ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 5, стр. 839-846

ПРОЦЕССЫ НЕЙТРИННЫХ ОСЦИЛЛЯЦИЙ

С ИЗМЕНЕНИЕМ ЛЕПТОННОГО АРОМАТА

В КВАНТОВОМ ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОМ ПОДХОДЕ

И. П. Волобуев^a, В. О. Егоровa,b*

^a Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

^b Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 ноября 2018 г.,

после переработки 14 января 2019 г.

Принята к публикации 15 января 2019 г.

Осциллирующие вероятности процессов нейтринных осцилляций, меняющих аромат лептонов, где нейт-

рино детектируются во взаимодействии со слабыми заряженным и нейтральным токами, рассчитываются

в рамках квантового теоретико-полевого подхода к осцилляциям нейтрино, основанного на модифика-

ции фейнмановского пропагатора в импульсном представлении. Подход наиболее похож на стандартную

диаграммную технику Фейнмана в импульсном представлении. Обнаружено, что осциллирующие зави-

сящие от расстояния вероятности обнаружения электрона в экспериментах с рождением нейтрино при

мюонном распаде π⁺-мезона и регистрацией рожденного нейтрино во взаимодействиях с заряженным и

нейтральным токами точно совпадают с соответствующими вероятностями, рассчитанными в стандарт-

ном подходе.

DOI: 10.1134/S0044451019050079

состояния имеют разные импульсы и энергии. В

результате в стандартном квантовомеханическом

описании осцилляций нейтрино в терминах плоских

1. ВВЕДЕНИЕ

волн возникает проблема с нарушением закона

Осцилляции нейтрино являются экспери-

сохранения энергии-импульса, которая широко

ментально подтвержденным явлением, широко

обсуждалась в литературе (см., например, [4-8]).

обсуждаемым в теоретической физике. Обычно они

Эта проблема может быть решена в рамках описа-

понимаются как переход нейтрино одного аромата

ния нейтринных осцилляций в терминах волновых

в нейтрино другого аромата в зависимости от

пакетов [1], что, с другой стороны, существенно

пройденного расстояния [1-3]. Эта интерпретация

усложняет соответствующие вычисления.

основана на стандартном квантовомеханическом

Другое решение проблемы может быть найдено

описании осцилляций нейтрино, при котором

предполагается, что состояния нейтрино с опре-

путем рассмотрения нейтрино вне массовой поверх-

ности. Идея трактовать массовые собственные со-

деленным ароматом являются суперпозициями

состояний с определенными массами, описываемых

стояния нейтрино как виртуальные частицы и опи-

сывать их движение до точки регистрации пропа-

плоскими волнами, и постулируется, что именно

гаторами Фейнмана была впервые высказана в ра-

флейворные состояния рождаются в слабых взаимо-

действиях. Однако в локальной квантовой теории

боте [4]. Позже этот подход был развит в работах

[5, 6]. В таком подходе осцилляции нейтрино воз-

поля

4-импульс сохраняется в каждой вершине

взаимодействия, что приводит к тому, что разные

никают в результате интерференции амплитуд про-

цессов, обусловленных всеми тремя промежуточны-

массовые компоненты в составе одного флейворного

ми массовыми собственными состояниями нейтри-

^* E-mail: egorov@theory.sinp.msu.ru

но. Однако вычисления амплитуд в этом подходе

839

И. П. Волобуев, В. О. Егоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

существенно отличаются от стандартных вычисле-

L_cc =

⎛

⎞

ний в рамках диаграммной техники Фейнмана в им-

∑

пульсном представлении. Это связано со стандарт-

⎝

√

+ H.c.^⎠ ,

(1)

iγ^μ(1 - γ⁵)Uikνk

ным S-матричным формализмом в квантовой тео-

i,k=1

рии поля, который неудобен для описания процессов

на конечных расстояниях и конечных временных ин-

где l_i обозначает поле заряженного лептона i-го по-

тервалах. Чтобы описать локализацию частиц или

коления, ν_k — поле массового собственного состо-

ядер, которые рождают и детектируют нейтрино,

яния нейтрино, а U_ik — матрицу Понтекорво - Ма-

приходится использовать волновые пакеты, что де-

ки - Накагавы - Сакаты (PMNS-матрица).

лает вычисления довольно сложными.

