ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 6, стр. 963-974

ПОЛЯРИТОНЫ ТРИПЛЕТНЫХ И БИНАРНЫХ

ГИБРИДНЫХ НАНОСТРУКТУР В МИКРОПОЛОСТИ

О. А. Дубовский^*, В. М. Агранович

Институт спектроскопии Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

Поступила в редакцию 1 августа 2018 г.,

после переработки 20 ноября 2018 г.

Принята к публикации 20 декабря 2018 г.

Исследованы оптические свойства триплетного гибрида (полупроводник-органический слой-полупровод-

ник) в микрополости. Рассмотрение проводится при энергиях возбуждения, понижающихся в триплете

от экситона Ванье - Мотта с максимальной энергией к экситону Френкеля промежуточной энергии и от

экситона Френкеля к экситону Ванье - Мотта с минимальной энергией. Полупроводниковые компоненты

гибрида имеют вид тонких нанопленок, органика представлена слоем конечной толщины, меньшей, чем

диффузионная длина экситона Френкеля. Исследуется частотная зависимость поляритонов, образую-

щихся при общей гибридизации экситонов Ванье - Мотта, экситона Френкеля и основной моды микропо-

лости. Получены дисперсионные зависимости поляритонов редуцированных бинарных гибридов и слоя

органики в микрополости. Полученные результаты могут представлять интерес для исследований кине-

тики переноса энергии с многократным изменением формы энергии в триплетных и бинарных гибридных

системах.

DOI: 10.1134/S0044451019060014

шом числе работ (см., например, статьи [2-11]).

Нерадиационный перенос энергии в гибридных

1. ВВЕДЕНИЕ

структурах органика-полупроводник эксперимен-

В большинстве современных коммерческих

тально исследовался в работах [2-9]. Эмиссия света

устройствах, таких как LED, солнечные батареи

гибридными структурами с варьируемой частотой

и нелинейные оптические приборы используются

колебаний исследовалась в работе [11].

традиционные неорганические полупроводники.

В последние годы получили развитие исследова-

Однако в течение двух последних десятилетий

ния гибридных структур, имплантированных в мик-

значительный прогресс был достигнут в произ-

рополости, с использованием систем полупрозрач-

водстве аналогичных устройств, использующих

ных зеркал. Эти системы с многократным отраже-

органические материалы, которые в ряде случаев

нием света существенно увеличивают поток энер-

менее затратные, чем неорганические материалы.

гии в гибриде, что позволяет исследовать нелиней-

Перспективы использования в устройствах только

ные эффекты. Оптические характеристики гибрид-

одних органических материалов, однако, ограни-

ных систем органика-полупроводник, помещенных

чены узкой областью практического применения

в поле основной моды микрополости, были впервые

таких устройств. По этой причине качественно

исследованы в работе [12]. Дисперсионные зависи-

другой метод применения органических материалов

мости оптического спектра таких систем исследова-

может быть получен при использовании гибрид-

лись в работах [13,14] для различных позиций двух

ных систем с органическим слоем и очень тонкой

компонент гибрида в микрополости. Влияние куло-

неорганической пленкой при близких энергиях

новского взаимодействия на дисперсионные зависи-

возбуждения экситонов Френкеля в органических

мости гибрида в микрополости исследовалось в ра-

системах и экситонов Ванье - Мотта в полупровод-

боте [15].

никах [1]. Этот подход теперь широко используется,

и результаты исследований опубликованы в боль-

Однако оптические характеристики нанострук-

тур во всех указанных публикациях [1-15] исследо-

^* E-mail: dubovskiyoa@mail.ru

вались только для двойных систем — двух контакти-

963

О. А. Дубовский, В. М. Агранович

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

рующих пленок органики и полупроводника. Насто-

ящая статья продолжает наши исследования опти-

0.5

ческих свойств гибридных резонансных нанострук-

L/2

тур [1, 12]. В нашей последней работе [16] мы ис-

Микрополость

следовали более сложную триплетную нанострукту-

ру полупроводник-органика-полупроводник. В от-

WM1

d/2

личие от предыдущих работ, в работе [16] органика

рассматривалась не как предельно тонкая пленка, а

как слой конечной толщины, что позволяет увели-

s/2

чить эффективность органики и приводит к ряду ха-

рактерных особенностей в спектре колебаний. Такая

гибридная структура имеет последовательность по-

нижающихся энергий экситонов первой пленки по-

лупроводника с высокой энергией возбуждения, ор-

-s/2

ганики с промежуточной энергией и второго полу-

проводника с наименьшей энергией возбуждения

WM2

В данной работе продолжено изучение поляри-

-d/2

тонного спектра, исследованного в работе [16]. Мы

рассматриваем, однако, поляритонный спектр три-

Микрополость

плетного гибрида, имплантированного в микрополо-

-L/2

сти, используя при этом методику и результаты на-

-0.5

ших исследований поляритонных спектров двойных

гибридов в микрополости [12-15]. При этом были об-

0.2

0.4

0.6

0.8

наружены новые ветви поверхностных поляритонов

в области полного внутреннего отражения органи-

Рис. 1. Схема расположения компонентов триплетного ги-

брида в микрополости. Штриховые линии — это внеш-

ки. Результаты могут быть использованы при по-

ние полупроводники с экситонами Ванье - Мотта (WM1,

следующих исследованиях переноса энергии с мно-

WM2). Центральная часть — органический слой с эксито-

гократным изменением формы энергии между ком-

нами Френкеля (FR). Стенки микрополости находятся при

понентами триплетных гибридов.

