матричном представлении

Намбу. Для действительных частот она записывает-

∫

ся в следующем стандартном виде [2]:

[1 - Z(ε)]ε = dε^′ ×

Z(ε)ετ₀ + ε_pτ₃ + Z(ε)Δ(ε)τ₁

G(ε, p) =

(39)

∫

∞

Z²(ε)ε² - Z²(ε)Δ²(ε) - ε²

× dω α²(ω)F (ω)f(-ε^′) ×

что соответствует матричной собственной энергии

(

)

вида

(44)

ε^′ + ε + ω + iδ

ε^′ - ε + ω - iδ

Σ(ε, p) = [1 - Z(ε)]ετ₀ + Z(ε)Δ(ε)τ₁,

(40)

где τ_i — стандартные матрицы Паули, а функции

∫

перенормировки массы Z(ε) и энергетической щели

dε^′

Z(ε)Δ(ε) =

Re Δ(ε^′) ×

Δ(ε) определяются из решения интегральных урав-

ε^′

2T_c

нений Элиашберга, которые в представлении дей-

∞

∫

ствительных частот записываются в следующем ви-

де [2]:

× dω α²(ω)F (ω) ×

(

)

∫D

(45)

[1 - Z(ε)]ε = - dε^′K(ε^′, ε) ×

ε^′ + ε + ω + iδ

ε^′ - ε + ω - iδ

-D

′

Для наших целей достаточно рассмотреть в этих

× Re

√

signε,

(41)

уравнениях предел ε → 0 и искать решения Z(0) =

ε′2 - Δ²(ε^′)

= Z и Δ(0) = Δ. Тогда из (44) получаем

∫D

∫

∞

∫

dε^′

Z(ε)Δ(ε) = K(ε^′, ε) ×

[1 - Z]ε = -2ε dω α²(ω)F (ω)

(ε^′ + ω)²

-D

∫∞

Δ(ε^′)

× Re

√

signε,

(42)

= -2ε dω α²(ω)F(ω)

(46)

ε′2 - Δ²(ε^′)

ω(ω + D)

где интегральное ядро имеет вид

или

∞

∫

Z =1+

λ,

(47)

K(ε^′, ε) =

dωα²(ω)F (ω) ×

где константа˜ была определена выше в (24). Таким

⎧

⎫

образом, именно эта эффективная константа связи

ε^′

⎨

⎬

+ cth

- cth

определяет перенормировку массы как в нормаль-

(43)

ной, так и в сверхпроводящей фазе. Как уже указы-

⎩ ε^′ + ω - ε - iδ

ε^′ - ω - ε - iδ ⎭

валось выше, в пределе сильной антиадиабатично-

сти эта перенормировка оказывается весьма малой

Единственное отличие от аналогичных уравнений,

и определяется предельным выражением λ_D (31).

приведенных в работе [2], состоит в появлении

Иная ситуация реализуется в уравнении (45). В

конечных пределов интегрирования, определяемых

пределе ε → 0, используя (47), немедленно получаем

шириной зоны, а также в отсутствие вклада пря-

из (45) следующее уравнение для T_c:

мого кулоновского отталкивания, который здесь об-

суждаться не будет. Фактически уравнения (41) и

∫

∞

∫

dε^′

ε^′

(42) являются прямым аналогом уравнений (6) и

1+^λ = 2

dω α²(ω)F (ω)

(48)

(21) для нормального металла и заменяют их при

ε^′(ε^′ + ω)

2T_c

переходе в сверхпроводящую фазу.

Для определения температуры сверхпроводяще-

В антиадиабатическом пределе, когда характерные

го перехода достаточно, как обычно, рассмотреть

частоты фононов существенно превышают ширину

534

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Электрон-фононная связь в теории Элиашберга - Макмиллана. ..

зоны проводимости, в знаменателе подынтегрально-

Таким образом, выражение (51) дает единое выра-

го выражения в (48) можно пренебречь ε^′ по срав-

жение для T_c, справедливое как в адиабатическом,

нению c ω, так что уравнение для T_c перепишется

так и в антиадиабатическом режиме, плавно интер-

как

полирует между этими предельными случаями.

