ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 567-572

ИОННЫЕ ТОКИ В ПЛОСКОЙ МЕМБРАНЕ

В. Г. Каменский^*

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 3 октября 2018 г.,

после переработки 3 октября 2018 г.

Принята к публикации 4 октября 2018 г.

Ионные токи, проходящие через образующие поверхность клетки мембраны, играют важную роль в пове-

дении биологических объектов. В рамках электродиффузионной модели рассмотрено поведение плоской

мембраны в электролите. Показано, что под воздействием флуктуаций плотности белков мембраны,

внешнего потенциала либо концентраций ионов электролита возможно возникновение неустойчивости,

приводящей к развитию ионных токов в клетке. Найдена длинноволновая мода, описывающая изменение

концентраций ионов электролита вдоль мембраны. Определены пороги неустойчивости. Изучено влияние

поверхностных зарядов мембраны на величину порогов неустойчивости.

DOI: 10.1134/S0044451019030192

ванной геометрической поверхности. Хотя реальные

клетки представляют собой замкнутые геометриче-

ские формы (близкие к цилиндрам, сферам и т. д.),

1. ВВЕДЕНИЕ

в ряде случаев представляет интерес и рассмотре-

ние более простой геометрии — геометрии плоской

мембраны. Такая геометрия значительно упрощает

Как известно, важную роль в поведении биоло-

построение моделей для описания процессов, проис-

гических объектов играют ионные токи. Они во мно-

ходящих в клетках, и учет соответствующих внеш-

гом определяют такие процессы как рост и деле-

них и граничных условий. В то же время, она позво-

ние клеток. Такие токи наблюдались эксперимен-

ляет получить основные закономерности изучаемых

тально [1, 2]. Было установлено, что механизмом,

явлений, сохраняющиеся и в более сложных гео-

ответственным за их возникновение и формирова-

метрических структурах. Кроме того, такие моде-

ние, является движение белков в мембране под воз-

ли могут иметь и самостоятельное значение для ис-

действием электрических полей системы на заряды

следования искусственно синтезированных плоских

белков [3-7]. Для объяснения возникновения ионных

мембран, а также для экспериментальных ситуаций,

токов в клетках были предложены различные моде-

при которых клетка, помещенная на твердую под-

ли, так или иначе учитывающие геометрию клетки,

ложку, покрытую тонким слоем электролита, рас-

упругие и электрические свойства образующих по-

текается и образует практически плоскую нижнюю

верхность клетки мембран, химические реакции и

границу. Так, например, в работе [11] для изучения

другие факторы, влияющие на изучаемые процессы

влияния свойств каналов была рассмотрена плоская

[3-15]. Общим для всех моделей является тот факт,

мембрана с искуственными каналами Физическая

что ионные токи есть следствие возникновения ди-

модель, которая будет рассматриваться в данной ра-

намической неустойчивости при изменении некото-

боте, представляет собой плоскую двухслойную ли-

рых внешних управляющих параметров.

см. С обеих

пидную мембрану толщиной d ∼ 10-7

Обычно заметные ионные токи возникают уже

сторон мембраны имеется электролит. Сама мем-

на ранней стадии развития неустойчивости (до воз-

брана непроницаема для ионов электролита, одна-

никновения деформации исходной формы клетки),

ко в плоскость мембраны встроены белки, которые

что позволяет рассматривать модели, в которых

под воздействием внешних факторов (мембранного

клетка может быть представлена в виде фиксиро-

потенциала, ионной концентрации, химических про-

цессов и т. д.) могут осуществлять активное (помпы)

^* E-mail: kamenski@kapitza.ras.ru

567

В. Г. Каменский

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

или пассивное (каналы) прохождение ионов элект-

2. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИФФУЗИОННОЙ

ролита через мембрану. Белки могут перемещаться

МОДЕЛИ

в плоскости мембраны как посредством диффузии,

так и под действием электрических сил, поскольку

Для описания возникающих в системе электро-

диффузионных явлений используются следующие

имеют заряженные окончания на внешней и внут-

ренней сторонах мембраны. В исходном стационар-

уравнения:

ном состоянии белки распределены по поверхности

1) уравнение Нернста - Планка для потока ионов

клетки равномерно и не пропускают ионные токи.

