ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 4, стр. 620-635

ЗАКОНЫ ДИСПЕРСИИ ПОЛЯРИТОННОГО ТИПА ДЛЯ

ТРЕХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ

С ДВУМЯ ИМПУЛЬСАМИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

П. И. Хаджи , О. В. Коровай^*, Л. Ю. Надькин

Институт прикладной физики Академии наук Молдовы

MD-2028, Кишинев, Молдова

Приднестровский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

МD-3300, Тирасполь, Молдова

Поступила в редакцию 12 октября 2018 г.,

после переработки 12 октября 2018 г.

Принята к публикации 13 ноября 2018 г.

Изучены особенности поведения поляритонных законов дисперсии трехуровневых атомов, взаимодей-

ствующих с двумя импульсами когерентного лазерного излучения с частотами ω1 и ω2, находящимися

в резонансе с оптически-разрешенными однофотонными переходами соответственно между уровнями

1 ⇆ 2 и 2 ⇆ 3 и с учетом также прямого двухфотонного перехода между уровнями 1 и 3. Используется

приближение заданных плотностей фотонов обоих импульсов по сравнению с плотностями атомов. Пока-

зано, что закон дисперсии состоит из трех ветвей, положение и форма которых определяется частотами

Раби указанных трех оптических переходов и плотностями фотонов обоих импульсов. Непосредственный

учет всех трех оптических переходов приводит к зависимости дисперсии атомных поляритонов от ново-

го квантового параметра — разности фаз между тремя частотами Раби. Найдены значения параметров

системы, при которых возможно пересечение ветвей закона дисперсии. Введено понятие поверхности за-

кона дисперсии в зависимости собственных частот атомных поляритонов от волновых векторов фотонов

обоих импульсов.

DOI: 10.1134/S0044451019040059

Френкеля в условиях сильной связи фотонов с

материальными возбуждениями. В работах [6, 7]

исследованы поляритонные состояния в микро-

1. ВВЕДЕНИЕ

резонаторе, где энергии экситонов Френкеля в

В последние годы повышенное внимание уде-

органических квантовых ямах и экситонов Ва-

ляется исследованию процессов взаимодействия

нье - Мотта в неорганических квантовых ямах

лазерного излучения с веществом в размерно-ог-

смешиваются с оптической модой микрорезонатора,

раниченных системах. В ряде работ [1-5] пред-

что приводит к взаимодействию этих экситонов

ставлены результаты исследований явлений бозе-

между собой и к образованию связанных гибридных

эйнштейновской конденсации и сверхтекучести в

поляритонов. В работах [8, 9] показано, что взаимо-

системе экситон-поляритонов в микрорезонаторах,

действие прямых и непрямых экситонов в двойной

а также явлений, обусловленных сильной связью

квантовой яме в микрорезонаторе с собственной

фотонов с атомными системами. При этом боль-

модой микрорезонатора приводит к образованию

шой интерес представляет установление общности

новых поляритонных состояний, так называемых

либо различий между такими понятиями, как

диполяритонов с тремя ветвями закона дисперсии.

частота нутации либо частота осцилляций Раби

Нелинейно-оптические явления в трех- и много-

в системе экситонов Ванье - Мотта и вакуумно-

уровневых атомных системах исследовались в раз-

го расщепления Раби ансамблем изолированных

личных работах (см., например, [10,11]). При этом

двухуровневых атомов либо системой экситонов

учитывались однофотонные индуцированные пере-

^* E-mail: olesya-korovai@mail.ru

ходы между последовательными парами соседних

620

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Законы дисперсии поляритонного типа...

уровней под действием света, как это представлено

ра, экситонов и биэкситонов при учете экситон-фо-

в теории каскадных лазеров [12-14]. Вместе с тем

тонного взаимодействия и оптической экситон-би-

в атомных трехуровневых системах возможны, на-

экситонной конверсии, однако без учета прямого

пример, двухфотонные переходы между первым и

двухфотонного возбуждения биэкситонов из основ-

третьим уровнями.

ного состояния кристалла. В работе [28] наблюда-

В работе [15] отмечается, что биэкситонное со-

лась спонтанная двухфотонная эмиссия из кванто-

стояние вместе с экситонным и основным состоя-

вой точки. В работе [29] визуализирован процесс

ниями в квантовой точке образуют трехуровневую

двухфотонных осцилляций Раби в системе трех свя-

систему лестничного типа. Показано, что двухфо-

занных волноводов, являющийся оптическим анало-

тонное возбуждение трехуровневой системы может

гом двухфотонных осцилляций Раби в трехуровне-

привести к новым собственным состояниям, про-

вой атомной либо молекулярной системе, когерент-

демонстрированы двухфотонные осцилляции Раби,

но возбуждаемой двумя лазерными полями. Таким

частота которых пропорциональна интенсивности

образом, можно прийти к выводу, что ни в одной

возбуждения. В работе [16] изучены процессы двух-

из вышеупомянутых работ не рассматриваются од-

фотонного возбуждения квантовых точек из основ-

новременно два различных однофотонных и один

ного состояния кристалла в биэкситонное в усло-

двухфотонный переходы в трехуровневых атомах,

виях, когда переходы в экситонное состояние силь-

хотя в ряде работ [26-29] и утверждается, что на-

но подавлены из-за большой энергии связи биэк-

блюдается двухфотонный процесс. Однако, по на-

ситона. В работе [17] изучались оптические свой-

шему мнению, это всего лишь каскадный двухфо-

ства связанных тримеров и тетрамеров. В ряде ра-

тонный процесс в системе трехуровневых атомов,

бот [18-22] изучен так называемый поляритонный

а не прямой двухфотонный процесс. В экситонной

резонанс Фешбаха, при котором энергия двух экси-

области спектра имеют место индуцированные све-

тонов равна энергии биэкситона. Методом накачки-

том однофотонные переходы из основного состоя-

зондирования (pump-probe) [17, 18] изучены свой-

ния кристалла в экситонное и из экситонного в би-

ства экситон-поляритонов при изменении уровня

экситонное, а также прямой двухфотонный переход

возбуждения кристалла. При низком уровне воз-

из основного состояния кристалла на биэкситонный

буждения наблюдались обычные верхняя и ниж-

уровень [30]. При этом хорошо известно [30], что

няя поляритонные ветви закона дисперсии. Одна-

однофотонный оптический переход из экситонного

ко при увеличении накачки наблюдались сначала

в биэкситонное состояние и двухфотонный переход

одна, а затем и две дополнительные поляритонные

из основного состояния кристалла в биэкситонное

ветви, обусловленные образованием биэкситонных

характеризуются гигантскими силами осциллятора

и триэкситонных состояний в кристалле. В работе

по сравнению с экситонным переходом. Отметим,

[23] обсуждается существование новой квазичасти-

что в работе [31] представлены предварительные

цы — экситона, дважды одетого двумя фотонами

результаты исследования двухимпульсного взаимо-

различных длин волн — оптического фотона мик-

действия с экситонами и биэкситонами. Показано,

рорезонатора и терагерцевого фотона. Эта квази-

что в условиях мощной накачки в области M-поло-

частица состоит из трех различных бозонов, и ее

сы люминесценции закон дисперсии несущей волны

закон дисперсии содержит три поляритонные вет-

имеет три ветви. Были найдены значения парамет-

ви. Авторы работы [23] описали свои наблюдения

ров, при которых может наблюдаться пересечение

с помощью квантово-механической модели, учиты-

ветвей закона дисперсии.

