ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 6, стр. 1072-1082

ПЕРЕХОД МЕТАЛЛ-ИЗОЛЯТОР В ПРИСУТСТВИИ

СИНГУЛЯРНОСТЕЙ ВАН ХОВА ДЛЯ

БИПАРТИТНЫХ РЕШЕТОК

П. А. Игошев^a,b, В. Ю. Ирхинa*

^a Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620108, Екатеринбург, Россия

^b Уральский федеральный университет

620002, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 14 января 2019 г.,

после переработки 25 января 2019 г.

Принята к публикации 25 января 2019 г.

Рассмотрена проблема фазовой диаграммы основного состояния для t-t^′-модели Хаббарда при поло-

винном заполнении зоны. В рамках аналитического разложения по интегралу переноса t^′ и прямой ан-

тиферромагнитной щели Δ получен критерий перехода металл-изолятор. В случае квадратной решетки

существует интервал значений t^′, для которых переход металл-изолятор является переходом первого ро-

да, что связано с наличием сингулярности Ван Хова. Для простой и объемноцентрированной кубических

решеток переход из изоляторного антиферромагнитного состояния происходит в фазу антиферромагнит-

ного металла и является переходом второго рода; за ним следует переход в парамагнитный металл.

DOI: 10.1134/S0044451019060117

гда электронный спектр t_k удовлетворяет условию

нестинга t_k+Q = -t_k (Q — вектор АФМ-структуры),

1. ВВЕДЕНИЕ

АФМ-щель в электронном спектре, а следовательно,

изоляторное состояние, возникает при сколь угод-

Переход металл-изолятор (metal-insulator transi-

но малых значениях параметра кулоновского взаи-

tion, MIT), в системах взаимодействующих электро-

модействия U. Однако при наличии переноса меж-

нов может быть реализоL_αв рамках двух сценари-

ду вторыми соседями с характерной энергией D^′

ев [1,2]: моттовский переход (для систем с сильны-

неустойчивость парамагнитного металлического со-

ми корреляциями при высоких температурах) и слэ-

стояния возникает при конечном значении U. В

теровский сценарий (реализуется для зонного анти-

главном логарифмическом приближении для крити-

ферромагнетика при низких температурах). Теоре-

ческого значения имеем

тическая проблема определения сценария перехода

металл-изолятор для той или иной системы являет-

U_MIT

ся сложной и до сих пор окончательно не решенной

⎧

проблемой.

⎪

⁽D⁾

⎪ρ(0) ln

ρ(E) ∼ ρ(0),

Присутствие сингулярностей Ван Хова в плот-

⎪

D^′

⎨

(

)

ности электронных состояний вблизи поверхности

⁽D⁾

ln²

ρ(E) ∼ a ln

(1)

Ферми может существенно изменить физические

⁼⎪⎪2

D^′

|E|

⎪

)

свойства, в частности термодинамику фазового пе-

⎪

′

⁽D⁾

⁽ D

⎩^a

ln³

ρ(E) ∼ a^′ ln²

рехода [3-7].

D^′

|E|

В данной работе мы учтем формирование анти-

ферромагнитного (АФМ) состояния в рамках моде-

соответственно для трех бипартитных решеток:

ли Хаббарда при половинном заполнении зоны. В

простой кубической (ПК), квадратной и объемно-

этом случае в приближении ближайших соседей, ко-

центрированной кубической (ОЦК). Здесь D — по-

луширина зоны, ρ(E) — затравочная плотность со-

^* E-mail: valentin.irkhin@imp.uran.ru

стояний вблизи уровня Ферми для электронного

1072

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Переход металл-изолятор в присутствии сингулярностей. ..

спектра в приближении ближайших соседей, a и

по ближайшим соседям (интеграл t принимается за

a^′ — положительные коэффициенты при сингуляр-

единицу), сумма с двумя штрихами — по следую-

ных вкладах в ρ(E). Таким образом, наличие этих

щим за ближайшими соседям (интеграл t^′ = τt = τ),

вкладов приводит к существенному изменению за-

n — число электронов на узел. Электронный спектр

висимости U_MIT от t^′.

для этого гамильтониана имеет вид

Конкуренция изоляторного АФМ-состояния с

√

парамагнитным дает фазовую границу перехода

E_ν(k) = eks+U

+(-1)^ν e2ka + Δ², ν = 1, 2,

(4)

металл-изолятор первого рода [8]. Однако учет пе-

= Um — прямая АФМ-щель, ek(s,a)

реноса между вторыми соседями приводит к по-

= (t_k ± t_k+Q)/2. Как обсуждалось во Введении,

явлению фазы АФМ-металла, которая может быть

при наличии нестинга переход металл-изолятор

более энергетически выгодной, чем парамагнитный

происходит при малых U. В этом случае прибли-

металл.

жение среднего поля вполне применимо, поскольку

Ранее выполненные расчеты [9,10] показали, что

выполняется условие U_MIT ≪ D, где критическое

слэтеровский сценарий перехода металл-изолятор

значение U_MIT определяется выражением

(1).

