ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 4, стр. 602-611

К ВКЛАДУ ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕГО РАССЕИВАЮЩЕГО

ПОТЕНЦИАЛА В ПРОЦЕССЕ МНОГОФОТОННОЙ

НАДПОРОГОВОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ В ЛАЗЕРНОМ ПОЛЕ

А. Г. Казарян^*

Центр физики сильных полей, Ереванский государственный университет

0025, Ереван, Армения

Поступила в редакцию 20 сентября 2018 г.,

после переработки 9 октября 2018 г.

Принята к публикации 23 октября 2018 г.

При помощи квантовомеханического рассмотрения неупругого рассеяния электрона на электростатичес-

ком потенциале в поле сильной электромагнитной волны в обобщенном эйкональном приближении най-

дена упрощенная формула для вероятности многофотонной надпороговой ионизации водородоподобного

атома с учетом взаимодействия фотоэлектрона с дальнодействующим кулоновским полем остаточного

иона. Вероятность многофотонной ионизации необходима для изучения экспериментально наблюдаемых

ранее низкоэнергетических структур.

DOI: 10.1134/S0044451019040035

следования, начиная с 1960-х гг., остается одной

из трудностей при рассмотрении поведения реаль-

1. ВВЕДЕНИЕ

ных атомных систем в сильном поле ЭМ-излучения

[1-6, 10-17].

В последнее время многофотонная ионизация

в сильных лазерных полях средних инфракрас-

Как известно, в общем случае проблема взаи-

модействия атома с ЭМ-волной представляет собой

ных частот используется для получения когерент-

нестационарную задачу квантовой механики. Если в

ных мягких рентгеновских лучей в процессе генера-

этой задаче нет малых параметров, то для ее реше-

ции высоких гармоник [1] и для обнаружения мно-

ния необходимо использовать приближенные мето-

жества характеристик сильных полей или, напри-

ды решения уравнения состояния. В настоящей ра-

мер, для наблюдения низкоэнергетических струк-

боте используется квазиклассический подход (атом

тур [2-4]. Эти процессы, как правило, описывают-

ся путем учета взаимодействия электрона с оста-

описывается квантовомеханическим, а ЭМ-поле —

классическим уравнениями) в задаче о многофо-

точным ионом (или родительским ионом) [5,6]. Тем

тонной ионизации атома в поле умеренно сильного

самым, задача многофотонной надпороговой иони-

ЭМ-излучения с интенсивностью I ≤ I_k, где I_k =

зации атомов (МНИА) вновь привлекла внимание,

= (ω/ω_a)²I_a, I_a = 5 · 10¹⁶ Вт/см² — атомная ин-

поскольку новые эксперименты показали, что влия-

тенсивность, ω — частота ЭМ-волны, ω_a — атомная

ние дальнодействующего поля электростатического

частота. В то время как в работе Келдыша [7] в каче-

потенциала существенно, и результаты известного

стве конечного состояния электрона выбирается ре-

приближения сильного поля [7-9] не являются удов-

шение Шредингера для свободного электрона в по-

летворительными.

ле сильной ЭМ-волны, в настоящей работе электрон

Речь идет о процессе МНИА при умеренных ин-

в конечном состоянии находится в поле лазерно-

тенсивностях внешнего электромагнитного (ЭМ) из-

го излучения и дальнодействующего поля электро-

лучения (I_a

= 10¹⁴ Вт/см² при оптической час-

статического потенциала согласно развитому ранее

тоте). Поэтому мы решили вернуться к задаче об

обобщенному эйкональному приближению (ОЭП) в

учете влияния дальнодействующего поля электро-

нерелятивистском пределе [18].

статического потенциала, которая, как показали ис-

В разд. 2 найдена волновая функция электрона

^* E-mail: amarkos@ysu.am

в конечном состоянии в полях ЭМ-волны и куло-

602

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

К вкладу дальнодействующего рассеивающего потенциала. ..

новского потенциала в ОЭП, в разд. 3 получено вы-

Представим действие в виде

ражение для вероятности надпороговой ионизации

S(r, t) = S₀(r, t) + S₁(r, t),

атома.

где

⎛

⎞

2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

∫

НЕРЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОНА В

e₀

S₀(r, t) =⎝p -

A(t^′) dt^′⎠ · r -

ПОЛЕ ЭМ-ВОЛНЫ И

-∞

ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕГО

∫

(

)

КУЛОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА В ОЭП

p² -

p · A(t^′) dt^′

2μ

Упомянутая выше проблема сводится к кванто-

−∞

вомеханическому исследованию динамики процесса

(ЭМ-взаимодействие включается адиабатически

вынужденного тормозного рассеяния. Ищем реше-

медленно при t = -∞). Здесь член, пропорциональ-

ние уравнения Шредингера для электрона в куло-

ный A²(t), исключен унитарным преобразованием

новском поле и поле ЭМ-излучения,

(

)

как функция только времени и как неиграющий су-

∂

iℏ

- H Ψ_f(r,t) = 0,

(1)

щественной физической роли при нерелятивистских

∂t

интенсивностях ЭМ-волны:

с гамильтонианом

⎛

⎞

∫t

e²⁰A²(t^′)

ℏ

Ze²

Ψ_f (r, t) = Ψ_f (r, t)exp^⎝-

dt^′⎠ .

