ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 4, стр. 579-589
© 2019
ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ
КАНАЛИРОВАНИИ УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЛЕПТОНОВ
Н. П. Калашниковa, Е. А. Мазурa,b*
a Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
115409, Москва, Россия
b Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»
123122, Москва, Россия
Поступила в редакцию 2 июля 2018 г.
после переработки 24 октября 2018 г.
Принята к публикации 24 октября 2018 г.
Рассчитана вероятность излучения фотонов каналированной частицей в недипольном случае. Исследу-
ется излучение жестких фотонов с энергией, сравнимой с энергией падающей каналированной частицы.
Выполняется расчет квазиблоховского энергетического спектра ориентированной быстрой заряженной
частицы, входящей в кристалл под углом как меньшим, так и большим угла Линдхарда. Исходный и
конечный спектры каналированной частицы принадлежат различным наборам волновых функций зон,
соответствующих разным энергиям. Процессы фотонной генерации квантовой ориентированной относи-
тельно кристалла частицы, влетающей в кристалл под углом как большим, так и меньшим угла Линдхар-
да, рассматриваются на равных основаниях. Показано, что спектр излучения жестких фотонов состоит
из набора хорошо наблюдаемых эмиссионных линий.
DOI: 10.1134/S0044451019040011
а также матричные элементы перехода второго рода
I(2) = 〈ψn exp(ikx) ∂/∂xψn′ 〉
1. ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ
для волновой функции быстрой заряженной части-
ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ БЫСТРОЙ
цы в поле кристалла не вычисляются, не учитыва-
ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В
ются и не обсуждаются. Выводы о роли недиполь-
БЕЗРАЗМЕРНОЙ ФОРМЕ
ных эффектов носят умозрительный и оценочный
характер и не основаны на расчетах. В интересной
Теория излучения фотонов ориентированными
работе [11] рассмотрен рост недипольного вклада с
быстрыми заряженными частицами была построе-
ростом энергии, подчеркнута важность надбарьер-
на в ряде работ [1-8]. В работах [9, 10] рассматри-
ных состояний. В то же время вопросы недипольно-
вается движение быстрой заряженной частицы без
го излучения жестких фотонов в условиях, когда на-
учета периодического характера кристаллического
чальное и конечное состояния каналированной час-
потенциала в виде одиночной ямы, представляющей
тицы (КЧ) принадлежат разным базисам, соответ-
собой перевернутую параболу. Блоховский характер
ствующим разным суммарным энергиям КЧ, не изу-
движения быстрой заряженной частицы в периоди-
чены в деталях. Тот факт, что матричные элементы
ческом кристаллическом потенциале никак не учи-
квантового перехода КЧ обычно являются сложны-
тывается, квантовый характер движения частицы в
ми функциями передачи импульса, также не учиты-
периодическом кристаллическом потенциале также
вался в расчетах. Роль матричных элементов кван-
не учитывается. Матричные элементы перехода пер-
тового перехода второго рода КЧ, где как волновая
вого рода
функция начального состояния, так и производная
от волновой функции конечного состояния высту-
I(1) = 〈ψn exp(ikx)ψn′ 〉,
пают как обкладки матричных элементов [1-8], ма-
ло изучены. Расчеты обычно проводятся для подба-
* E-mail: eugen_mazur@mail.ru
рьерных переходов КЧ. Рассматривается движение
579
Н. П. Калашников, Е. А. Мазур
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
быстрой заряженной частицы (БЗЧ) в периодичес-
как надбарьерных, так и подбарьерных переходов
ком кристаллическом потенциале. В работах [12,13]
КЧ на равных основаниях. Уравнение для волно-
полностью учтен блоховский характер движения
вой функции релятивистской ориентированной от-
быстрой заряженной частицы в периодическом кри-
носительно кристалла быстрой заряженной части-
сталлическом потенциале в случае надбарьерного
цы, взаимодействующей с кристаллом, имеет следу-
движения быстрой частицы и показано, что спектр
ющий вид:
излучения каналированной частицы будет иметь пи-
ки, соответствующие испусканию жестких фотонов
[E2n,p/c2-2eEn,pU (r) /c2+e2U2 (r) /c2+ℏ2Δr -
с энергией, соизмеримой с энергией каналированной
- m2c2 + ieℏα∇rU (r) /c]ψn,p (r) = 0.
(1)
частицы, впервые установлен факт существования
надбарьерного спектра зонных состояний быстрой
В этой формуле
заряженной частицы, каналированной в кристалле.
α=γ0γ,
В работах [12,13] впервые для расчета эффектов из-
γμ (μ = 1, 2, 3) ,
лучения применен формализм, позволяющий учи-
тывать крайне важную роль матричных элементов
так что уравнение (1) для невозмущенной волновой
перехода второго рода быстрой заряженной частицы
функции
в поле кристалла и позволяющий учитывать при-
ψn,p (r)
надлежность волновых функций БЗЧ до и после
быстрой ориентированной или каналированной час-
акта излучения жесткого фотона различным бази-
тицы в состоянии с квантовыми числами n, p может
сам, не отвечающих свойству ортогональности вол-
быть переписано как
новых функций БЗЧ до и после излучения. При
(
)
этом в работах [12, 13] установлено, что движуща-
ℏ2
E2n,p - m2c4
яся почти прямолинейно и почти равномерно час-
Δr +
ψn,p (r) =
2m
2mc2
тица может излучать фотоны с энергиями, сравни-
(eEn,pU (r))
мыми с энергией самой частицы. Это кажущееся,
=
ψn,p (r).