Мы собираемся рассмотреть процесс, когда нейт-

В работе [9] был предложен модифицированный

рино образуется при распаде π⁺-мезона, а регистри-

пертурбативный S-матричный формализм, позво-

руется во взаимодействии с заряженным и нейт-

ляющий последовательно описать процессы осцил-

ральным токами электрона. Благодаря структуре

ляций нейтрино в рамках квантовой теории поля,

лагранжиана взаимодействия процесс представлен

используя только плоские волны. Формализм осно-

в низшем порядке следующими двумя диаграмма-

ван на фейнмановской диаграммной технике в ко-

ми:

ординатном представлении [10], дополненной моди-

(k )₂

⁺(q)

фицированными правилами перехода к импульсно-

му представлению. Собственно процедура расчета

)

(2)

очень похожа на диаграммную технику Фейнмана в

импульсном представлении, в которой использует-

ся модифицированный пропагатор Фейнмана. Под-

e^-(k )₁

e^-(k)

ход был развит в работе [11], где мы явно показа-

ли, что предлагаемый формализм точно воспроиз-

водит результаты стандартного подхода в случае,

⁺(q)

e^-(k)

когда нейтрино (вместе с позитронами) образуют-

(p )

k n

(3)

ся во взаимодействии с заряженными токами ядер

и детектируются во взаимодействии как с нейтраль-

W⁺

ными, так и с заряженными токами электронов.

e^-(k )1

(k )₂

В настоящей статье мы будем использовать мо-

дифицированный S-матричный формализм для рас-

чета вероятностей процессов нейтринных осцилля-

В диаграмме (3) все три виртуальных массовых соб-

ций, недиагональных по лептонным ароматам. А

ственных состояния нейтрино дают вклад, поэтому

именно, мы рассмотрим процессы, в которых нейт-

соответствующая амплитуда должна суммировать-

рино рождается в мюонном распаде π⁺-мезона, а

ся по индексу k = 1, 2, 3. В то же время обе диа-

регистрируется во взаимодействии с нейтральным

граммы имеют массовое собственное состояние ней-

и заряженным токами электрона. Мы покажем, что

трино ν_i в конечном состоянии, поэтому мы должны

результаты нашего подхода снова в точности совпа-

просуммировать результирующую вероятность по i,

дают с теми, что ожидаются из стандартного фор-

чтобы получить вероятность регистрации электро-

мализма.

на.

Обозначим 4-импульсы частиц так, как это изоб-

ражено на диаграммах: импульс антимюона равен q,

2. ОСЦИЛЛЯЦИИ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С

импульс виртуального нейтрино — p_n, импульс вы-

ДЕТЕКТИРОВАНИЕМ НЕЙТРИНО ВО

ходящего электрона — k, импульс входящего элект-

ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С НЕЙТРАЛЬНЫМ И

рона — k₁, импульс выходящего нейтрино — k₂.

ЗАРЯЖЕННЫМ ТОКАМИ

Можно выписать амплитуду в координатном

Рассматривается минимальное расширение

представлении, соответствующую диаграммам

Стандартной модели правыми синглетами нейт-

(1),

(2), используя стандартные правила Фейн-

рино. После диагонализации членов, полутора-

мана, сформулированные, например, в учебнике

линейных по полям нейтрино, лагранжиан взаи-

[12]. Далее, согласно предписанию S-матричного

модействия слабых заряженных токов лептонов

формализма, чтобы перейти к импульсному пред-

принимает вид

ставлению, нужно проинтегрировать амплитуду по

840

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Процессы нейтринных осцилляций. ..

x и y по пространству Минковского, что означает,

на S^ci(y - x)δ(y⁰ - x⁰ - T ). В этом случае преобра-

что процесс рассматривается происходящим во

зование Фурье дает нам так называемый зависящий

всем пространстве-времени Минковского и что

от времени пропагатор массового собственного со-

итоговая вероятность процесса будет вероятностью

стояния нейтрино ν_i в импульсном представлении,

на единицу объема и на единицу времени.

определяемый соотношением

Однако такое интегрирование привело бы к по-

∫

тере информации о пространственно-временном ин-

S^ci(p_n, T) = dxexp(ip_nx)S^ci(x)δ(x⁰ - T).

(4)

тервале между событием рождения и событием ре-

гистрации, поскольку в экспериментах по нейтрин-

Этот интеграл может быть посчитан точно [9,11]:

ным осцилляциям подразумевается, что расстояние

между точкой рождения и точкой детектирования

S^ci (p_n, T) =

вдоль направления распространения нейтрино оста-

(

√

)

ется неизменным. Чтобы обобщить стандартный

p0n - (p0n)² + m2i - p²

+m_i

pn - γ0

формализм S-матрицы на случай процессов, прохо-

√

дящих на фиксированных расстояниях, введем под

(p0n)² + m2i - p²

интеграл дельта-функцию δ(p · (y - x)/|p| - L), где

{ (

√

) }

p — импульс виртуальных нейтрино, а L — рас-

× exp i p0n - (p0n)² + m2i - p²

(5)

стояние между источником и детектором нейтрино.

