ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 554-561

ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА СВЕРХТЕКУЧЕГО³He В

НЕМАТИЧЕСКОМ АЭРОГЕЛЕ В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Е. В. Суровцев^*

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 27 сентября 2018 г.,

после переработки 23 октября 2018 г.

Принята к публикации 23 октября 2018 г.

Рассматривается одновременное влияние нематического аэрогеля и сильного магнитного поля на фазо-

вую диаграмму сверхтекучего³Не. В рамках теории Гинзбурга - Ландау найдены области существования

новых фаз: β-фазы (P1), искаженной β-фазы (P2), искаженной A-фазы (A(I)4), искаженной планарной

фазы (A(II)4). Показано, что максимальной температурой перехода обладают компоненты параметра

порядка β-фазы. Найдено условие существования перехода второго рода из искаженной β-фазы в иска-

женную планарную фазу.

DOI: 10.1134/S0044451019030179

ля в систему вводится одноосная анизотропия [2,3].

Последнее можно понимать как возникновение вы-

1. Использование аэрогелей в экспериментах со

деленного направления в ориентациях нитей. Про-

сверхтекучим³Не показало возможность введения

странственное направление каждой нити можно ха-

в исходно изотропную систему (сверхтекучий³Не)

рактеризовать некоторым директором, при этом бу-

глобальной анизотропии (аэрогель), которая суще-

дем называть аэрогель растянутым, если директо-

ственно меняет свойства рассматриваемой системы.

ры нитей аэрогеля преимущественно направлены

В отличие от систем с ограниченной геометрией

вдоль одного направления, и сжатым, если дирек-

(³Не в плоскопараллельной геометрии или нанока-

торы лежат преимущественно в одной плоскости. В

налах), где параметр порядка существенно изменя-

большинстве экспериментов нити аэрогеля покры-

ется вблизи ограничивающих поверхностей,³Не в

ваются несколькими слоями⁴He, поэтому можно

аэрогеле можно в первом приближении рассматри-

считать, что аэрогель является системой немагнит-

вать как систему с однородным параметром поряд-

ных примесей. В этом случае наличие одноосно-

ка. Это возможно вследствие малости радиуса ни-

анизотропного аэрогеля накладывает ограничение

тей аэрогеля по сравнению с длиной когерентно-

на симметрию системы, связанную с вращением ор-

сти сверхтекучего³Не, а также при условии отсут-

битальной части параметра порядка сверхтекуче-

ствия корреляций в расположении элементов аэро-

го³He вокруг выделенного направления, понижая

геля на масштабах порядка длины когерентности.

соответствующую симметрию до аксиальной. В за-

При выполнении данных условий влияние аэрогеля

висимости от типа анизотропии (сжатие или рас-

не сводится только к локальному подавлению па-

тяжение) у системы появляются новые минимумы

раметра порядка, а приводит к глобальному изме-

энергии, соответствующие новым фазам, таким как

нению симметрии системы во всем объеме. Различ-

полярная фаза, B-фаза с полярным или планар-

ные типы аэрогелей могут иметь разные типы гло-

ным искажением, искаженная A-фаза, аксипланар-

бальных симметрий. К примеру, кремниевый аэро-

ная фаза [4-6]. Примером максимально растянутых

гель можно сделать абсолютно изотропным [1], что

аэрогелей являются нематические аэрогели, нити

означает, что направление нитей аэрогеля меняет-

которых направлены вдоль одного направления. Ис-

ся в пространстве случайным образом. При слабом

следование свойств сверхтекучего³He в аэрогелях

одноосном растяжении или сжатии такого аэроге-

этих типов показало возможность существования в

них новых фаз, которые невозможны в изотропном

^* E-mail: e.v.surovtsev@gmail.ru

случае. К настоящему моменту подтверждено суще-

554

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Фазовая диаграмма сверхтекучего³He. ..

ствование полярной фазы в одном из типов немати-

где N_eff — эффективная плотность состояний на по-

ческого аэрогеля — нафене [7], а также искаженной

верхности Ферми, единичный вектор u определяет

A-фазы и B-фазы с полярным искажением в других

направление оси анизотропии аэрогеля, κ₀ ≥ 0. Для

типах нематического аэрогеля [8, 9].

аэрогелей, нити которых преимущественно направ-

лены вдоль направления u, κ_a < 0. Если направ-

Несмотря на то что большинство экспериментов

ления нитей преимущественно лежат в плоскости,

по идентификации фаз в сверхтекучем³He прово-

перпендикулярной u, необходимо, чтобы выполня-

дится методом ЯМР, влиянием магнитного поля на

лось условие κ_a > 0. Величины κ₀, κ_a зависят от

форму параметра порядка в большинстве случаев

пористости аэрогеля и типа рассеяния квазичастиц

пренебрегается. Это связано с тем, что зееманов-

на нем (диффузное или зеркальное) и имеют поря-

ская энергия гораздо меньше энергии конденсации.

док малости r₀/ξ₀, где r₀ — радиус нити аэрогеля,

Тем не менее, хорошо известно, что в достаточно

ξ0 — длина когерентности сверхтекучего3He [11].