доминирует над моттовским сценарием перехода в

Использованный в работах [9, 10] метод вспомога-

парамагнитной фазе [1,11], а геометрия решетки иг-

тельных бозонов [15,16], учитывающий корреляции

рает существенную роль для фазовой диаграммы.

и применимый вплоть до больших U, в рассматри-

В частности, наличие сингулярностей Ван Хова в

ваемой ситуации приводит лишь к количественным

центре зоны может привести к неаналитическим за-

перенормировкам. Уравнения среднего поля имеют

висимостям энергии системы в парамагнитном (и

вид

АФМ-) состояниях соответственно от D^′ и от вели-

чины АФМ-щели. Как показывают численные рас-

1^∑

f [E_ν (k)],

(5)

четы для квадратной решетки [9,12-14], для нее дей-

νk

ствительно возможен переход первого рода. Однако

Δ^∑

(-1)^ν

неточность и неполное совпадение результатов этих

m=-

√

f [E_ν (k)],

(6)

e2ka + Δ²

расчетов указывают на необходимость аналитиче-

νk

ского исследования, которое и будет выполнено в

где

[

данной работе как для квадратной, так и для трех-

⁽E-E_F )]-1

f (E) =

1 + exp

мерных решеток.

— функция Ферми, причем уровень Ферми E_F вы-

бирается так, чтобы выполнялось условие n = 1.

2. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СОСТОЯНИИ

Рассмотрим свойства основного состояния (тем-

АФМ-ИЗОЛЯТОРА

пература T

= 0). Предположим сначала, что мы

В рамках модели Хаббарда,

имеем дело с изоляторной фазой, когда заполнена

∑

только нижняя (ν = 1) АФМ-подзона:

H= t_ijc^†iσc_jσ +U n_i↑n_i↓,

(2)

√

1^∑

ijσ

F_AFI(Δ) =

e2ka + Δ² +

(7)

учтем возможность АФМ-порядка m_iz

= mexp(iQ · R_i) с волновым вектором Q, где

Величина

Δ удовлетворяет

уравнению

m — амплитуда намагниченности (z — ось кванто-

∂F_AFI(Δ)/∂Δ

= 0. При этом вся зависимость

вания). Мы используем обобщенное приближение

от U (за исключением постоянного члена U/4)

Хартри - Фока H → H_HF , где

происходит через Δ.

Бипартитные решетки обладают общей особен-

∑[(

]

n⁾

ностью: существует такой вектор Q, что решетка

H_HF =

t_k+U

c†kσckσ-Umσc^†

ck+Qσ

kσ

разбивается на две подрешетки и exp(iQ · R) = +1

kσ

[

]

(-1) для вектора R, принадлежащего первой (вто-

n²

+UN m² -

(3)

рой) подрешетке. Фактически вектор Q является

вектором обратной решетки для каждой из этих

(∑_′

)

∑′′

причем t_k(τ) = -

-τ

exp(iQ · R_i) — затра-

подрешеток. В этом случае eka не зависит от τ и

совпадает с t_k при τ = 0 (постоянная решетки при-

вочный электронный спектр, R_i — положение уз-

ла i относительно нулевого, сумма со штрихом идет

нимается за единицу):

1073

ЖЭТФ, вып. 6

П. А. Игошев, В. Ю. Ирхин

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

⎧

⎨-2(coskx + cosky),

квадратная решетка, Q = (π, π),

eka =

−2(cosk_x + cosk_y + cosk_z),

ПК-решетка, Q = (π, π, π),

(8)

⎩

−8 cos(k_x/2)cos(k_y/2)cos(k_z/2), ОЦК-решетка, Q = (2π, 0, 0),

⎧

⎨4τ coskx cosky,

квадратная решетка, Q = (π, π),

eks =

4τ(cos k_y cosk_z + cosk_z cosk_x + cosk_x cosk_y), ПК-решетка, Q = (π, π, π),

(9)

⎩

2τ(cos k_x + cosk_y + cosk_z),

ОЦК-решетка, Q = (2π, 0, 0).

В результате энергия изоляторной АФМ-фазы не за-

где

∫1

висит от τ.

ρ_D(ϵ)

Изоляторная АФМ-фаза конкурирует с металли-

G(d) = dϵ

√

(15)

ϵ² + d² + ϵ

ческими фазами — парамагнитной и АФМ. В отли-

чие от свободной энергии изоляторной АФМ-фазы,

ϵ = ε/D, ρ_D(ϵ) = Dρ(Dϵ,0). Из условия минимума

свободная энергия парамагнитной фазы существен-

величины δF_AFI получим

но зависит от τ:

⁽Δ⁾

∑

= 2G

G^′

(16)

F_PM (τ) =

E_PM (k, τ)×

Δ³

⁽Δ⁾

δF_AFI(Δ) =

G^′

(17)

× θ (E_F - E_PM(k,τ)) -

(10)