(2)
на первый взгляд, странным обстоятельство связа-
mc2
но с нарушением для релятивистской частицы кри-
Обозначим
терия применимости квазиклассического приближе-
En,p/mc2 = γ,
ния [14] mℏF/p3<1 для движения такой частицы
в поперечном по отношению к направлению внут-
eU (x) = V (x) .
рикристаллического канала направлении, где m —
Тогда уравнение для поперечной энергии каналиро-
релятивистская масса частицы, F = -∂U/∂x есть
ванной частицы должно быть переписано в следую-
классическая сила, действующая на частицу со сто-
щем виде:
роны релятивистски выросшего кристаллического
(
)
потенциала U, p — импульс поперечного движения
ℏ2
-
Δx + γV (x) ψn,κ (r) = εn,κψn,κ (r).
частицы. Иными словами, при описании движущей-
2m
ся почти прямолинейно и почти равномерно быст-
Как известно, если в точечной группе кристалла
рой частицы в кристалле влияние потенциала кри-
содержится инверсия, то соотношение V-G = VG
сталла на движение такой частицы не может учиты-
для потенциала кристалла оказывается верным.
ваться по теории возмущений, а требует учета бес-
Для кристаллов, обладающих этим свойством, та-
конечного числа поправок, что и приводит в резуль-
ких как кремний, германий, кристаллический по-
тате к эффектам излучения сверхжестких фотонов.
тенциал следует записать в следующем виде:
Говоря совсем кратко, это означает, что влияние по-
∑
тенциала кристалла на пролет быстрой ориентиро-
V (x) =
VGx exp(iGxx) =
ванной частицы в кристалле никак не может пола-
Gx
гаться слабым. Роль недипольных процессов в слу-
∑
=V0 +2
VGx cos(Gxx).
(3)
чае квантового описания КЧ исследовалась в [15]. В
Gx>0
расчетах учитывались только матричные элементы
первого рода I(1), вычисляемые в обкладках из вол-
Здесь Gx ≡ G — вектор обратной решетки в на-
новых функций поперечного движения КЧ. В на-
правлении, перпендикулярном плоскости каналиро-
стоящей работе мы исследовали роль недипольных
вания. Возьмем потенциал решетки с приближен-
процессов в излучении жестких фотонов с учетом
ными параметрами, соответствующими плоскости
580
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
Особенности спектра излучения...
8EVGx
εn,κ
16
16
(110) кристалла кремния в направлении каналиро-
q=
,
ã=
- 2.4γ
,
вания, в результате чего реализуются эквидистант-
ℏ2c2n2G2
12.5eV n2
n2
ные плоскости каналирования. Значительная часть
8
q = 2.4γ
пространственно-неоднородных членов в усреднен-
n2
ном потенциале кристаллографических плоскостей
Для кремния Si
(3) в таких кристаллах равна нулю, а остальные
mεn,κ
EVGx
члены выражаются через компоненты Фурье V4n,0,0
Gx ≡ 4G, n = 4,
ã=
+
,
2G2ℏ2
ℏ2c2G2
(n = 1, 2, 3, . . .) потенциала V (r) пространственной
решетки, так что
EVG
x
q=
∑
2ℏ2c2G2
V (x) = V0 + 2
V4n,0,0 cos(4Gx).
(4)
Оценим следующие члены для электрона:
n=1,2
2
2ℏ2G
2 · 10-6810-20
Другими словами, по соображениям симмет-
=
= 2 · 10-18 Дж = 12.5 эВ,
m
10-30
рии кристаллического потенциала выбирается спе-
цифическое направление каналирования в кристал-
ле кремния, при котором средний потенциал плос-
EVG
(2ℏ2G2 )-1
костей кристалла представляет собой набор рав-
= 2γVG
≈
ℏ2c2G2
m
ноудаленных плоскостей в кристалле. Ограничива-
≈ γ30 эВ/12.5 эВ ≈ 2.4γ.
ясь первыми двумя наибольшими членами в (4),
рассмотрим проблему излучения жестких фотонов
Окончательно для кремния Si
электроном и позитроном при каналировании. Возь-
мем V0 = -2VG, чтобы выбрать нулевое значение по-
εn,κ = ã - 2.4γ, q = 1.2γ,
тенциальной энергии. Выберем здесь безразмерные
единицы. Пусть 2S = Gxx, где Gx отвечает первому
где εn,κ измеряется в единицах, равных 12.5 эВ.
неисчезающему вкладу в потенциал. Переобозначим
Подбарьерное состояние таково, что εn,κ < 0, так
ψn,κ (S) ≡ U (S). Получаем в результате переимено-
что полный потенциал кристалла с выбором нуле-
вания
вой энергии попал в область отрицательных значе-
ψn,κ (S) ≡ U (S),
ний. Для каналированных положительно заряжен-
ных частиц q > 0, так как V0 и V400 являются ве-
V (S) = V0 + 2VGx cos(2S)
личинами, большими нуля. Значение ã может быть
следующее уравнение:
либо меньше, либо больше нуля, в зависимости от
поперечной энергии каналированной частицы. Оце-
(
8En,p
8m
ним значение q в уравнении (5). При энергии E =
ΔS -
V0 +
εn,κ -
c2ℏ2G2x
ℏ2G2
= 28 МэВ V0 ≈ 15 эВ (т. е. глубина ямы равна 30 эВ,
x
)
8En,p
Gx = 1010 м-1) получаем q ≈ 11.2, величина ã ме-
−
2VGx cos(2S) U (S) = 0.