∫∞

∫

В итоге мы приходим к достаточно неожидан-

′

α²(ω)F(ω)

dε

ε^′

λ≈ 2

dω

ным выводам — в пределе сильной неадиабатичнос-

ε^′

2T_c

ти T_c определяется выражением типа слабой свя-

зи теории БКШ, в котором предэкспонента опреде-

∫D

dε^′

ε^′

ляется не характерной частотой фононов, а энер-

=λ

(49)

ε^′

2T_c

гией Ферми (последний вывод подчеркивался и в

недавней работе Горькова [10]), а константа спари-

где λ — константа связи теории Элиашберга - Мак-

вательного взаимодействия сохраняет стандартную

миллана, определенная выше в (10). Отсюда немед-

форму теории Элиашберга - Макмиллана. Введен-

ленно следует результат типа БКШ:

ная выше эффективная константа связи

^λ, стремя-

(

)

щаяся в антиадиабатическом пределе к λ_D, опреде-

T_c ∼ D exp

(50)

ляет перенормировку массы, но отнюдь не темпера-

туру сверхпроводящего перехода.

где опущена стандартная константа в предэкспонен-

те. Выше мы видели, что в антиадиабатическом пре-

деле всегда

λ→ λ_D ≪ λ, так что в показателе экс-

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

поненты в (50) ей можно пренебречь и выражение

В данной работе мы рассмотрели электрон-

для T_c сводится просто к формуле слабой связи тео-

фононную связь в теории Элиашберга - Макмилла-

рии БКШ, в которой предэкспоненциальный мно-

на при выходе за рамки стандартного адиабатичес-

житель определяется полушириной зоны (энергией

кого приближения. Были получены простые соотно-

Ферми), а спаривательная константа связи в экспо-

шения для параметров взаимодействия электронов

ненте определяется общим выражением теории Эли-

и фононов в ситуации, когда характерная частота

ашберга - Макмиллана (с учетом обсуждения, про-

фононов Ω₀ становится достаточно большой (срав-

веденного выше).

нимой или превышающей энергию Ферми E_F ). В

В модели с одним оптическим фононом с часто-

частности, было проанализировано общее определе-

той Ω₀ уравнение (49) имеет вид

ние спаривательной константы связи λ, с учетом ко-

∫D

нечности частоты фононов. Было показано, что ко-

dε^′

ε^′

λ= 2α²(Ω₀)

(51)

нечность этой частоты в популярной модели с до-

ε^′(ε^′ + Ω₀)

2T_c

минирующим рассеянием «вперед» приводит к экс-

поненциальному подавлению константы связи при

Уравнение (51) легко решается (интеграл в нем

частотах Ω₀ ≫ v_F q₀, где q₀ определяет характер-

можно вычислить, как обычно, интегрированием по

ные размеры области передаваемых импульсов, в

частям), и мы получаем

которой имеется заметное взаимодействие электро-

(

)

нов с фононами. Аналогичная ситуация возникает

λ + λln(D/Ω₀ + 1)

T_c ∼ D exp

и в обычном случае, когда q₀ порядка импульса об-

ратной решетки, а частота оптических фононов пре-

(

)

вышает энергию Ферми E_F

exp

(52)

Получено простое выражение для обобщенной

1 + D/Ω₀

электрон-фононной константы связи

^λ, определяю-

где для λ естественно возникает выражение (30).

щей перенормировку массы в теории Элиашберга -

Видим, что в антиадиабатическом режиме при

Макмиллана с учетом конечной ширины зоны про-

D/Ω₀ ≪ 1 это выражение сводится к (50), а в адиа-

водимости, описывающее плавный переход от адиа-

батическом пределе D/Ω0 ≫ 1 отсюда получаем

батического режима в область сильной неадиаба-

обычное выражение для T_c в теории Элиашберга

тичности. Показано, что в условиях сильной неадиа-

для случая промежуточной связи:

батичности, когда Ω₀ ≫ E_F , в теории возникает но-

(

)

вый параметр малости λE_F /Ω₀ ∼ λD/Ω₀ ≪ 1 (D —

1+λ

T_c ∼ Ω₀ exp

(53)

полуширина электронной зоны), а поправки к элек-

535

М. В. Садовский

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

тронному спектру становятся, фактически, несуще-

могут быть реализованы значения λ ∼ 0.5. Впро-

ственными, как и все вершинные поправки.

чем, достижение столь больших значений константы

Фактически, это позволяет применить общие

связи в этой системе, в свете проведенной выше дис-

уравнения Элиашберга и за пределами адиабати-

куссии, представляется достаточно маловероятным

ческого приближения, в частности, в сильном ан-

(см. также результаты ab initio-расчетов λ в [23]).