(4)

H =-

Δ-

- eE(t) · r

ℏ

2μc²

-∞

в дипольном приближении в виде

(

)

Вместе с пропорциональным A²(t) членом (согласно

S(r, t)

(2)

преобразованию (4)) S₀ есть точное решение урав-

Ψf (r, t) = exp

ℏ

нения (1) с гамильтонианом

Выражение (2) верно, если λ ≫ max{(v/c)λ, l}, где

ℏ²

λ — длина волны внешнего излучения, l — эффек-

H₀ = -

Δ - e₀E(t) · r,

2μ

тивный радиус действия рассеивающего потенциа-

p — импульс электрона в непрерывном спектре,

ла, v — нерелятивистская скорость электрона. Как

∫t

A(t) = -c

E(t^′) dt^′ — вектор-потенциал ЭМ-вол-

для лазерного излучения, так и для известных атом-

-∞

ны в дипольном приближении. Далее, согласно ОЭП

ных потенциалов λ ≫ l, поэтому дипольное прибли-

пренебрегая нелинейным членом (∇S)² по сравне-

жение справедливо для нерелятивистских электро-

нию с ∇S₀∇S₁ (физически это означает, что пере-

нов (v/c ≪ 1). С учетом многолетней полемики [19]

данный лазерным полем импульс превосходит им-

по поводу зависимости результатов приближенных

пульс, переданный ядром), из соотношения (3) по-

расчетов от калибровки ЭМ-потенциала и того, что

лучим следующее уравнение:

предпочтение отдается калибровке «поля», взаимо-

(

)

действие с ЭМ-волной в данной работе описывается

e₀A(t)

iℏ

в этой калибровке.

∇S₁(r, t) -

ΔS₁(r, t) -

2μ

Здесь рассматривается кулоновское поле притя-

Ze²⁰

∂S₁(r, t)

жения ионизованного атома с зарядом Ze₀ (водоро-

(5)

∂t

доподобный атом), μ и e₀ — соответственно масса и

заряд электрона, Z — зарядовое число, E(t) — век-

Представим искомую функцию действия S₁(r, t) в

тор электрического поля, ℏ — постоянная Планка.

виде

(

∫

)

Волновая функция нормирована на одну частицу в

e₀

единице фазового объема.

S₁(r, t) = exp

A(t) dt∇ S(r, t),

(6)

μc

Подставив волновую функцию (2) в уравнение

∫

(1), получим

воспользовавшись тем, что

A(t) dt и ∇ в показате-

ле экспоненты введенного оператора коммутируют.

(

)₂

∇S(r, t)

iℏ

Подставим выражение для S₁(r, t) в (5) и подейству-

ΔS(r, t) -

- e₀E(t) · r =

2μ

ем слева обратным оператором-экспонентой

(

∫

)

∂S(r, t)

e₀

(3)

exp

A(t) dt∇

∂t

μc

603

А. Г. Казарян

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

на обе части уравнения (5). Получим новое уравне-

в (11) по формуле

ние в виде

∑

iℏ

∂S(r,t)

exp(iα sinωt) =

J_n(α)exp(inωt),

(12)

ΔS(r, t) +

p∇S(r, t) +

2μ

∂t

n=-∞

(

∫

e₀

⁾Ze

где J_n(α) — функция Бесселя первого рода n-го по-

= exp

A(t) dt∇

(7)

μc

рядка, α = eA₀∇/μcω. Окончательно для S₁(r, t)

будем иметь

Воспользуемся формулами фурье-преобразования

)

для S(r, t) и U(r) = -Ze²⁰/r:

4πZe²⁰

⁽e₀ ∫

∫

S₁(r, t) =

exp

A(t) dt∇

(2π)³

μc

S(q, t) = S(r, t) exp(-iq · r) dr,

(

)

(8)

∑

e₀

4πZe²⁰

J_n

A₀∇ e^-inωtS(1)n(r),

(13)

U (q) = -

μcω

q²

n=-∞

тогда из (7) получим уравнение для фурье-образа

где функция

S(q, t) в виде

∫

S(1)n(r) = -

q²

iℏ

∂S(q, t)

q²S(q, t) +

p · qS(q,t) +

[

]

2μ

∂t

iℏ

(

∫

× exp iq · r -

q²t -

p · qt + inωt

ie₀

⁾ 4πZe

2μ

= -exp

A(t) dt q

(9)

⎛

⎞

μc

q²

∫

]

^[ iℏ

×^⎝ exp

q²t^′ +

p · qt^′ - inωt^′ dt^′⎠

(14)

Решив уравнение (9) и подставив S(q, t) в формулу

2μ

−∞

для обратного фурье-образа, найдем окончательный

вид для S₁(r, t) (6):

определяется взаимодействием электрона также с

(

∫

)

кулоновским полем. По постановке задачи видно,

e₀

что нас будут интересовать большие времена t → ∞,

S₁(r, t) =

exp

A(t) dt∇

(2π)³

μc

когда влияние атомного потенциала ослаблено (но

∫ (

)

[

]

4πZe²⁰

iℏ

U (r) = Ze²⁰/r = 0). Воспользуемся определением

exp iq · r-

q²t-

p · qt

q²

2μ

δ-функции:

∫t

]

∫

^[ iℏ

× exp

q²t^′ +

p · qt^′

2μ

lim

exp(iαx) dx = 2πδ(α)

(15)

t→∞

−∞

(

∫

)

−∞

ie₀

× exp

A(t^′) dt^′q dt^′dq.