сильных магнитных полях, порядка 5 кГс, возможно

Несмотря на указанную малость, эти члены суще-

расщепление температуры перехода для различных

ственны при рассмотрении расщепления температу-

спиновых компонент параметра порядка, что приво-

ры перехода для разных фаз. Влияние магнитного

дит к существованию новых фаз: A₁, A₂ и B₂. С точ-

поля можно учесть, добавив два квадратичных по

ки зрения симметрии наличие однородного магнит-

параметру порядка члена, один из которых линеен

ного поля вносит в спиновое подпространство па-

по магнитному полю, а второй — квадратичен. По-

раметра порядка ось симметрии. Однако в отличие

явление квадратичного по полю члена объясняется

от поля одноосного аэрогеля, которое характеризу-

зависимостью магнитной восприимчивости сверхте-

ется директором, однородное магнитное поле опи-

кучего³He от параметра порядка. Линейный член

сывается псевдовектором, который не меняет знак

возникает вследствие небольшой разницы в плот-

при инверсии координат и меняет знак при инвер-

ностях состояний частиц и дырок на поверхности

сии времени. Именно по этой причине появляется

Ферми в однородном магнитном поле и является

область устойчивости A₁-фазы. В настоящей работе

следующим порядком малости по параметру T_c/ε_F .

будет рассмотрен эффект одновременного влияния

Его учет необходим в случае, если квадратичный

полей анизотропии, связанных с одноосно растяну-

член не снимает вырождения для различных спино-

тым аэрогелем и однородным магнитным полем, на

вых компонент параметра порядка. Соответствую-

фазовую диаграмму сверхтекучего³He.

щий вклад в плотность энергии имеет вид

2. В сверхтекучем³He реализуется триплетное

F_H = -iηe_μνγA_μjA^∗νjH_γ + αA_μjA^∗νjH_μH_ν,

(1)

спаривание с орбитальным моментом, равным еди-

нице. Параметром порядка сверхтекучего³He явля-

где η и

— действительные положительные

ется комплексная матрица 3 × 3 - A_μj, греческие

константы, H — напряженность магнитного по-

индексы относятся к спиновому подпространству,

ля. Возможны также члены смешанного вида

латинские — к орбитальному. В рамках примени-

∼ ie_μνγA_μiA^∗νjH_γu_iu_j, ∼ A_μjA^∗νjH_μH_νu_iu_j. Однако

мости теории Гинзбурга - Ландау влияние внешних

можно заметить, что они являются поправками

полей на термодинамические свойства сверхтекуче-

к членам в

(1) по полю аэрогеля, т. е. имеют

го³He сводится к добавлению дополнительных чле-

дополнительную малость ∼ r0/ξ0. В принципе,

нов в функционал свободной энергии. В рассмат-

можно также написать линейный по u член вида

риваемой работе внешними полями являются поле

ae_ijku_i(A_μjA^∗μk + A^∗μjA_μk) при условии, что u — ак-

одноосно-анизотропного аэрогеля и магнитное поле.

сиальный вектор (a — действительное число). Для

этого необходимо, чтобы нити аэрогеля обладали

В случае, когда рассеяние квазичастиц на ни-

определенной хиральностью, т. е. были закручены

тях аэрогеля не зависит от их спина, взаимодей-

в определенном направлении на масштабе порядка

ствие аэрогеля с параметром порядка сверхтекучего

длины когерентности. Такая возможность нами не

³He описывается с помощью действительного сим-

рассматривается. Таким образом, главные члены

метричного тензора κ_jl [10]. Дополнительный член

второго порядка имеют вид

в разложении свободной энергии записывается как

κ_jlA^∗μjA_μl. Для аэрогелей, имеющих ось анизотро-

F⁽²⁾ = N_eff (τA_μjA^∗μj - iηe_μνγA_μjA^∗νjH_γ +

пии, тензор κ_jl представим в виде

+ κ_au_iu_jA_μiA^∗μj + αA_μjA^∗νjH_μH_ν),

(2)

(

))

где τ = T/T0c - 1 + κ₀ - κ_a/3, T0c — температура

κ_jl = N_eff κ₀δ_jl + κ_a u_ju_l -

δ_jl

сверхтекучего перехода в чистом³He.

555

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Выберем ось z вдоль направления магнитного

Матрица параметра порядка будет иметь вид

поля. Для упрощения дальнейших вычислений вве-

Δ₁

дем матрицу

A_μj

= R_jkA_μk, где R_jk — матрица

A_μj =

√

(x_μ + iy_μ) z_j.

поворота в орбитальном пространстве, такая что

R_jku_k = z_j. Поскольку R_jk — ортогональная мат-

Переходя обратно к исходной системе координат и

рица, можно переписать (2) в форме

вводя стандартные обозначения, запишем параметр

порядка как

F⁽²⁾ ∼ τAμj

A^∗μj - iηe_μνzA˜_μjA˜^∗νjH +

Δ₁

+κ_aAμzA∗μz + αAzjA∗zjH2.

