ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 6, стр. 1045-1060

СИЛЬНАЯ СПИН-ЗАРЯДОВАЯ СВЯЗЬ И

ЕЕ ПРОЯВЛЕНИЕ В СТРУКТУРЕ КВАЗИЧАСТИЦ,

КУПЕРОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СВОЙСТВАХ КУПРАТОВ

В. В. Вальковa*, Д. М. Дзебисашвили^a,b, М. М. Коровушкин^a,

К. К. Комаров^a, А. Ф. Барабанов^c

^a Институт физики им. Л. В. Киренского, ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^b Сибирский государственный университет науки и технологий им. М. Ф. Решетнева

660037, Красноярск, Россия

^c Институт физики высоких давлений им. Л. Ф. Верещагина Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

Поступила в редакцию 20 ноября 2018 г.,

после переработки 20 ноября 2018 г.

Принята к публикации 18 декабря 2018 г.

Спектр фермиевских возбуждений, проблема куперовской неустойчивости и лондоновская глубина про-

никновения магнитного поля в купратных сверхпроводниках рассмотрены в рамках единой концепции,

основанной на учете сильной связи между спинами ионов меди и дырками на ионах кислорода. Эта связь

приводит к сильной ренормировке затравочного спектра кислородных дырок с формированием спин-

поляронных квазичастиц. Анализ куперовской неустойчивости, проведенный в рамках спин-поляронной

концепции для различных каналов, показал, что в ансамбле спин-поляронных квазичастиц реализуется

только сверхпроводящее d-спаривание, тогда как решения, соответствующие s-спариванию, отсутствуют.

Продемонстрировано, что сверхпроводящее d-спаривание не подавляется кулоновским отталкиванием

дырок, находящихся на соседних ионах кислорода. Этот эффект обусловлен особенностями кристал-

лографического строения CuO2-плоскости и отмеченной выше сильной спин-фермионной связью. В

результате такое взаимодействие дырок выпадает из ядра интегрального уравнения для сверхпроводя-

щего параметра порядка с d-типом симметрии. Показано, что хаббардовское отталкивание дырок и их

взаимодействие для второй координационной сферы кислородной подрешетки при реальных величинах

взаимодействия не подавляют сверхпроводимости d-типа. Для спин-поляронного ансамбля исследова-

на зависимость лондоновской глубины проникновения магнитного поля от температуры и концентрации

дырок. Установлено, что особенности этой зависимости тесно связаны со спецификой спин-поляронного

спектра.

DOI: 10.1134/S0044451019060099

лов в нормальной фазе, но и приводят к новым сце-

нариям куперовской неустойчивости.

Электронная структура купратов адекватно

1. ВВЕДЕНИЕ

описывается моделью Эмери [1, 2] или ее более

Центральная проблема теории высокотемпера-

общим вариантом

[3], в котором учитываются

турной сверхпроводимости связана, как известно, с

как особенности кристаллографического строения

необходимостью корректного учета сильных элект-

CuO₂-плоскости, так и дырочные состояния в

ронных корреляций. Они не только качественно ме-

замкнутых оболочках ионов меди и кислорода.

няют характер основного состояния этих материа-

Энергетические параметры модели Эмери соответ-

ствуют режиму сильных электронных корреляций

^* E-mail: vvv@iph.krasn.ru

и позволяют посредством перехода к эффектив-

1045

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

ному гамильтониану проинтегрировать вклады от

или дырка), окруженная облаком спиновых флукту-

процессов ковалентного смешивания между d- и

аций [21]. Эта сложная квазичастица, обладающая

p-состояниями ионов меди и кислорода. Наиболее

ренормированной массой и движущаяся на фоне

просто такая процедура реализуется на основе

АФМ-упорядочения, рассматривается как спиновый

операторной формы теории возмущений в атомном

полярон. Простейшей реализацией такой квазичас-

представлении с привлечением операторов Хаббар-

тицы является локальный спиновый полярон [22,23],

да [4]. В результате возникает спин-фермионная

характеристики которого определяются из решения

модель (СФМ)

[5-10] с гамильтонианом H_sp-f ,

кластерной задачи. После выбора самых низколежа-

в которой пространство состояний ионов меди

щих по энергии состояний малого кластера можно

ограничено классом гомеополярных состояний.

описать движение локального спинового полярона

Для недопированного режима СФМ вырождает-

на фоне АФМ-упорядочения.

ся в модель Гейзенберга с антиферромагнитным

При использовании концепции спинового поля-

(АФМ) типом обменного взаимодействия между

рона в рамках СФМ было исследовано расщепление

ближайшими спинами ионов меди.

нижней зоны локального полярона [24], что позво-

Как известно, в теории купратных сверхпровод-

лило, например, описать резкое падение интенсив-

ников значительное внимание уделяется учету силь-

ности ARPES-пиков при изменении квазиимпульса

ной связи между спиновыми и зарядовыми степе-

от (π/2, π/2) к (π, π) или (0, 0), а также возможность

нями свободы [11-14]. Спин-зарядовые флуктуации

существования «теневой зоны» [25].

существенно сказываются на термодинамических и

В работах [16, 26] было показано, что, в отличие

транспортных свойствах купратных сверхпроводни-

от моделей сильной связи с большим числом под-

ков [15]. СФМ содержит слагаемые, отражающие

гоночных параметров (см., например, работу [27]),

спин-зарядовые флуктуации между локализованны-

в СФМ в рамках спин-поляронной концепции мо-

ми спинами ионов меди и кислородными дырками.

дификация энергетического спектра и поверхности

Такие слагаемые, в частности, соответствуют про-

Ферми обусловлены не соотношением между инте-

цессам спин-коррелированных перескоков [16-18], в

гралами перескока, а сильной корреляцией меж-

результате которых происходит перенос заряда с

ду подсистемой локализованных спинов ионов ме-

одновременным изменением проекции спина у кис-

ди в состоянии квантовой спиновой жидкости и

лородной дырки. При этом, согласно закону со-

подсистемой кислородных дырок, а также измене-

хранения суммарной проекции спина всей системы,

нием корреляционных характеристик этой кванто-

происходит изменение проекции спина на ионе ме-

вой спиновой жидкости при допировании. При этом

ди. Существенно, что параметры спин-фермионной

в работе [26] использовался всего один подгоноч-

связи оказываются большими и не допускают рас-

ный параметр — интеграл перескока дырок t, ко-

смотрения в рамках обычной теории возмущений.

торый подбирался на основе сравнения с экспери-

Это значительно обостряет проблему учета сильной

ментальными данными [27] для La2-xSr_xCuO₄. От-

спин-зарядовой связи в купратных сверхпроводни-

метим, что авторам работы [27] для достижения

ках.

удовлетворительного согласия между рассчитанной

Следует подчеркнуть, что СФМ, в отличие от

в приближении среднего поля поверхностью Ферми

упрощенных моделей электронного строения купра-

и ферми-поверхностью, восстановленной из экспе-

тов (типа модели Хаббарда или t-J-модели), сохра-

риментальных данных, потребовалось для каждого

няет описание реальной структуры CuO₂-плоскос-

уровня концентрации дырок подбирать свой набор

ти, элементарная ячейка которой включает в себя

из четырех параметров — трех интегралов переско-

два иона кислорода и один ион меди. Кроме того,

ка t₁, t₂, t₃ и сдвига энергии ε₀.

в СФМ принимается во внимание пространственная

Успехи концепции спинового полярона при опи-

разнесенность спиновой и зарядовой подсистем.

сании свойств нормального состояния купратов сде-

В рамках СФМ была развита спин-поляронная

лали актуальным вопрос об описании сверхпроводя-

концепция [16, 17, 19-21], позволившая правильно

щей фазы в условиях, когда куперовская неустойчи-

описать особенности спектральных свойств ферми-

вость развивается не для затравочных фермионов, а

евских квазичастиц купратных сверхпроводников в

в подсистеме спиновых поляронов [28]. В работе [29]

нормальной фазе. Исходная идея этой концепции со-

было показано, что ансамбль спин-поляронных ква-

стоит в том, что элементарное возбуждение в до-

зичастиц, возникающий в простейшей модели куп-

пированном двумерном антиферромагнетике может

ратных сверхпроводников — двумерной решетке

быть представлено как «голая» частица (электрон

Кондо в режиме сильных электронных корреляций,

1046

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Сильная спин-зарядовая связь и ее проявление.. .

обладает куперовской неустойчивостью с d_x2_-y2-ти-

частиц. При этом кулоновское отталкивание меж-

пом симметрии параметра порядка. В роли констан-

ду голыми дырками с фурье-образом V_q ренорми-

ты куперовского спаривания выступал интеграл об-

руется во взаимодействие между спин-поляронными

менного взаимодействия между локализованными

квазичастицами таким образом, что импульсная

спинами. Было показано, что трехцентровые вза-

зависимость этого эффективного взаимодействия

имодействия в спин-поляронном ансамбле, находя-

становится соответствующей структуре подрешетки

щемся в спин-жидкостной фазе подсистемы локали-

ионов меди. В результате возникает ситуация, при

зованных спинов, в отличие от t-J^∗-модели [30], спо-

которой эффективное отталкивание между спино-

собствуют куперовскому спариванию и обеспечива-

выми поляронами выпадает из ядра интегрального

ют реализацию сверхпроводящей фазы с высокими

уравнения для сверхпроводящего параметра поряд-

критическими температурами.

