ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 5, стр. 886-893

ВЛИЯНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА КРИВУЮ

НАМАГНИЧИВАНИЯ ОБМЕННО-СВЯЗАННОГО КЛАСТЕРА

МАГНИТНЫХ НАНОЧАСТИЦ

С. В. Комогорцев^a, Р. С. Исхаков^a, В. А. Фелькb*

^a Институт физики им. Л. В. Киренского ФИЦ КНЦ Сибирского отеделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^b Сибирский государственный университет науки и технологий им. М. Ф. Решетнева

660049, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 29 сентября 2018 г.,

после переработки 6 декабря 2018 г.

Принята к публикации 6 декабря 2018 г.

Влияние фрактальной размерности обменно-связанных кластеров магнитных наночастиц на их кривые

намагничивания предсказывается скейлинговыми оценками. Эти предсказания дают основу для методики

экспериментального определения фрактальной размерности кластеров наночастиц по кривым намагни-

чивания. Возможность достоверного определения размерности данными методами оценивается в работе

с помощью микромагнитного моделирования. Показано, что эффективная размерность корреляционных

объемов намагниченности, определяемая из анализа приближения намагниченности к насыщению, согла-

суется с размерностью фрактальных кластеров, определенной из анализа их морфологии. Размерность,

оцененная из анализа зависимости коэрцитивного поля от размера частицы в физически естественной

ситуации диполь-дипольного взаимодействия между наночастицами, дает оценки размерности кластера,

сильно расходящиеся с оценками, полученными из анализа их морфологии.

DOI: 10.1134/S0044451019050122

ются в природе, где скейлинг следует понимать в

статистическом смысле [1, 2, 5, 6]. Примеры фрак-

тальных структур в физике конденсированных сред

1. ВВЕДЕНИЕ

многочисленны: полимеры, коллоидные агрегаты,

Свойства системы существенно зависят от ее раз-

пористые среды, шероховатые поверхности, спино-

мерности. Существует несколько типов размернос-

вые конфигурации в разбавленных магнетиках и

тей: топологическая, метрическая и фрактальная.

т. д. [7-10]. Фрактальная размерность измеряется

Они различным образом используются в физичес-

экспериментально как прямыми методами, основан-

ких теориях и по-разному измеряются. В данной

ными на микроскопической обработке изображений,

работе будут обсуждаться проявление фрактальной

так и в экспериментах по малоугловому рассеянию

размерности в магнитных свойствах наноматериа-

нейтронов, рентгеновского излучения или рассея-

лов и возможности ее надежного измерения из этих

нию света [2, 5, 6, 11, 12]. В последние десятилетия

свойств.

было рассмотрено влияние фрактальной размернос-

Фрактал обычно понимается как структура, ко-

ти в магнитных корреляционных объемах на кри-

торая состоит из самоподобных подструктур, повто-

вые намагничивания и ферромагнитный резонанс

ряющихся во все более мелких масштабах [1, 2]. Де-

в аморфных и наноструктурированных материа-

терминированные фракталы, например, ковер Сер-

лах [13-18]. Это влияние предсказывается с помо-

пинского, хорошо известны. Такие фрактальные

щью скейлинговых соображений в модели случай-

структуры недавно рассматривались для примене-

ной магнитной анизотропии [15,19,20]. В нанострук-

ний в микро- и наноэлектронике [3,4]. Стохастичес-

турированных материалах с целочисленной размер-

кие фрактальные структуры чаще всего наблюда-

ностью достоверность этих предсказаний подтверж-

дена экспериментально [14, 21-25]. С другой сто-

^* E-mail: vlaf80@mail.ru

886

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Влияние фрактальной размерности на кривую намагничивания. . .

