ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 562-566

О ВЛИЯНИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ВЕРОЯТНОСТЬ

ЗАХВАТА ДИФФУНДИРУЮЩИХ ЧАСТИЦ

ПОГЛОЩАЮЩИМИ ЛОВУШКАМИ

В. Е. Архинчеев^*

Laboratory of Applied Physics, Advanced Institute of Materials Science, Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Faculty of Applied Sciences, Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Поступила в редакцию 17 сентября 2018 г.,

после переработки 17 сентября 2018 г.

Принята к публикации 8 октября 2018 г.

Рассмотрено влияние магнитного поля на захват диффундирующих частиц на ловушки. Показано, что

вероятность выживания частиц в среде с поглощающими ловушками в магнитном поле зависит от ве-

личины магнитного поля, и получены выражения для временных асимптотик вероятности выживания в

средах с ловушками в магнитном поле. Влияние магнитного поля на вероятность выживания обуслов-

лено изменением кривизны диффузионных траекторий из-за вращения частиц в магнитном поле под

действием силы Лоренца.

DOI: 10.1134/S0044451019030180

Впервые влияние электрического поля на захват

частиц на ловушки исследовалось в работах [13-15].

Напомним кратко, как вводится электрическое поле

1. ВВЕДЕНИЕ

в диффузионную задачу — это делается стандарт-

ным образом как анизотропия направления диффу-

Как известно, проблема случайных блужданий

зии, соответственно скорость дрейфа в электриче-

частиц в средах с ловушками исследовалась в раз-

ском поле E равна v = μE, μ — подвижность части-

личных работах [1-4]. Математическое описание

цы, т. е. сила со стороны электрического поля имеет

этой задачи было сформулировано в работах [3, 4]

стандартный вид: F = qE. Включение электриче-

и [5, 6]. Эта задача имеет множество приложений,

ского поля в задачу диффузии приводит к дрейфу

таких как диффузия вакансий в кристаллах с при-

со скоростью v и появлению другого нового пара-

месными центрами и случайные блуждания с памя-

метра — «полевого времени» t_E ∝ D/v². На вре-

тью. Задача о диффузии в среде со случайно рас-

менах порядка «полевого времени» дрейфовое сме-

пределенными ловушками также является класси-

щение сравнивается с диффузионным смещением:

ческой моделью для диффузионно-контролируемых

v²t2E ∝ Dt_E [16,17]. Недавно было показано, что на

химических реакций [7-12]. Были установлены сле-

больших временах t ≫ t_E вероятность выживания

дующие основные результаты. В изучаемой зада-

частиц, имеющая экспоненциальный характер, так-

че в среде с ловушками возникает новый параметр

же зависит от «полевого времени» [18]:

tc = 1/Dc2 — время диффузии на длину поряд-

(

)

[

]1/3

ка среднего расстояния между ловушками l_c = 1/c

(для одномерного случая), где D — коэффициент

W (t, E) ∝ W₀ exp

-C

(1)

t_E

диффузии, c — концентрация поглощающих лову-

шек, поэтому асимптотика вероятности выживания

В настоящей работе будет изучено влияние маг-

частиц оказывается различной на малых временах

нитного поля на вероятность выживания диффун-

t ≪ t_c [3] и на больших временах t ≫ t_c [4].

дирующих частиц. Именно, будет рассмотрен дрейф

частиц в магнитном поле в плоскости с абсолют-

^* E-mail: valeriy.arkhincheev@tdtu.edu.vn

но поглощающими ловушками, когда магнитное по-

562

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

О влиянии магнитного поля на вероятность захвата. ..

но поглощающими ловушками (ловушками, кото-

рые уничтожают частицы после поглощения). По-

явление магнитного поля в диффузионной задаче

приводит к еще одному новому физическому пара-

метру — циклотронной частоте ω_c = qH/m.