сорта j с концентрацией C_j

Однако при возникновении флуктуации плотности

(

)

ez_j

белков либо внешних условий может возникнуть си-

J_j = -D_j

∇C_j + C_j

∇Φ ,

(1)

туация, когда белки, находящиеся в области флук-

туации, начнут проводить ионные токи, что, в свою

где D_j — коэффициент диффузии, ez_j — заряд иона,

очередь, будет способствовать дальнейшему нарас-

k — константа Больцмана, Φ — электрический по-

танию токов. В результате такого процесса система

тенциал;

становится неустойчивой. По мере развития такой

2) уравнение непрерывности

неустойчивости на поверхности мембраны формиру-

ется периодическая структура, состоящая из чере-

∂C_j

ez_j

-divJ_j =

= D_j[△C_j +

div(C_j ∇Φ)];

(2)

дующихся областей белков, пропускающих и не про-

∂t

пускающих ионы электролита. Такая картина каче-

3) уравнение Пуассона

ственно соответствуетэкспериментальным наблюде-

ниям. Плоская геометрия рассматривалась в ряде

работ. Так называемая «модель кабеля» [7] основана

△Φ = -

(3)

на использовании уравнения диффузии для белков в

∑

плоскости мембраны и уравнения типа телеграфно-

Здесь ϱ =_j N_aez_jC_j — объемный заряд, N_a — чис-

го для мембранного потенциала. При этом характе-

ло Авогадро, ϵ — диэлектрическая постоянная элек-

ристики самой мембраны и окружающего ее элект-

тролита;

ролита описываются с помощью некоторых усред-

4) уравнение движения белков

ненных феноменологических параметров, имеющих

вид проводимости и емкости мембраны и сопротив-

∂N

ления электролита. Хотя эта модель и допускает

∂t

возникновение неустойчивостей, однако в силу своей

;

ограниченности она не описывает поведения ионных

=D_p △_SN+

div_S [N∇_S (Z_iΦ_i + Z_eΦ_e)]

(4)

токов вдали от мембраны и не учитывает особенно-

сти строения мембраны и свойства окружающего ее

где N — поверхностная плотность белков в прибли-

электролита. Более полное описание дают электро-

жении их непрерывного распределения, eZ_i,e — их

диффузионные модели [8-15], в основе которых ле-

заряды на нижней и верхней поверхностях мембра-

жит уравнение Нернста - Планка для потока ионов.

ны (здесь и в дальнейшем мы будем использовать

В отличие от предыдущей модели они в явном ви-

индексы «i» и «e» для всех величин соответствен-

де учитывают распределение потоков концентраций

но на нижней и верхней поверхностях мембраны),

ионов электролита, величины поверхностных заря-

Φ_i,e — соответствующие потенциалы вблизи мембра-

дов мембраны и зарядов белков, а также позволя-

ны, D_p — коэффициент диффузии белков в плоско-

ют рассмотреть различные механизмы проводимо-

сти мембраны, индекс S означает выполнение мате-

сти ионов электролита белками мембраны. Одной из

матической операции в плоскости мембраны;

простых и наглядных моделей, дающих описание об-

5) уравнение для полного тока ионов

суждаемых явлений, является модель, рассмотрен-

∑

ная в работах [8,9]. Однако принятые в этих рабо-

I = N_aez_jJ_j.

(5)

тах приближения существенно ограничивают общ-

ность получаемых результатов и их зависимости от

характерных параметров задачи. В дальнейшем мы

Приведенные уравнения совместно с граничны-

рассмотрим эту модель, сохранив ее основные по-

ми условиями на потенциалы и концентрации ионов,

ложения, но с необходимыми с нашей точки зрения

а также условиями прохождения токов через мем-

поправками и дополнениями.

брану в принципе полностью описывают модель.

568

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Ионные токи в плоской мембране

3. CТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ

где

σ_i + σ_e + 2αχσ_e

σ_i + σ_e + 2αχσ_i

Стационарное состояние получается при услови-

Φ^be =

Φ^bi =

ях N = const, J_j = 0. Условие отсутствия ионных

2ϵχ(1 + αχ)

потоков дает

значения потенциалов на границах мембраны. Как

[

]

ez_j

следует из экспериментальных данных, величина

C^i,ej = Ci,ej0 exp -

(Φ_i,e - Φ0i,e) ,

α ∼ 10-6-10-7 м, χ ∼ 10⁹ м-1, т.е. αχ ≫ 1, поэтому

мы можем принять

где Ci,ej0 и Φ0i,e — значения концентрации и потен-

циала на больших расстояниях от мембраны. При

σ_e

σi

Φ^be =

Φ^bi =

(12)

ez_j(Φ_i,e - Φ0i,e)/kT ≪ 1 (что подтверждается экспе-

ϵχ

риментальными данными) концентрация C_j может

Отсюда непосредственно следует, что поскольку

быть представлена в виде

(e/kT )-1 ∼ 25 мВ, а z_j ∼ 1, условие разложения экс-

[

]

ez_j

поненты в (6) выполняется при σ_i,e < 10-3 Кл/м²,

C^i,ej = Ci,ej0 1-

(Φ_i,e - Φ0i,e) ,

(6)

что соответствует экспериментальной ситуации.

