ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 6, стр. 1029-1036

КОМПАКТНЫЕ ЗВЕЗДЫ С МОДИФИЦИРОВАННЫМ

УРАВНЕНИЕМ ТОЛМАНА - ОППЕНГЕЙМЕРА - ВОЛКОВА

В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ ГАУССА - БОННЕ

М. Ф. Шамир^*, Т. Наз^**

Факультет естественных и гуманитарных наук,

Национальный университет компьютерных и инновационных наук

54000, Лахор, Пакистан

Поступила в редакцию 4 января 2019 г.,

после переработки 17 января 2019 г.

Принята к публикации 22 января 2019 г.

(Перевод с английского)

COMPACT STARS WITH MODIFIED GAUSS-BONNET

TOLMAN-OPPENHEIMER-VOLKOFF’S EQUATION

M. F. Shamir, T. Naz

В рамках модели f(G)-гравитации с использованием модифицированного уравнения Толмана - Оппен-

геймера - Волкова исследуются компактные звезды. Уравнения гидростатического равновесия рассмот-

рены в контексте f(G)-гравитации. Профили плотности энергии, давления и массы звезд исследованы

с помощью двух разных моделей уравнений состояния, p = ωρ5/3 и p = a(ρ - 4b), где ρ — плотность

энергии, ω, a и b — конкретные постоянные. В модели, для которой f(G) = αG², где α — произвольная

постоянная, обсуждаются физические характеристики компактных объектов при различных значениях

параметра модели α. Оказалось, что в рамках f(G)-модели гравитации нейтронные и странные звезды

следуют принятым физическим сценариям, причем полученные нами результаты согласуются с резуль-

татами, доступными в литературе.

DOI: 10.1134/S0044451019060075

поскольку она не описывает напрямую некоторые

важные явления, такие как темная энергия, темная

материя, начальная сингулярность, космологиче-

1. ВВЕДЕНИЕ

ское ускорение в позднюю эпоху и тот факт, что

Согласно последним исследованиям, явление

Вселенная является плоской. Теория относительно-

ускоренного расширения Вселенной рассматрива-

сти описывает космологическое поведение в области

ется как важнейший и интереснейший предмет

слабых полей, однако для того, чтобы описать силь-

современной космологии и астрофизики [1, 2]. Для

ные поля с учетом расширения Вселенной, ее нужно

лучшего понимания этой концепции в работах [3, 4]

немного модифицировать. В последние десятилетия

было введено понятие космологической постоян-

появились модифицированные теории гравитации,

ной. Расширение Вселенной подчиняется законам

альтернативные общей теории относительности.

теории относительности Эйнштейна и классической

Считается, что из некоторых из предложенных

динамики солнечных объектов. Однако теория

альтернативных моделей гравитации действитель-

относительности имеет некоторые ограничения,

но следует ускоренное расширение Вселенной. В

работе [5] предполагается, что с помощью модифи-

^* E-mail: farasat.shamir@nu.edu.pk

цированных теорий гравитации можно эффективно

^** E-mail: tayyaba.naz@nu.edu.pk

1029

М. Ф. Шамир, Т. Наз

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

описывать загадочное поведение темной энергии и

объектов. Уравнения ТОВ представляют собой со-

космологические явления в позднюю эпоху. Одной

отношения между давлением, массой и плотностью

из простейших и хорошо известных модификаций

энергии отдельных звезд. Эти уравнения показыва-

общей теории относительности является f(R)-

ют, как масса компактной звезды влияет на давле-

теория гравитации, предложенная в работе [6], в

ние и плотность энергии. Для компактных звезд, в

этой теории скаляр Риччи R заменяется произволь-

особенности для нейтронных звезд, внутреннее дав-

ной функцией f(R). Модифицированные теории

ление, эквивалентное гравитационному давлению,

гравитации играют важную роль в исследовании

обусловлено вырождением фермионов. В соответ-

различных аспектов эволюции Вселенной [7]. Эти

ствии с релятивистским подходом общей теории от-

теории рассматриваются как альтернативные при

носительности, будем рассматривать систему урав-

попытке ответить на вопрос о том, что является

нений ТОВ для случая сферически-симметричного

причиной ускоренного расширения Вселенной [8, 9].

