ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 5, стр. 847-854

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ МЕТРИКИ

С ПРИЛИВНЫМ ЗАРЯДОМ

С. О. Алексеевa,b*, Б. Н. Латош^c,d, В. А. Прокоповa,b**, Е. Д. Емцова^a,b

^a Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119234, Москва, Россия

^b Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119234, Москва, Россия

^c Department of Physics and Astronomy, University of Sussex

BN1 9QH, Brighton, United Kingdom

^d Государственный университет «Дубна»

141982, Дубна, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 6 декабря 2018 г.,

после переработки 10 декабря 2018 г.

Принята к публикации 11 декабря 2018 г.

Предложено простое феноменологическое расширение метрики черной дыры с приливным зарядом, так

как данные о черной дыре Sgr A*, полученные из наблюдений, можно интерпретировать феноменологиче-

ским обобщением пространства-времени Рейснера - Нордстрема. Тем не менее метрика Рейснера - Норд-

стрема способна учесть лишь ведущий вклад от возможных гравитационных эффектов, лежащих за

пределами ОТО. Предложенная нами метрика позволяет учесть более тонкие гравитационные эффек-

ты. В работе обсуждаются физические проявления предлагаемой метрики: размер тени, отбрасываемой

черной дырой, и радиус последней устойчивой орбиты.

DOI: 10.1134/S0044451019050080

Модель модифицированной гравитации стоит

рассматривать как альтернативу ОТО в случае луч-

шего описания ею гравитационных явлений, хотя бы

1. ВВЕДЕНИЕ

на одном пространственном масштабе. Вследствие

этого, особый интерес представляют модели, удов-

В настоящее время общая теория относительнос-

летворяющие гравитационным тестам в Солнечной

ти (ОТО), являясь общепризнанной теорией гра-

системе, а именно, модели, пост-ньютоновские (а

витации, предоставляет корректное описание мно-

также пост-кеплеровские) параметры которых со-

гих гравитационных явлений [1, 2]. В то же время

гласуются с эмпирическими данными [1, 7, 11].

существование феноменов темной материи и тем-

ной энергии дает основание полагать, что ОТО кор-

Далее, в рамках ОТО невращающаяся черная

ректно описывает гравитационные явления лишь на

дыра без электрического заряда описывается мет-

малых пространственных масштабах [3-5]. Базовые

рикой Шварцшильда. В то же время данные на-

физические принципы, лежащие в основе модифи-

блюдений черной дыры Sgr A* [12-14] лучше со-

кации ОТО, в настоящее время широко обсуждают-

гласуются с метрикой Рейснера - Нордстрема при

ся в литературе [6,7]. Спектр таких теорий включает

ненулевом заряде

[15]. Реальная

(«астрофизиче-

разнообразные модели f(R) гравитации, скалярно-

ская») черная дыра с ненулевым электрическим за-

тензорные построения, включая модели Хорндески

рядом неустойчива. Однако в модифицированных

[8-10].

моделях гравитации, а именно, в моделях класса

Рандалл - Сандрум, метрика, аналогичная метрике

^* E-mail: alexeyev@sai.msu.ru

Рейснера - Нордстрема, является точным решени-

^** E-mail: slaprok777@gmail.com

ем [16]. Это решение описывает электрически нейт-

847

С. О. Алексеев, Б. Н. Латош, В. А. Прокопов, Е. Д. Емцова

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

ральную черную дыру, характеризуемую дополни-

стрема эта функция задана следующим выражени-

тельным параметром — приливным зарядом, возни-

ем:

кающим из-за выхода гравитационного поля в про-

Q2electric

странство дополнительных измерений. Так как мас-

Δ=1-

(2)

r²

са такой черной дыры на бране не определяется до-

полнительными измерениями, она совпадает с мас-

В случае черной дыры с приливным зарядом [16]

сой черной дыры Шварцшильда [17]. Заметим, что

функция имеет схожую форму:

приливный заряд может иметь и противоположный

Q_tidal

знак по отношению к заряду метрики Рейснера -

Δ=1-

(3)

r²

Нордстрема. Это свойство позволяет отличить элек-

трический заряд от приливного. В данной работе мы

где величина Q_tidal может быть как отрицательной,

будем следовать терминологии работы [15] и назы-

так и положительной. Обе эти метрики могут опи-

вать метрику [16] метрикой с приливным зарядом.