D²

Для малого значения U важно получить асимптоти-

где E_PM (k, τ) = t_k(τ) + U/2, а уровень Ферми E_F

ку G(d) при малых d. Она определяется поведением

удовлетворяет уравнению

плотности состояний при τ = 0 в окрестности цент-

2^∑

ра зоны ϵ = 0. Асимптотика G(d) в зависимости от

θ(E_F - E_PM (k, τ)) = 1,

(11)

поведения плотности состояния в окрестности цен-

тра зоны получена в Приложении B. В общем случае

где θ(x) — ступенчатая функция Хевисайда. Как и

имеем

выше, вся зависимость F_PM (τ) от U, за исключени-

⁽2⁾

ем члена U/4, происходит через E_F . Следовательно,

G(d) = a₀ + a₁ ln

+ a2 ln²

равенство свободных энергий парамагнитной и изо-

ляторной АФМ-фаз,

⁽2⁾

+ a3 ln³

(18)

F_PM (τ) = F_AFI(Δ),

(12)

Тогда

дает уравнение в переменных τ и Δ для фазовой

⁽Δ⁾

⁽2D⁾

границы, на которой происходит переход первого ро-

−

G^′

= a₁+2a2 ln

+3a₃ ln²

да. В дальнейшем удобно отсчитывать энергию от

F₀ ≡ F_PM(0) = F_AFI(0):

Используя соотношения (16) и (17), получим связь

U и Δ:

δF_PM(τ) ≡ F_PM (τ) - F₀,

[

⁽2D⁾

δF_AFI(Δ) ≡ F_AFI(Δ) - F₀.

U = D 2a₀ - a₁ + 2(a₁ - a₂)ln

Удобно переписать суммы по k через плотность

состояний

⁽2D⁾

⁽2D)]-1

+ (2a₂ - 3a₃) ln²

+ 2a₃ ln³

(19)

∑

ρ(ε, τ) =

δ(ε - t_k(τ)).

(13)

[

⁽2D⁾

Запишем свободную энергию АФМ-изолятора (7) в

δF_AFI(Δ) = -

a₁ + 2a₂ ln

единицах D:

[

(

)]

⁽2D^)]

δF_AFI(Δ) = Δ²

(14)

+ 3a₃ ln²

(20)

1074

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Переход металл-изолятор в присутствии сингулярностей. ..

Интересно, что свободная энергия АФМ-изолятора

ОЦК-решетка. Анализ показывает, что макси-

не зависит от постоянного вклада в G(d) (пропорци-

мум достигается при двух значениях:

онального a₀); значения энергии, удаленные от ϵ =

[

√

]

= 0, дают вклад только в a₀. В частном случае плот-

E1,max = max 12τ -

64 + Δ², 8τ - Δ ,

ности состояний без особенностей имеем

[

]-1

E2,min = +Δ.

⁽2D⁾

2δG

U = ρ(0,0)ln

(21)

Фазовая диаграмма для ОЦК-решетки представ-

лена на рис. 2б:

δF_AFI(Δ) = -Δ²ρ(0, 0)/2,

(22)

{

√

где постоянная δG определяется плотностью состоя-

4τ,

τ < 2/

Δ^bccMIT (τ) =

√

(25)

ний во всех точках зоны (см. ниже уравнение (64)).

6τ - 8τ-1/3, τ > 2/

Рассмотрим теперь конкуренцию изоляторного

3. ПЕРЕХОД МЕТАЛЛ-ИЗОЛЯТОР В

АФМ-состояния с металлическими АФМ- и пара-

АФМ-СОСТОЯНИИ

магнитным состояниями.

Используя найденное выражение для границы

Параметр Δ имеет смысл прямой щели в спект-

перехода металл-изолятор в АФМ-фазе, Δ_MIT (τ),

ре. При малом τ АФМ-состояние имеет, вообще

вычислим разницу энергий изоляторной АФМ-фазы

говоря, непрямую щель между нижней и верх-

и парамагнитной (металлической) фазы:

ней АФМ-подзонами, которая закрывается при уве-

личении τ — система переходит в металлическое

δF_MIT (τ) ≡ δF_AFI(Δ_MIT (τ)) - δF_PM (τ).

(26)

АФМ-состояние.

Квадратная решетка. Выражение для

Если δF_MIT (τ) > 0, то происходит переход первого

рода в парамагнитное металлическое состояние при

E1,max ≡ maxE1(k) =

данном τ, минуя металлическое АФМ-состояние. В

[

√

]

√

противном случае, δF_MIT (τ) < 0, переход в пара-

1 - 2τ

= max -Δ, -4τ

,4τ -

16 + Δ²

магнитное состояние происходит через металличе-

1 + 2τ

скую АФМ-фазу и является переходом второго ро-

существенно зависит от параметров τ и Δ (см. обла-

да. Свободная энергия парамагнитной фазы в зави-

сти реализации максимума на фазовой диаграмме в

симости от τ приведена в Приложении A.

