ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 5, стр. 947-955
© 2019
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДИНАМИКУ ДВИЖЕНИЯ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В КЛАСТЕРНЫХ СИСТЕМАХ
О. С. Ваулина*, Э. А. Саметов
Объединенный институт высоких температур Российской академии наук
125412, Москва, Россия
Московский физико-технический институт
141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия
Поступила в редакцию 20 ноября 2018 г.,
после переработки 9 декабря 2018 г.
Принята к публикации 21 декабря 2018 г.
Представлены результаты численного и аналитического исследований влияния постоянного магнитного
поля на динамику теплового движения заряженных частиц в изотропной электростатической ловушке.
Моделирование выполнялось для кластерных систем частиц с кулоновским взаимодействием в широ-
ком диапазоне их параметров. Выполнен анализ спектральной плотности смещений частиц и процессов
массопереноса в моделируемых ансамблях.
DOI: 10.1134/S004445101905016X
менных методов переработки отработанного ядерно-
го топлива (ОЯТ) и радиоактивных отходов [27-31].
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе представлены аналитиче-
Тепловое (броуновское) движение в системах
взаимодействующих частиц широко распростране-
ские и численные исследования спектральной плот-
ности тепловых смещений и процессов массопере-
но в природе [1-6]. Особый интерес вызывает влия-
носа для ограниченных ансамблей заряженных час-
ние теплового движения заряженных частиц на их
тиц в электростатической ловушке под воздействи-
динамику во внешних магнитных и электрических
ем постоянного магнитного поля. Отметим, что в
полях [7-12].
обычных тлеющих разрядах (как переменного, так
Исследования теплового движения взаимодейст-
и постоянного токов) в отсутствие магнитного по-
вующих пылевых частиц в протяженных и ограни-
ченных ансамблях, формирующихся в газоразряд-
ля, B = 0, в центре газоразрядных камер наблю-
дается некоторое превышение концентрации ионов
ной плазме без магнитного поля, представлены в
различных работах [13-19]. Эксперименты по изу-
над электронной концентрацией [32]. Данное обсто-
ятельство приводит к формированию эффективных
чению динамики пылевых частиц в магнитном по-
ловушек для отрицательно заряженных частиц (на-
ле описаны в работах [20-23]. Влияние теплового
пример, для частиц пыли [5, 6, 33]). В плазме с маг-
движения ограниченного облака заряженных час-
нитным полем, B = 0, в центре газоразрядной ка-
тиц (N ≤ 500) на их динамику в постоянных элект-
меры ситуация может быть обратной (за счет «за-
рических и магнитных полях недавно исследовалось
магничивания» электронов плазмы), т. е. могут су-
численно [11, 12].
ществовать условия для удержания положительно
Значительный рост интереса к изучению дина-
заряженных частиц и/или ионов. Так, например,
мики заряженных частиц во внешних электромаг-
наличие электростатических ловушек для положи-
нитных полях, наблюдаемый в настоящее время, по
тельно заряженных ионов в установках по разделе-
большей части связан с проблемами эффективности
нию компонентов ОЯТ может возникать за счет «за-
энергетических установок для управляемого термо-
магничивания» электронов на осях камер разрядов
ядерного синтеза [24-26], а также с развитием плаз-
зеркального (отражательного) типа, которые обыч-
* E-mail: olga.vaulina@bk.ru
но используются для данных целей [27-31].
947
12*
О. С. Ваулина, Э. А. Саметов
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
√
√
В разд. 2 работы представлены уравнения дви-
ωB + νD2/
2
ωB - νD2/
2
Ω1 =
,
Ω2 =
,
жения заряженной броуновской частицы в поле
2
2
электростатической ловушки, а также аналитичес-
кие приближения для ее спектра колебаний в от-
⎡((
)1/2
)2
)2)2
)2
(ωB
(ωt
(ωB
сутствие и при наличии магнитного поля. В разд. 3
D1 =⎣
1-
-4
+4
+
ν
ν
ν
приводятся результаты численного моделирования
для систем, состоящих до 1000 заряженных частиц,
⎤
1/2
)2
)
взаимодействующих по закону Кулона. Вычисления
(ωB
(ωt
+ 1-
-4
2⎦
,
(6a)
выполнялись для частиц различных масс M и за-
ν
ν
рядов Q в широком диапазоне температур T и при
⎡((
)1/2
различных коэффициентах трения частиц ν за счет
)2
)2)2
)2
(ωB
(ωt
(ωB
D2 =⎣
1-
-4
+4
-
их столкновений с нейтралами буферного газа.