z = ±L/2

2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

E_I = A₁e^iβz + A₂e^-iβz, s/2 < z < L/2,

ПОЛЕЙ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

√

β =

(ω/c)² - k²,

Представим общую схему триплетной на-

E_II = A₃e^iβz + A₄e^-iβz, d/2 < z < s/2,

ноструктуры и систему основных уравнений,

(1)

определяющих спектральные характеристики этой

E_III = A₅e^ifz + A₆e^-ifz,

-d/2 < z < d/2,

наноструктуры. Рисунок 1 демонстрирует общую

E_IV = A₇e^iβz + A₈e^-iβz,

-s/2 < z < -d/2,

схему расположения триплета в микрополости

E_V = A₉e^iβz + A₁₀e^-iβz,

-L/2 < z < -s/2.

толщиной L, включающего чередующиеся в z-на-

правлении плоскости полупроводников со слоем

На верхней зеркально отражающей границе микро-

органики между ними. Полупроводниковые пленки

полости условие равенства нулю электрического по-

находятся при z = ±s/2, границы органики при

ля имеет следующий вид:

z = ±d/2 и границы микрополости при z = ±L/2,

где L — толщина микрополости, s — расстояние

A₁eiβL/2 + A₂e-iβL/2 = 0, A₂ = -A₁μ(ω),

(2)

между полупроводниками и d — толщина органи-

μ(ω) = e^iβL.

ки. Исследуемые электромагнитные волны имеют

частоту ω, поляризацию электрического поля E_y

В плоскости первого полупроводника система двух

вдоль оси y, волновой вектор k = kx вдоль оси

уравнений непрерывности для электрического поля

x и поляризацию магнитного поля вдоль оси x.

и магнитного поля H_x = (ic/ω)(∂E_y/∂z) имеет сле-

Электрические поля в соответствующих областях

дующий вид:

имеют следующие амплитуды и пространственные

A₁eiβs/2 + A₂e-iβs/2 = A₃eiβs/2 + A₄e-iβs/2,

(3)

зависимости:

964

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Поляритоны триплетных и бинарных гибридных наноструктур. ..

A₁eiβs/2 - A₂e-iβs/2 = A₃eiβs/2 - A₄e-iβs/2 +

3. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО

(

)

РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОДНОЙ ОРГАНИКИ В

+ χ₁

A₁eiβs/2 + A₂

e-iβs/2

МИКРОПОЛОСТИ

)₂

4π

⁽ω

Γ²¹

Для наиболее точного представления используе-

χ₁ =

χ₁(ω), χ₁(ω) =

iβ c

ω₁ - ω

мой далее нестандартной процедуры расчета и опре-

деления основных особенностей дисперсионных за-

Функция χ₁(ω) определяет поляризуемость первого

висимостей триплетных и бинарных наноструктур

полупроводника с собственной частотой ω₁ и силой

необходимо рассмотреть базовую наноструктуру с

осциллятора Γ²¹.

одной органикой. В (1)-(7) при этом полагается

На верхней границе органики уравнения непре-

Γ1,2 = χ1,2 = 0, а промежуточные амплитуды A3,4 =

рывности полей имеют следующий вид:

= A1,2 и A7,8 = A9,10. Два уравнения непрерыв-

A₃eiβd/2 + A₄e-iβd/2 = A₅eifd/2 + A₆e-ifd/2,

ности, которые связывают «внешние» верхние ам-

√

(4)

плитуды A1,2 с «внутренними» амплитудами A5,6,

f (ω) =

ε(ω)(ω/c)² - k²,

и два уравнения непрерывности, которые связыва-

ют эти же «внутренние» амплитуды A5,6 со вто-

(

A₃eiβd/2 - A₄e-iβd/2 = A₅eifd/2-A₆e-ifd/2

рыми «внешними» амплитудами A9,10 приведены в

Приложении A. В результате получено дисперсион-

Γ²⁰

ное уравнение (A.4). Функциональные зависимости

ε(ω) = 1 +

ω₀ - ω

W1,2,3,4 представлены в Приложении A.

Приведенная в Приложении A нестандартная

Диэлектрическая проницаемость ε(ω) изотропной

процедура «сворачивания» от «внешних» ампли-

органики определяется собственной частотой ω₀ и

туд к «внутренним» амплитудам будет использова-

силой осциллятора Γ²⁰. Предполагается, что частота

на при исследовании бинарного и триплетного гиб-

находится или в области ω < ω₀ или в области выше

√

рида. Рекуррентный характер этой процедуры поз-

частоты продольной волны ω > ω_p, ω_p =

ω²⁰ + Γ²⁰,

волит исследовать гибриды более высокого порядка

где ε(ω) > 0. Область полного внутреннего отраже-

и сверхрешетки.

ния ω₀ < ω < ω_p с ε(ω) < 0 будет рассмотрена ниже

Использование W1,2,3,4 из Приложения A при-

в разд. 3.

