ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 6, стр. 991-998

ДИНАМИКА ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ В ЛОВУШКЕ

Н. Н. Розановa,b,c*, Н. В. Высотина^a

^a Государственный оптический институт им. С. И. Вавилова

199053, Санкт-Петербург, Россия

^b Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики

197101, Санкт-Петербург, Россия

^c Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 28 декабря 2018 г.,

после переработки 27 января 2019 г.

Принята к публикации 29 января 2019 г.

Проведен теоретический и численный анализ динамики двухатомной молекулы, обладающей поступа-

тельной, вращательной и колебательной степенями свободы, в ловушке. Взаимодействие атомов в мо-

лекуле описывается потенциалом Леннард-Джонса, а атомов со стенками ловушки — отталкивательным

потенциалом экспоненциального типа. Вдали от стенок ловушки движение молекулы сводится к класси-

ческой задаче двух тел с центральным взаимодействием и является регулярным. Найдено, что сколь-либо

интенсивное взаимодействие атомов молекулы со стенками ловушки ведет к стохастизации движения.

DOI: 10.1134/S0044451019060038

рующей двухатомную молекулу, что и служит зада-

чей настоящего сообщения. Классическое описание

движения ядер молекулы [8] широко распростране-

1. ВВЕДЕНИЕ

но и оправдано ввиду значительной массы ядер по

сравнению с массой электрона. Необходимость уче-

Изучение примыкающей к проблеме Ферми [1]

та квантовых эффектов возникает главным образом

задачи Улама о динамике классической частицы в

при экстремально низких энергиях колебаний, срав-

ловушке с осциллирующими стенками [2] оказало

нимых с энергией кванта колебаний, но эта область

глубокое влияние на прояснение основ статистиче-

энергий исключается из рассмотрения в данной ста-

ской физики и на развитие имеющей разнообраз-

тье.

ные приложения теории динамического хаоса [3-6].

В указанных работах представлены результаты как

Представляется, что исследование спектроско-

прямого численного моделирования, так и аналити-

пии и внутреннего движения изолированных моле-

ческого рассмотрения, в том числе в рамках прибли-

кул становится сейчас актуальным в связи с про-

женного подхода на основе уравнения диффузии [6].

грессом в разработке ловушек и методов охлажде-

Тем не менее это направление включает и новые

ния для таких объектов [9-13] и возможностями

задачи, в том числе в случае замены точечной час-

наблюдать внутренние молекулярные движения с

тицы более сложным объектом, обладающим внут-

помощью предельно коротких (аттосекундных) им-

ренней структурой и дополнительными степенями

пульсов [14-17]. Особый интерес представляет при-

свободы. В работе [7] было изучено движение между

сущее двух- и многочастичным системам наличие

осциллирующими стенками обладающего простран-

относительных колебаний около положения равно-

ственной распределенностью солитона конденсата

весия. Это допускает возможность достижения, на-

Бозе - Эйнштейна. В то же время естественно об-

пример, режима динамического хаоса даже при

ращение к более простому объекту — системе двух

неподвижных стенках ловушки. Другой особеннос-

взаимодействующих классических частиц, модели-

тью таких систем по сравнению с одиночной части-

цей служит появление канала диссоциации — разва-

^* E-mail: nnrosanov@mail.ru

ла системы на отдельные частицы. Подход с неко-

991

Н. Н. Розанов, Н. В. Высотина

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

торыми модификациями применим и к управлению

В системе координат, связанной с центром инерции

движением наночастиц в ловушке [18, 19].

r₁m₁ + r₂m

r_c =

m₁ + m₂

2. МОДЕЛЬ И УРАВНЕНИЯ

имеем

Решались уравнения для двухатомной молекулы

r′1 = r₁ - r_c =

r, r′2 = r₂ - r_c = -

m₁

m₂

(5)

с массами атомов m₁, m₂, движущейся между двумя

P^′ = m₁ ˙r′1 + m₂ ˙r′2 = 0,

неподвижными стенками L_l < z < L_r:

dU_v r₁ - r₂

dUw1

m₁r₁ = -

e_z,

E^′ =

m ˙r² + U(r), M^′ = [r × p].