вающей связь между четырьмя бозонными полями,

включая 1s- и 2p-экситоны, а также оптические и те-

рагерцевые фотоны. Теоретически продемонстриро-

вано возникновение трех поляритонных ветвей при

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

учете экситон-фотонного взаимодействия и терагер-

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

цевой конверсии 1s- и 2p-экситонов. Отметим, что

ранее уже рассматривались дважды одетые состоя-

Ниже представлены результаты исследования

ния двухуровневого атома двумя фотонами [24], а

закона дисперсии трехуровневого атома, взаимодей-

также взаимодействие экситон-поляритонов с тера-

ствующего с двумя импульсами резонансного лазер-

герцевыми фотонами [25].

ного излучения. При этом учитываются однофотон-

В ряде работ [26-29] изучалось явление двухфо-

ные переходы между уровнями 1 ⇆ 2 и 2 ⇆ 3, а

тонного расщепления Раби в системе нанорезонато-

также двухфотонный переход между уровнями 1 и

621

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

a₃

ia₁ = -g∗12c∗1a₂ - g∗13c∗1c∗2a₃,

ia₂ =ω₀a₂ -g₁₂a₁c₁ -g∗23c∗2a₃,

ia₃ =Ω₀a₃ -g₂₃a₂c₂ -g₁₃a₁c₁c₂,

(2)

iċ₁ =ω₁c₁ -g∗12a∗1a₂ -g∗13a∗1c∗2a₃,

a₂

iċ₂ =ω₂c₂ -g∗23a∗2a₃ -g∗13a∗1c∗2a₃.

При этом среднее значение от произведения

нескольких операторов факторизуется в виде

произведения средних значений каждого из опера-

торов.

a₁

Найдем дисперсионное уравнение системы в

. Беря за основу уравнение

окрестности частоты ω₀

Рис. 1. Схема энергетического спектра трехуровневого ато-

для

a₂, видим, что скорость изменения ампли-

ма, взаимодействующего с фотонами с частотами ω1 и ω2

туды a₂ определяется выражениями a₁c₁ и c∗2a₃.

Слагаемое с (a₁c₁) описывает вклад в скорость

изменения амплитуды a₂ за счет гибели атома на

3 (рис. 1). Гамильтониан взаимодействия атома и

первом уровне и поглощением фотона с частотой

фотонов обоих импульсов можно записать в виде

ω₁, в результате чего атом переходит на уровень 2.

Слагаемое (c∗2a₃) описывает процесс гибели атома

на уровне 3 с испусканием фотона на частоте ω₂,

Ĥ_int = -g₁₂â₁ĉ₁â⁺² - g∗12â⁺¹ĉ⁺¹â₂ - g₂₃â₂ĉ₂â⁺³ -

в результате чего атом переходит на уровень 2.

ℏ

Соответствующие им операторы ĉ₁â₁ и ĉ∗2â₃ опи-

-g∗23â⁺²ĉ⁺²â₃ - g₁₃â₁ĉ₁ĉ₂â⁺³ - g∗13â⁺¹ĉ⁺¹ĉ⁺²â₃,

(1)

сывают состояния с энергиями ℏω₁ и ℏ(Ω₀ - ω₂),

равными энергии ℏω₀ второго атомного уровня.

где â_j (j = 1, 2, 3) — оператор уничтожения для ато-

Следовательно, состояние атома на уровне 2, атома

ма, находящегося на уровне j; ĉ₁ и ĉ₂ — операторы

в основном состоянии плюс фотон первого импульса

для фотонов, действующих между уровнями 1 ⇆ 2

и реплика возбужденного состояния 3, сдвинутая

(ĉ₁) и 2 ⇆ 3 (ĉ₂); g_ij — константы оптической кон-

вниз на энергию ℏω₂ фотона второго импульса,

версии атома с уровня i на уровень j. Собственные

вырождены по энергии. Используя (2), получаем

энергии атомов на уровнях 2 и 3 равны соответ-

для амплитуд a₁c₁ и c∗2a₃ следующие уравнения:

ственно ℏω₀ и ℏΩ₀ (рис. 1). Отсчет энергии атома на

i(a₁c₁)^· = ω₁a₁c₁ - g∗12c∗1c₁a₂ - g∗13c∗1c₁c∗2a₃ -

возбужденных уровнях начинается с первого уров-

ня (основного состояния атома). Фотоны падающих

-g∗12a∗1a₁a₂ - g∗13a∗1a₁c∗2a₃,

(3)

импульсов, описываемые операторами ĉ₁ и ĉ₂, име-

i(c∗2a₃)^· = (Ω₀ - ω₂)c∗2a₃ - g₂₃c∗2c₂a₂ -

ют соответственно частоты ω₁ и ω₂. Фотоны первого

- g₁₃c∗2c₂c₁a₁+g₂₃a∗3a₃a₂+g₁₃a∗3a₃a₁c₁.

(второго) импульса с энергией ℏω₁ (ℏω₂) возбужда-

ют атом с уровня 1 (2) на уровень 2 (3). Эти пере-

Далее будем считать, что амплитуды c₁ и c₂ на-

много превышают амплитуды для атомов на соот-

ходы являются разрешенными однофотонными пе-

реходами. Вместе с тем возможен также разрешен-

ветствующих уровнях (c₁, c₂ ≫ a₁, a₂, a₃). Назовем

ный двухфотонный переход с уровня 1 на уровень 3

этот предел приближением заданной плотности фо-

(и обратно) под действием тех же самых фотонов,

тонов обоих импульсов. В этом приближении второе

что отражено последними двумя слагаемыми в (1).

и третье слагаемые в последних двух уравнениях в

Предполагаем, что оба импульса электромагнитного

(2) исчезающе малы и ими можно пренебречь. Тогда

излучения действуют в течение времени, меньшего

решения этих уравнений имеют простой вид:

времени релаксации атомов. В этом случае процес-

c₁ = c₁₀e-iω1t, c₂ = c₂₀e-iω2t,

сами релаксации можно пренебречь.

где c₁₀ и c₂₀ — начальные значения амплитуд для

Используя (1), легко получить гейзенберговские

фотонов. Таким образом, видно, что огибающие

уравнения движения для операторов â_j и ĉ_i, после

функций c₁(t) и c₂(t) в приближении заданной плот-

усреднения которых в приближении среднего по-

ности фотонов обоих импульсов не изменяются со

ля (mean field approximation) приходим к системе

временем:

нелинейных эволюционных уравнений для ампли-

туд a_j = 〈â_j 〉 (j = 1, 2, 3) и c_i = 〈ĉ_i〉 (i = 1, 2):

|c₁|² = c²¹⁰ ≡ f₁₀ = const,

|c₂|² = c²²⁰ ≡ f₂₀ = const.

622

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Законы дисперсии поляритонного типа...