гидростатического равновесия без вращения:

Еще одна теория, которая в последнее время при-

(ρc² + p)(mc² + 4πr³)

влекает внимание ученых, — это модифицированная

= -G

= 4πρr², (1)

r²c⁴ - 2Gmc²r

теория гравитации Гаусса - Бонне, также известная

где p — радиальное давление, ρ — плотность энер-

как f(G)-теория гравитации [10-12]. Аппарат, ис-

пользуемый в f(G)-теории гравитации, был разра-

гии, а m — масса звезды, все они зависят от ради-

альной координаты r. Для компактной звезды на

ботан авторами работы [13], где также было показа-

но, как с помощью этой теории можно описать та-

границе r = R полная масса звезды равна

кую последовательность космологических событий,

∫

как доминирование материи, переход от замедления

M (R) =

4πr²ρ dr.

(2)

к ускорению и, наконец, эпоху ускорения. В рабо-

те [14] исследовались ограничения эффективных с

точки зрения космологии f(G)-моделей гравитации,

Для решения этой системы важен выбор урав-

обусловленные солнечной системой, и было полу-

нений состояния (УС), определяющих связь меж-

чено, что с помощью этих моделей можно описать

ду давлением и плотностью энергии. В работе [30]

ускоренное расширение Вселенной в позднюю эпо-

исследовались равновесные конфигурации нейтрон-

ху. Анализ фазового пространства для эффектив-

ных и кварковых звезд с различными формами УС

ных f(G)-моделей гравитации и условий их эффек-

и было получено, что максимальная масса может

тивности с космологической точки зрения был про-

превышать наблюдаемые пределы. На возможность

веден в работе [15]. Роль слагаемого Гаусса - Бонне в

существования нейтронных звезд с высокими плот-

объяснении фазы ускоренного расширения Вселен-

ностями в центре и массами, большими, чем те, ко-

ной в позднюю эпоху обсуждалась в работе [16].

торые получаются с помощью общей теории относи-

В астрофизике компактные звезды, как прави-

тельности, в контексте модифицированных теорий

ло, возникают вследствие гравитационного коллап-

гравитации обращалось внимание в работах [31-33].

са массивных звезд. Результат такого коллапса за-

Использование уравнений ТОВ для различ-

висит от массы звезды. Компактными звездами яв-

ных модифицированных моделей гравитации

ляются белые карлики, нейтронные звезды и черные

имеет большое значение для лучшего понимания

дыры. Физические характеристики звезд определя-

и исследования природы компактных звездных

ются соотношением между внутренним давлением

структур и материи при больших плотностях

и силой гравитации, в результате чего возникает со-

[34-37]. В частности, исследование уравнений ТОВ

стояние равновесия, известное как гидростатическое

в рамках модифицированной f(R)-модели грави-

равновесие. Это явление имеет большое значение

тации имеет очень интересные следствия [38-41].

при исследовании внутренней структуры звезд. Ре-

В работе

[35] исследовались модели кварковых

шения для изотропных звезд в общей теории относи-

звезд с реалистичным УС в непертурбативной

тельности описываются уравнениями Толмана - Оп-

f (R)-модели гравитации и было получено соот-

пенгеймера - Волкова (ТОВ) [17-19]. В работе [20] с

ношение масса-радиус. Структура нейтронной

использованием уравнений ТОВ исследовалась мо-

звезды исследовалась в работе [42] в рамках модели

дель нейтронной звезды, основанная на мотивиро-

гравитации, в которой f(R)

= R + βR^μνR_μν, с

ванной теорией струн гравитации Гаусса - Бонне. В

использованием пертурбативного подхода, при

ряде работ [21-29] подход ТОВ использовался для

этом были получены соотношения масса-радиус

исследования внутренней структуры компактных

для шести различных параметров УС. На самом

1030

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Компактные звезды с модифицированным уравнением...

