ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 538-553

СЛЕДЫ ПЛАТО НАМАГНИЧЕННОСТИ В ПРОЦЕССЕ

НАМАГНИЧИВАНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ТРЕХ- И

ЧЕТЫРЕХСПИНОВЫХ КЛАСТЕРОВ

В. Н. Глазков^*

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Международная лаборатория физики конденсированного состояния,

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

101000, Москва, Россия

Поступила в редакцию 20 сентября 2018 г.,

после переработки 20 сентября 2018 г.

Принята к публикации 5 октября 2018 г.

Обсуждаются кривые намагничивания модельных трех- и четырехспиновых кластеров. Обнаружена нели-

нейность процесса намагничивания с минимумом дифференциальной восприимчивости, напоминающим

известные плато намагниченности в антиферромагнетиках на «треугольной» и пирохлорной решетках.

Эта нелинейность наблюдается при температурах в промежуточном температурном интервале J ≲ T ≲ Θ

(здесь J — константа обменного взаимодействия, а Θ — температура Кюри - Вейса). Такое поведение

объясняется увеличенным статистическим весом состояний с промежуточными значениями полного спи-

на кластера, что качественно связано с флуктуационным механизмом стабилизации плато намагничен-

ности в макроскопических фрустрированных магнетиках (эффект “order-by-disorder”).

DOI: 10.1134/S0044451019030167

аналогичное плато на уровне 1/3 от намагниченнос-

ти насыщения предсказано для гейзенберговского

антиферромагнетика на кагоме-решетке [5], а гей-

1. ВВЕДЕНИЕ

зенберговский антиферромагнетик на пирохлорной

решетке демонстрирует плато намагниченности

Треугольные мотивы в кристаллической струк-

на уровне 1/2 от намагниченности насыщения [6].

туре магнетика часто приводят к фрустрации

Плато намагниченности также наблюдается в ряде

обменных связей, приводящей, в свою очередь,

других модельных систем [7, 8]. Плато намагничен-

к нестандартным видам магнитного порядка или

ности в антиферромагнетиках на треугольной (а

даже к формированию неупорядоченного спин-

также кагоме-) и пирохлорной решетках соответ-

жидкостного состояния. Хорошо изученными

ствуют коллинеарным фазам (соответственно uud

примерами таких систем являются антиферромаг-

и uuud), которые стабилизируются квантовыми и

нетики на треугольной, кагоме- или пирохлорной

тепловыми флуктуациями. Эти плато были деталь-

решетках

[1-3]. Сильное вырождение основного

но рассмотрены теоретически [3,4,6] и наблюдались

состояния фрустрированного магнетика делает

экспериментально в различных магнетиках [3,9-13].

важным учет тепловых и квантовых флуктуаций

(эффект “order-by-disorder”) при выборе типа упо-

Таким образом, стабилизация коллинеарного

рядочения. Это приводит к заметному эффекту

упорядоченного состояния в широком интервале

на низкотемпературных кривых намагничивания:

полей, отсутствующая в приближении среднего

гейзенберговский антиферромагнетик на треуголь-

поля, является известной особенностью антиферро-

ной решетке демонстрирует плато намагниченности

магнетиков на треугольной решетке и в некоторых

на уровне 1/3 от намагниченности насыщения [4],

других системах. Этот эффект сопровождается

плато на кривой намагниченности, которое час-

^* E-mail: glazkov@kapitza.ras.ru

то наблюдается как широкий интервал полей, в

538

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

∑

котором существенно уменьшается дифференци-

Ĥ₌ J

Ŝ_iŜ_j - gμ_BB

S_z,i

(1)

альная восприимчивость χ

= ∂M/∂B. Данная

〈i,j〉

работа связана с наблюдением в работах [10, 14]

может быть переписан с помощью полного спина

минимума дифференциальной восприимчивости в

кластера S_tot:

антиферромагнетике на треугольной решетке выше

температуры Нееля [10], а также в антиферро-

Ĥ₌

Ŝ2

tot

- gμ_B

S_z,tot -

JS(S + 1),

(2)

магнетике на треугольной решетке с хаотической

так как

модуляцией обменных связей, достигаемой заме-

∑

S2tot =

S2i + 2

S_iS_j.

ной части немагнитных ионов в кристаллической

〈i,j〉

структуре другими немагнитными ионами, в ко-

тором коллинеарная фаза подавлена модуляцией

Последнее слагаемое в уравнении (2) представля-

обменных связей [14].

ет просто сдвиг начала отсчета энергии состояний

Здесь мы рассматриваем результаты анализа

кластера и будет опущено в дальнейшем.

микроскопических моделей, связанных с такими

Аналогично можно сформулировать классичес-

магнетиками, которые являются «строительными

кую спиновую модель с единичными векторами S

блоками» описанных выше магнетиков на фрустри-

в вершинах треугольника или тетраэдра. Полная

рованных решетках: трехспинового и четырехспи-

энергия такого кластера также может быть выра-

нового кластеров с равными константами обмен-

жена через его полный спин:

ных связей между всеми парами спинов, графичес-

∑

E =J S_iS_j -gμ_BB S_z,i =

ки соответствующими равносторонним треугольни-

〈i,j〉

ку и тетраэдру. Мы покажем далее, что, неожидан-

но, кривые намагничивания этих микроскопических

моделей демонстрируют следы плато намагниченно-

S2tot - gμ_BBS_z,tot -

JS²,

(3)

сти, наблюдаемые при температурах порядка темпе-

здесь также последнее слагаемое может быть опу-

ратуры Кюри - Вейса: дифференциальная воспри-

щено, так как оно описывает выбор начала отсчета

имчивость имеет локальный минимум при значе-

энергии.

нии полной намагниченности, близком к значению

Здесь мы заинтересованы в вычислении кри-

намагниченности в фазе плато макроскопического

вых намагниченности m_z(B, T ) и дифференциаль-

магнетика. Этот эффект наблюдается как для кван-

ной восприимчивости χ(B, T ) = ∂m_z/∂B, которые

товых, так и для классических моделей, его проис-

соответствуют экспериментально измеряемым вели-

хождение является чисто статистическим и являет-

чинам. Это вычисление проводится стандартным

ся микроскопическим аналогом макроскопического

термодинамическим усреднением:

механизма флуктуационной стабилизации коллине-

∑

арной фазы: он связан с большим статистическим

Z = e^-E/T,

весом состояний кластера с промежуточными зна-

|...〉

чениями полного спина. Мы проводим подробный

здесь суммирование проводится по всем собствен-

анализ этих модельных микроскопических систем и

ным состояниям гамильтониана, F = -T ln Z, M =

сравниваем предсказания модельных расчетов с из-

= -∂F/∂B и т. д.