(6)

(1)

dU_v r₂ - r₁

dUw2

m₂r₂ = -

e_z.

Здесь p = m˙r и m = m₁m₂/(m₁+m₂) — приведенная

масса. Штрихи далее опускаем.

Здесь r₁ = (y₁, z₁), r₂ = (y₂, z₂) — радиус-векторы

Движение происходит в плоскости, ортогональ-

атомов, r = |r| — расстояние между атомами и r =

ной моменту импульса M. С учетом его сохранения

= r₁ - r₂. Энергия взаимодействия атомов со стен-

энергию молекулы можно представить в виде

ками (отталкивание от стенок) описывалась уравне-

ниями

mr² + U_eff(r),

(7)

[

⁽z-L_r)

⁽L_l -z^)]

U_w(z) = U₀ exp

+ exp

где введена эффективная энергия взаимодействия

атомов

L_l < z < L_r,

[

(2)

⁽L_l -L_r)]

M²

U_w(z) = U₀

1 + exp

≈U₀,

U_eff (r) = U_v(r) +

2mr²

]

)₁₂

)₆

[( σ

⁽σ

M²

z < L_l, или z > L_r,

= 4ε

(8)

2mr²

где w — характерная протяженность области оттал-

После введения безразмерных координаты ρ =

кивания, U₀ — максимальный потенциал. Энергия

= r/σ и параметра μ = M²/εmσ² эта зависимость

сжатия-растяжения молекулы описывалась потен-

записывается в виде

циалом Леннард-Джонса [20]

]

U_eff (ρ)

)₁₂

)₆

[(σ

⁽σ

= 4(ρ-12 - ρ-6) +

ρ-2.

(9)

U_v(r) = 4ε

(3)

В точках экстремумов

Здесь параметр ε характеризует минимальную по-

тенциальную энергию (min U_v(r)

= -ε), а σ —

μ = -48ρ-10 + 24ρ-4,

равновесное расстояние между атомами, отвечаю-

U_eff (ρ)

(10)

= -20ρ-12 + 8ρ-6.

щее этому минимуму (точнее, это расстояние равно

21/6σ).

Функция μ(ρ) положительна при ρ > 21/6 ≈ 1.122 и

имеет единственный максимум при ρ = 51/6 ≈ 1.308.

3. СВОБОДНАЯ МОЛЕКУЛА

В интервалах 21/6 < ρ < 51/6 и 51/6 < ρ < ∞ связь

между μ и ρ взаимно однозначная. При этом ин-

Движение двухатомной молекулы, не взаимодей-

тервал 21/6 < ρ < 51/6 соответствует минимальным

ствующей со стенками ловушки, описывается клас-

значениям эффективной энергии, а интервал 51/6 <

сической задачей двух тел [8]. Сохраняющиеся им-

< ρ < ∞ — максимальным.

пульс P, энергия E и момент импульса M имеют

В точках экстремумов U_eff монотонно растет с

вид

возрастанием μ, причем maxμ = μ_cr = 14.4 · 5-2/3 ≈

P = p₁ + p₂ = m₁˙r₁ + m₂˙r₂,

≈ 4.925 и max(U_eff /ε) = 0.8 (рис. 1). Вычисленные

максимальные значения μ_cr и max(U_eff ) не зависят

m₁ r²¹ +

m₂ r²² + U(r),

(4)

от соотношения масс атомов в молекуле, в отличие

M = [r₁ × p₁] + [r₂ × p₂].

от значения момента импульса.

992

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Динамика двухатомной молекулы в ловушке

U_eff

0.8

0.4

–0.4

-0.8

-1.2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

U_eff/

Рис. 3. Зависимости периода колебаний свободной моле-

Рис. 1. Зависимости от μ эффективной потенциальной

кулы от степени ее возбуждения. В начальный момент мо-

энергии U_eff в точках экстремумов. Сплошная кривая со-

лекула находится в равновесном состоянии. Кривая 1 —

ответствует максимумам эффективной энергии (точки по-

молекула возбуждается за счет увеличения Uv, враща-

ворота, где ρ = 0), штриховая линия — минимумам эф-

тельный момент равен нулю, молекула разрывается при

фективной энергии (максимальные значения ρ˙)