(10)

μc

и представим Sn1)(r) в виде

∫

Рассмотрим случай линейно поляризован-

exp(iq · r)

S(1)n(r) = -

ной ЭМ-волны с потенциалом A(t)

= A0 cosωt.

q²

[

]

Воспользуемся следующим свойством оператора

iℏ

преобразования волновой функции:

× exp -

q²t -

p · qt + inωt

2μ

(

)

(

∫

)

ℏ

ie₀

× 2πδ

q² +

p · q - nω dq.

(16)

exp[iq · r] exp

A(t^′) dt^′q

2μ

μc

(

∫

)

ie₀

В силу закона сохранения энергии, выражаемого

= exp

A(t^′) dt^′∇ exp[iq · r]

(11)

μc

δ-функцией, показатель второй экспоненты в про-

изведении под интегралом обращается в нуль после

(в его справедливости легко убедиться, разложив

интегрирования по dq. Заранее опустим его. Для

экспоненты в ряды Тейлора), и разложим первый

определения Sn1)(r) направим ось z по направле-

экспоненциальный член

нию радиус вектора r, через векторы p и r проведем

(

)

ie₀

плоскость yz. Перейдем к интегрированию по Q =

exp

(A₀∇) sin ωt

= ℏq + p в полярной системе координат, связанной

μcω

604

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

К вкладу дальнодействующего рассеивающего потенциала. ..

с прямоугольной (Q_x, Q_y, Q_z) следующими соотно-

После замены во втором интеграле в (18) ρ → -ρ,

получим первый с пределами интегрирования

шениями: Q_x = Q_⊥ cos ϕ, Q_y = Q_⊥ sin ϕ, Q_z = Q_z,√

(-p_n, 0). И приведя выражение в знаменателе

где ϕ

= arctg(Q_y/Q_x), Q_⊥

= Q2x + Q2y. Соот-

под квадратным корнем в (18) к полному квад-

ветственно аргумент δ-функции в (16) примет вид

рату по ρ, перейдя к безразмерной переменной

(Q2z + Q2⊥ - p2n)/2μℏ, где p_n =

^√2με_n — импульс,

интегрирования u → ρ/p, получим

ε_n = p2n/2μ = p²/2μ+ℏωn — соответствующая энер-

гия нерелятивистского электрона после поглощения

(

)

2π²μ

n фотонов ЭМ-излучения. Далее воспользуемся из-

S(1)n(r) =

exp

p·r

ℏ

вестной формулой:

∫

∑

exp[ipzu/ℏ] du

δ (φ(x)) =

δ(x - a_i)

√

(19)

|φ^′(a_i)|

(u - b1n)² + a

-pn/p

(φ(x) — однозначная функция, a_i — корни уравне-

где

ния φ(x) = 0) и приведем (16) к виду

(

)

)₂

cosθ

p2n

sin² θ

⁽p²

b1n =

a21n =

-1

S(1)n(r) =

p²

∫∞

∫∞∫

p·r

p_⊥

exp[iQ_zz/ℏ]

cosθ =

sinθ =

r=z.

= -2πμ

Q²-2p_zQ_z-2p_yQ_⊥ sinϕ+p²

-∞ 0 0

[ (

)

(

)]

Перейдем к интегрированию по переменной χ = u-

√

- b1n. После несложных преобразований получим

× δ Q_z- p2n -Q²

+δ Q_z+ p2n -Q²

⊥

(1)

Sn в виде

dQ_zQ_⊥dQ_⊥dϕ

(

))

√

(17)

2π²μ

⁽i

ℏω

p2n - Q²

S(1)n(r) =

exp

p·r

n I_n(r),

(20)

⊥

2ε

В выражении для Sn1)(r) сначала проведем интегри-

где ε = p²/2μ — кинетическая энергия электрона в

рование по Q_z, получим

непрерывном спектре, функция

(

)

S(1)n(r) = -2πμ exp

p·r

In(r) =

ℏ

(

)

⎧

[

]

√

Arsh

(^pnp -b1n)

∫pn

∫

⎨

exp iz

p2n - Q2⊥ /ℏ

^a1n

∫

[

]

ipr

√

exp

a1n shγ dγ.