вестными результатами [10, 14] для антиферромаг-

Из-за высокой симметрии кластеров их энергия

нетика на треугольной решетке RbFe(MoO₄)₂.

зависит только от полного спина кластера и его

проекции. Это позволяет заменить суммирование по

всем состояниям суммированием по возможным зна-

2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

чениям полного спина S_tot (пробегающим значения

от 0 или 1/2 до NS), взвешенным с учетом весово-

Мы рассмотрим кластеры из N = 3 и 4 спинов

го коэффициента D_N (S_tot), и по проекциям полного

S, в которых каждый спин связан со всеми осталь-

спина. Весовой коэффициент D_N (S_tot) — это чис-

ными одинаковыми антиферромагнитными обмен-

ло комбинаций, соответствующих значению полного

ными связями. Такие кластеры соответствуют тре-

спина в квантовой модели, и плотность числа таких

угольной и тетраэдрической геометриям обменных

комбинаций в классической модели. Таким образом,

связей. Гамильтониан квантовой модели (здесь 〈i, j〉

∑

обозначает, что каждая пара спинов учитывается

Z = D_N(S_tot) e^-E/T,

(4)

при суммировании единожды)

Stot

539

В. Н. Глазков

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

∫

Высокотемпературный предел может быть рассмот-

Z = D_N(S_tot)

2π sinΘe^-E/T dS dΘ =

рен в рамках стандартного высокотемпературного

разложения, что приводит к закону Кюри - Вейса

⁽gμ_BBS⁾

∫N

N (gμ_B)²S(S + 1)

χ=

(8)

= 4π D_N (S)

e-JS2/2T dS

(5)

T +Θ

gμ_BBS

где температура Кюри - Вейса равна Θ₃

(2/3)JS(S + 1) для трехспинового кластера

соответственно в квантовом и классическом случа-

(N = 3) и Θ₄ = JS(S + 1) для четырехспинового

ях.

кластера (N

= 4)¹⁾. При низких температурах

Все численные расчеты были сделаны в сре-

магнитная восприимчивость (для B → 0) растет

де GNU Octave [15] с использованием стандартных

как 1/T для трехспиновых кластеров полуцелых

функций для интегрирования и минимизации там,

спинов (обладающих основным состоянием с S =

где это необходимо.

= 1/2) и экспоненциально обращается в нуль для

трехспиновых кластеров целых спинов и для четы-

рехспиновых кластеров (основное состояние таких

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕСОВЫХ

кластеров имеет спин S = 0).

КОЭФФИЦИЕНТОВ

Для классической модели при T = 0 поле насы-

щения равно B_sat = NJ/gμ_B, процесс намагничи-

Вычисленные весовые коэффициенты для кван-

вания линеен по полю вплоть до поля насыщения с

товой модели приведены в табл. 1, 2, 3; получить

восприимчивостью χ₀ = (gμ_B)²/J. Высокотемпера-

компактное выражение для весового коэффициента

турная восприимчивость классической модели под-

квантовой модели не удалось.

чиняется закону Кюри - Вейса с температурами Кю-

Для классической модели весовые коэффициен-

ри - Вейса Θ₃ = (2/3)J и Θ₄ = J соответственно для

ты могут быть вычислены аналитически (см. При-

трехспиновых (N = 3) и четырехспиновых (N = 4)

ложение A), соответствующие выражения приведе-

кластеров.

ны ниже:

Рисунок 1 показывает смоделированные кривые

{

S²/2,

0 ≤ S < 1,

намагничивания и дифференциальной воспри-

D₃(S) =

(6)

имчивости для трехспинового кластера спинов

S(3 - S)/4,

1 ≤ S ≤ 3,

= 5/2 при различных температурах. Как и

{

ожидалось, ступенчатый рост намагниченности

S² (1 - 3S/8)/2,

0 ≤ S < 2,

сглаживается с ростом температуры и практически

D₄(S) =

(7)

S (1 - S/4)² ,

2 ≤ S ≤ 4.

исчезает при температуре T

≈ J, а при высо-

ких температурах эволюционирует к стандартной

Отметим, что наклон кривых D3,4(S) меняется скач-

парамагнитной кривой Бриллюэна. Однако на кри-

ком соответственно при S = 1, 2.

вых дифференциальной восприимчивости видны

неожиданные особенности: как и ожидалось, при

низких температурах полевая зависимость диффе-

4. КРИВЫЕ НАМАГНИЧИВАНИЯ И

ренциальной восприимчивости имеет вид семейства

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

острых пиков, при нагреве эти пики уширяются

ВОСПРИИМЧИВОСТИ МОДЕЛЬНОЙ

и плавно превращаются в плавные осцилляции

ЗАДАЧИ: СЛЕДЫ ПЛАТО И ЕГО

дифференциальной восприимчивости при T

≈ J.

ПАРАМЕТРЫ

При дальнейшем нагреве эти регулярные осцил-

Напомним, что при T = 0 намагниченность клас-

ляции исчезают, но остается локальный минимум

тера в квантовой модели растет ступеньками по ме-

дифференциальной восприимчивости χ(B), рас-

ре того, как состояния с более высоким полным спи-

положенный в поле, примерно равном 1/3 поля

ном поочередно становятся основным состоянием.

насыщения. Этот локальный минимум остается

Максимальная намагниченность достигается в поле

наблюдаемым до температур порядка температуры

насыщения B_sat = NJS/gμ_B, интервал между сту-

¹⁾ Однако численный анализ показывает, что «локальная»

пеньками на кривой намагничивания равен ΔB =

температура Кюри - Вейса Θ = (gμ_B )²S(S + 1)/(3χ) - T при-

= J/gμ_B. Ступенчатый характер процесса намагни-

ближается к своему высокотемпературному пределу с точно-

чивания размывается при повышении температуры.

стью 1 % только при T > 50JS(S + 1).