Поступая так, мы фиксируем расстояние между со-

где использовано стандартное обозначение pn

бытиями рождения и регистрации и только затем

= γ_μp^μn. Обратное преобразование Фурье этого за-

интегрируем амплитуду по x и y по пространству

висящего от времени пропагатора хорошо определе-

Минковского. Таким образом, как и в стандартном

но, что позволяет нам сохранить стандартную диа-

S-матричном формализме, мы рассматриваем про-

граммную технику Фейнмана в импульсном пред-

цесс, происходящий во всем пространстве-времени

ставлении, просто заменив пропагатор Фейнмана

Минковского, но расстояние между событиями рож-

данным зависящим от времени пропагатором.

дения и детектирования вдоль импульса нейтринно-

В работе [5] было показано, что виртуальные час-

го пучка теперь фиксируется дельта-функцией. Это

тицы, распространяющиеся на большие макроско-

эквивалентно замене стандартного фейнмановско-

пические расстояния (или, что то же самое, рас-

го фермионного пропагатора в координатном пред-

пространяющиеся в течение макроскопических вре-

ставлении S^ci(y - x) на S^ci(y - x)δ(p · (y - x)/|p| - L).

мен), находятся почти на массовой поверхности, и

(

)₂

Преобразование Фурье этого выражения дает

это означает, что |p2n -m2i|/

p0n

≪ 1. Поэтому, пре-

нам так называемый зависящий от расстояния про-

(

)₂

небрегая |p2n - m2i|/

p0n

всюду, кроме показателя

пагатор массового собственного состояния нейтри-

экспоненты, где оно умножается на большое макро-

но ν_i в импульсном представлении [9, 11]. Однако

скопическое время T , и применяя также приближе-

в [11] утверждается, что этот зависящий от рас-

ние малых масс нейтрино, т. е. пренебрегая m_i/p0n ≪

стояния пропагатор неудобен для вычислений, по-

≪ 1, мы можем представить зависящий от времени

скольку его обратное преобразование Фурье не мо-

пропагатор нейтрино в импульсном представлении

жет быть определено, если импульс преобразования

в виде [11]

Фурье совпадает с импульсом виртуальных нейтри-

(

)

но в аргументе дельта-функции, что необходимо для

m2i - p²

S^ci(p_n, T) = i

exp

-i

(6)

описания процессов нейтринных осцилляций. Чтобы

2p0n

2p⁰

обойти эту проблему, вводим под интеграл другую

дельта-функцию δ(y⁰ - x⁰ - T ), которая фиксиру-

Этот зависящий от времени пропагатор будет ис-

ет промежуток времени между событиями рожде-

пользоваться в расчетах ниже, заменяя стандарт-

ния и детектирования. Позже мы сможем выразить

ный пропагатор Фейнмана. Такая техническая про-

временной интервал T через расстояние, пройденное

стота является очевидным преимуществом обсужда-

нейтрино, в соответствии с формулой T = Lp⁰/|p|,

емого подхода.

которая часто используется при описании процессов

Теперь мы готовы выписать амплитуды, соот-

нейтринных осцилляций.

ветствующие диаграммам (2), (3) в случае, когда

Теперь введение дельта-функции эквивалент-

разница во времени y⁰ - x⁰ фиксирована и равна

но замене стандартного фермионного пропагатора

T. Мы предполагаем, что передача импульса в про-

Фейнмана в координатном представлении S^ci(y - x)

цессах рождения и детектирования мала, поэтому

841

И. П. Волобуев, В. О. Егоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

можем использовать приближение взаимодействия

Можно заметить, что эта амплитуда имеет необыч-

Ферми. Вершина распада пиона описывается в со-

ную размерность. Формально она соответствует

ответствии с формулами из § 5 учебника [13]. Амп-

процессу, в котором разница во времени y⁰-x⁰ меж-

литуда в импульсном представлении, соответствую-

ду рождением и регистрацией точно равна T . Одна-

щая диаграмме (2), имеет вид

ко в действительности процесс регистрации не явля-

ется мгновенным, он занимает некоторое время Δt,

G2F

M(i)nc = -

cosθ_c f_πϕ_πm(μ)U∗2i ×

Δt/T ≪ 1. Чтобы найти амплитуду процесса со вре-

2p⁰

менем регистрации Δt, мы должны проинтегриро-

(

)

m2i-p²

(

)

вать амплитуду (10) по T от T - Δt/2 до T + Δt/2.