роны, количественное соотношение между размер-

ления намагниченности из-за флуктуирующей ло-

ностью и кривой намагничивания уже использо-

кальной оси легкого намагничивания [40-42]. Вели-

валось для экспериментального определения фрак-

чины l_m и 〈K〉 для слабого приложенного поля да-

тальной размерности из кривых намагничивания в

ются в терминах модели случайной магнитной ани-

различных наноструктурированных магнитных ма-

зотропии для l_g < δ:

териалах [26-28]. Нецелочисленная размерность бы-

l_m ∝ δ4/(4-d)/ld/(4-d)g,

(1)

ла оценена с использованием закона приближения

намагниченности к насыщению (ЗПН) в гранули-

〈K〉 ∝ K(l_g/δ)2d/(4-d),

(2)

рованных магнитных пленках вблизи порога пер-

√

коляции, а также в нанопористых магнитных сре-

где δ =

A/K. Здесь A — обменная константа.

дах [26,27]. Строгая микромагнитная теория кривых

Показатели степени в уравнениях (1) и (2) зави-

намагничивания в наномагнетиках с произвольной

сят от фрактальной размерности магнитной струк-

размерностью d магнитных корреляционных объе-

туры. Согласно формуле (2) коэрцитивное поле от

мов или размерностью неоднородностей магнитной

размера зерна зависит как

анизотропии существует только для случаев с цело-

H_c ∝ 〈K〉 ∝ l2d/(4-d)g.

численной размерностью d = 1, 2, 3 [29-33], поэтому

возможность надежного измерения не целочислен-

В эксперименте фрактальная размерность может

ной размерности из кривых намагничивания требу-

быть оценена из показателя в степенном законе

ет отдельного исследования. В данной работе воз-

H_c(l_g). Эта возможность уже использовалась

можность такого измерения продемонстрирована с

для интерпретации некоторых экспериментов

использованием микромагнитных расчетов.

[24, 30, 43, 44].

В аморфном или нанокристаллическом ферро-

магнетике ЗПН определяется нормированной дис-

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

персией (ν_m) поперечных к полю компонент орта

намагниченности m_tr(x) = M_tr(x)/M_s (здесь M_s —

Магнитная микроструктура материала, состоя-

намагниченность насыщения)

щего из обменно-связанных наночастиц со случай-

но ориентированными осями легкого намагничива-

M (H) = M_s(1 - ν_m(H)).

(3)

ния, представляет собой совокупность стохастиче-

Теория для ЗПН, включающая d, была предложе-

ских магнитных доменов или магнитных корреляци-

на в работе [29]. В подходе, используемом в [29],

онных объемов, включающих большое число нано-

размерность d равна кратности интеграла, который

частиц [34]. Константа анизотропии магнитного кор-

√

использовался для вычисления ν_m(H). Таким об-

реляционного объема есть 〈K〉 = K/

N, где N —

разом, нецелая размерность была здесь исключе-

число наночастиц в объеме и K — константа маг-

на. Позже было показано, что фрактальная размер-

нитной анизотропии индивидуальной наночастицы.

ность в ЗПН может быть отнесена как к размерно-

Число N может быть оценено как N = (l_m/l_g)^d, где

сти неоднородности локальной оси легкого намагни-

l_m — магнитная корреляционная длина, l_g — размер

чивания, так и к фрактальной размерности магнит-

зерна (наночастицы, кристаллита) и d — фракталь-

ного корреляционного объема [14, 15, 22].

ная размерность магнитного корреляционного объ-

Скейлинговый подход к магнитным корреляци-

ема. Используя эти оценки и данные для зависимо-

онным объемам (см. (1)) естественно подразумева-

сти l_m = f(l_g, H) [15,35], можно получить зависи-

ет возможность нецелой фрактальной размерности.