ν
ν
ν
⎤
1/2
)2
)
(ωB
(ωt
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2⎦
− 1+
+4
(6b)
ν
ν
Уравнения движения для одной частицы массой
M и зарядом Q в постоянном электрическом поле
Средний квадрат отклонений 〈y(t)2〉 частицы в
ловушки E = [Ex, Ey, Ez] и в магнитном поле с ин-
направлении y от ее начального положения и авто-
дукцией B = By (направленном по оси y) под воз-
корреляционная функция 〈y(t∗)y(t∗ +t)〉 могут быть
действием случайной силы Fb = [Fbx, Fby , Fbz ], кото-
представлены в форме [14, 15, 34, 35]
рая является источником стохастической (тепловой)
[
(
)
энергии частиц, могут быть представлены в виде
2T
νt
〈y(t)2〉 =
1 - exp
-
×
Mω2t
2
dVy
Fby
(
)]
= -νVy - ω2ty +
,
(1)
sin(νtψ)
dt
M
× cos(νtψ) +
,
(7)
2ψ
dVx
Fbx
= -νVx - ω2tx + ωBVz +
,
(2)
dt
M
[ (
)
dVz
Fbz
2T
νt
= -νVz - ω2tz - ωBVx +
(3)
〈y(t∗)y(t∗ + t)〉 =
exp
-
×
dt
M
Mω2t
2
(
)]
sin(νtψ)
Здесь y, x, z — смещения частицы от ее равновесного
× cos(νtψ) +
(8)
2ψ
положения, Vy = dy/dt, Vx = dx/dt, Vz = dz/dt, ν —
коэффициент трения заряженных частиц за счет
Здесь и далее T — температура частиц в энергети-
их столкновений с нейтралами окружающего газа,
ческих единицах, ψ = (4ξ2 - 1)1/2/2, ξ = ωt/ν, а
ωt = (Qα/M)1/2 — характерная частота ловушки,
угловые скобки 〈 〉 обозначают усреднение по всем
ωB = QB/M — циклотронная частота, α — величи-
отрезкам времени, равным t [1-4,14,15,34,35]. При
на градиента внешнего электрического поля E.
этом при t → 0: 〈y(t∗)2〉 = 2T/(Mω2t), 〈y(t)2〉 = 0; а
Корни характеристического уравнения при ωB =
при t → ∞: 〈y(t∗)2〉 = 0 и 〈y(t)2〉 = 2T/(Mω2t).
= 0 для (1) имеют хорошо известный вид:
Спектральная плотность случайного процесса
является косинус-преобразованием Фурье для со-
(
)1/2
ν
ν2
ответствующей автокорреляционной функции [36].
λ∗1,2 = -
±i ω2t -
(4)
2
4
Таким образом, спектральная плотность Ge(ω) для
случайных смещений частицы в ловушке в направ-
Корни характеристического уравнения для си-
лении y (ωB = 0), т. е. спектральная плотность клас-
стемы (2), (3) можно записать в виде
сического затухающего осциллятора, может быть
записана как [35,37]
λ1,2 = -Ψ1 ± iΩ1,
(5a)
λ3,4 = -Ψ2 ± iΩ2,
(5b)
2T
νω2t
Ge(ω) =
(9)
4
t
Mω2
t
ω4 + (ν2 - 2ω2t)ω2 + ω
где
Рассмотрим решения задачи для системы урав-
(
√ )
(
√ )
нений (2), (3) (при ωB = 0). Средний квадрат откло-
ν
1+D1/
2
ν
1-D1/
2
Ψ1 =
,
Ψ2 =
,
нений, 〈x(t)2〉 ≡ 〈z(t)2〉, частицы для этой системы
2
2
948
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
Влияние магнитного поля на динамику движения заряженных частиц. . .