деле наибольшее внимание уделяется исследованию

действие (3) по метрическому тензору, получаем мо-

компактных звезд именно в рамках модифици-

дифицированные полевые уравнения

рованных теорий гравитации, причем предметом

[

обсуждения является целый ряд работ, имеющих

R_μν -

Rg_μν + 8 R_μρνσ + R_ρνg_σμ - R_ρσg_νμ -

отношение к нейтронным звездам [43-45]. В работе

]

[34] в контексте расширенных теорий гравитации

-R_μνg_σρ +R_μσg_νρ +

(g_μν g_σρ - g_μσg_νρ) ∇^ρ∇^σf_G +

исследовались модифицированные уравнения ТОВ

и возможное существование нейтронных звезд

+ (Gf_G - f)g_μν = κ²T_μν ,

(4)

при сильных магнитных полях. Для этого авторы

работы рассмотрели теорию Эйнштейна в обоб-

где нижний индекс G в f_G означает производную от

щенном виде, а именно, с учетом инвариантного

f (G) по G, а R_μν и R_μρνσ — тензоры Риччи и Римана,

члена Гаусса - Бонне, а затем сравнили результаты

соответственно. Слагаемое Гаусса - Бонне G опреде-

с результатами, полученными в рамках f(R)-теории

ляется как

гравитации. Недавно в работе [46] обсуждались

заряженные компактные структуры в модифициро-

G = R² - 4R_μνR^μν + R_μνσρR^μνσρ.

(5)

ванной теории гравитации Гаусса - Бонне.

Выберем сигнатуру для римановой метрики в виде

В настоящей работе исследуются уравнения

(+, -, -, -). Введем ковариантную производную и

ТОВ в рамках f(G)-теории гравитации. Для этого

тензор Римана как

выводится полная система уравнений движе-

ния для сферически-симметричного статического

∇_μV_ν = ∂_μV_ν - Γ^λμνV_λ

пространства-времени в присутствии идеальной

жидкости. В частности, рассматриваются уравне-

ния гидростатического равновесия и исследуются

R^σμνρ = ∂_νΓ^σμρ - ∂_ρΓ^σμν + Γ^ωμρΓ^σων - Γ^ωμνΓ^σωρ.

профили плотности энергии, давления и массы

звезд с помощью моделей с двумя различными

Рассмотрим сферически-симметричную метрику

уравнениями состояния. Кроме того, подробно

обсуждаются физические характеристики ком-

ds² = eν(r)dt² - eλ(r)dr² - r²(dθ² + sin² θ dφ²),

(6)

пактных объектов при различных значениях

параметров модели. Работа построена следующим

где ν и λ — некоторые произвольные функции от r.

образом. В разд. 2 приведены краткое обсужде-

Для пространства-времени (6) компоненты тензора

ние модифицированной f(G)-теории гравитации,

Эйнштейна G_αβ имеют вид

а также соответствующие полевые уравнения и

e^ν-λ

фундаментальные формулировки. В разд. 3 иссле-

G₁₁ =

(λ^′r+e^λ-1), G₂₂ =

(ν^′r-e^λ+1), (7)

дуются физические характеристики нейтронных и

r²

кварковых странных звезд с использованием двух

re^-λ

различных УС. В последнем разделе приведены

G₃₃ =

(-ν^′λ^′r + ν′2r + 2ν^′′r - 2λ^′ + 2ν^′),

(8)

заключительные замечания и результаты.

