ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 6, стр. 1098-1106

ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНОГО ПЛОТНОГО

ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА

М. Т. Кейкиманова^a, Г. И. Муратова^a, Р. Ж. Наметкулова^a,

М. Н. Сарыбеков^a, И. М. Ткаченкоb*

^a Таразский государственный университет им. М. Х. Дулати

010000, Тараз, Казахстан

^b Департамент прикладной математики, Валенсийский политехнический университет

46022, Валенсия, Испания

Поступила в редакцию 26 ноября 2018 г.,

после переработки 1 февраля 2019 г.

Принята к публикации 1 февраля 2019 г.

Алгоритм, предложенный в работе [30], позволяющий определять динамические характеристики неиде-

альной однокомпонентной плазмы без использования данных численного моделирования или прямых

экспериментов, обобщается на частично вырожденный двумерный электронный газ. Подход основан на

классической теории моментов и других точных отношениях, которым должна удовлетворять диэлектри-

ческая функция системы.

DOI: 10.1134/S0044451019060142

электронов и их эффективная масса) намного мень-

ше, чем расстояние между уровнями энергии E₀ и

1. ВВЕДЕНИЕ

E₁, то электроны образуют квазидвумерный элект-

ронный газ с фиксированной энергией E₀ и волно-

Наблюдаемый в последнее время растущий инте-

вой функцией ψ(z), отвечающей движению вдоль

рес к исследованию квазидвумерных электронных

систем частично связан с развитием наноэлектро-

направления z. Хотя движение электрона в пер-

пендикулярном направлении ограничено, потенциал

ники, см., например, [1]. Хорошо известными при-

мерами двумерных электронных систем являются

электростатического взаимодействия определяется

решением трехмерного уравнения Пуассона, усред-

электроны, захваченные на поверхности жидкого ге-

лия, или электроны, удерживаемые вблизи перехода

ненного с волновой функцией ψ(z). Более подробное

обсуждение этой проблемы дано в работе [5]. Дру-

между полупроводником и изоляторами (в структу-

ре полевого транзистора на основе оксида металла и

гими словами, мы можем аппроксимировать взаи-

модействие внутри двумерной электронной системы

полупроводника (MOSFET)) или между слоями раз-

личных полупроводников (в гетеропереходах) [2, 3],

потенциалом Кулона φ(r) = e/r, где e — перенор-

см. также [4]. Квазидвумерность в этих системах

мированный заряд электрона. Таким образом, пара-

метры связи и вырождения однокомпонентной дву-

означает, что электроны удерживаются вблизи гра-

ницы раздела электростатическим полем и имеют

мерной плазмы можно определить как

βe²

квантованные уровни энергии E_i (i = 0, 1, . . .) для

Γ=

D=βE_F =

^Γ.

(1)

движения вдоль направления z, перпендикулярно к

границе раздела.

Здесь β = (k_BT)-1 — обратная температура сис-

Расстояние между уровнями энергии в инвер-

темы в энергетических единицах, a = (πn)-1/2 —

сионных слоях составляет около 100 K, тогда как,

двумерный радиус Вигнера - Зейтца, r_s = a/a^∗B =

например, на поверхности жидкого гелия — около

= am^∗e²/ℏ² — параметр Бракнера. Кроме того,

10 K. Если температура T и энергия Ферми E_F =

можно ввести двумерное дебаевское волновое число

= πnℏ²/m^∗ (n и m^∗ — поверхностная плотность

k_D = 2πβe²n = 2Γ/a. Ниже будет также использо-

ваться безразмерное волновое число q = ka, так что,

^* E-mail: imtkgo@gmail.com

например, q_D = k_Da = 2Γ.

1098

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Динамические свойства двумерного плотного электронного газа

Исследование коллективных возбуждений дву-

степенных моментов. Если применять этот подход

мерной жидкой плазмы началось более 40 лет на-

для изучения диэлектрической функции плазмы

зад, когда Платцман и Цоар в рамках приближе-

или динамического структурного фактора, то мо-

ния хаотических фаз (ПХФ) установили качествен-

менты фактически являются правилами сумм [23],

ные особенности двумерных плазмонов [6]. Было об-

которые должны выполняться независимо от раз-

наружено, что коллективная мода квазидвумерной

ложений по малым параметрам. В этом смысле мо-

кулоновской системы мягкая с характерным корне-

ментный подход является непертурбативным, и ес-

вым законом дисперсии:

ли его дополнить физически мотивированными со-

√

ображениями, упрощениями или асимптотическими

2πne²k

2e²q

ω_p(q) =

(2)

соображениями, то он даст возможность адекватно

m^∗

m^∗a³

разрешить указанную выше задачу. По своей при-

В ПХФ, однако, не учитываются корреляцион-

роде моментный подход, безусловно, является чи-

ные эффекты, играющие определяющую роль в

сто математическим, в этом смысле он не являет-

неидеальной плазме. Теоретические попытки опи-

ся модельным. Стоит отметить также, что момент-

сать двумерные коллективные возбуждения для Γ >

ный подход эквивалентен методу непрерывных дро-

> 1 начались с обобщением ПХФ в режиме неиде-

бей Ли и других [28,29].