в направлениях x и z от ее положения равновесия
f*
1.2
и автокорреляционная функция, 〈x(t∗)x(t∗ + t)〉 ≡
≡ 〈z(t∗)z(t∗ + t)〉, при условии (Ψ1,2)2 ≪ (Ω1,2)2 мо-
/
= 61.4
гут быть представлены как
1.0
(
[
(
)
1
2T
ν1t
0.8
〈x(t)2〉 =
B1
1 - exp
-
×
Mω2t
2
(
)]
sin(ν1tψ1)
0.6
× cos(ν1tψ1) +
+
2ψ1
3
2
[
(
)
ν2t
0.4
+ B2 1 - exp
-
×
2
3
(
)])
0.2
sin(ν2tψ2)
× cos(ν2tψ2) +
,
(10)
2ψ2
0
51
56
61
66
71
(
[ (
)
/
2T
ν1t
〈x(t∗)x(t∗ + t)〉 =
B1
exp
-
×
Mω2t
2
Рис. 1. Нормированные спектральные плотности f∗(ω) =
(
)]
= G(ω)/(2T /Mω2tν) (12) при ωt/ν
= 61.4 для различных
sin(ν1tψ1)
× cos(ν1tψ1) +
+
соотношений ωB /ν: 0.015 (1), 1.5 (2), 15 (3). Символами
2ψ1
[
(
)
показаны функции f∗(ω) для ωt/ν= 61.4 при ωB = 0 (9)
ν2t
+ B2 exp
-
×
2
(
)])
sin(ν2tψ2)
Для анализа физических свойств однородных
× cos(ν2tψ2) +
,
(11)
2ψ2
структур заряженных частиц (которые можно ха-
рактеризовать постоянной концентрацией n) обыч-
где
но используется параметр неидеальности Γ = Q2 ×
1/2
× n1/3/T, отражающий отношение энергии взаимо-
(4ξ21-1)
ω1
(4ξ22-1)1/2
ψ1 =
,
ξ1 =
,
ψ2 =
,
действия между частицами системы к их темпера-
2
ν1
2
туре. При этом в линейном электрическом поле кон-
ω2
2T
центрация частиц n может быть получена из уравне-
ξ2 =
,
〈x(t∗)2〉 ≡ 〈z(t∗)2〉 =
ν2
Mω2
t
ния Пуассона: n= 3α/(4πQ), и, соответственно, для
Здесь
среднего межчастичного расстояния имеет место со-
отношение lp = (4πQ/3α)1/3 [35]. Для оценки радиу-
ν1 = Ψ1, ν2 = Ψ2, ω1 = (Ψ21 + Ω21)1/2,
са ограниченной структуры в первом приближении
√
можно использовать соотношение R= (3N/4πn)1/3,
2 (ω2t - ω22)
где N — число частиц. Реальный (эффективный) ра-
ω2 = (Ψ22 + Ω22)1/2, B1 =
,
D2ωBν
диус ансамбля будет возрастать с ростом темпера-
√
2 (ω21 - ω2t)
туры частиц [35].
B2 =
D2ωBν
В заключение данного раздела следует отметить,
что уравнения типа (1)-(3) могут использоваться
При этом спектральная плотность Gem(ω) для
для анализа движения центра масс любого огра-
случайных смещений частицы в направлениях x
ниченного ансамбля частиц с попарным взаимодей-
и/или z в постоянном магнитном поле имеет вид
ствием, а также для отдельной частицы в системе,
[
состоящей из N частиц, в том случае, когда влияни-
2T
B1ν1ω21
Gem(ω) =
+
ем межчастичного взаимодействия можно пренеб-
Mω2
t
ω4 + (ν21 - 2ω21)ω2 + ω4
1
]
речь (Γ ≪ 1).
B2ν2ω22
+
(12)
ω4 + (ν22 - 2ω22)ω2 + ω4
2
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО
При ωB → 0 уравнения (10)-(12) переходят в со-
МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
отношения (7)-(9). Иллюстрация зависимости спек-
тральной плотности смещений G(ω) ≡ Gem(ω) от
Численное моделирование динамики систем
ω/ν для различных ωB/ν представлена на рис. 1.
