ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 6, стр. 1123-1130

ДОКРИТИЧЕСКОЕ МЕЛКОМАСШТАБНОЕ ДИНАМО

В СПИРАЛЬНОМ СЛУЧАЙНОМ ПОТОКЕ

E. В. Юшковa,b*, А. С. Лукин^a,c, Д. Д. Соколов^b,d

^a Институт космических исследований Российской академии наук

117997, Москва, Россия

^b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

^c Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

101100, Москва, Россия

^d Институт Земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн Российской академии наук

108840, Москва, Россия

Поступила в редакцию 17 ноября 2018 г.,

после переработки 3 января 2019 г.

Принята к публикации 15 января 2019 г.

Исследуется возможность развития мелкомасштабного динамо в случайном потоке со слабой зеркаль-

ной асимметрией при докритических условиях генерации. Показано, что появление асимметрии потока

с ненулевой спиральностью приводит к генерации крупномасштабных периодических возмущений. Эти

возмущения, в свою очередь, поддерживают активную генерацию поля на малых масштабах. Мы описы-

ваем свойства такой поддержки, мощность генерации и характерные масштабы, зависящие от скорости

случайного потока и степени его спиральности. Переводя задачу в спектральную область, мы демон-

стрируем формирование двусоставного мелко- и крупномасштабного спектра, состоящего из пика, лока-

лизованного на больших масштабах, и степенных зависимостей при больших и малых k. Особо отмеча-

ется возможность прямой проверки описываемых спектральных свойств в докритических лабораторных

МГД-экспериментах.

DOI: 10.1134/S0044451019060178

стемы и начинает работать при наличии дифферен-

циального вращения и/или зеркальной асимметрии

≡ 〈V·rot V〉 = 0. В отсутствие дифферен-

потока α₀

1. ВВЕДЕНИЕ

циального вращения крупномасштабная генерация

называется обычно α²-динамо, при наличии враще-

Разделение генерации магнитных полей на круп-

ния она носит название αω-динамо. В данной рабо-

но- и мелкомасштабное динамо является традицией

те мы делаем попытку проанализировать генерацию

с середины прошлого века. В рамках данного под-

магнитного поля на больших и малых масштабах, не

хода два механизма перекачки энергии из турбу-

разделяя подходы и пренебрегая вращением систе-

лентного потока в магнитное поле, каждый из ко-

мы.

торых применим на различных пространственных

масштабах и имеет различные источники генерации,

После того, как развитие вычислительной техни-

рассматриваются отдельно. Мелкомасштабное ди-

ки сделало возможным прямое численное модели-

намо обеспечивает рост магнитного поля на харак-

рование магнитной самогенерации, а совершенство-

терном масштабе турбулентности и требует боль-

вание лабораторной техники позволило проводить

шого (сверхкритического) значения магнитного чис-

динамо-эксперименты (см., например, обзор [1]),

ла Рейнольдса, Rm > Rm_cr. Второй же механизм

систематическое изучение сосуществования обоих

функционирует на характерном масштабе всей си-

разномасштабных механизмов в одной физической

системе стало доступным. Конечно, результаты та-

^* E-mail: yushkov.msu@mail.ru

ких исследований интересно проверить, насколько

1123

11*

E. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

это возможно, результатами, полученными в рам-

вания возможности докритического роста в рамках

ках подходов, ориентированных на описание класси-

данной модели представляются без сомнения акту-

ческими аналитическими методами теоретической

альными.

физики, что позволяет сделать хорошо известная

Наша идея основана на результатах работы [13],

модель Казанцева [2]. Эта модель, предложенная в

где был исследован временный рост мелкомасштаб-

1967 г., основана на специальных представлениях о

ного магнитного поля в рамках симметричной мо-

временных корреляциях случайного потока и тра-

дели. Было показано, что докритический рост мо-

диционно используется исключительно для анали-

жет иметь место в двух случаях: если изначаль-

за процессов генерации на малых масштабах [3-7].