(3)

A_μj =

√

(d_μ + ie_μ) m_j ,

(10)

Сгруппируем сначала компоненты параметра по-

где векторы d, e — взаимно ортогональные еди-

рядка по подпространствам с одинаковыми темпе-

ничные векторы в плоскости, перпендикулярной на-

ратурами перехода и найдем те из них, у которых

правлению магнитного поля, а m ∥ u. Такой вид

температура перехода максимальна. В данном слу-

параметра порядка соответствует β-фазе [12].

чае под температурой перехода мы понимаем тем-

Для того чтобы найти зависимость амплиту-

пературу, при которой коэффициент перед соответ-

ды параметра порядка от температуры, энергию

ствующими членами меняет знак. Воспользуемся

β-фазы, а также температуру следующего фазового

тем, что свободная энергия F⁽²⁾ инвариантна отно-

перехода, соответствующего появлению амплитуды

сительно преобразований группы U_S(1) × U_L(1) ×

Δ₂, выпишем члены четвертого порядка без учета

× Z₂(L), где U_S,L(1) — повороты вокруг оси z в

поправок, связанных с аэрогелем и магнитным по-

спиновом и орбитальном подпространствах, Z₂(L) —

лем:

преобразование z → -z в орбитальном простран-

1⁽

стве. Ввиду этого возможно шесть инвариантов, со-

F⁽⁴⁾ =

β₁AμjAμj

A^∗νlA˜^∗νl + β₂A˜_μjA∗μjA˜νlA˜∗νl +

ответствующих комбинациям состояний с различ-

+β₃AμjAνj

A^∗μlA˜^∗νl + β₄A˜_μjA˜^∗νjA˜_νlA˜^∗μl +

ными значениями S_z и L_z:

)

+ β₅Aμj

A^∗νjA˜_μlA˜^∗

(11)

(τ + κ_a - ηH)Δ+1,0Δ∗+1,0 +

(4)

νl

+(τ + κ_a + ηH)Δ-1,0Δ∗-1,0 +

(5)

Подставив в (11) значения

A_xz,

A_yz, выраженные

(

)

+(τ - ηH)

Δ+1,+1Δ∗+1,+1 + Δ+1,-1Δ∗+1,-1

+ (6)

через Δ₁, Δ₂, получим

(

)

+(τ + ηH)

Δ-1,+1Δ∗-1,+1 + Δ-1,-1Δ∗-1,-1

+ (7)

F⁽⁴⁾ = (2β₁₅ + β₂₃₄)|Δ₁|²|Δ₂|² +

(

)

τ+κ_a +αH²

Δ0,0Δ∗0,0 +

(8)

(

)

(

)(

)

β₂₃₄

|Δ₁|⁴ + |Δ₂|⁴

(12)

τ+αH²

Δ0,+1Δ∗0,+1 + Δ0,-1Δ∗0,-1

(9)

где β₁₅ = β₁ + β₅ и т. д. Варьируя члены второго

где

и четвертого порядков по Δ∗1 и Δ∗2, найдем систему

(

)

уравнений

Δ±1,0 =

√

A_xz ∓ iAyz

[

]

(τ + κ_a - ηH)Δ₁ + (2β₁₅ + β₂₃₄)Δ₁|Δ₂|2 +

Δ+1,±1 =

A_xy ∓

A_yx - i(Ayy ±

A_xx) ,

+ β₂₃₄Δ₁|Δ₁|²

= 0,

(13)

[

]

Δ-1,±1 =

A_xy ∓

A_yx + i(Ayy ±

A_xx) ,

(τ + κ_a + ηH)Δ₂ + (2β₁₅ + β₂₃₄)Δ₂|Δ₁|2 +

Δ0,0 =

A_zz,

+ β₂₃₄Δ₂|Δ₂|² = 0.

(14)

(

)

Δ0,±1 =

√

A_zx ∓ iAzy

Данная система имеет два нетривиальных решения:

ηH - κ_a

-τ

Поскольку κ_a < 0, максимальная температура

|Δ₁|² =

≥ 0, Δ₂ = 0,

(15)

β₂₃₄

перехода получается в подпространстве

A_xz,

A_yz и

)

⁽τ+κ_a

ηH

соответствует появлению амплитуды Δ+1,0. Далее

|Δ₁|² = -

≥ 0,

обозначим Δ+1,0 = Δ₁, Δ-1,0 = Δ₂. Из равенства

β₁₂₃₄₅

β₁₅

τ+κa -ηH = 0 получим первую температуру пере-

(16)

)

хода

⁽τ+κ_a

ηH

(

)

2κ_a

|Δ₂|² = -

≥ 0.

1-κ₀ -

+ ηH

β₁₂₃₄₅

β₁₅

TP1c = T^c

556

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Фазовая диаграмма сверхтекучего³He. ..