заряженных частиц в электростатической ловушке
949
О. С. Ваулина, Э. А. Саметов
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
g
частиц равной n
= 3α/(4πQ). Легко увидеть, что
первый пик функций g(l) для Γ ≥ 0.1 хорошо со-
2.0
ответствует величине lp = (4πQ/3α)1/3, полученной
в приближении однородной системы, а для оценки
радиуса неидеальных систем может быть использо-
1.5
1
вано соотношение R
= (3N/4πn)1/3. Следует под-
черкнуть, что перечисленные выше характеристики
(〈(Δx)2〉, g(l), lp, R) не зависели от величины индук-
ции магнитного поля B.
1.0
Численные исследования показали, что вне за-
2
висимости от параметра неидеальности Γ и числа
3
частиц N в моделируемых ансамблях спектральные
0.5
плотности смещений их центра масс хорошо соот-
4
ветствуют предлагаемым аналитическим соотноше-
ниям (9), (12).
Нормированные спектральные
плотности
0
2
4
6
8
10
f∗(ω)
= NG(ω)/(2T/Mω2tν), полученные для
l/lp
различных параметров задачи (ωt/ν, ωB/ν, Γ, N),
а также аналитические решения (9), (12) показаны
Рис. 2. Парная корреляционная функция g(l/lp) для ан-
самблей из N
= 500 частиц с разными значениями
на рис. 3, 4. (Вычисления спектральной плотно-
параметра Γ:
90
(1),
9
(2),
0.9
(3),
0.09
(4). Здесь
сти проводились на основе численных расчетов
lp= (4πQ/3α)1/3
смещений x(t), y(t) и z(t) при помощи процедуры
«N-D fast Fourier transform» в пакете прикладных
выполнялось методом молекулярной динамики Лан-
программ MATLAB.)
жевена. Расчеты проводились для ансамблей, состо-
Следует отметить, что величина (Ψ1,2)2
≪
ящих из N = 50, 500, 1000 частиц. Техника модели-
≪ (Ω1,2)2 для ωB/ν = 1.5, ωt/ν = 6.14 (см. рис. 4а),
рования подробно описана в работах [5,6]. Шаг инте-
а (Ψ1,2)2
= 0.25(Ω1,2)2 для ωB/ν
= 1.5, ωt/ν
= 1
грирования составлял от Δt= (40 max[ωt, ωB, ν])-1
(рис. 4б). Тем не менее для обоих случаев полу-
до Δt
= (100 max[ωt, ωB, ν])-1 в зависимости от
чены хорошие совпадения между численными и
начальных условий задачи. Время расчетов tc
аналитическими результатами.
после установления равновесия в моделируемых
Численные исследования также показали, что
системах варьировалось от ∼
103/ min[ωt, ν] до
отклонения формы спектральных распределений
∼ 104/ min[ωt, ν].
для отдельных частиц ансамбля от аппроксимиру-
Расчеты проводились для систем частиц с куло-
ющих функций (9), (12) наблюдаются при Γ > 0.1.
новским взаимодействием в широком диапазоне их
С ростом величины Γ характерная частота спектра
параметров неидеальности: от Γ ∼ 0.1 до Γ ∼ 100.
смещается в сторону меньших частот относитель-
Значение параметра ξ = ωt/ν, варьировалось приб-
но частоты колебаний центра масс системы как для
лизительно от 1 до 70, отношение ωB/ν — от 0.25
смещений частиц вдоль магнитного поля (ωB = 0)
до 25.
[35] (см. рис. 5), так и для смещений в плоско-
Во всех рассмотренных случаях моделируемые
сти, ортогональной магнитному полю (ωB/ν = 0)
системы являлись устойчивыми. Температура час-
(см. рис. 6). Можно предположить, что данное обс-
тиц не отличалась от заданной, а их функции рас-
тоятельство связано с уменьшением коэффициента
пределения по скоростям соответствовали распреде-
диффузии частиц с ростом параметра Γ, которое, в
лению Максвелла. При этом при t → ∞ значения
свою очередь, происходит за счет роста эффектив-
среднеквадратичного смещения центра масс систе-
ной диссипации в сильно коррелированных систе-
мы от его начального положения составляли 〈x2〉=
мах [14, 15, 35].