540

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

Таблица 1. Весовые коэффициенты D3(Stot) для трехспиновых (N = 3) кластеров с целым спином

Полный спин S_tot

Таблица 2. Весовые коэффициенты D3(Stot) для трехспиновых (N = 3) кластеров с полуцелым спином

Полный спин S_tot

1/2

3/2

5/2

7/2

9/2

11/2

13/2

15/2

17/2

19/2

21/2

23/2

25/2

27/2

1/2

3/2

5/2

7/2

9/2

Таблица 3. Весовые коэффициенты D4(Stot) для четырехспиновых (N = 4) кластеров

Полный спин S_tot

1/2

3/2

5/2

7/2

9/2

Кюри - Вейса, которая для больших спинов может

Аналогичные эффекты наблюдались и для че-

быть много больше обменного интеграла J. Для

тырехспинового кластера, но минимум дифферен-

классической модели (рис. 2) дифференциальная

циальной восприимчивости был менее выраженным.

восприимчивость остается постоянной вплоть до

В случае N = 4 локальный минимум дифферен-

поля насыщения при T

= 0, однако локальный

циальной восприимчивости располагается пример-

минимум дифференциальной восприимчивости

но на половине поля насыщения. Аналогичный ми-

возникает при нагреве и продолжает существовать

нимум дифференциальной восприимчивости наб-

до температур порядка температуры Кюри - Вейса.

людался экспериментально в содержащем большее

541

В. Н. Глазков

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

, (g

)

M/M_sat

2.0

0.01J

1.5

0.1J

0.2J

0.5J

1.5

0.5J

1.0

T = 3J

1.0

T = 3J

T =

5.83J

0.5

T =

5.83J

0.5

1.0

1.5

2.0

B/B_sat

Рис. 1. (В цвете онлайн) а) Кривые намагничивания для трехспинового кластера спинов S = 5/2 при различных темпе-

ратурах, кривые смещены для наглядности; б) полевые зависимости дифференциальной восприимчивости для трехспи-

нового кластера спинов S = 5/2 при различных температурах, кривые смещены для наглядности. Штриховые кривые на

рис. б увеличены по оси Y с указанным коэффициентом

(N = 30) количество спинов молекулярном магне-

перименте она остается конечной [9]. Таким обра-

тике Mo₇₂Fe₃₀, а также в модельных задачах вы-

зом, обнаруженный в нашей модельной задаче ло-

числения дифференциальной восприимчивости для

кальный минимум дифференциальной восприимчи-

спинов на октаэдре (N = 6), кубоктаэдре (N = 12)

вости сильно напоминает такую экспериментальную

и икосидодекаэдре (N = 30) [17], в этих моделях

ситуацию: процесс намагничивания модельной зада-

минимум дифференциальной восприимчивости ока-

чи как будто содержит следы плато, наблюдаемого

зывался в поле, близком к 1/3 от поля насыщения.

в макроскопическом магнетике, структурным эле-

Как отмечалось во Введении, плато намагничен-

ментом которого является рассматриваемый клас-

ности на уровне 1/3 и 1/2 от намагниченности насы-

тер. Необходимо однако подчеркнуть, что фаза пла-

щения предсказаны и наблюдались для антиферро-

то намагниченности в макроскопическом магнетике

магнетиков на треугольной (и кагоме-) и пирохлор-

является отдельной термодинамической фазой маг-

ной решетках. Поскольку такие плато часто оказы-

нитной системы и границы плато являются настоя-

ваются в высоких магнитных полях, для их наб-

щими фазовыми переходами, в то время как в мик-

людения используются импульсные магнитные по-

роскопической модельной задаче дифференциаль-

ля, а непосредственно измеряемой величиной оказы-

ная восприимчивость меняется гладко, без фазовых

вается именно дифференциальная восприимчивость

переходов.

[9]. В таком эксперименте плато намагниченности

Этот локальный минимум дифференциальной

проявляются как протяженное уменьшение диффе-

восприимчивости модельной задачи является, по су-

ренциальной восприимчивости. В идеальном случае

ществу, классическим эффектом — он сохраняет-

в интервале плато дифференциальная восприимчи-

ся при переходе к классическому эффекту и свя-

вость должна падать до нуля, но в реальном экс-

зан с наличием максимума у весового коэффициента

542

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

, (g

) /J

в этой точке энтропия скачком начинает быстрее

убывать с ростом поля, что опять же приводит к

T = 0

1.0

0.001J

появлению на кривой намагничивания участка с

уменьшенным наклоном. При низких температурах,

0.01J

T ≪ J, это может быть подтверждено аналитиче-

0.2J

ски, если оставить главные экспоненты в уравнении

0.5J

0.4J

(5). Тогда для статистической суммы и энтропии

классической модели получим

(

)3/2

0.5

D_N (gμ_BB/J)

T =

0.67J

Z ≈

2π

e(gμBB)2/(2TJ)

(10)

(gμ_BB/J)²

D_N(gμ_BB/J)

σ ≈ const +

+ ln

(11)

(gμBB/J)2

С учетом уравнений (6) и (7) видно, что действи-

тельно максимума энтропии нет, и, более того, по-

скольку D₃(S) ∝ S² для малых S, низкополевая энт-

B/B_sat

ропия трехспинового кластера оказывается не за-

Рис. 2. Полевые зависимости дифференциальной воспри-

висящей от поля в этом пределе. Сильная зависи-

имчивости для трехспинового кластера из классических

мость энтропии от поля в окрестности поля насы-

спинов единичной длины при различных температурах

щения приводит к усилению магнитокалорического

эффекта, что описывалось для молекулярных маг-

нетиков [17], модельной задачи о гейзенберговском

для состояний с промежуточными значениями пол-

магнетике на кубоктаэдре [18] и для макроскопи-

ного спина кластера. Причина уменьшения диффе-

ческих фрустрированных антиферромагнетиков на

ренциальной восприимчивости статистическая, она

пирохлорной решетке [19, 20].