Первое решение соответствует β-фазе и реализу-

сложно. Отметим, что вид спиновой части парамет-

ет минимум функционала в интервале температур

ра порядка β-фазы соответствует конденсату купе-

, где

ровских пар с проекцией спина S_z = +1, в то время

TP1c > T >

(

)

как в искаженной β-фазе присутствует также ком-

2κ_a

β₁₂₃₄₅

1-κ₀ -

- ηH

понента с S_z = -1. В этом смысле найденное рас-

TP2c =

-β₁₅

щепление T_c для спиновой компоненты параметра

Энергия β-фазы равна

порядка аналогично расщеплению A-фазы на A₁- и

-фазы в чистом³He. Согласно этому можно на-

A₂

1 (τ + κ_a - ηH)

зывать β-фазу и искаженную β-фазу соответствен-

ΔFP1 = -

β₂₃₄

но P₁- и P₂-фазами, считая, что буквой P обозна-

чается полярная фаза. Одним из эксперименталь-

При температуре T = TP2c появляется вторая амп-

ных следствий указанного различия двух фаз явля-

литуда параметра порядка. Ниже этой температу-

ется отсутствие продольной моды колебаний намаг-

ры минимум энергии соответствует «искаженной»

ниченности в P₁-состоянии (в P₂-фазе такая мода

β-фазе с параметром порядка вида

появляется).

Δ₁

Δ₂

3. Рассмотрим следующий фазовый переход вто-

√

(d_μ + ie_μ) m_j +

√

e^iϕ (d_μ - ie_μ)m_j

(17)

рого рода, который связан с появлением дополни-

тельной компоненты параметра порядка в подпро-

и энергией

странствах (6), (7). Для упрощения будем считать,

1 (τ + κ_a)

1 (ηH)²

что κ_a + αH² > 0, поэтому подпространство (8)

ΔFP2 = -

β₁₂₃₄₅

β₁₅

(компонента

A_zz) имеет более высокую температу-

ру перехода. Для того чтобы найти рассматрива-

Таким образом, при температуре T = TP2c происхо-

емую температуру перехода и определить, по от-

дит фазовый переход второго рода из β-фазы в ис-

ношению к каким компонентам параметра порядка

каженную β-фазу, а ширина области существования

возникает неустойчивость, необходимо разложить

β-фазы

функционал свободной энергии вблизи решения, со-

β₂₃₄

TP1c -

ответствующего высокотемпературной фазе (иска-

= ηH

T0c

-β₁₅

женной β-фазе), до членов второго порядка малости

В пределе слабой связи β₂₃₄/(-β₁₅) = 2, поэтому

по новым компонентам параметра порядка и диа-

ширина интервала существования β-фазы, как и в

гонализовать получившуюся квадратичную форму.

случае A₁-фазы для чистого³He, равна 2ηH. Для

При указанном разложении мы не будем использо-

оценки величины η можно воспользоваться резуль-

вать члены шестого порядка малости, считая, что

татами работы [13] для кремниевого аэрогеля, со-

|Δ1,2|⁴ ≪ ηH, т. е. κ2a ≪ ηH.

гласно которым для немагнитных примесей и дав-

Рассмотрим квадратичную форму относительно

ления 33 Бар η ≈ 2 · 10-3 (кГc)-1. Для данного дав-

восьми компонент параметра порядка:

ления и магнитного поля 6 кГс расщепление T_c бу-

дет порядка 0.02T0c, что составляет около 0.05 мК.

A_xx,A∗xx,Ayx,A∗yx,Axy,A∗xy,Ayy,A∗yy.

Зависимость величины η от давления можно оце-

нить, считая, что η ∼ 1/ε_F , т. е. при нулевом дав-

Без ограничения общности и для упрощения вы-

лении величина η должна быть примерно в полто-

кладок положим величину ϕ, относительно кото-

ра раза меньше, чем представленная выше оценка.

рой вырождена искаженная β-фаза, равной нулю.

Тем не менее, из-за вероятного увеличения значения

Матрица, соответствующая рассматриваемой квад-

комбинации β₂₃₄/(-β₁₅) при стремлении к пределу

ратичной форме, разбивается на два одинаковых

слабой связи суммарный эффект от изменения дав-

блока относительно компонент

A_xx,A∗xx,Ayx,A∗yx и

ления на ширину интервала TP1c -

предугадать

A_xy,A∗xy,Ayy,A∗yy. Данный блок имеет вид

⎛

⎞

β₂₄₅s² + β₂d² + τ

β₁₃s² - β₁d²

i(ηH + (β₅ - β₄)sd)

iβ₃sd

⎜

⎟

⎜

13s² - β1d²

β₂₄₅s² + β₂d² + τ

-iβ₃sd

-i(ηH + (β₅ - β₄)sd)⎟

⎜ β

^⎟,

(18)

⎜

⎟

⎝-i(ηH + (β5 - β4)sd)

iβ₃sd

β₂s² + β₂₄₅d² + τ

β₁s² - β₁₃d²

⎠

−iβ₃sd

i(ηH + (β₅ - β₄)sd)

β₁s² - β₁₃d²

β₂s² + β₂₄₅d² + τ

557

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

A^∗xy + A_xy

A_yy - A^∗yy

где введены обозначения

Δ^y

√

(0)

+Δ⁽⁰⁾²

Δ⁽⁰⁾¹ - Δ⁽⁰⁾²

A^∗xy + A_xy

A_yy - A^∗yy

√

Δ^y

= -i

√

а также Δx3, Δx4,

Δx

, получающимся из послед-

а Δ⁽⁰⁾¹, Δ⁽⁰⁾² даются выражениями (16). Перейдем к

новым переменным:

них выражений заменой x на y. В этих переменных

написанная выше матрица имеет блочный вид отно-

x,y

A^∗xy - A_xy

A_yy + A^∗yy

сительно переменных Δ

,Δx,y4 и

Δ^x,y,

Δ^x,y. С уче-

Δy3 = i

√

том того, что Δx,y3, Δx,y4 — действительные числа, а

x,y

A^∗xy - A_xy

A_yy + A^∗yy

Δ^x,y

— мнимые, запишем соответствующую

Δy4 = i

√

квадратичную форму:

(

)

(

)

(

)₂

(

)₂

(

)₂

(

)₂

[β₂₄-β₃] Δ⁽⁰⁾¹

+β₂₅

Δ⁽⁰⁾²

−ηH+τ (Δx,y3)²

+ β₂₅

Δ⁽⁰⁾¹

+[β₂₄-β₃] Δ⁽⁰⁾²

+ηH+τ (Δx,y4)² -

(

)

(

)₂

(

)₂

- 2Δ⁽⁰⁾¹Δ⁽⁰⁾²([2β₁ + β₃] - β₄₅)Δx,y3Δ^x,y

+ β₂₃₄

Δ⁽⁰⁾¹

+β₂₅

Δ⁽⁰⁾²

- ηH + τ

|Δx,y3|² +

(

)

(

)₂

(

)₂

+ β₂₅

Δ⁽⁰⁾¹

+β₂₃₄

Δ⁽⁰⁾²

+ ηH + τ

|Δx,y4|² - 2Δ⁽⁰⁾¹Δ⁽⁰⁾²(β₄₅ + [2β₁ + β₃])Δx,y3 Δx,y4.

(19)

Δ^x,y

Заметим, что подпространству

3,4

соответствует

диагональной при любых значениях γ и θ. Эта воз-

более низкая температура перехода, чем подпро-

можность реализуется, в частности, в пределе сла-

странству Δx,y3,4, так как в точке перехода Δ(0)1 ∼

бой связи. При выполнении данных условий макси-

мальная температура перехода соответствует появ-

∼ Δ⁽⁰⁾², а β₂₃₄ > β₂₄ - β₃, при этом величина β₂₅

лению амплитуды Δ₃. Матрица параметра порядка

мала в меру поправок сильной связи. Данный факт

в этом случае в произвольной системе координат бу-

является следствием того, что если Δx,y3,4 = 0, то амп-

дет иметь вид

Δ^x,y

литуды

3,4

связаны с амплитудами Δ⁽⁰⁾¹, Δ⁽⁰⁾² по-

воротами вокруг осей x, y на угол π/2, при которых

Δ₁

Δ₂

√

(d_μ+ie_μ)m_j+√

e^iϕ (d_μ-ie_μ)m_j +

теряется энергия анизотропии (по схожей причине

была исключена из рассмотрения амплитуда

A_zz).

Δ₃

Исходя из этого, далее мы ограничимся рассмотре-

√

(d_μ + ie_μ) in_j.

(20)

нием только амплитуд Δ(x,y)3,4. Амплитуды Δx3, Δy3

и Δx4, Δy4 имеют одинаковые температуры перехода

Здесь вектор n — произвольный вектор, перпенди-

и попарно связаны друг с другом поворотом систе-

кулярный вектору m. Температура перехода в рас-

мы координат на π/2 вокруг оси z. Поэтому введем

сматриваемую фазу определяется выражением

в рассмотрение следующие переменные Δ3,4, такие

(

)

что Δx3 = Δ₃ cos γ, Δy3 = Δ₃ sin γ, Δx4 = Δ₄ cos θ,

2β₂ - β₃ + β₄₅

1-κ₀+

κ_a +

TA3c = T^c

Δy4 = Δ₄ sinθ. В данных переменных рассматривае-

2β₁ + 3β₃ + β₄₅

)

мая квадратичная форма приобретает вид

β₁₂₃₄₅

2β₁ - β₃ + β₄₅

+ ηH

(21)

(

)

β₁₅

2β₁ + 3β₃ + β₄₅

(

)₂

(

)₂

[β₂₄-β₃] Δ⁽⁰⁾¹

+β₂₅

Δ⁽⁰⁾²

-ηH+τ Δ²³ +

которое в пределе слабой связи имеет вид

(

)

(

)₂

(

)₂

(

)

+ β₂₅

Δ⁽⁰⁾¹

+[β₂₄-β₃] Δ⁽⁰⁾²

+ηH+τ Δ²⁴ -

5κ_a

1-κ₀ +

+ ηH

(22)

TA3c = T^c

− 2Δ⁽⁰⁾¹Δ⁽⁰⁾²([2β₁+β₃] - β₄₅)cos(θ-γ)Δ₃Δ₄.

Отметим, что в пределе слабой связи возникает до-

Сначала рассмотрим случай, когда комбинации

полнительное вырождение, которое приводит к воз-

параметров β₄₅ = ε и 2β₁ + β₃ = ν равны нулю

можности фазового перехода второго рода из фазы

[5,6]. Тогда данная квадратичная форма становится

A₃ в фазу с параметром порядка вида

558

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Фазовая диаграмма сверхтекучего³He. ..