× exp

-i

νi (k2) γ^μ pn

1+γ⁵

υ (q) ×

2p⁰

После отбрасывания слагаемых порядка Δt/T, ко-

[(

)

(

)

торые пренебрежимо малы, интегрирование приво-

+ sin²

θ_W

u(k)γ_μ

1-γ⁵

u (k₁) +

дит к умножению амплитуды на Δt. Следовательно,

]

(

)

выражение (10) следует понимать как амплитуду в

+ sin² θ_W u (k)γ_μ

1+γ⁵

u (k₁)

(7)

единицу времени.

Нашим следующим шагом будет вычисление

где θ_c — угол Кабиббо, f_π — постоянная распада

квадрированной амплитуды, усредненной по поля-

пиона размерности массы, ϕ_π

— (постоянная) вол-

ризациям входящих частиц и просуммированной по

новая функция пиона, m(μ) — масса мюона, и мы

поляризациям исходящих частиц. Операция усред-

уже применили условие сохранения 4-импульса в

нения и суммирования будет обозначаться угло-

вершине рождения. Здесь и далее опускаем индексы

выми скобками. Применяя снова приближение ма-

поляризации фермионов.

лых масс почти реальных промежуточных нейтри-

Аналогично амплитуда, соответствующая диа-

но, p2n = 0, находим, что квадрированная амплитуда

грамме (3), просуммированная по типу k промежу-

факторизуется следующим образом:

точного виртуального нейтрино, может быть запи-

(



)

+(



)

сана в виде



M⁽



= |M₁|²

M⁽



(11)

tot

4 (p0n)²

∑

G2F

M(i)cc =

cosθ_c f_πϕ_πm(μ)U∗1i

U1kU∗2k ×

2p⁰

k=1

(

)

(

)

|M₁|2

= 4G2F cos² θ_c f2πm2(μ) (p_nq),

(12)

m2k - p²

× exp

-i

νi (k2) γμ

1-γ⁵

2p⁰

(

)

× u(k₁) u(k)γ^μp_n

1+γ⁵

υ (q).

(8)

)

[

(

)

(



²



Удобно использовать тождество Фирца для того,

M⁽



= 64G2F



^B

i+Ai



^-2+sin2θ^W

чтобы переставить спиноры u(k) и ν_i (k₂) в послед-

(

ней амплитуде, что делает ее похожей на первую.

× (k₁p_n)² + |A_i|² sin⁴ θ_W (kp_n)² - Re (A_iB∗i ) +

Мы также вводим следующие обозначения для за-

]

(

))

висящих от времени факторов:

(

)

+ |A_i|2

+ sin²

θ_W sin² θ_W m² (k₂p_n)

(13)

m2i - p²

A_i = U∗2i exp

-i

2p⁰

(

)

(9)

∑

Здесь

|M₁|2

— квадрированная амплитуда про-

m2k - p²

B_i = U∗1i

U1kU∗2k exp

-i

2p⁰

цесса распада (+-мезо) на антимюон и безмассо-

k=1



Полная амплитуда процесса с нейтрино ν_i в конеч-

вый фермион,

M⁽



— квадрированная ампли-

ном состоянии, которая является суммой амплитуд

туда процесса рассеяния безмассового фермиона и

nc и

cc , принимает форму

начального электрона, m — масса электрона.

(

)

Обозначим 4-импульс распадающегося пиона че-

M(i)tot = -

cosθ_c f_πϕ_πm(μ)ν_i (k₂)γ^μ p_n

1+γ⁵

рез p_π, а 4-импульс регистрируемых нейтрино че-

2p⁰

[(

(

))

рез p. Экспериментальная ситуация определяет,

(

)

× υ(q) B_i+A_i

+sin²

θ_W

u (k) γ_μ

1-γ⁵

что импульс p направлен от источника к детекто-

]

ру и удовлетворяет условию сохранения импульса

(

)

p_π -q-p = 0 в вершине рождения. Другими слова-

× u(k₁) + Ai sin2 θW u(k)γ_μ

1+γ⁵

u (k₁)

(10)

ми, p — это одно конкретное значение p_n, имеющее

842

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Процессы нейтринных осцилляций. ..

направление от источника к детектору. Фактически

W₂. Тогда полная дифференциальная вероятность

выбор единственного значения p импульсов детек-

обнаружения электрона в конечном состоянии мо-

тируемых нейтрино является приближением, кото-

жет быть записана как

рое применимо, когда расстояние между источни-

∑

dW(i)

dW₁

ком и детектором намного больше, чем их собствен-

W₂.