переменных τ - Δ на рис. 1а), а выражение для

Квадратная решетка. Используя выражения

(20), (23) и (67), получаем

E2,min ≡ minE2(k) = -4τ + Δ

δF_A

(Δ^sqMIT (τ)) = -B_sq(τ)τ² + o(τ³),

(27)

справедливо при любых параметрах τ, Δ. Условие

E1,max < E2,min — условие реализации изоляторно-

где

(

)

го состояния. На рис. 1a также показана соответ-

B_sq(τ) =

1 + 2ln

(28)

ствующая линия перехода металл-изолятор:

2π²

{

√

2τ,

τ < 1/

Из уравнения (40) из Приложения A получим

Δ^sqMIT (τ) =

√

(23)

4τ - τ-1, τ > 1/

δF^sqPM (τ) = -A_sq(ω_F (τ))τ² + o(τ³),

(29)

ПК-решетка. Анализ показывает, что

где A_sq(ω_F ) определено уравнением (41), а ωF —

[

√

]

E1,max = max -Δ, 12τ -

36 + Δ² ,

уровень Ферми, отсчитанный от положения сингу-

лярности Ван Хова (см. Приложение А).

тогда как

В отличие от несингулярного случая (см. ниже

E2,min = -4τ + Δ.

результаты для ПК-решетки), энергии фаз (27) и

Сравнение первых двух значений с E2,min дает гра-

(29) практически совпадают, что приводит к тому,

ницу перехода металл-изолятор (рис. 2a):

что область металлической АФМ-фазы оказывает-

{

√

ся очень узкой. Выше на рис. 1б показана зависи-

2τ,

τ <

3/4,

мость от τ разницы энергий на границе АФМ-ме-

Δ^scMIT (τ) =

√

(24)

8τ - 9τ-1/8, τ >

3/4.

талл-АФМ-изолятор, δF^sqMIT (τ). Видно, что разница

1075

П. А. Игошев, В. Ю. Ирхин

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

10⁵ F^sqMIT

-1.0

B – A_sqsq

Изоля

то

0.010

-2.0

0.005

Мет

ал

0.16

0.18

0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.04

0.08

0.12

Рис. 1. a) Фазовая диаграмма перехода металл-изолятор в переменных τ -Δ для квадратной решетки. В белой обла-

√

сти E1,max = -Δ, в темно-серой области E1,max = -4τ - Δ

(1 - 2τ)/(1 + 2τ), в светло-серой области E1,max =

√

= 4τ -

16 + Δ². Точка излома кривой перехода металл-изолятор имеет координаты τ = 1/

2, Δ =

2. б) Зависимость

δF^sqMIT (τ), определяемая уравнением (26), для квадратной решетки. На вставке разность Bsq(λ) - Asq(λ) в окрестности

минимума при λ = λ0

Изолятор

Металл

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Рис. 2. a) Диаграмма перехода металл-изолятор для ПК-решетки в переменных τ -Δ. Белая область определена урав-

√

нением E1,max = -4τ + Δ; серая область — E1,max = 12τ -

36 + Δ². Линии дают границу между изоляторной и

√

металлической АФМ-фазами. Излом кривой происходит в точке τ =

3/4, Δ =

3/2. б) Диаграмма перехода металл-

изолятор для ОЦК-решетки в переменных τ -Δ. Белая область определена уравнением E1,max = 8τ - Δ; серая область —

√

E1,max = 12τ -

64 + Δ². Линии дают границу между изоляторной и металлической АФМ-фазами. Излом кривой

√

происходит в точке τ = 2/

3, Δ = 8/

1076

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Переход металл-изолятор в присутствии сингулярностей. ..

U_MIT

АФМ-изолятор

1.5

0.2

1.0

АФМ-изолятор

ПМ-металл

0.1

0.5

ПМ-металл

0.05

0.10

0.05

0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

Рис. 3. a) Фазовая диаграмма основного состояния модели Хаббарда для ПК-решетки в переменных τ -U. Штриховая кри-

вая показывает неустойчивость изоляторной АФМ-фазы относительно металлической АФМ-фазы, сплошная кривая —

относительно парамагнитной (ПМ) металлической фазы (последняя неустойчивость не реализуется). На вставке — фа-

зовая диаграмма в переменных τ -Δ. б) Границы перехода АФМ-металл-АФМ-изолятор для различных решеток: 1 —

квадратной по формуле (32); 2 — ПК по формуле (36); 3 — ОЦК по формулам (19), (25) с коэффициентами (74)

очень мала и меняет знак при τ ≈ 0.08 (второе изме-

При малых τ изоляторная фаза выигрывает у

нение знака находится за пределами точности раз-

парамагнитной фазы из-за логарифмического вкла-

ложения). Причиной этого является наличие сингу-

да в энергию, однако при увеличении Δ энергии фаз

лярностей Ван Хова в электронном спектре: разло-

пересекаются в двух точках. Отметим, что увеличе-

жение энергии фаз (парамагнитная фаза, уравнение

ние τ приводит к неприменимости рассмотренных

(29) или изоляторная АФМ-фаза, уравнение (27)) не

выше разложений, что требует непосредственного

имеет простой аналитической формы.

