ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 4, стр. 654-667

СВЕРХИЗЛУЧЕНИЕ В ОБОБЩЕННОЙ (НЕВИНЕРОВСКОЙ)

МОДЕЛИ ДИКЕ

А. М. Башаровa,b*, А. И. Трубилкоc**

^a Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^b Московский физико-технический институт (технический университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^c Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 8 ноября 2018 г.,

после переработки 8 ноября 2018 г.

Принята к публикации 5 декабря 2018 г.

Показано, что в случае учета нерезонансных процессов взаимодействия атомов с вакуумным электромаг-

нитным полем в излучении локализованного ансамбля одинаковых атомов должна появляться задержка

импульса кооперативного излучения атомного ансамбля, находящегося первоначально в полувозбуж-

денном состоянии. В то же время кооперативное излучение полностью возбужденного ансамбля при

определенных параметрах должно начинаться без какой-либо задержки. Это противоположно известным

фактам обычного сверхизлучения Дике, в теории которого нерезонансные взаимодействия не учитыва-

ются. Модель, учитывающая нерезонансные взаимодействия наряду с другими факторами модели Дике,

названа обобщенной моделью Дике.

DOI: 10.1134/S0044451019040084

чение равно нулю, а сам он является оператором

второго порядка малости по безразмерному пара-

1. ВВЕДЕНИЕ

метру отношения энергии взаимодействия атома к

При исследовании спонтанного излучения кван-

частоте его резонансного перехода. Стандартные

товых частиц обычно пренебрегают процессами

рассуждения, на основании которых обсуждаемый

нерезонансного взаимодействия частиц с вакуум-

оператор нерезонансного взаимодействия не учи-

ными электромагнитными полями, полагая, что все

тывают при выводе кинетического уравнения для

такие процессы сводятся лишь к учету лэмбовского

матрицы плотности, описывающего спонтанный

сдвига [1]. Лэмбовский сдвиг энергетических уров-

распад, приведены в известной книге [2]. Обычно

ней описывается оператором, не зависящим от со-

учитывают лишь оператор резонансного взаимо-

стояния электромагнитного поля, что в дальнейшем

действия атома с квантованным электромагнитным

учитывается простой перенормировкой частоты ре-

полем, который является оператором первого

зонансного перехода квантовой частицы. Между

порядка малости по указанному безразмерному

тем, помимо лэмбовского сдвига, нерезонансное

параметру. Такой подход определяет предсказания

взаимодействие с вакуумным квантованным элек-

теории сверхизлучения Дике [3], которая, таким

тромагнитным полем (в том же порядке теории

образом, не учитывает процессы нерезонансного

возмущений, что и лэмбовский сдвиг) определяет

взаимодействия [4, 5]. Ярким и уже привычным

оператор взаимодействия, зависящий билинейно от

здесь эффектом является образование с некоторой

операторов рождения и уничтожения квантован-

задержкой во времени мощного короткого светового

ного электромагнитного поля. Этим оператором

импульса сверхизлучения, длительность которого

обычно пренебрегают, поскольку его среднее зна-

обратно пропорциональна числу атомов в систе-

ме, а интенсивность в максимуме определяется

^* E-mail: basharov@gmail.com

квадратом числа излучателей.

^** E-mail: trubilko.andrey@gmail.com

654

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Сверхизлучение в обобщенной (невинеровской) модели Дике

Физические особенности сверхизлучения отра-

ный оператор по операторам рождения и уничтоже-

жаются в математическом аппарате теории. С точ-

ния для одной квантовой частицы и для локализо-

ки зрения общей теории, спонтанно излучающая

ванного ансамбля квантовых частиц удается запи-

квантовая частица или ансамбль таких квантовых

сать через другой основной квантовый случайный

частиц дают пример так называемых квантовых

процесс, а именно, квантовый считывающий процесс

открытых систем. Сверхизлучение является ярким

[11, 12]. С точки зрения общей теории квантовых

эффектом, характеризующим динамику открытой

случайных процессов [9,10,13], квантовый считыва-

квантовой системы. После работы [6] стало возмож-

ющий процесс совместно с порождающим и уничто-

ным наиболее просто получать кинетические урав-

жающим процессами определяет квантовый пуассо-

нения в теории квантовых открытых систем при

новский процесс. Динамику открытых систем, опре-

использовании техники квантовых стохастических

деляемую квантовым считывающим процессом есте-

дифференциальных уравнений (СДУ) [7]. Эта тех-

ственно называть невинеровской динамикой. Свое-

ника адекватна основному приближению теории от-

образие этой динамики состоит в том, что для то-

крытых систем, в том числе и теории излучения

го, чтобы динамика была нетривиальной, наряду со

и сверхизлучения — марковскому приближению. В

считывающим процессом обязаны также участво-

условиях марковского приближения [7] основные

вать порождающий и уничтожающий процессы [14].

динамические уравнения теории, такие как уравне-

Но в задаче о коллективном спонтанном излучении

ния Шредингера для волнового вектора и операто-

атомного ансамбля порождающий и уничтожающий

ра эволюции, уравнения Гейзенберга для наблюдае-

процессы определяют процессы первого порядка по

мых становятся математически неопределенными и

безразмерному параметру, а считывающий — про-

приобретают корректный статус только после пере-

цесс второго порядка. Казалось бы, на фоне про-

хода либо к СДУ для волнового вектора/оператора

цессов первого порядка процессом второго надо ли-

эволюции/наблюдаемой, либо к кинетическим урав-

бо обоснованно пренебрегать, либо учитывать его

нениям для матрицы плотности открытой системы

точно. Как показано математиками [8], дифферен-

и окружения, либо для матрицы плотности толь-

циал Ито, отвечающий считывающему квантовому

ко открытой системы. Ярким «внешним» отличи-

процессу, обладает другими алгебраическими свой-

ем стохастического дифференциального исчисления

ствами по сравнению со свойствами дифференциа-

от обычного является своеобразная алгебра диффе-

лов Ито порождающего и уничтожающего процес-

ренциалов операторов, называемых дифференциа-

сов. В результате в случае локализованного атом-

лами Ито, описывающих основные квантовые слу-

ного ансамбля учет процессов второго порядка мо-

чайные процессы. Произведения двух дифференци-

жет быть произведен точно — получаются кван-

алов операторов, как бы «малые» второго порядка,

товые СДУ, управляемые всеми тремя основными

представляются дифференциалами первого порядка

квантовыми случайными процессами и описываю-

или равны нулю, составляя алгебру дифференциа-

щие изменение оператора эволюции атомного ансам-

лов Ито, а дифференциал Ито произведения опера-

бля и окружения. Это продемонстрировано в рабо-

торов не удовлетворяет правилу дифференцирова-

тах [11,12,14-16]. Стали возможными исследования

ния Лейбница [8-10].