напоминает флуктуационный механизм стабилиза-

Для того чтобы численно охарактеризовать наб-

ции коллинеарной фазы плато для макроскопиче-

людаемую особенность процесса намагничивания,

ского магнетика. Поскольку весовой коэффициент

похожую на следы плато намагниченности, были

D(S_tot) имеет максимум при некотором промежу-

вычислены следующие величины (см. также схему

точном значении полного спина кластера S₀, низко-

на рис. 4a) для различных значений квантового спи-

температурная энтропия σ(T, B) может иметь мак-

на в узле кластера и для классической модели: по-

симум (как функция приложенного поля) в поле,

ле локального минимума дифференциальной вос-

близком к значению магнитного поля, в котором

приимчивости B₀, значение полной намагниченно-

спиновый мультиплет с S = S₀ станет основным

сти кластера в поле B₀ и фактор качества плато,

состоянием кластера. Поскольку свободная энергия

определенный следующим образом:

F = E-Tσ (здесь σ обозначает энтропию), а намаг-

χ(B₀)

ниченность

Q=1-

(12)

∂F

∂E

∂σ

maxB>B0 χ(B)

M=-

(9)

∂B

Здесь maxB>B0 χ(B) выражает максимальное значе-

намагниченность будет демонстрировать тенденцию

ние дифференциальной восприимчивости кластера

к опережающему росту при приближении к макси-

в полях, больших B₀, фактор качества равен еди-

муму энтропии (∂σ/∂B > 0) и, наоборот, несколько

нице для идеального плато (где χ(B₀) = 0) и об-

уменьшаться после прохождения максимума энтро-

ращается в нуль в момент исчезновения похожей

пии. Это соответствует появлению на кривой M(B)

на плато особенности. При понижении температуры

участка с меньшим наклоном и к появлению ло-

процесс намагничивания квантовой модели прибли-

кального минимума дифференциальной восприим-

жается к ступенчатому росту намагниченности, со-

чивости. Эти качественные рассуждения подтвер-

провождаемому возникновением и ростом регуляр-

ждаются численными вычислениями для кластера

ных осцилляций дифференциальной восприимчиво-

квантовых спинов (рис. 3а). Для классических мо-

сти. При достаточно большой амплитуде этих осцил-

делей (рис. 3б,в) максимум энтропии отсутствует,

ляций обнаруженный локальный минимум воспри-

а положение минимума дифференциальной воспри-

имчивости теряется на их фоне и становится пло-

имчивости совпадает с точкой излома кривых σ(B):

хо определен, при этом численная процедура поиска

543

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

Q = 1 - A /A₁₂

1.0

0.5

A₁

B₀

A₂

0.5

1.0

B /B0sat

M(B )/M0sat

S = 1

0.4

0.6

0.4

1/3

Kлассич.

0.3

Kлассич.

0.2

0.4

0.6

0.2

0.4

0.6

S = 1

0.16

0.3

S = 3

0.14

3/2

0.12

0.2

5/2

0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

7/2

1/S

9/2

0.1

Kлассич.

0.2

0.4

0.6

T, JS(S + 1)

Рис. 4. (В цвете онлайн) a) Схема определения параметров напоминающей плато особенности на кривых намагничивания

модельной задачи. На рис. б,в,г показаны результаты для трехспиновых (N = 3) кластеров спинов S ≥ 1 (в том числе

для классического предела). б) Температурная зависимость положения минимума дифференциальной восприимчивости.

в) Температурная зависимость величины полной намагниченности кластера в поле минимума дифференциальной вос-

приимчивости. г) Температурная зависимость фактора качества плато, на вставке: зависимость максимального значения

фактора качества плато от спина в вершине кластера для S ≥ 3, штриховая кривая проведена для наглядности. Рисун-

ки б,в,г используют одинаковую цветовую схему для маркировки кривых. Вертикальные штриховые линии на рис. б,в,г

отмечают значения температуры Кюри - Вейса, для квантовой модели шкала температур выражена в единицах JS(S +1),

для классических моделей — в единицах J

545

ЖЭТФ, вып. 3

В. Н. Глазков

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

минимума остановится где-то между двумя ближай-

ность спиновых подуровней уже размыта тепловы-

шими ступенями на кривой намагничивания — та-

ми флуктуациями, но спиновые корреляции внутри

кой минимум дифференциальной восприимчивости,

кластера еще играют заметную роль.

очевидно, имеет другое, тривиальное, происхожде-

Похожие на плато особенности наблюдаются в

ние и не представляет здесь интереса. Для исключе-

поле, близком к 1/3 или 1/2 от поля насыщения

ния этого эффекта при представлении результатов

соответственно для трех- и четырехспиновых клас-

интервал температур ограничен со стороны низких

теров. Значение намагниченности при этом также

температур достаточно условно выбранной темпера-

близко соответственно к 1/3 или 1/2 от намагни-

турой, при которой амплитуда регулярных осцилля-

ченности насыщения. Эта особенность лучше вид-

ций восприимчивости становится существенной. Ре-

на для трехспиновых кластеров, где максимальное

зультаты численного описания найденной особенно-

значение фактора качества для классической моде-

сти показаны на рис. 4, 5. Случай спина S = 1/2

ли составляет 0.10 (для четырехспинового кластера

на этих рисунках не представлен, так как в этом

это значение равно 0.02). Фактор качества обраща-

случае поведение дифференциальной восприимчи-

ется в нуль при некоторой температуре при нагре-

вости тривиально: при низких температурах про-

вании, что соответствует исчезновению локального

цесс намагничивания трехспинового кластера содер-

минимума дифференциальной восприимчивости.

жит две ступеньки: в нулевом поле (соответствую-

щая поляризации двукратно вырожденного основ-

ного состояния кластера с полным спином S = 1/2)

5. СРАВНЕНИЕ С

и в поле насыщения (соответствующая переходу в

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ

полностью поляризованное состояние с полным спи-

РЕЗУЛЬТАТАМИ ДЛЯ RbFe(MO4)2

ном S = 3/2), а процесс намагничивания четырех-

спинового кластера содержит две ступеньки в поле,

равном половине поля насыщения (переход между

Антиферромагнетик на треугольной решет-

состояниями со спином S = 0 и S = 1) и в поле на-

ке RbFe(MO₄)₂ является примером магнетика,

сыщения (переход в полностью поляризованное со-

в котором наблюдается плато намагниченности

стояние со спином S = 2). Локальные минимумы

[9, 10]. Измеренная фазовая диаграмма этого

дифференциальной восприимчивости оказываются

магнетика хорошо согласуется с теоретическими

заперты между этими ступеньками и всегда остают-

предсказаниями. Однако аккуратные измерения

ся в этом интервале полей при изменении темпера-

намагниченности [10] показали, что минимум диф-

туры. Для полноты описания результаты для спина

ференциальной восприимчивости существует даже

S = 1/2 представлены в Приложении B.

в парамагнитной фазе выше температуры Нееля.