U_eff = 0; кривая 2 — молекула возбуждается за счет уве-

личения ее вращательного момента, разрыв молекулы про-

исходит при μ ≈ 3.89, U_eff ≈ 0.5447ε

U_eff/

Зависимость эффективной потенциальной энер-

гии от расстояния между атомами при μ > μ_cr не

обладает минимумом (рис. 2, кривая 2). Тогда моле-

кула неизбежно распадается (диссоциирует) на два

атома. Если же μ меньше критического значения, то

молекула разрывается, когда ее полная энергия ста-

новится больше значения U_eff в точке максимума,

а при меньших энергиях молекула колеблется с пе-

риодом T , возрастающим до бесконечности с ростом

ее полной энергии до значения U_eff в точке макси-

мума. В частности, при нулевом моменте импульса

(M = 0) диссоциация происходит при энергии мо-

лекулы, большей нуля (в системе центра инерции,

рис. 3, кривая 1).

-1

Для расчетов динамики удобно перейти к безраз-

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

мерной координате z^′

= z/σ, безразмерному време-

ни

Рис. 2. Эффективная потенциальная энергия в зависимо-

√

сти от расстояния между атомами ρ = r/σ при нулевом

24ε

τ =t

моменте импульса, μ = 0 (1), критическом значении μcr

(m₁ + m₂)σ²

(2) и промежуточном значении μcr /2 (3)

и безразмерным параметрам

993

ЖЭТФ, вып. 6

Н. Н. Розанов, Н. В. Высотина

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

U_vmax/

гии между вращательной энергией и колебатель-

ной иллюстрируют рис. 4 и 5. В начальный мо-

мент молекула находится в равновесном состоянии

(U_v = U_vmin = -ε). Ей сообщается вращательный

-0.2

момент, которому соответствует параметр μ. Вид-

но, что динамика оказывается периодической и при

возрастании вращательной энергии перекачка в ко-

лебательную энергию непрерывно увеличивается.

-0.4

4. СТОЛКНОВЕНИЯ СО СТЕНКАМИ

-0.6

Поскольку, согласно (1) и (2), сила взаимодей-

ствия со стенками имеет только продольную состав-

-0.8

ляющую (вдоль оси z), из-за наличия стенок сохра-

няются постоянными поперечные компоненты им-

пульса молекулы и продольная составляющая мо-

–1.0

мента импульса. Ввиду этого без потери общности

можно считать, что поперечный импульс молекулы

) = 0. Продольная составляющая им-

P_⊥ = (p_x, p_y

Рис. 4. Максимальное количество колебательной энергии,

пульса, естественно, при столкновениях со стенками

перекачавшейся из вращательной, в зависимости от μ

меняется. С учетом потенциальной энергии взаимо-

действия молекулы со стенками неизменной остает-

U₀

ся общая энергия.

w^′ =

L^′ =

C =

24ε

Вообще говоря, потенциал взаимодействия со

(11)

m1,2

m′1,2 =

стенками U^′w имеет минимум посередине ловушки,

m₁ + m₂

при z^′ = L^′/2. Поэтому локализация молекулы око-

Теперь уравнения движения Ньютона примут вид

ло этого положения устойчива, а малые отклонения

(

от него вызывают лишь малоамплитудные гармони-

⁾ρ₁ -ρ₂

m′1

ρ₁ =

ческие осцилляции. Однако мы будем считать, что

ρ¹³

ρ⁷

[

длина ловушки значительно превышает «ширину»

⁽z′1 -L^′r)

⁽L^′l -z′1)]

exp

- exp

e_z,

стенок w и размер молекулы r₀. Поэтому минимум

w^′

потенциала очень широкий и уже при небольших

(

(12)

⁾ρ₂ -ρ₁

энергиях поступательного движения молекула уда-

m′2

ρ₂ =

ρ¹³

ρ⁷

ляется от минимума на значительные расстояния,

[

⁽z′2 -L^′r)

⁽L^′l -z′2)]

сталкиваясь со стенками. Именно при таких усло-

exp

- exp

e_z.

виях, когда можно пренебречь наличием миниму-

w^′

, и будет проводиться дальнейшее

ма потенциала U^′w

При этом безразмерные выражения для потенциала

рассмотрение.