(5)
c2ℏ2G2
няется в зависимости от E⊥ (Px) и может быть как
x
большой, так и малой. Решения уравнения (5) име-
Здесь Gx = nG первый вектор обратной решетки,
ют характер блоховских зон. В то же время границы
потенциал которого не равен нулю. Сравнивая (1) с
энергетических зон определяются хорошо известны-
известным уравнением Матье с безразмерными ко-
ми в теории функций Матье [16] величинами ar - q
эффициентами [16]
и br+1 - q, где r = 0,1,2,... Разрешенные значе-
ния поперечной энергии КЧ E⊥ (Px) определяются
∂2U
+ (ã - 2q cos2S)U (S) = 0,
условием ar - q < a < br+1 - q, где r- номер раз-
∂S2
решенной зоны. Отнесение зон к дискретному или
получаем
непрерывному спектру является условным и опре-
деляется исключительно шириной зоны КЧ. Волно-
8mεn,κ
8EV0
8EVGx
Gxx
ã=
-
,
q=
,
S=
,
вые функции, представляющие решение уравнения
G2xℏ2
ℏ2c2G2x
ℏ2c2G2x
2
(5), имеют блоховский вид:
2nπ
Gx ≡ nGmin = nG =
,
E⊥ ≡ εn,κ,
d
u(n)E
(x) = (Nxax)-0.5 exp (iνn (E⊥) Gx) ×
⊥
8mεn,κ
16EVGx
V0 = -2VGx,
ã=
+
,
E⊥
× D(n) (2Gx),
(6)
n2G2ℏ2
ℏ2n2c2G2
581
Н. П. Калашников, Е. А. Мазур
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
q
где модулятор волновой функции D (2Gx) зоны пе-
200
риодичен по x с периодом ax/4, равным одной чет-
верти периода кристаллической решетки вдоль x на-
8
правления (см. (4) для объяснения этого факта), Nx
является числом кристаллографических плоскостей
0
кристалла, D (2Gx) подчиняется следующему соот-
7
ношению:
6
( (
-200
ax ))
5
D 2G x +
= D(2Gx).
4
4
Безразмерные блоховские модуляторы подчиняются
-400
следующему условию нормировки:
3
2
∫
dx
-600
D(n)E
(2Gx) D(n′)E
(2Gx) = δnn′ .
⊥
⊥
1
ax
−ax/8
-800
Функции (6) исследуются в теории функций Ма-
тье, где они называются решениями уравнений Ма-
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
тье в форме Флоке [16]. Когда квазиимпульсы КЧ
соответствуют границам энергетических зон КЧ,
Рис. 1. Зонная структура для ориентированного электро-
т. е. Gn = 2πn/a (n = 0, 1, 2, . . .), функции Флоке
на в кристалле кремния как функция параметра q. Зоны
принимают вид хорошо изученных функций Матье
пронумерованы от отрицательного числа n = -10 до по-
ложительного числа n = +5. Некоторые линии зонного
Clr (S,q) и Slr (S,q). Символом Clr (S,q) обозначе-
спектра сливаются с увеличением модуля q
ны четные волновые функции КЧ, соответствую-
щие нижнему краю энергетической зоны, а Slr (S, q)
соответствуют нечетным волновым функциям КЧ,
3. ИСПУСКАНИЕ ЖЕСТКИХ ФОТОНОВ
связанным с верхним краем соответствующей энер-
БЫСТРОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕЙ.
гетической зоны поперечного движения КЧ.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И
ИМПУЛЬСА
Будем описывать эмиссию фотонов каналиро-
2. СТРУКТУРА ЗОН И ВОЛНОВЫЕ
ванными частицами с помощью хорошо известно-
ФУНКЦИИ БЫСТРОГО
го формализма [1-8]. Для дифференциальной веро-
ОРИЕНТИРОВАННОГО ЭЛЕКТРОНА И
ятности излучения фотона следует записать следу-
ПОЗИТРОНА
ющее выражение (все обозначения являются стан-
дартными):
Вычисление зонной структуры для реалистичес-
кого потенциала U(x), возникающего из усреднен-
d2w
e2ω
ных потенциалов атомов, составляющих кристалли-
=
×
dω dΩ
2π
ческую плоскость [1-7], является задачей численно-
∑
(
(
))
×
|Mif |2δ ω - ωif - E∥p - E∥
(7)
го расчета. На рис. 1 показаны результаты этого
p-k
f
расчета для электрона с энергией 28 МэВ в канале,
соответствующем кристаллографической плоскости
В (7) были учтены матричные элементы квантового
(110) в кремнии Si. Зонная структура для 15 зон для
перехода КЧ как первого, так и второго рода [1-7]:
электронов с энергиями, соответствующими значе-
ниям -300 < q < -10, показана на рис. 1. Плотность
ω
E∥p - E∥p-k = ω -
×
вероятности нахождения позитрона в канале пока-
2 (Ei - ω)
[(
)
]
зана на рис. 2. Пики плотности вероятности нахож-
×
θ2 + E-2i
Ei - ωθ2 cos2 ϕ
(8)
дения позитрона для высоких околобарьерных зон
смещаются к краям канала, т. е. к атомным плоско-
Обратимся к законам сохранения энергии и импуль-
стям.