ка с d_x2_-y2 -типом симметрии.

Позже в работе [31] теория сверхпроводимос-

Позднее было рассмотрено влияние кулоновс-

ти ансамбля спиновых поляронов была развита

кого отталкивания V₂ дырок, находящихся на

в СФМ. Было показано, что сильная спин-фер-

следующих за ближайшими ионами кислорода

мионная связь, возникающая в результате гиб-

[33, 34], а также хаббардовского отталкивания U_p

ридизационного смешивания состояний ионов меди

дырок [35] на концентрационные зависимости кри-

и кислорода в исходной модели Эмери, не только

тической температуры перехода в сверхпроводящую

оказывает влияние на формирование спин-полярон-

фазу. Было показано, что учет отмеченных взаи-

ных квазичастиц [20], но и обеспечивает эффектив-

модействий приводит к уменьшению критической

ное притяжение между ними через обменное взаи-

температуры, однако эта температура остается в

модействие. Это индуцирует куперовскую неустой-

пределах значений, наблюдаемых эксперименталь-

чивость с d-волновым спариванием в системе спино-

но.

вых поляронов. В рамках такого подхода была пост-

В работе [35] в рамках СФМ была проанализиро-

роена фазовая T -x-диаграмма [31], хорошо коррели-

вана возможность возникновения сверхпроводяще-

рующая с экспериментальными данными по купрат-

го s-спаривания спин-поляронных квазичастиц. Рас-

ным сверхпроводникам.

четы зависимостей температуры перехода в сверх-

Важным результатом, полученным при дальней-

проводящую фазу от допирования показали, что во

шем развитии спин-поляронной концепции [31], яви-

всей области допирования решения уравнений са-

лось решение проблемы, возникшей вскоре после по-

мосогласования соответствуют только d_x2_-y2 -фазе,

явления первых теоретических работ по сверхпро-

тогда как решения для s-фазы отсутствуют. Этот

водимости в ВТСП. Эта проблема заключалась в

результат полностью согласуется с эксперименталь-

том, что межузельное кулоновское взаимодействие

ными данными по купратным сверхпроводникам.

V₁ дырок на ближайших ионах кислорода, которое

Отмеченные успехи концепции спинового по-

учитывалось в рамках эффективных низкоэнерге-

лярона при описании электронной структуры и

тических моделей на квадратной решетке, приво-

сверхпроводящих свойств купратных сверхпровод-

дило к подавлению сверхпроводящего спаривания

ников делают актуальным комплекс задач, связан-

с d-типом симметрии параметра порядка. В рабо-

ных с изучением кинетических и гальваномагнит-

те [32] было показано, что в купратных ВТСП ней-

ных свойств рассматриваемых материалов. В част-

трализация негативного влияния межузельного ку-

ности, значительный интерес представляет задача о

лоновского взаимодействия дырок на куперовскую

вычислении лондоновской глубины проникновения

неустойчивость в d-канале происходит в результате

магнитного поля в купратный сверхпроводник, в ко-

двух факторов. Первый из них связан с рассмот-

тором носителями заряда выступают не затравоч-

рением реальной кристаллографической структу-

ные фермионы [36-40], а спин-поляронные квазичас-

ры CuO₂-плоскости, для которой фурье-образ меж-

тицы, сформированные за счет сильной связи меж-

узельного взаимодействия имеет вид

ду спиновыми и зарядовыми степенями свободы. В

настоящей работе представлены наиболее важные

Vq = 4V1 cos(qx/2) cos(qy/2).

результаты по теории купратных сверхпроводников,

Второй фактор обусловлен сильной связью меж-

полученные на основе концепции спинового поляро-

ду локализованными спинами ионов меди и дыр-

на в рамках СФМ.

ками на ионах кислорода. Как было показано в

Результаты излагаются следующим образом. В

работе [31], это приводит к развитию куперовской

разд. 2 описывается СФМ, которая следует из трех-

неустойчивости в ансамбле спин-поляронных квази-

зонной p-d-модели в режиме сильных электронных

1047

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

U_p

∑

корреляций. Раздел 3 посвящен получению уравне-

Û_p =

[a†1↑a†2↓a3↓a4↑ + (a → b)] ×

ний для нормальных и аномальных функций Грина.

1,2,3,4

Здесь же приводится система интегральных урав-

×δ1+2-3-4,

(4)

нений для компонент сверхпроводящего параметра

порядка. В разд. 4 рассматривается энергетическая

структура спин-поляронных квазичастиц. В разд. 5

∑

4V₁

V_pp =

φ3-2 a†1αb†2βb3βa4α δ1+2-3-4 +

исследуется сверхпроводящая фаза спиновых поля-

1,2,3,4

ронов. В частности, рассматривается влияние меж-

αβ

узельного кулоновского взаимодействия на развитие

∑

V₂

куперовской неустойчивости ансамбля спиновых по-

[θxy2-3a†1αa†2β a3β a4α +

1,2,3,4

ляронов, а также демонстрируется устойчивость

αβ

сверхпроводящего d-спаривания относительно уче-

+ θyx2-3(a → b)] δ1+2-3-4,

(5)

та кулоновского отталкивания дырок, находящих-

ся на соседних ионах кислорода. На основе рассчи-

танных концентрационных зависимостей сверхпро-

∑

J =

eif(q-k)u^†kα(S_f · σ_αβ)u_qβ,

(6)

водящей критической температуры анализируется

fkqαβ

влияние хаббардовского взаимодействия и кулонов-

ского отталкивания дырок, находящихся на следу-

ющих за ближайшими ионах кислорода. В разд. 6

I^∑

I =

S_f · Sf+2δ.

(7)

вычисляется лондоновская глубина проникновения

fδ

магнитного поля в купратный сверхпроводник, в ко-

тором в качестве носителей заряда выступают спин-

Здесь введены следующие обозначения:

поляронные квазичастицы. В заключительном раз-

деле обсуждаются полученные результаты. В целях

ξkx(y) =

ε_p + τ(1 - coskx(y)) - μ,

удобства изложения результатов громоздкие мате-

ε_p = ε_p + 2V_pd, t_k = (2τ - 4t)s_k,xs_k,y,

матические выражения вынесены в Приложение.

xy(yx)

V′₂

θ_k

exp(ikx(y)) + exp(-iky(x)),

V₂

2. СПИН-ФЕРМИОННАЯ МОДЕЛЬ

k_x

s_k,x = sin

u_kβ = s_k,xa_kβ + s_k,yb_kβ,

(8)

В соответствии с экспериментальными данными,

(

)

t2pd

Δ_pd

в недопированном случае, когда на элементарную

τ =

Δ_pd

U_d - Δ_pd - 2V_pd

ячейку CuO₂-плоскости приходится одна дырка, си-

(

)

4t2pd

Δ_pd

стема находится в состоянии мотт-хаббардовского

J =

Δ_pd

U_d - Δ_pd - 2V_pd

диэлектрика [41]. В трехзонной p-d-модели (моде-

ли Эмери) [1, 2] этому случаю соответствует режим

Оператор

Ĥ_h (3) описывает подсистему дырок на

сильных электронных корреляций

ионах кислорода в квазиимпульсном представлении.

Δ_pd, (U_d - Δ_pd) ≫ t_pd > 0.

(1)

Здесь a^†kα(a_kα) — операторы рождения (уничтоже-

-орбиталями

ния) дырок в подсистеме кислорода с p_x

Эти неравенства, с одной стороны, требуют коррект-

(рис. 1), α = ±1/2 — проекция спина. Аналогич-

ного учета кулоновских корреляций на ионе меди, а

ным образом, операторы b^†kα(b_kα) описывают подси-

с другой стороны, позволяют провести редукцию га-

стему ионов кислорода с p_y-орбиталями. Одноузель-

мильтониана модели Эмери и получить СФМ [5-10]

ная энергия дырок обозначена посредством ε_p, μ —

с гамильтонианом

химический потенциал системы, t — интеграл пере-

скока.

Ĥ_sp-f =

Ĥ_h +

Û_p +

V_pp +

J+

(2)

Оператор

Û_p (4) описывает хаббардовское оттал-

где

кивание дырок на ионах кислорода. Межузельные

кулоновские взаимодействия дырок, находящихся

∑(

Ĥ_h =

ξkx a^†kαa_kα + ξky b^†kαb_kα +

на ближайших и следующих за ближайшими ионах

kα

кислорода (см. рис. 1), описываются оператором

V_pp

)

(5). Оператор

J (6) отвечает обменному взаимодей-

+ t_k(a^†kαb_kα + b^†kαa_kα) ,

(3)

ствию между подсистемой кислородных дырок и

1048

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Сильная спин-зарядовая связь и ее проявление.. .