Как уже было упомянуто, похожая на плато осо-

Кроме того, был изучен процесс намагничивания

бенность наблюдается (см. рис. 4, 5) в протяженном

магнетика Rb1-xK_xFe(MO₄)₂ с хаотической мо-

интервале температур, который для квантовых мо-

дуляцией обменных связей [14], эти исследования

делей начинается с температуры T ∼ J и продол-

показали, что макроскопическая коллинеарная

жается до T ∼ 0.5JS(S + 1), а для классических мо-

фаза может быть подавлена замещением пример-

делей — с T = 0 до T ∼ 0.2 . . . 0.3J. Это указывает

но 15 % атомов рубидия атомами калия, причем

на присутствие двух характерных температур для

коллинеарная фаза может восстановиться при

процесса намагничивания таких кластеров: боль-

нагреве из-за действия тепловых флуктуаций. Это

ший масштаб температур T₁ ∼ Θ ∼ JS(S + 1) со-

восстановление сопровождается появлением плато

ответствует полному расщеплению спиновых уров-

намагниченности [14], температурная зависимость

ней кластера, а меньший масштаб T₂ ∼ J соответ-

фактора качества для этого минимума оказывается

ствует различию энергии двух ближайших подуров-

качественно похожей на результаты для рассмот-

ней. При T > T₁ все подуровни кластера заселены и

ренных моделей: фактор качества равен нулю при

спины в вершинах кластера могут рассматриваться

= 0, достигает максимального значения при

как почти свободные. При T < T₂ заселены толь-

некоторой температуре, а затем вновь уменьшается

ко нижние подуровни и намагниченность класте-

до нуля.

ра определяется его полным спином. Для большого

Допуская, что такое поведение намагниченности

значения спина S эти два масштаба температур мо-

в парамагнитной фазе связано с ближними корре-

гут различаться на порядок, создавая протяженный

ляциями спинов, сравним измеренные кривые на-

промежуточный интервал температур, где дискрет-

магничивания и экспериментально определенный

546

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

B /B0sat

M(B )/M0sat

0.55

S = 1

0.7

0.50

0.6

0.5

Kлассич.

0.45

Kлассич.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.04

3/2

S = 1

0.06

S = 3

0.03

5/2

0.02

Kлассич.

0.04

0.1

0.2

0.3

0.4

7/2

1/S

9/2

0.02

Kлассич.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

T, JS(S + 1)

Рис. 5. (В цвете онлайн) Параметры напоминающей плато особенности на кривых намагничивания для четырехспинового

(N = 4) кластера спинов S ≥ 1 (включая классический предел): a — температурная зависимость положения минимума

дифференциальной восприимчивости; б — температурная зависимость величины полной намагниченности кластера в по-

ле минимума дифференциальной восприимчивости; в — температурная зависимость фактора качества плато, на вставке:

зависимость максимального значения фактора качества плато от спина в вершине кластера для S ≥ 3, штриховая кривая

проведена для наглядности. Все панели используют одинаковую цветовую схему для маркировки кривых. Вертикальные

штриховые линии на рис. а,б,в отмечают значения половины температуры Кюри - Вейса, для квантовой модели шкала

температур выражена в единицах JS(S + 1), для классических моделей — в единицах J

фактор качества с результатами нашей модельной

фактор качества Q < 1, является отдельной фа-

задачи: трехспиновый кластер является предель-

зой с четкими фазовыми границами, отличающейся

ным случаем коррелированных спинов на треуголь-

симметрией от других упорядоченных фаз. В слу-

ной решетке. Делая такое сравнение, нельзя за-

чае модельного микроскопического кластера состо-

бывать про принципиальное различие макроскопи-

яние кластера в минимуме дифференциальной вос-

ческого антиферромагнетика и микроскопического

приимчивости ничем специально не выделено. Од-

кластера: плато намагниченности в макроскопиче-

нако, как будет показано далее, некоторые черты

ском магнетике, даже если по каким-то причинам

поведения простой модельной задачи оказываются

547

11*

В. Н. Глазков

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

близки к поведению реального макроскопического

6. ТЕМПЕРАТУРНАЯ СТАБИЛЬНОСТЬ

магнетика.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ВОСПРИИМЧИВОСТИ КЛАСТЕРА ВБЛИЗИ

Для подбора параметров модельной задачи мы

ПОЛЯ НАСЫЩЕНИЯ

потребуем, чтобы поле насыщения кластера совпа-

дало с полем насыщения в RbFe(MO₄)₂, которое со-

Дополнительно отметим еще одну обнаружен-

ставляет 18.2 Тл при температуре 1.3 . . . 1.5 К и не

ную черту процесса намагничивания вблизи поля

меняется существенно при замене Rb на K. Темпе-

насыщения. При B ≫ B_sat дифференциальная вос-

ратура Нееля в нулевом поле составляет 4.2 К в

приимчивость χ должна обращаться в нуль, так как

RbFe(MO₄)₂, она увеличивается примерно до 4.5 К

полная намагниченность кластера стремится к на-

в поле

Тл. Величина g-фактора известна из

сыщению. Характерный масштаб величины диффе-

ЭПР-экспериментов [10] и составляет 2.2, спин маг-

ренциальной восприимчивости при низких темпера-

нитных ионов Fe равен S

= 5/2. Это позволяет

турах задается ее значением для классической мо-

определить обменные интегралы для квантовой мо-

дели при T

= 0: χ₀ = (gμ_B)²/J. Мы обнаружи-

дели J = gμ_BB_sat/NS ≈ 3.6 K. Классическая мо-

ли, что вблизи поля насыщения значение магнитно-

дель полагает |S| = 1, поэтому для количествен-

го поля, в котором дифференциальная восприимчи-

ного описания процесса намагничивания необходи-

вость кластера равна χ₀/2, остается почти неизмен-

мо выбрать значение g-фактора, правильно воспро-

ным (меняется в пределах 1 %) в довольно протя-

изводящее намагниченность насыщения gμ_B, отку-

женном интервале температур (рис. 7). Это наблю-

да g_cl = 2.2 × 5/2 = 5.5. Тогда эффективная кон-

дение может оказаться полезным при определении

станта обменной связи в классической модели бу-

обменных констант из кривых намагничивания.

дет равна J = g_clμ_BB_sat/N ≈ 22.4 K. Температуры

Такое стабильное поведение дифференциальной

Кюри - Вейса для модельного кластера оказывают-

восприимчивости наблюдалось для спина в вершине

ся равными 21 К для квантовой (S = 5/2) модели и

кластера S ≥ 3/2 (в том числе и для классической

15 К для классической модели.