численного решения уравнения (12).

Удобно параметризовать зависимость на границе

Используя формулу (19), получим зависимость

через λ = (1 + ln(16/ω_F ))-1:

критического значения взаимодействия на границе

перехода металл-изолятор:

A_sq(ω_F (λ)) =

A_sq -

λ+

λ²,

(30)

π²

[

]

U^sqMIT (τ) =

B_sq(τ(λ)) =

ln(8λ) -

+λ-1 ,

(31)

π²

[

(

)

]-1

π²

= 4π2 ln2

- 4ln2 2 + 2π²δGsq

(32)

где постоянная

A_sq определена в Приложении A.

Чтобы лучше понять причины появления узкой

где постоянная δG_sq определена в Приложении B.

области, сравним разность функций B_sq(τ(λ)) -

Эта зависимость показана на рис. 3б.

- A_sq(ω_F(λ)), определяющую род перехода при ма-

ПК-решетка. Используя выражения (20), (70),

лых τ (см. вставку к рис. 1б). Минимум функ-

находим

ции B_sq(τ(λ)) - A_sq(ω_F (λ)) достигается при малых

(

√

)

λ₀ = 1/

. Этому значению минимума соответ-

δF^scAFI(Δ^scMIT (τ)) = -B_scτ² + o(τ³),

(33)

ствует τ₀ = 0.1075,

F^scPM (τ) = -A_scτ² + o(τ³),

(34)

A_sq(λ₀) = 0.558261, B_sq(λ₀) = 0.557614.

где B_sc = 0.285, A_sc = 0.145 (см. Приложение А).

Величина Δ^scMIT (τ) определяется уравнением

Видно, что за исключением узкой окрестности λ₀

выполняется неравенство B_sq(λ) > A_sq(λ).

(24). При малых τ имеем

1077

П. А. Игошев, В. Ю. Ирхин

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

δF^scMIT (τ) = (A_sc - B_sc)τ² + o(τ³) =

чением t^′ становятся важными корреляционные по-

правки, которые могут быть описаны в методе вспо-

= -0.14τ² + o(τ³) < 0.

(35)

могательных бозонов (см. численные расчеты [9]).

Таким образом, при увеличении τ для парамагнит-

При половинном заполнении зоны зависимость

ной фазы происходит переход сначала в металли-

энергии парамагнитного и изоляторного АФМ-сос-

ческую АФМ-фазу, а затем в парамагнитную. При

тояний от параметров модели определяется глав-

малых τ знак δF^scMIT (τ) не может измениться, по-

ным образом поведением плотности электронных

скольку оба вклада, (33) и (34), не имеют особенно-

состояний в окрестности центра зоны. Здесь мож-

сти (неаналитичности). Это означает, что род пере-

но выделить два случая:

хода по U не меняется с изменением τ.

а) несингулярная плотность состояний (при-

Используя уравнение (21), получим

мер

— ПК-решетка), когда эта энергия имеет

квадратичную зависимость от параметров t^′ или

[

]-1

⁽6⁾

δG_sc

АФМ-щели Δ;

U^scMIT (τ) = 2 ρ_sc(0, 0)ln

(36)

б) сингулярная плотность состояний (примеры —

квадратная и ОЦК-решетки), когда указанная квад-

где ρ_sc(0, 0) = 0.143, а величины δGsc определе-

ратичная зависимость приобретает дополнительные

ны в Приложении B. Полученный результат (см.

логарифмические факторы и, таким образом, явля-

рис. 3б) отличается от результата работы [8], по-

ется существенно неаналитической.

скольку учтено, что изоляторное АФМ-состояние

Заметим, что, в отличие от разложения свобод-

фактически конкурирует не с парамагнитным, а с

ной энергии в теории Ландау, в котором равновес-

металлическим АФМ-состоянием, что меняет значе-

ное значение параметра порядка определяется ба-

ние Δ_MIT на границе (хотя в этом случае Δ все еще

лансом между членами второго и четвертого поряд-

линейно зависит от τ, эта зависимость имеет другой

ков, здесь баланс определяется вкладами в энер-

коэффициент).

гию, содержащими логарифмические множители, и

ОЦК-решетка. Численное исследование урав-

устанавливается в области намного меньших пара-

нений (25) и (73) дает, что δF^bccMIT (τ) < 0, так что

метров. При этом коэффициенты в разложении сво-

при увеличении τ реализуется переход второго ро-

бодной энергии определяются коэффициентами при

да из фазы АФМ-изолятора в фазу АФМ-метал-

сингулярных вкладах в плотность состояний. Под-

ла. Зависимость критического значения параметра

черкнем, однако, что Δ не является параметром по-

кулоновского взаимодействия U^bccMIT (τ) определяет-

рядка, поскольку критерий перехода из состояния

ся уравнениями (19), (25) и коэффициентами (74) в

АФМ-изолятора, вообще говоря, не определяется об-

Приложении B и показана на рис. 3б.