альности [6] и в дальнейшем с применением прибли-

Новое развитие метод моментов получил недавно

жения квазилокализованного заряда (ПКЛЗ) [7-10].

в работе [30], где он был применен для определения

Расчеты, основанные на последнем формализме,

различных динамических свойств однокомпонент-

привели к следующему выражению для двумерной

ных классических неидеальных систем с потенци-

диэлектрической проницаемости:

алами взаимодействия Кулона и Юкавы по их ста-

ω2p(q)

тическим характеристикам без какой-либо адапта-

ε(q, ω) = 1 -

(3)

ции к динамическим данным моделирования. Обос-

ω² - ω2p(q)D(q)

нованность подхода была подтверждена сравнением

где

с имеющимися результатами численного анализа.

∑

(q · p)²

Обобщение новой версии моментного подхода

D(q) =

[S (|q - p|) - S(p)] ,

(4)

q³p

на более сложные, например, частично вырожден-

p=0,q

ные и многокомпонентные кулоновские системы

N — полное число электронов в системе, а S(q) —

было предложено на международной конференции

статический структурный фактор. Выражение (3)

«Неидеальные кулоновские системы» [31], см. также

удовлетворяет четвертому правилу сумм при боль-

[32,33], и на международной конференции по физи-

ших значениях Γ, таких что 3q/2Γ < D(q). Оно так-

ке неидеальной плазмы [34].

же удовлетворяет f-правилу сумм, но не удовлетво-

Цель настоящей статьи имеет три составляющие:

ряет нулевому правилу сумм, см. ниже.

1) описать обобщение модифицированного момент-

С целью аналитического описания динамиче-

ного подхода [30] на двумерные системы, 2) устано-

ских свойств неидеальных двумерных кулоновских

вить связь между правилами сумм и свести опреде-

систем предлагается альтернативный математиче-

ление динамических свойств к знанию статических

ский подход, способный автоматически учитывать

характеристик, 3) исправить некоторые ошибки в [5]

все сходящиеся правила сумм. Специфика физиче-

и изучить взаимоотношение настоящего подхода с

ских систем включена в правила сумм, рассчитан-

альтернативными теоретическими моделями.

ные независимо и точно с использованием стандарт-

Предполагается, что рассматриваемые нами си-

ных методов квантовой статистики в рамках теории

стемы находятся в тепловом равновесии и не замаг-

линейной реакции Кубо [11-13]. Основополагающие

ничены. Обобщения на более сложные двумерные

работы этого подхода были опубликованы около 35

системы могут быть осуществлены непосредственно

лет назад [13-15]. Дальнейшее развитие было пред-

или в рамках матричного метода моментов [23, 35].

ложено в работах [16-22] и книге [23]. Все они были

основаны на классических монографиях [24-26].

Моментный подход изначально основан на нека-

2. ФУНКЦИЯ ПОТЕРЬ И ДИНАМИЧЕСКИЙ

нонических решениях Неванлинны [27] (усеченной)

СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР

проблемы моментов Гамбургера, заключающейся

в восстановлении неотрицательной неубывающей

Краеугольным камнем моментного подхода яв-

плотности распределения по конечному числу ее

ляется (обратная) диэлектрическая функция плаз-

1099

М. Т. Кейкиманова, Г. И. Муратова, Р. Ж. Наметкулова и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

мы (ОДФ), ε-1(q, z = ω + iδ), δ ≥ 0, являющаяся

Этот результат не зависит от природы системы.

истинной функцией отклика для любого q [36,37]¹⁾,

Второй момент — это f-правило сумм [5,39]:

или (неотрицательная и четная) функция потерь

∫

∞

L(q, x = ω²) = - Im ε-1(q, ω)/ω.

C₂(q) = -

ω Im ε-1(q, ω) dω =

Динамический структурный фактор (ДСФ) яв-

-∞

ляется центральной величиной коллективных и ди-

2e²q

= ω2p(q) =

(10)

намических явлений, он определяется функцией по-

m^∗a³

терь через флуктуационно-диссипативную теоре-

где ω_p(q) — плазменная частота системы (2).