ния дырок, находящихся на ближайших и следу-

ющих за ближайшими ионах кислорода, выбира-

ются соответственно равными V₁ = 1-2 эВ [44] и

V₂ = V′2 = 0.5-1 эВ.

3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ

ГРИНА

V₁

V₂

Поскольку величина обменной связи между ло-

p_y

кализованными спинами меди и спинами дырок

V₂

на ионах кислорода оказывается большой, J

= 3.38 эВ ≫ τ ≈ 0.10 эВ, при расчете энергети-

p_x

ческой структуры спин-поляронных возбуждений и

анализе условий возникновения сверхпроводящего

спаривания необходимо эту связь учитывать стро-

го. Для этой цели оказывается удобным проекци-

онный метод Цванцига - Мори [45-47], применение

которого в рамках СФМ подробно изложено в рабо-

тах [20, 26, 31].

Рис. 1. Структура CuO2-плоскости. Посредством V1 обо-

Для корректного учета отмеченной сильной

значено кулоновское взаимодействие дырок, находящихся

спин-зарядовой связи принципиальным является

на ближайших ионах кислорода, V2 и

— кулоновские

отталкивания дырок, находящихся на следующих за бли-

введение в базисный набор операторов, наряду с

жайшими ионах кислорода

a_kα и b_kα, также оператора

∑

L_kα =

eif(q-k)(S_f · σ_αβ)u_qβ.

(9)

fqβ

подсистемой спинов, локализованных на ионах ме-

ди, которые описываются операторами S_f . Здесь

Для анализа условий возникновения куперовской

σ = (σ^x, σ^y, σ^z) — вектор, составленный из мат-

неустойчивости к отмеченному набору трех операто-

риц Паули. Оператор

I (7) описывает сверхобменное

ров необходимо добавить еще три оператора [31, 32]

взаимодействие между ближайшими соседними спи-

(α = -α):

нами меди, возникающее в четвертом порядке тео-

a†-k¯α, b†-k¯α, L†-k¯α,

(10)

рии возмущений.

При записи гамильтониана СФМ учтены знаки

которые позволяют ввести аномальные термодина-

интегралов перескока в зависимости от направления

мические средние.

перескока и фазы волновых функций. Для компакт-

Замкнутая система уравнений для нормальных

ности квазиимпульсы, по которым осуществляется

G_ij и аномальных F_ij функций Грина (j = 1, 2, 3),

суммирование, обозначены числами 1, . . . , 4. Дель-

полученная в рамках проекционного метода, имеет

та-функция Дирака δ1+2-3-4 учитывает закон со-

вид

хранения импульса.

(ω - ξ_x)G1j = δ1j + t_kG2j + J_xG3j +

В дальнейшем при вычислении энергетической

+Δ1kF1j +Δ2kF2j,

структуры и анализе условий развития куперовской

неустойчивости в СФМ будут использоваться хо-

(ω - ξ_y)G2j = δ2j + t_kG1j + J_yG3j +

рошо установленные значения параметров модели

+Δ3kF1j +Δ4kF1j,

Эмери [42, 43]: t_pd = 1.3, Δ_pd = 3.6, V_pd = 1.2 (в

(ω - ξ_L)G3j = δ3j K_k + (J_xG1j + J_yG2j )K_k +

эВ). Для интеграла перескока дырок между иона-

(11)

Δ5k

ми кислорода используется значение t = 0.12 эВ

F3j,

K_k

[26], а величина константы обменного взаимодейст-

(ω+ξ_x)F1j = Δ∗1kG1j +Δ∗3kG2j -t_kF2j +J_xF3j ,

вия между спинами ионов меди выбирается рав-

ной I = 0.136 эВ, что согласуется с имеющимися

(ω+ξ_y)F2j = Δ∗2kG1j +Δ∗4kG2j -t_kF1j +J_yF3j ,

экспериментальными данными по купратным сверх-

Δ^∗

(ω + ξ_L)F3j =

5k G3j + (J_xF1j + J_yF2j )K_k.

проводникам. Параметры кулоновского отталкива-

K_k

1049

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6,

2019

∑

⁽U_p

Здесь введены обозначения для нормальных функ-

Δ1k = -

+ V2 cos(k_y - q_y)+

ций Грина

)

+ V ′2 cos(k_x - q_x) 〈a_q↑a_-q↓〉,

G₁₁ = 〈〈a_k↑|a^†k↑〉〉_ω, G₂₁ = 〈〈b_k↑|a^†k↑〉〉_ω,

4V₁ ∑

Δ2k = -

φ_k-q〈a_q↑b_-q↓〉,

G₃₁ = 〈〈L_k↑|a^†k↑〉〉_ω.

∑

Δ3k = -

φ_k-q〈b_q↑a_-q↓〉,

Функции Gi2 и Gi3 (i = 1, 2, 3) определяются ана-

2^∑(U_p

Δ4k = -

+ V2 cos(k_x - q_x)+

логичным образом с тем отличием, что на месте a^†k↑

стоят соответственно операторы b^†k↑ и L^†k↑. Аномаль-

)

+ V ′2 cos(k_y - q_y) 〈bq↑b-q↓〉,

ные функции Грина определяются выражениями

{

∑

(

Δ5k =

Ik-q

〈L_q↑L_-q↓〉 -

F₁₁ = 〈〈a^†-k↓|a^†k↑〉〉_ω, F₂₁ = 〈〈b^†-k↓|a^†k↑〉〉_ω,

}

)

- C₁〈u_q↑u_-q↓〉

+ 8IC

1〈uq↑u-q↓〉

F₃₁ = 〈〈L^†-k↓|a^†k↑〉〉_ω.

{

∑

-2γ1q〈L_q↑L_-q↓〉+

Для Fi2 и Fi3 (i = 1, 2, 3) используются те же обо-

)

}

значения относительно второго индекса, что и для

⁽3

- 4C₁γ1k

〈u_q↑u_-q↓〉

нормальных функций Грина.

∑

При записи системы уравнений (11) были ис-

(ξ(q_x)s_q,x + t_qs_q,y) 〈a_q↑L_-q↓〉 +

(13)

пользованы следующие функции:

∑

(ξ(q_y )s_q,y + t_qs_q,x) 〈b_q↑L_-q↓〉 -

ξx(y) = ξ_k

Jx(y) = Jsk,x(y),

)

x(y)

U_p

∑{(3

C₁

−

cosk_x

〈a_q↑a_-q↓〉 +

ξ_L(k) = ε_p - μ - 2t + 5τ/2 - J +

)

}

⁽3

C₁

+ [(τ - 2t)(-C₁γ1k + C₂γ2k) +

cosk_y

〈b_q↑b_-q↓〉

)

∑

V₁

^{(3

+ τ(-C₁γ1k + C₃γ3k)/2+

−

- 2C₁γ1k + C₂γ2k ψ_q +

+ JC₁(1 + 4γ1k)/4 - IC₁(γ1k + 4)]K-1k,

(12)

}(

)

+ C2 sinkx sink_yφ_q

〈a_q↑b_-q↓〉 + 〈b_q↑a_-q↓〉

{

∑

где K_k = 〈{L_k↑, L^†k↑}〉 = 3/4 - C₁γ1k, а посредством

−

V₂(C₁ cosk_y - C₂γ2k)cosq_y +

γ_jk обозначены инварианты квадратной решетки

(

)

}

C₃

+V^′

cos2k_x cosq_x

^-8+C1coskx -

γ1k = (cosk_x + cosk_y)/2, γ2k = cosk_x cosk_y,

× 〈a_q↑a_-q↓〉 -

{

∑

V₂(C₁ cosk_x - C₂γ2k)cosq_x +

(

)

}

γ3k = (cos2k_x + cos2k_y)/2.

C₃

+V^′

+ C1 cosk_y -

cos2k_y cosq_y

× 〈b_q↑b_-q↓〉,

Компоненты сверхпроводящего параметра по-

где

рядка связаны с аномальными средними следую-

k_x

k_y

щим образом:

I_k = 4Iγ1k, φ_k = cos

cos

1050

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Сильная спин-зарядовая связь и ее проявление.. .

k_x

k_y

E_k, эВ

DOS

ψ_k = sin

sin

и среднее

〈u_q↑u_-q↓〉 = -s2q,x〈a_q↑a_-q↓〉 - s2q,y 〈b_q↑b_-q↓〉 -

(

)

–2

-2

-ψ_q

〈a_q↑b_-q↓〉 + 〈b_q↑a_-q↓〉

(14)

При получении системы уравнений (11) прини-

–4

-4

малось во внимание, что подсистема локализован-

ных спинов на ионах меди находится в состоянии

–6

-6

(0,0)

( , )

( ,0) (0,0)( ,0) (0, )

квантовой спиновой жидкости. В этом случае воз-

никающие в выражениях (12) и (13) спиновые кор-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Энергетическая структура и

реляционные функции C_j = 〈S₀Srj 〉 удовлетворяют

плотность состояний (DOS) спин-фермионной модели в

соотношениям

нормальной фазе, рассчитанные для набора параметров

t_pd = 1.3, Δ_pd = 3.6, U_d = 10.5, V_pd = 1.2, Up = V1 =

= V2

= 0 и t = 0.12 (все параметры в электронвольтах).