сать все новые эффекты модифицированной грави-

Так как данные наблюдений Sgr A* согласуются

тации, спадающие быстрее чем r-2. Следуя этой ло-

с метрикой Рейснера - Нордстрема, есть основания

гике, мы можем попробовать учесть влияние более

считать, что внешнее гравитационное поле этой чер-

тонких эффектов, введя новый член, убывающий

ной дыры можно описать пространством-временем

как r-3. Мы рассмотрим его в виде

более общим, чем упомянутая метрика Рейснера -

Нордстрема. В нашей работе мы предлагаем обоб-

Δ(r) = 1 -

(4)

r²

r³

щение метрики Рейснера - Нордстрема, способное

учесть влияние более тонких гравитационных эф-

Данное выражение записано в единицах длины r =

фектов, лежащих за приделами применимости ОТО

= r/M, параметры q и α безразмерны. Заметим, что

и спадающих быстрее чем r-2. Эти эффекты бу-

обсуждаемую метрику можно рассматривать как

дут наблюдаемы в ближайшем будущем благодаря

разложение любой статической сферически-симмет-

проектам, направленным на изучение свойств теней

ричной метрики в произвольной модели гравитации

черных дыр [18,19]. Таким образом, цель настоящей

в ряд по малому параметру r-1 = M/r. Таким об-

работы состоит в установлении связи между наблю-

разом, коэффициенты этой метрики можно напря-

дательными данными и новым параметром метри-

мую связать с параметрами метрики в произволь-

ки, точнее говоря, в изучении влияния эффектов

ной модифицированной модели гравитации. Также

модифицированной гравитации на радиус последней

важно отметить, что метрика (4) не является точ-

устойчивой орбиты и тень от черной дыры.

ным решением какой-то конкретной модели грави-

Работа построена следующим образом. В разд. 2

тации, мы используем ее в качестве анзаца, пригод-

мы предлагаем модифицированную метрику и об-

ного для описания эмпирических данных. При этом

суждаем ее свойства. В разд. 3 мы изучаем свойства

будем рассматривать эту метрику в качестве точ-

тени, отбрасываемой таким объектом. Раздел 4 по-

ного решения, что позволит связать ее параметры

священ обсуждению свойств последней устойчивой

(M, q и α) с наблюдательными данными, такими как

орбиты. В разд. 5 приведены выводы, полученные в

размер тени, отбрасываемой объектом. Таким обра-

работе.

зом, метрику (4) можно рассматривать как простей-

шую модель, позволяющую установить связь между

параметрами решения в рамках произвольной моде-

ли гравитации и эмпирическими данными.

2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МЕТРИКА

Для использования предложенной техники необ-

ходимо прежде всего установить область примени-

Простейшая статическая, асимптотически плос-

кая метрика со сферической симметрией имеет сле-

мости обсуждаемой метрики. Так как эта метрика —

ряд по малым r-1, ее нельзя применять в области

дующий вид (в планковской системе единиц G = c =

= ℏ = 1):

малых r. Метрика имеет три параметра, определяю-

щих область ее применимости. Установить эту гра-

dr2

ницу применимости можно, вычислив положение го-

ds² = Δ(r)dt²-

- r²(dθ² + sin2 θ dφ²).