са. Тогда получаем
582
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
Особенности спектра излучения...
(
(
))
∥
δ ω-ωif - E
-E∥
=
p
p-k
(
ω
4
=δ εi -εf -
×
а
2 (E - ω)
[(
)
])
1
3
× θ2 +
E - ωθ2 cos2 (ϕ)
(9)
γ2
2
При θ = 0 получаем
(
[
])
(
1
ω
1
δ εi -εf -
E
= δ Ai(E) -
2 (E - ω) γ2
[
])
–1.5
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
1.5
ω
1
− Af(E - ω) - 2q + 2q′ -
E
,
x
2(E - ω) γ2
(
8EVGx
2 (E - ω) V0
ω)
2.0
q=
,
q′ =
=q
1-
,
б
ℏ2c2n2G2
ℏ2c2G2x
E
1.5
ω
q′
=1-
E
q
1.0
Введем обозначение ω/E = x. Тогда
0.5
ω
1
x
q′ = q (1 - x),
=
2 (E - ω)
2 (1 - x)
–1.5
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
1.5
Дельта-функцию можно переписать следующим об-
x
разом:
(
2.0
в
δ
12.5Ai (q) - 12.5Af (q (1 - x)) - 25qx -
)
1.5
x E
- 0.72
(10)
1-x q
2
1.0
В (10) под знаком дельта-функции помещаются
0.5
значения, измеренные в электрон-вольтах, εi (q) =
= Ai (q) - 2.4γ, величина Ai (q) представляет собой
границу зон, измеренную от нулевого значения по-
тенциала кристалла. Учитывая, что
–1.5
–1.0
–0.5
0
0.5
1.0
1.5
x
E
E
0.72
= 0.6
= 0.6 · 0.5MэВ = 3 · 105 эВ,
Рис. 2. Квадратичный модуль четных (а) и нечетных (б)
1.2γ
γ
волновых функций позитронов с энергией 28 МэВ в пла-
нарном канале (110) в периодическом потенциале с па-
уравнение (10) можно переписать следующим обра-
раметрами, соответствующими плоскости (110) в моно-
зом:
кристалле кремния, координата x указана в безразмерных
(
1
единицах как часть межплоскостного расстояния: a — bd0
δ Ai (q) - Af (q (1 - x)) -
(сплошные кривые) — первая глубокая подбарьерная зо-
12.5
)
на, bd1 (пунктир) — третья околобарьерная зона, б — bd1
x
24000
(сплошные кривые) — вторая зона, bd2 (пунктир) — чет-
- 2qx -
,
(11)
1-x q
вертая (надбарьерная) полоса, в — графики показывают
в том же масштабе вдоль оси x плоский потенциал U
где
(сплошная линия) и полное распределение плотности по-
ложительных и отрицательных зарядов в кристалле (пунк-
2EV0
1
2EV0
1
2mEV0
q=
→
=
=
тир)
ℏ2c2G2x
42 ℏ2c2G2
42 ℏ2mc2G2
)-1
2
1
2mV0
1
(ℏ2G
8γ
γ
=
γ
=
γV0
≈
=
,
42
ℏ2G2
42
2m0
16
2
583
Н. П. Калашников, Е. А. Мазур
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
ных переходах между несмежными зонами с разной
0
энергией надбарьерной частицы показана на рис. 3.
2
Кривые для зон испускания практически совпадают.
Начальный набор зон и конечный набор зон соответ-
-100
3
1
ствуют разным энергиям. Кривые для первых шести
надбарьерных зон (пронумерованных от нуля до ше-
сти) имеют почти одинаковый характер. Излучение
-200
фотонов высокой энергии в недипольных переходах
между соседними (ближайшими) зонами надбарьер-
ной частицы приводит к такому же выводу. Слабая
-300
зависимость энергии фотона от номера зоны хорошо
видна на рис. 3.