где «^′» обозначает радиальную производную. Ис-

пользуя уравнения (4), (7) и (8), запишем tt- и

rr-компоненты полевых уравнений в виде

2. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ПОЛЕВЫЕ

УРАВНЕНИЯ В f(G)-МОДЕЛИ

(λ^′r + e^λ - 1) - 8e^-λ(f_GGG G′2 + f_GG G^′′) ×

ГРАВИТАЦИИ

r²

)

⁽1-e^λ

+ (Gf_G - f)e^λ -

Наиболее общий вид действия для модифици-

r²

рованной теории гравитации Гаусса - Бонне следу-

⁽e^λ -3⁾

ющий [47]:

− 4e^-λ(λ^′G^′f_GG)

= κ²ρe^λ,

(9)

r²

∫

[

]

S= d⁴x√-g

+ f(G)

+S_m,

(3)

2κ²

⁽e^λ -3⁾

(ν^′r - e^λ + 1) - 4e^-λν^′G^′fGG

r²

где R — скаляр Риччи, κ² = 8πG — постоянная взаи-

- (Gf_G - f)e^λ = κ²pe^λ.

(10)

модействия, а S_m — лагранжиан материи. Варьируя

1031

М. Ф. Шамир, Т. Наз

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Инвариант Гаусса - Бонне и уравнение сохранения

2.1. Граничные условия

для сферически-симметричного пространства-вре-

Чтобы найти физические характеристики ком-

мени (6) принимают вид

пактных звезд, находящихся в гидростатическом

-λ

равновесии, надо проинтегрировать дифференци-

G =

(ν^′λ^′ + ν′2e^-λ - 3ν^′λ^′e^-λ - 2ν^′′ -

альное уравнение (15). Определим некоторые конк-

r²

ретные граничные условия в центре звезды:

- ν′2 + 2ν^′′e^-λ),

(11)

m(0) = 0, ρ(0) = ρ_c, p(0) = p_c.

(16)

ν^′

(p + ρ) = 0.

(12)

Решения на поверхности компактных звезд (r = R)

вычисляются при конкретном условии

Гравитационную массу m сферической звезды мож-

но связать с внутренним радиусом r уравнением

p(R) = 0,

e^-λ = (1 - 2m/r).

так что внутреннее пространство-время звезды

гладко сшивается с решением Шварцшильда.

Таким образом, записывая уравнения (9) и (10) в

Метрические потенциалы внутреннего и внеш-

терминах dp/dr, dm/dr и ρ, после некоторых пре-

него пространства-времени связаны следующим

образований получаем соответствующие уравнения

образом:

ТОВ:

eν(R) =

=1-

e^λ(R)

[

]₂ [

]

2 dm

2m/r³

где M — масса компактной звезды.

+8 1-

r2 dr

1 - 2m/r

)

[

]

^[2m⁽

r dm

2.2. Модели уравнения состояния

× f_GGGG′2 +f_GG

G′′ +4

r⁵

m dr

]

Структура и формирование нейтронных звезд

× (-2r + 6m) G^′f_GG + (Gf_G - f) = 8πρ,

(13)

полностью зависят от параметра УС, который опре-

деляет связь между давлением и плотностью энер-

гии внутри звезды [48]. Определив УС, дифферен-

[

]

⁽r - 2m) dp

циальное уравнение (15) можно решить относитель-

(2r - 6m)G^′fGG

но неизвестных функций m, p и ρ. Более того, УС

r²

p + ρ dr

r²

можно использовать, чтобы избавиться от одной

- (Gf_G - f) = 8πp.

(14)

неизвестной, что облегчает процесс интегрирования.

r³

Чтобы получить равновесные структуры компакт-

Мы будем использовать эти уравнения для анализа

ных звезд в f(G)-теории гравитации, мы рассмот-

нейтронных и кварковых звезд. Рассмотрим случай,

рели два хорошо известных УС (политропная мо-

когда

дель и модель MIT мешка). Работа [49] может слу-

f (G) = αGⁿ,

жить важным примером того, как можно использо-

т. е. когда f(G) — некоторая аналитическая функ-

вать политропное УС для исследования нейтронных

ция инвариантного слагаемого Гаусса - Бонне G [12].