(21)

⎩_p2

+p²-2p_z

p²-Q2⊥-2pyQ⊥ sinϕ

ℏ

(

)

[

√

]

⎫

Arsh -

(^pnp +b1n)

^a1n

exp -iz

p2n - Q2⊥

/ℏ

⎬

√

Исследуем полученные выражения для I_n(r) при

p2n + p² + 2p_z

p2n - Q2⊥ - 2p_yQ_⊥ sinϕ⎭

n = 0, b1n = cosθ, a1n = 0, тогда из (21) для I₀(r) и

(1)

Q_⊥dQ_⊥dϕ

для действия S₀

(r) получим соответственно

√

(18)

p2n - Q²

⊥

∫

Здесь верхний предел интегрирования для Q_⊥ бе-

exp[iprχ/ℏ]

I₀(r) =

dχ =

рется равным p_n, так как при Q_⊥ > p_n δ-функция

√

-(1+cos θ)

обращается в нуль (Q_z = ±

Q2⊥ - p2n, где Q2⊥-p2n >

(

)

(

)

ipr

> 0). Проведем интегрирование в (18) по ϕ, восполь-

= Ei

(1 - cos θ)

-Ei

(1 + cos θ)

зовавшись табличным интегралом [20], где

ℏ

(

)

(

)

√

= Ei

(pr - p · r)

- Ei

(pr + p · r)

(22)

a = p2n + p² - 2p_z p2n - Q2⊥, b = 2p_⊥Q⊥ sinϕ

ℏ

(в выбранной системе координат p_⊥ = p_y, p_x = 0).

Далее удобно сделать замену переменной интегри-

Ze²⁰μ

√

S⁽¹⁾⁰(r) =

рования, введя ρ =

p2n - Q2⊥, где

{

(

)

(

)}

Q_⊥dQ_⊥

× Ei

(pr-p · r)

-Ei

(pr+p · r)

(23)

0 ≤ ρ ≤ p_n, dρ = -√

ℏ

p2n - Q²

⊥

605

А. Г. Казарян

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

(

∫

)

где Ei(z) — интегрально-показательная функция

Ze²⁰μ

e₀

S₁(r, t) =

exp

A(t) dt∇

[21]. Два члена суммы в (23) соответствуют расходя-

μc

щейся и сходящейся волновым функциям электро-

∑

⁽e₀A₀∇⁾

на [22]. Полученная функция (23) для Sn1)(r) — это

J_n

μcω

действие для упругого рассеяния на кулоновском

n=-∞

потенциале в ОЭП [23]. Интересующая нас волно-

(

)

i nℏω

вая функция электрона после процесса МНИА при

× exp

p · r - inωt I_n(r),

(27)

ℏ

2ε

r → ∞ должна иметь вид суперпозиции плоской и

сходящейся сферической волн [22], и функция с та-

где I_n(r) определяется формулами (24) при n = 0 и

кой асимптотикой соответственно есть

(26) при n = 0.

[

(

)]

iZe²μ

Искомая волновая функция Ψ_f(r, t) (4) в ли-

Ψ(-)(r) = exp ip · r-

(pr+p · r)

ℏp

ℏ

нейно поляризованном лазерном поле с учетом (27)

имеет вид

поэтому для дальнейших вычислений при n = 0 вы-

бираем функцию

(

)

^{i

e₀

(

)

Ψ_f (r, t) = exp

A₀ cosωt

·r-

ℏ

I₀(r) = -Ei

(pr + p · r)

(24)

ℏ

(

)

2e₀A₀ · p sinωt

i Ze²⁰μ

p²t -

При n = 0, nℏω ≪ ε имеем

ℏ2μ

cω

ℏ p

(

)

√

nℏωp

cosθ

nℏω

(

)

∑

p_n =

2με_n = p+

b1n =

e₀ sinωt

⁽e₀A₀∇⁾

2ε

× exp

A₀∇

J_n

μc

μcω

n=-∞

)₂

sin² θ

(ℏω

(

)

}

a21n = n²

i nℏω

× exp

p · r - inωt I_n(r)

(28)

ℏ

2ε

Соответственно, аргументы в пределах интегриро-

вания в (21) записываются как

В качестве первого шага при суммировании по n в

(

)

выражении для S₁(r, t) (27) учтем члены, линейные

p_n

nℏω

- b1n = (1 - cosθ)

по e₀A₀Δp/μcω (n = 0, ±1), где Δp — изменение им-

2ε

(

)

(

)

(25)

пульса под воздействием кулоновского поля:

p_n

nℏω

+b1n

= -(1 + cosθ)

eA₀ Δp

2ε

≪ 1.