Также видно, что последние два слагаемых в обо-

(ω - ω₀)(ω - ω₁)(ω - Ω₀ + ω₂) -

их уравнениях (3) также исчезающе малы по срав-

- Ω²¹²(ω-Ω₀+ω₂) - Ω²²³(ω - ω₁)-

нению с остальными слагаемыми. Тогда уравнение

- Ω²¹³(ω - ω₀) + 2Ω₁₂Ω₂₃Ω13 cosϑ = 0,

(8)

для a₂ из (2) и оба уравнения (3) в приближении

заданной плотности фотонов обоих импульсов об-

где

разуют замкнутую систему из трех уравнений для

амплитуд для квазичастиц с одной и той же квази-

Ω²¹² = g²¹²f₁₀, Ω²²³ = g²²³f₂₀, Ω²¹³ = g²¹³f₁₀f₂₀

(9)

энергией ℏω₀ ≈ ℏω₁ ≈ ℏ(Ω₀ - ω₂):

— соответствующие частоты Раби. Отсюда видно,

ia₂ = ω₀a₂ - g₁₂(a₁c₁) - g∗23(c∗2a₃),

что квадрат частоты Раби Ω²¹² разрешенного одно-

i(a₁c₁)^· = ω₁(a₁c₁) - g∗12f₁₀a₂ - g∗13f₁₀(c∗2a₃),

фотонного перехода между первым и вторым уров-

(4)

i(c∗2a₃)^· = (Ω₀ - ω₂)(c∗2a₃) -

нями пропорционален квадрату матричного элемен-

- g₂₃f₂₀a₂ - g₁₃f₂₀(a₁c₁),

та g²¹² перехода и плотности фотонов f₁₀ импульса,

действующего на этом переходе. Для двухуровне-

где f₁₀ и f₂₀ — (заданные) плотности фотонов обоих

вых атомов, взаимодействующих с полем электро-

импульсов. Таким образом, в приближении задан-

магнитной волны, известно [32], что частота Раби

ной плотности фотонов обоих импульсов получен-

определяется выражением Ω_R = μE₀/ℏ, где μ — ди-

ная система уравнений (4) для функций a₂, a₁c₁,

польный момент перехода, ℏ — постоянная Планка,

c∗2a₃ является линейной. Решение ее будем искать в

E₀ — амплитуда поля. Таким образом, используемое

виде

выражение Ω²¹² для частоты Раби совпадает с ранее

a₂, a₁c₁, c∗2a₃ ∼ e^-iωt,

введенным [32]. Квадрат частоты Раби Ω²²³ однофо-

где ω — искомая собственная частота атомных по-

тонного разрешенного перехода между уровнями 2

ляритонов. Тогда для стационарных амплитуд полу-

и 3 пропорционален квадрату матричного элемента

чаем алгебраическую систему линейных уравнений:

дипольного момента перехода g²²³ и плотности фото-

нов f₂₀

второго импульса, действующего на этом пе-

(ω - ω₀)a₂ + g₁₂(a₁c₁) + g∗23(c∗2a₃) = 0,

реходе. Наконец, квадрат частоты Раби Ω²¹³ пропор-

(ω - ω₁)(a₁c₁) + g∗12f₁₀a₂ + g∗13f₁₀(c∗2a₃) = 0,

(5)

ционален квадрату матричного элемента g²¹³ двух-

(ω-Ω₀+ω₂)(c∗2a₃)+g₂₃f₂₀a₂+g₁₃f₂₀(a₁c₁) = 0,

фотонного оптически-разрешенного перехода меж-

ду уровнями 1 и 3 и произведению плотностей фо-

детерминант которой

тонов обоих импульсов f₁₀f₂₀. При условии f₁₀ = f₂₀



получаем, что частота Раби двухфотонного перехо-

ω-ω₀

g₁₂

g∗23



да Ω₁₃ пропорциональна плотности фотонов, что и



g∗12f₁₀

ω-ω₁

g∗13f₁₀

=0

(6)



наблюдалось в ряде экспериментов [15].



 g₂₃f₂₀

g₁₃f₂₀

ω-Ω₀ +ω₂

Из (8) следует, что закон дисперсии атомных по-

определяет закон дисперсии взаимодействующих

ляритонов имеет три действительных корня, кото-

трехуровневых атомов и фотонов в окрестности час-

рые формируют три дисперсионные ветви в зависи-

тоты ω = ω₀ низшего возбужденного уровня атома.

мости частоты поляритонной волны ω от частоты

Раскрывая детерминант, получаем кубическое урав-

ω₁ = ck₁ фотонов первого импульса, где k₁ — вол-

нение для определения частоты ω атомных поляри-

новой вектор. Форма и расположение ветвей закона

тонов:

дисперсии существенно определяются плотностями

фотонов f₁₀ и f₂₀ обоих импульсов. В (8) имеют-

(ω-ω₀)(ω-ω₁)(ω-Ω₀+ω₂)-|g₁₂|²f₁₀(ω-Ω₀+ω₂) -

ся три слагаемых, каждое из которых пропорцио-

нально квадрату соответствующей частоты Раби ли-

- |g₂₃|²f₂₀(ω - ω₁) - |g₁₃|²f₁₀f₂₀(ω - ω₀) +

бо квадрату модуля соответствующего матричного

+ (g₁₂g₂₃g∗13 + g∗12g∗23g₁₃)f₁₀f₂₀ = 0.

(7)

элемента перехода. Эти три слагаемых описывают

Полагая константы g₁₂, g₂₃, g₁₃ комплексными,

независимые вклады каждого из процессов в закон

представляя их в виде произведений действитель-

дисперсии. При этом знак либо фаза соответству-

ных амплитуд и фазовых множителей g₁₂ exp(iϕ₁₂),

ющей константы взаимодействия по отношению к

g₂₃ exp(iϕ₂₃), g₁₃ exp(iϕ₁₃) и вводя разность фаз ϑ =

двум другим в гамильтониане (1) не играет роли.

= ϕ₁₂ + ϕ₂₃ - ϕ₁₃, получаем окончательное выра-

Последнее слагаемое в (8) пропорционально произ-

жение для закона дисперсии атомных поляритонов

ведению трех различных частот Раби (либо трех

вида

констант взаимодействия g₁₂, g₂₃ и g₁₃). Его появле-

623

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

ние обусловлено одновременным действием (кван-

ном случае, когда ω₂ = Ω₀ - ω₀ = ω₀, выражения

товой интерференцией) всех трех процессов. Если

(11), (12) принимают простой вид:

хотя бы одна из констант взаимодействия равна ну-

ω_± = ω₀ ± Ω₂₃,

(13)

лю, то это слагаемое отсутствует и зависимость соб-

ственных частот атомных поляритонов от разности

(

)

фаз исчезает. При этом учет знаков констант или,

A₁ =

Ω²¹² + Ω²¹³ - 2Ω₁₂Ω₁₃ cosϑ

точнее, фазовых соотношений между ними играет

(14)

(

)

чрезвычайно важную роль, так как закон диспер-

B₁ =

Ω²¹² + Ω²¹³ + 2Ω₁₂Ω₁₃ cosϑ

сии зависит еще и от разности фаз ϑ этих кон-

В этом пределе расщепление первого возбужденно-

стант. Наличие последнего слагаемого в (8) является

го уровня атома определяется только частотой Ра-

следствием когерентности процесса взаимодействия

би Ω₂₃, тогда как коэффициенты A₁ и B₁ в (10)

фотонов с атомами. По этой причине эксперимен-

зависят от двух других частот Раби, Ω₁₂ и Ω₁₃,

тальное установление особенностей поведения зако-

а также от разности фаз ϑ. Из (14) следует, что

на дисперсии при одновременном учете всех трех

при ϑ = π/2 оба коэффициента одинаковы и рав-

оптических переходов может способствовать уста-

ны A₁ = B₁ = (Ω²¹² + Ω²¹³)/2. Если же ϑ = 0, то

новлению фазовых соотношений между константа-

A₁ = (Ω₁₂ - Ω₁₃)²/2, B₁ = (Ω₁₂ + Ω₁₃)²/2. Нако-

ми взаимодействия.

нец, при ϑ = π получаем A₁ = (Ω₁₂ + Ω₁₃)²/2, B₁ =

= (Ω₁₂ - Ω₁₃)²/2. Таким образом, при ϑ = 0 либо

ϑ = π один из коэффициентов может оказаться рав-

3. ЗАКОН ДИСПЕРСИИ ДЛЯ

ТРЕХУРОВНЕВОГО АТОМА С

ным нулю при условии, что Ω₁₂ = Ω₁₃.