му [3]:

Четвертый степенной момент функции потерь

S(q, ω) =

B(βℏω)L(q, ω),

(5)

∫

∞

где

C₄(q) =

ω⁴L(q, ω)dω

(11)

−∞

B(x) = x (1 - exp(-x))-1

x→0 1

(6)

— бозе-фактор. Ниже будет показано, как на стро-

был найден в работе [5], но, к сожалению, при этом

гой математической основе, дополненной простыми

роль магнитного взаимодействия была преувеличе-

физическими соображениями, знание этих динами-

на. Здесь приводится правильная форма момента

ческих характеристик может быть сведено к знанию

(11). Таким образом, в двумерном электронном га-

статических, а именно статического структурного

зе с фурье-образом потенциала парного взаимодей-

фактора.

ствия φ(q)

= 2πea/q вторая характеристическая

Конструктивными блоками подхода являются

частота содержит три вклада:

правила сумм или частотные моменты функции по-

ω²²(q) = ω2p(q)[1 + K(q) + D(q)] .

(12)

терь,

∞

∫

Кинетический вклад

C_ν(q) =

ω^νL(q, ω)dω, ν = 0, 2, 4.

(7)

-∞

K(q) =

β〈E_kin〉 +

(13)

2Γ

8r_s

Существенно, что моменты нечетного порядка

где

обращаются в нуль из-за симметрии функции по-

терь. В противоположность ситуации с многоком-

1∑ ℏ²p²

понентной плазмой [38], в однокомпонентной плазме

〈E_kin〉 =

a†pa_p

(14)

моменты высшего порядка сходятся, но они связаны

со слабо изученными непарными корреляциями, ко-

— средняя кинетическая энергия на электрон, a†p и

торыми здесь пренебрегаем. В классических систе-

a_p — операторы рождения и уничтожения, причем

мах, в соответствии с (6), моменты функции потерь

с опущенными спиновыми индексами, а корреляци-

(7) пропорциональны моментам ДСФ, см. [30].

онный вклад совпадает с так называемой «D-мат-

Моменты C₀(q), C₂(q), C₄(q) и характеристичес-

рицей» (4) приближения квазилокализованного за-

кие частоты

√

ряда. Средняя кинетическая энергия в (14) может

C₂(q)

C₄(q)

быть записана как

ω₁(q) =

ω₂(q) =

(8)

C₀(q)

C₂(q)

2e²

〈E_kin〉 =

F₁(η)

(15)

известны независимо, они определяются составом,

a^∗BΓ²

вырождением и термодинамикой системы. Действи-

тельно, нулевое правило сумм вытекает из соотно-

с безразмерным химическим потенциалом, опреде-

шений Крамерса - Кронига:

ляемым условием нормировки для функции распре-

деления:

∫∞

ωL(q, ω)dω

F₀(η) =

ε-1(q, z) = 1 +

⇔ C₀(q) =

2r_s

π(z - ω)

-∞

Здесь

∫∞

= 1 - ε-1(q,0).

(9)

F_μ(η) =

exp(x - η) + 1

См. также ссылки в статье [37].

1100

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Динамические свойства двумерного плотного электронного газа

обозначает интеграл Ферми порядка μ. В классичес-

3. ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ

ком приближении, когда D ≪ 1,

Чтобы найти динамические характеристики ку-

лоновских систем и связать их со статическими, мы

F₀(η) = F₁(η) = expη =

≪ 1,

2r_s

используем решения усеченной проблемы момен-

тов Гамбургера, соответствующей пяти сходящимся

и тогда

частотным моментам {C₀(q), 0, C₂(q), 0, C₄(q)}, бо-

K_classical(q) =

2Γ

лее подробно см. [23, 24, 40-42]. В силу неравенства

Коши- Буняковского - Шварца эта последователь-

Аналогично

ность моментов является положительно определен-

∫∞

ной, см. [13,21,22]. Следовательно, проблема момен-

D(q) = pF (p, q) (S(p) - 1) dp,

(16)

тов разрешима, т. е. мы можем восстановить функ-

цию потерь и описать свойства коллективных мод,

существующих в системе: несмещенной (диффузи-

(

)

онной) и сдвинутых (плазмонных),

∫2π

(p cos θ + q)²

F (p, q) =

√

-p cos² θ

ω_us(q) = -ia(q), ω_±sh(q) = ±W(q) - ib(q),

(20)

p²+q²+2pq cosθ

dθ

и другие динамические характеристики.

(17)

Важно, что угловой множитель F(p, q) стремится к

3.1. Неканонические решения и

конечному значению, когда q → 0:

дисперсионное уравнение

Характеристики мод могут быть найдены из

F (p, q → 0)=5πq

дисперсионного уравнения или как полюсы ОДФ.

Последняя может быть извлечена из функции по-

При этом в гидродинамическом предельном случае

терь, определенной в нашей схеме с помощью линей-

но-дробного преобразования Неванлинны [24] (см.