-400
4. ОРИЕНТАЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x
ВЕРОЯТНОСТИ ЗАСЕЛЕНИЯ ЗОН
Рис. 3. Поведение аргумента дельта-функции в (13) в за-
висимости от энергии испускаемого фотона x для быстрой
На рис. 4 показаны коэффициенты заполнения
частицы с q = 471 для первых шести зон с увеличением
для нечетных и четных зон для случая E = 28 МэВ,
номера зоны при квантовом переходе от начального состо-
яния в конечное состояние на три значения. Кривые для
Si (110), в зависимости от угла падения позитро-
различных зон практически сливаются
на в кристалле. Показана ориентационная зави-
симость вероятности заселенности нижней грани-
цы зоны для позитрона соответственно в четном и
E2⊥
8EV0
EVG
нечетном состояниях в зависимости от угла паде-
ã=
-
,
q=
,
S = Gxx,
4G2ℏ2c2
2ℏ2c2G2
2ℏ2c2G2
ния позитрона в кристалле относительно плоскости
2nπ
(110) в Si. Угол θ измеряется безразмерной величи-
Gx ≡ nG = nGmin =
d
ной, равной количеству векторов обратной решет-
Решим уравнение для численного определения спек-
ки, соответствующих проекции импульса каналиро-
тра испущенных фотонов. Примем во внимание тот
ванного позитрона на направление, перпендикуляр-
факт, что зонный энергетический спектр КЧ как до,
ное плоскостям, деленной на полный импульс пози-
так и после излучения фотона, соответствует раз-
трона. Уровни ориентированных частиц нумеруют-
личным базисам. На рис. 3 показано поведение без-
ся индексом «bd». На оси x волновой вектор задается
размерного аргумента y дельта-функции (13) в за-
в долях вектора обратной решетки. Четыре вектора
висимости от энергии испускаемого фотона, выра-
обратной решетки при энергии 28 МэВ приблизи-
женной в виде безразмерной фракции x от падаю-
тельно соответствуют углу Линдхарда падения по-
щей энергии быстрых частиц. Пересечение кривой
зитрона, так что величина аргумента вдоль оси x,
с осью абсцисс на графике соответствует исчезно-
которая приблизительно равна четырем, разделя-
вению аргумента дельта-функции, т.е. реализации
ет подбарьерные зоны и систему надбарьерных со-
законов сохранения энергии и импульса при испус-
стояний. Максимальная заселенность околобарьер-
кании жесткого фотона быстрой ориентированной
ных зон может быть достигнута направлением вле-
частицей. Энергия фотона x в процессе фотонного
та пучка частиц под углом к кристаллографическим
излучения может быть найдена как отрезок пересе-
плоскостям порядка угла Линдхарда. На рис. 4 по-
чения кривой с горизонтальной осью. Назовем это
казано, что при нулевых углах падения в основном
значение x возможной энергией излучаемого фото-
заполняются глубокие подбарьерные зоны, которые
на. При испускании жестких фотонов спектры зон
в этом случае обычно интерпретируются как уров-
КЧ начального i и конечного f состояний могут
ни поперечного движения. При падении частиц под
иметь принципиально иной характер, несмотря на
углами, равными углу Линдхарда, в основном засе-
возможное совпадение нумерации зон. Возможность
ляются состояния, близкие к барьеру, т. е. к нулю
испускания фотонов высокой энергии в недиполь-
потенциала решетки.
584
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
Особенности спектра излучения...
0.12
а
0.04
5
0.10
0.03
0.08
4
0.06
0.02
3
5
0.04
4
2
3
0.01
0.02
2
1
1
0
0
2
4
6
8
10
0
2.5
5.0
7.5
10.0
k
k
Рис. 5. Квадрат модуля недипольных матричных элемен-
тов второго типа для перехода позитрона с энергией, со-
0.12
ответствующей q = 71, к энергии q = 51 между четными
б
уровнями с изменением числа n нечетных зон поперечной
0.10
энергии КЧ в зависимости от высоких значений угла па-
дения позитрона на кристалл
0.08
0.06
из (7). Квадраты модуля недипольных комплексных
5
матричных элементов второго рода между состо-
4
яниями, соответствующими разным энергиям КЧ,
0.04
показаны на рис. 5. Вычисленные матричные эле-
3
менты первого типа показаны на рис. 6. Сравнение
0.02
2
рис. 5 и рис. 6 показывает, что в случае больших
1
0
импульсов, передаваемых КЧ, матричные элементы
второго рода вносят основной вклад в вероятность
0
2
4
6
8
10
перехода КЧ.
k
Рис. 4. Квадрат модуля матричного элемента перехода по-
зитрона на четном (а) и нечетном (б) уровнях в зависимо-
сти от угла падения позитрона в кристалле. Угол θ изме-
ряется в векторах обратной решетки
6. ВЕРОЯТНОСТЬ НЕДИПОЛЬНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ ФОТОНОВ
5. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Вычислим спектрально-угловую плотность веро-
ятности недипольного излучения жестких фотонов
каналированной частицей высокой энергии с энерги-
Численный анализ показывает, что наивысшая
ей, удовлетворяющей неравенству U0E ≥ 1. Извест-
вероятность квантового перехода КЧ получается из
но, что недипольные процессы излучения жестких
матричных элементов квантового перехода второго
фотонов не могут быть описаны при этих энергиях в
рода
квазиклассическом приближении [1-5]. Для неполя-
ризованного излучения можно записать следующее
I(2)
= ψn exp(ikx)∂/∂xψn′
выражение для такой плотности вероятности [4, 5]:
585
Н. П. Калашников, Е. А. Мазур
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
ния, не превышающие θ ≤ 2π · 109/1017 ≈ 6 · 10-8.
В то же время, угол ϕ может меняться в широком
диапазоне, так что мы можем положить δϕ ∼ 0.1.
4
Рассмотрим вероятность излучения фотона канали-
рованной частицей с энергией E = 10 ГэВ в телес-
ный угол
3
0
dΩ = sin θ dθ dϕ ≈ θ dθ dϕ ≈
3
2
4
≈ 6 · 10-8 · 6 · 10-8 · 10-1 = 3.6 · 10-16 ср.