Леннард-Джонса, энергии взаимодействия молеку-

Основные расчеты проводились при следующих

лы со стенками и кинетической энергии выразятся

параметрах: расстояние между стенками L^′r - L^′l =

соответственно следующим образом:

= 100, C = 0.1, w^′ = r₀, где r₀ = 21/6 — безразмерное

(

)

U_LJ(ρ)

равновесное расстояние между атомами.

U^′LJ(ρ) =

ρ¹²

ρ⁶

Столкновения со стенками молекулы с ненуле-

U_w(z^′)

вой продольной составляющей импульса приводят

U^′w(z^′) =

= 24C ×

к перераспределению энергии между поступатель-

(13)

[

(

)]

⁽z^′ -L^′)

z^′

ной, вращательной и колебательной степенями сво-

× exp

+ exp

боды. Это перераспределение критически зависит от

w^′

(

)

«размазанности» стенок — параметра w. Как пока-

E_t = 12

m′1V′21 + m′2V′22

зывает рис. 6, по мере увеличения параметра w доля

Следующие рисунки получены численным ре-

энергии, перекачанной в результате столкновений в

шением уравнений (12). Перераспределение энер-

колебательную и вращательную, уменьшается, при-

994

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Динамика двухатомной молекулы в ловушке

U/,U

U U / ,

2.0

1.5

1.0

0.5

–0.5

-0.5

–1.0

-1.0

–1.5

-1.5

100

Рис. 5. Колебательная (нижние кривые) и вращательная (верхние кривые) энергии молекулы. a) μ ≈ 2, перекачка энергии

незначительна, колебательная энергия минимальна; б) μ ≈ 3, перекачка энергии более выражена; в) μ ≈ 3.89, перекачка

энергий приближается к максимально возможной без разрыва молекулы

-U

)/ , U

v max

v min

r max

)/E ,t0

1.6

v max

v min

r max t0

1.0

1.2

0.8

0.6

0.8

0.4

0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Et0/

w/r₀

Рис. 7. Количество энергии, перекачавшееся в колебатель-

Рис. 6. Доля исходной поступательной энергии, перека-

ную энергию (Uv max - Uv min)/ε (сплошная кривая) и во

чавшаяся в колебательную энергию (Uv max - Uv min)/Et0

вращательную энергию Ur max/ε (штриховая линия) в за-

(сплошная линия) и во вращательную энергию Ur max/Et0

висимости от исходной энергии поступательного движения

(штриховая линия) в зависимости от «толщины» стенки

при w = 1. В начальный момент молекула имеет только

w. В начальный момент молекула находится в центре ло-

энергию поступательного движения, m1 = m2, ось моле-

вушки в равновесном состоянии и имеет только кинети-

кулы наклонена к оси z под углом ϕ = 0.6π

ческую энергию поступательного движения Et0 = 0.48ε,

= m2. Ось молекулы наклонена к оси z под уг-

лом ϕ = 0.6π. Перекачка энергии происходит в резуль-

чем для колебательной энергии это уменьшение вы-

тате столкновений молекулы со стенками. Время расчета

ражено более резко.

τmax

= 2 · 10⁶

Как видно из рис. 6, при w

≈ r₀ в резуль-

тате столкновения со стенками перекачка энергии

995

Н. Н. Розанов, Н. В. Высотина

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

U_rmax/

-U

Таблица

v max

v min

0.4

0.004

w=1

w = 0.1

0.3

0.003

0.1

0.0025

0.0036

0.2

0.0055

0.0129

0.2

0.002

0.3

0.0077

0.4

0.0108

0.1

0.001

тический характер движения, причем из сравнения

рис. 9а и 9б следует, что для более жесткой стенки

перекачка в колебательную энергию увеличивается.