ω²²(q → 0)= ω2p(q),

(18)

также уравнение (59) в [21, 22]²⁾):

на

коротких расстояниях,

поскольку

∞

∫

F (p, q → ∞)= 1, восстанавливается одночастичное

L(q, ω) dω

поведение:

πC₀(q)(ω - z)

-∞

ℏ²q⁴

ω²² - ω²¹ - z(z + Q)

ω²²(q → 0)= ω2p(q)

(19)

Im z = δ > 0,

(21)

8r_s

(2m^∗)²a⁴

z(z² - ω²²) + Q(z² - ω²¹)

Наконец, следует отметить, что предельное значе-

устанавливающего взаимно однозначное соответ-

ние (18) вытекает из особенности при p = q в исход-

ствие (биекцию) между функциями параметра

ном выражении для вклада взаимодействия в чет-

Неванлинны (ФПН) Q(z; q) и неканоническими

вертый момент.

решениями проблемы моментов для функции

Частоты ω₁(q) и ω₂(q) являются строительными

потерь. Любая ФПН, как и любая функция откли-

блоками моментного подхода. Кроме того, в разд. 4

ка (функция класса Неванлинны), должна быть

будет показано, что в силу простых физических со-

аналитической и иметь неотрицательную мнимую

ображений характерная частота ω₁(q) определяет-

часть в верхней полуплоскости δ > 0, будучи по

ся четвертым моментом. Таким образом, статичес-

крайней мере непрерывной на ее замыкании δ = 0.

кая диэлектрическая функция будет определена как

Кроме того, ФПН должна (равномерно в пределах

важный побочный продукт.

²⁾ Правая часть формулы Неванлинны может быть пред-

Включение нулевого момента позволяет не толь-

ставлена в виде усеченной непрерывной дроби, эквивалент-

ко изучать дисперсию коллективных мод системы,

ной (21) (см. [43], уравнение (35)):

но и оценивать их скорость затухания. Он не был

(

∫

∞

(

)-1)-1

учтен в модели ПКЛЗ [7-10], и характерная частота

L(q, ω) dω

ω²² - ω²¹

=C₀

z-ω²

π(ω - z)

z+Q

ω₁(q) не использовалась в том подходе. Диссипация

−∞

энергии также не изучалась в ПКЛЗ.

1101

М. Т. Кейкиманова, Г. И. Муратова, Р. Ж. Наметкулова и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

любого угла ϑ ≤ arg(z) ≤ π - ϑ, 0 < ϑ < π)

Чтобы воспользоваться этой диэлектрической

удовлетворять следующему предельному условию:

функцией и решить дисперсионное уравнение

(

)

(

)

Q(z; q)

lim

= 0.

(22)

z² - ω²²(q)

+ Q(z, q)

z² - ω²¹(q)

= 0,

(28)

z→∞ z

Дополнительное свойство (22) гарантирует вы-

необходимо иметь модель ФПН Q(z; q). Проще все-

полнение моментных условий. Действительно, рас-

го смоделировать ФПН в виде ее статического зна-

смотрим асимптотическое разложение левой части

чения, как это было сделано в работе [43] и ряде

(21) для z → ∞,

других публикаций [40-42]:

∫

∞

Q(z; q) = Q(0; q) = ih(q), h(q) > 0.

(29)

L(q, ω) dω

πC₀(q)(ω - z)

πC₀(q)z

−∞

Это приближение преобразует (25) в выражение

∫∞



L(q, ω) dω

ω²¹

L(q, ω)

ω²¹(ω²² - ω²¹)h



z→∞ -

(30)

1 - ω/z

z³

πC₀(q)

ω²(ω² - ω²²)² + h²(ω² - ω²¹)²

Q=ih

−∞

ω²¹ω²²

Таким образом, теорема Неванлинны сводит по-

+ ..., Imz = δ > 0,

(23)

z⁵

иск функции потерь и ДСФ к изучению ФПН или

и заметим, что, даже когда моменты высшего поряд-

только статической параметрической функции h(q).

ка расходятся, приведенное выше асимптотическое

Дальнейшее приведение динамических характерис-

разложение все еще представляет асимптотическое

тик к статическим представлено в следующем раз-

поведение функции потерь.

деле.

С другой стороны, асимптотическое разложение

Форма ПКЛЗ (3), очевидно, следует из соответ-

правой части (21) имеет вид

ствующей диэлектрической функции

ω²² - ω²¹ - z(z + Q)

ω²¹

z→-∞ -

ε(q, z) = 1 -

z(z² - ω²²) + Q(z² - ω²¹)

z³

[

(

)]

ω2p(q)(z + Q(z, q))

ω²¹ω²²

ω²¹

(

)

(

-...,

(24)

z²-ω²²(q)+ω2p(q)

+Q(z; q)

z²-ω²¹(q)+ω2p(q)

z⁵

ω²

что совпадает с (23) в силу дополнительного асимп-

Im z > 0,

тотического свойства (22). Таким образом,

если положить Q(z; q) = K(q) = 0. Понятно, что

в ПКЛЗ учитывается, причем в ограниченной фор-

L(q, ω)

ω²² - ω²¹ - ω(ω + Q)

= Im

ме — при пренебрежении вкладом кинетической

πC₀(q)

ω(ω² - ω²²) + Q(ω² - ω²¹)

энергии, только второе и четвертое правила сумм,

ω²¹(ω²² - ω²¹)ImQ

но не нулевой степенной момент. Детали результа-

|ω(ω² - ω²²) + Q(ω² - ω²¹)|²

тов ПКЛЗ, включая дисперсионный зазор в двой-

ω = Re(z + i0⁺).