ращением Δ в нуль (в качестве параметра порядка

должен выступать спектральный вес квазичастиц в

металлическом состоянии).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве применения данной теории мы

В работе в рамках слэтеровского сценария иссле-

получили критерий перехода металл-изолятор в

дован переход металл-изолятор в основном состоя-

АФМ-состоянии для квадратной решетки. Нали-

нии АФМ-металла для различных бипартитных ре-

чие сингулярностей Ван Хова в электронном спек-

шеток. Показано, что изоляторное АФМ-состояние

тре приводит к дополнительному сингулярному (ло-

может быть неустойчиво по отношению к перехо-

гарифмическому) вкладу в энергии АФМ- и ПМ-

ду как в металлическое АФМ-состояние, так и в

состояний и вкладу, пропорциональному ln²(t/Δ),

парамагнитное состояние. Для первой неустойчи-

в обратное критическое значение U. Нелинейное

вости найдено уравнение фазовой границы в пере-

соотношение между Δ и t^′ на границе перехо-

менных t^′-Δ. С соответствующими корреляционны-

да АФМ-изолятор-ПМ-металл, обусловленное син-

ми перенормировками оно применимо и за рамка-

гулярностью, приводит к изменению рода перехо-

ми приближения среднего поля (например, в подхо-

да со второго на первый при конечном значении

де вспомогательных бозонов Котляра - Рукенштей-

τ = t′ ≃ 0.08. Это согласуется с численными ре-

на [15,16]). Как показывают наши вычисления, в об-

зультатами [9, 13], которые в приближении Харт-

ласти применимости использованного разложения

ри - Фока дают переход первого рода в интерва-

по t^′ критическое значение U удовлетворяет кри-

ле 0.08 ≲ t^′ ≲ 0.3-0.4. На границе металл-изолятор

терию U_MIT ≪ D, так что приближение Хартри-

в АФМ-состоянии энергия изоляторной АФМ-фазы

Фока можно считать достаточно хорошим. С увели-

очень близка к энергии металлической ПМ-фазы.

1078

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Переход металл-изолятор в присутствии сингулярностей. ..

Результаты по изменению рода перехода с изменени-

удобно отсчитывать энергию от этой сингулярности,

ем t^′ достаточно надежны и не связаны со специфи-

ε = εs + ω и EF = εs + ωF. Прямое дифферен-

кой приближения среднего поля. В частности, воз-

цирование по параметру τ здесь не проходит, так

никновение перехода первого рода при t^′ ≲ 0.2 под-

как плотность состояний сингулярна и получающи-

тверждается расчетами по методу Монте-Карло [12].

еся интегралы расходятся. Используя асимптотику

Таким образом, при наличии сингулярностей

для плотности состояний

Ван Хова в плотности электронных состояний мо-

жет произойти изменение рода перехода, как это

ρ^sq(ω) ≡ ρ^sq(ω, τ = 0) =

+ o(ω),

(38)

2π²

|ω|

имеет место для квадратной решетки. Напротив, в

для ω_F получим следующее уравнение:

ПК-решетке имеет место переход второго рода из

(

)

АФМ-изолятора в АФМ-металл. Для ОЦК-решет-

ки, несмотря на наличие сингулярностей Ван Хова,

ω_F ln

= 8τ.

(39)

|ω_F|

ситуация оказывается похожей: всегда реализуется

переход второго рода, поскольку граница устой-

Легко видеть, что sign ω_F = sign τ. В нашем случае

чивости изоляторной АФМ-фазы по отношению к

ω_F > 0.

ПМ-фазе в переменных t^′-Δ, хотя и нелинейна (как

Перепишем выражение (10) через плотность со-

и для квадратной решетки), не пересекается с ли-

стояний:

нией перехода в АФМ-металл.

δF^sqPM(τ) = -A_sq(ω_F )τ²,

(40)

где

Благодарности. Авторы благодарны М. А. Ти-

миргазину, Ю. Н. Скрябину и А. О. Анохину за

32/π²

16/π²

A_sq(ω) =

A_sq -

(41)

полезные обсуждения.

1 + ln(16/ω)

(1 + ln(16/ω))²

Финансирование. Работа выполнена в рам-

∫



ках государственного задания Федерального агент-

∂²ρ_sq(ω + ϵ_s, τ)

A_sq = - ω



dω -



ства научных организаций России (тема «Квант»

∂τ²

τ =0

ε1

№ AAAA-A18-118020190095-4).

= 1.08.

(42)

Работа подготовлена по итогам XXXVIII Сове-

ПК-решетка. Дифференцируя уравнение (10)

щания по физике низких температур (НТ-38).