мость средней анизотропии магнитного корреляци-

Намагниченность в ансамбле магнитных корреляци-

онного объема от размера зерна и внешнего магнит-

онных объемов можно считать статистически неза-

ного поля 〈K〉 = f(l_g, H). Такое описание объясняет

висимой [15]. В этом случае дисперсию намагничен-

зависимость коэрцитивного поля H_c ∝ l6g, наблю-

ности в выражении (3) можно оценить как

даемую в объемных нанокристаллических сплавах

[21]. Стохастические магнитные домены или магнит-

ν_m = (a 〈K〉/(M_sH))²,

ные корреляционные объемы наблюдаются в нано-

√

кристаллических сплавах [36-39]. В средних и вы-

где a =

1/15 для одноосной и a =

2/105 для ку-

соких полях магнитная микроструктура преобра-

бической симметрии локальной магнитной анизот-

зуется в рябь намагниченности, которая принима-

ропии. В результате было предложено выражение

ет форму слабых периодических изменений направ-

для нормированной дисперсии [45]:

887

С. В. Комогорцев, Р. С. Исхаков, В. А. Фельк

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

l4H

которые были определены клеточным методом (box

ν_m(H) =

δ⁴ 1 + (l_H/l_g)^d

counting, BC) [1, 2, 6] (см. рис. 1). Кроме того, ис-

следован фрактальный кластер в виде ковра Сер-

(aH_a)

(4)

пинского, размерность которого d = ln 8/ ln3 ≈ 1.89

H(4-d)/2(Hd/2 +

)

хорошо известна. Микромагнитное моделирование

Здесь H_a = 2K/M_s — поле локальной магнитной

фрактального кластера проводилось с использо-

анизотропии, Hex = 2A/(Msl2g) — обменное поле,

√

ванием пакета OOMMF [48]. Изображения клас-

l_H =

2A/(M_sH) — длина магнитной корреляции

теров использовались в качестве маски для мик-

в полях H ≪ H_ex. Отметим, что в этом пределе

ромагнитной задачи, где пикселям, заполненным

l_H приобретает физический смысл (l_H ≫ l_g). Суще-

черным цветом, соответствовала намагниченность

ствует переход между двумя степенными режима-

8.6 · 10⁵ А/м, остальные пиксели имели нулевую на-

ми, находящимися выше и ниже H_ex:

магниченность.

Размер ячейки l_g был выбран равным толщине

ν_m(H) = (aH_a)² ×

{

слоя 5 нм. Поскольку нас интересуют магнитные

H-2,

H ≫H_ex,

свойства ансамбля однодоменных наночастиц, раз-

(5)

H-(4-d)/2

H ≪H_ex.

мер ячейки соответствует одному пикселю маски.

Таким образом, намагниченность одной частицы в

В логарифмических осях на зависимости ν_m(H)

кластере однородна. Константа локальной одноос-

они соответствуют двум линейным участкам с раз-

ной магнитной анизотропии каждой ячейки состав-

личными угловыми коэффициентами [15, 46]. Изме-

ляла K = 10⁵ Дж/м³. Оси легкого намагничивания

рение показателя степени, входящего в соотношение

частиц были случайным образом ориентированы.

(5) для H ≪ H_ex, также можно использовать для

Положительная константа обмена A была выбрана в

оценки d. Поскольку для случая нецелой фракталь-

диапазоне от 0.25·10-11 Дж/м до 2·10-11 Дж/м, что-

ной размерности не существует строгой микромаг-

бы обеспечить различные отношения между конку-

нитной теории, мы будем проверять справедливость

рирующими энергиями обмена и анизотропии. Заме-

скейлинговых оценок (2) и (5) с помощью микромаг-

тим, что безразмерное отношение этих энергий мо-

нитного моделирования. Упомянутая во Введении

жет быть выражено через отношение характерных

строгая микромагнитная теория кривых намагни-

масштабов l_g/δ как Kl2g/A = (l_g/δ)² [49, 50], поэто-

чивания в структурах с целочисленной размернос-

му в дальнейшем результаты будут представлены в

тью неоднородностей магнитной анизотропии бы-

зависимости от l_g/δ.