водит к следующему квадратному уравнению для

На нижней границе органики уравнения непре-

функции μ = μ(ω):

рывности имеют следующий вид:

μ²g₀ + μg₁ + g₂ = 0,

(8)

A₅e-ifd/2 + A₆eifd/2 = A₇e-ifd/2 + A₈eifd/2,

[

]

A₅e-ifd/2 - A₆eifd/2 =

(5)

g₀

= (f - β)²e-i(β+f)d - (f + β)²ei(f-β)d ,

(

)

= A₇e-iβd/2 - A₈

eiβd/2

β/f.

g₁ = 2(f² - β²)[e^ifd - e^-ifd],

[

]

В плоскости второго полупроводника уравнения

g₂

= (f + β)²ei(β-f)d - (f - β)²ei(β+f)d

непрерывности имеют следующий вид:

В работах [12-15] показано, что дисперсионное

уравнение в области частот главной моды микропо-

A₇e-iβs/2 + A₈eiβs/2 = A₉e-iβs/2 + A₁₀eiβs/2,

(6)

лости может быть получено разложением βL по ма-

лым отклонениям от критического значения βL = π.

A₇e-iβs/2 - A₈eiβs/2 =

В этом подходе

(

⁾β

= A₉e-iβs/2 - A₁₀eiβs/2

χ₂,

μ = ei(π+δ) = -(1 + iδ), μ² = 1 + 2iδ

с небольшим значением δ. При этом

C =A₇e-iβs/2 +A₁₀eiβs/2,

)₂

μ² - 1 = +2iδ, δ = βL - π = (L/c)[ω - Ω(k)],

4π

⁽ω

Γ²²

χ₂ =

χ₂(ω), χ₂(ω) =

√

iβ c

ω₂ - ω

где Ω(k) = c

(π/L)² + k² — дисперсионная зависи-

На нижней границе микрополости условие зер-

мость основной моды микрополости.

кального отражения имеет следующий вид:

При учете в (8) только линейных по величине δ

составляющих получаем дисперсионное уравнение в

A₉e-iβL/2 + A₁₀eiβL/2 = 0, A₉ = -A₁₀μ(ω).

(7)

следующем виде:

965

О. А. Дубовский, В. М. Агранович

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

δ(R₂ + iM) = R₁,

[17]. Экспоненциальное уменьшение поля определя-

R₁ = C-1 sin[(f+β)d]+C sin[(f-β)d]-2 sinfd,

ется мнимой частью z-компоненты волнового векто-

√

ра κ(ω) =

|ε(ω)|(ω/c)² + k².

R₂ = C-1 cos[(f + β)d] - C cos[(f - β)d],

(9)

Известно, что экспериментальные исследования

M = 2sinfd-C sin[(f-β)d]-C-1 sin[(f+β)d],

поверхностных поляритонов существенно активизи-

β+f

ровались при использовании метода «нарушенного

C =

β-f

полного внутреннего отражения» с призмой на пре-

дельно близком к поверхности органики расстоя-

Таким образом, дисперсионное уравнение для орга-

нии. Микрополость может быть некоторым анало-

нического слоя в микрополости имеет следующий

гом этого устройства.

вид:

Процедура получения дисперсионного уравне-

ω - Ω(k) = F(ω,k),

ния представлена в Приложении B. Дисперсионное

(c/L)R₁(ω, k)

(10)

F (ω, k) =

уравнение в безразмерных переменных ω = ω/Ω(0),

R₂(ω, k) + iM(ω, k)

k₌ kL/π,

C = c/(L/ω₀), использованных в [12], име-

Отметим существенное отличие дисперсионного

ет при этом следующий вид:

уравнения (10) от дисперсионных уравнений, полу-

√

ченных в работах [12-15]. В правой части уравнения

ω2p - ω²

⁽ω)2

+k2 =

(14)

(10) появляется отсутствующая в работах [12-15]

ω² - ω²

ω-ω_c -k2

мнимая часть. Анализ показывает, что правая часть

(10) может иметь резонанс при R₂(ω, k) = 0, т. е. из

После возведения в квадрат обеих частей (14) видно,

(9), при соотношении

что это кубическое по

k² уравнение. Это уравнение

имеет точные аналитические решения

k= k(ω), ко-

(f - β)² cos[(f + β) d] = (f + β)² cos[(f - β) d]. (11)

торые для краткости не приводятся. Набор этих ре-

шений в различных областях фазовой плоскостиk, ω

Это квадратное уравнение для f(ω, k)

˜1,2,3,(ω)

включает или три различных ветвиk1,2,3 =

f² - 2fG(ω) - β² = 0,

или только одну ветвь с действительным значением

(12)

k₀ =

k₀(ω) и двумя другими комплексно-сопряжен-

cos(fd)cos(βd)

G(ω) =

ными решениями. В некоторых точках эти решения

sin(fd) sin(βd)

сопрягаются. Ниже тильды у переменных опущены.

Два соответствующих решения (12) имеют следую-

Результаты численных расчетов дисперсионных

щий вид:

кривых были получены на компьютере с использо-

{

}

ванием следующей процедуры как для одной орга-

√

f(±)(ω) =

β(ω)

-G(ω) ±

[G(ω)]² + 4

(13)

ники в микрополости, так и для бинарных, а за-

тем и триплетных гибридов. Для одной органики

Поскольку функция f(ω, k) имеет резонанс на час-

в микрополости все графические особенности по-

тоте ω₀, два решения (13) в полном наборе поляри-

ляритонных спектров, представляющиеся соответ-

тонных ветвей должны быть представлены в пра-

ствующими простыми аналитическими соотношени-

вой части (10), т. е. два расщепленных резонанса

ями, обсуждаются более детально с целью упроще-

должны появиться вблизи частоты ω₀. Как резуль-

ния анализа аналогичных особенностей поляритон-

тат решения уравнения (10), в этом случае долж-

ных спектров бинарных и тройных гибридов.