модели) при температурах примерно от 0.1JS(S +1)

После этого кривые дифференциальной воспри-

до 0.4JS(S + 1) (примерно от 0.1J до 0.4J для клас-

имчивости и фактор качества могут быть вычисле-

сической модели) как для трехспиновых, так и для

ны без дополнительных подгоночных параметров и

четырехспиновых кластеров, значение магнитного

сравнены с экспериментальными результатами для

поля, в котором наблюдается это стабильное пове-

RbFe(MO₄)₂, результаты сравнения приведены на

дение, зависит от величины спина в узле кластера.

рис. 6. Сравнение показывает качественную схо-

Зависимость этого поля от величины обратного спи-

жесть модельной задачи и эксперимента, подчерк-

на (в предположении, что для классической модели

нем, что амплитуда вычисленной дифференциаль-

1/S = 0) для обоих размеров кластера описывается

ной восприимчивости не содержит подгоночных па-

эмпирическим законом

раметров. Естественно, микроскопическая модель-

B_stab

ная задача не может воспроизвести эффекты, свя-

= 0.97 + 0.39

- 0.14

B_sat

S²

занные с фазовыми переходами: резкие границы

плато в упорядоченной фазе RbFe(MO₄)₂ и фактор

Отметим, что поле, в котором χ = χ₀/2, с ростом

качества в упорядоченной фазе чистого RbFe(MO₄)₂

температуры сдвигается для рассмотренных кванто-

сильно отличаются от результатов модельной зада-

вых моделей в поля выше B_sat, а для классической

чи. В случае магнетика с хаотической модуляци-

модели — в поля ниже B_sat.

ей обменных связей Rb1-xK_xFe(MO₄)₂ максималь-

ное значение фактора качества оказывается близко

7. ВЫВОДЫ

к модельным результатам для высокой концентра-

ции примеси x. Но и в этом случае остается прин-

В процессе намагничивания трех- и четырехспи-

ципиальное различие, касающееся фазового перехо-

новых кластеров с треугольной и тетраэдрической

да: фактор качества плато в Rb1-xK_xFe(MO₄)₂ на-

геометриями обменных связей при конечной темпе-

чинает расти от нуля при некоторой температуре,

ратуре проявляются два масштаба энергии: величи-

в которой коллинеарная фаза uud снова восстанав-

на константы обменного взаимодействия и темпера-

ливается из-за усиливающихся тепловых флуктуа-

тура Кюри- Вейса. Эти масштабы энергии разли-

ций, в то время как в микроскопическом кластере

чаются в квантовой модели множителем S(S + 1).

фактор качества непрерывно меняется, обращаясь

При самых низких температурах, T ≪ J, кривые

в нуль лишь при T = 0.

намагничивания для кластера из квантовых спинов

548

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

dM/dB,

/T .атом

7.0 K

6.0

5.0

x = 0

0.4

4.5

4.0

1.6

S = 5/2

0.2

Kлассич.

x = 5 %

B_sat

x = 15 %

B, Тл

T, K

Рис. 6. (В цвете онлайн) a) Сравнение экспериментально измеренной дифференциальной восприимчивости треугольного

антиферромагнетика RbFe(MO4)2 (линии с символами из работы [10]) с вычислениями для модельного трехспинового

кластера (сплошные кривые для квантовой модели, штриховые кривые — для классической модели). Температура Нееля

для RbFe(MO4)2 в отсутствие внешнего поля приближенно равна 4.3 K. Кривые для различных температур сдвинуты для

наглядности, параметры модельной задачи подобраны по низкотемпературным полю насыщения и намагниченности, как

описано в тексте. б) Сравнение определенного из эксперимента фактора качества плато для Rb1-xKxFe(MO4)2 (кривые

с символами из работы [14]) с вычислениями для модельного трехспинового кластера (сплошные кривые для квантовой

модели, штриховые кривые для классической модели). Параметры модельной задачи подобраны, как описано в тексте

имеют вид последовательных ступенек, при высоких

дой модели были определены положение, фактор

температурах, T ≫ Θ, восприимчивость кластера

качества и интервалы существования такой похо-

подчиняется закону Кюри - Вейса. Однако в проме-

жей на плато особенности процесса намагничива-

жуточном интервале температур, J ≲ T ≲ Θ, сохра-

ния. Результаты расчетов для модельной системы

няющиеся сильные корреляции между спинами при-

сравнены с экспериментальными результатами для

водят к нелинейности процесса намагничивания с

антиферромагнетика на треугольной решетке. Мы

локальным минимумом дифференциальной воспри-

показали, что процесс намагничивания модельного

имчивости (наклона кривой намагничивания) при-

кластера отражает некоторые особенности, наблю-

мерно в том же поле (и примерно при том же зна-

даемые при намагничивании макроскопического ан-

чении намагниченности), где наблюдается плато на-

тиферромагнетика на треугольной решетке в пара-

магниченности в антиферромагнетике на треуголь-

магнитной фазе или в присутствии сильного беспо-

ной или пирохлорной решетке.

рядка. Однако микроскопическая модельная задача

и макроскопический антиферромагнетик ведут се-

Мы проанализировали этот эффект на наборе

квантовых модельных кластеров с различным зна-

бя принципиально различным образом ниже темпе-

ратуры Нееля, где возникают фазовые переходы в

чением спина в узле кластера (1/2 ≤ S ≤ 5) и на

классической модели спинового кластера. Для каж-

макроскопическом магнетике.

549

В. Н. Глазков

ЖЭТФ, том 155, вып. 3,

2019

B/B_sat

1.20

N = 3

S = 3/2

N = 4

S = 3/2

1.15

1.10

1.05

1.00

Kлассич.

0.95

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

T, JS(S + 1)

B /B_stabsat

1.20

N = 3

S = 3/2

N = 4

S = 3/2

1.15

1.10

1.05

1.00

0.95

0.2

0.4

0.6

0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1/S

Рис. 7. а,б) Температурные зависимости магнитного поля,

в котором

дифференциальная восприимчивость

равна

(1/2)(gμB )²/J для разных значений спина в вершине кластера (3/2 ≤ S ≤ 5 и для классической модели) соответственно

для трехспинового (N = 3) и четырехспинового (N = 4) кластеров. Штриховые горизонтальные прямые соответствуют

наилучшей в интервале стабильности прямой, вертикальные штриховые линии отмечают температуру Кюри - Вейса, тем-

пературы для квантовых моделей выражены в единицах JS(S +1), температуры для классических моделей — в единицах

J. б,в) Значения магнитного поля, в котором дифференциальная восприимчивость остается постоянной, от обратного

спина в узле кластера соответственно для трех- и четырехспинового кластеров. Данные для классической модели показа-

ны для 1/S = 0. Штриховая кривая — эмпирическая подгонка квадратичным полиномом B/Bsat = 0.97+0.39/S-0.14/S²

(одинаковым для N = 3 и N = 4)

Автор благодарен Л. Е. Свистову (ИФП РАН) за

ПРИЛОЖЕНИЕ A

привлечение внимания к этой задаче и А. И. Смир-

Детали вычисления весового коэффициента

нову (ИФП РАН) за предоставление эксперимен-

Для квантовых моделей весовой коэффициент

тальных данных для сравнения и многочисленные

D_N (S) (число способов, которым можно получить

полезные обсуждения.