(1)

Δ(r)

ризонта событий, так как его положение определя-

ет границу области, где гравитация входит в режим

Вид функции Δ определяется физическими симмет-

сильного поля. Радиус горизонта событий получим

риями задачи. В случае метрики Рейснера - Норд-

из уравнения Δ(r_h) = 0. Функция (4) — многочлен

848

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Феноменологическое обобщение метрики с приливным зарядом

это обобщение метрики Рейснера - Нордстрема как

1.5

разложение по малому параметру r-1, применимое

1.0

для описания эмпирических данных. Другими сло-

вами, метрика применяется для описания внешнего

0.5

гравитационного поля черной дыры. При этом мет-

рика не всегда неприменима для описания и внут-

0.5

1.0

1.5

2.0

ренней структуры черной дыры. Так как внешний

-0.5

горизонт отмечает границу, на которой гравитация

входит в режим сильного поля, метрика (4) не все-

-1.0

гда может быть согласованно применена в режиме

-1.5

сильного поля. Если же метрика не имеет горизонта,

то единственное естественное условие, определяю-

-2.0

щее ее применимость, состоит в малости параметров

Рис. 1. Конфигурационное пространство метрики (4), раз-

M ≪ r, q ≪ 1, α ≪ 1. Благодаря этому, вклад облас-

деленное на области с разным числом горизонтов, соот-

ти пространства-времени под горизонтом не важен

ветствующим приведенным на рисунке цифрам

для изучения частиц и света вне такового.

третьего порядка, поэтому уравнение Δ(r) = 0 име-

3. СВОЙСТВА ТЕНИ

ет три корня, следовательно, описываемый метри-

кой объект может включать до трех горизонтов. На

Тень черной дыры возникает из-за того, что фо-

рис. 1 приведена фазовая диаграмма, показываю-

тоны, движущиеся вблизи этой черной дыры, захва-

щая число горизонтов, которые допускает метрика.

тываются ее гравитационным полем. Гамма-квант,

Верхняя кривая задана уравнением

излученный внешним источником, может либо рас-

(√

)(√

)₂

сеяться на черной дыре и достичь удаленного на-

α=

4 - 3q - 1

4 - 3q + 2

(5)

блюдателя, либо быть захваченным черной дырой.

Удаленный наблюдатель зарегистрирует, естествен-

Нижняя кривая определена уравнением

но, лишь рассеянные фотоны, из-за чего земные те-

(√

)(√

)₂

лескопы увидят светлое пятно, образованное ими.

α=-

4 - 3q + 1

4 - 3q - 2

(6)

На месте фотонов, захваченных черной дырой, обра-

зуется темное пятно, называемое тенью черной ды-

В отличие от пространства-времени Рейсне-

ры. Размер и форма тени определяются параметра-

ра - Нордстрема, рассматриваемая метрика может

ми черной дыры. Отметим, что расстояние до на-

генерировать дополнительный внешний горизонт

блюдателя и его ориентация по отношению к угло-

из-за дополнительного корня функции (4). Будь

вому моменту черной дыры также важны. Так как

эта метрика точным решением, внешний наблю-

мы рассматриваем метрику, описывающую черную

датель зафиксировал бы конечный сдвиг радиуса

дыру без углового момента, последний фактор для

горизонта. В дальнейшем будем называть это

рассматриваемой модели не важен. Далее, приме-

явление сдвигом горизонта. Приведенные на рис. 2

ним метод изучения размера черной дыры, не зави-

кривые

2-6

показывают, как метрика

(4) фор-

сящий от расстояния до наблюдателя. Таким обра-

мирует новый внешний горизонт. Конфигурации,

зом, главная задача этого раздела — изучить свой-

соответствующие сдвигу горизонта, находятся на

ства тени объекта, описываемого метрикой (4).

кривой

5. Графики, показывающие критические

Фотоны на траектории, когда они не способ-

кривые, приведены на рис. 1 и 4. В то же время

ны ни уйти на пространственную бесконечность, ни

условие исчезновения горизонта (см. рис. 1) тре-

упасть на черную дыру, образуют так называемую

бует обращения в нуль функции Δ и ее первой

фотонную сферу. Радиус этой сферы определяет-

производной:

ся процессом формирования тени. В рамках ОТО

этот масштаб можно вычислить из метрики Шварц-

dΔ(r)

Δ(r) = 0,

= 0.