ℏω μc

В интересующем нас многофотонном случае, nℏω ≪

≪ ε, пределы интегрирования (25) равны ±∞ и со-

Считая ЭМ-поле «классически» слабым, линеаризу-

гласно [20] функция I_n(r) принимает вид (n = 0)

ем S₁(r, t) по e₀A₀/μcω, разложив экспоненту

(

)

∫∞

[

]

e₀

(

)

ipr

exp

A₀

sinωt∇

exp

a1n shχ dχ = 2K₀

|a1n|

μcω

In(r) =

ℏ

−∞



)

в ряд Тейлора и сохранив первые два члена. Фи-

⁽pr

nℏω



зически это равносильно тому, что после процесса

= 2K₀

sinθ



2ℏ

 ε

МНИА свободный электрон может взаимодейство-

(

)

nℏω

√

вать с ЭМ-волной (в силу наличия кулоновского по-

= 2K₀

p²r² - (p · r)²

(26)

2ℏ ε

тенциала), реально испуская и поглощая фотоны —

вынужденное тормозное рассеяние. Учтем только

где

однофотонные процессы, считая при этом, что энер-

K₀(z) = lim

[I_-ν (z) - I_ν (z)]

гия кванта ЭМ-поля мала по сравнению с энерги-

ν→0 2 sin(πν)

ей электрона в непрерывном спектре и недостаточ-

— функция Макдональда, I_ν(z) — модифицирован-

на для ее существенного изменения, например для

ная функция Бесселя [20].

того, чтобы вернуть электрон в связанное состоя-

С учетом приведенных выше упрощений полу-

ние. Согласно сказанному выше, из (28) имеем для

чаем окончательный вид для действия S₁(r, t) в

S₁(r, t) формулу:

ОЭП (13)

606

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

К вкладу дальнодействующего рассеивающего потенциала. ..

{

Ze²⁰μ

Здесь

S₁(r, t) =

[1 + sin ωtα₀∇] J₀(α₀∇)I₀(r) -

)

(

)

⁽1

√

I₁(r) = 2K₀

(pr)² - (p · r)²

- J₁(α₀∇)exp

p · rζ - iωt I₁(r)+

2 ℏ

2ℏ

(

)

}

+ J-1(α₀∇) exp

p · rζ + iωt I₁(r)

(29)

)

2ℏ

√

⁽1 ζ

∇I₁(r) = K₁

(pr)² - (p · r)²

где

2 ℏ

ℏω

e₀A₀

e₀E₀

ζ =

α₀ =

E₀ =

A₀.

p²r

- (p · r)p

μcω

μω²

√

ℏ

(pr)² - (p · r)²

Аналогично, разложив в выражении (29) функции

Бесселя в ряд Тейлора, воспользовавшись формула-

I₀(r) — интегрально-показательная функция (24),

ми

K₀(z), K₁(z) — функции Макдональда.

∑

(z/2)2k+ν

После несложных упрощений для функции,

J_ν(z) =

(-1)^k

k!Γ(k + ν + 1)

комплексно-сопряженной с Ψ_f (r, t), получим выра-

(30)

k=0

жение

J_-k(z) = (-1)^kJ_k(z),

(

)

и оставив линейные по α₀ члены, для S₁(r, t) полу-

Ψ^∗f(r, t) = exp

p · r - iηI∗0(r)

ℏ

чим

)

{

∑

⁽B₁(r)⁾⁽

ηB₂(r)

Ze²⁰μ

J_n

J_s i

S₁(r, t) =

I₀(r) + sinωtα₀∇I₀(r) -

ℏ

n,s=-∞

(

)

^{i

ζα₀ · pcos

p · r I₀(r)+

× exp

εt - i(n + s)ωt + iφ₁(r)s +

2ℏ

ℏ

(

)

}

+ isin

p · r α₀∇I₁(r)

(31)

2ℏ

+ iφ₂(r)n +

p · rn

(33)

2ℏ

Воспользовавшись формулами для суммы триго-

нометрических функций, для волновой функции

где перейдем к суммированию по m = s + n и полу-

Ψ_f (r, t) (28) электрона в конечном состоянии име-

чим

ем

(

)

{

Ψ^∗f(r, t) = exp

p · r - iηI∗0(r)

Ψ_f (r, t) = exp

εt +

p · r + iηI₀(r) +

ℏ

(

)

∑

exp

(ε - mℏω)

B₁(r)sin(ωt - φ₁(r)) - ηB₂(r)×

ℏ

m=-∞

(

)}

× sin

p · r - ωt + φ₂(r)

× exp(iφ₁(r)m) F_m(r).

(34)

2ℏ

где η = Ze²⁰μ/ℏp и функции B₁(r), B₂(r), φ₁(r), φ₂(r)

Функция взаимодействия электрона с обоими поля-

определяются соответственно как

ми F_m(r), определяемая как

B₁(r) =

√

∑

⁽B₁(r)⁾

F_m(r, t) =

(-1)ⁿJn

= (α₀ · p + ℏηα₀∇I₀(r))² + e²ω²(E₀ · r)²,

ℏ

n,s=-∞

√

⁽iηB₂(r)⁾

B₂(r) =

(α₀ · p)²I²¹(r) + (α₀∇I₁(r))²,

×Jn+m

4ℏ²

(32)

ℏ

(

) )

e₀ωE₀ · r

tg φ₁(r) =

× exp i φ₁(r) - φ₂(r) -

p·r n

α₀ · p + ℏηα₀∇I₀(r)

2ℏ

(ζ/2ℏ)α₀ · pI₁(r)

tg φ₂(r) =

α₀∇I₁(r)

после суммирования [21] имеет вид

607

А. Г. Казарян

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

{

(

))}

B₁(r)