звезд. Таким образом, если использовать политроп-

Выберем для простоты n = 2 и применим двумер-

ное УС

ный графический анализ. Тогда, собирая уравнения

p=ωρ5/3,

(13) и (14) вместе, получим

то уравнение (15) примет вид

r²(p + ρ)

dρ

r²(ρ5/3ω + ρ)

ρ2/3ω

2(r - 2m)(1 + 8α(2r - 6m)G^′/r²)

^[-2m

2 dm

^[-2m

2 dm

- 8π(p + ρ) +

- 8π(ρ5/3ω + ρ) +

r³

r2 dr

r³

r2 dr

(

)

(

)

(16αm)(-2r + 6m)G′(1 -

(16αm)(-2r + 6m)G^′

1-r

r⁵

]

32αm(1 - 2m/r)G^′′r

(15)

(17)

r³

1032

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Компактные звезды с модифицированным уравнением...

Здесь мы полагаем ω = 1.4745 · 10-3 [фм³/МэВ]2/3

4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

[50,51]. При исследовании странной кварковой мате-

рии [52] более подходящим считается выбор модели

Основная цель настоящей работы — исследова-

MIT мешка, где

ние физических аспектов компактных структур в

f (G)-модели гравитации. Для этого в f(G)-модели

p = a(ρ - 4b).

гравитации было рассмотрено обобщенное уравне-

ние ТОВ. Для исследования обобщенного уравнения

Для массивных кварковых звезд можно выбрать па-

ТОВ использовались политропное УС (p = ωρ5/3)

раметр a = 0.28 при m_s = 250 МэВ [53]. Параметр b

для нейтронных звезд и УС модели MIT мешка

называется постоянной мешка, в настоящей работе

= a(ρ - 4b)) для странных кварковых звезд.

мы полагаем b = 60 МэВ/фм³. Тогда

Из-за высокой степени нелинейности и сложной при-

роды соответствующих дифференциальных уравне-

dρ

r²(a(ρ - 4b) + ρ)

ний, мы выбрали численные методы их решения и

2(r - 2m)(1 + 8α(2r - 6m)G^′/r²)

использовали подходящие граничные условия при

^[-2m

2 dm

различных значениях параметра α.

- 8π(a(ρ - 4b) + ρ) +

r³

r2 dr

Исследовались физические и геометрические ас-

(

)

пекты этих УС при различных значениях параметра

(16αm)(-2r + 6m)G^′

1- r

α. Параметр модели α играет важную роль в эволю-

ции компактных структур в f(G)-модели гравита-

r⁵

]

32αm(1 - 2m/r)G^′′r

ции. Для модели, в которой f(G) = αG², поведение

(18)