а плотность заряда

4. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ

ϱ_i,e = ϱ0i,e - ϵχ2i,e(Φ_i,e - Φ0i,e),

(7)

Считая отклонения от стационарного состояния

где χ-1 = λ_D — дебаевский радиус

малыми (что позволяет провести изучение возник-

∑

N_ae

новения неустойчивости относительно флуктуаций

χ² =

z2jCj0.

ϵkT

каких-либо физических переменных системы в ли-

нейном приближении), представим эти переменные

В последующем мы будем полагать χ_i = χ_e, что

в следующем виде:

несущественно скажется на окончательных резуль-

C_j = C^stj + c_j, Φ = Φ^st + ϕ, N = n₀ + n_p,

татах.

Естественными граничными условиями на бес-

∑

ϱ = ϱ^st + ρ, ρ =

N_aez_jc_j,

конечности (имея в виду экспериментальную ситуа-

цию) представляются условие электронейтральнос-

ти ϱ0i,e = 0 и конечность значений потенциала, что в

где C^stj, ρ^st, Φ^st определяются соответственно фор-

данной геометрии автоматически приводит к усло-

мулами (6), (10) и (11), n₀ — поверхностная плот-

вию Φ0i,e = 0. Граничные условия на мембране, пред-

ность белков в стационарном состоянии. Индекс

ставляющей собой слой диэлектрика с координата-

«st» обозначает исходное стационарное состояние.

ми (-d, d) по оси z и диэлектрической проницаемо-

Подстановка этих выражений в уравнения (1)-(5) и

стью ϵ_m, следуют из условий непрерывности потен-

их линеаризация приводят к необходимому набору

циала и нормальной составляющей электрической

уравнений.

индукции и имеют вид

Остановимся сначала более подробно на уравне-

(

)

нии для c_j , следующем из (2) с учетом линеаризации



∂Φ_i

σ_i

и разложения (6):

Φ_i - Φ_e = 2α



(8)



∂z

z=-d

∂c_j

ez_j

[

]



= △c_j+

div

C^stj∇ϕ+c_j∇Φ^st

= △c_j +

∂Φ_i

∂Φ_e

σ_i + σ_e

D_j

∂t



(9)



[

]

∂z

ez_j

z=-d

z=d

C^stj△ϕ+

∇C^stj∇ϕ + ∇c_j ∇Φ^st + c_j △Φ^st

где α = dϵ/ϵ_m, а σ_i, σ_e — полные поверхностные

плотности зарядов, включающие в себя заряды ли-

Поскольку в стационарном состоянии Φ^st зависит

пидов и заряды белков. При Φ(∞) = 0, ϱ(∞) = 0 из

только от z, это уравнение принимает вид

(7) следует

∂c_j

ez_j

ϱ_i,e = -ϵχ²Φ_i,e,

(10)

= △c_j +

C^stj△ϕ +

Dj ∂t

что вместе с уравнением Пуассона дает

]

^[∂Φ^st ∂c

∂²Φ^st

ez_j

∂Φ^st ∂ϕ

+c_j

C^st

(13)

Φ_e = eχ(d-z)Φ^be, Φ_i = eχ(d+z)Φ^bi,

(11)

∂z

∂z²

∂z

569

В. Г. Каменский

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

В работах [8,9] члены уравнения (13), стоящие в

I^i,ez

∂ρ_i,e

± γi,e exp(l ± y)(bρ_i,e - av_i,e)+

квадратных скобках, были опущены и в результате

Dχ

∂y

умножения каждого уравнения на N_aez_j и сложе-

∂φ_i,e

+ (1 - bγ_i,e exp (l ± y)

(18)

ния всех уравнений была образована единственная

∂y

∑

величина ρ =_j N_aez_jc_j, которая в дальнейшем и

В принципе, решение уравнений (14)-(18) с со-

использовалась. Представляется, что такая замена

ответствующими граничными условиями позволяет

j уравнений одним является сильным ограничени-

найти дисперсионное уравнение. Однако для про-

ем и неявно накладывает определенные связи на ве-

стоты мы ограничимся нахождением волновых век-

личины c_j . Кроме того, пренебрежение указанными

торов, при которых кривая ω(κ) обращается в нуль

выше членами уравнений приводит к полной поте-

(т. е. границ области неустойчивости). Очевидно,

ре информации о поверхностных зарядах мембраны.