НЕЭКВИДИСТАНТНЫМ

Введем в рассмотрение расстройки резонансов

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СПЕКТРОМ

Δ, δ₁, δ₂, нормированные на частоту Раби Ω₁₂:

Обсудим особенности поведения ветвей закона

ω - ω₀ = Ω₁₂Δ, ω₁ - ω₀ = Ω₁₂δ₁,

(15)

дисперсии атомных поляритонов. Будем считать

ω₂ - Ω₀ + ω₀ = Ω₁₂δ₂.

сначала, что частота ω₁ = ck₁ фотонов первого им-

пульса, действующего между уровнями 1 и 2, непре-

Тогда дисперсионное уравнение (8) для определения

рывно изменяется, тогда как частота ω₂ фотонов

Δ приводится к виду

второго импульса является фиксированным пара-

метром. Используя (8), можно получить явные ре-

Δ(Δ - δ₁)(Δ + δ₂) - Δ - δ₂ - ω²²³(Δ - δ₁) -

шения кубического уравнения в виде зависимости

- ω²¹³Δ + 2ω₂₃ω13 cosϑ = 0,

(16)

ω(ω₁). Однако более удобным оказывается постро-

ение и исследование обратной функции ω₁(ω) при

где ω₂₃ = Ω₂₃/Ω₁₂, ω₁₃ = Ω₁₃/Ω₁₂ — нормирован-

ω₂ = const. Из (8) легко получить

ные на Ω₁₂ частоты Раби Ω₂₃ и Ω₁₃. Соответственно,

уравнение для расстройки резонанса δ₁ при δ₂ = 0

A₁

B₁

ω₁ = ω -

(10)

получается в виде

ω-ω₊

ω-ω_-

(

)

где

δ₁ = Δ -

(1 + ω²¹³)

(17a)

Δ-ω₂₃

Δ+ω₂₃

ω_± =

при ϑ = π/2 и

(

√

)

⁽ (1 ∓ ω₁₃)²

(1 ± ω₁₃)²

× ω₀+Ω₀-ω₂ ± (ω₀-Ω₀+ω₂)²+4Ω²

(11)

δ₁ = Δ -

(17b)

Δ-ω₂₃

Δ+ω₂₃

[

A₁ =

(ω₊ - Ω₀ + ω₂)Ω²¹² + (ω₊ - ω₀)Ω²¹³ -

при ϑ, равном 0 и π (соответственно верхний и ниж-

- 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃ cosϑ] /(ω₊ - ω_-),

ний знаки в формуле (11)).

[

(12)

На рис. 2 представлено поведение функции δ₁(Δ)

B₁ =

(Ω₀ - ω₂ - ω_-)Ω²¹² + (ω₀ - ω_-)Ω²¹³ +

при нескольких значениях параметров. Видно, что

+ 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃ cosϑ] /(ω₊ - ω_-).

функция δ₁(Δ) состоит из трех ветвей. Каждая

Здесь частоты ω₊ и ω_- являются аналогами попе-

ветвь растет с ростом Δ. В полюсах при Δ = ±ω₂₃

речных частот в теории экситон-поляритонов. Вид-

ветви стремятся к ±∞. Графики функции δ₁(Δ) при

но, что существуют две такие частоты. В предель-

ϑ = π/2 (рис. 2а) не изменяются при замене Δ на

624

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Законы дисперсии поляритонного типа...

-Δ и δ₁ на -δ₁, т. е. являются симметричными от-

носительно δ₁ = 0 и Δ = 0. Расстояния в сужениях

между первой и второй, а также между второй и

третьей ветвями растут с ростом параметра ω₁₃.

В случае, если ϑ = 0 и ω₁₃ = 1, возникает пе-

ресечение между второй и третьей ветвями рис. 2б

в точке с координатами (δ₁, Δ) = (ω₂₃ - 1/ω₁₃, ω₂₃).

Как следует из (17b) и рис. 2б, если ω₁₃ = 1, то

пересечение ветвей отсутствует и минимальное рас-

стояние между ветвями растет при изменении ω₁₃.

Аналогично, если ϑ = π и ω₁₃ = 1, то возникает пе-

ресечение между первой и второй ветвями (рис. 2в).

Таким образом, отсюда следует, что при учете про-

цесса прямого двухфотонного возбуждения атома с

уровня 1 на уровень 3, возникает эффект пресечения

-6-6

ветвей функции δ₁(Δ). Отметим, что пересечение

имеет место только при ϑ = 0 и ϑ = π. Эти особенно-

сти поведения функции δ₁(Δ) должны проявиться и

в поведении ветвей закона дисперсии Δ(δ₁).

Используя кубическое уравнение (16), предста-

вим его решение как функцию Δ(δ₁) при постоян-

ных значениях параметров ω₁₃, ω₂₃, δ₂, ϑ [33]:

√

Δ₁ = -

cos

√

(18)

α±π

Δ2,3 = -

cos

где

–6-6

cosα = -

√

-(p/3)³

p=-

a² + b, q =

a³ -

ab + c,

a = δ₂ - δ₁, b = -(1 + δ₁δ₂ + ω²¹³ + ω²²³),

δ₁ + 2ω₁₃ω₂₃ cosϑ.

c=δ₂ +ω²²³

Поскольку в окрестности актуальной точки k-про-

странства p < 0 и Q = (p/3)³ + (q/2)², все три корня

Δ_i (i = 1, 2, 3) являются действительными. Исполь-

зуя (18) и рис. 2, представим кривые закона дис-

персии атомных поляритонов на рис. 3. Видно, что

–6

закон дисперсии Δ(δ₁) при δ₂ = const представляет

-6

собой структуру, состоящую из трех восходящих с

ростом δ₁ ветвей, положение и форма которых су-

Рис. 2. Зависимость между расстройками резонанса δ1 и

щественно определяются параметрами системы. В

Δ при δ2 = 0, различных значениях разности фаз ϑ, рав-

случае, если ϑ = π/2, то средняя ветвь закона дис-

ных π/2 (а), 0 (б), π (в), нормированных частотах Раби

персии проходит через точку Δ = δ₁ = 0. Как при

ω23 = 3 и ω13, равных 3 (пунктир), 0.5 (штрихпунктир), 0

отрицательных, так и при положительных значени-

(сплошные линии), -0.5 (штриховые линии)

ях Δ и δ₁ ветви закона дисперсии при изменении δ₁

изменяются таким образом, что возникают области

сужений между нижней и средней ветвями (рис. 3).

625

ЖЭТФ, вып. 4

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

С ростом параметра ω₁₃ области сужений увеличи-

ваются. При ϑ = π область сужения между верх-

ней и средней поляритонными ветвями уменьшает-

ся при уменьшении приведенной частоты Раби ω₁₃

и схлопывается при ω₁₃ = 1, приводя к возникно-

вению эффекта самопересечения обоих ветвей. От-

метим, что область сужения слабо зависит от ω₁₃

и пересечение нижней и средней ветвей закона дис-

персии не возникает. Однако при ϑ = π и ω₁₃ = 1

ситуация обратная: сужение схлопывается в длин-

новолновой области при Δ < 0 и, таким образом,

возникает пересечение нижней и средней ветвей за-

кона дисперсии.