плотности энергии ρ, давления p и нормированной

r³

массы звезды m/M_⊙ показано на рис. 1-3. Видно,

что когда радиальная координата r -→ 0, плот-

ность энергии достигает максимального значения,

3. НЕЙТРОННЫЕ И СТРАННЫЕ ЗВЕЗДЫ В

что указывает на компактность звезд. Кроме того,

f (G)-ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

радиальное давление для нейтронных и странных

Уравнения (17) и (18) являются в сильной степе-

кварковых звезд убывает при увеличении r и стре-

ни нелинейными дифференциальными уравнения-

мится к нулю на границе. Также получено, что при

ми и решить их аналитически сложно. Поэтому для

возрастании α массы нейтронных и кварковых звезд

исследования трех важных физических характери-

ведут себя противположным образом. Рост массы

стик компактных звезд, таких как плотность энер-

компактных объектов обусловлен параметром мо-

гии ρ, давление p и нормированная масса m/M_⊙,

дели α, этот факт играет важную роль. В принци-

мы решили воспользоваться методом Рунге - Кутта

пе, можно сказать, что влияние параметра модели

4-го порядка с граничными условиями при различ-

аналогично влиянию давления или дополнительно-

ных значениях α. На рис. 1 и 2 показано поведе-

го электрического заряда в конфигурациях нейтрон-

ние плотности энергии и давления для нейтронных

ных и странных звезд в общей теории относитель-

и странных кварковых звезд. Видно, что при r → 0

ности [50-55]. Однако важно отметить, что зависи-

плотность энергии достигает максимального значе-

мость масса-радиус оказывается прямо пропорцио-

ния. На рис. 2 видно, что с ростом r радиальное дав-

нальной, что соответствует реальным физическим

ление для нейтронных и странных кварковых звезд

характеристикам компактных структур и результа-

убывает. Более того, на границе давление стремится

там, доступным в литературе [30, 56]. Более того,

к нулю. Полученные зависимости плотности энер-

соотношение масса-радиус показывает, что с учетом

гии и давления свидетельствуют о высокой степени

кубических поправок в f(R)-модели гравитации, мо-

компактности этих звезд, если f(G)-модель грави-

жет быть достигнута максимальная масса нейтрон-

тации описывается степенным законом. На рис. 3

ных звезд [34]. В принципе, в модифицированных

представлены зависимости между массой и ради-

моделях гравитации возможно существование мас-

альной координатой, являющиеся прямо пропорци-

сивных нейтронных звезд с массами M > 4M_⊙ и ра-

ональными, причем полученные соотношения точ-

диусами 12-15 км. Таким образом, в нашем случае

но совпадают с обычными соотношениями масса-

существование устойчивых звезд с высокими плот-

радиус для компактных звезд. Видно, что при воз-

ностями в центре представляется реалистичным, ес-

растании α массы нейтронных и кварковых звезд

ли в f(G)-модели гравитации учитывать квадратич-

ведут себя противоположным образом.

ные поправки.

1033

М. Ф. Шамир, Т. Наз

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

, МэВ/фм³

900.0

= 0.4

= 0.5

0.8

0.7

899.5

1.2

0.9

899.0

1.6

1.1

2.0

899.0

1.3

898.5

898.0

897.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимости от радиальной координаты плотности энергии нейтронных (левая панель) и стран-

ных кварковых (правая панель) звезд при различных значениях параметра α. Плотность энергии в центре предполагалась

равной 900 МэВ/фм³

p, МэВ/фм³

100

150

= 0.2

= 0.4

100

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимости от радиальной координаты давления для нейтронных (левая панель) и странных

кварковых (правая панель) звезд при различных значениях параметра α

m/M

2.0

= 0.003

1.5

= 0.04

0.005

0.08

1.007

1.5

0.12

0.009

1.0

0.16

0.010

1.0

0.20

0.5

Рис. 3. (В цвете онлайн) Зависимости от радиальной координаты массы нейтронных (левая панель) и странных кварковых

(правая панель) звезд, нормированной на солнечную массу, при различных значениях параметра α

1034

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Компактные звезды с модифицированным уравнением...

Благодарности. Авторы благодарят рецензен-

21.

G. H. Bordbar and M. Modarres, Phys. Rev. C 57,

та за полезные замечания, которые помогли суще-

714 (1998).

ственно улучшить работу. Работа поддержана На-

22.

M. Visser and N. Yunes, Int. J. Mod. Phys. A 18,

циональным университетом компьютерных и инно-

3433 (2003).

вационных наук, Пакистан.

23.

R. R. Silbar and S. Reddy, Amer. J. Phys. 72, 892

(2004).

ЛИТЕРАТУРА

24.

G. Narain, J. Schaffner-Bielich and I. N. Mishustin,

Phys. Rev. D 74, 063003 (2006).

P. M. Garnavich et al., Astrophys. J. 509, 74 (1998).

25.

G. H. Bordbar, M. Bigdeli, and T. Yazdizadeh, Int.

A. G. Riess et al., Astron. J. 116, 1009 (1998).

J. Mod. Phys. A 21, 5991 (2006).

E. J. Copeland, M. Sami, and S. Tsujikawa, Int. J.

26.