(17)

ные размеры. Напомним также, что мы применяем

i=1

приближение p² = 0. Следуя рецепту, сформулиро-

Поскольку импульс p_n промежуточных вирту-

ванному в работе [11], чтобы найти дифференциаль-

альных нейтрино теперь фиксирован и равен p, мы

ную в(роятно)ь процесса, нужно умножить ампли-

∕



можем подставить T = Lp⁰

|p| во все формулы с



туду

M⁽



на дельта-функцию закона сохране-

tot

этого момента. Эта замена является последователь-

ной, поскольку нейтрино находятся почти на мас-

ния энергии-импульса (2π)⁴δ(p_π +k₁ -q-k-k₂) и на

совой поверхности, и |p|/p⁰ можно рассматривать

дельта-функцию 2πδ(p_π - q - p), которая фиксиру-

как скорость нейтрино с очень высокой точностью.

ет импульс промежуточных нейтрино, подставить p

Строгое доказательство этой формальной процеду-

вместо p_n и проинтегрировать результат по импуль-

ры может быть получено в подходе в терминах вол-

сам конечных частиц, а именно, антимюона, элект-

новых пакетов (см. [1], § 8.2).

рона и нейтрино, в соответствии со стандартными

Далее мы видим, что экспериментальная ситуа-

правилами расчета вероятностей. Коэффициент 2π

ция фиксирует только направление импульса нейт-

перед последней дельта-функцией возникает после

рино, но не его модуль |p_n| = |p|. Поэтому, чтобы

усреднения по импульсам детектируемых нейтрино,

найти вероятность процесса, мы должны проинте-

которые из-за ненулевых размеров источника и де-

грировать (17) по |p| по всем допустимым значе-

тектора в действительности лежат внутри малого

ниям. Максимальное значение величины |p| опреде-

усеченного конуса с осью вдоль вектора p.

ляется процессом рождения, а минимальное — про-

Благодаря факторизации квадрированной ам-

цессом регистрации. Здесь процесс рождения пред-

плитуды дифференциальная вероятность фактори-

ставляет собой двухчастичный распад, что означа-

зуется следующим образом:

ет, что модули импульсов нейтрино и антимюона

dW(i)

dW₁

(i)

уже зафиксированы законом сохранения энергии-

W₂

(14)

импульса. Это приводит к тому, что dW₁/dp сингу-

лярна, и эта сингулярность устраняется интегриро-

∫

dW₁

d³q

ванием. Окончательный результат для вероятности

процесса выглядит следующим образом:

2p⁰

π (2π)³ 2p⁰

(2π)³ 2q⁰

∫

dW₁

× |M₁|2

(2π)⁴ δ (p_π - q - p) ,

(15)

|p|² d |p| =

W₂||p|=|p|∗ .

(18)

dΩ

∫

Здесь

d³k

d³k₂

W(i)2 =

(

)₂

2p⁰2k⁰

(2π)³ 2k⁰ (2π)³ 2k⁰

)

m2(μ) m2π - m²

(



G2F cos² θ_c f2π

(μ)



(19)

M⁽



(2π)⁴ δ (k₁ + p - k - k₂) .

(16)

dΩ

8 (2π)²

p0π (p0π - |p_π| cosθ)²

— дифференциальная вероятность распада π-мезо-

Здесь dW₁/dp — дифференциальная вероятность

распада π-мезона на антимюон и безмассовый фер-

на на антимюон и безмассовый фермион с фиксиро-

ванным направлением импульса, а

мион с фиксированным импульсом p, W(i)2 — веро-

ятность процесса рассеяния электрона и безмассово-

m2π - m2μ

го фермиона с образованием электрона и массового

|p|^∗ =

;

(20)

2 (p0π - |p_π| cos θ)

собственного состояния нейтрино ν_i.

Чтобы найти полную дифференциальную веро-

система координат выбрана таким образом, что им-

ятность обнаружения электрона в конечном состоя-

пульс пиона p_π направлен вдоль оси z, а θ — по-

нии, мы должны просуммировать дифференциаль-

лярный угол p. После всех этих преобразований ве-

ную вероятность dW(i)/dp по i = 1, 2, 3. Посколь-

роятность (18) можно интерпретировать как веро-

ку dW₁/dp не зависит от i, мы должны просумми-

ятность на единицу длины источника и на единицу

ровать только W(i)2; результат будет обозначен как

длины детектора.