Таким образом, на рис. 3 видно, что при учете

-6

процесса двухфотонного возбуждения атома возни-

-6

кает эффект пересечения либо верхней и средней

ветвей при ϑ = 0, либо нижней и средней ветвей за-

кона дисперсии при ϑ = π и ω₁₃ = 1. Отметим, что

попарное самопересечение ветвей закона дисперсии

возникает только при ϑ = 0 либо ϑ = π при усло-

вии, что ω₁₃ = 1, т. е. при равенстве частот Раби

Ω₁₃ и Ω₁₂. Следовательно, если изменять плотность

фотонов f₂₀ второго импульса, то частоты Раби Ω₁₂

и Ω₁₃ оказываются одинаковыми при определенном

значении f₂₀. В этом случае при A₁ = 0 происхо-

дит пересечение верхней и средней поляритонных

ветвей. Дальнейший рост f₂₀ снимает пересечение

этих ветвей и снова восстанавливается структура из

-6

трех непересекающихся ветвей. Если разность фаз

-6

ϑ мало отличается от нуля, то имеет место силь-

ное сближение верхней и средней ветвей, однако пе-

ресечение ветвей отсутствует. Сближение и удале-

ние поляритонных ветвей при изменении плотности

фотонов f₂₀ соответствуют изменению поляритон-

ных частот Раби и возникновению эффекта инду-

цированной мощным полем первого импульса опти-

ческой связи (каплинга) атома с излучением.

Представленные на рис. 2 и 3 результаты свиде-

тельствуют о том, что важными параметрами, опре-

деляющими особенности поведения ветвей закона

дисперсии атомных поляритонов, являются норми-

рованные частоты Раби ω₁₃ и ω₂₃. Из (16) следу-

-6

ет, что расстройка резонанса δ₂ в области перехода

-6

между уровнями 2 и 3 является столь же значимым

параметром. На рис. 4 представлен закон дисперсии

Рис. 3. Закон дисперсии Δ(δ1) атомных поляритонов при

Δ(δ₁) атомных поляритонов при нескольких значе-

δ2 = 0, значениях разности фаз ϑ, равных π/2 (а), 0 (б), π

ниях параметров δ₂ и ϑ, но при одном и том же зна-

(в), нормированных частотах Раби ω23 = 3 и ω13, равных 3

чении частот Раби. Видно, что и в этом случае за-

(пунктир), 0.5 (штрихпунктир), 0 (сплошные линии), -0.5

кон дисперсии состоит из трех восходящих ветвей,

(штриховые линии)

причем по-прежнему имеет место эффект самопе-

ресечения ветвей при ω₁₃ = ω₂₃ = 1 и разности фаз

ϑ = 0 (рис. 4б) и ϑ = π (рис. 4в).

626

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Законы дисперсии поляритонного типа...

Рассмотрим теперь поведение ветвей закона дис-

персии для случая, когда переменной является час-

тота второго импульса ω₂ = ck₂, действующего меж-

ду уровнями 2 и 3, а частоту ω₁ = const будем счи-

тать постоянным параметром. Используя (8), легко

получить зависимость обратной функции, а именно

ω₂(ω):

A₂

B₂

ω₂ = Ω₀ - ω +

(19)

ω-ω₊

ω-ω_-

где

(

√

)

ω_± =

ω₀ + ω₁ ±

(ω₀ - ω₁)² + 4Ω²¹²

(20)

–6-6

[

A₂ =

Ω²²³ (ω₊ - ω₁) + Ω²¹³ (ω₊ - ω₀) -

- 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃ cosϑ] / (ω₊ - ω_-) ,

[

(21)

B₂ =

Ω²²³ (ω₁ - ω_-) + Ω²¹³ (ω₀ - ω₊) +

+ 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃ cosϑ] / (ω₊ - ω_-) .

Здесь частоты ω_± также играют роль поперечных

частот поляритонов, которые теперь определяются

. В условиях

параметрами ω₁ и Ω₁₂, а не ω₂ и Ω₂₃

точного резонанса ω₁ = ω₀ = Ω₀ - ω₀ получаем

ω_± = ω₀ ± Ω₁₂,

(22)

(

)

A₂ =

Ω²²³ + Ω²¹³ - 2Ω₂₃Ω₁₃ cosϑ

(23)

(

)

–6-6

B₂ =

Ω²²³ + Ω²¹³ + 2Ω₂₃Ω₁₃ cosϑ

)/2 при ϑ =

Легко видеть, что A₂ = B₂ = (Ω²¹³ + Ω²²³

= π/2, A₂ = (Ω₁₃ -Ω₂₃)²/2, B₂ = (Ω₁₃ +Ω₂₃)²/2 при

)²/2 при

ϑ = 0, A₂ = (Ω₁₃ + Ω₂₃)²/2, B₂ = (Ω₁₃ - Ω₂₃

ϑ = π. Здесь, как и ранее, один из коэффициентов,

A₂ либо B₂, равен нулю при условии, что Ω₁₃ = Ω₂₃.

Для построения графика закона дисперсии Δ(δ₂)

при δ₁ = const воспользуемся снова решением (18).

Закон дисперсии атомных поляритонов в окрестнос-

ти фиксированной расстройки резонанса δ₁ для фо-

тонов первого импульса, действующего между уров-

нями 1 и 2, в зависимости от непрерывно меняю-

щейся расстройки δ₂ для фотонов второго импуль-

–6

са, действующего между уровнями 2 и 3, представ-

-6

лен на рис. 5. Видно, что закон дисперсии в этом

случае состоит из трех ниспадающих ветвей в зави-

Рис. 4. Закон дисперсии Δ(δ1) атомных поляритонов при

симости от расстройки резонанса δ₂ и также имеет

значениях нормированных частот Раби ω13 = 1, ω23 = 3,

место эффект пересечения двух соседних ветвей при

разностях фаз ϑ, равных π/2 (а), 0 (б), π (в), и расстрой-

ω₁₃ = ω₂₃ = 1 и разности фаз ϑ = 0 (рис. 5б) либо

ках резонанса δ2, равных -3 (штрихпунктир), 0 (сплошные

ϑ = π (рис. 5в).

линии), 3 (штриховые линии)

Если рассматривать частоты фотонов ω₁ и ω₂

обоих импульсов (и соответствующие им волновые

векторы k₁ и k₂) как две независимые переменные,

627

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Законы дисперсии поляритонного типа...

то можно построить зависимость ω(k₁, k₂) и вве-

сти представление о поверхностях закона дисперсии

(вместо ветвей закона дисперсии). На рис. 6 пред-

ставлены графики зависимости Δ(δ₁, δ₂). Видно, что

поверхности закона дисперсии состоят из трех час-

тей — верхней, средней и нижней, расположенных в

различных спектральных областях. Каждая из час-

тей имеет как восходящие, так и нисходящие облас-

ти, в зависимости от изменения расстроек резонанса

фотонов первого и второго импульсов δ₁ и δ₂. При

значениях разности фаз ϑ = 0 либо ϑ = π и значени-

ях частот Раби ω₁₃ = ω₂₃ = 1 имеются точки пересе-

-6

чения соответственно верхней и средней частей по-

-6

верхности закона дисперсии (рис. 6б) либо средней

и нижней частей (рис. 6в). Наличие точек пересече-

ния означает, что при данных значениях частот ω₁₃,

Рис. 7. Закон дисперсии Δ(δ1) атомных поляритонов при

ω₂₃ существует только одна частота нутации атом-

ω13 = 0, ω23 = 3 и значениях расстройки резонанса δ2,

равных 3 (пунктир), 0.5 (штрихпунктир), 0 (сплошные ли-

ных поляритонов. Сечения этих поверхностей вдоль

нии), -0.5 (штриховые линии)

оси δ₁ при δ₂ = const или вдоль оси δ₂ при δ₁ = const

соответствуют законам дисперсии, представленных

соответственно на рис. 4 и 5.