(7)

шильда. Заметим, что для этой цели применимы

и другие метрики ОТО, например Шварцшиль-

Следует еще раз подчеркнуть важность учета

да - де Ситтера. Мы ограничиваемся более простым

области применимости модели. Мы рассматриваем

случаем, так как вклад глобального гравитационно-

849

ЖЭТФ, вып. 5

С. О. Алексеев, Б. Н. Латош, В. А. Прокопов, Е. Д. Емцова

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

0.5

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-0.5

-1.0

–1.0

-0.5

-1.5

Рис. 2. Графики функции Δ метрики (4) для различных значений q и α: 1 — α = 0, q = 0; решение Шварцшильда;

2 — α = 0, q = 1, решение Рейснера-Нордстрема с критическим зарядом; 3 — α = 0, q = 9/8, «голая сингулярность»,

описываемая метрикой Рейснера - Нордстрема; 4 — α = -0.1, q = 0.89, метрика (4) с тремя горизонтами; 5 — α = -0.1,

q = 1.1, метрика (4) с двумя горизонтами; 6 — α = -0.1, q = 1.2, метрика (4) с одним компактным горизонтом; 7 —

α = -0.4, q = 1.33, метрика (4) с одним горизонтом; 8 — α = -0.296, q = 1.33, конечная точка кривой исчезновения

горизонта

го поля, генерируемого крупномасштабной структу-

обойти это ограничение и получить описание тени,

рой пространства-времени на поле черной дыры, в

рассмотрим линейный размер тени, а именно, кри-

рамках данной локальной задачи не существен. Для

тическое значение прицельного расстояния. При та-

метрики Шварцшильда радиус фотонной сферы со-

ком подходе угловой размер тени можно установить,

ставляет 3/2 от радиуса горизонта. Метрика (4) ис-

разделив ее линейный размер на расстояние до чер-

пользует малый параметр M/r для описания попра-

ной дыры. Стоит также отметить, что метод приме-

вок к пространству-времени Рейснера - Нордстрема.

ним лишь в асимптотически плоских пространствах.

В рамках ОТО этот параметр равен 2/3, что указы-

Такой подход вполне приемлем, так как при имею-

вает на то, что процесс формирования тени черной

щемся уровне точности современных инструментов

дыры лежит на границе применимости используе-

можно изучать лишь ближайшие черные дыры. Та-

мой метрики. Однако, как мы покажем ниже, новые

ким образом, несмотря на то, что в самом общем

параметры q и α влияют на радиус фотонной сфе-

случае ускоренное расширение Вселенной должно

ры, вследствие чего можно утверждать, что новые

быть принято во внимание, на практическом уровне

гравитационные эффекты меняют радиус фотонной

его влияние на объекты, доступные для изучения,

сферы, что улучшает сходимость метрики.

будет пренебрежимо мало.

Для вычисления размера тени необходимо ре-

Случай α = 0 соответствует решению Рейсне-

шить задачу рассеяния света на массивном объек-

ра - Нордстрема и был изучен ранее [15]. При этом

те, точнее говоря, найти сечение гравитационного

было установлено, что при q > 9/8 метрика не имеет

захвата фотона черной дырой. Для этого удобно ис-

тени. Точнее говоря, было показано, что размер те-

пользовать прицельный параметр D фотона (изме-

ни не имеет гладкой зависимости от q. Критическое

ряемый в единицах массы черной дыры) в качестве

значение прицельного параметра D убывает с рос-

динамической переменной. Фотоны с малыми пара-

том q до точки q = 9/8, где D_c ≈ 3.674. В этой точке

метрами D захватываются черной дырой и не до-

размер тени испытывает конечный сдвиг до нуля и

стигают удаленного наблюдателя, в то время как

тень исчезает.