что одним из них является κ = 0 — однородное

Поэтому, хотя эти члены в силу условия разложения

распределение белков и, соответственно, отсутствие

(6) и являются малыми, в отличие от работ [8,9] мы

ионных токов. Для нахождения второго волнового

сохраним их, что, как станет ясно несколько позже,

вектора положим ω = 0 в уравнениях (14)-(16).

существенно для дальнейших результатов.

Уравнение (14) при этом принимает простой вид

В дальнейшем для простоты будет рассматри-

△ρ_i,e - ρ_i,e = 0.

(19)

ваться случай двухкомпонентной системы ионов

электролита. Будем считать также, что ионы не мо-

(Ввиду наличия в правой части (14) члена ρ_i,e и в

гут оседать или задерживаться при прохождении

силу малости коэффициентов γ_i,e, остальные члены

ими белковых каналов, а коэффициенты диффузии

можно опустить.) Подставляя в это уравнение ρ =

для обоих видов ионов одинаковы и не различаются

= f(y)exp(iκX) и с учетом того, что мы ограничим-

по разные стороны от мембраны. Кроме того, как и

ся лишь рассмотрением случая флуктуаций с харак-

в работах [8,9] будем предполагать, что флуктуации

терными волновыми векторами κ ≪ 1, получим

имеют вид f ∼ f(y) exp(ωτ + iκX).

ρ_i,e = B_i,ee^±y.

(20)

Вводя величины ρ = N_ae(z₁c₁ + z₂c₂) и v =

= N_ae(c₁ + c₂) и проводя замену переменных τ =

(Граничные условия на ρ и φ вдали от мембраны

= Dχ²t, y = χz, X = χx, l = χd, φ = ϵχ²ϕ, получим

такие же, как и ранее, поэтому выбраны убываю-

щие на бесконечности части общего решения.) По-

∂ρ_i,e

скольку нас интересует лишь начальная стадия раз-

= △ρ_i,e - ρ_i,e + γ_i,e exp(l ± y)×

∂τ

вития неустойчивости (т. е. квазистационарный слу-

(

)

∂ρ_i,e

∂v_i,e

∂φ_i,e

чай), мы можем использовать уравнение Пуассона

× 2bρ_i,e ± b

∓a

- av_i,e ∓ b

(14)

∂y

△φ_i,e = -ρ_i,e, что вместе с уравнением (19) дает

△(φ_i,e + ρ_i,e) = 0.

(21)

∂v_i,e

= △v_i,e + γ_i,e exp(l ± y)×

Решение этого уравнения с теми же условиями, что

∂τ

(

)

и для уравнения (19), имеет вид

∂ρ_i,e

∂φ_i,e

× 2ρ_i,e ±

∓

(15)

∂y

φ_i,e = A_i,ee^±κy + B_i,ee^±y.

(22)

Коэффициенты A_i,e и B_i,e в уравнениях (20), (22)

Здесь γ_e = (e/kT)Φ^be ≪ 1, γ_i = (e/kT)Φ^bi ≪ 1, a =

включают в себя зависимость от X. Уравнение для

= z₁z₂, b = z₁ + z₂ (тут и далее верхние знаки соот-

v_i,e имеет вид

ветствуют индексу «i», а нижние индексу «e»).

Уравнение движения белков

∂²v_i,e

- κ²v_i,e = h_i,e(y),

(23)

[

]

∂y²

∂n_p

D_p

∂²

en₀

n_p +

(Z_iφ_i + Z_eφ_e)

(16)

где

∂τ

D ∂X²

kTεχ²

[

(

)]

∂ρ

i,e

∂φ_i,e

h_i,e(y) = - γ_i,e exp(l ± y)

2ρ_i,e ±

∓

Уравнение для потока концентрации ионов через

∂y

мембрану

Решение уравнения (23) может быть представле-

(

)

J^i,ez

∂v_i,e

∂φ_i,e

но в виде

± γi,e exp(l ± y) ρ_i,e ∓

(17)

∫

Dχ

∂y

v = v₀(y) + G(y - y^′)h_i,e(y^′)dy^′,

(24)

Уравнение для потока зарядов ионов через мембра-

ну

где функция Грина

570

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Ионные токи в плоской мембране

{

-κ(y-y^′)

y>y^′,

при γ_i,e/κ ≪ 1

G(y - y^′) = -

(25)

2κ

eκ(y-y′)

y<y^′,

eI₀

κ₀₁ =

(Z_i - Z_e).