по τ и учитывая зависимость E_F (τ), определяемую

уравнением (11), получим при половинном заполне-

нии (∂F^scPM /∂τ)τ=0 = 0 и

ПРИЛОЖЕНИЕ A



1 ∂²F^scPM



Разложение энергии парамагнетика по



A_sc =



∂τ²

параметру τ

τ =0



)

∑



⁽∂E_F

Разложим энергию парамагнитной фазы невзаи-



ξ_k-ξ²

δ(E_F - t_k(0)),

(43)



∂τ

модействующих электронов по переносу между вто-

τ =0

рыми соседями при половинном заполнении. С уче-

где введено обозначение ξ_k = ∂t_k/∂τ. Последнее вы-

том формулы (10) перепишем изменение энергии че-

ражение удобно выразить через парциальные плот-

рез плотность состояний:

ности состояний

[∫

1^∑

δF_PM (τ) = 2 dε εθ(E_F (τ) - ε)ρ(ε, τ) -

p^scn(ε) =

ξnkδ(ε - t_k(0)), n = 0, 1, 2,

(44)

∫

]

− dε εθ(-ε)ρ(ε, 0) .

(37)

причем psc0(ε) = ρ^sc(ε). Из уравнения (11) получим



∂E_F



psc1(E_F )



(45)

Вычислим теперь асимптотику δF_PM (τ) при ма-



∂τ

ρ^sc(E_F )

τ =0

лых τ.

Квадратная решетка. Поскольку при поло-

Тогда окончательно имеем

винном заполнении зоны уровень Ферми приходит-

(psc1(E_F ))

ся на положение сингулярности Ван Хова ε_s = -4τ,

A_sc =

- psc2 (E_F).

(46)

ρ^sc(E_F )

1079

П. А. Игошев, В. Ю. Ирхин

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Эти формулы справедливы, когда на уровне Фер-

Идея оценки асимптотики интегралов — выбрать

ми нет сингулярности Ван Хова. В противополож-

функцию, имитирующую критическое поведение

ном случае необходимо выделять сингулярные (ло-

знаменателя в областях, дающих наибольший вклад

гарифмические) вклады в разложении δF_PM по

в интеграл. Мы имеем две существенные области:

малому параметру τ. Вычислим ρ_n(E_F

= 0) для

ϵ ≪ d и ϵ ≫ d,

ПК-решетки (половинное заполнение зоны):

√

ϵ² + d² + ϵ → 2ϵ + d.

(52)

p^scn(E_F = 0) =

Исследуем сначала сингулярный вклад от двой-

∫

ной логарифмической (dl) особенности ρ^sD(ϵ)

(cos k_x cos k_y + cos k_y cos k_z +

= ln²(1/ϵ):

(2π)³

+ cosk_x cosk_z)ⁿδ(cosk_x + cosk_y + cosk_z).

(47)

∫

ln2 (1/ϵ)

G_dl(d) ≡ dϵ

√

→

G_dl(d) ≡

Вычисление интегралов дает

ϵ² + d² + ϵ

∫

ρ^sc(0) = 0.142, psc1(0) = -0.353,

ln² (1/ϵ)

≡

dϵ

(53)

2ϵ + d

psc2(0) = 1.023, A_sc = 0.145.

Тогда свободная энергия запишется как

Используя уравнение (51) и разлагая Li₃, получим

[

⁽2⁾

⁽2^)]

δF^scPM (τ) = -A_scτ² + o(τ³).

(48)

G_dl(d) =

ln³

+ π2 ln

+ o(1).

(54)

Асимптотика разности выражений в уравнении (53)

ПРИЛОЖЕНИЕ B

имеет вид

[

)

Асимптотика вкладов G(d)

⁽2⁾⁽

π²

⁽2⁾

G_dl(d)

G_dl(d) =

ln²

+ 1-

Рассмотрим разложение величины G(d) (15) по

)]

параметру d до членов порядка d². Прямое разло-

⁽1

π²

+ ζ(3) +

+ o(1).

(55)

жение знаменателя при ϵ > 0 дает

Суммируя выражения (54) и (55), находим

d²

√

+ O(d⁴).

(49)

ϵ² + d² + ϵ

2ϵ

8ϵ³

[

⁽2⁾

Gdl(d) =

ln³

ln²

Подстановка этого разложения в интеграл (15) дает

)

)]

расходимость, если ρ(ϵ) содержит вклады степеней

⁽3

⁽2⁾

⁽1

π²

-π²

+ζ(3)+

+o(1).

(56)

ϵ меньших, чем 3.

Представим плотность состояний в виде

Рассмотрим теперь сингулярный вклад от лога-

рифмической (l) особенности ρ^sD(ϵ) = ln(1/ϵ):

ρ_D(ϵ) = ρ^sD(ϵ) + δρ_D(ϵ),

∫

так что

dϵ δρ_D(ϵ)/ϵ сходится. Определим вклады,

ln (1/ϵ)

G_l(d) = dϵ

√

→

G_l(d) =

сингулярные при d → 0 и регулярные вплоть до чле-

ϵ² + d² + ϵ

нов до d⁴ включительно, соответственно G = G_s +δG,

∫1

где

ln (1/ϵ)

dϵ

(57)

(

)

(

)

2ϵ + d

∫

G_s(d)

ρ^sD(ϵ)

dϵ

√

(50)

δG(d)

δρ_D(ϵ)

ϵ² + d² + ϵ

Из уравнения (51) имеем асимптотику

⁽2⁾

π²

Для вычисления интегралов используем полилога-

G_l(d) =

ln²

+ o(d).