F_m(r) = J_m(D(r))exp

-im arcsin

sin φ₁(r) - φ₂(r) -

p·r

(35)

ℏD(r)

2ℏ

где

√

(

)

B²(r)

D(r) =

- η²B²²(r) +

B₁(r)B₂(r)cos φ₁(r) - φ₂(r) -

p·r

(36)

ℏ²

ℏ

2ℏ

Для волновой функции в конечном состоянии по-

3. ВЕРОЯТНОСТЬ МНОГОФОТОННОЙ

лучим формулу

НАДПОРОГОВОЙ ИОНИЗАЦИИ

ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА В

(

)

ЛАЗЕРНОМ ПОЛЕ С УЧЕТОМ

Ψ^∗f(r, t) = exp

p · r - iηI∗0(r)

ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕГО

ℏ

КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ ОСТАТОЧНОГО

(

)

∑

ИОНА

exp

(ε_f - nℏω)

ℏ

n=-∞

× exp(in (φ₁(r) - ψ(r))) J_n(D(r)),

(37)

Воспользуемся найденной волновой функцией

Ψ^∗f(r, t) (39) как конечным состоянием для вы-

числения вероятности многофотонной надпороговой

где ε_f — энергия электрона в конечном состоянии,

ионизации атома в поле ЭМ-волны с учетом дально-

действующего кулоновского потенциала. Если взаи-

ψ(r) =

модействие с лазерным полем включается адиаба-

(

))

iB₁(r)

тически медленно при t = -∞ и до включения поля

= arcsin

sin φ₁(r)-φ₂(r)-

p·r

(38)

ℏD(r)

2ℏ

волны атомная система находилась в невозмущен-

ном связанном состоянии Φ_i(r, t) = Φ(r) exp(iE_B t) с

Из соотношений (34), (36), (38) в приближении низ-

энергией связи E_B > 0 валентных электронов в ато-

кочастотного ЭМ-поля, ζ ≪ 1, имеем

ме (2μE_B = a-2, a = Z/μe²⁰ — боровский радиус), то

матричный элемент перехода определяется как

B₁(r)

B₂(r) = 0, φ₂(r) = 0, D(r) =

ℏ

∞

∫

T_i→f = -i

Ψ^∗f(r, t

V Φ_i(r, t)drdt.

(40)

ψ(r) = φ₁(r) -

p · r.

-∞

2ℏ

В выражении для B₁(r) (32) в приближении ωρ ≪ v

Здесь

= -e₀E(t)r — гамильтониан взаимодей-

(где ρ = Ze²⁰/μv²) можно пренебречь третьим чле-

ствия с ЭМ-волной в дипольном приближении,

ном в подкоренном выражении, а на интересующих

E(t) = E₀ sin ωt — напряженность электрического

нас больших расстояниях r, когда член

поля волны. Для водородоподобных атомов волно-

вая функция связанного состояния имеет вид

(

)

pr+p

∇I∗0(r) =

exp

(pr + p · r)

pr + p · r

ℏ

exp(-r/a)

Φ(r) =

√

(41)

πa³

становится много меньше α₀ ·p, также пренебрегаем

и вторым членом, приняв B₁(r) = α₀ · p.

Представим гамильтониан в виде

Тогда для Ψ^∗f (r, t) имеем окончательную форму-

лу:

e₀E(t)r

V =-

(e^iωt - e^-iωt)

(42)

(

)

Ψ^∗f(r, t) = exp

p · r - iηI∗0(r)

ℏ

(

)

и, проинтегрировав (40) по времени, получим следу-

∑

⁽α₀ ·p)

exp

(ε_f - nℏω)t J_n

(39)

ющую формулу:

ℏ

n=-∞

608

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

К вкладу дальнодействующего рассеивающего потенциала. ..

T_i→f = e₀E₀

√

M^f =

√

πa³

∫

(

)

∫

(

)

∑

rexp

p · r - iηI∗0(r) -

dr ×

× rexp

p · r - iηI∗0(r)-

dr.

(46)

ℏ

n=-∞

⁽α₀ ·p)

Дифференциальная вероятность процесса

×J_n

2π (δ (ε_f + E_B - (n - 1)ℏω) +

ℏ

МНИА в единицу времени в фазовом простран-

+ δ (ε_f + E_B - (n + 1)ℏω)).

(43)

стве dp/(2πℏ)³ (пространственный объем V = 1 в

соответствии с нормализацией электронной волно-

Учитывая, что пределы суммирования есть беско-

вой функции) с учетом всех конечных состояний

нечности, получим

импульсов фотоэлектрона в интервале p, p + dp

имеет вид

e₀E₀

T_i→f = π√

πa³

dW^ni→f = w^ni→f dp/(2πℏ)³,

(47)

∫

(

)

∑

rexp

p · r - iηI∗0(r)-

dr ×

где

ℏ

n=-∞

w^ni→f = lim

|T_i→f |².