(0)

Δ₁

Δ₂

мы отбрасываем, так как в интересующей нас обла-

√

(d_μ+ie_μ) m_j +

√

e^iϕ (d_μ-ie_μ)m_j +

сти температур Δ1,2 ≫ Δ3,4, а (ν-ε)/(ν+ε) ∼ 1. Та-

Δ₃

Δ₄

ким образом, рассматриваемая далее фаза A₄ будет

√

(d_μ + ie_μ)in_j +

√

e^iϕ (d_μ - ie_μ) iv_j,

(23)

определяться выражением (23), в котором v = ±n.

Рассмотрим случай θ = 0 (v = n), решение с

где v — произвольный вектор, перпендикулярный

θ = π можно получить из него, сделав замену Δ₄ →

вектору m. Решение уравнений Гинзбурга - Ландау

→ -Δ₄, поэтому

в данном приближении дает температуру перехода

(

)

(0)

5κ_a

Δ₁

Δ₂

=T⁰

1-κ₀ +

- ηH

√

(d_μ+ie_μ)m_j+√

e^iϕ (d_μ-ie_μ)m_j +

Δ₃

Δ₄

Энергии рассматриваемых фаз определяются выра-

√

(d_μ + ie_μ) in_j +

√

e^iϕ (d_μ - ie_μ)in_j.

(31)

жениями

([

]

7κ_a

При подстановке θ = 0 в уравнения (26)-(29) полу-

FA3 = -

2τ +

+[τ+ηH]² +

чим систему из четырех кубических уравнений:

)

[

]₂

[

κ_a

9κ2a

Δ₁

β₂₃₄Δ²¹ + (2β₁₅ + β₂₃₄)Δ²² + (β₂₄ - β₃)Δ²³ +

+ 2ηH -

(24)

]

+ β₂₅Δ²⁴+κ_a-ηH-τ

+Δ₂Δ₃Δ₄(ε-ν) = 0,

(32)

)

([

]₂

κ_a

κ2a

F_A(0)

τ+

+ (ηH)² +

(25)

[

Δ₂

(2β₁₅ + β₂₃₄)Δ²¹ + β₂₃₄Δ²² + β₂₅Δ²³ +

]

Рассмотрим теперь малые отклонения от приб-

+ (β₂₄ - β₃)Δ²⁴ + κ_a + ηH - τ

лижения слабой связи. Запишем уравнения Гинз-

+ Δ₁Δ₃Δ₄(ε - ν) = 0,

(33)

бурга - Ландау относительно переменных Δ₁, Δ₂,

Δ₃, Δ₄ и переменной θ (без ограничения общности

[

Δ₃

(β₂₄ - β₃)Δ²¹ + β₂₅Δ²² + β₂₃₄Δ²³ +

можно положить γ = 0):

]

+ (β₂₅+ν+ε)Δ²⁴-ηH-τ

+Δ₁Δ₂Δ₄(ε-ν) = 0,

(34)

[

Δ₁

β₂₃₄Δ²¹ + (2β₁₅ + β₂₃₄)Δ²² + (β₂₄ - β₃)Δ²³ +

]

[

+ β₂₅Δ²⁴ + κ_a - ηH - τ

Δ₄

β₂₅Δ²¹ + (β₂₄ - β₃)Δ²² + (β₂₅ + ν + ε)Δ²³ +

]

+ Δ₂Δ₃Δ₄(ε - ν)cos θ = 0,

(26)

+ β₂₃₄Δ²⁴+ηH-τ

+Δ₁Δ₂Δ₃(ε - ν) = 0.

(35)

[

Одним из решений данной системы уравнений

Δ₂

(2β₁₅ + β₂₃₄)Δ²¹ + β₂₃₄Δ²² + β₂₅Δ²³ +

по-прежнему является фаза A₃ (если Δ₄

= 0).

]

+ (β₂₄ - β₃)Δ²⁴ + κ_a + ηH - τ

При этом из вида уравнения (35) сразу следует,

что при ν - ε = 0 переход из фазы A₃ в фазу A₄,

+ Δ₁Δ₃Δ₄(ε - ν)cos θ = 0,

(27)

если и возможен, то должен быть переходом пер-

[

вого рода, т. е. амплитуда Δ₄ должна измениться

Δ₃

(β₂₄ - β₃)Δ²¹ + β₂₅Δ²² + β₂₃₄Δ²³ +

скачком. Однако возможен другой вариант, при

]

+ (β₂₅ + ν + ε) cos² θΔ²⁴ - ηH - τ

котором происходит переход в фазу A₄ сразу из

искаженной β-фазы P₂, т. е. амплитуды Δ₃, Δ₄

+ Δ₁Δ₂Δ₄(ε - ν)cos θ = 0,

(28)

возникнут одновременно. Покажем, что именно

[

так и происходит. Для этого заметим, что в силу

Δ₄

β₂₅Δ²¹+(β₂₄-β₃)Δ²²+(β₂₅+ν+ε)cos² θΔ²³ +

малости коэффициентов ν, ε, β₂₅ члены с Δ₄ в

]

+ β₂₃₄Δ²⁴+ηH-τ

+Δ₁Δ₂Δ₃(ε-ν)cos θ = 0,

(29)

первых трех уравнениях можно считать малыми

поправками. Будем также считать, что Δ₄ ≪ Δ₃.