C_j = 3〈Sx0S^xr

〉 = 3〈Sy0S^yr

〉 = 3〈Sz0S^z 〉,

(15)

Нижняя ветвь ϵ_1k соответствует спин-поляронным возбуж-

дениям. Красная сплошная линия показывает положение

где r_j — координата иона меди в координационной

химического потенциала μ

сфере с номером j. При этом 〈S^xf〉 = 〈S^yf〉 = 〈S^zf〉 = 0.

Зависимости корреляторов C_j от допирования на-

ходились совместно в рамках сферически-симмет-

ричного самосогласованного подхода для фрустри-

локализованными спинами на ближайших ионах ме-

рованного антиферромагнетика [48]. Поскольку нас

ди, а также спин-кoррелированные перескоки. При

интересует режим слабого допирования, вклады в

малых уровнях допирования x динамика дырок на

выражениях (12) и (13), возникающие в результате

ионах кислорода определяется исключительно ниж-

расцепления средних и пропорциональные корреля-

торам типа плотность-плотность, нами не рассмат-

ней зоной с дисперсией ϵ1k.

риваются.

Исследование модификации плотности фермиев-

ских состояний [49], вызываемой изменением вели-

чины интеграла перескока дырок на ионах кисло-

4. НОРМАЛЬНАЯ ФАЗА СПИНОВЫХ

рода, показало, что уменьшение t приводит к сдви-

ПОЛЯРОНОВ

гу особенности ван Хова спин-поляронной зоны,

представленной на рис. 2, и, как следствие, к сме-

щению максимума концентрационной зависимости

Из анализа системы уравнений (11) в нормаль-

сверхпроводящей критической температуры в сто-

ной фазе следует, что спектр фермиевских возбуж-

рону меньших дырочных плотностей (см. разд. 5).

дений в СФМ определяется решениями дисперсион-

ного уравнения

На рис. 3 представлена модификация поверхно-

сти Ферми при допировании в случае, когда хи-

det_k(ω) = (ω-ξ_x)(ω-ξ_y)(ω-ξ_L)-2J_xJ_yt_kK_k -

мический потенциал μ лежит в нижней зоне ϵ1k.

Видно, что в области малых x, отвечающих недо-

допированным купратам, поверхность Ферми силь-

- (ω-ξ_y)J2xK_k-(ω-ξ_x)J2yK_k-(ω-ξ_L)t2k = 0

(16)

но анизотропна. Оценки эффективной массы спин-

и состоит из трех ветвей, ϵ1k, ϵ2k и ϵ3k (рис. 2) [31].

поляронных квазичастиц в нодальном направлении

На рис. 2 видно, что нижняя ветвь ϵ1k характери-

(Γ-M) дают значение mΓ-M = 1.25m_e, где m_e —

зуется минимумом вблизи точки (π/2, π/2) зоны

масса свободного электрона. В антинодальном на-

Бриллюэна и значительно отделена от двух верхних

правлении (X-X) значение эффективной массы со-

зон, ϵ2k и ϵ3k. Появление нижней ветви обусловле-

ставляет m_X-X = 9.4m_e [50]. При уровне допирова-

но сильной спин-зарядовой связью, которая инду-

ния x ≈ 0.16 происходит смена топологии поверхнос-

цирует обменное взаимодействие между дырками и

ти Ферми с электронного типа на дырочный.

1051

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

1^∑

Δ∗5k = -

R(l)0(q)Δ^∗lq +

0.22

0.15

0.3

1^∑

Ik-q R1a)(q)Δlq +

0.07

0.3

0.03

1^∑

+ cosk

R(l)1b(q)Δ^∗lq+

^xN

∑

(l)

+ cosk_y

(q)Δ^∗lq -

(17)

1^∑

(l)

-γ2k

R₂

(q)Δ^∗lq -

k_F

∑

(l)

- sink_x sink_y

φ_qR

(q)Δ^∗lq - cos 2k_x ×

k_x

1^∑

R(l)4a(q)Δ^∗

- cos2k_y

R(l)4b(q)Δ^∗lq.

Рис. 3. Поверхности Ферми в первом квадранте зоны

Бриллюэна для пяти значений допирования. Степень до-

Здесь введены функции

пирования x указана рядом с соответствующим ферми-

контуром

R(l)0(q) =

V₁ψ_qM(l)ab(q) + 2Jγ1qM(l)33(q)-

(

)

- 8IC₁+

M(l)uu(q)+

U_p(M(l)11(q)+M(l)22(q))-

5. УСТОЙЧИВОСТЬ d-СПАРИВАНИЯ

СПИНОВЫХ ПОЛЯРОНОВ ПО

− 2(ξ(q_x)s_q,x + t_qs_q,y)M(l)31 (q)-

ОТНОШЕНИЮ К КУЛОНОВСКИМ

- 2(ξ(q_y)s_q,y + t_qs_q,x)M(l)32 (q)-

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМ

(l)

V ′2 cosq_xM₁

(q) -

V ′2 cosq_yM(l)22 (q),

Для анализа условий возникновения куперовс-

R(l)1a(q) = M(l)33(q) - C₁M(l)uu(q),

кой неустойчивости в линейном приближении необ-

ходимые аномальные функции Грина выражаются

(

R(l)(q) = C1

V₁ψ_qM(l)ab(q)-2JM(l)uu(q)+U_pM(l)11(q)-

через параметры Δ^∗lk (l = 1, . . . , 5). Затем при помо-

)

щи спектральной теоремы [51] находятся выраже-

- V ′2 cosq_xM(l)11 (q) - V2 cosq_xM(l)22 (q) ,

ния для аномальных средних и получается замкну-

тая система однородных интегральных уравнений

(

для компонент сверхпроводящего параметра поряд-

R(l)

(q) = C₁

V₁ψ_qM(l)ab(q)-2JM(l)uu(q)+U_pM(l)22(q)-

ка:

)

(l)

- V2 cosq_yM₁

(q) - V′2 cos q_yM(l)22(q) ,

∑

⁽U_p

Δ∗1k = -

+ V2 cosk_y cosq_y +

(

R(l)

(q) = C₂

V₁ψ_qM(l)ab(q) - V₂ cosq_yM(l)11(q)-

)

(l)

)

+V^′

cosk_x cosq_x M₁

(q)Δ^∗lq ,

- V2 cosq_xM(l)22 (q) ,

∑

4V₁

Δ∗2k = -

φ_k-qM(l)21(q)Δ^∗lq,

R(l)3(q) = V₁C₂M(l)ab(q),

∑

4V₁

Δ∗3k = -

φ_k-qM(l)12(q)Δ^∗lq,

R(l)4a(q) = -

C₃ cosq_xM(l)11(q),

∑

⁽U_p

R(l)4b(q) = -

C₃ cosq_yM(l)22(q),

Δ∗4k = -

+ V2 coskx cosqx +

)

M(l)uu(q) = -s2qxM(l)11(q)-s2qyM(l)22(q)-ψ_qM(l)ab(q),

(l)

+V^′

cosk_y cosq_y M₂

(q)Δ^∗lq,

1052

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Сильная спин-зарядовая связь и ее проявление.. .

T_c, K

M(l)ab(q) = M(l)21(q) + M(l)12(q),

150

S^nlm(q, E1q)+S^nlm(q, -E1q)

E1q

M(l)nm(q) =

4E1q(E21q-E22q)(E21q-E23q)

а соответствующие функции S(l)ij(k, ω) приведены в

100

Приложении. Система уравнений (17) используется

для нахождения критической температуры перехо-

да ансамбля спиновых поляронов в сверхпроводя-

щее состояние с заданными типами симметрии па-

раметра порядка.

Из уравнений (17) видно, что ядра интеграль-

ных уравнений имеют расщепленный вид, поэтому

решение системы можно искать в виде

0.1

0.2

0.3

0.4

Δ1k = B₁₁ + B₁₂ cosk_x + B₁₃ cosk_y,

Рис. 4. Зависимости критической температуры перехода в

Δ2k = B₂₁φ_k + B₂₂ψ_k,

сверхпроводящую фазу для d_x2_-y2 -типа спаривания от до-

Δ3k = B₃₁φ_k + B₃₂ψ_k,

пирования, полученные для параметров модели J = 3.38,

Δ4k = B₄₁ + B₄₂ cosk_x + B₄₃ cosk_y,

(18)

τ = 0.10, t = 0.12, I = 0.136 при Up = V2 = 0 (кривая 1),

Up = 0, V2 = 0.2 (кривая 2), Up = 3, V2 = 0 (кривая 3),

Δ5k = B₅₁ + B₅₂ cosk_x + B₅₃ cosk_y +

= 0.8 (кривая 5)