(Ω - Ω₀)(Ω - ω₀ - ω₂)(Ω - ω₁ - ω₂) -

Следует отметить, что если в (8) положить Ω₁₃ =

- Ω²¹²(Ω - Ω₀) - Ω²²³(Ω - ω₁ - ω₂)-

= 0, т. е. если пренебречь процессом двухфотонного

возбуждения атома с первого уровня на третий, то

- Ω²¹³(Ω - ω₀ - ω₂) + 2Ω₁₂Ω₂₃Ω13 cosϑ = 0.

(25)

закон дисперсии представляется укороченным ку-

бическим уравнением для определения собственных

Это уравнение имеет три корня для переменной Ω,

частот ω атомных поляритонов:

которые соответствуют трем корням дисперсионно-

го уравнения (8) для атомных поляритонов на час-

тоте ω = ω₀. На рис. 8 представлены поверхности

(ω - ω₀)(ω - ω₁)(ω - Ω₀ + ω₂) -

закона дисперсии Δ(δ₁, δ₂), которые состоят из трех

- Ω²¹²(ω - Ω₀ + ω₂) - Ω²²³(ω - ω₁) = 0,

(24)

частей, расположенных в трех неперекрывающих-

ся областях в зависимости от расстроек резонан-

однако в нем отсутствует слагаемое с разностью фаз

сов фотонов обоих импульсов. Видно, что верхняя,

ϑ. Это означает, что при Ω₁₃ = 0 (либо Ω₂₃ = 0)

средняя и нижняя части поверхности закона диспер-

процесс трехчастичной когерентной интерференции

сии имеют восходящий характер поведения. Нали-

исчезает. Из (24) и рис. 7 следует, что закон диспер-

чие трех неперекрывающихся областей свидетель-

сии по-прежнему состоит из трех ветвей, форма ко-

ствует о возникновении трех частот нутации атом-

торых качественно совпадает с формой ветвей атом-

ных поляритонов, при различных значениях частот

ных поляритонов в случае, когда параметр Ω₁₃ = 0

Раби. При значениях разности фаз ϑ = 0 либо ϑ = π

(рис. 3).

и значениях частот Раби ω₁₃ = ω₂₃ = 1 имеются точ-

Отметим здесь, что наряду с перестройкой энер-

ки пересечения соответственно верхней и средней

гетического спектра на частоте ω₀ второго уровня

частей поверхности закона дисперсии (рис. 8б), ли-

атома возникает перестройка также и в окрестности

бо средней и нижней частей (рис. 8в). Зависимости

собственной частоты Ω₀ третьего уровня, обуслов-

Δ(δ₂) верхней и средней ветвей закона дисперсии

ленная теми же взаимодействиями, что и в (1). В

существенно определяются значением расстройки

самом деле, если взять из (2) за основу уравнение

резонанса фотонов второго импульса (рис. 8а^′′-в^′′).

для амплитуды a₃ для третьего уровня и постро-

На рис. 8 представлены сечения этих поверхнос-

ить соответствующие уравнения для амплитуд a₂c₂

тей Δ(δ₁) (рис. 8а^′-в^′) и Δ(δ₂) (рис. 8а^′′-в^′′). На

и a₁c₁c₂, содержащихся в этом уравнении, то в при-

рис. 8а^′′-в^′′ видно, что верхняя и нижняя ветви за-

ближении заданных плотностей f₁₀ и f₂₀ фотонов

конов дисперсии Δ(δ₂) имеют вид монотонно возрас-

обоих импульсов для собственной частоты Ω атом-

тающих прямых. Видно также, что наличие расщеп-

ных поляритонов получаем следующее уравнение:

лений на частоте ω = ω₀ приводит к соответствую-

629

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Законы дисперсии поляритонного типа...

щим расщеплениям и перенормировкам энергии на

Из (27) следует, что закон дисперсии Δ(δ) состоит

частоте Ω₀ третьего уровня. Отсюда можно сделать

из трех ветвей, имеющих как восходящие, так и нис-

вывод, что при одновременном учете однофотонных

ходящие участки зависимости Δ(δ). В общем случае

и двухфотонных оптических переходов возникает

решения уравнения (27) выражаются формулами

существенная перестройка энергетического спектра

√

трехуровневого атома.

Δ₁ =

√

1 + δ² + ω²²³ + ω213 cos

√

(28)

α±π

Δ2,3 = -√

1 + δ² + ω²²³ + ω213 cos

4. ЗАКОН ДИСПЕРСИИ ТРЕХУРОВНЕВОГО

АТОМА С ЭКВИДИСТАНТНЫМ

где

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СПЕКТРОМ

(ω²²³ - 1)δ + 2ω₂₃ω₁₃ cos ϑ

Рассмотрим подробнее особенности поведения

cosα =

(

√

)

(29)

закона дисперсии для трехуровневого атома с

2/3

(1 + δ² + ω²²³ + ω²¹³)3/2

эквидистантным энергетическим спектром. Соб-

Рассмотрим случай ϑ = π/2 (рис. 9). На рис. 9а вид-

ственные частоты, соответствующие второму и

но, что при ω₁₃ = 0 и ω₂₃ = 0 точки C и D расщеп-

третьему (возбужденным) уровням, соответственно

ляются, возникают три отдельные ветви закона дис-

равны ω₀ и 2ω₀. На атом падают фотоны одного

персии, которые характеризуются наличием восхо-

и того же импульса с частотой ω_c. Из (8) следует,

дящих и нисходящих участков зависимости Δ(δ). С

что при Ω₁₃ = 0 и Ω₂₃ = 0 (предел двухуровневого

ростом ω₁₃ ветви закона дисперсии удаляются друг

атома) уравнение распадается на два выражения:

от друга (рис. 9а,б). Минимумы верхней ветви посте-

(ω - ω₀)(ω - ω_c) - Ω²¹² = 0 и ω - 2ω₀ + ω_c = 0, первое

пенно смещаются в коротковолновую сторону, мак-

из которых представляет собой хорошо известное

симумы нижней ветви — в длинноволновую сторону,

уравнение поляритонного типа, а второе — дис-

а средняя ветвь медленно изменяет свой профиль с

персию «голых» фотонов, не взаимодействующих

ростом δ, оставаясь в окрестности прямой Δ = 0.

со средой. Обе поляритоноподобные ветви закона

При ω₂₃ = ω₁₃ верхняя и нижняя ветви становятся

дисперсии пересекаются с прямой ω - 2ω₀ + ω_c = 0

(

√

)

зеркально симметричными как относительно Δ = 0,

в двух точках C

ω-Ω₁₂/

2, ω + Ω₁₂/

(

√

)

так и относительно δ = 0, а средняя ветвь распола-

ω+Ω₁₂/

2, ω - Ω₁₂/

(рис. 9а). Если теперь

гается на прямой Δ = 0 при любых значениях ω₁₃.

положить, например, Ω₂₃

= 0, но Ω₁₃

= 0, т. е.

Соответственно, координаты верхней и нижней по-

включить взаимодействие фотона с атомом на

ляритонных ветвей определяются формулами

переходе 2 ↔ 3, то в этом случае уравнение (8)

не распадается на два независимых выражения.

√

Вырожденные по энергии точки пересечения ветвей

Δ=± 1+δ² +ω²²³ +ω²¹³.

C и D расщепляются благодаря взаимодействию и

формируются три отдельные ветви закона диспер-

Таким образом, с ростом |δ| собственные частоты

сии: верхняя, средняя и нижняя. Верхняя и средняя

нижней и верхней поляритонных ветвей растут, а их

ветви имеют экстремумы в окрестности точки C,

экстремумы продолжают свое смещение при боль-

ших ω₂₃. Кроме того, возникает более яркое поведе-

а средняя и нижняя — в окрестности точки D.

С ростом Ω₂₃ величины расщеплений растут и

ние средней ветви: ее изменение вдоль оси Δ суще-

ственно усиливается. Следует отметить, что сред-

положения экстремумов изменяются.