ла развита для континуальной среды в пренебреже-

нии диполь-дипольным взаимодействием. В практи-

ке измерений это пренебрежение может быть оправ-

4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

дано соответствующим выбором формы образца и

ориентации внешнего магнитного поля. В материа-

Чтобы проверить пригодность уравнений (2) и

лах, состоящих из кластеров со сложной морфоло-

(5) для измерения фрактальной размерности клас-

гией, диполь-дипольное взаимодействие может су-

теров, мы рассчитали предельную петлю гистере-

щественно влиять на их свойства, поэтому целью

зиса, делая особый акцент на расчете ее обратимо-

работы является также проверка влияния диполь-

го участка, соответствующего приближению намаг-

дипольного взаимодействия на результаты опреде-

ниченности к состоянию насыщения в области по-

ления фрактальной размерности с помощью выра-

лей много больших коэрцитивного поля (рис. 2). В

жений (2) и (5).

области полей, сравнимых с коэрцитивным полем,

корреляции намагниченности распространяются на

масштабы, значительно превышающие размер час-

3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

тицы (рис. 3). Таким образом, средняя энергия маг-

Плоские фрактальные кластеры для микромаг-

нитной анизотропии магнитного корреляционного

нитных расчетов были получены с использовани-

объема должна содержать информацию о структу-

ем модели диффузионно-лимитируемой агрегации

ре обменно-связанного кластера в пределах данного

(diffusion-limited aggregation, DLA) в пакете Visions

масштаба.

of Chaos v.59.3 [47]. Кластеры DLA, содержащие от

Смену асимптотических зависимостей в ЗПН от

2 · 10⁴ до 7 · 10⁴ частиц, различающихся вероятно-

M_s - M(H) ∝ H^-α до M_s - M(H) ∝ H-2, предска-

стью их прилипания, имеют разные размерности,

зываемую выражением (5), можно представить как

888

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Влияние фрактальной размерности на кривую намагничивания. . .

Рис. 1. Кластеры, используемые для микромагнитных расчетов: (а-г) представляют собой кластеры в DLA-форме: а —

DLA-кластер, выращенный с вероятностью прилипания частицы p = 1; б — p = 0.1; в — p = 0.01; г — p = 0.001; д —

кластер со структурой ковра Серпинского; е — твердотельный пленочный элемент

M/M_s

1.000

0.998

0.996

0.994

-1

-0.2

-0.1

0.1

100

Рис. 3. Микромагнитная структура в одной из ветвей DLA-

H, Тл

кластера а (см. вставку) в состоянии M/Ms = 0 и H = H

Рис. 2. Петля гистерезиса фрактального кластера, на при-

мере DLA-кластера а. На вставке показана область при-

ближения намагниченности к состоянию насыщения

описывающем небольшой участок кривой M(H)

вблизи некоторого поля H. Такой подход приме-

нялся ранее для анализа теоретических выражений

изменение показателя степени α(H) в эмпирическом

ЗПН в тонких магнитных пленках [51] и в обработ-

выражении

ке экспериментальных данных [45,52,53]. Величина

M_s - M(H) ∝ H^-α,

d для различных полей H (соответствующих цен-

889

С. В. Комогорцев, Р. С. Исхаков, В. А. Фельк

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Непрерывная пленка

1.6

Ковер

Серпинского

0.8

0.1

l/l_g

H g

Рис. 4. Фрактальная размерность, полученная из при-

Рис. 5. (В цвете онлайн) Фрактальная размерность d плос-

ближения намагниченности к состоянию насыщения для

ких магнитных DLA-кластеров: большие символы — дан-

непрерывной магнитной пленки и кластера «Ковер Сер-

ные, полученные BC-методом; маленькие символы — дан-

пинского»

ные из приближения намагниченности к состоянию насы-

щения: синим звездочкам соответствует кластер а; зеле-

ные ромбы — б; оранжевые квадраты — в; красные тре-

тру участка от H - ΔH/2 до H + ΔH/2) согласно

угольники — г

(4) рассчитана из модельных кривых приближения

намагниченности к насыщению как

Фрактальную размерность кластера мож-

d = 4 - 2Δln(1 - M/M_s)/Δln(H).