Up = 3, V2 = 0.2 (кривая 4), Up = 0, V2

+ B54 coskx cosk_y + B55 sinkx sink_y +

и Up = 3, V2 = 0.5 (кривая 6). Все параметры в электрон-

+ B56 cos2k_x + B57 cos2k_y,

вольтах

где семнадцать амплитуд B определяют вклад соот-

ветствующих базисных функций в разложение ком-

Важный аспект развиваемого подхода состоит в

понент параметра порядка. Подставляя эти выраже-

том, что учет кулоновского взаимодействия V₁ фер-

ния в уравнения (17) и приравнивая коэффициенты

мионов, находящихся на ближайших ионах кисло-

при соответствующих тригонометрических функци-

рода, не влияет на зависимость T_c(x) для сверхпро-

ях, получаем систему семнадцати алгебраических

водящего d_x2_-y2 -спаривания: кривая 1 на рис. 4 не

уравнений для амплитуд B. Решение этой системы

изменяется [32]. Причина такого поведения может

совместно с уравнением для химического потенциа-

быть установлена после анализа решений системы

ла μ,

интегральных уравнений (17). В области допирова-

∑

ния, в которой реализуется отмеченный тип спари-

f (ϵ1q) [Q3x(q, ϵ1q) + Q3y(q, ϵ1q)]

(19)

вания при T ≲ T_c, решения алгебраической систе-

(ϵ1q - ϵ2q) (ϵ1q - ϵ3q)

мы для амплитуд B показывают, что только четыре

из них (B₅₂, B₅₃, B₂₂, B₃₂) не равны нулю, причем,

позволяет найти зависимость сверхпроводящей кри-

B₅₂ = -B₅₃, B₂₂ = -B₃₂ и |B₅₂|/|B₂₂| ∼ 10³. Это

тической температуры T_c от допирования x для

означает, что квазиимпульсная зависимость сверх-

различных типов симметрии параметра порядка. В

проводящей щели определяется в основном пятой

уравнении (19) посредством f(E) = (e^E/T +1)-1 обо-

компонентой параметра порядка Δ5k, которая имеет

значена функция распределения Ферми - Дирака, а

вид

функции Q3x(k, ω) и Q3y(k, ω) представлены в При-

ложении.

Δ(d)5k = B₅₂(cos k_x - cosk_y).

(20)

Результаты численного самосогласованного ре-

шения представлены на рис. 4. Посредством кривой

1 показана зависимость критической температуры

Для сверхпроводящего d_x2_-y2-спаривания при U_p =

сверхпроводящего d_x2_-y2-спаривания от допирова-

= V₂ = 0 амплитуды B₅₂ и B₅₃ в уравнении для Δ5k

ния при U_p = V₁ = V₂ = 0. Эта кривая была по-

определяются исключительно обменной константой

лучена ранее в работе [31] и хорошо согласуется с

I, а не параметром V₁, и, таким образом, меж-

экспериментальными данными как по абсолютному

узельное кулоновское отталкивание дырок на со-

значению T_c, так и по интервалу допирования, в ко-

седних ионах кислорода не подавляет куперовскую

тором развивается куперовская неустойчивость.

неустойчивость в d-канале [32].

1053

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

В этом случае вместо системы семнадцати урав-

, K

нений может быть получено и решено более простое

350

p = 0,

уравнение для T_c [31, 49, 52], которое следует из пя-

300

= 0.2

эВ

p = 0,

того уравнения системы (17) и имеет вид

250

p = 3эВ,

∑

200

0.2 эВ

(cos q_x - cos q_y)² ×

p = 3эВ,

150

(

)

100

× M⁽⁵⁾³³(q, ϵ1q) - C₁M(5)uu(q, ϵ1q)

(21)

Из этого уравнения, в частности, следует, что ме-

Контур Ферми

ханизмом, обусловливающим возникновение сверх-

k_y

проводящего спаривания, является обменное взаи-

k_x

модействие спиновых моментов ионов меди, которое

в результате сильной спин-зарядовой связи транс-

Рис. 5. Квазиимпульсные зависимости сверхпроводящей

щели на контуре Ферми при x = 0.125, I = 0.136 эВ, T = 0

формируется в эффективное притяжение. Результа-

и различных значениях кулоновских взаимодействий

ты решения уравнения (21) и системы семнадцати

уравнений для амплитуд B для d-спаривания при

U_p = V₂ = 0, очевидно, совпадают и отвечают кри-

вой 1 на рис. 4.

соседних ионах кислорода не влияет на сверхпро-

Учет кулоновского взаимодействия U_p двух ды-

водящее d-спаривание, поведение сверхпроводящей

рок на одном ионе кислорода, в отличие от меж-

щели определяется только тремя компонентами па-

узельного взаимодействия дырок на ближайших

раметра порядка, Δ1k, Δ4k и Δ5k, из системы (13).

ионах кислорода, приводит к подавлению сверхпро-

Самосогласованное решение системы трех уравне-

водящей d-фазы. Однако, как следует из сравнения

ний для указанных компонент совместно с урав-

кривой 3 (U_p = 3 эВ и V₂ = 0) и кривой 1 (U_p =

нением для химического потенциала (уже без ис-

= V₂ = 0) на рис. 4, это подавление не является

пользования линейного приближения по Δ_jk при на-

существенным для реализации ВТСП, поскольку в

хождении необходимых аномальных функций Гри-

области оптимального допирования x ≃ 0.16 крити-

на) приводит к зависимостям Δ(k), показанным на

ческая температура остается высокой.

рис. 5.

Рассмотрим влияние кулоновских отталкиваний

Важный вопрос о реализации s-спаривания в ан-

V₂ дырок, находящихся на следующих за ближай-

самбле спиновых поляронов для простоты рассмат-

шими ионах кислорода CuO₂-плоскости, на сверх-

ривался без учета дальнего кулоновского взаимодей-

проводящее спаривание. На рис. 4 кривая 2 отвеча-

ствия: V₂ = 0. В этом случае из системы интеграль-

ет зависимости T_c(x), полученной для U_p = 0, V₂ =

ных уравнений (17) следует, что решение, соответ-

= 0.2 эВ, а кривая 5 соответствует T_c(x) для U_p =

ствующее сверхпроводящей s-фазе, должно иметь

= 0, V₂ = 0.8 эВ. Видно, что учет V₂, в отличие

вид

от учета V₁, приводит к подавлению сверхпроводя-

щего d_x2_-y2 -спаривания. При этом отмеченное по-

Δ(s)1k = Δ(s)4k = B₁₁,

давление усиливается, если U_p = 0 (кривые 3, 4 и

6). Но даже при одновременном учете отмеченных

Δ(s)2k = Δ(s)3k = 0,

(22)

кулоновских взаимодействий d_x2_-y2-спаривание со-

храняется и может быть подавлено только для нере-

Δ(s)5k = B₅₁ + 2B₅₂γ1k + B₅₄γ2k.

алистически больших значений V₂ > 0.5 эВ [33, 34].

На рис. 5 представлена модификация щели в

спектре элементарных возбуждений спин-полярон-

Расчеты показывают, что при всех реалистичных

ных квазичастиц на контуре Ферми в сверхпро-

параметрах модели система не имеет нетривиаль-

водящей фазе при изменении величины кулоновс-

ного решения, соответствующего сверхпроводяще-

ких взаимодействий U_p и V₂, рассчитанная в работе

му s-спариванию [35]. Следовательно, в СФМ, кор-

[53]. На рисунке видно, что квазиимпульсная зави-

ректно учитывающей сильную связь дырок на ионах

симость щели в первой зоне Бриллюэна характери-

кислорода со спиновыми моментами ионов меди,

зуется d_x2_-y2 -типом симметрии параметра порядка.

сверхпроводящая фаза с s-типом симметрии пара-

Поскольку кулоновское взаимодействие V₁ дырок на

метра порядка не реализуется.

1054

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Сильная спин-зарядовая связь и ее проявление.. .

6. ЛОНДОНОВСКАЯ ГЛУБИНА

мкм^-2

ПРОНИКНОВЕНИЯ

x = 0.24

0.22

Спин-поляронный подход, подтвердивший свою

успешность при описании равновесных свойств ды-

0.20

рочно-допированных купратов как в нормальной,

так и в сверхпроводящей фазе, может быть приме-

0.15

нен также для изучения отклика системы на элек-

тромагнитное возмущение. Это подтверждают ре-

зультаты работы [54], в которой при различных

0.10

уровнях допирования была исследована темпера-

турная зависимость глубины проникновения маг-

нитного поля в сверхпроводник, носителями заряда

в котором выступают спин-поляронные квазичасти-

цы.

В локальном приближении связь между плотно-

100

стью сверхпроводящего тока j и векторным потенци-

T, K

алом магнитного поля A определяется уравнением

Рис. 6. Температурные зависимости обратного квадрата

Лондонов

лондоновской глубины проникновения, рассчитанные для

j=-

(23)

различных значений допирования x для набора парамет-

4πλ²

ров модели τ = 0.225, J = 2.86, I = 0.118, t = 0.12,

где λ — глубина проникновения магнитного поля в

Up = V2 =

= 0 (все параметры в электронвольтах)

сверхпроводник, а c — скорость света. Для вычис-

ления плотности сверхпроводящего тока j добавим

в гамильтониан СФМ (2), записанный в представле-

s_k,x → s_k,x = sin(k_x/2 - α_x) ,

(25)

нии Ванье, магнитное поле, используя подстановку

где

Пайерлса. Эта подстановка приводит к ренормиров-

eg_x

ке всех интегралов перескока на фазовый множи-

α_x =

Axq=0

(26)

2cℏ

тель

}

и g_x — постоянная решетки вдоль оси x. Функция

^{ ie

exp

R^xmnAxq=0

(24)

s_k,y остается прежней, поскольку в рассматривае-

cℏ

мом случае Ayq=0 = 0.