ны наблюдаться три поляритонные ветви. При этом

Фазовая плоскость ω, k была разбита на квад-

вследствие присутствия мнимого слагаемого в пра-

ратную решетку ω_i, k_j , i, j = 1, 2, . . . , 200. В каж-

вой части (10) все ветви должны быть с различным

дой точке ω_i, k_j вычислялась разность D_i,j между

радиационным уширением. Комплексные решения

левыми и правыми частями дисперсионных уравне-

дисперсионного уравнения (10) для частоты долж-

ний (10) и (14) — аналогами соответствующих де-

ны определяться соотношением ω = ω^′ - iω^′′, и два

терминантов. Затем вычислялась обратная величи-

резонанса в правой части (11) должны быть учтены

на модуля (1/|D_i,j|). Максимальные значения этой

при определении радиационной ширины ω^′′.

величины соответствуют минимальным значениям

Исследование области частоты с ε(ω) < 0 дало

соответствующего детерминанта, и при постепенном

некоторые новые результаты. Это область поверх-

уменьшении шага сетки дисперсионные зависимо-

ностных поляритонов с экспоненциальным умень-

сти проявляются все более четко. Эти зависимос-

шением амплитуды поля при удалении от границы

ти (1/|D_i,j|) в трехмерном представлении показаны

966

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Поляритоны триплетных и бинарных гибридных наноструктур. ..

Re( )

1.4

1.202

1.3

1.2

1.200

1.1

1.198

1.0

1/|D|

0.5

1.0

1.5

1/|D|

0.5

1.0

1.5

Рис. 2. Дисперсионные зависимости Re[ω(k)] трех поля-

ритонных ветвей для одного органического слоя в микро-

полости, полученные из трехмерной зависимости соответ-

Рис. 3. Тонкая структура поляритонных ветвей в проме-

ствующего детерминанта на фазовой плоскости. Кривые 1,

жуточной области рис. 2. Видно плавное без скачка про-

2 — поляритонные волны общего типа. Фиксируется новая

изводной соединение ветви 3 из рис. 2 с ветвью 1. В полосе

поляритонная ветвь 3 с малой дисперсией в центре узкого

полного внутреннего отражения органики видна дополни-

горла

тельная ветвь 3a поверхностных поляритонов органики

на рис. 2-4, 6-8 в узкой области вблизи максимума

(1/|D_i,j |) с осью z, ортогональной к плоскости ω, k.

в микрополости. Соответствующие параметры ω₀ =

При вычислениях полагалось, что основные час-

= 1.2, Γ²⁰ = 0.01, s = 0.8L. Отчетливо видно поляри-

тоты и силы осцилляторов удовлетворяют следую-

тонное расщепление основной моды микрополости,

щим неравенствам: Ω(0) < ω₁ < ω₀ < ω₂, Γ²¹, Γ²² < Γ²⁰

стартующее при малых k как ветвь 1 и продолжа-

при s = 0.8L, d = 0.5L. Исследование детального

ющаяся как ветвь 2 выше энергии экситона Френ-

вида дисперсионных зависимостей было проведено

келя при ω₀ > Ω(0). Такое расщепление с «узким

при численных параметрах, использованных в рабо-

горлом» наблюдалось ранее в работе [12] c органи-

тах [12,15,16] для полупроводников типа ZnO, GaAs

ческой пленкой в центре микрополости. Однако те-

и антрацена как органики с ω_c = 1.5 эВ/ℏ и π/L =

перь для слоя органики в микрополости компьютер

= 2.4 см-1. Все безразмерные параметры представ-

фиксировал дополнительную поляритонную ветвь 3

лены в этих единицах Ω(0) = 1, ω₂ = 1.1, ω₀ = 1.2,

с малой дисперсией в центре узкого горла. Эта ветвь

ω₁ = 1.3, Γ²¹ = Γ²² = 0.005, Γ²⁰ = 0.01.

соответствует знаку плюс в уравнении (13). Следу-

Как первый шаг последовательного представле-

ет отметить, что ранее в [12] такая радиационная

ния полученных результатов, рис. 2 демонстриру-

ветвь в узком горле отсутствовала. Это обстоятель-

ет дисперсионные зависимости Re[ω(k)] — решения

ство может существенно изменить кинетику перено-

дисперсионного уравнения (10) для слоя органики

са энергии в гибридных структурах.

967

О. А. Дубовский, В. М. Агранович

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

1.10

0.8

1.08

0.6

Im( )

1.1

0.4

1/|D|

0.2

1.0

0.5

1.0

1.5

1.06

Рис. 4. Радиационное затухание Im[ω(k)] поляритонных

возбуждений для одного слоя органики в микрополости.

В трехмерном пространстве демонстрируется зависимость

радиационной ширины поляритонных ветвей от частоты ω

и волнового вектора k. Видно существенное увеличение ра-

0.1

0.2

0.3

0.4

диационной ширины промежуточной дисперсионной ветви

3 из рис. 2, 3

Рис. 5. Демонстрация результатов аналитического расче-

та соединений дисперсионных кривых на рис. 2, 3 в облас-

ти ω0 < ω < ωp. Точное решение кубического уравнения

представлено кривой 1. На этой кривой 1 в узкой облас-

На рис. 3 дополнительная ветвь 3 представлена

ти волновых векторов между вертикальными линиями 2 и

в большем масштабе. Видно, что эта ветвь соединя-

3 видны три пересечения — три ветви из рис. 2, 3. Вне

ется с низкочастотной поляритонной ветвью 1. Со-

этой области видна одна ветвь. Демонстрируется плавное

единение ветвей 1 и 3 происходит плавно без скачка

соединение ветвей без скачка производной

производной. Кроме того, на рис. 3 видна дополни-

тельная ветвь 3a над ветвью 2 в полосе ω₀ < ω < ω_p

полного внутреннего отражения. Это ветвь поверх-

сунок 5 получен аналитическим расчетом решений

ностных поляритонов в микрополости.