= 〈y2〉 = 〈z2〉 = 2T/(NMω2t).
Отношения среднеквадратичных отклонений,
Парные корреляционные функции g(l) для ан-
деленные на время (Dxz
= (〈Δx2〉 + 〈Δz2〉)/4t,
самблей из N = 500 частиц с различными парамет-
Dy = 〈Δy2〉/2t), к величине коэффициента диф-
рами Γ показаны на рис. 2. В качестве нормиров-
фузии невзаимодействующих частиц в идеальных
ки величины g(l), представленной на рис. 2, исполь-
системах, Do = T/νM, в зависимости от νt для
зовалось предположение однородной концентрации
систем с различными параметрами ωt/ν, N, Γ,
950
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
Влияние магнитного поля на динамику движения заряженных частиц. . .
f*
f*
2.0
2.5
/
= 6.14
а
б
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
/
/
Рис. 3. Нормированные спектральные плотности, f∗(ω) = NG(ω)/(2T /Mω2tν), для центра масс системы частиц при их
смещениях вдоль магнитного поля (ωB = 0), полученные путем численного моделирования (серые линии) и из аналити-
ческого решения задачи (9) (черные линии), для ωt/ν= 6.14, N = 50, Γ = 90 (а) и ωt/ν= 1, N = 1000, Γ = 45 (б)
f*
f*
1.2
/
= 6.14
4.0
а
б
0.8
3.0
2.0
0.4
1.0
0
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
0
1.0
2.0
3.0
/
/
Рис. 4. Нормированные спектральные плотности f∗(ω) для центра масс системы частиц при их смещениях в плоско-
сти, ортогональной магнитному полю (ωB /ν
= 1.5), полученные путем численного моделирования (серые линии) и из
аналитического решения задачи (12) (черные линии), для ωt/ν
= 6.14, N = 50, Γ = 90 (а) и ωt/ν
= 1, N = 1000,
Γ = 45 (б)
ωB/ν показаны на рис. 7 для смещений частиц в
блюдения t. С ростом времени (с ростом νt) зна-
направлении магнитного поля (y) и в плоскости,
чения 〈x2〉
= 〈y2〉
= 〈z2〉 стремились к постоян-
ортогональной магнитному полю [x; z].
ной величине, примерно равной R2/3; здесь R =
= (3N/4πn)1/3, а n = 3α/(4πQ).
Отметим, что на начальных этапах наблюдения
(при νt > 0.75) режим движения частиц был близок
При этом длительность участков с динамикой
к диффузионному, т. е. значения 〈x2〉= 〈y2〉= 〈z2〉
отдельных частиц, близкой к диффузионному ре-
были практически пропорциональны времени на-
жиму движения, а также время выхода функций
951
О. С. Ваулина, Э. А. Саметов
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
f*
f*
2.0
80
а
б
1.5
60
/
= 6.14
1.0
40
0.5
20
0
2
4
6
8
0
1
2
3
/
/
Рис. 5. Нормированные спектральные плотности f∗(ω) для отдельных частиц ансамбля (серые линии), состоящего из
N = 50 частиц, при их смещениях вдоль магнитного поля (ωB = 0) при ωt/ν
= 6.14 и разных значениях параметра
Γ = 0.2 (а), 4.5 (б). Черными линиями показаны аналитические функции для центра масс системы
f*
f*
1.1
60
б
а
50
0.9
/
= 6.14
40
0.7
30
0.5
20
0.3
10
0.1
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
/
/
Рис. 6. Нормированные спектральные плотности f∗(ω) для отдельных частиц ансамбля (серые линии), состоящего из
N = 50 частиц, при их смещениях в плоскости, ортогональной магнитному полю (ωB/ν = 1.5), при ωt/ν = 6.14 и разных
значениях параметра Γ = 0.2 (а), 4.5 (б). Черными линиями показаны аналитические функции для центра масс системы
Dxz/Do и Dy/Do к своему постоянному значению
С ростом параметра Γ величина отношений
увеличивались с ростом числа частиц N и вели-
Dxz/Do и Dy/Do для диффузионного режима
чины параметра Γ (см. рис. 7б,г). Первое обстоя-
движения частиц незначительно уменьшалась (см.