(25)

ном слое электронов, могут быть воспроизведены и

улучшены в рамках моментного подхода. Но нет воз-

ОДФ ε-1(k, z) может быть легко извлечена из функ-

можности свести дисперсию ПКЛЗ к классической

ции потерь, найденной по пяти моментам и опре-

власовской асимптотике, содержащейся в кинетиче-

деляемой формулой Неванлинны (21), посредством

ском вкладе K(q) четвертого момента. Частичный

формулы Сохоцкого - Племеля - Дирака

учет четвертого правила сумм вместе с f-правилом

сумм позволил добиться в рамках ПКЛЗ новых ин-

+ πiδ(ω^′ - ω)

(26)

ω^′ - ω - i0⁺

ω^′ - ω

тересных универсальных результатов по дисперсии

коллективных мод, которые встроены в формализм

(P — главное значение по Коши):

моментов. Кроме того, наш подход с помощью ФПН

ε-1(q, z) = 1 +

учитывает процессы диссипации энергии и позволя-

ет определить декремент коллективной моды.

(q) (z + Q(z; q))

ω2p

Альтернативным подходом при изучении дина-

z (z² - ω²²(q)) + Q(z; q)(z² - ω²¹(q))

мических характеристик систем является расши-

Im z > 0.

(27)

ренное приближение случайных фаз. Существует

1102

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Динамические свойства двумерного плотного электронного газа

ряд различных моделей поправок на локальное по-

Кроме того, нетрудно увидеть, что в невырожден-

ле (ПЛП) [4], см. также [21, 22]. В однокомпонент-

ных или слегка вырожденных системах положение

ной плазме динамическая ПЛП эквивалентна ФПН

«сдвинутого» максимума ДСФ равно

метода моментов, а приближение (29) соответству-

√

ω₂(q)

ет замене динамической ПЛП на статическую. Но

W_classical(q) = ±√

4ω²¹(q) - ω²²(q),

(34)

в многокомпонентных системах ФПН заменяет все

3ω₁(q)

парциальные ПЛП, которые довольно трудно смо-

и, когда θ(q) = 2ω₁(q) - ω₂(q) отрицателен, эта мода

делировать [44, 45].

сильно затухает и в спектре остается только широ-

кий «несмещенный» максимум. Роль параметра θ(q)

3.2. Сведение параметра Неванлинны

обсуждалась в работе [30].

Комплексные нули дисперсионного уравнения

Низкочастотное поведение функции потерь ана-

(28) с (29) и (33) теперь могут быть вычислены непо-

логично (из-за (6)) поведению ДСФ. Тогда преоб-

средственно как точные решения (28) (см. [30, 43]):

разование Фурье функции потерь, Λ(q, t), в силу

теоремы Таубера или Абеля является ограниченной

ih₀

w_us(q) = -ia(q) = -w²X - wY -

функцией, (экспоненциально) убывающей при боль-

ших временах. Принимая во внимание физические

ih₀

w_-sh(q) = -W(q) - ib(q) = -X - Y -

(35)

временные масштабы задачи, можно сделать вывод,

что для t, больших, чем наибольшее время релак-

ih₀

w_sh(q) = W(q) - ib(q) = -wX - w²Y -

сации коллективных мод системы, Λ(q, t) имеет ко-

нечный (нулевой) предел при t → ∞. Тогда, в соот-

Они предоставляют прямую информацию о (несме-

ветствии с принципом ослабления корреляций Бо-

щенной) диффузионной и смещенных (плазмонных)

голюбова, L(q, ω) подобно ДСФ также имеет конеч-

модах системы. Здесь w = exp(2πi/3), а

ное предельное значение нулевой частоты, поэтому

√

для очень низких частот значения функции потерь

h₀V²

должны быть слабо зависимы. Кроме того, посколь-

X =³

-Z³, Y =³

-Z³,

ку функция потерь является нечетной функцией

√

)₃

частоты, все ее частотные производные нечетного

⁽ω22

h²⁰

⁽h₀V 2)2

(36)

Z³ =

порядка становятся равными нулю при ω = 0. По-

этому вторая производная по ω (или первая по ω²)

ω²²

2h²

V² = -

+ω²¹ +

должна быть пренебрежимо мала в пределе очень

низких частот:

Важный результат (33) с помощью флуктуацион-



d²L(q, ω)

dL(q, x)



но-диссипативной теоремы приводит к следующей

= 0.