Хаотический характер движения молекулы

m /m₁₂

подтверждается вычислением показателя Ляпу-

Рис. 8. Количество энергии, перекачавшееся в колебатель-

нова

— скорости разбегания исходно близких

ную энергию (Uv max - Uv min)/ε (сплошная кривая) и во

траекторий [3]:

вращательную энергию Ur max/ε (штриховая линия) в за-

R(t)

висимости от отношения масс атомов, составляющих мо-

λ = lim

(14)

лекулу; w = 1, Et0 = 0.48ε, Uv min = -ε

t→∞,R0→0 t

R₀

Здесь

(

в колебательную незначительна, заметная перекач-

R(t) = (z₁₁(t) - z₁₀(t))² + (y₁₁(t) - y₁₀(t))² +

ка происходит только во вращательную энергию.

)1/2

В соответствии с рис. 4 при U_r

= 0.48ε из вра-

... +(y₂₁(t) - y₂₀(t))²

(15)

щательной энергии в колебательную преобразует-

ся приблизительно 5.8 % энергии. Таким образом,

— текущее расстояние между «невозмущенной» (по-

при w ≈ r₀ разрыв молекулы может происходить

следний индекс «0») и «возмущенной» (индекс «1»)

лишь при значениях энергии, заметно превышаю-

траекториями, а R₀ — его начальное значение. Ре-

щих энергию разрыва ε. При w ≪ r₀ перекачка энер-

зультаты расчетов показателя Ляпунова представ-

гии в колебательную происходит непосредственно за

лены в таблице. В расчетах R₀

= 10-3, 10-4,

счет столкновения со стенкой и может приближать-

m₁/m₂ = 1, 2, w = r₀, V — начальная скорость по-

ся к 100 %.

ступательного движения (центра инерции молеку-

Из рис. 7 видно, что при w = 1 разрыв молеку-

лы), угол наклона оси молекулы по отношению к

лы происходит тогда, когда вращательная энергия

направлению поступательного движения (оси z) ра-

достигает критического значения U_r ≈ 1.544ε, т. е.

вен 0.6π. Во всех приведенных случаях показатель

разрыв происходит в результате вращения, а непо-

Ляпунова положителен: λ > 0. Нетрудно заметить,

средственной перекачки энергии в колебательную в

что степень хаотичности (λ) возрастает при увели-

результате столкновения со стенкой практически не

чении исходной поступательной энергии и жестко-

происходит. Асимметрия молекулы увеличивает пе-

сти стенок (уменьшении w).

рекачку энергий (рис. 8).

Наконец, вернемся к указанному выше обстоя-

Как указывалось выше, мы не будем затраги-

тельству о регулярной динамике системы при весь-

вать область чрезвычайно низких поступательных

ма малых значениях поступательной энергии мо-

энергий, при которых мог бы реализоваться режим

лекулы. В отсутствие взаимодействия молекулы со

малых осцилляций вблизи середины ловушки. При

стенками задача сводится к проблеме двух тел, так

больших энергиях все периодические режимы ока-

что является интегрируемой (см. выше). Согласно

зываются неустойчивыми. Примеры установившего-

теореме Колмогорова - Арнольда - Мозера [21], до-

ся изменения энергетических характеристик приве-

статочно малые возмущения не могут изменить ха-

дены на рис. 9. Горизонтальные участки отвечают

рактер такого квазипериодического движения, за

движению в ловушке вдали от стенок. Виден хао-

исключением множества траекторий меры нуль в

996

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Динамика двухатомной молекулы в ловушке

E_t/

0.6

0.4

0.2

U_r/

0.6

0.4

0.2

U_v/

–0.99

-0.8

-0.9

-1.00

-1.0

.10-4

Рис. 9. Зависимости от времени поступательной, вращательной и колебательной энергий при разных значениях w:

w = 0.19r0 (a), 0.11r0 (б). В начальный момент молекула имела только энергию поступательного движения Et0 = 0.48ε,

m1 = m2. Перекачка энергий происходит в результате столкновений молекулы со стенками

M. 10⁶

-1

–2

-2

–3

-3

0.5

1.0

0.5

1.0

.10-8

Рис. 10. Регулярная (а) и хаотическая (б) динамика углового момента M в зависимости от времени τ при начальной

поступательной энергии молекулы Et0 = 10-19ε (а), 10-18ε (б); расстояние между стенками ловушки L^r - L^l = 50