843

И. П. Волобуев, В. О. Егоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Легко видеть, что дифференциальная вероят-

для выражения, которое в стандартном подходе на-

ность (19) имеет максимум при θ = 0, т. е. в на-

зывается зависящей от расстояния вероятностью пе-

правлении импульса исходного пиона. Поэтому есте-

рехода ν_μ → ν_e, получаем

ственно разместить детектор в этом направлении

{[



)

от источника, чтобы зарегистрировать максималь-

∑(



M(i)2

= 64G²

2 sin² θ_W P_μe(L) +

но возможное количество событий.

Поскольку азимутальный угол ϕ не определен

]

i=1 (

)₂

для θ = 0, для нахождения дифференциальной ве-

+ sin²

θ_W (k₁p)² +sin⁴ θ_W (kp)² -

роятности dW₁/sin θdθ при θ = 0 сначала нужно

[

(

)]

усреднить дифференциальную вероятность dW₁/dΩ

по углу ϕ, а затем взять предел θ → 0. В результа-

− P_μe(L) +

+ sin²

θ_W

те получаем следующую дифференциальную веро-

}

ятность процесса рождения нейтрино в направлении

× sin² θ_W m² (k₂p)

(26)

импульса начального пиона:



dW₁



G2F cos² θ_c f2π

Теперь нужно подставить это выражение в (16), про-



суммировав по i. Используя формулы для кинема-

sinθ dθ

8 (2π)²

θ=0

(

)₂

тики нейтрино-электронного рассеяния, представ-

m2(μ) m2π - m²

ленные в § 16 учебника [13], вычисляя интеграл и

(μ)

(21)

подставляя |p| = |p|^∗, определенное в (20), прихо-

p0π (p0π - |p_π|)²

дим к следующему результату:

Рассмотрим подробнее вероятность регистрации

W₂. После всех подстановок абсолютные значения и

G2Fm

2(|p|^∗)²

W₂ =

произведения зависящих от времени факторов A_i и

2π

2 |p|^∗ + m

[

(

)₂)

B_i, определенных в (9), выражаются в виде

2 |p|^∗

× 1 + 4sin⁴

θ_W

2 |p|^∗ + m

|A_i|² = |U2i|² ,

(22)

(

)

2 |p|^∗

+ 2sin²

θ_W

2 |p|^∗ + m

|B_i|² = |U1i|² ×

]

(

)

[

)

∑

⁽m2k-m²

× 2 P_μe(L)||p|=|p|∗ - 1

(27)

-4 Re (U1kU∗1lU∗2kU2l) sin²

4 |p|

k,l=1

k<l

В приближении безмассовых нейтрино dW₁/dΩ

)]

⁽m2k -m²

совпадает с потоком вероятности нейтрино, а W₂

+ 2Im(U1kU∗1lU∗2kU2l)sin

(23)

2 |p|

совпадает с сечением процесса рассеяния безмассо-

вого фермиона на электроне, которое может быть

(

выражено как

∑

Re(A_iB^∗i) = Re U1iU^∗

U∗1kU2k ×

W₂ = P_μe(L)σνee + (1 - Pμe(L))σνμe.

k=1(

))

m2i - m²

Таким образом, мы получили, что вероятность ре-

× exp

-i

(24)

гистрации электрона равна вероятности рождения

2 |p|

в источнике нейтрино с импульсом, направленным

Подставляя эти выражения в (13), просуммировав

в сторону детектора, умноженной на вероятность

по i и вводя специальное обозначение

взаимодействия нейтрино в детекторе, которая вы-

ражается в терминах сечений взаимодействия мюон-

P_μe(L) =

ного и электронного нейтрино и стандартной зави-

[

)

сящей от расстояния вероятности перехода ν_μ → ν_e,

∑

⁽m2k-m²

-4 Re(U1kU∗1lU∗2kU2l)sin²

т. е. мы фактически точно воспроизвели результат

4 |p|

k,l=1

стандартного подхода к описанию осцилляций ней-

k<l

)]

трино в рамки квантовой теории поля без использо-

⁽m2k -m²

вания флейворных состояний нейтрино и труднос-

+ 2Im(U1kU∗1lU∗2kU2l)sin

(25)

2 |p|

тей, связанных с применением волновых пакетов.

844

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Процессы нейтринных осцилляций. ..

Поскольку входящие π-мезоны всегда имеют рас-

∑

G2F

M = -i

cosθ_c f_πϕ_πm(μ)

U1iU∗2i ×

пределение по импульсам, вероятность процесса

2p⁰

i=1

можно получить, выполнив усреднение dW /dΩ по

(

)

m2i - p²

распределению по импульсам входящих π-мезонов.