Введем далее нормированные частоты

няя ветвь закона дисперсии располагается на пря-

мой Δ = 0 (т. е. она не изменяется при изменении δ)

ω-ω₀

ω_c - ω₀

при значениях параметров ω₂₃ = 1 и любых значе-

Δ=

δ=

Ω₁₂

ниях ω₁₃. Таким образом, из рис. 9а,б следует, что

(26)

Ω₂₃

Ω₁₃

форма и положение ветвей закона дисперсии атом-

ω₂₃ =

ω₁₃ =

Ω₁₂

ных поляритонов существенно определяются часто-

тами Раби Ω₁₂, Ω₂₃, Ω₁₃.

Тогда дисперсионное уравнение (8) представляется

Обсудим теперь поведение ветвей закона диспер-

в виде

сии для случая ϑ = 0 (рис. 10). Графики зависимо-

сти Δ(δ) при ϑ = π/2 и ϑ = 0 на рис. 10а совпадают

Δ³ - Δ(1 + δ² + ω²²³ + ω²¹³) + δ(ω²²³ - 1)+

с рис. 9а при ω23 = 0. Это обусловлено тем, что

+ 2ω₂₃ω₁₃ cosϑ = 0.

(27)

при ω₂₃ = 0 слагаемое с cos ϑ обращается в нуль.

631

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

-2

Рис. 9. Законы дисперсии Δ = (ω - ω0)/Ω12 от δ = (ωc - ω0)/Ω12 при значениях Ω23, равных 0 (а), 0.5 (б), значениях

Ω13, равных 0 (сплошные линии), 0.5 (штриховые линии), 1 (пунктир), 1.5 (штрихпунктир) и разности фаз ϑ = π/2

ростом ω₁₃ при фиксированном значении ω₂₃ = 0.5,

то на рис. 10 этот процесс замедлен и ветви закона

дисперсии с ростом ω₁₃ располагаются в определен-

ной области, ограниченной средней и нижней ветвя-

ми (сплошные кривые). С ростом ω₁₃ сначала имеет

место эффект притяжения между средней и верх-

ней ветвями, а затем возникает расталкивание, то-

гда как между нижней и средней ветвями существу-

ют только расталкивание ветвей. Верхняя и ниж-

няя поляритонные ветви при ω₁₃ = 0 располагают-

ся симметрично относительно средней ветви. Асим-

, где средняя

метрия возникает при увеличении ω₁₃

-2

и верхняя ветви сначала сближаются с ростом ω₁₃,

затем начинают удаляться друг от друга. Кроме то-

го, при ω₂₃ = ω₁₃ = 1 верхняя и средняя ветви зако-

-2

на дисперсии пересекаются, затем снова расходятся.

Таким образом, имеет место эффект спектрального

Рис. 10. Законы дисперсии Δ = (ω - ω0)/Ω12 от δ =

сближения верхней и средней ветвей с ростом ω₁₃

= (ωc - ω0)/Ω12 при Ω23 = 0.5 и различных значениях

и их пересечение при ω₂₃ = ω₁₃ = 1 (пунктирные

Ω13, равных 0 (сплошные линии), 0.5 (штриховые линии),

линии) и затем последующее удаление.

1 (пунктир), 1.5 (штрихпунктир) и разности фаз ϑ = 0

На рис. 10 также видно, что имеет место сильное

расталкивание между нижней и средней ветвями за-

кона дисперсии. Эту особенность поведения ветвей

Отличия в поведении ветвей закона дисперсии воз-

закона дисперсии можно интерпретировать также

никают, только когда все частоты Раби отличны от

как изменение силы связи фотона с атомом. Таким

нуля, т. е. когда слагаемое с cos ϑ отлично от нуля.

образом, перенормировка энергетического спектра

Из (27) следует, что средняя ветвь закона дисперсии

поляритонов ярко проявляется в возникновении эф-

совпадает с прямой Δ = 0 при ω₂₃ = 1 и ω₁₃ = 0.

фекта сильной связи в длинноволновой области от

Существенные различия видны на рис. 9б и 10. Если

частоты ω₀ и в ослаблении связи в коротковолновой

на рис. 9б имеет место все возрастающее расталки-

области. Это указывает также на смещение актуаль-

вание средней и верхней ветвей закона дисперсии с

ных точек k-пространства. Можно утверждать, что

632

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Законы дисперсии поляритонного типа...

фекта (силы связи) происходит вместе с увеличени-

ем частоты Раби Ω₂₃ с ростом интенсивности накач-

ки. Это указывает на смещение актуальных точек

k₁-пространства, где дисперсия поляритонных вет-

вей особенно значительна. Можно утверждать, что

экспериментально увеличение интенсивности накач-

ки на переходе 2 ⇆ 3 приведет как к изменению

силы связи между атомом и фотоном для первого

импульса (к расталкиванию поляритонных ветвей),

так и к значительному спектральному смещению ак-

туальных точек в k₁-пространстве.

Таким образом, структура ветвей закона диспер-

-2

сии существенно определяется волновым вектором

k = ω_c/c падающего из вакуума излучения. Соб-

-2

ственные частоты трех ветвей поляритонов ω₁, ω₂ и

ω₃ существенно зависят от накачки. Они определя-

(новые частоты

ют частоты нутации

Ω₁₂,

Ω₂₃ и

Ω₁₃

Рис. 11. Законы дисперсии Δ = (ω - ω0)/Ω12 от δ =

Раби) поляритонов, которые мы представим в ви-

= (ωc - ω0)/Ω12 при Ω23 = 0.5 и различных значениях

де трех разностей собственных частот поляритонов:

Ω13, равных 0 (сплошные линии), 0.5 (штриховые линии),

Ω₁₂ = ω₁ - ω₂,

Ω₂₃ = ω₂ - ω₃,

Ω₁₃ = ω₁ - ω₃. Если

1 (пунктир), 1.5 (штрихпунктир) и разности фаз ϑ = π

собственные частоты двух поляритонов, например,

верхнего ω₁ и среднего ω₂ поляритонов совпадают,

. Та-

то частота нутации

Ω₁₂ равна нулю, а

Ω₂₃ =

Ω₁₃

экспериментально увеличение интенсивности накач-

ким образом, процесс нутации в этом случае не яв-

ки приведет к изменению силы связи и к спектраль-

ляется результатом биения трех поляритонных вет-

ному смещению актуальных точек в k-пространстве.

вей, а представляет собой нутационные колебания

Результаты, представленные на рис. 11 для ϑ =

на частоте

Ω= Ω₂₃ =

Ω₁₃.

= π, подобны результатам на рис. 10 для ϑ = 0

Отметим, что представленные выше результаты

(после замены Δ и δ соответственно на -Δ и -δ).

получены в приближении заданной плотности фо-

Видно, что основные особенности, а именно, эффект

тонов обоих импульсов (c₁, c₂ ≫ a₁, a₂, a₃). Легко

спектрального сближения, пересечения и последую-

показать, что аналогичные результаты можно полу-

щего расталкивания, возникает теперь между ниж-

чить для трехуровневых атомов в приближении за-

ней и средней ветвями закона дисперсии, а сильный

данной плотности фотонов на частоте ω₂ = Ω₀ - ω₀

эффект расталкивания возникает между верхней и

и заданной плотности атомов в основном состоянии

средней ветвями.