проявлений невинеровской динамики в других за-

Математическая теория СДУ для описания про-

дачах оптики [17-20], поскольку в оптических зада-

цессов излучения без учета нерезонансных взаимо-

чах указано на естественное проявление квантово-

действий основана на порождающем и уничтожа-

го считывающего процесса — нерезонансные взаи-

ющем квантовых случайных процессах [6, 7, 9, 10],

модействия с вакуумными электромагнитными ши-

которые и определяют СДУ для волнового вектора

рокополосными полями.

и/или оператора эволюции атомного ансамбля и его

электромагнитного окружения, в том числе и широ-

В случае условий модели Дике [3] дополнитель-

кополосного (вакуумного). Они полностью опреде-

ный учет нерезонансного взаимодействия атомов с

ляют квантовый винеровский процесс, поэтому тра-

окружающим широкополосным квантованным элек-

диционную динамику спонтанного излучения кван-

тромагнитным полем характеризует новую модель

товой частицы и коллективного спонтанного излуче-

квантовой оптики, которую мы называем обобщен-

ния (сверхизлучения) ансамбля частиц естественно

ной (невинеровской) моделью Дике. Характеристи-

называть винеровской динамикой.

ка «невинеровский» указывает на роль квантового

Если учитывать процессы нерезонансного взаи-

считывающего процесса в описании динамики этой

модействия, то в марковском приближении билиней-

новой модели.

655

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Нерезонансные взаимодействия атома с внеш-

чения. В случае невинеровской динамики у возбуж-

ними полями характеризуются своим параметром

денного атомного состояния появляются альтерна-

для каждого энергетического уровня, и о них го-

тивы: либо перейти в основное состояние с излуче-

ворят как о параметрах штарковского взаимодей-

нием кванта, либо оставаться в своем возбужден-

ствия, поскольку в точности такие же появляются

ном состоянии. Переход в основное состояние — это

в теории динамического штарк-эффекта в класси-

проявление процесса резонансного взаимодействия

ческих полях [21, 22]. В случае атомного ансамбля

с вакуумным электромагнитным полем. Оставаться

одинаковых частиц параметры штарковского взаи-

в возбужденном состоянии можно, излучив и погло-

модействия для коллективных состояний, симмет-

тив виртуальный фотон, участвуя, таким образом,

ричных относительно перестановки атомов, зави-

в нерезонансном взаимодействии с вакуумным элек-

сят еще от параметра кооперативности и положения

тромагнитным полем. Это нерезонансное взаимо-

коллективного уровня. Исследование влияния этих

действие формирует дополнительные коллективные

параметров на невинеровскую динамику атомного

(не лэмбовские) сдвиги уровней. Отметим, что пере-

ансамбля аналитическими методами представляет-

ход в нижнее энергетическое состояние — в некото-

ся уже затруднительным.

ром смысле единичный акт, в то время как пере-

В данной работе мы нашли новый эффект про-

излучать виртуальный фотон можно как бы неод-

явления невинеровской динамики атомной систе-

нократно. В результате окончательный переход в

мы. Различие в величинах параметров штарковско-

нижнее энергетическое состояние зависит от степе-

го взаимодействия рабочих уровней атомной систе-

ни «интенсивности» переизлучательных процессов

мы существенным образом влияет на параметры им-

и в теории появляются параметры, названные кри-

пульса сверхизлучения, в том числе на время за-

тическими значениями чисел атомов ансамбля. Для

держки импульса полностью возбужденного и по-

атомных ансамблей с числом атомов, равным тому

лувозбужденного атомных ансамблей. Обнаружен-

или иному критическому значению, становится воз-

ные эффекты являются при некоторых значениях

можной стабилизация соответствующего коллектив-

параметров противоположными эффектам обычной

ного возбужденного состояния, для которой условия

теории сверхизлучения Дике. Основой для их прояв-

определены в работах [12, 23, 24] и вычислены соот-

ления служит явление стабилизации возбужденного

ветствующие критические параметры. Представля-

атомного состояния по отношению к коллективному

ется естественным, что, меняя степень близости па-

распаду при определенном числе атомов ансамбля

раметров задачи к критическим, возможно управ-

[12, 23, 24].

лять излучательными процессами в невинеровской

На основе численного моделирования мы де-

динамике, описываемой обобщенной моделью Дике.

монстрируем, что для полностью возбужденного

Обнаружению и описанию некоторых условий, при

ансамбля с числом атомов, большем определенного

которых невинеровское сверхизлучение обобщенной

критического значения числа атомов, время задерж-

модели Дике существенно отличается от традицион-

ки импульса сверхизлучения, описываемого обоб-

ного сверхизлучения Дике, и посвящена настоящая

щенной моделью Дике, становится равным нулю.

работа.

В случае полувозбужденного атомного ансамбля в

импульсе сверхизлучения обобщенной модели Дике,

2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

напротив, появляется задержка. Критические зна-

НЕВИНЕРОВСКОЙ ДИНАМИКИ

чения числа атомов локализованного ансамбля по-

АТОМНОГО АНСАМБЛЯ В ОБОБЩЕННОЙ

являются в теории невинеровской динамики откры-

МОДЕЛИ ДИКЕ

той системы в связи с эффектом стабилизации за-

данного коллективного квантового уровня системы

Отличительной особенностью квантовых откры-

по отношению к коллективным процессам спонтан-

тых систем, которые также характеризуются как оп-

ного излучения [12]. Для полностью возбужденного

тические, является возникновение в описании их ди-

состояния атомного ансамбля соответствующее кри-

намики величин, имеющих разные масштабы вре-

тическое число (при благоприятных условиях) ока-

менного изменения. Это отчетливо видно в рассмат-

зывается порядка сотни [12].

риваемой нами задаче.

Представленные в данной работе эффекты не

Пусть ансамбль неподвижных одинаковых ато-

могут наблюдаться в условиях винеровской динами-

мов, часть из которых возбуждена на один и тот же

ки, поскольку в ней нет конкурирующих между со-

атомный уровень, например |E₂〉, а другая часть на-

бой квантовых каналов формирования фотона излу-

ходится в основном энергетическом состоянии |E₁〉,

656

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Сверхизлучение в обобщенной (невинеровской) модели Дике

взаимодействует с вакуумным квантованным элек-

В представлении взаимодействия общие форму-

тромагнитным полем с нулевой плотностью фото-

лы алгебраической теории возмущений выглядят

нов. Ансамбль локализован в области простран-

весьма компактно. Приведем их, чтобы представ-

ства с размерами, много меньшими длины волны

лять цепочку преобразований, в результате которой

излучения, возникающего при переходе с уровня

получаются основные уравнения обобщенной (неви-

|E₂〉 на уровень |E₁〉. Мы рассматриваем взаимодей-

неровской) модели Дике.