× exp

-i

T j_μu(k) ×

2p⁰

В этом случае модуль импульса виртуальных ней-

(

)

трино уже не является фиксированным, что при-

×γ^μp_n

1+γ⁵

υ (q) .

(29)

водит к размытию интерференционной картины и

Здесь 4-импульсы частиц определены аналогично

появлению соответствующей длины когерентности.

определению в предыдущем разделе, как это пока-

Количество событий в детекторе в единицу времени

зано на диаграмме.

можно найти путем интегрирования соответствую-

Квадрированная амплитуда, усредненная по по-

щей вероятности и плотности π-мезонов и электро-

ляризациям входящих частиц и просуммированная

нов по объемам источника и детектора нейтрино.

по поляризациям исходящих частиц, факторизуется

следующим образом:

|M|²

= |M₁|2

|M₂|²

P_μe(L),

(30)

3. ОСЦИЛЛЯЦИИ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С

4 (p0n)²

ДЕТЕКТИРОВАНИЕМ НЕЙТРИНО ВО

ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ТОЛЬКО С

где

|M₁|2

— квадрированная амплитуда распада

ЗАРЯЖЕННЫМ ТОКОМ

пиона на антимюон и безмассовый фермион, давае-

мая формулой (12),

Рассмотрим процесс, где нейтрино рождается

в мюонном распаде π⁺-мезона, как и в предыду-

|M₂|2

= 4G2F [k^μp^νn + k^νp^μn - (p_nk)g^μν +

щем случае, но регистрируется только во взаимо-

)

](

+ iε^μναβk_αp_nβ

W(S)μν + iW(A)

(31)

действии с заряженным током ядра. Процесс опи-

μν

сывается в низшем порядке диаграммой

— квадрированная амплитуда процесса рассеяния

начального ядра и безмассового фермиона, приво-

⁺(q)

e^-(k)

дящего к образованию конечного ядра и электро-

)

на, P_μe(L) — зависящая от расстояния вероятность

(28)

перехода ν_μ

→ ν_e в стандартном подходе, дава-

W⁺

емая (25). Здесь ядерный тензор W_μν

μν

которая должна быть просуммирована по типу

μν

= 〈j_μj+ν 〉 характеризует взаимодействие яд-

i = 1, 2, 3 промежуточного массового состояния

ра с виртуальным W⁺-бозоном, его симметричная

нейтрино. Закрашенный кружок обозначает мат-

часть

μν является действительной, а антисиммет-

ричный элемент j_μ слабого заряженного адронного

ричная i

μν

— мнимой.

тока. Поскольку энергия нейтрино в мюонном рас-

Обозначим снова 4-импульс π⁺-мезона через p_π,

паде пиона составляет не менее 30 МэВ, взаимодей-

а 4-импульсы начального и конечного ядер соответ-

ствие виртуальных нейтрино с ядром может приве-

ственно через P = (E, P) и P^′ = (E^′, P^′). Следуя из-

сти к распаду последнего. Для определенности рас-

ложенному рецепту, чтобы найти в*роят

смотрим сначала только двухчастичное конечное со-

цесса, нужно умножить амплитуду

|M|²

на дель-

стояние и предположим, что начальное ядро^AZX по-

та-функцию закона сохранения энергии-импульса

глощает W⁺-бозон и превращается в конечное ядро

(2π)⁴δ(p_π + P - q - k - P^′) и на дельта-функцию

X, таким образом

Z+1

2πδ(p_π - q - p), которая фиксирует импульс проме-

жуточных нейтрино, подставить p вместо p_n и про-

-_A



A

j_μ =

Z+1

^j(h)μ

интегрировать по импульсам конечных частиц. Мы

также можем заменить временной интервал T на

∕

Снова используя приближение взаимодействия

Lp⁰

|p| для перехода от зависящего от времени фак-

Ферми, можно выписать амплитуду в импульсном

тора к фактору, зависящему от расстояния, посколь-

представлении, соответствующую диаграмме (28),

ку импульс p_n теперь выбран равным p. Результат

просуммированной по всем трем массовым собствен-

должен быть проинтегрирован по |p|, и это интегри-

ным состояниям нейтрино в случае, когда разница

рование выполняется при помощи дополнительной

во времени y⁰ - x⁰ между точками рождения и де-

дельта-функции. В результате всех этих преобразо-

тектирования фиксирована и равна T:

ваний имеем

845

И. П. Волобуев, В. О. Егоров

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

∫

Важно отметить, что мы не используем флейвор-

|p|² d |p| =

dΩ

ные состояния нейтрино в модели, работая только с

dW₁

массовыми собственными состояниями нейтрино.