Вариации выражений для операторов

Ĥ_h и

J по

где R_mn = R_m - R_n — разность радиус-векторов

вектор-потенциалу приводят к следующему выра-

для узлов с индексами m и n, e — заряд электро-

на, а Axq=0 - фурье-компонента вектор-потенциала,

жению для плотности сверхпроводящего тока:

рассматриваемая в длинноволновом пределе (см.,

)[

eg_x ∑

⁽k_x

например, работу [40]). Для простоты вектор-по-

j_x =

cos

-α_x

2τs_k,x〈a^†kαa_kα〉 +

ℏ

тенциал A выбирается направленным вдоль оси x.

kα

]

Стандартная процедура вычисления парамаг-

+ (2τ - 4t)s_k,y〈a^†kαb_kα〉 + J〈a^†kαL_kα〉

(27)

нитной и диамагнитной частей тока состоит в вы-

делении в гамильтониане линейных и квадратич-

Зависимость j_x от вектор-потенциала в области ма-

ных поправок по величине вектор-потенциала Axq=0

лых Axq=0 должна быть линейной, а коэффициент,

и в последующем варьировании этих поправок по

определяющий эту линейную зависимость, соглас-

Axq=0 [40,55-57]. Отступая от данной процедуры, от-

но уравнению Лондонов, непосредственно выража-

кажемся от разложения фазовых множителей (24)

ется через величину λ-2. Указанный коэффициент

по степеням Axq=0 и оставим эти множители в их ис-

рассчитывался численно [54], а результаты расче-

ходном виде. В таком случае, после перехода в ква-

тов температурной зависимости магнитной глубины

зиимпульсное представление, единственным измене-

проникновения в ансамбле спиновых поляронов для

нием за счет включения магнитного поля в форму-

различных уровней допирования представлены на

лах (3) и (6) для операторов

Ĥ_h и

J будет появление

рис. 6.

дополнительной фазы α_x в аргументе тригономет-

Несмотря на то что параметры модели не нахо-

рической функции s_k,x [54]:

дились из подгонки, а выбирались равными тем, ко-

1055

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

торые использовались в предыдущих работах (см.

нормальной фазы. При малых α_x спектр ква-

разд. 2), кривые, представленные на рис. 6, демон-

зичастиц Боголюбова перенормируется тем же

стрируют достаточно хорошее согласие с экспери-

аддитивным способом, что и в обычной теории

ментальными данными [58-66]. При низкой темпе-

лондоновской глубины проникновения [55, 57]. В

ратуре все кривые ведут себя линейным образом

то же время особая квазиимпульсная зависимость

вплоть до наименьшей из рассматриваемых тем-

спектра ϵ1k нормальной фазы (а следовательно, и

ператур T

= 2 К. Такое поведение, согласно ре-

его индуцированная полем поправка δϵ1k) сущест-

зультатам работы [59], указывает на d-волновой ха-

венно отличается от простейшего случая квад-

рактер сверхпроводящего параметра порядка. Для

ратичной дисперсии и определяется структурой

значений x, отвечающих передопированным образ-

CuO₂-плоскости и сильными спин-фермионными

цам купратных сверхпроводников (x ≳ 0.16), кри-

взаимодействиями.

вые λ-2(T ) имеют выпуклый вид, что согласу-

ется с большинством экспериментальных данных

[60, 61, 65].

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Помимо расчета зависимостей λ-2(T) важным

В работе показано, что низкотемпературные

результатом работы [54] был вывод аналитическо-

свойства купратных сверхпроводников, описы-

го выражения для спин-поляронного спектра E_k в

ваемые в рамках СФМ, определяются спин-

сверхпроводящей фазе и с учетом векторного потен-

поляронными квазичастицами. Ансамбль этих

циала. Учитывая низкую плотность носителей тока,

квазичастиц при понижении температуры демон-

а также большую величину (порядка J) энергети-

стрирует куперовскую неустойчивость с d_x2_-y2-ти-

ческой щели между нижней спин-поляронной зоной

пом симметрии параметра порядка. При этом в

и уровнем энергии дырок на p-орбиталях кислорода

качестве механизма сверхпроводящего спаривания

(см. рис. 2), выражение для E_k удалось представить

выступает обменное взаимодействие между лока-

в «классическом» виде

лизованными на ионах меди спинами, которое в

√

результате сильной спин-зарядовой связи транс-

E_k = δϵ1k + ϵ21k + Δ2k,

(28)

формируется в эффективное притяжение между

спиновыми поляронами.

где δϵ1k — линейная по α_x поправка к спектру поля-

Продемонстрировано, что нейтрализация нега-

ронов в нормальной фазе ϵ1k, а функция щели Δ2k

тивного влияния межузельного кулоновского взаи-

выражалась только через компоненту Δ5k парамет-

модействия дырок, находящихся на соседних ионах

ра порядка,

кислорода, на сверхпроводящее d_x2_-y2 -спаривание

Δ2k = |Δ5k|²/K2k,

происходит в результате двух факторов. Первый

поскольку в работе [54] не учитывались вклады от

фактор связан с рассмотрением реальной кристал-

кулоновских взаимодействий

Û_p и

V_pp.

лографической структуры медь-кислородной плос-

Поскольку учет этих взаимодействий приводит

кости, в соответствии с которой кулоновское оттал-

к появлению дополнительных компонент параметра

кивание фермионов в подрешетке кислорода опре-

порядка в системе уравнений (11), возникает необ-

деляется фурье-образом межузельного кулоновско-

ходимость обобщения выражения для Δ2k. Расчеты

го взаимодействия

показывают, что при учете кулоновского взаимодей-

ствия каждая компонента Δ_jk (j = 1, . . . , 5) пара-

Vq = 4V1 cos(qx/2) cos(qy/2).

метра порядка вносит свой вклад в функцию щели

аддитивным образом:

Второй фактор связан с электронными корреляци-

ями, приводящими к возникновению сильной спин-

Δ2k = |Δ1k|² + |Δ2k|² + |Δ3k|² +

зарядовой связи. Эта связь обусловливает форми-

рование спин-поляронных квазичастиц, эффектив-

|Δ5k|

+ |Δ4k|² +

(29)

но движущихся по подрешетке ионов меди. В ан-

K²

самбле таких квазичастиц возникает сверхпроводя-

В заключение этого раздела отметим, что,

щее спаривание. При этом кулоновское отталкива-

несмотря на трехзонную энергетическую структуру

ние между голыми дырками с фурье-образом V_q ре-

системы, спектр E_k фермиевских возбуждений

нормируется во взаимодействие между спиновыми

спиновых поляронов в сверхпроводящей фазе вы-

поляронами так, что квазиимпульсная зависимость

ражается только через спектр ϵ1k нижней зоны

этого эффективного взаимодействия соответствует

1056

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Сильная спин-зарядовая связь и ее проявление.. .

структуре подрешетки ионов меди. Таким образом,

только фаза с d_x2_-y2 -типом симметрии параметра

возникает ситуация, в которой эффективное оттал-

порядка, тогда как решения для сверхпроводящего

кивание между спин-поляронными квазичастицами

s-спаривания отсутствуют при всех реально допу-

выпадает из уравнения для сверхпроводящего пара-

стимых уровнях допирования.

метра порядка с d_x2_-y2-типом симметрии.

На примере расчета температурной и концентра-

В этой связи уместно отметить, что аналогич-

ционной зависимостей лондоновской глубины про-

ная проблема нейтрализации влияния кулоновско-

никновения в сверхпроводник продемонстрирована

го отталкивания фермионов на развитие куперов-

возможность применения спин-поляронного подхо-

ской неустойчивости в свое время существовала и

да и при исследовании отклика системы на внешнее

в теории классических сверхпроводников. Ее реше-

электромагнитное возмущение. Полученные зависи-

ние стало возможным после того, как было показа-

мости находятся в хорошем согласии с имеющимися

но [67,68], что электрон-фононное взаимодействие в

экспериментальными данными по купратным сверх-

некоторой области импульсного пространства ини-

проводникам.

циирует эффективное притяжение между фермио-

В заключение кратко остановимся на важных

нами, которое может компенсировать затравочное

направлениях дальнейшего применения спин-поля-

отталкивание.