ствие в электродипольном приближении, в котором

Мы переходим от уравнения Шредингера в пред-

все межатомные взаимодействия, например диполь-

ставлении взаимодействия, определяемого гамиль-

дипольное, появляются при построении эффектив-

тонианом V (t),

ного гамильтониана задачи [25]. Эти условия отве-

чают начальной формулировке модели Дике [3].

iℏ

|Ψ〉 = V (t)|Ψ〉,

Запишем исходный, весьма стандартный, га-

мильтониан взаимодействия в представлении взаи-

к новому вектору |^Ψ〉 = exp(-iS(t))|Ψ〉 при помощи

модействия

унитарного оператора exp(-iS(t)), что сопровожда-

∫

ется сохранением формы уравнения, но изменением

(

)

гамильтониана,

V (t) = - dω Γ(ω)

b^†(ω)e^iωt + b(ω)e^-iωt

∑

× d_kjeiωkjt|E(i)k〉〈E(i)j|.

V (t) = e-iS(t)V (t)eiS(t) - iℏe-iS(t)

eiS(t).

i,kj

Преобразованный гамильтониан

V (t) можно раз-

Здесь аргумент времени у оператора V указывает на

ложить в ряд по генератору унитарного преобразо-

его запись в представлении взаимодействия; ω_kj =

(

)

вания S(t) при помощи формулы Бейкера - Хаусдор-

E_k -E_j

/ℏ — частота перехода между атомными

фа:

квантовыми уровнями |E_k〉 и |E_j 〉; d_kj — матрич-

ные элементы оператора дипольного момента пере-

V (t) = V (t) - i[S(t); V (t)] -

хода; Γ(ω) — геометрический параметр взаимодейст-

вия открытой системы и окружающего вакуумно-

[S(t); [S(t); V (t)]] - . . . - iℏe-iS(t)

eiS(t).

го электромагнитного поля [12]. Операторы рожде-

ния b^†(ω) и уничтожения b(ω) характеризуют кван-

Поскольку V (t) мал по сравнению с частотой пере-

[

]

ты частоты ω, причем

b(ω), b^†(ω^′)

= δ(ω - ω^′).

хода (мала константа взаимодействия), представим

Если предположить выполнение резонансного

операторы S(t) и

V (t) в виде рядов по константе

условия ω

= ω₂₁ для перехода только между

взаимодействия

заселенным и основным атомными уровнями

(резонансными уровнями), то в выражении для

S(t) = S⁽¹⁾(t) + S⁽²⁾(t) + . . . ,

оператора взаимодействия, помимо медленно

V (t) =

V (1)(t) +

V (2)(t) + . . .

меняющихся во времени слагаемых с фазовым

множителем exp(±i(ω - ω₂₁)t), присутствует много

Использованы обозначения S(n)(t) и

V (n)(t) для сла-

быстропеременных во времени слагаемых типа

гаемых, имеющих n-й порядок по константе взаимо-

exp(±i(ω + ω₂₁)t). Также играют роль и слагае-

действия. Тогда эффективный гамильтониан взаи-

мые с быстропеременным во времени фазовыми

модействия имеет вид

множителями exp(±i(ω ± ωkj)t), описывающие

]_′

i [

переходы с нерезонансных уровней на резонанс-

V^Eff (t) = V^′(t) -

S⁽¹⁾(t); V (t)

(1)

ные. Поэтому естественным методом дальнейшего

упрощения задачи является метод усреднения

где штрих означает, что взяты только слагаемые,

Крылова - Боголюбова - Митропольского

[26, 27].

которые не содержат быстроменяющиеся множите-

Однако в применении к оптическим задачам он

ли времени, а S⁽¹⁾(t) находится из уравнения [22,28]

весьма громоздкий [21]. В работах [28, 29] развит

алгебраический вариант метода, который стали

ℏ

S⁽¹⁾(t) = V^′(t) - V (t).

называть алгебраической теорией возмущений [30].

Этот метод в оптике дает весьма естественное

Если при решении задачи ограничиться только

введение эффективного гамильтониана задачи

слагаемым первого порядка малости, то V^eff (t) =

V^Eff (t) [22].

= V^′(t) и получаем гамильтониан модели Дике.

657

ЖЭТФ, вып. 4

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Мы же рассматриваем эффективный гамильтониан

где единый символ V^Eff (t)dt дает представление

с точностью до второго порядка малости (1).

эффективного гамильтониана в терминах диффе-

Для рассматриваемого ансамбля из N_a одинако-

ренциалов Ито основных квантовых случайных про-

вых атомов в итоге имеем

цессов

— порождающего B⁺(t), уничтожающего

B(t) и считывающего Λ(t):

∫

V^Eff (t) = dω Γ(ω)b^†(ω)d₁₂ei(ω-ω21)^tR^-+H.c.+

V^Eff (t)dt = V^D-D dt + Y⁺dB(t)+

∫

+ Y ^-dB⁺(t) + Y_ΛdΛ(t),

+ V ^D-^D + dω dω^′Γ(ω)Γ(ω^′)b^†(ω)b(ω^′)×

(

)

∫

∞

× ei(ω-ω′)^t Π⁺(ω, ω^′)Na

+ Π^-(ω,ω^′)R3

b(t) =

√

dω e-i(ω-ω21)^tb(ω),

2π

-∞

∫

)

Γ²(ω)|d₂₁|² (

B(t) = dt^′b(t^′), Λ(t) = dt^′b^†(t^′)b(t^′).

V^D-^D = - dω

R^-R⁺+R⁺R^-

-N_a ,

ℏ(ω + ω₂₁)

(

)

Свойства алгебры Хадсона - Партасарати [8], ко-

∑

|d_kj |²

Π_k(ω) =

торая определена всеми тремя типами стохастичес-

ℏ

ω_kj + ω

ω_kj - ω

ких процессов для вакуумного состояния окруже-

ния, дают возможность просуммировать в решении

[

]

на основе оператора эволюции системы ряды обыч-

Π_±(ω, ω^′) =

(Π₁(ω)+Π₁(ω^′)) ± (Π₂(ω)+Π₂(ω^′)) ,

ной теории возмущений во всех ее порядках. Даль-

∑(

)

нейшее усреднение по состоянию вакуумного окру-

R₃ =

|E(i)2〉〈E(i)2| - |E(i)1〉〈E(i)1|

жения позволяет представить кинетическое уравне-

ние для матрицы плотности ρ ансамбля одинаковых

∑

атомов в следующем безразмерном виде (мы исполь-

R^- =

|E(i)1〉〈E(i)2|, R⁺ =

|E(i)2〉〈E(i)1|,

зовали рукописные буквы для безразмерных вели-

чин):

[

]

[

]

(

R₃;R±

= ±R^±, R⁺; R^- = 2R₃.

∂ρ

Y + iR

Y^† - iR

= |χ|²

R⁺

R^-ρ+ρR⁺

R^- +

∂τ

R²

Здесь V^D-^D представляет собой оператор ди-

)

Y^†

поль-дипольного взаимодействия атомов, а лэм-

R^-ρR⁺

(2)

бовские сдвиги включены в частоты атомных

переходов. Буквами H.c. обозначено слагаемое,

При записи уравнения (2) мы опустили диполь-ди-

эрмитово сопряженное предыдущему.