но определить из зависимости коэрцитивного

поля от приведенного размера частицы l_g/δ, ис-

На рис. 4 и 5 фрактальная размерность представ-

пользуя уравнение (2), из которого следует, что

лена в зависимости соответственно от l_H /l_g и l/l_g

H_c

∝ lgd/(4-d). Величина H_c, определенная из

(l — размер области, по которой вычисляется фрак-

рассчитанных петель гистерезиса для различных

тальная размерность в методе BC), что позволяет

отношений l_g/δ меньших единицы, действительно

нагляднее рассмотреть ее физический смысл и со-

демонстрирует степенную корреляцию этих па-

поставить с результатами определения размерности

раметров, H_c

∝ (l_g/δ)^β , в случае фрактальных

кластера прямым BC-методом (рис. 5). Во-первых,

кластеров с различной размерностью (рис. 6).

рис. 4 показывает, что в области масштабов l_H , пре-

вышающих размер частицы l_g, фрактальная раз-

Рассчитанная таким образом фрактальная раз-

мерность переходит в режим, где в определенном

мерность хорошо согласуется с размерностью, рас-

диапазоне масштабов усреднения она практически

считанной с помощью BC-метода для случая, ко-

не зависит от величины этого масштаба. Это означа-

гда диполь-дипольное взаимодействие не учитыва-

ет статистическую масштабную инвариантность ис-

ется (рис. 7). Величина фрактальной размерности

следуемой магнитной структуры для данного диа-

d_mag оцененная из рис. 6б, содержащего резуль-

пазона размеров, а значит, доказывает ее фракталь-

таты расчетов размерных зависимостей коэрцитив-

ную природу. Величину d, соответствующую обла-

ного поля с учетом диполь-дипольного взаимодей-

сти плато на рис. 4 и 5, следует понимать как оцен-

ствия, не демонстрирует согласия с d_bc, получен-

ку размерности магнитного корреляционного объе-

ной BC-методом. Для разных кластеров результа-

ма (магнитной неоднородности). Во-вторых, видно,

ты таковы: d_mag/dbc = (0.90 ± 0.03)/(1.54 ± 0.02)

что в диапазоне масштабов 1 < l_H /l_g < 2.5 вели-

для кластера a; (0.92 ± 0.03)/(1.63 ± 0.02) — клас-

чины фрактальной размерности, определенные из

тер б; (1.23± 0.03)/(1.77± 0.03) — кластер в; (2.01 ±

кривых ЗПН, хорошо согласуются с данными, полу-

± 0.03)/(1.91 ± 0.02) — кластер г (см. рис. 1). Для

ченными BC-методом (рис. 5). Фрактальная размер-

кластеров а и б фрактальная размерность d_mag

ность пленки получилась равной 2 (см. рис. 4), а для

меньше физически осмысленного ограничения d =

ковра Серпинского — d = 1.81 ± 0.02, что несколько

= 1. Некоторое согласие величин для наиболее плот-

ниже теоретического значения d = ln 8/ ln 3 ≈ 1.89.

ного кластера г-типа может быть связано с тем, что

890

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Влияние фрактальной размерности на кривую намагничивания. . .

H_c, мТл

d_mag

0.5

1.0

l_g/

H_c, мТл

Рис.