(31)



dω²

простой форме для ДСФ:

ω=0

x=ω²=0

√

Важно, что соотношение (31) позволяет в ко-

S(q, ω) =

нечном итоге выразить все динамические характе-

a²Γ

ристики в рамках настоящего подхода в терминах

ω₁ω²²ω2p(ω²² - ω²¹)B(βℏω)

только одной характеристической частоты

(37)

2ω²¹ω²(ω² - ω²²)² + ω⁴²(ω² - ω²¹)²

√

ω₂(q) =

C₄(q)/C₂(q),

(32)

Таким образом, описана структура ДСФ с тремя

максимумами (37), рассмотренная ранее в рамках

определяемой статическим структурным фактором.

формализма функции памяти [46]. Это достигнуто

Действительно, в силу своей симметрии функция

без использования какого-либо подгоночного пара-

потерь зависит только от квадрата частоты и, со-

метра, см. также [47,48]. Кроме того, эти результаты

гласно (31), имеет экстремум при x = ω² = 0. Тогда

были основаны на квантовой версии классического

простые вычисления приводят к конкретному зна-

приближения СТЛС [49], применимость которой в

чению параметра Неванлинны

двумерных системах сомнительна [50]. Как уже упо-

миналось, в дальнейшем характеристическая часто-

ω²(q)

та ω₁(q) будет выражена через четвертый момент

h(q) = h₀(q) =

√

(33)

2ω₁(q)

с помощью частоты ω₂(q), полностью определяемой

1103

М. Т. Кейкиманова, Г. И. Муратова, Р. Ж. Наметкулова и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

статическим структурным фактором системы и тер-

Естественно, разложение этой функции,

модинамическими параметрами. Было бы интерес-

Λ^can(q, t → 0)

ω²¹(q)

но сравнить (37) с реальными экспериментальными

=1-

t² +

C₀(q)

данными или с результатами численного моделиро-

ω²¹(q)ω²²(q)

вания ab initio данных, подобными недавним трех-

t⁴ + O(t⁶),

мерным квантовым результатам Монте-Карло, най-

совпадает с разложением, следующим из определе-

денным Бонитцем и его коллегами [51-53].

ния моментов {C₀(q), 0, C₂(q), 0, C₄(q)} в (40):

Λ(q, t → 0)

ω²¹(q)

4. КАНОНИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

=1-

t² +

C₀(q)

Положительные по определению параметры рас-

ω²¹(q)ω²²(q)

t⁴ + O(t⁶).

(41)

пада a(q) и b(q) в (35) являются декрементами со-

ответствующих коллективных мод. Если эти мо-

Оба разложения определяются исключительно час-

ды распространяются, т. е. если декременты отно-

тотами {ω²¹(q), ω²²(q)} и не зависят от ФПН. Кроме

сительно малы, то помимо упомянутого выше нека-

того, в силу флуктуационно-диссипативной теоремы

нонического решения можно построить специфиче-

(5), в пятимоментном каноническом приближении

ское каноническое решение проблемы Гамбургера. В

S(q, ω)

нашем случае это пятиточечное решение, локализо-

C₀(q)B(βℏω)

ванное в точках ω₀ = 0, ±ω₁(q), ±ω₂(q). Тогда мо-

[(

)

]

ментные условия (7) приводят к следующему част-

πnq

ω²¹

ω²

δ(ω) +

δ(ω² - ω²²)

ному каноническому решению проблемы моментов

ω²²

ω²

с нулевым весом вклада ω₁:

Отсюда, интегрируя, получаем, что

(

)

∫

∞

∫

∞

L^can(q, ω)

ω²¹(q)

δ(ω) +

S(q)

πq

πC₀(q)

ω²²(q)

S(k, ω) dω =

B(βℏω) ×

C₀(q)

ω²¹(q)

(

)

-∞

ω² - ω²²(q)

(38)

ω²²(q)

[(

)

]

ω²¹

ω²

δ(ω)+

(δ(ω-ω₂)+δ) (ω+ω₂) dω,

Похожее на фейнмановское решение (38) описывает

1-ω²²

2ω²

незатухающие коллективные моды в системе: диф-

и, в силу определения нулевого момента,

фузионную при ω = 0 и мягкую при

(q) =

ω²¹

W (q) = ±ω₂(q).

(39)

ω²²(q)

(42)

Действительно, характеристическая частота ω₂(q)

Γ ω²²(q)

βℏω₂(q)

S(q) -

cth

оказывается разумным приближением для W (q),

πq ω2p(q)

когда эта мода слабо затухает. Этот результат широ-

В классическом приближении

ко использовался в рамках подхода ПКЛЗ. Вернем-

πq ω^p(q)

ся теперь к преобразованию Фурье функции потерь,

ω²¹(q)|_classical =

Γ S(q)

∞

∫

Последний результат также прямо следует из клас-

Λ(q, t) =

L(q; ω) exp(iωt) dω.