польное взаимодействие, которое, вследствие сво-

Стандартным приближением теории открытых

его вида, несущественно в уравнении для диаго-

систем является марковское приближение. Здесь это

нальных элементов матрицы плотности и которым

означает выполнение условий [6,7,10]

в стандартной теории сверхизлучения Дике также

пренебрегается. Здесь безразмерное время τ = ω₂₁

Γ(ω) = const, Π_±(ω, ω^′) = const,

определено резонансной частотой ω₂₁ рабочего пе-

рехода двухуровневой системы. Слагаемые в пра-

〈b(ω)b^†(ω^′)〉 = δ(ω - ω^′),

вой части порождаются наряду с дифференциала-

ми порождающего и уничтожающего стохастиче-

в которых уравнение Шредингера становится ма-

ских процессов и считывающим процессом, описы-

тематически неопределенным, но приобретает кор-

вающим взаимодействие второго порядка по кон-

ректный статус при перезаписи в виде квантового

станте взаимодействия атомов с полем или штар-

СДУ. Для оператора эволюции имеем

ковское взаимодейс

твие. Операторозначные функ-

(

)

ции Y = exp

- iR

- 1, следует понимать как раз-

dU(t, t₀) = U(t + dt, t₀) - U(t, t₀) =

ложения в ряд по оператору

(

)

= exp

V^Eff (t)dt

-1

U (t, t₀),

N_a

ℏ

R=η₊

+η_-R₃.

658

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Сверхизлучение в обобщенной (невинеровской) модели Дике

(

)1/2 (

)r+m

Также введены следующие параметры, характерные

∑

для описания взаимодействия ансамбля атомов с

|θ, ϕ〉 =

|r, m〉

sin

m+r

m=-r

широкополосным полем с нулевой плотностью чис-

(

)_r-m

ла фотонов:

√

× cos

e-i(r+m)ϕ.

2πΓ(ω₂₁)d₂₁

χ=

√

ℏ

ω₂₁

Здесь мы используем стандартное обозначение для

[

]

2π

η_± =

Γ²(ω₂₁) Π₂(ω₂₁) ± Π₁(ω₂₁) .

биномиального коэффициента. Напомним, что ба-

ℏ

зисные векторы Дике |r, m〉 отвечают базису, сим-

Параметр связи Γ(ω) и параметры штарковского

метризованному по всем возможным перестановкам

взаимодействия Π_k(ω), ввиду марковского прибли-

состояний атомной системы, и являются собствен-

жения, определены их значениями на центральной

ными векторами операторов Казимира R² и инвер-

частоте вакуумного окружения ω₂₁. В случае пре-

сии R₃:

небрежения штарковским взаимодействием, что от-

R²|r, m〉 = r(r + 1)|r, m〉,

вечает условиям η_± = 0, имеем винеровскую дина-

(3)

R₃|r, m〉 = m|r, m〉.

мику атомов модели Дике, описывающую эффект

сверхизлучения посредством релаксационного опе-

Последние образуют (2r + 1)-мерное представление

ратора, который содержит только повышающий и

алгебры момента с генераторами R₃ и R^±,

понижающий коллективные атомные операторы и

√

R^±|r, m〉 =

(r ∓ m)(r ± m + 1) |r, m ± 1〉.

следует, таким образом, из обобщенной модели Ди-

ке.

В исходном операторном уравнении (2) перейдем

от матрицы плотности атомной системы ρ к ее ква-

зивероятности Q(θ, ϕ, τ) посредством представления

3. НЕВИНЕРОВСКАЯ ДИНАМИКА В

БАЗИСЕ КОГЕРЕНТНЫХ АТОМНЫХ

∫

СОСТОЯНИЙ

ρ = dθdϕQ(θ,ϕ,τ)|θ,ϕ〉〈θ,ϕ|.

Описание явления сверхизлучения на основе

Это оказывается возможным, поскольку функции

представленного уравнения (2) обычно проводят с

|θ, ϕ〉, образуют непрерывный переполненный базис

помощью определенного базиса атомных коллектив-

с разложением единицы

ных состояний. В случае большого числа атомов ан-

∫

самбля N_a ≫ 1 и отсутствия различий в значениях

(4π)-1(2r + 1) sin θ dθ dϕ |θ, ϕ〉〈θ, ϕ| = 1,

штарковских параметров нижнего и верхнего резо-

нансных уровней η_- = 0 существует аналитическое

а квазивероятность Q(θ, ϕ, τ) нормирована условием

решение. В обсуждаемой задаче для класса полу-

∫

dθ dϕ Q(θ, ϕ, τ) = 1. При таком переходе оператор-

возбужденных и близких к ним начальных состоя-

ное уравнение для матрицы плотности трансформи-

ний системы такое решение может быть получено в

руется в обычное дифференциальное уравнение для

базисе когерентных атомных состояний [31,32]. Его

квазивероятности, из которого следуют уравнения

введение основано на существовании оператора Ка-

движения для средних от различных комбинаций

зимира рассматриваемой алгебры,

операторов. Последние определяются соотношением

(

)

R² =

R⁺R^- + R^-R⁺

R²³,

∫

)^l(R^-)^k〉 = dθ dϕQ(θ, ϕ, τ)×

〈(R⁺)ⁿ(R₃

который отождествляется с квадратом длины векто-

ра своеобразного углового момента или псевдоспи-

× 〈θ, ϕ|(R⁺)ⁿ(R₃)^l(R^-)^k|θ, ϕ〉,

на системы. Сохранение длины вектора позволяет

описывать эволюцию системы как движение по по-

где подынтегральное среднее

верхности сферы. Тогда различные квантовые со-

стояния атомной системы определены ориентацией

〈θ, ϕ|(R⁺)ⁿ(R₃)^l(R^-)^k|θ, ϕ〉 =

(

)_n (

)_l (

)_k

псевдоспина на сфере, а конкретное состояние ха-

∂

рактеризуется азимутальным θ и полярным ϕ уг-

χ(u, w, v)|u=w=v=0

∂u

∂w

∂v

лами Эйлера этого вектора. Такое состояние |θ, ϕ〉

имеет следующее представление через собственные

можно вычислить, используя производящую функ-

векторы базиса Дике:

цию

659

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

[

для среднего значения азимутального угла имеем

χ(u, w, v) = ew/2 sin²

+e-w/2 ×

простое уравнение

(

)(

)]2r

∂_τ θ = -G(τ)sin θ,

(6)

× ue^iϕ sin

+ cos

ve^-iϕ sin

+ cos

дрейфовый коэффициент которого

(

)

При описании сверхизлучения интерес представля-

G(τ) = γ(N_a) r +

ют средние

2(1 + cos θ)

представляет собой сумму двух слагаемых, первое

〈R₃〉 = -r cos θ,

〈R⁺R^-〉 = r² sin² θ+

r(1- cos θ)²,

из которых определяется кооперативным числом

r = Na/2 для случая симметризованного состоя-

которые определены динамикой переменной θ.