(c₂, a₁ ≫ c₁, a₂, a₃). Число атомов на уровнях 2 и 3

Эффект пересечения ветвей закона дисперсии,

лимитируется числом фотонов |c₁|² на частоте низ-

по-видимому, можно наблюдать экспериментально,

шего перехода. При этом выражение для закона дис-

если монотонно изменять интенсивность второго

персии имеет по-прежнему вид (8), где частоты Раби

импульса. Отмеченные особенности поведения вет-

выражаются формулами: Ω²¹² = g²¹²n₁₀, Ω²²³ = g²²³f₂₀,

вей закона дисперсии можно интерпретировать так-

Ω²¹³ = g²¹³n₁₀f₂₀. В этом случае возможен контроль

же как изменение силы связи фотона с атомом на пе-

за эволюцией системы через плотность атомов и фо-

реходе 1 ⇆ 2. Если положить Ω₁₂ = Ω₁₃, то в облас-

тонов.

ти расстроек резонанса Δ = -Ω₂₃ возникает сильное

расталкивание между нижней и средней поляритон-

ными ветвями по сравнению с расталкиванием вет-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

вей при Δ = Ω₁₃, где оно практически равно нулю.

Возникает значительная перенормировка энергети-

В заключение отметим, что в статье представ-

ческого спектра поляритонов, которая особенно яр-

лены результаты исследования особенностей пове-

ко проявляется в возникновении эффекта сильной

дения законов дисперсии атомных поляритонов для

связи в длинноволновой области от частоты ω₀ и в

трехуровневых атомов, взаимодействующих с двумя

существенном ослаблении связи в коротковолновой

импульсами лазерного излучения с частотами фото-

области. Резкое изменение силы поляритонного эф-

нов ω₁ и ω₂, находящимися в резонансе с разрешен-

633

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

ными однофотонными переходами соответственно

11.

М. Л. Тер-Микаелян, УФН 167, 1249 (1997).

1 ⇆ 2 и 2 ⇆ 3 с учетом также прямого двухфо-

12.

T. C. H. Liew and A. V. Kavokin, arXiv:1706.08635.

тонного перехода с первого уровня на третий в при-

ближении заданных плотностей фотонов обоих им-

13.

T. C. H. Liew, M. M. Glazov, K. V. Kavokin,

пульсов. Показано, что закон дисперсии состоит из

I. A. Shelykh, M. A. Kaliteevski, and A. V. Kavokin,

трех ветвей, положение и форма которых опреде-

Phys. Rev. Lett. 110, 047402 (2013).

ляются частотами Раби трех указанных оптических

14.

М. И. Шмиглюк, П. И. Бардецкий, Лазерная спек-

переходов и плотностями фотонов обоих импульсов.

троскопия экситонов в полупроводниках, Штиин-

Непосредственный учет прямого двухфотонного пе-

ца, Кишинев (1980).

рехода атомов с первого уровня на третий наряду

15.

S. Bounouar, M. Strauß, A. Carmele, P. Schnauber,

с двумя однофотонными переходами приводит к за-

A. Thoma, M. Cschrey, J.-H. Schulze, A. Strittmat-

висимости законов дисперсии атомных поляритонов

ter, S. Rodt, A. Knorr, and S. Reitzenstein, Phys.

от нового квантового параметра — разности фаз ϑ.

Rev. Lett. 118, 233601 (2017).

Найдены значения параметров системы, при кото-

рых возможно пересечение ветвей закона дисперсии.

16.

E. D. Valle, S. Zippilli, F. P. Laussy, A. Gonzalez-Tu-

dela, G. Morigi, and C. Tejedor, Phys. Rev. B 81,

Введено понятие о дисперсионной поверхности че-

035302 (2010).

рез зависимость собственных частот атомных поля-

ритонов от волновых векторов фотонов обоих им-

17.

S. M. Yoshida, S. Endo, J. Levinsen, and M. M. Pa-

пульсов.

rish, Phys. Rev. X 8, 011024 (2018).

18.

J. Levinsen, F. M. Marchetti, J. Keeling, and

M. M. Parish, arXiv:1806.10835.

ЛИТЕРАТУРА

19.

P. Wen, G. Christmann, J. J. Baumberg, and

H. Deng, H. Haug, and Y. Yamamoto, Rev. Mod.

K. A. Nelson, New J. Phys. 15, 025005 (2013).

Phys. 82, 1489 (2010).

20.

N. Takemura, S. Trebaol, M. Wouters, M. T. Portel-

I. Carusotto and C. Ciuti, Rev. Mod. Phys. 85, 299

la-Oberli, and B. Deveaud, Nat. Phys. 10, 500 (2014).

(2013).

21.

N. Takemura, M. D. Anderson, M. Navadeh-Toupchi,

Y. Kasprzak, M. Richard, S. Kindermann, A. Baas,

D. Y. Oberli, M. T. Portella-Oberli, and B. Deveaud,

P. Jeambrun, J. M. J. Keeling, F. M. Marchetti,

Phys. Rev. B 95, 205303 (2017).

M. H. Szymanska, R. Andre, J. L. Staehli, V. Savona,

22.

I. Carusotto, T. Volz, and A. ImamoǦlu, Europhys.

P. B. Littlewоod, B. Deveaud, and L. S. Dang, Nature

Lett. 90, 37001 (2010).

443, 409 (2006).

23.

B. Pietka, N. Bobrovska, D. Stephan, M. Teich,

R. Balili, V. Hartwell, D. Snoke, L. Pfeiffer, and

M. Krol, S. Winnerl, A. Pashkin, R. Mirek, K. Le-

K. West, Science 316, 1007 (2007).

kenta, F. Morier-Genoud, H. Schneider, B. Deveaud,

A. Kogar, M. S. Rak, S.Vig, A. A. Husain, F. Flicker,

M. Helm, M. Matuszewski, and Y. Szczytko, Phys.

Y. I. Joe, L. Venema, G. J. MacDougall, T. C. Chi-

Rev. Lett. 119, 077403 (2017); arXiv:1704.06547.

ang, E. Fradkin, Y. van Vezel, and P. Abbamonte,

24.

Y. He, Y.-M. He, Y. Liu, Y.-J. Wei, H. Y. Ramirez,

Science 358, 1314 (2017).

M. Atatüre, C. Schneider, M. Kamp, S. Höfling,

V. Agranovich, H. Benisty, and C. Weisbuch, Sol. St.

C.-Y. Lu, and Y.-W. Pan, Phys. Rev. Lett. 114,

Comm. 102, 631 (1997).

097402 (2015).

O. A. Дубовский, В. М. Агранович, ФТТ 58, 1371

25.

Y. L. Tomaino, A. D. Yameson, Y.-S. Lee, G. Khit-

(2016).

rova, H. M. Gibbs, A. C. Klettke, M. Kira, and

S. W. Koch, Phys. Rev. Lett. 108, 267402 (2012).

P. Cristofolini, G. Christmann, S. I. Tsintzos,

26.

C. Qian, S. Wu, F. Song, K. Peng, X. Xie, J. Yang,

G. Deligeorgis, G. Konstantinidis, Z. Hatzopoulos,

S. Xiao, M. J. Steer, I. G. Thayne, C. Tang, Z. Zuo,

P. G. Savvidis, and J. J. Baumberg, Science 336, 704

K. Yin, C. Gu, and X. Xu, Phys. Rev. Lett. 120,

(2012).

213901 (2018); arXiv:1805.09184.

E. Togan, H.-T. Lim, S. Faelt, W. Wegscheider, and

27.

L. C. Flatten, S. Christodoulou, R. K. Patel, A. Buc-

A. Imamoglu, arXiv:1804.04975.

cheri, D. M. Coles, B. P. L. Reid, R. A. Taylor, I. Mo-

10.

Д. И. Груев, КЭ 2, 2487 (1975).

reels, and J. M. Smithl, arXiv:1608.05294.

634