фотоны с большими значениями D избегают грави-

тационного захвата и достигают пространственной

Далее заметим, что метрика Рейснера - Нордст-

бесконечности. Размер тени определяется критиче-

рема с q > 1 описывает голую сингулярность. По-

ским значением D_c прицельного параметра, форми-

добная метрика служит решением одной из моделей

рующим фотонную сферу. Чаще всего под размером

класса Рандалл - Сандрум [16], вследствие чего ее

тени черной дыры понимается угловой размер тем-

можно рассматривать как реальный объект без го-

ного пятна, отбрасываемого черной дырой. В таком

ризонта, но с ненулевым размером тени. В нашем

случае, как было отмечено ранее, размер тени будет

подходе такая интерпретация некорректна, так как

зависеть от расстояния до наблюдателя. В результа-

параметр q не является малым. Мы интерпретиру-

те этого, для того чтобы вычислить размер черной

ем данный результат как то, что метрика (4) может

дыры, необходимо знать расстояние до нее. Чтобы

описывать лишь объекты с D ≤ 4.

850

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Феноменологическое обобщение метрики с приливным зарядом

-2

-1

1.5

1.0

0.5

D_c

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.5

-2

-1

Рис. 4. Критические кривые, соответствующие конечному

сдвигу радиуса горизонта и размера тени. Верхняя кри-

вая — сдвиг размера тени, нижняя — сдвиг радиуса гори-

Рис. 3. Зависимость критического прицельного параметра

зонта

Dc от q и α

Решение этой системы также было получено числен-

Уравнение геодезической для фотона имеет сле-

но и приведено на рис. 4.

дующий вид:

Следуя стандартному подходу [20], мы устано-

(

⁽dr)2

⁾L²

вили критическое значение прицельного парамет-

+ 1-

=E²,

(8)

dτ

r²

r³

r²

ра D_c = D_c(q, α). В случае метрики Шварцшильда

(α = q = 0) это критическое значение вычисляется

√

dφ

точно: D_c = 3

3 [20]. При α = 0 задача сводится с

(9)

dτ

r²

случаю Рейснера - Нордстрема [15].

Как уже отмечалось, метрика может спровоци-

где E — энергия фотона, L — его угловой момент,

ровать конечный сдвиг радиуса горизонта. Схожее

а τ — аффинный параметр. Будем использовать уг-

явление происходит и с размером тени, который

ловую координату φ фотона в качестве параметра,

может испытать конечный сдвиг при малом изме-

описывающего его траекторию, что приведет к сле-

нении параметров метрики. График поведения со-

дующему виду уравнений движения:

ответствующих критических кривых приведен на

)₂

(

)

⁽dr

r⁴

рис. 4. Отметим, что кривые на рис. 4 не пересека-

u(r) =

-r²

(10)

dφ

D²

r²

r³

ются и могут быть продолжены бесконечно далеко

лишь в одном направлении.

где D = L/E — прицельный параметр. Величина

Для положительных значений α тень исчезает,

u = (dr/dφ)² всегда положительна, поэтому движе-

когда объект теряет горизонт. При -0.296 < α < 0

ние возможно лишь в областях, где правая часть

размер тени испытывает конечный сдвиг, но объект

уравнения (10) положительна.

сохраняет горизонт. Конфигурации с α < -0.296

Радиус фотонной сферы определяется уравнени-

имеют только один горизонт.

ями

Важно подчеркнуть, что между размером тени

du(r)

и параметрами метрики q и α нет взаимно одно-

u(r) = 0,

= 0.

(11)

значного соответствия. Вследствие этого, невозмож-

Система (11) решена нами численно, полученные

но вычислить значения q и α при помощи только

графики критического прицельного параметра при-

одного источника данных.

ведены на рис. 3.

Гравитационное линзирование дает дополни-

Для некоторых значений параметров исследуе-

тельную информацию о параметрах метрики, так

мой метрики система (11) не имеет решения. В пол-

как в этом случае две конфигурации с одинаковым

ной аналогии с метрикой Рейснера - Нордстрема от-

размером тени для удаленного наблюдателя могут

сутствие решений указывает на отсутствие тени у

проявляться по-разному. Для описания линзи-

такого объекта.