ния и оказывается по величине много больше вто-

В используемых предположениях о большом чис-

рого. Это слагаемое существенно во всей области

ле атомов ансамбля N_a ≫ 1 и при пренебрежении

значений азимутального угла, за исключением точ-

различиями штарковских параметров резонансных

ки θ = π, отвечающей полностью возбужденному

уровней для квазивероятности Q(θ, ϕ, τ) имеет ме-

ансамблю. В последнем случае динамика системы

сто обычное уравнение Фоккера - Планка с перемен-

определяется как дрейфовым, так и диффузионны-

ными дрейфовым и диффузионными коэффициен-

ми слагаемыми уравнения (4), и такое начальное со-

тами:

стояние системы в аналитическом решении мы рас-

(

)

сматривать не будем.

γ(N_a)

sinθ

∂_tQ(θ, ϕ, τ) =

∂_θ

2r sinθ+

Для невинеровской динамики ансамбля большо-

1 + cosθ

(

))

го числа атомов решение уравнения (6) имеет сле-

cosθ

+ ∂2θ (1 - cosθ)-∂²

Q(θ, ϕ, τ).

(4)

дующий простой вид:

1 + cosθ

)

⁽N

cosθ₀ + th

γ(N_a)τ

Здесь невинеровская скорость γ(N_a) определена

cosθ(τ) =

(

нелинейной функцией:

N_a

1 + cosθ0 th

γ(N_a)τ

1 - cos(η₊N_a/2)

γ(N_a) = γ₀

(5)

а начальное состояние задано значением угла θ₀.

(η₊N_a/2)²

Используя связь средней интенсивности сверхизлу-

где γ₀ = 2|χ|² — скорость обычного сверхизлуча-

чения (СИ) с убылью энергии ансамбля I(τ)

тельного распада коллектива атомов. Нетрудно ви-

= -qℏω₂₁∂_τ 〈R₃〉, нетрудно теперь определить ее как

деть, что невинеровская динамика ансамбля изме-

функцию времени:

(

)

няет величину скорости ее коллективной релакса-

N_a

ции, модулируя последнюю. Более того, в случаях

sin² θ₀ sech²

γ(N_a)τ

γ(N_a)

определенного критического значения числа N_∗ ато-

I(τ) = I₀

(

))₂ ,

N_a

мов ансамбля, определяемого условием η₊(N_∗/2) =

1 + cosθ₀th

γ(N_a)τ

= 2πk, k = 1, 2, 3, . . ., происходит полное заморажи-

вание коллективного распада, γ(N_∗) = 0, и стабили-

где I₀ = q(N2a/2)ℏω₂₁, q — геометрический фактор.

зация состояния атомной системы по отношению к

Проанализируем невинеровскую динамику атом-

коллективной релаксации.

ного ансамбля в рассматриваемых условиях. Есте-

Динамика атомного ансамбля может быть про-

ственно, что при критических значениях N_∗ чис-

иллюстрирована движением «конца вектора» псев-

ла атомов в ансамбле происходит подавление кол-

доспина на поверхности сферы Блоха постоянного

лективной релаксации, обусловленное штарковским

радиуса. Действительно, полностью возбужденному

взаимодействием атомов с вакуумным окружением,

состоянию атомов отвечает северный полюс сферы,

никакого сверхизлучения в этих случаях не наблю-

где θ = π, южный полюс (θ = 0) отвечает нижнему

дается, а интенсивность определяется излучением

вакуумному состоянию ансамбля, а экваториальные

некогерентных независимых источников. На рис. 1

точки сферы (θ = π/2) — соответственно полувоз-

представлены типичные графики импульсов свер-

бужденному ансамблю атомов. Для описания эво-

хизлучения невинеровской динамики ансамбля ато-

люции системы из начального полувозбужденного

мов, приготовленных в разных начальных состояни-

и близкого к нему состояния пренебрежем в урав-

ях при значениях числа атомов, отличных от кри-

нении (4) диффузионными коэффициентами. Тогда

тического. Качественный характер зависимостей от

660

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Сверхизлучение в обобщенной (невинеровской) модели Дике

4. НЕВИНЕРОВСКАЯ ДИНАМИКА В

БАЗИСЕ ДИКЕ

Рассмотрим теперь случай, когда величины

параметров штарковских взаимодействий рабочих

уровней имеют разные значения, и исследуем

зависимость интенсивности в импульсе сверхиз-

лучения от времени. Описание кинетики системы

проведем, используя базис Дике, построенный на

собственных векторах |r, m〉, -r ≤ m ≤ r, опре-

деленных соотношением (3). Основное состояние

такого симметризованного ансамбля из N_a

= 2r

задано вектором |N_a/2, -N_a/2〉, состояние, в кото-

ром все атомы возбуждены, описывается вектором

|N_a/2, N_a/2〉, наконец, состояние полувозбужден-

Рис. 1. Зависимости интенсивности импульса СИ от вре-

ного ансамбля атомов определено как |Na/2, 0〉.

мени для атомного ансамбля с равными значениями кон-

Анализируемое кинетическое уравнение (2) в этом

стант штарковского взаимодействия. Штриховая кривая —

случае связывает только диагональные матрич-

возбужденный атомный ансамбль в начальном состоянии

ные элементы, и для 〈r, m|ρ|r, m〉

= ρ_mm имеет

(θ0 > π/2), сплошная кривая — полувозбужденный атом-

следующий явный вид:

ный ансамбль в начальном состоянии (θ0 = π/2), штрих-

пунктирная кривая — атомный ансамбль в начальном со-

∂ρ_mm

= -2|χ|²gm,m-1Cm-1ρ_mm +

стоянии, для которого θ0 < π/2

∂τ

+ 2|χ|²gm+1,mC_mρm+1m+1,

(7)

времени для ансамблей с разным числом атомов

где

оказывается неизменным и таким же, как и для

обычной винеровской динамики явления сверхизлу-

gm,m-1 = 〈r, m|R⁺|r, m - 1〉〈r, m - 1|R^-|r, m〉 =

чения. Естественно, что при этом абсолютные значе-

= (r + m)(r - m + 1).