ная магнитная энергия была сосредоточена на мас-

Из-за того что мелкомасштабное динамо может ра-

штабах много больших, чем характерный масштаб

ботать в упрощенных зеркально-симметричных слу-

диссипации, или если генерация происходит при

чаях, именно задачи с нулевой спиральностью и

внешней поддержке магнитного поля — другими

рассматривались чаще всего в предыдущих рабо-

словами, если магнитное поле искусственно скор-

тах. Крупномасштабная генерация в таких средах с

релировано на относительно больших расстояниях,

α₀ = 0, естественно, отсутствовала. Обобщение мо-

〈H(r) · H(0)〉 = 0 при r ≫ 1. При этом, далее это

дели Казанцева для зеркально-асимметричных сред

будет важно, наблюдался рост магнитной энергии

с ненулевой спиральностью, α₀ = 0, было реализо-

тем более значительный, чем значение Rm ближе

вано в ряде исследований, начиная с работы Вайн-

к критической величине Rm_cr. Здесь мы постара-

штейна и Кичатинова [8]. При этом основной акцент

емся объединить упомянутые результаты по под-

в подобных работах был сделан, прежде всего, на

критическому поведению с представлением о том,

нелинейное подавление сверхкритической генерации

что в асимметричном случае на больших масштабах

магнитного поля, а также на проблемы, связанные с

должно работать динамо среднего поля, которое и

обобщением идей Казанцева на случай колмогоров-

создает внешнюю поддержку, подвергающуюся пре-

ской, а не традиционной дельта-коррелированной

образованиям в результате работы мелкомасштаб-

турбулентности (см., например, [9-11]).

ного процесса. Более подробную информацию об ис-

В настоящей работе мы рассматриваем совсем

пользуемой модели можно найти в работах [2,5,14],

другую проблему теории мелкомасштабной генера-

результаты по сверхкритическому режиму — в ра-

ции. Давно известно, что процесс динамо является

ботах [15-17], а детальное сравнение теоретических

критическим (пороговым) явлением. В рамках мел-

результатов с результатами прямого численного мо-

комасштабного процесса это значит, что неограни-

делирования — в работах [18-20].

ченный рост магнитного поля (изначально малого)

Особо отметим, что мы рассматриваем исклю-

возможен только при достаточно больших магнит-

чительно статистически однородное случайное те-

ных числах Рейнольдса, Rm > Rm_cr. Конечно, лю-

чение, т. е. отвлекаемся от эффектов, связанных с

бое первоначально малое поле при монотонном на-

конечностью области, занятой течением. Поэтому в

растании становится со временем динамически су-

нашем случае крупномасштабное динамо может ра-

щественным, после чего его самовозбуждение так

ботать и при сколь угодно малых магнитных чис-

или иначе стабилизируется и останавливается. Од-

лах Рейнольдса [21, 22]. Естественно, в ограничен-

нако описание этой нелинейной стадии процесса вы-

ной области для появления крупномасштабной са-

ходит за рамки исходно линейного подхода Казан-

могенерации магнитное число Рейнольдса должно

цева. В 1956 г. Зельдович [12] отметил, что в за-

превышать некоторое критическое значение, а ис-

даче динамо возможны нетривиальные докритичес-

точники магнитной генерации (такие как зеркаль-

кие режимы для эволюции магнитного поля, в кото-

ная асимметрия или дифференциальное вращение)

рых энергия сначала начинает расти, а только потом

должны быть достаточно интенсивными [23]. Дру-

постепенно затухает. Поскольку в космических сре-

гое ограничение приближения пространственно-бес-

дах магнитные числа Рейнольдса практически все-

конечного потока было отмечено в работе [24]: так,

гда намного превышают критическое значение, идея

в двумерном случайном потоке магнитная энергия

Зельдовича долгое время не привлекала внимания в

может экспоненциально и неограниченно нарастать,

контексте классической модели. Однако, поскольку

а в пространственно-ограниченном теле она со вре-

значения Rm, получаемые в лабораторных динамо-

менем затухает [12]. Однако подобная детализация

экспериментах находились и находятся в диапазоне,

постановки задачи в ограниченных дельта-коррели-

в котором для модели Казанцева естественно ожи-

рованных течениях сильно усложняет ответ на во-

дать затухания (Rm ∼ 10 < Rm_cr ∼ 60), исследо-

прос о возможности докритической генерации.