ронной концепции. Одним из таких направлений

Заметим также, что различный вклад кулонов-

является получение эффективной одноорбитальной

ского взаимодействия в реализацию сверхпроводя-

модели [72], действующей в усеченном гильбертовом

щих фаз с разными типами симметрии параметров

пространстве и корректно учитывающей как особен-

порядка проявляется и в теории сверхпроводимо-

ности кристаллографического строения CuO₂-плос-

сти Кона - Латтинжера [69]. В работах [70, 71] бы-

кости, так и сильную спин-фермионную связь, кото-

ло установлено, что межузельные кулоновские взаи-

рая обусловливает формирование спин-поляронных

модействия в решеточных моделях обычно вносят

квазичастиц. Получение такой модели представля-

вклад только в определенные каналы спаривания и

ется необходимым, поскольку анализ низкотемпера-

не влияют на другие каналы. В то же время поляри-

турных свойств купратных сверхпроводников в рам-

зационные вклады имеют компоненты во всех кана-

ках СФМ и даже в рамках ее упрощенного вари-

лах и, как правило, более чем одна из них «играет»

анта, так называемой ϕ-d-модели [49, 52], все еще

в пользу притяжения. В такой ситуации оказыва-

является громоздким. В частности, переход к такой

ется, что межузельные взаимодействия либо вооб-

эффективной модели позволит понизить ранг систе-

ще не влияют на главные компоненты эффективно-

мы интегральных уравнений самосогласования для

го взаимодействия, приводящие к спариванию, либо

сверхпроводящей фазы.

подавляют главные компоненты, но не затрагивают

Другим направлением дальнейшего использова-

второстепенные [70,71]. В нашем случае определяю-

ния спин-поляронной концепции, представляющим

щую роль играют особенности кристаллографичес-

интерес, является исследование условий возникно-

кого строения CuO₂-плоскости, когда учитываются

вения модуляции спектральной интенсивности на

два типа кислородных орбиталей, пространственно

контуре Ферми и проявления псевдощелевого состо-

отделенных от спинов ионов меди, а также наличие

яния в ансамбле спин-поляронных квазичастиц [73].

сильной спин-зарядовой связи.

Наконец, значительной актуальностью обладают

В работе показано, что хаббардовское отталки-

исследования кинетических, термодинамических

вание U_p, а также кулоновские взаимодействия V₂

и гальваномагнитных характеристик купратных

дырок, находящихся на следующих за ближайшими

сверхпроводников, носителями заряда в которых

ионах кислорода, влияют на формирование сверх-

являются спин-поляронные квазичастицы [74-77],

проводящей фазы с d-типом симметрии парамет-

при учете реальных кристаллографических особен-

ра порядка и приводят к уменьшению критичес-

ностей CuO₂-плоскости.

кой температуры перехода, однако эта температу-

ра остается в пределах тех значений, которые на-

Финансирование. Исследование выполнено

блюдаются экспериментально. При этом формиро-

при финансовой поддержке Программы Прези-

вание сверхпроводящей щели происходит под влия-

диума Российской академии наук

№12

«Фун-

нием трех компонент параметра порядка.

даментальные проблемы высокотемпературной

Решение системы интегральных уравнений само-

сверхпроводимости», Российского фонда фунда-

согласования для сверхпроводящего состояния по-

ментальных исследований (проект № 18-02-00837),

казало, что в спин-фермионной модели реализуется

Правительства Красноярского края, Красноярского

1057

ЖЭТФ, вып. 6

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

(3)

S₃

(k, ω) = S⁽¹⁾³²(k, ω) =

краевого фонда поддержки научной и научно-

технической деятельности в рамках проектов

= -K_kQ_y(k, -ω)Q₃(k, ω),

№18-42-243002

«Проявление спин-нематических

S⁽⁴⁾³¹(k, ω) = S⁽²⁾³²(k, ω) =

корреляций в спектральных характеристиках

= -K_kQ_x(k, -ω)Q₃(k, ω),

электронного строения и их влияние на практи-

ческие свойства купратных сверхпроводников»,

S⁽⁵⁾³¹(k, ω) = Q_xy(k, -ω)Q_y(k, ω),

№18-42-243018 «Контактные явления и магнитный

S⁽³⁾³²(k, ω) = -K_kQ_y(k, -ω)Q3x(k, ω),

беспорядок в проблеме формирования и детек-

тирования топологически защищенных краевых

S⁽⁴⁾³²(k, ω) = -K_kQ_x(k, -ω)Q3x(k, ω),

(30)

состояний в полупроводниковых наноструктурах»

S⁽⁵⁾³²(k, ω) = Q_xy(k, -ω)Q_x(k, ω),

и №18-42-240014 «Одноорбитальная эффективная

модель ансамбля спин-поляронных квазичастиц в

S⁽¹⁾³³(k, ω) = -K2kS⁽⁵⁾¹¹(k, ω),

проблеме описания промежуточного состояния и

S⁽²⁾³³(k, ω) = K2kS⁽⁵⁾¹²(k, -ω),

псевдощелевого поведения купратных сверхпро-

водников», а также Совета по грантам Президента

S⁽³⁾³³(k, ω) = S⁽²⁾³³(k, -ω),

Российской Федерации (проекты MK-37.2019.2

S⁽⁴⁾³³(k, ω) = K2kS⁽⁵⁾²²(k, ω),

и MK-3722.2018.2). Работа одного из авторов

S⁽⁵⁾³³(k, ω) = Q_xy(k, -ω)Q_xy(k, ω).

(А. Ф. Б.) поддержана Российским фондом фунда-

ментальных исследований (грант № 19-02-00509).

Данные выражения включают функции

Работа подготовлена по итогам XXXVIII Сове-

Qx(y)(k, ω) = (ω - ξx(y))Jy(x) + t_kJx(y),

щания по физике низких температур (НТ-38).

Q₃(k, ω) = (ω - ξ_L)t_k + J_xJ_yK_k,

(31)

Q3x(3y)(k, ω) = (ω - ξ_L)(ω - ξx(y)) - J2x(y)K_k,

Q_xy(k, ω) = (ω - ξ_x)(ω - ξ_y) - t2k

ПРИЛОЖЕНИЕ

Функции S(l)ij(k, ω), входящие в выражения для

ЛИТЕРАТУРА

аномальных функций Грина F_ij (k, ω), имеют вид

1. V. J. Emery, Phys. Rev. Lett. 58, 2794 (1987).

S⁽¹⁾¹¹(k, ω) = Q3y(k, -ω)Q3y(k, ω),

2. C. M. Varma, S. Schmitt-Rink, and E. Abrahams,

S⁽²⁾¹¹(k, ω) = S⁽¹⁾²¹(k, ω) = Q₃(k, -ω)Q3y(k, ω),

Sol. St. Comm. 62, 681 (1987).

S⁽³⁾¹¹(k, ω) = S⁽¹⁾¹²(k, ω) = S⁽²⁾¹¹(k, -ω),

3. Yu. B. Gaididei and V. M. Loktev, Phys. Stat. Sol.

(b) 147, 307 (1988).

S⁽⁴⁾¹¹(k, ω) = S⁽²⁾¹²(k, ω) = S⁽³⁾²¹(k, ω) =

4. J. C. Hubbard, Proc. Roy. Soc. London A 285, 542

= S(1)22 (k, ω) = Q₃(k, -ω)Q₃(k, ω),

(1965).

S⁽⁵⁾¹¹(k, ω) = -Q_y(k, -ω)Q_y(k, ω),

5. А. Ф. Барабанов, Л. А. Максимов, Г. В. Уймин,

S⁽³⁾¹²(k, ω) = Q3y(k, -ω)Q3x(k, ω),

Письма в ЖЭТФ 47, 532 (1988); ЖЭТФ 96, 665

(1989).

S⁽²⁾²¹(k, ω) = S⁽³⁾¹²(k, -ω),

S⁽⁴⁾¹²(k, ω) = S⁽³⁾²²(k, ω) = Q₃(k, -ω)Q3x(k, ω),

6. P. Prelovšek, Phys. Lett. A 126, 287 (1988).

S⁽⁴⁾²¹(k, ω) = S⁽²⁾²²(k, ω) = S⁽⁴⁾¹²(k, -ω),

7. J. Zaanen and A. M. Oles, Phys. Rev. B 37, 9423

(1988).

S⁽⁵⁾¹²(k, ω) = -Q_y(k, -ω)Q_x(k, ω),

8. E. B. Stechel and D. R. Jennison, Phys. Rev. B 38,

S⁽⁵⁾²¹(k, ω) = S⁽⁵⁾¹²(k, -ω),

4632 (1988).

S⁽⁴⁾²²(k, ω) = Q3x(k, -ω)Q3x(k, ω),

9. V. J. Emery and G. Reiter, Phys. Rev. B 38, 4547

S⁽⁵⁾²²(k, ω) = -Q_x(k, -ω)Q_x(k, ω),

(1988).

S⁽¹⁾³¹(k, ω) = -K_kQ_y(k, -ω)Q3y(k, ω),

10. H. Matsukawa and H. Fukuyama, J. Phys. Soc. Jpn.

S⁽²⁾³¹(k, ω) = -K_kQ_x(k, -ω)Q3y(k, ω),

58, 2845 (1989).

1058

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Сильная спин-зарядовая связь и ее проявление.. .

11.

K. M. Shen, F. Ronning, D. H. Lu, F. Baumberger,

31.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, and A. F. Bara-

N. J. C. Ingle, W. S. Lee, W. Meevasana, Y. Kohsaka,

banov, Phys. Lett. A 379, 421 (2015).