Рассмотрим, например, четно-четные квантовые
1
переходы каналированной частицы, когда
1
5
2
2)
I(
(kx = 0)2 = 0.
if
0
2
4
6
8
10
Для неполяризованного излучения при малых углах
k
наблюдения θ ≪ 1, ϕ ≪ 1 (kx ≪ 1) и в пределе θ ≪
≪ 1/E, θ ≪ u/E выражение (14) при указанных
Рис. 6. Квадрат модуля недипольных матричных элемен-
тов первого типа для перехода позитрона с энергией, со-
ранее условиях сводится к следующему упрощенно-
ответствующей q = 71, к энергии q = 51 между четными
му выражению для вероятности излучения фотона
уровнями с изменением числа n четных зон поперечной
с энергией ω ≤ E каналированной частицей:
энергии КЧ в зависимости от высоких значений угла па-
(
)
дения позитрона на кристалл
2
d2w (ω, θ)
e2ω∑
u
if
u2if
=
1+uif +
×
dω dΩ
2π
2
2E2
f
{(
)
(
)
d2w (ω, θ)
e2ω∑
u2
2
1)
ω
2
=
1+u+
×
×
I(
(0)
δ εi (E)-εf (E-ω)-
(13)
dω dΩ
2π
2
if
E-ω E
f
[
1)
2)
Здесь uif
= ωif/(E - ωif)при условиях, опреде-
×
I(
(kx)
2θ2 +
I(
(kx)2 -
if
if
ляемых недипольным излучением. Выделив только
]
(
)
один наиболее важный член в (13), легко получить
− 2Re I(1)if(kx)I(2)∗if(kx) θ cosϕ
+
следующую вероятность излучения фотона с энер-
}
{
2
u
1)
2
ω
гией фотона:
+
I(
(kx)
δ
2
×
if
2E2
E-ω
1
[(
)
]
ωif =
E (E - ωif ) [εi (E) - εf (E - ω)] ,
×
θ2 + E-2
E - ωθ2 cos2 ϕ
-
2
}
- εi (E) + εf (E - ω)
(12)
∫
dwif (θ)
d2wif (ω, θ)
= dω
=
dΩ
dω dΩ
Как видно на рис. 6, матричные элементы перво-
(
)
e2ωif uif
u2if
го рода квантового перехода каналированной части-
1)
=
1+uif +
I(
(0)
2.
(14)
if
цы имеют значительные величины, когда безразмер-
π
4E2
2
ная составляющая импульса каналированной час-
тицы, направленная поперек плоскостей кристалла,
Рассмотрим случай, когда ℏωif
≈ 0.4E, так что
значительно меньше единицы. Этот импульс в без-
uif
∼ 0.66. В условиях недипольного излучения,
размерной форме измеряется в долях вектора обрат-
указанных ранее, ℏωif /ℏ
= 0.4 · 1010 эВ/0.66 ×
ной решетки K, равного K = 2π/a = 2π·1010 м-1для
×10-15 эВ·с = 0.6·1025 с-1. Обращаясь к размерным
случая кристалла кремния. В то же время волновой
единицам и принимая во внимание тот факт, что
вектор фотона с энергией E, равной 10 ГэВ, равен
1)
kphot = ℏE/cℏ = 1017 м-1. Таким образом, для того
I(
(kx ≈ 0)2 ≈5
if
чтобы иметь для kx значительно более низкие зна-
чения по сравнению с вектором обратной решетки
(рис. 5, 6), получаем следующую оценку вероятнос-
kx ≤ 0.1K, угол θ = kx/kphot должен иметь значе-
ти перехода:
586
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
Особенности спектра излучения...
2
∂
e
ℏωif (ℏωif )2
I(2) = ψn exp(ikx)
ψn
′
wif (ωif ) = dwif (ωif ) dΩ =
×
∂x
ℏcπ ℏ (E-ℏωif )2
(
)2 (
)
mc2
u2if
быстрой заряженной частицы в поле кристалла;
1)
×
1+uif +
I(
(kx ≈ 0)2 dΩ =
if
5) проведены расчеты эффектов излучения БЗЧ
E2
2
(
)-2
в кристалле в том случае, когда энергия испускае-
= 2 · 10-3 · 0.6 · 1025 · (0.66)2 ·
4 · 104
×
мого кванта соизмерима с энергией БЗЧ, а волновые
× 1.5 · 5 · 3.6 · 10-16 · 1/с ≈ 0.2 с-1.