Из уравнения (35) вблизи точки перехода следует

Δ²³Δ²⁴(ν+ε)sin2θ+2Δ₁Δ₂Δ₃Δ₄(ε-ν)sinθ = 0. (30)

связь между амплитудами Δ₃ и Δ₄:

Решение уравнений, соответствующее всем четырем

Δ₁Δ₂

ненулевым амплитудам, накладывает ограничение

Δ₄ ≈ Δ₃

(ν-ε).

(36)

β₂₅Δ²¹+(β₂₄-β₃)Δ²²+ηH-τ

на угол θ. Из уравнения (30) следует, что sin θ = 0.

Второе возможное решение

В окрестности точки перехода можно оценить

Δ₁Δ₂ ν - ε

κ_a(ν - ε)

cosθ =

Δ₄ ∼ -Δ₃

Δ₃Δ₄ ν + ε

ηH

559

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Поэтому, чтобы было верно сделанное приближение,

(знак «+»), либо планарная фаза (знак «-»). По-

необходимо потребовать, чтобы выполнялось усло-

лученное выше решение непрерывным образом пе-

вие

реходит в одну из указанных фаз в зависимости от

(I)

κ_a|ν - ε|

знака ν - ε, а именно: A

→ A-фаза, A(II)4 → пла-

≪ 1.

ηH

нарная фаза. Введенный выше малый параметр

−κ_a|ν - ε|/ηH, описывающий возможность сделан-

Также отметим, что в зависимости от знака ν - ε

ного приближения, зависит от величин магнитного

произведение Δ₃Δ₄ имеет либо тот же знак, что и

поля и поправок слабой связи. Можно ожидать, что

произведение Δ₁Δ₂, либо противоположный. В пер-

при высоких давлениях, где поправки сильной свя-

вом случае назовем фазу A(I)4, а во втором — A(II)4.

зи максимальны, выражение для температуры пере-

Сдвиг температуры перехода в новую фазу от-

хода TA3c не будет являться хорошим приближени-

носительно TA3c можно оценить, подставив в послед-

ний член уравнения (34) найденное выражение для

ем. Отметим также, что между фазами A(I)4 и A(II)4

возможен фазовый переход первого рода. Для более

Δ₄ при T = TA3c:

подробного анализа необходимо численное решение

системы уравнений (32)-(35).

TA4c -

Помимо рассмотренных решений у функциона-

T⁰

ла есть еще один минимум, который возможен при

(Δ₁Δ₂)

(ν - ε)² ∼

учете подпространства (9). Данный минимум будет

β₂₅Δ²¹+(β₂₄-β₃)Δ²

+ηH-τA3

соответствовать искаженной B-фазе. Для того что-

⁽κ_a(ν - ε)⁾

бы оценить температуру перехода в указанную фа-

∼

ηH.

(37)

ηH

зу, будем искать решение в виде диагональной мат-

рицы с тремя главными значениями:

Таким образом, температура перехода в фазу A₄

=Δ₁d_μm_j + Δ₂e_μn_j + Δ₃f_μl_j.

(40)

оказывается выше температуры перехода в фазу A₃,

однако при выполнении неравенства κ_a(ν - ε) ≪ ηH

Рассматриваемое решение возникает при темпера-

ее можно аппроксимировать формулой (21). Раз-

туре T < (TB3c)^∗, где

ность энергий двух фаз определяется выражением

[

)

⁽β

1-κ₀ +

κ_a -

(TB3c )^∗ = T^c

β₃₄₅

[

(

)]

FA4-FA3 =

β₃₄₅Δ⁴⁴+

β₂₅Δ²¹+(β₂₄-β₃)Δ²² +

]

- αH²

1+2

(41)

+ (β₂₅ + ν + ε)Δ²³ + ηH + τ

Δ²⁴ +

β₃₄₅

+ 2(ν - ε)Δ₁Δ₂Δ₃Δ₄.

(38)

Зависимости амплитуд параметра порядка от тем-

пературы даются выражениями

(

)

Ниже точки перехода в области температур, где

⁽2β₁₂

β₁₂

справедливо выражение (36), можно пренебречь

Δ²¹ = -

τ+

κ_a-αH²

3β₁₂+β₃₄₅

β₃₄₅

членом c Δ⁴⁴, тогда

(

)

β₁₂ (

)

FA4 - FA3 ≈

Δ²² = -

τ-

κ_a + αH²

3β₁₂ + β₃₄₅

β₃₄₅

(ν - ε)²Δ²¹Δ²²Δ²³

≈-

(39)

β₂₅Δ²¹+(β₂₄-β₃)Δ²²+(β₂₅+ν+ε)Δ²³+ηH+τ

(

))

β₁₂

2β₁₂

Δ²³ = -

τ-

κ_a+αH2

Знаменатель данного выражения в окрестности тем-

3β₁₂+β₃₄₅

β₃₄₅

пературы TA4c положителен, что видно после подста-

новки в качестве нулевого приближения значений

Переход между фазами A(I)4 и B₃ является перехо-

Δ1,2 из (16). Поэтому фаза A₄ получается энергети-

дом первого рода, в то время как переход между

чески более выгодной по сравнению с фазой A₃.