тельство отражает влияние размера системы, R
=
рис. 7а,б), а при росте ωB величина Dxz умень-
= (3N/4πn)1/3, на время достижения отдельной час-
шалась, а значение Dy оставалось практически
тицей ее границ, второе определяется влиянием тем-
неизменным (см. рис.
7в). Последнее обстоя-
пературы частиц на скорость их теплового движе-
тельство определяется отношением характерных
ния.
частот ωB/ωt для анализируемых систем. Так, при
952
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
Влияние магнитного поля на динамику движения заряженных частиц. . .
D*
D*
1
1
а
б
R /t2
R /t2
10-1
10-1
10-2
10-2
10-3
10-3
10-1
1
10
102
103
10-1
1
10
102
103
t
t
D*
D*
1
1
г
в
R /t2
R /t2
10-1
10-1
10-2
10-2
10-3
10-3
10-1
1
10
102
103
10-1
1
10
102
103
t
t
Рис. 7. Зависимости D∗ = Dxz /Do (светло-серая линия) и D∗ = Dy /Do (темно-серая линия) от νt при ωt/ν= 6.14 для
отдельных частиц систем с параметрами: N = 50, Γ ≈ 4.5, ωB /ν
= 1.5 (а); N = 50, Γ ≈ 45, ωB /ν
= 1.5 (б); N = 50,
Γ ≈ 4.5, ωB/ν = 24 (в); N = 500, Γ ≈ 4.5, ωB/ν = 1.5 (г). Штриховыми линиями показан диффузионный режим
(ωB/ωt)2 ≫ 1 (см. рис. 7в) определяющее влияние
к случаю ωB/ν ∼ 1 за исключением данных, по-
на диффузионное движение в системе играет вели-
казанных на рис. 7в для ωB/ν ≫ 1. (Напомним,
чина ωB [11], а при (ωB/ωt)2 ≪ 1 (см. рис. 7а) —
что для случая ωB/ν ≪ 1 распознавание гармоник
значение ωt.
спектральной плотности f∗(ω), вызванных наличи-
ем магнитного поля, не представляется возможным,
С ростом числа частиц N отношения Dxz/Do и
Dy/Do для диффузионного режима движения час-
см. рис. 1.)
тиц возрастали (см. рис. 7а,г). Это объясняется тем,
Ситуация, когда ωB/ν > 1, или ωB/ν ≫ 1, лег-
что число частиц на границах в более объемной си-
ко реализуется в установках по разделению ком-
стеме (с большим радиусом R) меньше по отноше-
понентов ОЯТ для ионов отработанного ядерного
нию к их общему числу; таким образом, возвраща-
топлива [12, 28,29, 38]. Что касается пылевой плаз-
ющая сила ловушки будет оказывать меньшее вли-
мы, то в большинстве существующих эксперимен-
яние на систему частиц.
тов по изучению динамики пылевых частиц в маг-
В заключение отметим, что большинство иллю-
нитном поле B отношение ωB/ν ≪ 1, поскольку ис-
страций, представленных на рис. 4, 6, 7, относятся
пользуются достаточно крупные (тяжелые) частицы
953
О. С. Ваулина, Э. А. Саметов
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
при небольшом значении приложенного поля, B ≤
что решение уравнений движения (1)-(3) при задан-
≤ 2500 Гс [20,22]. Исключение составляют экспери-
ной частоте трения ν зависит только от относитель-
менты, описанные в работе [23], где исследовалось
ных значений параметров: ωt/ν, ωB/ν. Таким обра-
влияние магнитных полей 4000-40000 Гс на плазмен-
зом, полученные результаты справедливы для час-
но-пылевые облака в радиочастотном разряде для
тиц любых масс и зарядов (например, для случая
частиц диаметром от 0.1 мкм до 10 мкм; в качестве
пылевой плазмы, для ионов сепарируемого вещества
буферного газа использовался аргон Ar при давле-
ОЯТ и т. д.).