P. Boonserm, M. Visser, and S. Weinfurtner, Phys.

Mod. Phys. D 15, 1753 (2006).

Rev. D 76, 044024 (2007).

K. Bamba, S. Capozziello, S. Nojiri, and S. D.

27.

X. Li, F. Wang and K. S. Cheng, J. Cosmol. Astro-

Odintsov, Astrophys. Space Sci. 342, 155 (2012).

part. Phys. 10, 031 (2012).

S. Capozziello, Int. J. Mod. Phys. D 11, 483 (2002).

28.

A. M. Oliveira, H. E. S. Velten, J. C. Fabris, and

H. A. Buchdahl, Mon. Not. R. Astron. Soc. 150, 1

I. G. Salako, Eur. Phys. J. C

74, 3170 (2014).

(1970).

29.

X. T. He, F. J. Fattoyev, B. A. Li, and W. G. Newton,

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Int. J. Geom. Meth.

Phys. Rev. C 91, 015810 (2015).

Mod. Phys. 4, 115 (2007).

30.

P. H. R. S. Moraes, J. D. V. Arbañil, and M. Malheiro,

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rep. 505, 59

J. Cosmol. Astropart. Phys. 06, 005 (2016).

(2011).

31.

A. V. Astashenok, S. D. Odintsov, and

S. Nojiri, S. D. Odintsov and V. K. Oikonomou, Phys.

A. de la Cruz-Dombriz, Class. Quant. Grav.

34,

Rep. 692, 1 (2017).

205008 (2017).

10.

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Lett. B 1, 631

32.

G. A. Carvalho et al., Eur. Phys. J. C 77, 871 (2017).

(2005).

33.

M. Sharif and A. Siddiqa, Eur. Phys. J. Plus. 132,

529 (2017).

11.

G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov and

S. Zerbini, Phys. Rev. D 73, 084007 (2006).

34.

A. V. Astashenok, S. Capozziello, and S. D. Odintsov,

12.

G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov and

J. Cosmol. Astropart. Phys. 01, 001 (2015).

S. Zerbini, Phys. Rev. D 75, 086002 (2007).

35.

A. V. Astashenok, S. Capozziello, and S. D. Odintsov,

Phys. Lett. B 742, 160 (2015).

13.

S. Nojiri and S. D. Odintsov, J. Phys. Conf. Ser. 66,

012005 (2007).

36.

D. Momeni, P. H. R. S. Moraes, H. Gholizade, and

R. Myrzakulov, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 15,

14.

A. D. Felice and S. Tsujikawa, Phys. Rev. D 80,

1850091 (2018).

063516 (2009).

37.

D. Momeni, H. Gholizade, M. Raza, and R. Myrza-

15.

S. Y. Zhou, E. J. Copeland, and P. M. Saffin, J. Cos-

kulov, Int. J. Mod. Phys. A 30, 1550093 (2015).

mol. Astropart. Phys. 07, 009 (2009).

38.

S. Capozziello, M. De Laurentis, R. Farinelli, and

16.

M. Sharif and H. I. Fatima, Int. J. Mod. Phys. D 25,

S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 93, 023501 (2016).

1650011 (2016).

39.

P. Brax, A. C. Davis, and R. Jha, Phys. Rev. D 95,

17.

R. C. Tolman, Proc. Nat. Acad. Sci. 20, 169 (1934).

083514 (2017).

18.

R. C. Tolman, Phys. Rev. 55, 364 (1939).

40.

H. Mansour, B. S. Lakhal, and A. Yanallah, J.

19.

J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, Phys. Rev. 55,

Cosmol. Astropart. Phys.

06, 006 (2018).

374 (1939).

41.

S. Capozziello, M. De Laurentis, I. De Martino,

20.

D. Momeni and R. Myrzakulov, Int. J. Geom. Meth.

M. Formisano, and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 85,

Mod. Phys. 12, 1550014 (2015).

044022 (2012).

1035