(40)

сического варианта флуктуационно-диссипативной

−∞

теоремы,

qπn

S(q, ω) =

L(q, ω).

Каноническое решение (38) немедленно приводит к

πg

выражению

Кроме того, вследствие (9) и (8), из (42) можно полу-

чить выражение для статической диэлектрической

∞

∫

функции:

Λ^can(q, t) =

L^can(q, ω)exp(iωt)dω =

-∞

ε(q) =

(43)

[(

)

]

ω2p

βℏω2p

βℏω₂

ω²¹(q)

S(q) +

cth

= C₀(q)

cos(ω₂(q)t)

ω²²

πq

2ω₂

ω²²(q)

1104

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Динамические свойства двумерного плотного электронного газа

Нетрудно видеть, что классическая предельная

J. Ortner and I. M. Tkachenko, Phys. Rev. A 46,

форма последнего выражения согласуется с дебаев-

7882 (1992).

ской формой статического структурного фактора,

P. M. Platzmann and N. Tzoar, Phys. Rev. B 13,

2πq

3197 (1976).

S_D(q)

ℏ→0 q_D + q

2Γ + q

G. Kalman and K. I. Golden, Phys. Rev. A 41, 5516

Детальное сравнительное исследование функции

(1990).

(43), особенно при очень низкой температуре, тре-

K. I. Golden, G. Kalman, and Ph. Wyns, Phys. Rev.

бует отдельного рассмотрения. Кроме того, влияние

A 41, 6940 (1990).

процессов рассеяния энергии на связь между двумя

характеристическими частотами, т. е. между нуле-

K. I. Golden and D. Lu, Phys. Rev. A 28, 980 (1983).

вым и четвертым правилами сумм, также должно

10.

G. Kalman and R. Genga, Phys. Rev. A 33, 604

быть изучено. В трехмерном случае она оказалась

(1986).

незначительной [34].

11.

A. A. Kugler, J. Stat. Phys. 8, 107 (1973).

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

12.

K. N. Pathak and P. Vashishta, Phys. Rev. B 7, 3649

(1973).

В рамках непертурбативного безмодельного мо-

13.

В. М. Адамян, И. М. Ткаченко, ТВТ 21, 417 (1983).

ментного подхода и без привлечения данных моде-

лирования или подгоночных параметров получены

14.

В. М. Адамян, Т. Майер, И. М. Ткаченко, Физика

динамические характеристики двухкомпонентного

плазмы 11, 826 (1985).

электронного газа, так что обратная диэлектриче-

ская функция автоматически удовлетворяет первым

15.

T. Meyer and I. M. Tkachenko, Contrib. Plasma

трем неисчезающим правилам сумм. Динамический

Phys. 25, 437 (1985).

структурный коэффициент, дисперсия и затухание

16.

J. Ortner, V. M. Rylyuk, and Tkachenko, Phys. Rev.

коллективной моды и даже динамическая поправка

E 50, 4937 (1994).

для локального поля определяются с использовани-

ем исключительно статического структурного фак-

17.

I. M. Tkachenko, J. Ortner, and V. M. Rylyuk, Phys.

тора. Последний может быть рассчитан в рамках

Rev. E 57, 4846 (1998).

различных теоретических подходов, методов моле-

18.

D. Varentsov, I. M. Tkachenko, and D. H. H. Hoff-

кулярной динамики и квантового моделирования

mann, Phys. Rev. E 71, 066501 (2005).

Монте-Карло.

19.

D. Ballester and I. M. Tkachenko, Phys. Rev. Lett.

Благодарности. И. М. Т. признателен Таразс-

101, 075002 (2008).

кому государственному университету за гостепри-

20.

D. Ballester and I. M. Tkachenko, J. Phys. A: Math.

имство и благодарен профессорам Ю. В. Архипову,

Theor. 42, 214035 (2009).

Л. Конде и А. Е. Давлетову за ценные обсуждения.

21.

Yu. V. Arkhipov, A. B. Ashikbayeva, A. Askaruly et

al., Phys. Rev. E 90, 053102 (2014).

ЛИТЕРАТУРА

22.

Yu. V. Arkhipov, A. B. Ashikbayeva, A. Askaruly et

al., Phys. Rev. E 91, 019903 (2015).

1. M. Dauelsberg, E. J. Thrush, B. Schineller et al., in

Optoelectronic Devices: III Nitrides, ch. 4, Elsevier

23.

I. M. Tkachenko, Y. V. Arkhipov, and A. Askaruly,

Sci. (2005).