фазовом пространстве, так что хаотические режи-

энергии поступательного движения, т. е. границы

мы в этом случае исключены. Однако эта теорема не

между квазипериодическим и хаотическим режи-

отвечает на вопрос о численном значении пороговой

мами. Качественно такую оценку в рассматривае-

997

Н. Н. Розанов, Н. В. Высотина

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

мом здесь случае можно провести следующим обра-

А. Лихтенберг, М. Либерман, Регулярная и сто-

зом. В центре ловушки имеется весьма пологий ми-

хастическая динамика, Мир, Москва

(1985);

нимум потенциальной энергии, вызванной воздей-

A. J. Lichtenberg and M. A. Lieberman, Regular

and Chaotic Dynamics, Appl. Math. Sci., Vol. 38,

ствием удаленных стенок. При этом минимальной

Springer-Verlag, New York (1992).

энергией будет обладать молекула, ориентирован-

ная ортогонально оси ловушки и покоящаяся точ-

А. Ю. Лоскутов, УФН 177, 989 (2007).

но в ее центре. Придание молекуле поступательно-

Л. Д. Пустыльников, УМН 50, 143 (1995).

го движения вызывает ее колебания около центра

с амплитудой, определяемой кинетической энерги-

А. С. Рощупкин, В. П. Крайнов, ЖЭТФ 114, 37

ей. В согласии с представленными на рис. 10 ре-

(1998).

зультатами расчетов, движение остается регуляр-

ным до тех пор, пока размах колебаний не превы-

N. N. Rosanov and N. V. Vysotina, Phys. Rev. A 91,

013622 (2015).

шает нескольких размеров молекулы. Рассчитанная

пороговая энергия составляет в наших условиях от

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, Наука,

10-19 ε до 10-18 ε. Столь малая величина порога де-

Москва (1988).

лает эту оценку условной, так как при этом суще-

L. D. Carr, D. DeMille, R. V. Krems, and Jun Ye,

ственными могут стать квантовые эффекты.

New J. Phys. 11, 055049 (2009).

10.

P. Dedecker and J. Hofkens, Nature Chem. 2, 157

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(2010).

11.

M. G. Raizen, Physics Today 70, 12 (2017).

Таким образом, учет внутренних степеней сво-

боды объекта (по сравнению с точечным) может

12.

H. J. Williams, S. Truppe, M. Hambach et al., New

кардинально менять его динамику. За исключением

J. Phys. 19, 113035 (2017).

области чрезвычайно малых кинетических энергий,

13.

L. R. Liu, J. D. Hood, Y. Yu et al., Science 360, 900

для которой характерно периодическое движение,

(2018).

двухатомная молекула, обладающая колебательной

степенью свободы, испытывает хаотическое движе-

14.

U. Keller, Appl. Phys. B 100, 15 (2010).

ние уже в стационарной ловушке. В определенном

15.

T. Brabec and F. Krausz, Rev. Mod. Phys. 72, 545

смысле колебания молекулы заменяют здесь колеба-

(2000).

ния стенок ловушки в классической проблеме Улама

[2], сыгравшей важную роль в развитии представле-

16.

F. Krausz and M. Ivanov, Rev. Mod. Phys. 81, 163

(2009).

ний о динамическом хаосе. Развитие методов глубо-

кого охлаждения молекул делает реальным поста-

17.

В. В. Стрелков, В. Т. Платоненко, А. Ф. Стержан-

новку соответствующих экспериментов.

тов, М. Ю. Рябикин, УФН 186, 412 (2016).

18.

R. Reimann, M. Doderer, E. Hebestreit et al., Phys.

Rev. Lett. 121, 033602 (2018).

ЛИТЕРАТУРА

19.

J. Ahn, Zh. Xu, J. Bang et al., Phys. Rev. Lett. 121,

1. E. Fermi, Phys. Rev. 75, 1169 (1949).

033603 (2018).

2. S. M. Ulam, in Proc. of the Fourth Berkeley Sym-

20.

J. E. Lennard-Jones, Proc. Roy. Soc. A 106, 463

posium on Mathematics, Statistics, and Probabili-

(1924).

ty, Vol. 3, California Univ. Press, Berkeley (1961),

21.

Ю. Мозер, КАМ-теория и проблемы устойчивос-

pp. 315-320.

ти, РХД, Ижевск (2001).

998