Основной особенностью движения, как указы-

валось выше, является вращение частиц в магнит-

ном поле, т. е. изменение диффузионных траекто-

рий из-за вращения под действием магнитного поля

на масштабах порядка расстояния между ловушка-

ми. Поэтому для оценки влияния магнитного поля

на движение частицы необходимо оценить скорость

а) Траектории случайных блужданий. б) Те же траектории

дрейфа. В изучаемой задаче действие магнитного

диффузии в магнитном поле

поля станет сильным, когда на длине, равной рас-

стоянию между ловушками, частица выполняет по

крайней мере одно вращение. Таким образом, мы

ле направлено перпендикулярно плоскости в среде

можем оценить эту скорость как

с ловушками. Будет установлена новая временная

асимптотика вероятности выживания частиц, зави-

ω_cl

v∝

(2)

сящая от магнитного поля.

t_H

2π

С физической точки зрения появление магнит-

Как описано в Приложении, вероятность выжива-

ного поля H в задаче диффузии приводит к новому

ния во внешних полях описывается в приближении

параметру, такому как циклотронная частота ω_c =

эффективного поля:

= qH/m, где q — электрический заряд, m — мас-

(

)

са частицы (здесь для простоты скорость света счи-

π²c²Dt

v²t

W (t) ∝ W₀ exp

тается равной 1), т. е. появляется новый временный

параметр t_H = 2π/ω_H . Следовательно, на больших

временах t ≫ t_H должна появиться новая времен-

Соответственно, используя оценку для скорости (2),

ная асимптотика. Влияние магнитного поля на веро-

получим выражение для вероятности выживания

ятность выживания обусловлено, очевидно, измене-

частицы в слабых магнитных полях:

нием диффузионных траекторий частиц, когда под

(

)

π²c²Dt

(ω_cl)²t

действием силы Лоренца F = qvH из-за вращения

W (t) ∝ W₀ exp

t ≪ t_H. (3)

16π²D

частиц в магнитном поле меняется кривизна диф-

фузионных траекторий (см. рисунок).

В случае сильных магнитных полей (что также

Статья строится следующим образом. В разд. 2

соответствует асимптотике больших времен t ≫ t_H)

на основании ранее полученных решений задачи

решение описывается выражением (A.6) из Прило-

диффузии в электрическом поле рассмотрен пере-

жения:

ход к диффузии в магнитном поле. Установлена вре-

менная асимптотика вероятности выживания, зави-

W (t; v) ≈

сящая от величины магнитного поля. Далее развит

∫

∞

(

)

∑

π²(2n + 1)²

скейлинговый подход для описания захвата в маг-

≈

exp

-D

- cl dl.

(4)

l²

нитном поле. В разд. 3 сделаны выводы и обсужда-

n=0 0

ются результаты работы.

Соответственно решение также ищется методом пе-

ревала, при этом сама перевальная точка определя-

ется минимумом выражения

2. ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА

АСИМПТОТИКУ ВЕРОЯТНОСТИ

π²

ω_cl²

f (l) = D

(5)

ВЫЖИВАНИЯ В ДВУМЕРНЫХ СРЕДАХ С

l²

8πD

ПОГЛОЩАЮЩИМИ ЛОВУШКАМИ

Таким образом, получаем для вероятности выжива-

В настоящем разделе рассматривается диффу-

ния частиц, диффундирующих в двумерной среде

зионное движение частиц в плоскости, перпендику-

с ловушками в перпендикулярном магнитном поле,

лярной направлению магнитного поля, с абсолют-

следующее выражение:

563

12*

В. Е. Архинчеев

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

(

)

W (t; H) ∝ W₀ exp

-C₂(ω_ct)1/2

(6)

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, получена новая зависимость ве-

Здесь C₂ — постоянная величина. Как следует из

роятности выживания частиц в среде с поглощаю-

выражения (6), в сильном магнитном поле вероят-

щими ловушками от магнитного поля — формулы

ность выживания частиц в среде с поглощающими

(6) и (9). Отметим, что временная асимптотика ве-

ловушками на больших временах определяется но-

роятности выживания частиц в средах с поглощаю-

вым механизмом — вращательным движением час-

щими ловушками в магнитном поле была получена

тиц в магнитном поле. Полученное решение можно

двумя методами: путем аналитического решения и

получить и иным способом, используя скейлинговый

методом скейлинга.