кубического уравнения (14) и компьютерным рас-

Одновременно с расчетом величин (1/|D_i,j |) про-

четом (точки и линии) с использованием указанной

водился расчет соответствующих мнимых частей.

вычислительной процедуры. В связи с малой шири-

На рис. 4 в трехмерном пространстве демонстри-

ной полосы полного внутреннего отражения и влия-

руется зависимость радиационной ширины поляри-

нием близкого резонанса с большой силой осцилля-

тонных ветвей от частоты ω и волнового вектора

тора использовался следующий набор параметров:

k. Максимум ширины наблюдается в области про-

ω²⁰ = 1.103, ω2p = 1.2, C = 0.05. Известно, что ку-

межуточной дисперсионной ветви 3 рис. 2, 3. Рису-

бическое уравнение имеет или три действительных

нок 4 позволяет оценить степень увеличения радиа-

решения или одно действительное решение и два

ционной ширины этой ветви по сравнению с радиа-

комплексно-сопряженных решения. На рис. 5 вид-

ционными ширинами остальных ветвей.

но, что при малых волновых векторах только одна

Рисунок 5 демонстрирует, как ветвь 1 соединя-

ветвь поверхностных поляритонов отщепляется от

ется с дисперсионной кривой 3 поверхностных по-

верхней частоты ω_p продольных колебаний. Затем

ляритонов в области ω₀ < ω < ω_p полного внутрен-

при увеличении волнового вектора в некоторой по-

него отражения, ветвь 2 соединяется с ветвью 3. Ри-

лосе k₁ < k < k₂ между линиями 2 и 3 как три

968

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Поляритоны триплетных и бинарных гибридных наноструктур. ..

пересечения промежуточной линии 4 с линией 1 по-

Входящие в (18) функции Q₂, Q₁, Q₀, B₁, B₂ имеют

являются 3 ветви, и ветвь при k < k₁ гладко соеди-

следующий вид:

(

)₂

(

)₂

няется с верхней ветвью этого частотного триплета.

Расчет показал, что при k > k₂ нижняя ветвь, кото-

Q₂ =

e-i(β+f)d-

e-i(β-f)d,

рая поднимается от нижней ветви триплета, асимп-

(

)₂

тотически приближается к частоте ω₀. Дисперсион-

Q₁ = 4i

sinfd,

(19)

ные ветви плавно соединяются на противоположных

(

)₂

(

)₂

границах области k₁ < k < k₂.

Q₀ =

ei(β-f)d-

ei(β+f)d,

B₁ = 1+cosβs, B₂ = -i (sin βs)(1+cosβs).

4. РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННЫХ

УРАВНЕНИЙ ДЛЯ БИНАРНЫХ И

После процедуры выделения основной моды микро-

ТРОЙНЫХ ГИБРИДОВ В МИКРОПОЛОСТИ

полости в уравнении (19), аналогичной процедуре

Переходя к бинарным и триплетным гибридным

выделения линейных по δ = (L/c)[ω - Ω(k)] членов

структурам с учетом поляризуемости полупровод-

в разд. 2, дисперсионное уравнение (17) принимает

ников, отметим, что из двух уравнений (3) ампли-

следующий вид:

{

}

туды A₃, A₄ определяются как функции амплиту-

Γ²¹

Γ²²

[ω - Ω(k)] = F (ω, k) + H₁

ды A₁

ω₁ - ω

ω₂ - ω

[

]

(

)

Γ²¹

Γ²²

+H₂

(20)

A₃ = A₁ 1 +

χ₁

1 - μe^-iβs

ω₁ - ω ω₂ - ω

[

]

(15)

(

)

Функция F (ω, k) с конечной мнимой частью в (20)

A₄ = A₁ -μ -

χ₁

e^iβs - μ

имеет тот же вид, что и представленная в уравне-

нии (10). В правой части (20) второй и третий резо-

Расчет зависимости амплитуд A5,6,7,8 от амплитуд

нансные члены определяются верхней и нижней по-

A₁, A₁₀ представлен в Приложении C. В результа-

лупроводниковыми пленками. Функции H1,2 из (20)

те после старта от противоположных границ микро-

равны:

полости подстановка A₅ из (C.2a) в первое уравне-

ние (C.5a) приводит к первому линейному уравне-

H₁ = 2(1 - β/f)² sin((β + f)d) + (1 + β + f)² ×

нию для двух амплитуд A₁, A₁₀, и подстановка A₆

× 2sin((β - f)d) - 4(1 - β/f)2 sinfd,

(21)

из (C.2a) во второе уравнение (C.5a) приводит ко

второму уравнению для тех же двух амплитуд A₁,

H₂ = 4(sin(βs/2))²(- sinfd)((sin(β(d - s)/2))² -

A₁₀:

- (β/f)²(cos(β(d - s)/2))²) -

(

)

(

)

- (β/f) cos(fd) sin(β(d - s)).