(15)
функции начального и конечного состояний принад-
лежат различным базисам;
6) предсказано существование эффекта, анало-
7. ВЫВОДЫ
гичного описанному в работе [17] для плоскостного
случая каналирования, а также принципиально объ-
Полученный в нашей работе вывод о существова-
яснен эффект, наблюдавшийся в работе [17] для осе-
нии надбарьерного спектра зонных состояний быст-
вого случая каналирования. Выполнен расчет ква-
рой заряженной частицы, каналированной в крис-
зиблоховского энергетического спектра ориентиро-
талле, не привязан к плоскостному или осевому ха-
ванной быстрой заряженной частицы, входящей в
рактеру каналирования быстрой заряженной части-
кристалл под углом, как большим, так и меньшим,
цы, а носит общий характер. Именно из обнаружен-
чем угол Линдхарда. Показано, что зонная струк-
ного в настоящей работе надбарьерного спектра зон-
тура с наличием разрешенных и запрещенных зон
ных состояний быстрой заряженной частицы как в
сохраняется при прохождении быстрых заряжен-
осевом, так и в плоскостном случае будет следо-
ных частиц над кристаллическим потенциалом. Рас-
вать наличие квантовых переходов из надбарьер-
смотрены процессы генерации фотонов квантовой
ных квантовых зонных состояний в подбарьерные
ориентированной относительно кристалла частицей,
как в осевом, так и в плоскостном случаях. Из это-
входящей в кристалл под углами, как большими,
го следует, что мы предсказали существование эф-
так и меньшими, чем угол Линдхарда. Вычисляет-
фекта, аналогичного описанному в работе [17] для
ся вероятность возбуждения фотона квантовой как
плоскостного случая каналирования, а также прин-
надбарьерной, так и подбарьерной каналированной
ципиально объяснили эффект, наблюдавшийся в ра-
частицей. Показана значительная роль матричных
боте [17] для осевого случая каналирования. Таким
элементов второго типа для перехода между кван-
образом, в настоящей работе:
товыми уровнями поперечного движения КЧ. Пока-
1) обнаружено существование надбарьерного
зано, что спектр излучения жестких фотонов состо-
спектра зонных состояний быстрой заряженной
ит из набора хорошо наблюдаемых эмиссионных ли-
частицы, каналированной в кристалле;
ний. Рассмотрены процессы испускания недиполь-
2) учтены и вычислены матричные элементы пе-
ных фотонов быстрыми заряженными ориентиро-
рехода БЗЧ второго рода
ванными частицами. Надбарьерные и подбарьерные
переходы, а также наличие квантовых зон надба-
∂
I(2) = ψn exp(ikx)
ψn′
рьерной и подбарьерной каналированной частицы
∂x
рассматривались на равной основе. В полной мере
учитывается параметрическая зависимость зонных
быстрой заряженной частицы в поле кристалла в
свойств каналированной частицы от энергии части-
дополнение к уже известным матричным элементам
цы. Показано, что вероятность недипольного фотон-
перехода БЗЧ первого рода I(1) = 〈ψn exp (ikx) ψn′ 〉;
ного излучения каналированной частицы с энерги-
3) вычислены без дипольных приближений мат-
ей E = 10 ГэВ в телесный угол 3.6 · 10-16 ср, ори-
ричные элементы перехода БЗЧ как первого, так и
ентированной вдоль направления распространения
второго рода при всех значениях передаваемого им-
каналированной частицы, равна wif (ωif ) = 0.2 c-1.
пульса с применением волновых функций зонного
При увеличении телесного угла, в пределах которо-
спектра БЗЧ;
го проводятся измерения, вероятность эмиссии фо-
4) установлена значительная роль недипольных
тона значительно возрастает. Такое увеличение ве-
эффектов при сравнительно малых энергиях кана-
роятности связано с тем, что при больших углах на-
лированной в кристалле БЗЧ. Такой вывод проис-
блюдения преобладающий вклад в вероятность из-
текает из впервые выявленных нами в настоящей
лучения фотона будут вносить матричные элементы
работе свойств матричных элементов перехода БЗЧ
перехода второго типа
второго рода
587
Н. П. Калашников, Е. А. Мазур
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
2)
где
I(
(kx)
2,
if
mc2Z2e4R2TF
вклад которых сравним по величине с вкладом мат-
ε0 =
γ
2ℏ2d2
ричных элементов первого типа
2
[20], так что
1)
I(
(kx)
if
2
8πα(Zα)
s0
(рис. 5, 6). Показано, что недипольные процессы
σrec =
√
3
3
mc3nℏ2ω (ℏωn2 - s0)
излучения жестких фотонов каналированными час-
тицами хорошо наблюдаются экспериментально. В
Сечение рекомбинации электрона в двумерном
эксперименте [17] по излучению электронов и пози-
потенциале с излучением фотона и переходом элек-
тронов с энергиями E > 100 ГэВ в условиях над-
трона в любое связанное состояние получаем, если
барьерного движения в кристалле германия была
в последней формуле просуммировать по всем глав-
получена высокая интегральная по частотам интен-
ным квантовым числам n, 1 ≤ n < nmax. Для по-
сивность излучения. При ориентации пучка элек-
лучения сечения рекомбинации электрона с излуче-
тронов относительно оси 〈110〉 кристалла в рабо-
нием фотона ℏω просуммируем по всем возможным
те [17] наблюдался также весьма узкий максимум
квантовым числам n:
в спектре излучения при частоте ω = 0.85E. Вы-
сокая интегральная по частотам интенсивность из-
∑
8πα(Zα)2
s0
лучения, наблюдавшаяся в работе [17], объясняется
σrec =
√
,
3
3
mc3nℏ2ω (ℏωn2 - s0)
многократным процессом излучения фотона быст-
n=1
рой частицей [18]. Происхождение узкого максиму-
где
ма в спектре излучения при частоте ω
= 0.85E
√
mλ2Z2e4R2TF
естественным образом может объясняться рассмот-
nmax =
- 0.5,
2ℏ2d2U
ренными в настоящей работе процессами излучения
быстрой частицей с переходами с первого уровня
а λ — некоторый подгоночный параметр, который
надбарьерного движения в подбарьерные состояния.
выбирается так, чтобы потенциал атомной цепочки
В сопутствующей системе координат лептон обла-
был близок к потенциалу Линдхарда; Z — атомный
дает энергией ε⊥, зависящей от угла влета части-
номер кристалла.