The Method of Moments and its Applications in Plas-

2. T. Ando, A. B. Fowler, and F. Stern, Rev. Mod. Phys.

ma Physics, Lambert (2012).

54, 467 (1982).

24.

М. Г. Крейн, А. А. Нудельман, Проблема момен-

3. Yu. Monarkha and K. Kano, Two-Dimensional

тов Маркова и экстремальные задачи, Наука,

Coulomb Liquids and Solids, Springer-Verlag, Ber-

Москва (1973).

lin-Heidelberg (2004).

25.

Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов

4. S. Ichimaru, Statistical Plasma Physics: Condensed

и некоторые вопросы анализа, связанные с нею,

Plasmas, Addison-Wesley, New York (1994), Vol. 2.

Физматлит, Москва (1961).

1105

ЖЭТФ, вып. 6

М. Т. Кейкиманова, Г. И. Муратова, Р. Ж. Наметкулова и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

26.

J. A. Shohat and J. D. Tamarkin, The Problem of

39.

Ph. Nozieres and D. Pines, Theory of Quantum Li-

Moments, Amer. Math. Soc., Providence, R.I, New

quids, Avalon Publ. (1999).

York (1943).

40.

V. M. Adamyan and I. M. Tkachenko, Contrib. Plas-

27.

R. Nevanlinna, Asymptotische Entwicklungen Besch-

ma Phys. 43, 252 (2003).

rankter Funktionen und das Stieltjessche Momenten-

problem, Suomalaisen Tiedeakatemian Kustantama,

41.

Yu. V. Arkhipov, A. Askaruly, D. Ballester et al.,

Helsinki (1922).

Phys. Rev. E 76, 026403 (2007).

28.

J. Hong and M. H. Lee, Phys. Rev. Lett. 55, 2375

42.

Yu. V. Arkhipov, A. Askaruly, D. Ballester et al.,

(1985).

Phys. Rev. E 81, 026402 (2010).

29.

J. Hong and C. Kim, Phys. Rev. A 43, 1965 (1991).

43.

Yu. V. Arkhipov, A. Askaruly, D. Ballester et al.,

Phys. Rev. E 81, 026402 (2010).

30.

Yu. V. Arkhipov, A. Askaruly, L. Conde et al., Phys.

Rev. Lett. 119, 045001 (2017).

44.

S. V. Adamyan, I. M. Tkachenko, J. L. Munoz-Cobo

Gonzalez et al., Phys. Rev. E 48, 2067 (1993).

31.

Yu. V. Arkhipov, A. B. Ashikbayeva, A. Askaruly et

al., in Book of Abstracts, SCCS 17, Kiel, Germany

45.

Yu. V. Arkhipov and A. E. Davletov, Phys. Lett.

(2017), p. 81.

A 247, 339 (1998).

32.

Yu. V. Arkhipov, A. Askaruly, A. E. Davletov et al.,

46.

R. K. Moudgil, P. K. Ahluwalia, and K. Tankeshwar,

in Book of Abstracts, SCCS 17, Kiel, Germany (2017),

Phys. Rev. B 54, 8809 (1996).

p. 143.

47.

G. Singh, K. Kumar, V. Garg et al., AIP Conf. Proc.

33.

Yu. V. Arkhipov, A. B. Ashikbayeva, A. Askaruly et

1665, 080025 (2015).

al., Contr. Plasma Phys. 58, 967 (2018).

48.

N. Bhukal, V. Garg, and R. K. Moudgil, Physica

34.

Yu. V. Arkhipov, A. Askaruly, A. E. Davletov et

E 106, 133 (2019).

al., in Book of Abstracts, PNP16, Saint-Malo, France

(2018), p. 64.

49.

K. S. Singwi, M. P. Tosi, R. H. Land et al., Phys.

35.

V. M. Adamyan and I. M. Tkachenko, Operator

Rev. 176, 589 (1968).

Theory: Advances and Applications 118, 33 (2000)

50.

G. Kalman and K. I. Golden, Phys. Rev. B 57, 8834

(Proc. of the Mark Krein Int. Conf. on Operator

(1998).

Theory and Applications, Vol. II (2000)).

51.

T. Dornheim, S. Groth, F. D. Malone et al., Phys.

36.

O. V. Dolgov, D. A. Kirzhnits, and E. G. Maksimov,

Plasmas 24, 056303 (2017).

Rev. Mod. Phys. 53, 81 (1981).

37.

Е. Г. Максимов, О. В. Долгов, УФН 177, 983

52.

T. Dornheim, S. Groth, and M. Bonitz, Contrib.

(2007).

Plasma Phys. 57, 468 (2017).

38.

В. И. Перель, Г. М. Элиашберг, ЖЭТФ 41, 886

53.

T. Dornheim, S. Groth, J. Vorberger et al., arXiv:

(1961).

1810.12776v1.

1106