рования необходимо решить систему (10). Нами

Конфигурации с тенью и без нее разделены кри-

численно получены зависимости угла отклонения

вой, определяемой уравнениями

света и положения удаленной звезды на плоскости

изображения от параметров метрики (q, α). Эти ре-

du(r)

d²u(r)

зультаты показывают, что две черные дыры с одним

u(r) = 0,

= 0,

= 0.

(12)

dr²

и тем же размером тени могут иметь различные па-

851

С. О. Алексеев, Б. Н. Латош, В. А. Прокопов, Е. Д. Емцова

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

что дает дополнительное основание считать приме-

0.006

нение обсуждаемой метрики корректным. Как от-

мечено выше, мы рассматриваем это обобщение как

0.005

степенной ряд по малому параметру M/r. Его зна-

0.004

чение в рамках ОТО равно 1/3 ≪ 1, что указывает

на то, что метрика имеет сходимость, достаточную

0.003

для согласованного описания орбитального движе-

ния. Хотя поправки, связанные с новыми гравита-

0.002

ционными эффектами, могут изменить радиус по-

0.001

следней устойчивой орбиты, необходимо вычислить

данный радиус, чтобы судить о их влиянии.

Используем стандартный метод изучения по-

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

следней устойчивой орбиты [20]. Уравнения движе-

ния для пробной частицы с единичной массой имеют

Рис. 5. Параметр отклонения δ = |D(α) - D(0)|/D(0) для

√

следующий вид:

черной дыры с тенью, соответствующей D_sh = 3

)₂

⁽dr

+U =E²,

(14)

dτ

раметры α. Поэтому и возможно параметризовать

конфигурации с одним и тем же размером тени при

помощи параметра α. Используем конфигурации с

dφ

(15)

α = 0 как начальную точку отчета для того, чтобы

dτ

r²

показать, как положение D (прицельный параметр)

(

)(

)

удаленной звезды на плоскости изображения за-

L²

U =

(16)

висит от α. На рис. 5 мы приводим зависимость

r²

r³

r²

параметра отклонения δ для объекта, размер тени

которого соответствует прицельному параметру

где E — энергия частицы, L — ее угловой момент,

√

D_sh = 3

3, а угол отклонения света от источника

а U — потенциальная энергия. Движение возможно

принимаем равным φ = π/2. Параметр отклонения

в области E² ≥ U. Орбита круговая, если ее ра-

определен следующим выражением:

диус статичен: dr/dτ = 0, что эквивалентно урав-

нению U(r_circ, L_circ) = E². Орбита устойчива, если

|D(α) - D(0)|

U(r_circ, L_circ) — точка локального минимума. Таким

δ=

(13)

D(0)

образом, последняя устойчивая орбита находится на

точке перегиба потенциальной энергии:

На рис. 5 видно, что поправка к критическому при-

цельному параметру, связанная с ненулевым значе-

d²U

= 0,

= 0.

(17)

нием α, на три порядка меньше значения самого па-

dr²

раметра. Таким образом, для того чтобы определить

Для некоторых значений параметров q и α мет-

значение α при помощи гравитационного линзиро-

рика имеет несколько решений уравнения (17). В

вания, требуется проводить точные измерения.

этом случае мы считаем последней устойчивой ор-

битой решение с наибольшим радиусом. Связано это

с тем, что используемое нами обобщение метрики

4. ПОСЛЕДНЯЯ УСТОЙЧИВАЯ ОРБИТА

Рейснера - Нордстрема теряет свойства сходимости

Радиус последней устойчивой орбиты задает

при малых r, и у нас нет основания полагать, что

пространственный масштаб орбитального движе-

формальные решения (17) с малыми r лежат в об-

ния. Так как орбитальное движение при меньших

ласти применимости метрики.

радиусах невозможно, он определяет границу внут-

Имеются также экзотические решения:

реннего радиуса аккреционного диска, вследствие

чего может быть ограничен при помощи прямых

= 0, L = 0.

(18)

наблюдений. Случай α = 0 соответствует метрике

Рейснера - Нордстрема и был изучен в работе [21].