(22)

A₁

Z₁ +

Z₁

=A₁₀

Z₃ +

Z₃

(

)

(

)

(16)

Использование тождества [(ω₁ - ω)(ω₂ - ω)]-1 =

A₁

Z₂ +

Z₂

=A₁₀

Z₄ +

Z₄

= (ω₂ - ω₁)-1[(ω₁ - ω)-1 - (ω₂ - ω)-1] позволяет

представить дисперсионное уравнение (20) в линей-

Соответственно из (16) дисперсионное уравнение

ном по резонансам полупроводников виде с перенор-

представляется в следующем виде:

мированными силами осцилляторов:

(

)(

)

(

)(

)

Γ2

Z₁ +

Z₁

Z₄ +

Z₄

= Z₂ +

Z₂

Z₃ +

Z₃

(17)

[ω - Ω(k)] = F (ω, k) +

ω₁ - ω

ω₂ - ω

(

)

Все функции Z, включенные в дисперсионное

Γ²²

Γ2

=Γ²

H₁ - H₂

(23)

уравнение

(17), представлены соотношениями

ω₁ - ω₂

(C.2a)-(C.2e) и (C.5a)-(C.5e). Поскольку эти функ-

(

)

Γ²¹

ции линейны по μ, χ, квадратное уравнение (17)

Γ2

=Γ²

H₁ + H₂

ω₁ - ω₂

имеет квадратичные и линейные по μ, χ члены:

)

Из (23) следует, что в правую часть дисперсионного

Q₁

⁽Q₀

B₁

μ² - 1 = -

μ-

χ₁ -

уравнения резонансные члены входят в дополнение

Q₂

к функции F(ω, k), имеющей, как показано в разд. 2,

B₁

B₂

двойной резонанс и конечную мнимую часть. При

χ₂ -

χ₁ χ₂.

(18)

Q₂

этом из-за конечной мнимой части M(ω, k) должно

969

О. А. Дубовский, В. М. Агранович

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Re( )

1.4

1.3

1.2

1.1

1.0

1/|D|

0.5

1.0

1.5

1/|D|

0.5

1.0

1.5

Рис. 6. Поляритонные ветви бинарного гибрида высокоча-

Рис. 7. Система поляритонных ветвей для бинарного гиб-

стотный полупроводник-органика. Выше частоты органи-

рида низкочастотный полупроводник-органика в микро-

ки появляется система поляритонных ветвей, связанных с

полости, когда на рис. 1 виртуально отсутствует верхний

частотой полупроводника. Видно общее расщепление ос-

полупроводник. Видно в основном симметричное относи-

новной моды микрополости, трансформируемой в ветви 1

тельно рис. 6 выделение поляритонных ветвей нижнего по-

и 2 с большим поляритонным расщеплением на частоте

лупроводника. Однако более точный анализ показывает,

органики и малым расщеплением на частоте полупровод-

что асимметрия поляритонных ветвей относительно час-

ника. Виден след поляритонной ветви органики, трансфор-

тоты органики, присутствующая уже для одной органики

мируемой в ветви 3 и 4 с большим поляритонным расщеп-

в микрополости, проявляется и в этом более общем случае

лением — узким горлом при частоте органики

наблюдаться радиационное уширение уже всех вет-

вей. Для разных ветвей это будет очевидно различ-

случае на рис. 6 выше частоты ω₀ появляется си-

ное уширение.

стема поляритонных ветвей, связанных с частотой

Линейность правой части дисперсионного урав-

ω₁. Видно общее расщепление основной моды Ω(k),

нения (23) по резонансам полупроводников позволя-

трансформируемой в ветви 1 и 2 с большим поляри-

ет рассмотреть промежуточные бинарные гибриды

тонным расщеплением на частоте ω₀ и малым рас-

с включением раздельно каждого из этих полупро-

щеплением на частоте ω₁ вследствие неравенства

водников.

Γ₁ < Γ₀. Также виден общий след поляритонной

Рисунки 6-8 демонстрируют эти дисперсионные

ветви органики k² = ε(ω)(ω/c)², трансформируемой

зависимости в трехмерном пространстве. Рисунок 6

в ветви 3 и 4 с большим поляритонным расщепле-

демонстрирует дисперсионные ветви для Γ₁ = 0.005,

нием — узким горлом при частоте ω₀. Соответствен-

Γ₂ = 0 при сохранении остальных параметров, т. е.

но модифицировалась и зависимость радиационного

в случае, когда на рис. 1 виртуально отсутствует

уширения по сравнению с зависимостью, представ-

нижний полупроводник, и гибрид бинарный. В этом

ленной на рис. 4, для одной органики.

970

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Поляритоны триплетных и бинарных гибридных наноструктур. ..

Re( )

дит к появлению по крайней мере шести узких горл

1.4

при пересечениях ветви основной моды микрополос-

ти Ω(k) (кривые 1, 2) и поляритонных ветвей ор-

ганики k² = ε(ω)(ω/c)² (кривые 3, 4) с частотами

полупроводников. Как следствие общего взаимодей-

ствия основной моды поля микрополости, органики

1.3

и двух полупроводников все эти ветви имеют разли-

чающиеся радиационные ширины.

Полученные результаты могут быть использова-

ны при исследовании кинетики переноса энергии с

многократным изменением формы энергии между

1.2

компонентами бинарных и триплетных гибридных

систем, имплантированных в микрополости.