подход.

В магнитных полях физическим фактором появ-

ления зависимости вероятности выживания частиц

2.1. Скейлинговое описание задачи захвата

от магнитного поля является кривизна диффузион-

диффундирующих частиц на ловушки в

ных траекторий в магнитном поле. В слабых маг-

магнитном поле

нитных полях диффузия имеет обычный случайный

характер, но в сильных магнитных полях траекто-

Для скейлингового описания задачи диффузии

рии частиц за счет вращательного движения частиц

в среде с ловушками, помещенной в перпендикуляр-

искривляются на расстоянии порядка среднего рас-

ное магнитное поле, введем двухпараметрическую

стояния между ловушками:

функцию W(x, z):

(

)

2πv

W₀

l=vt_H =

∝

(10)

= S(x,z).

(7)

ω_c

c1/d

W (x, z)

Здесь скейлинговая функция S(x, y) зависит от двух

Как следует из выражения (6), в сильных магнит-

ных полях, когда на длинах, равных примерно сред-

переменных: x = t/tc и z = t/tH . Следователь-

но, необходимо исследовать свойства двухпарамет-

нему расстоянию между ловушками, частица успе-

вает совершить несколько вращений, мы получа-

рической скейлинговой функции. В предельном слу-

чае малых магнитных полей, когда t_c ≪ t ≪ t_H ,

ем новое асимптотическое поведение, обусловленное

действием магнитного поля. Полученные результа-

получим скейлинговую функцию S(x, 0), соответ-

ствующую известной формуле для двумерного слу-

ты описывают вероятность выживания частиц, диф-

фундирующих по двумерной плоскости, перпенди-

чая [4, 6]:

(

)

кулярной магнитному полю, которая явным обра-

[

]

1/2

зом зависит от величины внешнего магнитного по-

W (t; t_c) ∝ W₀ exp

t_c

ля, см. формулы (6) и (9). Таким образом, меняя

величину внешнего поля, можно контролировать ве-

Но в другом предельном случае t_c ≪ t_H ≪ t или

роятность выживания и захвата частиц на ловушки.

в случае сильных магнитных полей скейлинговая

Второе направление применения полученных ре-

функция должна зависеть от переменной z = t/t_H.

зультатов — диффузионно-контролируемые реак-

Согласно общим свойствам скейлингового подхода

ции [8, 23, 24]. Согласно приведенным выше резуль-

[19-22] двухпараметрическая скейлинговая функ-

татам скорость протекания этих реакций может

ция должна иметь автомодельный вид и зависеть

контролироваться внешними магнитными полями.

от автомодельной комбинации параметров:

Кроме того, локализация диффундирующих частиц

)

⁽z

S(x, z) = x1/2s

(8)

может дополнительно контролироваться внешними

магнитными полями за счет вращения в конечной

где s(z/x) — скейлинговая функция. В случае боль-

области и, как результат, это должно привести к

ших времен и сильных магнитных полей, t_c ≪ t_H ≪

увеличению частоты взаимодействий реагентов.

≪ t, получим следующий результат:

)

ПРИЛОЖЕНИЕ

⁽z

S(x, z) ∝ x1/2s

=z1/2.

(9)

Влияние внешних полей на временную

Следовательно, с помощью скейлингового подхода

асимптотику вероятности выживания в

мы вновь приходим к ранее полученному результа-

средах с поглощающими ловушками

ту (6)

(

)

Электрическое поле в проблему диффузии в сре-

W (t; H) ∝ W₀ exp

-C₂[ω_c

t]1/2

дах с поглощающими ловушками вводится стан-

564

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

О влиянии магнитного поля на вероятность захвата. ..

дартным образом как анизотропия в направлении

ЛИТЕРАТУРА

по и против электрического поля. Соответственно,

уравнение диффузии в электрическом поле примет

E. W. Montroll and G. H. Weiss, J. Math Phys. 6,

вид

167 (1965).