полный спин S для данного кластера) вычислялся

прямым подсчетом. Для квантово-механической мо-

дели конечного размера можно легко посчитать все

Работа выполнена при финансовой поддержке

возможные проекции полного спина, принимающие

РНФ (грант № 17-02-01505), а также в рамках Про-

значения от -NS до NS. Эти значения проекций

граммы фундаментальных исследований Высшей

могут отвечать разным значениям полного спина,

школы экономики.

550

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

полный спин кластера может принимать значения

Результат может показаться контринтуитивным:

от NS до 0 или 1/2. Для вычисления весового ко-

вероятность антипараллельной конфигурации S = 0

эффициента необходимо просто заметить, что если

получается много меньшей, чем вероятность парал-

неотрицательная проекция спина S_z может быть по-

лельной конфигурации S = 2. Такое поведение свя-

лучена nSz способами, а большее значение проекции

зано с тем, что для антипараллельной (S = 0) ори-

полного спина (S_z + 1) может быть получено nSz+1

ентации малые отклонения спинов приведут к ли-

способом, то весовой коэффициент для полного спи-

нейному по углу отклонения росту полного спина,

на S = S_z в точности равен D_N (S) = nSz - nSz+1,

в то время как для параллельной (S = 2) ориен-

так как все спиновые состояния, для которых име-

тации малые отклонения приведут лишь к квадра-

ется проекция спина (S_z + 1), обязаны включать в

тичному уменьшению полного спина. Также можно

свои спиновые мультиплеты и состояние с проекци-

отметить, что непрерывность классической модели

ей спина S_z. Результаты такого пересчета сведены в

приводит здесь к сильному отличию от квантовой

табл. 1, 2, 3. Мы не получили строго компактных вы-

задачи сложения моментов: в квантовой задаче каж-

ражений для весовых коэффициентов, но для N = 3

дое значение полного спина от 0 до 2S получается

найденные значения можно описать как

единственным способом.

Для случая трех спинов, N = 3, также зафикси-

D(S_tot) = 1 + 2S_tot для S_tot ≤ S,

руем направление одного из спинов S₁. Два других

D(S_tot) = 1 + 3S - S_tot для S_tot > S

спина могут быть просуммированы независимо, σ =

= S₂ + S₃, распределение длин вектора σ найдено

(здесь S — величина спина в вершине кластера).

выше. Тогда полный спин

Также можно отметить, что весовой коэффициент

для синглетного (S = 0) состояния четырехспино-

S² = 1 + σ² + 2σ cosΘ,

вого кластера растет с ростом спина как (2S + 1),

этот рост вырождения согласуется с макроскопиче-

здесь выбор полярного угла Θ аналогичен сделан-

ским вырождением антиферромагнетиков на пиро-

ному выше.

хлорной решетке.

Все возможные конфигурации, дающие различ-

Для вычисления весового фактора классической

ные значения полного спина, могут быть отражены

модели начнем со случая N = 2. Мы заинтересованы

на плоскости (σ, cos Θ) с ограничениями 0 ≤ σ ≤ 2 и

в полном спине пары, который не изменится при од-

-1 ≤ cosΘ ≤ 1. Доля реализаций спиновых конфи-

новременном повороте двух спинов. Таким образом,

гураций в элементе dσd cos Θ равна

можно зафиксировать один спин и при вычислении

весового коэффициента учитывать только возмож-

= D₂(σ)dσ d(cos Θ)/2 =

dσ d(cos Θ).

ные ориентации второго спина. Обозначим поляр-

ный угол, описывающий ориентацию второго спина,

Из уравнения изолинии cosΘ = (S² - 1 - σ²)/(2σ)

Θ и примем соглашение об отсчете угла, по которому

получаем d(cos Θ) = SdS/σ. Отсюда легко выразить

Θ = 0 соответствует антипараллельной ориентации

дифференциальный весовой коэффициент

этих векторов. Тогда полный спин пары

1 dn

S² = 2(1 + cosΘ)

dσ,

n dS

(напомним, что в классической модели спиновые

который должен быть проинтегрирован по всем воз-

векторы имеют единичную длину). Продифферен-

можным значениям σ.

цировав это уравнение,

Возможные значения σ зависят от полного спина

S dS = - sin Θ dΘ,

S: (1-S) ≤ σ ≤ (1+S) для S < 1, и (S -1) ≤ σ ≤ 2

для S > 1. Отсюда для искомого весового коэффи-

и сравнив его с определением доли реализаций спи-

циента

новых конфигураций, попадающих в данный интер-

⎧

S²

⎨

вал углов,

0 ≤ S < 1,

2π sinΘ dΘ

D₃(S) =

(14)

4π

⎩ S(3 - S)

1 ≤ S ≤ 3.

получаем для весового коэффициента

1 dn

D₂(S) =

(13)

Наконец, для четырехспинового кластера, N =

n dS

= 4, мы воспользуемся таким же подходом. Зафик-

здесь 0 ≤ S ≤ 2.

сируем направление первого спина S₁ и просумми-

551

В. Н. Глазков

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

N=3

N =4

T = 0.1J

0.2J

0.3J

0.4J

0.5J

0.6J

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

B/B_sat

B /B0sat

0.9

1.0

0.8

0.9

0.7

0.5

0.8

0.6

N =3

N =4

0.5

0.7

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

T/J

Рис. 8. а,б) Примеры кривых дифференциальной восприимчивости для трехспинового и четырехспинового кластеров

из спинов S = 1/2. Кривые сдвинуты для наглядности. в,г) Температурные зависимости положения минимума воспри-

имчивости (символы) и фактора качества (сплошная кривая) для трехспинового и четырехспинового кластеров спинов

S = 1/2

⎧

(

)

руем оставшиеся три вектора в спиновый вектор σ =

⎪

S²

⎨

0 ≤ S < 2,

= S2 +S₃ +S₄ с известным распределением по дли-

D₄(S) =

(

)₂

(15)

нам. Далее получим дифференциальный весовой ко-

⎪

эффициент

⎩ S 1-

2 ≤ S ≤ 4.