5. ВЫВОДЫ

Исследованы оптические свойства триплетно-

1.1

го гибрида (полупроводник-органика-полупровод-

ник), имплантированного в микрополости. Рассмот-

рена гибридная структура, имплантированная в

микрополости, с органикой в виде слоя конечной

толщины. Разработана и используется оригиналь-

1.0

ная рекуррентная аналитическая и вычислительная

процедура решения системы динамических уравне-

ний для многокомпонентных гибридных структур

1/|D|

в микрополости, стартующая от границ микропо-

0.5

1.0

1.5

лости к ее центру. Исследованы частотные зависи-

мости поляритонов, образующихся при гибридиза-

Рис. 8. Полная система дисперсионных зависимостей для

ции экситонов Френкеля и основной моды микро-

микрополости с двумя полупроводниками при последова-

полости, взаимодействии бинарного гибрида экси-

тельности частот Ω(0) < ω1 < ω0 < ω2 и константами

тона Френкеля и одного экситона Ванье - Мотта с

Γ1 = 0.005, Γ2 = 0.005. Видно, что введение в микро-

полости двух полупроводников приводит к появлению по

основной модой, и, наконец, взаимодействии трой-

крайней мере шести узких горл при пересечениях ветви

ного гибрида экситона Френкеля с двумя экситона-

основной моды микрополости Ω(k) (кривые 1, 2) и поля-

ми Ванье - Мотта с основной модой микрополости.

ритонных ветвей органики k² = ε(ω)(ω/c)² (кривые 3, 4)

Обнаружены ранее неизвестные поляритонные вет-

с частотами полупроводников

ви с нестандартной дисперсионной зависимостью и

радиационным затуханием. Полученные результаты

могут представлять интерес для исследований кине-

тики переноса энергии с многократным изменением

Рисунок 7 демонстрирует дисперсионные зави-

формы энергии в триплетных и бинарных системах.

симости для случая, когда в противоположность

рис. 6, Γ₁ = 0, Γ₂ = 0.005, т. е. когда на рис. 1 вир-

туально отсутствует верхний полупроводник. Видно

ПРИЛОЖЕНИЕ A

в основном симметричное относительно рис. 6 выде-

Граничные уравнения имеют следующий вид:

ление поляритонных ветвей нижнего полупроводни-

ка, однако асимметрия поляритонных ветвей, при-

A₁eiβd/2+A₂e-iβd/2 = A₅eifd/2+A₆e-ifd/2, (A.1a)

сутствующая для одной органики в микрополости,

A₁eiβd/2 - A₂e-iβd/2 =

проявляется и в этом случае.

= (A₅eifd/2 - A₆e-ifd/2)f/β, (A.1b)

Рисунок 8 демонстрирует общую систему дис-

персионных зависимостей, когда в микрополости

A₅e-ifd/2+A₆eifd/2 = A₉e-ifd/2+A₁₀eifd/2, (A.1c)

присутствуют оба полупроводника с частотами ω₁,

A₅e-ifd/2-A₆eifd/2 =

ω₂ с Ω(0) < ω₁ < ω₀ < ω₂ и Γ₁ = 0.005, Γ₂ = 0.005.

= (A₉e-iβd/2-A₁₀eiβd/2)β/f. (A.1d)

Видно, что введение двух полупроводников приво-

971

О. А. Дубовский, В. М. Агранович

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Из уравнений (A.1a) и (A.1b) в соответствии с (2) и

ПРИЛОЖЕНИЕ B

(7) амплитуды A5,6 определяются как функции амп-

Два уравнения непрерывности на верхней гра-

литуды A₁. Эти же амплитуды A5,6 из уравнений

нице органики при пренебрежении затухающей по-

(A.1c) и (A.1d) определяются как функции ампли-

верхностной волны от другой границы имеют сле-

туды A₁₀

дующий вид:

)

[(

)

⁽1

A₅ =

A₁e-ifd/2

eiβd/2 -

A₁e-iβ(L-d) + A₂eiβ(L-d) = A₃eκ(L-d),

(B.1a)

(

)

]

(-κ)

- μ

e-iβd/2 ,

(A.2a)

A₁e-iβ(L-d) - A₂eiβ(L-d) =

A₃eκ(L-d),

iβ

(B.1b)

)

[(

)

√

⁽1

κ=

|ε(ω)|(ω/c)² + k².

A₆ =

A₁eifd/2

eiβd/2 -

(

)

]

Использование соотношения A₂ = -μA₁ дает следу-

ющие два уравнения:

- μ

e-iβd/2 ,

(A.2b)

[

]

)

[(

)

⁽1

A₁

e-iβ(L-d) - μeiβ(L-d)

=A₃eκ(L-d),

(B.2a)

A₅ =

A₁₀eifd/2

eiβd/2 -

[

]

(-κ)

(

)

]

A₁

e-iβ(L-d)+μeiβ(L-d)

A₃eκ(L-d). (B.2b)

iβ

- μ

e-iβd/2 ,

(A.2c)

)

[(

)

Решение (6) дает следующее дисперсионное уравне-

⁽1

A₆ =

A₁₀e-ifd/2

eiβd/2 -

ние:

(

)

]

e-i2β(L-d) - μ

iβ

- μ

e-iβd/2

(A.2d)

(B.3)

e-i2β(L-d) + μ

(-κ)

Выделение в (B.3) основной моды микрополости при

Подстановка A₅ из (A.2a) в (A.2c) и A₆ из (A.2b)

Lβ = π приводит к следующему дисперсионному

в (A.2d) дают следующие два уравнения для двух

уравнению:

амплитуд A₁ и A₁₀:

i2β

μ+1=

(B.4)

A₁W₁ = A₁₀W₂, A₁W₃ = A₁₀W₄,

(-κ)

[(

)

W₁ = e-ifd/2

eiβd/2 -

При использовании зависимости от частоты это

(

)

]

уравнение принимает следующий вид:

- μ

e-iβd/2 ,

δ(ω) = 2β(ω)[κ(ω)]-1.