фазами A(II)4 и B₃ может быть переходом второго

Вдали от точки перехода в фазу A₄ сделанное

рода. Фаза A(I)4 станет метастабильной при некото-

приближение применять нельзя. В этом случае член

рой температуре TB3c , которая вычисляется из усло-

с магнитным полем в формулах (32)-(35) становится

вия равенства свободных энергий двух фаз. Поэто-

относительно мал, а Δ₁ ≈ Δ₂, поэтому выражение

му следует ожидать, что существует температурный

(36) необходимо заменить на Δ₄ ≈ ±Δ₃, т. е. вда-

интервал TB3c < T < (

)^∗, где фаза B₃ также ме-

ли от точки перехода решением будет либо A-фаза

тастабильна, если переход происходит в фазу A(I)4.

560

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Фазовая диаграмма сверхтекучего³He. ..

P, бар

интервал устойчивости β-фазы. Если полярная

фаза при понижении температуры переходит в по-

P₁

лярно-искаженную A-фазу, то в сильном магнитном

поле будет переход в A(I)4-фазу, аналог A₂-фазы в

чистом³He. Напротив, если переход полярной фазы

в полярно-искаженную B-фазу является переходом

(I)

второго рода, то в сильном магнитном поле воз-

B₃

можна область устойчивости A(II)4-фазы, которая

является искаженной планарной фазой. Идентифи-

кация рассмотренных выше фаз возможна методом

ЯМР. Сдвиги ЯМР для представленного семейства

фаз должны быть приведены отдельно.

(II)

P₂

Автор признателен И. А. Фомину, В. В. Дмит-

риеву и А. А. Солдатову за полезные обсуж-

T/T_c

дения результатов. Исследование выполнено при

поддержке Российского научного фонда (проект

Фазовая диаграмма сверхтекучего³He в нематическом

№18-12-00384).

аэрогеле в сильном магнитном поле. N — нормальная фа-

за, P1 — β-фаза, P2 — искаженная β-фаза, A(I)4 — ис-

каженная A-фаза, A(II)4 — искаженная планарная фаза,

B3 — искаженная B-фаза. Параметры порядка указанных

ЛИТЕРАТУРА

фаз даются соответственно выражениями (10), (17), (31),

(40). Выражения для параметров порядка фаз A(I)4 и A(II)4

различаются знаком произведения Δ1Δ2Δ3Δ4

J. I. A. Li, J. Pollanen, A. M. Zimmerman et al.,

Nature Phys. 9, 775 (2013).

T. Kunimatsu, T. Sato, K. Izumina et al., Письма в

Если же рассматривается переход из A(II)4 в B₃, то

ЖЭТФ 86, 244 (2007).

)^∗.

TB3c = (

J. Pollanen, K. R. Shirer, S. Blinstein et al., J.

Вид фазовой диаграммы существенно зависит от

Non-Cryst. Sol. 354, 4668 (2008).

значений коэффициентов β_i, а также от зависимости

коэффициентов κ₀, κ_a от давления. Рассмотренные

K. Aoyama and R. Ikeda, Phys. Rev. B 73, 060504(R)

выше переходы схематически отражены на фазовой

(2006).

диаграмме на рисунке.

И. А. Фомин, Е. В. Суровцев, Письма в ЖЭТФ

4. Представленные в статье результаты справед-

97, 742 (2013).

ливы лишь в области применимости теории Ландау

И. А. Фомин, ЖЭТФ 145, 871 (2014).

для чистого³He. Также отметим, что параметр

порядка в некоторых типах аэрогеля может быть

V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A. A. Soldatov, and

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).

пространственно-неоднородным (по амплитуде и

форме), что не соответствует рассмотренному выше

R. Sh. Askhadullin, V. V. Dmitriev, D. A. Krasnikhin

приближению. Тем не менее, если количественного

et al., Письма в ЖЭТФ 95, 355 (2012).

согласия ожидать сложно, то качественные ре-

В. В. Дмитриев, А. А. Сенин, А. А. Солдатов и

зультаты, а именно, найденная последовательность

др., ЖЭТФ 146, 1242 (2014).

переходов, должны быть справедливыми и вне

рамок применимости рассмотренной модели. Это

10.

I. A. Fomin, J. Phys. Chem. Sol. 66, 1321 (2005).

следует из того, что в пренебрежении маленьким

11.

E. V. Surovtsev and I. A. Fomin, J. Low Temp. Phys.

спин-орбитальным взаимодействием орбитальную и

150, 487 (2008).

спиновую части параметра порядка можно считать

независимыми. Таким образом, если известно, что

12.

D. Vollhardt and P. Wölfle, The Superfluid Phases of

в нематическом аэрогеле в отсутствие магнитного

³He, Taylor and Francis, London (1990).

поля (в относительно слабом магнитном поле) есть

13.

J. A. Sauls and Priya Sharma, Phys. Rev. B 68,

область устойчивости полярной фазы, то в доста-

224502 (2003).

точно сильном магнитном поле следует ожидать

561

ЖЭТФ, вып. 3