1 dn

S D₃(σ)

dσ,

n dS

Весовые коэффициенты D₃(S) и D₄(S) обраща-

который должен быть проинтегрирован по допусти-

ются в нуль на предельных значениях (0 и N) и до-

мым значениям σ. Допустимые интервалы σ таковы:

стигают максимума при S = 3/2 и S = 16/9 со-

(1 - S) ≤ σ ≤ (1 + S) для S < 1, (S - 1) ≤ σ ≤ (1 + S)

ответственно для трех- и четырехспинового клас-

для 1 < S < 2 и (S - 1) ≤ σ ≤ 3 для S > 2. Отсюда

теров. Сами весовые коэффициенты непрерывны,

552

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Следы плато намагниченности в процессе намагничивания. ..

но их производные имеют разрыв (скачок): наклон

Introduction to Frustrated Magnetism: Materials,

кривых D_N (S) меняется при S = 1 и S = 2 соответ-

Experiments, Theory, ed. by C. Lacroix, P. Mendels,

ственно для трехспиновых и четырехспиновых клас-

and F. Mila, Springer Science and Business Media

(2011).

теров. Полученные значения весовых коэффициен-

тов для классических моделей совпадают с вычис-

A. V. Chubokov and D. I. Golosov, J. Phys.: Cond.

ленными другим методом [21].

Matt. 3, 69 (1991).

ПРИЛОЖЕНИЕ B

S. Nishimoto, N. Shibata, and C. Hotta, Nature

Comm. 4, 2287 (2013).

Кривые восприимчивости для предельного

Y. Motome, K. Penc, and N. Shannon, J. Magn.

квантового случая S = 1/2

Magn. Mater. 300, 57 (2006).

Случай спиновых кластеров из спинов S = 1/2

A. Honecker, J. Schulenburg, and J. Richter, J. Phys.:

отличается от разобранных выше. Причиной явля-

Condens. Matter 16, S749 (2004).

ется то, что для маленького спина S масштабы

энергии обменного взаимодействия J и температуры

K. Morita, T. Sugimoto, S. Sota, and T. Tohyama,

Phys. Rev. B 97, 014412 (2018).

Кюри - Вейса JS(S + 1) не различаются заметно и,

следовательно, промежуточный температурный ре-

T. Inami, Y. Ajiro, and T. Goto, J. Phys. Soc. Jpn

жим просто отсутствует.

65, 2374 (1996).

Моделирование процесса намагничивания и кри-

10.

L. E. Svistov, A. I. Smirnov, L. A. Prozorova,

вых восприимчивости (рис. 8) показывает ожидае-

O. A. Petrenko, A. Micheler, N. Buttgen, A. Ya. Sha-

мое сглаживание ступенек намагниченности при на-

piro, and L. N. Demianets, Phys. Rev. B 74, 024412

греве до T ≈ 0.3J, дифференциальная восприимчи-

(2006).

вость демонстрирует локальный минимум до тем-

ператур 0.6 . . . 0.7J. С охлаждением этот локальный

11.

H. Ueda, H. Mitamura, T. Goto, and Y. Ueda, Phys.

Rev. B 73, 094415 (2006).

минимум плавно смещается к позиции точно посере-

дине между двумя ступеньками намагниченности: к

12.

N. Shannon, H. Ueda, Y. Motome, K. Penc, H. Shiba

B₀ = B_sat/2 для трехспинового кластера и к B₀ =

and H. Takagi, J. Phys.: Conf. Ser. 51, 31 (2006).

= 3B_sat/4 для четырехспинового. Соответственно,

13.

K. Okuta, S. Hara, H. Sato, Y. Narumi, and K.

фактор качества достигает единицы при T

= 0.

Kindo, J. Phys. Soc. Jpn 80, 063703 (2011).

Аналогичное «запирание» минимума восприимчи-

вости между двумя ступеньками намагниченности

14.

A. I. Smirnov, T. A. Soldatov, O. A. Petrenko, A. Ta-

возникает и для больших спинов, однако для боль-

kata, T. Kida, M. Hagiwara, A. Ya. Shapiro, and

шего значения спина температурная эволюция па-

M. E. Zhitomirsky, Phys. Rev. Lett. 119, 047204

(2017).

раметров, характеризующих похожую на плато осо-

бенность, изменяется (происходит кроссовер между

15.

https://www.gnu.org/software/octave/.

двумя режимами) при возникновении «запирания»:

16.

C. Schröder, H. Nojiri, Jürgen Schnack, P. Hage,

фактор качества начинает расти быстрее, наклон

M. Luban, and P. Kögerler, Phys. Rev. Lett. 94,

кривой B₀(T ) заметно изменяется. Такое изменение

017205 (2005).

позволяло в случае спинов S ≥ 1 достаточно четко

выделить границу низкотемпературного режима, в

17.

J. Schnack, J. Low Temp. Phys. 142, 283 (2006);

котором положение локального минимума опреде-

https://doi.org/10.1007/s10909-006-9184-x.

ляется «запиранием» между ближайшими ступень-

18.

A. Honecker and M. E. Zhitomirsky, J. Phys.: Conf.

ками намагниченности, и исключить этот тривиаль-

Series 145, 012082 (2009).

ный режим из рассмотрения.

19.

M. E. Zhitomirsky, Phys. Rev. B 67, 104421 (2003).

20.

S. S. Sosin, L. A. Prozorova, A. I. Smirnov, A. I. Go-

ЛИТЕРАТУРА

lov, I. B. Berkutov, O. A. Petrenko, G. Balakrishnan,

and M. E. Zhitomirsky, Phys. Rev. B 71, 094413

1. A. P. Ramirez, Ann. Rev. Mater. Sci. 24, 453 (1994).

(2005).

2. J. S. Gardner, M. J. P. Gingras, and J. E. Greedan,

21.

O. Ciftja, M. Luban, M. Auslender, and J. H. Lus-

Rev. Mod. Phys. 82, 53 (2010).

combe, Phys. Rev. B 60, 10122 (1999).

553