(

i→∞ t

⁽α₀ ·p)

⁽α₀ ·p))

× Jn+1

-Jn-1

ℏ

Заменим функцию электрона в приближении сла-

бого потенциала на волновую функцию электрона

× δ(ε_f + E_B - nℏω),

(44)

в кулоновском поле, относящуюся к непрерывному

где δ-функция выражает закон сохранения энергии

спектру, не ставя ограничений на величину электро-

при n-фотонной ионизации.

статического потенциала, т. е. используем для M^f

Матричный элемент перехода определяется как

формулу [22]

)

∑

T_i→f =

T^ni→f δ(ε_f + E_B - nℏω),

(45)

M^f = iℏ5/216√π Γ(1-iη) exp(

-2η arctg η

n=-n0

где парциальная амплитуда перехода имеет вид

η5/2p3/2(iη - 1) p

(48)

(

(η² + 1)³

p⁵

⁽α₀ ·p)

⁽α₀ ·p))

Tⁿ

= eE₀π Jn+1

-Jn-1

M^f ,

i→f

ℏ

Тогда парциальная вероятность W^ni→f (47) перехода

а амплитуда перехода для фотоэффекта с поглоще-

электрона из основного состояния в непрерывный

нием одного фотона ЭМ-поля —

спектр имеет вид

{



}

∫ 

e²⁰

dJn(α₀ · p)/ℏ



W^ni→f =

2π

|E₀ · M^f |δ(ε_f + E_B - nℏω)

(49)



ℏ²

α₀ · p/ℏ

(2π)³

где α = e₀E₀/μω². Подставив M^f (48) в формулу (49) для парциальной вероятности, получим

∫

(

)₅



²

exp(-4η arctg η)

dJn(α₀ · p)/ℏ



W^ni→f = 2⁴e²

(E₀ · p)²

(ε_f + E_B - nℏω)

(50)



 δ

η⁴

1+η²

1 - exp(-2πη)

α₀ · p/ℏ

p⁷

(

)₅

Направим E₀ по оси z и интегрирование проведем в

e²⁰E²⁰

η2n

W^ni→f = 2⁴π

сферической системе координат, где θ — угол между

μωη⁴

1+η²

векторами p и E₀, ϕ — угол между плоскостью, со-

ставленной векторами p, E₀ и плоскостью xz. Про-

exp(-4η_n arctg η_n)

интегрировав (50) по энергии вылетающего электро-

F_n(b_n),

(51)

1 - exp(-2πη_n) ℏωn - E_B

на ε_f и полярному углу ϕ, получим формулу

609

ЖЭТФ, вып. 4

А. Г. Казарян

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

где

eE₀

(

)₅

b_n =

p_n, x = b_n cosθ(-b_n < x < b_n),

2⁵

exp(-4η_n arctg η_n+2n)

ℏμω²

W^ni→f =

ωη⁴

1+η²

1 - exp(-2πη_n)

∫bn

)

2n-2

F_n(b_n) = x²|J^′n(x)|²dx.

(52)

e²⁰E²⁰

⁽e₀E₀

p_n

(56)

(2n)2np²

ℏμω²

Используя табличные интегралы, функцию F_n(b_n)

Известные предельные переходы для вероятности

(52) можно выразить через обобщенную гипергео-

многофотонной надпороговой ионизации в ОЭП-со-

метрическую функцию [21]. Полученные выраже-

отношении (56) в сильном лазерном поле (в том чис-

ния упрощаются при однофотонном поглощении,

ле и в борновском приближении по кулоновскому

когда формула для вероятности факторизована по

потенциалу (η ≪ 1)) рассмотрены в работе [24].

вкладам кулоновского и внешнего ЭМ-излучения.

При произвольном n, n = 1, в пределе b_n

≤ 1

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

получим известную формулу для многофотонной

ионизации, получаемую по теории возмущений по

В представленной работе найдена вероятность

E₀ [12]:

многофотонной ионизации атома в лазерном по-

W^Ni→f = CE2N0 ,

(53)

ле с учетом влияния кулоновского поля на конеч-

ное состояние электрона в непрерывном спектре

где N = 〈E_B /ℏω + 1〉 — минимальное число фото-

в рамках квантовомеханической теории, которая

нов, необходимых для ионизации в соответствии с

приведена к упрощенной формуле для интенсив-

законом сохранения энергии, а член

ной волны, когда процесс ионизации существен-

(

)2n-2(

)₅

но многофотонный. Волновая функция электрона

2⁴n²e2n0

p_n

η2n

C =π

в конечном состоянии рассмотрена в обоих полях

μωη4n(2n+1)(n!)2 ℏμω2

1+η²

внешнего ЭМ-излучения линейной поляризации и

кулоновского потенциала в нерелятивистском ОЭП.

exp(-4η_n arctg η_n)

(54)

Вероятность многофотонной ионизации необходима

1 - exp(-2πη_n) ℏωn - E_B

для изучения экпериментально наблюдаемых ранее

при n = N — поправка, вносимая кулоновским по-

низкоэнергетических структур. Случай ЭМ-волны

лем из-за воздействия на электрон в конечном со-

релятивистской интенсивности эллиптической по-

стоянии после ионизации. Величина, обратная фак-

ляризации и электростатического потенциала про-

ториалу n!, n = 1, в определении F_n(b_n) уменьшает

извольного вида требует отдельного рассмотрения.