M. Azuma, M. Takano, H. Takagi, and Z.-X. Shen,

32.

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коро-

Science 307, 901 (2005).

вушкин, А. Ф. Барабанов, Письма в ЖЭТФ 103,

12.

M. Vojta, Adv. Phys. 58, 699 (2009).

433 (2016).

13.

B. Keimer, S. A. Kivelson, M. R. Norman, S. Uchida,

33.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, M. M. Korovush-

and J. Zaanen, Nature 518, 179 (2015).

kin, and A. F. Barabanov, J. Magn. Magn. Mater.

440, 123 (2017).

14.

N. M. Plakida, Physica C 531, 39 (2016).

34.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, M. M. Korovush-

15.

N. E. Hussey, Adv. Phys. 51, 1685 (2002).

kin, and A. F. Barabanov, J. Low Temp. Phys. 191,

408 (2018).

16.

А. Ф. Барабанов, В. М. Березовский, Э. Жасинас,

Л. А. Максимов, ЖЭТФ 110, 1480 (1996).

35.

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коро-

вушкин, А. Ф. Барабанов, ЖЭТФ 152, 957 (2017).

17.

A. F. Barabanov, R. O. Kuzian, and L. A. Maksimov,

Phys. Rev. B 55, 4015 (1997).

36.

S. Misawa, Phys. Rev. B 51, 11791 (1995).

37.

R. J. Radtke, V. N. Kostur, and K. Levin, Phys. Rev.

18.

B. Lau, M. Berciu, and G. A. Sawatzky, Phys. Rev.

Lett. 106, 036401 (2011).

B 53, R522 (1996).

38.

D. E. Sheehy, T. P. Davis, and M. Franz, Phys. Rev.

19.

A. F. Barabanov, L. A. Maksimov, and A. V. Mi-

B 70, 054510 (2004).

kheyenkov, AIP Conf. Proc. 527, 1 (2000).

39.

J. P. Carbotte, K. A. G. Fisher, J. P. F. LeBlanc, and

20.

А. Ф. Барабанов, А. А. Ковалев, О. В Уразаев,

A. J. Nicol, Phys. Rev. B 81, 014522 (2010).

А. М. Белемук, Р. Хайн, ЖЭТФ 119, 777 (2001).

40.

M. V. Eremin, I. A. Larionov, and I. E. Lyubin, J.

21.

А. Ф. Барабанов, А. В. Михеенков, А. М. Белемук,

Phys.: Condens. Matter 22, 185704 (2010).

Письма в ЖЭТФ 75, 118 (2002).

41.

Н. Ф. Мотт, Переходы металл-изолятор, Наука,

22.

L. A. Maksimov, A. F. Barabanov, and R. O. Kuzian,

Москва (1979).

Phys. Lett. A 232, 286 (1997).

42.

M. Ogata and H. Fukuyama, Rep. Progr. Phys. 71,

23.

L. A. Maksimov, R. Hayn, and A. F. Barabanov,

036501 (2008).

Phys. Lett. A 238, 288 (1998).

43.

M. S. Hybertsen, M. Schluter, and N. E. Christensen,

24.

A. F. Barabanov, A. A. Kovalev, O. V. Urazaev, and

Phys. Rev. B 39, 9028 (1989).

A. M. Belemouk, Phys. Lett. A 265, 221 (2000).

44.

M. H. Fischer and E.-A. Kim, Phys. Rev. B 84,

25.

A. P. Kampf and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. B 42,

144502 (2011).

7967 (1990).

45.

R. Zwanzig, Phys. Rev. 124, 983 (1961).

26.

Д. М. Дзебисашвили, В. В. Вальков, А. Ф. Бара-

банов, Письма в ЖЭТФ 98, 596 (2013).

46.

H. Mori, Progr. Theor. Phys. 33, 423 (1965).

27.

T. Yoshida, X. J. Zhou, D. H. Lu, S. Komiya, Y. An-

47.

L. M. Roth, Phys. Rev. Lett. 20, 1431 (1968).

do, H. Eisaki, T. Kakeshita, S. Uchida, Z. Hussain,

48.

А. Ф. Барабанов, А. В. Михеенков, А. В. Шварц-

and Z.-X. Shen, J. Phys.: Condens. Matter 19, 125209

берг, ТМФ 168, 389 (2011).

(2007).

49.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, and A. F. Bara-

28.

А. Ф. Барабанов, Л. А. Максимов, А. В. Михеен-

banov, J. Supercond. Nov. Magn. 29, 1049 (2016).

ков, Письма в ЖЭТФ 74, 362 (2001).

50.

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, А. Ф. Бара-

29.

В. В. Вальков, М. М. Коровушкин, А. Ф. Бараба-

банов, Письма в ЖЭТФ 104, 745 (2016).

нов, Письма в ЖЭТФ 88, 426 (2008).

51.

Д. Н. Зубарев, УФН 81, 71 (1960).

30.

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, Д. М. Дзебисашви-

ли, С. Г. Овчинников, Письма в ЖЭТФ 75, 450

52.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, and A. F. Bara-

(2002).

banov, J. Low Temp. Phys. 181, 134 (2015).

1059

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коровушкин и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

53.

V. V. Val’kov, M. M. Korovushkin, and A. F. Bara-

64.

W. Anukool, S. Barakat, C. Panagopoulos, and

banov, J. Low Temp. Phys. (2018), https://doi.org/

J. R. Cooper, Phys. Rev. B 80, 024516 (2009).

10.1007/s10909-018-02120-3.

65.

T. R. Lemberger, I. Hetel, A. Tsukada, and M. Naito,

54.

D. M. Dzebisashvili and K. K. Komarov, Eur. Phys.

Phys. Rev. B 82, 214513 (2010).

J. B 91, 278 (2018).

66.

B. M. Wojek, S. Weyeneth, S. Bosma, E. Pomja-

55.

Дж. Шриффер, Теория сверхпроводимости, Нау-

kushina, and R. Puzniak, Phys. Rev. B 84, 144521

ка, Москва (1970).

(2011).

67.

H. Fröhlich, Phys. Rev. 79, 845 (1950).

56.

М. В. Садовский, Диаграмматика. Лекции по из-

бранным задачам теории конденсированного со-

68.

В. В. Толмачев, ДАН СССР 140, 563 (1961).

стояния, РХД, Ижевск (2010).

69.

М. Ю. Каган, В. А. Мицкан, М. М. Коровушкин,

57.

М. Тинкхам, Введение в сверхпроводимость,

УФН 185, 785 (2015).

Атомиздат, Москва (1980).

70.

S. Raghu, E. Berg, A. V. Chubukov, and S. A. Kivel-

58.

I. Bozovic, X. He, J. Wu, and A. T. Bollinger, Nature

son, Phys. Rev. B 85, 024516 (2012).

536, 309 (2016).

71.

М. Ю. Каган, В. В. Вальков, В. А. Мицкан,

М. М. Коровушкин, Письма в ЖЭТФ 97, 253

59.

W. N. Hardy, D. A. Bonn, D. C. Morgan, R. Liang,

(2013); ЖЭТФ 144, 837 (2013).

and K. Zhang, Phys. Rev. Lett. 70, 3999 (1993).

72.

В. В. Вальков, В. А. Мицкан, Д. М. Дзебисашвили,

60.

J. E. Sonier, J. H. Brewer, R. F. Kiefl, G. D. Morris,

А. Ф. Барабанов, ФНТ 44, 173 (2018).

R. I. Miller, D. A. Bonn, J. Chakhalian, R. H. Heffner,

W. N. Hardy, and R. Liang, Phys. Rev. Lett. 83, 4156

73.

А. Ф. Барабанов, А. М. Белемук, Письма в ЖЭТФ

(1999).

87, 725 (2008).

61.

C. Panagopoulos, B. D. Rainford, J. R. Cooper,

74.

А. М. Белемук, А. Ф. Барабанов, Л. А. Максимов,

W. Lo, J. L. Tallon, J. W. Loram, J. Betouras,

Письма в ЖЭТФ 79, 195 (2004); ЖЭТФ 129, 493

Y. S. Wang, and C. W. Chu, Phys. Rev. B 60, 14617

(2006); Письма в ЖЭТФ 86, 374 (2007).

(1999).

75.

А. М. Белемук, А. Ф. Барабанов, Письма в ЖЭТФ

82, 827 (2005).

62.

R. Khasanov, A. Shengelaya, A. Maisuradze,

F. La Mattina, A. Bussmann-Holder, H. Keller, and

76.

И. А. Ларионов, А. Ф. Барабанов, Письма в

K. A. Müller, Phys. Rev. Lett. 98, 057007 (2007).

ЖЭТФ 100, 811 (2014).

63.

R. Khasanov, S. Strassle, D. Di Castro, T. Masui,

77.

А. Ф. Барабанов, Ю. М. Каган, Л. А. Максимов,

S. Miyasaka, S. Tajima, A. Bussmann-Holder, and

А. В. Михеенков, Т. В. Хабарова, УФН 185, 479

H. Keller, Phys. Rev. Lett. 99, 237601 (2007).

(2015).

1060