нии P ∼ 0.01 Торр. При этом наблюдаемые дина-
Детально исследованы особенности процессов
мические явления практически не зависели от диа-
массопереноса и диффузионного режима движения
метра d пылевых частиц. Последнее обстоятельство
заряженных частиц в ограниченных (кластерных)
косвенно подтверждается результатами наших рас-
ансамблях. Выполнен анализ динамики частиц в за-
четов для случая ωB/ν ∼ 1 (см. рис. 7).
висимости от их числа, температуры и величин маг-
В рассматриваемых экспериментах [23] при B =
нитного и электрического полей.
= 40000 Гс значение ωB будет сравнимо с величи-
Результаты настоящей работы применимы для
ной ν (ωB ∼ ν) для частиц диаметром d < 0.4 мкм.
ограниченных систем при любом типе попарных
А в предположении водорода H2 в качестве бу-
взаимодействий и могут быть полезны для раз-
ферного газа соотношение ωB
∼ ν будет наблю-
работки новых методов диагностики физических
даться для частиц с размерами d < 2 мкм. Здесь
характеристик таких систем, а также для анализа
для оценок отношения ωB/ν использовались 1) со-
условий формирования различных кластеров, ко-
отношение для зарядового числа пылевых частиц
торые представляют интерес в физике плазмы, в
Z ≈ (1.10 ± 0.25)Te [эВ]d [мкм], где Te — тем-
физике полимеров и коллоидных систем и т. д.
пература электронов, принятая равной 3 эВ [5],
и 2) величина коэффициента трения частиц ν ≈
Финансирование. Работа частично поддержа-
≈ CP [Торр]/(ρ [г·см-3]d [мкм]), где ρ — плотность
на Российским фондом фундаментальных исследо-
материала частиц, C — коэффициент, зависящий от
ваний (грант №18-38-20175), а также Программой
типа буферного газа (C ≈ 2000 для Ar и C ≈ 450
Президиума РАН.
для H2) [39].
ЛИТЕРАТУРА
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Photon Correlation and Light Beating Spectroscopy,
ed. by H. Z. Cummins and E. R. Pike, Plenum, New
Выполнено аналитическое и численное исследо-
York (1974).
вание динамики ансамблей заряженных частиц в
электростатической ловушке под воздействием по-
2. Я. И. Френкель, Кинетическая теория жидкос-
стоянного магнитного поля. Представлены корни
тей, Наука, Ленинград (1975).
характеристического уравнения, позволяющие ана-
3. R. Balescu, Equilibrium and Nonequilibrium Statisti-
лизировать спектр частот колебаний в исследуемых
cal Mechanics, Wiley Intersci., Chichester (1975).
системах частиц. Рассмотрены аналитические со-
отношения для спектральной плотности смещений
4. А. А. Овчинников, С. Ф. Тимашев, А. А. Белый,
центра масс исследуемых систем. Данные соотно-
Кинетика диффузионно-контролируемых хими-
шения проверены путем численного моделирования
ческих процессов, Химия, Москва (1986).
для кластеров с различным количеством частиц в
5. О. С. Ваулина, О. Ф. Петров, В. Е. Фортов,
широком диапазоне параметров анализируемых сис-
А. Г. Храпак, С. А. Храпак, Пылевая плазма (экс-
тем.
перимент и теория), Физматлит, Москва (2009).
Численные исследования показали, что вне за-
висимости от параметра неидеальности Γ и числа
6. Complex and Dusty Plasmas, ed. by V. E. Fortov and
частиц N в моделируемых ансамблях спектральные
G. E. Morfill, CRC Press (2010).
плотности смещений их центра масс хорошо соот-
7. Y. P. Raizer, V. I. Kisin, and J. E. Allen, Gas Di-
ветствуют рассмотренным аналитическим соотно-
scharge Physics, Springer, Berlin, Heidelberg (2011).
шениям, а характерные частоты для центра масс
могут быть получены путем решения системы урав-
8. J. I. Jiménez-Aquino, R. M. Velasco, and F. J. Uribe,
нений для одной заряженной частицы. Отметим,
Phys. Rev. E 77, 051105 (2008).
954
ЖЭТФ, том 155, вып. 5, 2019
Влияние магнитного поля на динамику движения заряженных частиц. . .
9.