7. Корреляция фрактальной размерности в маг-

нитном кластере, рассчитанная с использованием BC-ме-

100

тода d_bc с фрактальной размерностью, вычисленной по

магнитным свойствам dmag: сплошные символы — дан-

ные из анализа кривой приближения намагниченности к

состоянию насыщения, светлые символы — из размер-

ной зависимости коэрцитивного поля, треугольники (без

диполь-дипольного взаимодействия) и кружки (с диполь-

дипольным взаимодействием) соответствуют DLA-класте-

рам, звездочки — ковер Серпинского, квадраты — сплош-

ная пленка

меренной величиной d_mag = (2.01 ± 0.03). Оконча-

тельный результат (рис. 7) показывает, что фрак-

0.25

0.50

1.00

тальная размерность кластера, полученная с помо-

l_g/

щью метода приближения намагниченности к насы-

щению, находится в удовлетворительном согласии

Рис. 6. Зависимость коэрцитивного поля от размера зерна

с фрактальной размерностью этого кластера, опре-

(корреляционного радиуса локальной оси легкого намагни-

деляемой BC-методом. Важным результатом явля-

чивания) без учета (а) и с учетом (б) диполь-дипольного

ется то, что это согласие наблюдается не только

взаимодействия: сплошные квадраты — сплошная магнит-

без учета диполь-дипольного взаимодействия, но и

ная пленка, светлые символы — данные для плоских маг-

в том случае, когда такой учет был выполнен. Та-

нитных DLA-кластеров, кружки — кластер, выращенный

ким образом, метод измерения фрактальной раз-

при вероятности прилипания частицы p = 1, квадраты —

p = 0.1, треугольники — p = 0.01, звездочки — p = 0.001

мерности из приближения намагниченности к на-

сыщению, предложенный в теории, не учитываю-

щей диполь-дипольное взаимодействие, позволяет

его структура представляет собой сплошную плен-

получать разумные оценки d даже в случае та-

ких сложных объектов, как фрактальные магнит-

ку с незначительной концентрацией пор. Этот слу-

чай подробно рассмотрен в работе [54], где показа-

ные кластеры. Экспериментальные величины неце-

но, что для пор малого диаметра, l_g/δ < 1, возму-

лых фрактальных размерностей для наногранули-

рованных пленок и нанопористых сред, оцененные

щение в магнитной микроструктуре, вносимое раз-

магничивающими полями поры, практически исче-

с использованием этого метода ранее [29,30], теперь

получают дополнительное подтверждение со сторо-

зает. Такая пористая среда в магнитном отноше-

нии должна вести себя как бездефектная и сплош-

ны численного эксперимента.

ная. В нашем случае это должно приводить к на-

Отметим, что достоверные экспериментальные

блюдению d_mag = 2, что вполне согласуется с из-

оценки фрактальной размерности с помощью ме-

891

С. В. Комогорцев, Р. С. Исхаков, В. А. Фельк

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

тода приближения намагниченности к насыщению

S. H. Liu, Sol. St. Phys. 39, 207 (1986).

требуют измерения намагниченности в высоких по-

T. Nakayama and K. Yakubo, Fractal Concepts in

лях (от 0.1 Тл до 10 Тл) с достаточно высокой точ-

Condensed Matter Physics, Springer, Berlin, Heidel-

ностью (относительная погрешность не ниже 10-3)

berg (2003).

[15, 45]. Современные вибрационные и СКВИД-маг-

нитометры, как правило, удовлетворяют таким тре-

A. Bunde and S. Havlin, Fractals and Disordered

бованиям. Примеры успешного применения данно-

Systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1996).

го метода на практике можно найти в работах

Б. М. Смирнов, УФН 149, 177 (1986).

[15, 26, 27].

S. V. Karpov, V. S. Gerasimov, I. L. Isaev, and

V. A. Markel, Phys. Rev. B 72, 205425 (2005).

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

10.

T. A. Witten and L. M. Sander, Phys. Rev. Lett. 47,

Численная оценка достоверности эксперимен-

1400 (1981).

тальных подходов к определению размерности

11.

M. Balasoiu, M. V. Avdeev, V. L. Aksenov, D. Hase-

магнитной микроструктуры по магнитным свой-

gan, V. M. Garamus, A. Schreyer, D. Bica, and L. Ve-

ствам на примере плоских фрактальных кластеров

kas, J. Magn. Magn. Mater. 300, e225 (2006).

однодоменных частиц в основном состоянии по-

казала, что метод определения размерности из

12.