∂W(x,t)

∂²W(x, t)

∂W(x,t)

A. A. Ovchinnikov and A. A. Belyi, Theor. Exp.

-v

(A.1)

∂t

∂t²

∂x

Chem. 2, 405 (1966).

Здесь v = μE — дрейфовая скорость частиц в элект-

G. V. Ryazanov, Teor. i Matem. Fizika 10,

271

рическом поле E, μ — подвижность частицы. На-

(1972).

чальные и граничные условия ставим аналогично

сформулированным выше условиям (7). Соответ-

B. Ya. Balagurov and V. G. Vaks, Sov. Phys. JETP

ственно, по-прежнему ищем решение в виде

38, 799 (1974).

∑

M. Donsker and S. Varadhan, Comm. Pure Appl.

W (x, t; E) =

c_nϕ_n exp(-E_nt).

(A.2)

Math. 28, 525 (1975).

n=0

При этом выражения для собственных функций ме-

M. Donsker and S. Varadhan, Comm. Pure Appl.

Math. 32, 721 (1979).

няются:

)

⁽v(x - x_i)

F. Benitez, C. Duclut, H. Chaté, B. Delamotte,

ϕ_n = exp

sin(k_n(x - x_i)),

(A.3)

I. Dornic, and M. A. Muñoz, Phys. Rev. Lett. 117,

100601 (2016).

а собственные значения определяются как

Sang Bub Lee, In Chan Kim, C. A. Miller, and S. Tor-

E_n = Dk2n +

(A.4)

quato, Phys. Rev. B 39, 11833 (1989).

Соответственно, в приближении среднего поля

I. Fouxon and M. Holzner, Phys. Rev. E 94, 022132

(2016).

получим

(

)

v²t

10.

N. Felekidis, A. Melianas, and M. Kemerink, Phys.

W (t; E) ∝ exp

(A.5)

Rev. B 94, 035205 (2016).

На больших временах асимптотика вероятности вы-

11.

V. Sapozhnikov, J. Phys. A: Math. Gen. 27, L151

живания частиц, диффундирующих в среде с ло-

(1994).

вушками, определяется флуктуациями концентра-

12.

A. Ordemann, G. Berkolaiko, S. Havlin, and A. Bun-

ции ловушек, т. е. областями, свободными от ло-

de, Phys. Rev. E 61, 1005 (2000).

вушек из-за флуктуаций. Именно наличие таких

флуктуационных областей и определяет времен-

13.

P. Grassberger and I. Procaccia, Phys. Rev. A 26,

ные асимптотики вероятности выживания частиц в

3686 (1982).

средах с ловушками. Соответственно, согласно [4]

14.

B. Movaghar, B. Pohlmann, and D. Würtz, Phys.

необходимо усреднить полученное выше выраже-

Rev. A 29, 1568 (1984).

ние (A.2) по случайному расположению ловушек.

(В нашей работе оно принято в пуассоновском ви-

15.

V. Mehra and P. Grassberger, Physica D 168, 244

де.) Таким образом, асимптотический вид решения

(2002).

во флуктуационной области определяется следую-

щим выражением (подробнее см. [18]):

16.

В. Е. Архинчеев, Письма в ЖЭТФ 67, 518 (1998).

W (t; E) ≈

17.

V. E. Arkhincheev, AIP Conf. Proc. 553, 231 (2001).

∫

∞

(

)

∑

18.

В. Е. Архинчеев, ЖЭТФ 151, 322 (2017).

π²(2n+1)²

≈

exp

-D

-cl dl. (A.6)

l²

n=0 0

19.

Y. Gefen, A. Aharony, and S. Alexander, Phys. Rev.

Lett. 50, 77 (1983).

Таким образом, появление внешнего поля в изуча-

емой задаче приводит к новому экспоненциальному

20.

A. Stanley, K. Kang, S. Redner, and R. L. Blumberg,

множителю exp(-vl/4D).

Phys. Rev. Lett. 51, 1223 (1983).

565