ния интенсивности в случаях невинеровской и вине-

ровской динамики ансамбля и разного числа атомов

По сравнению с уравнением, отвечающим винеров-

в ансамбле изменяются, как различны и абсолютные

ской динамике, в уравнении (7) сомножителями ско-

значения времени задержки импульса. Из проведен-

ростных коэффициентов выступают нелинейные пе-

ного анализа и рис. 1 следует, что время задерж-

риодические функции

ки отсутствует для полувозбужденного начального

(

)

атомного состояния с θ₀ = π/2 и атомных состояний

N_a

1 - cos η₊

+η_-m

с θ₀ < π/2, что отвечает безынверсному состоянию

C_m =

(

)₂

и состояниям с отрицательной инверсией. В случае

N_a

η₊

+η_-m

возбужденного начального состояния с θ₀ > π/2 по-

является время задержки. Оно отвечает времени пе-

рехода системы к состоянию с максимально возмож-

обусловленные учетом штарковского взаимодей-

ным в данных условиях коллективным дипольным

ствия и проявлением накопительного свойства

моментом системы. Другими словами, это время, в

квантового считывающего случайного процесса.

течение которого псевдовектор на сфере Блоха эво-

Именно благодаря этим сомножителям скорости

люционирует из начального состояния до полувоз-

коллективной релаксации определенных уровней

бужденного, которое и характеризуется максималь-

могут обращаться в нуль, что приводит к стаби-

ным значением коллективного дипольного момента

лизации этих состояний системы по отношению

атомной системы. Напомним, что в данном случае

к кооперативной релаксации. Так, при переходе

мы можем анализировать только начальные состо-

системы, например из полностью возбужденно-

яния, отличные от состояния, где все атомы в си-

го симметризованного состояния

|N_a/2, N_a/2〉 в

стеме возбуждены, в условиях отсутствия отличий

основное |N_a/2, -N_a/2〉, атомная система эволюци-

в штарковских параметрах для нижнего и верхнего

онирует через целый ряд промежуточных состояний

резонансных уровней η_- = 0.

|r, m〉 лестницы Дике. Для части этих состояний,

661

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

таких что η₊N_a/2 + η_-m = 2πk, k = 1, 2, 3, . . .,

Представим результаты численного расчета ин-

скорость коллективной релаксации становится

тенсивности импульса сверхизлучения при невине-

равна нулю и эти состояния будут индифферентны

ровской динамике коллектива атомов с учетом про-

к кооперативному распаду.

явления в штарковском взаимодействии слагаемого,

Интенсивность сверхизлучения в импульсе в

определенного произведением η_-m. Мы исследова-

зависимости от времени определяется как сред-

ли атомный ансамбль, приготовленный в полностью

нее от убыли энергии коллектива атомов I(τ) =

возбужденном состоянии |N_a/2, N_a/2〉, и атомный

= -q ^ddτ Sp(ℏω₂₁R₃ρ) и может быть записана в виде

ансамбль в полувозбужденном состоянии |N_a/2, 0〉,

суммы:

коллективная инверсия которого равна нулю. Как

следует из результатов работы [12], эффект штар-

∑

ковского взаимодействия, определяемый малостью

I(τ) = q

γ₀ℏω₂₁gm,m-1Cm-1ρ_mm =

значений параметров η_±, начинает проявляться для

m=-Na/2

атомных ансамблей, где число атомов значительно,

∑

а именно, N_a ≈ 100. Этот факт связан, в частно-

=q₀

Gm,m-1ρ_mm,

сти, с тем, что при выводе основного кинетического

-Na/2

уравнения (2) используются следующие соотноше-

≪χ≪

ния между константами взаимодействия: η_±

где γ₀ = 2|χ|² — скорость коллективной релакса-

≪ 1. Поскольку проявление штарковского излуча-

ции атомного ансамбля в условиях винеровской ди-

тельного взаимодействия в наблюдаемой определе-

намики, q — геометрический фактор, а величина

но аргументом периодической нелинейной функции

Gm,m-1 = gm,m-1Cm-1. Напомним, что в случае

C_m, представим численный расчет, который исполь-

обычной винеровской динамики кооперативного из-

зует перенормировку, в которой параметр N_a = 8,

лучения полностью возбужденного начального со-

а значения параметров η_± выбраны как доли числа

стояния |N_a/2, N_a/2〉 ансамбля большого числа ато-

π (приведены на представленных графиках). Вели-

мов N_a ≫ 1 интенсивность импульса описывается

чина последних при выборе такой перенормировки

известным соотношением

задает значение числа атомов ансамбля.

(

)

N²

N_a

I(τ) = q

γ₀ sech²

γ₀

(τ - τ₀)

Рассмотрим коллективное излучение ансамбля,

в начальном состоянии которого все атомы возбуж-

Время задержки импульса τ₀ = (γ₀N_a)-1 ln N_a вы-

дены |N_a/2, N_a/2〉. Будем считать, что константы

числяется на основе определения среднего времени

штарковского взаимодействия рабочих уровней оди-

〈τ〉 [33] излучения системой n фототов при переходе

наковы, η_- = 0. С ростом числа атомов в условиях

из возбужденного состояния в основное, которое в

невинеровской динамики ансамбля до первого кри-

общем случае определяется как сумма:

тического значения η₊N_a = 4π величина интенсив-

ности в пике импульса сверхизлучения уменьшает-

∑

ся, а величина времени задержки импульса растет,

〈τ〉 =

(γ₀gm,m-1)-1.

что представлено на рис. 2а. В условиях, когда чис-

Na/2-n-1/2

ло атомов отвечает первому критическому значе-

В случае полувозбужденного начального состояния

нию, скорость коллективного распада оказывается

|N_a/2, 0〉 атомной системы верхняя граница этой

точно равной нулю и излучение системы определя-

суммы равна нулю, что приводит к отсутствию за-

ется некогерентным излучением каждого из атомов

держки импульса. Это обстоятельство проявляется

ансамбля. По мере дальнейшего роста числа атомов

и при невинеровской динамике в случае равенства

вновь возникает импульс кооперативного излучения

величин параметров штарковского взаимодействия

системы, интенсивность которого увеличивается с

рабочих уровней, что иллюстрируется рис. 1. Одна-

ростом числа атомов до некоторого максимально-

ко в общем случае невинеровской динамики ансам-

го значения, при этом величина времени задержки

бля величина gm,m-1 заменяется величиной Gm,m-1

уменьшается, что иллюстрирует рис. 2б. При про-

и соответствующие характеристики модулируются

должающемся увеличении атомов в ансамбле до ве-

периодической функцией Cm-1, зависящей не толь-

личины, определяемой вторым критическим значе-

ко от числа атомов в ансамбле, но и от собственного

нием, интенсивность сверхизлучения в максимуме

значения оператора коллективной инверсии, что не

вновь уменьшается с ростом времени задержки в

позволяет провести прямой расчет.

импульсе.

662

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Сверхизлучение в обобщенной (невинеровской) модели Дике

0.7

0.15

0.6

0.5

0.10

0.5

0.4

0.05

0.4

0.3

0.2

0.1

Рис. 2. а) Зависимости интенсивности импульса СИ от времени для невинеровской динамики полностью возбужденного

атомного ансамбля для значений числа атомов в ансамбле, меньших первого критического. Параметры штарковского

взаимодействия рабочих уровней одинаковы, η- = 0. Сплошная кривая — η+ = 3π/4, штриховая — η+ = 3π/4 + 0.2,

штрихпунктирная — η+ = 3π/4 + 0.4. б) То же для значений числа атомов в ансамбле, больших первого критического.