его вклад в вероятности процесса (51) по сравнению

с предшествующим кулоновским членом, но при

Благодарности. Автор выражает признатель-

выполнении дисперсионного соотношения p2n/2μ =

ность Г. К. Аветисяну за многочисленные обсужде-

= E_B + nℏω вероятность W^ni→f определяется вза-

ния и постоянное внимание к работе.

имодействием электрона именно с полем внешнего

ЭМ-излучения.

Финансирование работы. Исследование вы-

Для больших n, используя асимптотическую

полнено при финансовой поддержке Государствен-

формулу для функции Бесселя

ного комитета по науке Министерства образования

)_n

⁽ex

и науки Республики Армения (ГКН МОН РА).

J_n(x) =

√

2nπ

получим новую формулу:

ЛИТЕРАТУРА

)2n

b2n-2n

( e

F_n(b_n) =

(2n + 1)π

1. T. Popmintchev, M. C. Chen, D. Popmintchev, P. Ar-

pin, S. Brown, S. Alisauskas, G. Andriukaitis, T. Bal-

Тогда вероятность многофотонной ионизации без

ciunas, O. D. Mucke, A. Pugzlys, A. Baltuska,

ограничения на величину напряженности ЭМ-поля

B. Shim, S. E. Schrauth, A. Gaeta, C. Hernan-

определится формулой

dez-Garcıa, L. Plaja, A. Becker, M. M. Jaron-Becker,

∑

A. Murnane, and H. C. Kapteyn, Science 336, 1287

W_i→f =

W^ni→f ,

(55)

(2012).

n=N

610

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

К вкладу дальнодействующего рассеивающего потенциала. ..

2. C. I. Blaga, F. Catoire, P. Colosimo, G. G. Paulus,

13. А. М. Переломов, В. С. Попов, М. В. Терентьев,

H. G. Muller, P. Agostini, and L. F. DiMauro, Nature

ЖЭТФ 50, 1393 (1966).

Phys. 5, 335 (2009).

14. А. М. Переломов, В. С. Попов, М. В. Терентьев,

3. W. Quan, Z. Lin, M. Wu, H. Kang, H. Liu, X. Liu,

ЖЭТФ 51, 309 (1966).

J. Chen, J. Liu, X. T. He, S. G. Chen, H. Xiong,

L. Guo, H. Xu, Y. Fu, Y. Cheng, and Z. Z. Xu, Phys.

15. В. С. Попов, УФН 174, 921 (2004) [V. S. Popov,

Rev. Lett. 103, 093001 (2009).

Phys. Usp. 47, 855 (2004)].

4. B. Wolter, M. G. Pullen, M. Baudisch, M. Sclafani,

16. V. S. Popov, Phys. Atom. Nucl. 68, 686 (2005).

M. Hemmer, A. Senftleben, C. D. Schroter, J. Ullrich,

R. Moshammer, and J. Biegert, Phys. Rev. X 5,

17. S. V. Popruzhenko, J. Phys. B 47, 204001 (2014).

021034 (2015).

18. H. K. Avetissian, A. G. Markossian, G. F. Mkrtchian,

5. J. Maurer, B. Willenberg, B. W. Mayer, C. R. Phil-

and S. V. Movsissian, Phys. Rev. A 56, 4905 (1997).

lips, L. Gallmann, J. Danek, M. Klaiber, K. Z. Hat-

sagortsyan, C. H. Keitel, and U. Keller, arXiv:1703.

19. L. Davidovich, CEA, Paris (1991).

03283.

20. А. П. Прудников, А. Ю. Брычков, О. И. Марычев,

6. J. Danek, K. Z. Hatsagortsyan, and Ch. H. Keitel,

Интегралы и ряды, Наука, Москва (1981).

arXiv:1707.06921.

21. А. П. Прудников, А. Ю. Брычков, О. И. Марычев,

7. L. V. Keldysh, Sov. Phys. JETP 20, 1307 (1965).

Интегралы и ряды. Специальные функции, Наука,

8. F. Faisal, J. Phys. B 6, L89 (1973).

Москва (1983).

9. H. R. Reiss, Phys. Rev. A 22, 1786 (1980).

22. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая меха-

ника. Нерелятивистская теория, Наука, Москва

10. Н. Б. Делоне, В. П. Крайнов, Нелинейная иони-

(1989).

зация атомов лазерным излучением, Физматлит,

Москва (2001).

23. H. K. Avetissian and S. V. Movsissian, Phys. Rev.

A 54, 3036 (1996).

11. А. И. Никишов, В. И. Ритус, ЖЭТФ 46, 776

(1964).

24. H. K. Avetissian, A. G. Markossian, and G. F. Mkrt-

12. А. И. Никишов, В. И. Ритус, ЖЭТФ 52, 23 (1967).

chian, Phys. Rev. A 64, 053404 (2001).

611