тиадиабатическом пределе. Результаты нашего рас-

Отдельный вопрос, оставшийся за рамками про-

смотрения показывают, что при выходе за пределы

веденного рассмотрения, это учет прямого куло-

адиабатического приближения, в пределе сильной

новского отталкивания. В стандартной теории Эли-

неадиабатичности, для сверхпроводимости реализу-

ашберга - Макмиллана, в адиабатическом прибли-

ется режим слабой связи. При этом величина пе-

жении, когда частота фононов на порядки меньше

ренормировки массы мала и определяется эффек-

энергии Ферми, это отталкивание входит через ку-

тивной константой λ_D, тогда как величина спарива-

лоновский псевдопотенциал μ^⋆, который существен-

тельного взаимодействия определяется стандартной

но подавлен толмачевским логарифмом [2]. В антиа-

константой связи λ ≫ λ_D теории Элиашберга - Мак-

диабатической ситуации этот механизм подавления

миллана, соответствующим образом обобщенной с

отталкивания не работает, что создает дополнитель-

учетом конечности частоты фононов (сопоставимой

ные проблемы для реализации сверхпроводимости.

или превышающей энергию Ферми). Поскольку об-

В целом, вопрос о роли прямого кулоновского оттал-

резание спаривательного взаимодействия в куперов-

кивания в антиадиабатическом режиме электрон-

ском канале в антиадиабатическом пределе, как мы

фононного взаимодействия заслуживает серьезного

видели выше (см. также работу Горькова [10]), про-

дальнейшего изучения.

исходит на энергиях порядка E_F , в приближении ти-

па слабой связи (которое подтверждается проведен-

Работа выполнена при частичной поддержке

ными выше оценками) возможные вершинные по-

РФФИ (грант № 17-02-00015) и в рамках програм-

правки можно считать несущественными и исполь-

мы фундаментальных исследований № 12 Президи-

зовать для T_c обычное выражение теории типа тео-

ума РАН «Фундаментальные проблемы высокотем-

рии БКШ (50), что также подчеркивалось в [10].

пературной сверхпроводимости».

Малая величина E_F в системе FeSe/STO приводит

к тому, что одного только взаимодействия с антиа-

ЛИТЕРАТУРА

диабатическими фононами в STO недостаточно для

объяснения экспериментально наблюдаемых значе-

1. D. J. Scalapino, in Superconductivity, ed. by

ний T_c, покуда мы остаемся в рамках приближения

R. D. Parks, Marcel Dekker, New York (1969), p. 449.

слабой связи и величина λ не превышает 0.25. То-

2. С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, Э. З. Курма-

гда необходим учет двух механизмов спариватель-

ев, Сверхпроводимость переходных металлов, их

ного взаимодействия — ответственного за формиро-

сплавов и соединений, Наука, Москва (1977).

вание исходного Tc0 в объемном FeSe (фононы или

спиновые флуктуации в FeSe) и усиливающего спа-

3. P. B. Allen and B. Mitrović, Sol. St. Phys., Vol. 37,

ривание за счет взаимодействия с оптическими фо-

ed. by F. Seitz, D. Turnbull, and H. Ehrenreich, Acad.

нонами STO. Проведенные таким образом оценки

Press, New York (1982), p. 1.

T_c [8,10] находятся в достаточно разумном соответ-

4. L. P. Gor’kov and V. Z. Kresin, Rev. Mod. Phys. 90,

ствии с экспериментами на FeSe/STO, без привле-

011001 (2018).

чения идей о механизмах спаривания с рассеянием

«вперед». В то же время, проведенное здесь рас-

5. А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 34, 1438 (1958).

смотрение показывает, что выражение для T_c типа

6. А. С. Александров, А. Б. Кребс, УФН 162, 1

(50), формально имеющее вид приближения слабой

(1992).

связи теории БКШ, в реальности «работает» (в пре-

7. I. Esterlis, B. Nosarzewski, E. W. Huang, D. Moritz,

деле сильной неадиабатичности) и при достаточно

T. P. Devereux, D. J. Scalapino, and S. A. Kivelson,

больших значениях λ, по крайней мере, вплоть до

Phys. Rev. B 97, 140501(R) (2018).

λ ∼ 1, когда становятся существенными полярон-

ные эффекты. Соответственно, для объяснения экс-

8. М. В. Садовский, УФН 178, 1243 (2008).

периментально наблюдаемой T_c в системе FeSe/STO

9. L. P. Gor’kov, Phys. Rev. B 93, 054517 (2016).

может оказаться достаточным учет взаимодействия

только с оптическими фононами STO, коль скоро

10. L. P. Gor’kov, Phys. Rev. B 93, 060507 (2016).

536