Параметры штарковского взаимодействия рабочих уровней одинаковы, η- = 0. Сплошная кривая — η+ = π/2 + 0.2,

штриховая — η+ = π/2 + 0.4, штрихпунктирная — η+ = π/2 + 0.8

Рассмотрим теперь кооперативное излучение

мов, η_- = 0. Как видно из графиков, и для значений

полностью возбужденного атомного ансамбля

N_a числа атомов ансамбля, меньших первого кри-

с учетом различий в константах штарковского

тического (рис. 4а), и для значений числа атомов,

взаимодействия рабочих уровней, η_-

= 0. Здесь

больших первого критического (рис. 4б), для макси-

критические значения, отвечающие условиям

мальной интенсивности характерно осцилляционное

η₊N_a/2 + η_-m = 2πk, k = 1, 2, 3, . . ., определяются

поведение, при этом импульсы не имеют задержки,

не только полным числом атомов ансамбля, но и

что согласуется с аналитическим расчетом в базисе,

собственным значением оператора коллективной

использующем атомные когерентные состояния.

инверсии, квантовым числом m. В этом случае для

атомных ансамблей, где число атомов определено

Исследование импульса кооперативного излуче-

ния полувозбужденного ансамбля с разным значе-

значениями, меньшими, чем первое критическое,

наблюдаются те же эффекты, что и для ансамблей,

нием параметров штарковского взаимодействия ра-

бочих уровней приводит к следующим результатам.

где η_- = 0. Здесь по мере роста числа излучателей

в системе интенсивность в пике импульса сверхиз-

Уже для атомных ансамблей с числом излучате-

лучения уменьшается, а время задержки импульса

лей, меньших первого критического значения, в им-

растет, что продемонстрировано на рис. 3а. Однако

пульсе сверхизлучения наблюдается задержка, что

при числах атомов в ансамбле, больших первого

никогда и ни при каких обстоятельствах не наблю-

критического, наблюдается новый эффект. Значе-

дается в условиях винеровской динамики системы.

ние времени задержки импульса для начальных,

Это явление проявляется тем сильнее, чем менее

различимы величины η_- и η₊. Из рис. 5а следует,

вслед за критическим, значений числа атомов

оказывается равным нулю, что демонстрирует

что по мере роста числа атомов до значения, отве-

чающего первому критическому, максимальное зна-

сплошная кривая на рис. 3б. Эффект усиливается

в условиях, когда константы штарковских взаи-

чение интенсивности уменьшается и свидетельству-

ет о стабилизации атомных состояний по отноше-

модействий рабочих уровней сильно различаются

(рис. 3в).

нию к коллективной релаксации, а время задержки

в импульсе возрастает. По мере увеличения числа

На рис. 4 представлены зависимости интенсив-

атомов ансамбля до значений, больших, чем первое

ностей импульса сверхизлучения обобщенной моде-

критическое, значение интенсивности увеличивает-

ли Дике для полувозбужденного атомного ансамб-

ся до некоторого максимального, при этом никакой

ля |N_a/2, 0〉 в условиях равенства значений констант

задержки импульса не наблюдается, что показано

штарковского взаимодействия рабочих уровней ато-

на рис. 5б. После появления импульса, отвечающе-

663

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

го наибольшему значению в максимуме, дальней-

шее увеличение атомов в ансамбле вновь приводит

к уменьшению интенсивности в максимуме и появ-

лению времени задержки для импульса. Обсуждае-

мые эффекты обусловлены невинеровской динами-

кой системы и связаны с периодическим характером

функции C_m, появление которой в теории есть одно

из отличительных свойств обобщенной модели Дике

по сравнению с обычной моделью Дике.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы исследовали картину кооперативного спон-

танного излучения ансамбля одинаковых атомов в

зависимости от числа атомов ансамбля и парамет-

ров штарковского взаимодействия. В отличие от

обычного спонтанного излучения Дике, в котором

зависимость от числа атомов проста, наглядна и об-

щеизвестна [3], а нерезонансные взаимодействия не

учитываются, при последовательном учете нерезо-

нансного взаимодействия атомов локализованного

ансамбля с окружающим электромагнитным полем

зависимость от числа атомов приобретает сложный

характер. В статье описаны условия, при которых

кооперативное спонтанное излучение протекает су-

щественно отлично от сверхизлучения Дике. Это да-

ет возможность говорить о своеобразной «инжене-

рии» квантовых состояний атомного ансамбля, поз-

воляющей формировать при его невинеровской ди-

намике импульсы кооперативного спонтанного излу-

чения с различными задержками и интенсивностя-

ми. Однако в отличие от обычного сверхизлучения

Дике аналитическое описание такого импульса уже

вряд ли возможно, и нам пришлось его параметры

и описанные закономерности определять численно.

Заметим, что, как установлено в работе [34], если

атомы обладают постоянным дипольным моментом,

то в ряде обсуждаемых условий профиль импульса

Рис. 3. а) Зависимости интенсивности импульса СИ от вре-

сверхизлучения определяет и профиль низкочастот-

мени для невинеровской динамики полностью возбужден-

ного излучения, попутно генерируемого в области

ного атомного ансамбля при значениях числа атомов в ан-

терагерцевых частот.

самбле, меньших первого критического. Параметры штар-

ковского взаимодействия рабочих уровней разные, η- =

Во многих работах по нелинейной и квантовой

= π/8. Сплошная кривая — η+ = π/4, штриховая — η+ =

оптике термин сверхизлучение, первоначально вве-

= π/4+0.1, штрихпунктирная — η+ = π/4+0.2. б,в) То же

денный Дике для описания излучения именно ло-

при значениях числа атомов в ансамбле, больших первого

кализованного ансамбля одинаковых атомов, при-

критического. Параметры штарковского взаимодействия

обрел значительно более широкое толкование [35].

рабочих уровней разные, η- = π/8 (б), π/4 (в). б) Сплош-

Многие исследования посвящены протяженным сре-

ная кривая — η+ = π/4+0.8, штриховая — η+ = π/4+0.9,

дам, в том числе изучение сверхизлучения приме-

штрихпунктирная — η+ = π/4+1.0. в) Сплошная кривая —

сей в твердотельных матрицах [36] и сверхизлуче-

η+ = π/4 + 0.6, штриховая — η+ = π/4 + 0.8, штрихпунк-

ния нанокристаллов [37]. Здесь теоретические ис-

тирная — η+ = π/4 + 1.2

следования никак не выходят за рамки резонанс-

664

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

Сверхизлучение в обобщенной (невинеровской) модели Дике

Рис. 4. а) Зависимости интенсивности импульса СИ от времени для невинеровской динамики полувозбужденного атом-

ного ансамбля при значениях числа атомов в ансамбле, меньших первого критического. Параметры штарковского вза-

имодействия рабочих уровней одинаковые, η- = 0. Сплошная кривая — η+ = π/4 - 0.2, штриховая — η+ = π/4,

штрихпунктирная — η+ = π/4 + 0.2. б) То же при значениях числа атомов в ансамбле, больших первого критического.