W₂P_μe(L)||p|=|p|∗ ,

(32)

dΩ

Этот метод использовался для расчета осцил-

лирующих вероятностей процессов, в которых ней-

где |p|^∗ определяется (20), dW₁/dΩ обозначает диф-

трино образуются в мюонном распаде π⁺-мезона и

ференциальную вероятность распада π-мезона в ан-

детектируются во взаимодействиях с нейтральны-

тимюон и безмассовый фермион с фиксированным

ми и заряженными токами электронов или только

направлением импульса, заданную (19), и

∫

с заряженными токами ядер. Было четко показано,

′

d³k

d³P

что подход точно воспроизводит результаты стан-

W₂ =

2p⁰2E

(2π)³ 2k⁰ (2π)³ 2E^′

дартного формализма.

× |M₂|2

(2π)⁴ δ (P + p - P^′ - k)

(33)

Благодарности. Авторы благодарны Э. Э. Боо-

— вероятность процесса рассеяния ядра и безмассо-

су, А. Е. Лобанову и М. Н. Смолякову за прочтение

вого фермиона, приводящего к образованию конеч-

рукописи и важные замечания, а также А. Е. Пухову

ного ядра и электрона. Фактически эта вероятность

и Л. М. Сладю за полезные обсуждения. Аналити-

должна быть заменена вероятностью инклюзивно-

ческие расчеты амплитуд проводились с помощью

го процесса рассеяния, где регистрируется только

пакетов COMPHEP и REDUCE.

конечный электрон. Однако это не влияет на то,

Финансирование. Работа В. О. Егорова под-

что коэффициент в формуле (32) точно совпадает

держана грантом Фонда развития теоретической

с тем, который мы ожидаем для вероятности пере-

физики и математики «Базис».

хода ν_μ → ν_e в общепринятом подходе. Количество

ЛИТЕРАТУРА

событий в детекторе можно найти точно так же, как

это было объяснено в конце предыдущего раздела.

C. Giunti and C. W. Kim, Fundamentals of Neutrino

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Physics and Astrophysics, Oxford, UK, Univ. Pr.

(2007).

В настоящей работе мы показали, что процессы

S. Bilenky, Lect. Notes Phys. 817, 1 (2010).

нейтринных осцилляций, меняющие аромат лепто-

на, могут быть последовательно описаны в кванто-

K. Nakamura and S. T. Petcov, in: K. A. Olive et

вой теории поля с использованием только плоско-

al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C 38, 090001

волновых состояний участвующих частиц. В рам-

(2014).

ках Стандартной модели, минимально расширен-

C. Giunti, C. W. Kim, J. A. Lee, and U. W. Lee,

ной правыми синглетами нейтрино, мы использо-

Phys. Rev. D 48, 4310 (1993).

вали модифицированный пертурбативный форма-

лизм, предложенный в [9] и разработанный в [11].

W. Grimus and P. Stockinger, Phys. Rev. D 54, 3414

Он основан на традиционном S-матричном подходе,

(1996).

дополненном модифицированными правилами пере-

M. Beuthe, Phys. Rep. 375, 105 (2003).

хода от координатного представления к импульсно-

му. Эти правила позволяют нам построить моди-

A. G. Cohen, S. L. Glashow, and Z. Ligeti, Phys. Lett.

фицированный пропагатор Фейнмана в импульсном

B 678, 191 (2009).

представлении, соответствующий имеющейся экспе-

А. Е. Лобанов, ТМФ 192(1), 70 (2017).

риментальной ситуации, который мы называем за-

I. P. Volobuev, Int. J. Mod. Phys. A 33, 1850075

висящим от времени пропагатором. В отличие от

(2018).

стандартного формализма S-матрицы, наш подход

применим для описания процессов, проходящих на

10.

R. P. Feynman, Phys. Rev. 76, 769 (1949).

конечных расстояниях и конечных временных ин-

11.

V. O. Egorov and I. P. Volobuev, Phys. Rev. D 97,

тервалах. Расчеты просты и очень похожи на те, ко-

093002 (2018).

торые используются в стандартном пертурбативном

12.

Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в тео-

S-матричном формализме в импульсном представ-

рию квантованных полей, Наука, Москва (1984).

лении. Модифицированный формализм S-матрицы

физически прозрачен и имеет такое преимущество,

13.

Л. Б. Окунь, Лептоны и кварки, Наука, Москва

что он не нарушает сохранение энергии-импульса.

(1990).

846