(33)

kTDχ²ϵ

v₀(y) = U_ee^-κy + U_ie^κy.

(26)

Подставляя в (24) выражения (20), (22) и выбирая

Величина κ₀₁ совпадает с величиной волнового

для v₀(y) не расходящиеся на бесконечности части

вектора найденного в работах [8,9], поскольку усло-

в соответствующих областях y, получим

вие малости отношения γ_i,e/κ практически сводит

наше рассмотрение к этой модели. Однако в обрат-

γ_i,e

v_i,e = U_i,ee^±κy +

ном случае (т. е. при больших величинах поверх-

2κ

ностного заряда мембраны либо меньших волновых

× {2B_i,e exp[-l+κ(l ± y)]-A_i,eκ exp(±κy)}.

(27)

векторах) величина κ₀ имеет другую форму и зави-

сит от величины полного поверхностного заряда.

На границах мембраны должны выполняться

Заметим, что соотношение между κ₀ и κ₀₁ можно

условия непрерывности потока концентрации ионов

записать в следующем виде:

через мембрану

J^iz = J^ez

(28)

(σ_i - σ_e)(Σ_i + Σ_e)

κ₀ =

κ₀₁,

и потока зарядов ионов через мембрану

(σ_i + σ_e)(Σ_i - Σ_e)

I^iz = I^ez = I,

(29)

где Σ_i,e — плотность зарядов белков в мембране в

стационарном состоянии. Очевидно, что (32) пере-

где I = I₀n_p/N^st — ионный ток через каналы и пом-

ходит в (33) в случае, когда в σ_i,e можно пренебречь

пы. Для определенности (как и в работах [8, 9]) бу-

плотностью зарядов липидов по сравнению с плот-

дем рассматривать лишь зависимость этого тока от

ностью зарядов белков.

плотности белков в мембране. Граничные условия

для потенциала у мембраны имеют вид, аналогич-

ный (8), (9), однако, в отличие от стационарного слу-

i,e = eZi,enp, поскольку согласно принятой на-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ми модели только белки перемещаются в плоскости

мембраны. С учетом сделанной замены переменных

Проведенное рассмотрение показывает, что элек-

имеем

тродиффузионная модель [8, 9] может применяться

(

)

для описания возникновения ионных токов в биоло-



∂φ_i



гических объектах в силу ее простоты и наглядно-

φ_i|y=-l -φ_e|y=l = 2α

+ eZ_iχn_p

(30)



∂y

y=-l

сти. Следует, однако, отметить, что в случае мно-

гокомпонентных ионных электролитов необходимо



∂φ_i

∂φ_e

раздельно рассматривать уравнения прохождения



= eχ(Z_i + Z_e)n_p.

(31)



∂y

через мембрану каждой компоненты и граничные

y=-l

y=l

условия для них. Такой подход позволит не только

Заметим, что в работах [8,9] в этих граничных усло-

дать более точное описание происходящих процес-

виях опущены члены, пропорциональные n_p, хотя

сов, но и даст возможность рассмотреть случаи,

именно флуктуации плотности белков и приводят к

когда механизмы прохождения ионов через помпы

возникновению неустойчивости.

или каналы различны для различных компонент.

Подставляя в граничные условия (28)-(31) зна-

Естественно, что результаты рассмотрения реаль-

чения ρ_i,e, φ_i,e, v_i,e и их производных, после неслож-

ных геометрий объектов будут заметно отличаться

ных, но довольно громоздких вычислений получим

от полученных выше, однако методы и последова-

для граничного волнового вектора κ₀ в двух пре-

тельность решения, осуществленные в данной рабо-

дельных случаях:

те, могут быть применены и в этих случаях.

при γ_i,e/κ ≫ 1

Работа выполнена при частичной финансовой

eI₀

(γ_i - γ_e)(Z_i + Z_e)

κ₀ =

≡

поддержке в рамках Программы фундаментальных

kTDχ²ϵ

γ_i + γ_e

исследований Президиума РАН «Актуальные про-

I₀

(σ_i - σ_e)(Z_i + Z_e)

≡

;

(32)

блемы физики низких температур».

kTDχ²ϵ

σ_i + σ_e

571