Параметры штарковского взаимодействия рабочих уровней одинаковые, η- = 0. Сплошная кривая — η+ = π/2 + 0.2,

штриховая — η+ = π/2 + 0.4, штрихпунктирная — η+ = π/2 + 0.6

Рис. 5. а) Зависимости интенсивности импульса СИ от времени для невинеровской динамики полувозбужденного атом-

ного ансамбля при значениях числа атомов в ансамбле, меньших, чем первое критическое. Параметр штарковского

взаимодействия η- = π/4. Сплошная кривая — η+ = π/4 + 0.4, штриховая — η+ = π/4 + 0.6, штрихпунктирная —

η+ = π/4+ 0.8. б) То же при значениях числа атомов в ансамбле, больших, чем первое критическое. Параметр штарковс-

кого взаимодействия η- = π/4. Сплошная кривая — η+ = π/4 + 1.2, штриховая — η+ = π/4 + 1.4, штрихпунктирная —

η+ = π/4 + 1.6

ного приближения и все теоретические модели не

определяет квантового считывающего процесса и,

учитывают нерезонансные взаимодействия, анализу

соответственно, невинеровской динамики открытой

влияния которых на сверхизлучение локализован-

системы. Если в подобных задачах учитывать так-

ных ансамблей посвящена данная работа. Что ка-

же штарковское взаимодействие атомов с широко-

сается локализованных атомных ансамблей, то их

полосным квантованным полем, то невинеровская

рассмотрение ограничивается моделями, в которых

динамика определяет условия «запирания» фотонов

атомы локализованы в одномодовых резонаторах,

в микрорезонаторе [14]. Здесь также возможен ана-

см., например, недавнюю работу [38]. В ней учи-

лиз формирования импульса «утечки» из микроре-

тываются нерезонансные взаимодействия штарков-

зонатора в духе нашей работы. В других задачах

ского типа, однако такой учет для одной моды не

авторы стараются не учитывать нерезонансные вза-

665

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 155, вып. 4, 2019

имодействия, поскольку они нарушают «хорошие»

10.

А. С. Холево, Итоги науки и техн., сер. Совр.

свойства моделей. Например, учет нерезонансных

пробл. математики. Фунд. направления. ВИНИТИ

процессов в двух- и трехуровневых моделях час-

83, 3 (1991).

то нарушает точную интегрируемость этих моделей,

11.

A. M. Basharov, Phys. Lett. A 375, 784 (2011).

поэтому большинство аналитических исследований

здесь ограничено лишь резонансным приближени-

12.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

ем (см., например, [39]). Соответственно, не исполь-

13.

В. П. Белавкин, ТМФ 110, 46 (1997).

зуются методы алгебраической теории возмущений

[22, 28-30] для формулировки исходных уравнений

14.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 140, 431 (2011).

исследуемых моделей и многие результаты прово-

15.

A. M. Basharov, Phys. Lett. A 376, 1881 (2012).

димых численных исследований заранее ограниче-

ны рамками винеровской динамики.

16.

А. М. Башаров, Опт. и спектр. 116, 532 (2014).

Еще раз подчеркнем, что в нашей работе термин

17.

B. Q. Baragiola, R. L. Cook, A. M. Branczyk, and

сверхизлучение Дике использован в первоначаль-

J. Combes, Phys. Rev. A 86, 013811 (2012).

ном контексте работы Дике [3]. Мы лишь показали

новые эффекты, возникающие в условиях форму-

18.

A. Dabrowska, G. Sarbicki, and D. Chruscinski, Phys.

лировки модели Дике при дополнительном учете

Rev. A 96, 053819 (2017).

нерезонансных взаимодействий атомов ансамбля с

19.

B. Q. Baragiola and J. Combes, Phys. Rev. A 96,

вакуумным широкополосным электромагнитным

023819 (2017).

полем, которые в рамках подхода на основе СДУ

можно учесть точно.

20.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

107, 555 (2018).

Финансирование работы. Работа выполнена

21.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопу-

при частичной финансовой поддержке Российско-

ло, Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия

го фонда фундаментальных исследований (грант

света с веществом, Наука, Москва (1977).

№16-02-00453а).

22.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Op-

tical Waves, Kluwer Acad., Dordrecht (1999).

ЛИТЕРАТУРА

23.

A. M. Basharov, Phys. Lett. A 375, 2249 (2011).

1. P. W. Milonni, The Quantum Vacuum, Acad. Press,

Boston (1994).

24.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 94, 28 (2011).

2. К. Блум, Теория матрицы плотности и ее при-

25.

C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Gryn-

ложения, Мир, Москва (1983).

berg, Photons and Atoms: Introduction to Quantum

Electrodynamics, Wiley (1997).

3. R. Dike, Phys. Rev. 93, 99 (1954).

26.

Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Введение в нели-

4. А. В. Андреев, В. И. Емельянов, Ю. А. Ильинский,

нейную механику, РХД, Москва (2004) (переизда-

Кооперативныe явления в оптике. Сверхизлуче-

ние книги 1937 г.).

ние. Бистабильность. Фазовые переходы, Наука,

Москва (1988).

27.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимп-

тотические методы в теории нелинейных коле-

5. M. G. Benedict, A. M. Ermolaev, V. A. Malyshev,

баний, Физматлит, Москва (1958).

I. V. Sokolov, and E. D. Trifonov, Super-Radian-

ce: Multiatomic Coherent Emission, IOP, Bristol and

28.

А. М. Башаров, А. И. Маймистов, Э. А. Маныкин,

Philadelphia (1996).

ЖЭТФ 84, 487 (1983).

6. C. W. Gardiner and M. J. Collett, Phys. Rev. A 31,

29.

Е. Ю. Перлин, A. B. Федоров, М. Б. Кашевник,

3761 (1985).

ЖЭТФ 85, 1357 (1983).

7. C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

30.

V. N. Bogaevski and A. Povzner, Algebraic Methods

ger-Verlag, Berlin (2000, 2004).

in Nonlinear Perturbation Theory, Springer (1991).

8. R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Comm. Math.

31.

J. M. Radcliffe, J. Phys. A 4, 313 (1971).

Phys. 93, 301 (1984).

32.

F. T. Arecchi, E. Courtens, R. Gilmore, and H. Tho-

9. В. П. Белавкин, УМН 47, 47 (1992).

mas, Phys. Rev. A 6, 2211 (1972).

666