A. V. Nagornyi, V. I. Petrenko, M. V. Avdeev,

кривых приближения намагниченности к насыще-

O. V. Yelenich, S. O. Solopan, A. G. Belous,

A. Yu. Gruzinov, O. I. Ivankov, and L. A. Bulavin, J.

нию, предложенный ранее для таких систем, может

Magn. Magn. Mater. 431, 16 (2017).

рассматриваться как достоверный. Как оказалось,

метод размерной зависимости коэрцитивного поля

13.

G. Herzer, Mater. Sci. Eng. A 133, 1 (1991).

в физически естественной ситуации, учитывающей

14.

Р. С. Исхаков, С. В. Комогорцев, А. Д. Балаев,

диполь-дипольное взаимодействие между наночас-

Л. А. Чеканова, Письма в ЖЭТФ 72, 440 (2000).

тицами, дает оценки размерности кластера, сильно

расходящиеся с оценками, полученными прямым

15.

R. S. Iskhakov and S. V. Komogortsev, Phys. Met.

BC-методом. Последнее связано с существенным

Metallogr. 112, 666 (2011).

влиянием диполь-дипольного взаимодействия меж-

16.

V. A. Ignatchenko and V. A. Felk, Phys. Rev. B 71,

ду наночастицами фрактального кластера в малых

094417 (2005).

полях.

17.

V. A. Ignatchenko and V. A. Felk, Phys. Rev. B 74,

Финансирование. Исследование выполнено

174415 (2006).

при финансовой поддержке Российского фонда

18.

V. A. Ignatchenko and V. A. Felk, Phys. Met. Metal-

фундаментальных исследований, Правительства

logr. 100, Suppl. 1, S63 (2005).

Красноярского края, Красноярского краевого фон-

да науки в рамках научного проекта № 18-42-240006

19.

G. Herzer, IEEE Trans. Magn. 25, 3327 (1989).

«Наноматериалы с магнитными свойствами,

20.

R. Skomski, J. Phys. Condens. Matter 15, R841

определяемыми топологическими особенностями

(2003).

наноструктуры».

21.

G. Herzer, Acta Mater. 61, 718 (2013).

22.

Р. С. Исхаков, В. А. Игнатченко, С. В. Комо-

ЛИТЕРАТУРА

горцев, А. Д. Балаев, Письма в ЖЭТФ 78, 1142

1. B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature,

(2003).

W. H. Freeman and Co, US (1982).

23.

Р. С. Исхаков, С. В. Комогорцев, А. Д. Балаев,

2. J. F. Gouyet, Physics and Fractal Structures, Sprin-

А. В. Окотруб, А. Г. Кудашов, В. Л. Кузнецов,

ger, New York (1996).

Ю. В. Бутенко, Письма в ЖЭТФ 78, 271 (2003).

3. C. Swoboda, M. Martens, and G. Meier, Phys. Rev.

24.

R. S. Iskhakov, S. V. Komogortsev, A. D. Balaev, and

B 91, 064416 (2015).

L. A. Chekanova, Tech. Phys. Lett. 28, 725 (2002).

4. P. Monceau and J.-C. S. Levy, Phys. Lett. A 374,

25.

G. S. Kraynova, A. M. Frolov, and T. A. Pisarenko,

1872 (2010).

Adv. Mater. Res. 718-720, 85 (2013).

892

ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019

Влияние фрактальной размерности на кривую намагничивания. . .

26.

Р. С. Исхаков, С. В. Комогорцев, Б. А. Денисова,

39.

I. R. McFadyen and I. A. Beardsley, J. Appl. Phys.

Ю. Е. Калинин, А. В. Ситников, Письма в ЖЭТФ

67, 5540 (1990).

86, 534 (2007).

40.

В. И. Петров, Г. В. Спивак, О. П. Павлюченко,

27.

S. V. Komogortsev, R. S. Iskhakov, A. A. Zimin,

УФН 106, 229 (1972).