(B.5)

[(

)

W₂ = eifd/2

eiβd/2 -

При последующем использовании частотной зависи-

(

)

]

мости основной моды микрополости уравнение (B.4)

- μ

e-iβd/2 ,

приводится окончательно к виду

(A.3)

[(

)

(ω - Ω_k) = C[κ(ω)]-1, C = 2ω₀/L.

(B.6)

W₃ = eifd/2

eiβd/2 -

(

)

]

Инвертированное дисперсионное уравнение (B.6)

- μ

e-iβd/2 ,

равно:

[(

)

κ(ω) =

(B.7)

W₄ = e-ifd/2

eiβd/2 -

ω-Ω_k

(

)

]

Это уравнение в безразмерных переменных

- μ

e-iβd/2

= ω/Ω(0),

k₌ kL/π,

C = c/(L/ω₀), использованных

в работе [12], имеет следующий вид:

Стандартное решение системы двух уравнений (A.3)

√

дает следующее дисперсионное уравнение:

ω2p - ω²

⁽ω)2

+k2 =

(B.8)

ω² - ω²

ω-ω_c

-k2

W₁W₄ = W₂W₃.

(A.4)

972

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Поляритоны триплетных и бинарных гибридных наноструктур. ..

{(

)

ПРИЛОЖЕНИЕ C

A₅ =

eifd/2

A₇e-iβd/2 +

(

)

}

Из двух уравнений (4) амплитуды A₅, A₆ опре-

A₈eiβd/2

деляются как функции амплитуды A₁:

{(

)

(C.4)

{(

)

A₆ =

e-ifd/2

A₇e-iβd/2 +

(

)

}

A₅ =

e-ifd/2

A₃eiβd/2 +

A₈eiβd/2

(

)

}

A₄e-iβd/2

{(

)

(C.1)

Подстановка A₇, A₈ из (A.3) в (A.4) позволяет пред-

ставить A₇, A₈ как функции A₁₀:

A₆ =

eifd/2

A₃eiβd/2 +

(

)

(

)

(

)

}

A₅ = A₁₀

Z₃ +

Z₃

A₆ = A₁₀

Z₄ +

, (C.5a)

A₄e-iβd/2

{(

)

Z₃ =

ei(β+f)d/2 ×

[

]}

Подстановка A₃, A₄ из (18) позволяет предста-

(

)

× 1+

χ₂

1 - μe^-iβs

(C.5b)

вить A₅, A₆ как функции A₁:

{(

)

(

)

(

)

Z₃ =

e-i(β-f)d/2 ×

A₅ = A₁

Z₁ +

Z₁

A₆ = A₁

Z₂ +

Z₂

, (C.2a)

[

]}

{(

)

(

)

× -μ -

χ₂

e^iβs - μ

(C.5c)

Z₁ =

ei(β-f)d/2 ×

{(

)

[

]}

(

)

Z₄ =

ei(β-f)d/2 ×

× 1+

χ₁

1 - μe^-iβs

(C.2b)

{(

)

[

]}

(

)

× 1+

χ₂

1 - μe^-iβs

(C.5d)

Z₁ =

e-i(β+f)d/2 ×

[

]}

{(

)

(

)

× -μ -

χ₁

e^iβs - μ

(C.2c)

Z₄ =

e-i(β+f)d/2 ×

{(

)

[

]}

(

)

Z₂ =

ei(β+f)d/2 ×

× -μ -

χ₂

e^iβs - μ

(C.5e)

[

]}

(

)

× 1+

χ₁

1 - μe^-iβs

(C.2d)

{(

)

ЛИТЕРАТУРА

Z₂ =

e-i(β-f)d/2 ×

1. V. M. Agranovich, Yu. N. Gartstein, and M. Litin-

[

]}

(

)

skaya, Chem. Rev. 111, 5179 (2011).

× -μ -

χ₁

e^iβs - μ

(C.2e)

2. S. Blumenstegel, S. Xu. Sadofev, J. Puls et al., Phys.

Rev. Lett. 97, 247401 (2006).

Аналогично при старте с противоположной сто-

3. M. Acherman, M. A. Petruska, S. Kos et al., Nature

роны микрополости из двух уравнений (6) ампли-

429, 642 (2004).

туды A₇, A₈ определяются как функции амплиту-

ды A₁₀:

4. S. Rohmoser, J. Baldauf, R. T. Harley et al., Appl.

Phys. Lett. 91, 92126 (2007).

[

]

(

)

A₈ = A₁₀

χ₂

1 - μe^-iβs

5. S. Blumenstegel, S. Sadofev, J. Pulset et al., Adv.

[

]

(C.3)

Matt. 21, 4850 (2009).

(

)

A₇ = A₁₀

-μ -

χ₂

e^iβs - μ

6. G. Itskos, G. Heliotis, P. G. Lagoudakis et al., Phys.

Rev. B 76, 035344 (2007).

Из двух уравнений (5) эти амплитуды A₅, A₆

7. Q. Zhang, T. Atay, J. R. Tischler et al., Nat. Nano-

определяются как функции амплитуд A₇, A₈:

tech. 2, 555 (2007).

973