цы в монокристалл по отношению к кристаллогра-
фической оси. При взаимодействии с усредненным
Благодарности. Авторы благодарят Ю. Ка-
потенциалом кристаллографических осей возможен
гана, Ю. В. Кононца, И. Я. Полищука, В. Кона,
радиационный переход на связанные каналирован-
Л. Б. Дубовского, А. С. Ольчака за обсуждение ра-
ные состояния, т. е. процесс радиационной рекомби-
боты.
нации электрона с излучением фотона и переходом
Финансирование работы. Работа выполнена
электрона в состояние с главным квантовым чис-
при финансовой поддержке Министерства образо-
лом n (связанное состояние!). Из закона сохранения
вания и науки РФ в рамках Программы повы-
энергии в процессе фоторекомбинации имеем
шения конкурентоспособности Национального ис-
следовательского университета
«МИФИ» (2018).
ℏω = (-εn) + ε⊥,
Использовано оборудование центра коллективно-
где
го пользования «Комплекс моделирования и обра-
1
εn = -ε0
ботки данных исследовательских установок мега-
n2
класса» Национального исследовательского цент-
— собственные значения поперечной энергии в дву-
ра «Курчатовский институт» (субсидия Минобр-
мерной задаче (причем ε0 ∼ γ = E/mc2 для канали-
науки, идентификатор работ RFMEFI62117X0016),
рованного двумерного электрона). Таким образом,
сечение рекомбинации электрона в двумерном по-
тенциале с излучением фотона и переходом электро-
на в состояние с главным квантовым числом n мож-
но записать в виде формулы Крамерса [19]. Пред-
ЛИТЕРАТУРА
полагая, что энергия связанного электрона может
быть выражена как
1. В. Г. Барышевский, Каналирование, излучение
и реакции в кристаллах при высоких энергиях,
1
εn = -ε0
,
Изд-во МГУ, Mинск (1982).
n2
588
ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019
Особенности спектра излучения...
2.
M. A. Kumakhov and R. Weddel, Radiation of Rela-
11.
Н. Ф. Шульга, Л. Е. Генденштейн, И. И. Мирошни-
tivistic Light Particles During Interaction with Single
ченко, Е. В. Пегушин, С. П. Фомин, Р. О. Авакян,
Crystals, Spectrum, Heidelberg (1991).
ЖЭТФ 82, 50 (1982).
3.
А. И. Ахиезер, Н. Ф. Шульга, Электродинами-
12.
E. A. Mazur, Reported at: Charged and Neutral
Particles Channeling Phenomena “Channeling 2016”,
ка частиц высоких энергий в веществе, Наука,
Москва (1993) [A. I. Akhiezer and N. F. Shulga,
Desenzano del Garda, Italy, 23-28 September (2016),
p. 84.
High-Energy Electrodynamics in Matter, Gordon and
Breach, Amsterdam, (1996)].
13.
N. P. Kalashnikov and E. A. Mazur, Reported at:
Charged and Neutral Particles Channeling Phenome-
4.
Ю. Каган, Ю. В. Кононец, ЖЭТФ 58, 226 (1970);
na “Channeling 2018”, Ischea, Italy, 23-28 September
64, 1042 (1973); 66, 1693 (1974).
(2018), p. 28.
5.
Н. П. Калашников, Когерентные взаимодействия
14.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-
заряженных частиц в монокристаллах, Атомиз-
ка, Гостехиздат, Москва (1963).
дат, Москва (1981).
15.
B. Azadegan and W. Wagner, Nucl. Instrum.
6.
В. А. Базылев, Н. К. Жеваго, Излучение быстрых
Methods. B 402, 63 (2017).
частиц в веществе и во внешних полях, Наука,
Москва (1987).
16.
Handbook of Mathematical Functions, ed. by M. Ab-
ramowitz and I. A. Stegun, National Bureau of
7.
Н. К. Жеваго, ЖЭТФ 75, 1389 (1978).
Standards, Applied Mathematics Series, New York
(1964).
8.
E. A. Mazur, Nucl. Instrum. Meth. ser. B 355, 57
17.
A. Belkacem, G. Bologna, and M. Chevallier, Phys.
(2015), doi:10.1016/j.nimb.2015.02.013.
Lett. B 177, 211 (1980).
9.
V. N. Baier, V. M. Katkov, and V. M. Strakhovenko,
18.
Ю. В. Кононец, В. А. Рябов, Письма в ЖЭТФ 48,
Phys. Stat. Sol. (b) 133, 211 (1986).
303 (1988).
10.
В. Н. Байер, В. М. Катков, В. М. Страховенко,
19.
H. A. Kramers and W. Heisenberg, Zs. Phys. B 31,
Электромагнитные процессы при высоких энер-
681 (1925).
гиях в ориентированных монокристаллах, Наука,
Новосибирск (1989) [V. N. Baier, V. M. Katkov, and
20.
N. P. Kalashnikov, Coherent Interactions of Charged
V. M. Strakhovenko, Electromagnetic Processes at
Particles in Single Crystals. Scattering and Radiative
High Energies in Oriented Single Crystals, Singapore
Processes in Single Crystals, Harwood Academic
World Scientific (1998)].
Publishers, New York, London (1988).
589