Эти решения впервые были описаны в работе [21]

В рамках ОТО радиус последней устойчивой орби-

и соответствуют частице, неподвижно находящейся

ты в три раза больше радиуса горизонта событий,

на некотором расстоянии от черной дыры. В точке,

852

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Феноменологическое обобщение метрики с приливным зарядом

-2

в функцию Δ(r) члена, пропорционального r-3.

-1

Это позволяет учесть влияние новых гравитацион-

ных эффектов, лежащих за границей применимо-

сти ОТО, которые не могут быть описаны метрикой

Рейснера - Нордстрема [15, 19, 21]. Мы рассматрива-

ем эту метрику как феноменологический анзац, поз-

воляющий связать параметры черной дыры с наб-

-2

людательными данными. В то же время мы рассмат-

–1

риваем ее и как степенное разложение любой стати-

ческой сферически-симметричной метрики из про-

извольной модели модифицированной гравитации.

Рис. 6. Радиус последней устойчивой орбиты r(q, α)

Такой подход позволяет связать параметры моди-

фицированной гравитации с метрическими функци-

ями и эмпирическими данными.

Метрика Рейснера - Нордстрема (с обоими зна-

чениями знака при члене r-2) была рассмотрена в

работах [15,19,21], где было показано, что тень чер-

ной дыры достигает своего минимального значения,

когда зарядовый параметр равен единице, q = 1, что

соответствует прицельному параметру фотонов D =

= 4. В то же время радиус последней устойчивой ор-

биты равен r_ISCO = 4. Фазовая диаграмма для дан-

ной метрики приведена выше на рис. 1. Кривые, со-

ответствующие конечному сдвигу радиуса горизон-

та событий в зависимости от размера черной дыры,

-3

-2

-1

приведены на рис. 4.

Аналогично метрике Рейснера - Нордстрема, ис-

Рис. 7. Радиус последней устойчивой орбиты (верхняя кри-

вая) для α = -0.4. Нижняя кривая соответствует радиусу

следуемая нами метрика описывает как черные ды-

горизонта событий. Пунктирная линия соответствует ор-

ры, так и голые сингулярности с различными разме-

битам с нулевым угловым моментом

рами теней. Отличает же исследуемую метрику то,

что она описывает конечный сдвиг горизонта собы-

тий при малом изменении параметров метрики. Та-

где находится такая частица, суммарная гравитаци-

кое же явление возможно и для размера тени, так

онная сила, действующая на нее, равна нулю. Такие

как он может скачкообразно измениться при малом

точки равновесия возможны из-за того, что в функ-

изменении параметров метрики. Более того, черные

цию (4) входят члены с разными знаками. В работе

дыры, описываемые предложенной метрикой, могут

[21] такие точки были названы орбитами с нулевым

иметь произвольно малую тень (D < 4) и радиус

угловым моментом. Несмотря на то что такие реше-

последней устойчивой орбиты r < 4. Подобный эф-

ния существуют и в исследуемой метрике, мы их не

фект отсутствует в метрике Рейснера - Нордстрема,

рассматриваем, так как они не влияют на орбиталь-

так как ее конфигурационное пространство меньше.

ное движение.

Рассматривая предложенное обобщение метрики

Зависимость радиуса последней устойчивой ор-

как степенной ряд, возможно установить границы

биты от q и α приведена на рис. 6. Частный случай

ее применимости. Так как метрика имеет три сво-

зависимости радиуса последней устойчивой орбиты

бодных параметра (M, q и α), они все оказывают

от q при фиксированном значении α = -0.4 приве-

влияние на границу применимости, несмотря на то,

ден на рис. 7.

что разложение осуществляется по параметру M/r.

Радиус горизонта событий является пространствен-

ным масштабом, естественно определяющим грани-

5. ВЫВОДЫ

цу, где гравитация входит в режим сильного поля,

В данной работе изучено обобщение метрики

а метрика теряет свойства сходимости и не может

Рейснера - Нордстрема, осуществленное введением

быть применена.