(58)

рифмическую функцию:

Рассмотрим теперь оценку для

∫

(

)

[

]

lnⁿ(1/x)

⁽2⁾

3-π²

= -n!Lin+1

a > 0.

(51)

G_l(d) -

G_l(d) =

+ o(d).

(59)

x+a

1080

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Переход металл-изолятор в присутствии сингулярностей. ..

Суммируя оба вклада (58) и (59), получаем

где ρ^scD(0) = 0.856038 [17], δρ^scD(ϵ) = o(ϵ). Тогда, со-

[

]

гласно уравнениям (61) и (64),

⁽2⁾

3+π²

G_l(d) =

ln²

+ ln

+ o(d). (60)

G_sc(d) = ρ^scD(0)G₀(d) + δG_sc + o(d),

(69)

Вклад от постоянной в окрестности ϵ = 0 плот-

и мы получим коэффициенты представления (18):

ности состояний равен

asc0 = ρ_D(0)/4 + δG_sc,

(70)

)]

^[1

⁽2

G₀(d) =

+ ln

+ o(1).

(61)

asc1 = ρ_D(0)/2,

(71)

где δG_sc = -0.173.

Наконец, учтем вклад δG от регулярной части

ОЦК-решетка. D = 8. Из работы [18] получим

плотности состояний δρ_D(ϵ) = ρ_D(ϵ) - ρ^sD(ϵ). Мы

∫₁

асимптотику

предполагаем, что интеграл

dϵ δρ_D(ϵ)/ϵ сходится,

(

)

)₂

так как сингулярный вклад ρ^sD вычтен. Тогда

⁽π

ρ^bccD(ϵ) =

ln²

+ δρ_bcc(ϵ),

(72)

π³

|ϵ|

∫

δρ_D(ϵ)

δG(d) =

dϵ

+ o(d).

(62)

где δρ^bccD(ϵ) = o(ϵ). Из уравнений (56), (60), (61), (64)

получим

{

Таким образом, постоянный вклад для каждой ре-

G_bcc(d) =

G_dl(d) + 2 ln(8)G_l(d) +

шетки можно определить численно:

π³

[

]

}

)₂

⁽π

δG(d) = δG + o(d),

(63)

+ ln² 8 -

G₀(d)

+ δG_bcc + o(d),

(73)

где

где δG_bcc = -0.36, также и коэффициенты представ-

∫1

δρ_D(ϵ)

ления (18):

δG =

dϵ

(64)

[

abcc0 =

9 ln² 2 + (3 + π²) ln 2 +

Результат для δρ_D(ϵ) не содержит сингулярных

4π³

]

вкладов в G(d).

5π²

+ ζ(3) +

+ δG_bcc = -0.23,

Применим полученные асимптотики для следу-

(

)

ющих решеток.

19π²

abcc1 =

9 ln² 2+3 ln 2+

= 0.09665,

(74)

Квадратная решетка. D = 4:

π³

)

(

)

⁽ 4

ρ^sqD(ϵ) =

+ δρ^sqD(ϵ),

(65)

abcc2 =

3 ln 2 +

= 0.08319,

π²

|ϵ|

π³

4 ln 2

abcc3 =

= 0.01075.

G_sq(d) =

G_l(d) +

G₀(d) + δG_sq + o(d),

(66)

3π³

π²

где δρ^sqD(ϵ) = o(ϵ), δG_sq = 0.0140268. Используя вы-

ЛИТЕРАТУРА

ражения (60) и (64), получим коэффициенты для

представления (18):

1. Н. Ф. Мотт, Переходы металл-изолятор, Наука,

(

)

Москва (1979).

3+π

asq0 =

+ 2ln2

2π²

2. M. Imada, A. Fujimori, and Y. Tokura, Rev. Mod.

1 + 4ln2

Phys. 70, 1039 (1998).

(67)

asq1 =

2π²

3. T. Das, R. S. Markiewicz, and A. Bansil, Adv. Phys.

asq2 =

63, 151 (2014).

2π²

4. П. А. Игошев, А. А. Катанин, В. Ю. Ирхин,

ПК-решетка. D = 6. В этом случае плотность

ЖЭТФ 132, 1187 (2007).

состояний аналитична в центре зоны и для нее спра-

ведливо выражение

5. P. A. Igoshev, M. A. Timirgazin, A. A. Katanin,

A. K. Arzhnikov, and V. Yu. Irkhin, Phys. Rev. B 81,

ρ^scD(ϵ) = ρ^scD(0) + δρ^scD(ϵ),

(68)

094407 (2010).

1081