L. J. Hou, Z. L. Mišković, A. Piel, and P. K. Shukla,
25.
L. A. Artsimovich, Controlled Thermonuclear Reac-
Phys. Plasmas 16, 053705 (2009).
tions, Gordon and Breach, New York (1964).
10.
B. Farokhi, M. Shahmansouri, and P. K. Shukla,
26.
R. Aymar, P. Barabaschi, and Y. Shimomura, Plasma
Phys. Plasmas 16, 063703 (2009).
Phys. Control. Fusion 44, 519 (2002).
11.
О. С. Ваулина, Е. А. Лисин, Э. А. Саметов, ЖЭТФ
27.
А. В. Тимофеев, Физика плазмы 33, 971 (2007).
152, 1144 (2017).
28.
B. P. Cluggish, F. A. Anderegg, R. L. Freeman, J. Gil-
12.
E. A. Sametov, R. A. Timirkhanov, and О. S. Vauli-
leland, T. J. Hilsabeck, and R. C. Isler, Plasma Phys.
na, Phys. Plasmas 24, 123504 (2017).
12, 057101 (2005).
13.
О. С. Ваулина, К. Г. Адамович, ЖЭТФ 133, 1091
29.
Н. А. Ворона, А. В. Гавриков, А. А. Самохин,
(2008).
В. П. Смирнов, Ю. С. Хомяков, Ядерная физика
и инжиниринг 5, 944 (2014).
14.
О. С. Ваулина, К. Г. Адамович, О. Ф. Петров,
В. Е. Фортов, ЖЭТФ 134, 367 (2008).
30.
В. П. Смирнов, А. А. Самохин, Н. А. Ворона,
А. В. Гавриков, Физика плазмы 39, 523 (2013).
15.
О. С. Ваулина, Е. А. Лисин, А. В. Гавриков,
О. Ф. Петров, В. Е. Фортов, ЖЭТФ 137, 751
31.
В. Б. Юферов, А. М. Егоров, В. О. Ильичева,
(2010).
С. В. Шарый, К. И. Живанков, Вопросы атом-
ной науки и техники, сер. Физика радиационных
16.
O. S. Vaulina and E. A. Lisin, Phys. Plasmas 16,
повреждений и радиационное материаловедение
113702 (2009).
101, 148 (2013).
17.
В. Е. Фортов, О. Ф. Петров, О. С. Ваулина,
32.
Ю. П. Райзер, Физика газового разряда, Наука,
К. Г. Косс, Письма в ЖЭТФ 97, 366 (2013).
Москва (1987).
18.
G. A. Hebner, M. E. Riley, and K. E. Greenberg,
33.
Е. А. Лисин, О. С. Ваулина, ЖЭТФ 142, 1077
Phys. Rev. E 66, 046407 (2002).
(2012).
19.
O. S. Vaulina and I. E. Drangevski, Phys. Scripta 73,
34.
S. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943).
577 (2006).
35.
О. С. Ваулина, Э. А. Саметов, ЖЭТФ 154, 407
20.
M. М. Васильев, Л. Г. Дьячков, С. Н. Антипов,
(2018).
О. Ф. Петров, В. Е. Фортов, Письма в ЖЭТФ 86,
414 (2007).
36.
А. А. Воронов, Теория автоматического управле-
ния, ч. 2, Высш. школа, Москва (1986).
21.
L. G. D’yachkov, O. F. Petrov, and V. E. For-
tov, Contrib. Plasma Phys. 49, 134 (2009).
37.
А. А. Щегольков, Молодежный научно-техничес-
кий вестник 8, 24 (2013).
22.
V. Yu. Karasev, E. S. Dzlieva, A. Yu. Ivanov, and
A. I. Eikhval’d, Phys. Rev. E 74, 066403 (2006).
38.
О. S. Vaulina, E. A. Lisin, E. A. Sametov, and
R. A. Timirkhanov, Plasma Fusion Res. 13, 1406125
23.
N. Sato, G. Uchida, and T. Kaneko, Phys. Plasmas
(2018).
8, 1786 (2001).
39.
Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая ки-
24.
R. F. Post, Rev. Mod. Phys. 28, 338 (1956).
нетика, Наука, Москва (1979).
955