853

С. О. Алексеев, Б. Н. Латош, В. А. Прокопов, Е. Д. Емцова

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Подчеркнем, что уменьшение наблюдаемого раз-

A. De Felice and S. Tsujikawa, Living Rev. Rel. 13,

мера черной дыры также может вызываться присут-

3 (2010); arXiv:1002.4928.

ствием плазмы, окружающей черную дыру [22,23].

10.

C. Charmousis, E. J. Copeland, A. Padilla, and

Несмотря на то, что эти эффекты могут присут-

P. M. Saffin, Phys. Rev. Lett. 108, 051101 (2012);

ствовать совместно, плазменные эффекты зависят

arXiv:1106.2000.

от длины волны наблюдаемого света, что позволит

однозначно их идентифицировать и отделить при

11.

P. I. Dyadina, N. A. Avdeev, and S. O. Alexeyev,

помощи наблюдения в различных частях электро-

arXiv:1811.05393, doi:10.1093/mnras/sty3094.

магнитного спектра.

12.

A. Y. Bin-Nun, Phys. Rev. D 81, 123011 (2010);

arXiv:0912.2081.

Финансирование. Работа поддержана грантом

Российского фонда фундаментальных исследований

13.

A. Y. Bin-Nun, Phys. Rev. D 82, 064009 (2010);

№16-02-00682, а также Программой развития Мос-

arXiv:1004.0379.

ковского государственного университета «Ведущие

14.

A. Y. Bin-Nun, Class. Quant. Grav. 28,

114003

научные школы МГУ (физика звезд, релятивист-

(2011); arXiv:1011.5848.

ские компактные объекты и галактики)».

15.

A. F. Zakharov, Phys. Rev. D 90, 062007 (2014);

arXiv:1407.7457.

ЛИТЕРАТУРА

16.

N. Dadhich, R. Maartens, P. Papadopoulos, and

V. Rezania, Phys. Lett. B 487, 1 (2000); arXiv:

1. C. M. Will, Living Rev. Rel. 17, 4 (2014); arXiv:

hep-th/0003061.

1403.7377.

17.

S. O. Alexeyev, A. N. Petrov, and B. N. Latosh, Phys.

2. B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott et al., Phys.

Rev. D 92, 104046 (2015); arXiv:1503.06780.

Rev. Lett. 116, 221101 (2016); arXiv:1602.03841.

18.

V. L. Fish, S. S. Doelman, C. Beaudoin et al., Astro-

3. S. Weinberg, Rev. Mod. Phys. 61, 1 (1989).

phys. J. 727, L36 (2011); arXiv:1011.2472.

4. D. Clowe, M. Bradac, A. H. Gonzalez et al., Astro-

19.

A. F. Zakharov, arXiv:1804.10374.

phys. J. 648, L109 (2006); arXiv:astro-ph/0608407.

20.

S. Chandrasekhar, The Mathematical Theory of Black

5. P. A. R. Ade, N. Aghanin, M. Arnaud et al., Astron.

Holes, Clarendon Press, Oxford (1992).

Astrophys. 594, A13 (2016); arXiv:1502.01589.

21.

D. Pugliese, H. Quevedo, and R. Ruffini, Phys. Rev.

6. S. Capozziello and M. De Laurentis, Phys. Rep. 509,

D 83, 024021 (2011); arXiv:1012.5411.

167 (2011); arXiv:1108.6266.

22.

V. Perlick, O. Yu. Tsupko, and G. S. Bisnovatyi-Ko-

7. E. Berti, E. Barausse, V. Cardoso et al., Class. Quant.

gan, Phys. Rev. D 92, 104031 (2015); arXiv:1507.

Grav. 32, 243001 (2015); arXiv:1501.07274.

04217.

8. T. P. Sotiriou and V. Faraoni, Rev. Mod. Phys. 82,

23.

V. Perlick and O. Yu. Tsupko, Phys. Rev. D 95,

451 (2010); arXiv:0805.1726.

104003 (2017); arXiv:1702.08768.

854