E. Y. Filatov, S. V. Korenev, Y. V. Shubin, N. A. Chi-

41.

T. Suzuki, Phys. Stat. Sol. 37, 101 (1970).

zhik, G. Y. Yurkin, and E. V. Eremin, J. Magn.

Magn. Mater. 401, 236 (2016).

42.

H. W. Fuller and M. E. Hale, J. Appl. Phys. 31, 238

(1960).

28.

R. S. Iskhakov, S. V. Komogortsev, A. D. Balaev,

and A. A. Gavriliuk, J. Magn. Magn. Mater. 374,

43.

J. Echigoya, J. Mater. Sci. 40, 3209 (2005).

423 (2015).

44.

S. Thomas, S. H. Al-Harthi, D. Sakthikumar,

I. A. Al-Omari, R. V. Ramanujan, Y. Yoshida, and

29.

V. A. Ignatchenko and R. S. Iskhakov, Fiz. Met. Met.

M. R. Anantharaman, J. Phys. D. Appl. Phys. 41,

73, 602 (1992).

155009 (2008).

30.

E. M. Chudnovsky, W. M. Saslow, and R. A. Serota,

45.

S. V. Komogortsev and R. S. Iskhakov, J. Magn.

Phys. Rev. B 33, 251 (1986).

Magn. Mater. 440, 213 (2017).

31.

D. A. Garanin, E. M. Chudnovsky, and T. Proctor,

46.

P. Garoche and A. P. Malozemoff, Phys. Rev. B 29,

Phys. Rev. B 88, 224418 (2013).

226 (1984).

32.

V. A. Ignatchenko and R. S. Iskhakov, Izv. Akad.

47.

J. Rampe, Visions of Chaos v.59.3, http://softology.

Nauk SSSR, Ser. Fiz. 44, 1434 (1980).

com.au/voc.htm (2016).

48.

M. J. Donahue and D. G. Porter, 1999 OOMMF

33.

В. А. Игнатченко, Р. С. Исхаков, Г. В. Попов,

User’s Guide, Version

1.0, Interagency Report

ЖЭТФ 82, 1518 (1982).

NISTIR 6376 (2004).

34.

G. Herzer, Handb. Magn. Adv. Magn. Mater., ed. by

49.

С. В. Комогорцев, В. А. Фельк, Р. С. Исхаков,

H. Kronmuller and S. S. P. Parkin, John Wiley and

Г. В. Шадрина, ЖЭТФ 152, 379 (2017).

Sons (2007).

50.

S. V. Komogortsev and R. S. Iskhakov, Phys. Sol. St.

35.

R. S. Iskhakov and S. V. Komogortsev, Bull. Russ.

47, 480 (2005).

Acad. Sci. Phys. 71, 1620 (2007).

51.

W. Maass, U. Krey, and H. Hoffmann, Phys. Stat.

36.

A. Michels, R. N. Viswanath, J. G. Barker, R. Birrin-

Sol. 122, K137 (1984).

ger, and J. Weissmuller, Phys. Rev. Lett. 91, 267204

52.

V. Dupuis, J. P. Perez, J. Tuaillon, V. Paillard, P. Me-

(2003).

linon, A. Perez, B. Barbara, L. Thomas, S. Fayeulle,

and J. M. Gray, J. Appl. Phys, 76, 6676 (1994).

37.

A. Grob, S. Saranu, U. Herr, A. Michels, R. N. Viswa-

nath, and J. Weissmuller, Phys. Stat. Sol. Appl. Res.

53.

L. Thomas, J. Tuaillon, J. P. Perez, V. Dupuis,

201, 3354 (2004).

A. Perez, and B. Barbara, J. Magn. Magn. Mater.

140-144, 437 (1995).

38.

Y. Gao, D. Shindo, T. Bitoh, and A. Makino, Phys.

Rev. B 67, 172409 (2003).

54.

E. Schlomann, J. Appl. Phys. 38, 5027 (1967).

893