1124

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Докритическое мелкомасштабное динамо. . .

2. МЕЛКОМАСШТАБНОЕ ДИНАМО

Задача является обезразмеренной таким образом,

что за r

= 1 принимается корреляционная дли-

Рассмотрим модификацию модели Казанцева

на случайного гауссова поля скорости, при этом

для зеркально-асимметричной среды, описываемую

спиральность потока выбирается достаточно малой

системой Вайнштейна - Кичатинова [8]. Получен-

(различие этих величин на порядок является тради-

ная для дельта-коррелированного случайного пото-

ционной практикой при теоретическом анализе про-

ка с ненулевой спиральностью, она определяет по-

блемы):

ведение симметричной и кососимметричной частей,

M (r, t) и K(r, t), корреляционного тензора магнит-

〈V(0) · V(0)〉 = 1,

〈V(0) · rot V(0)〉 = α₀ ≤ 0.1.

ного поля

Конечно, при выборе одинаковых гауссовых кор-

(

)(

r ∂M

r_ir_j )

реляционных функций для спиральности G(r) и

〈H_i(r, t) · H_j (0, 0)〉 = M+

δ_ij-

∂r

r²

энергии F (r) возможно нарушение хорошо извест-

r_ir_j

ного соотношения Моффата (см. [21]), в частнос-

+Kϵ_ijkr_k.

(1)

r²

ти, при малых k (на больших масштабах), одна-

Условия, при которых удается получить эти уравне-

ко само предположение об изотропности системы и

ния, такие как изотропность и несжимаемость про-

неограниченности области уже накладывает усло-

водящего потока, отсутствие влияния магнитного

вия, противоречащие выводу данной оценки. Так,

поля на поток и т. д., подробно описаны, например,

в пространственно-конечном течении эти проблемы

в обзоре [3] и в указанной там библиографии. Здесь

не возникают, поскольку возможные волновые чис-

для удобства мы будем пользоваться вспомогатель-

ла ограничены снизу.

ными заменами φ(r, t) и θ(r, t), определяемыми вы-

Экспоненциально растущее решение задачи Ка-

ражениями

занцева имеет место, только если Rm > Rm_cr. Кри-

тическое значение числа Рейнольдса Rm_cr прибли-

φ(r, t)

M (r, t) =

зительно равно 56 в зеркально-симметричном слу-

r²η1/2

(

(2)

чае и уменьшается с появлением спиральности [16].

∂

⁽θ(r, t)⁾⁾

K(r, t) =

r⁴

Мы изучаем поведение решения системы (3), (4) при

2r⁴ ∂r

∂r

r²

Rm < Rm_cr, численно решая уравнения на неравно-

Эти замены, предложенные в работах [14, 16], сво-

мерной сетке по чисто неявной схеме в предположе-

дят модель Казанцева к системе двух дифференци-

нии нулевых граничных условий для функций φ(r, t)

альных эволюционных уравнений параболического

и θ(r, t) и локализованного на единичном масштабе

типа:

начального условия.

1 ∂φ

∂²φ

^[1 ∂²η

2 ∂η

2η

=η

2 ∂t

∂r²

2 ∂r²

r ∂r

r²

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

)₂ ]

]

⁽∂η

^[∂²θ

2θ

φ-δη

(3)

Все результаты представлены для корреляцион-

4η

∂r

∂r²

r²

ных функций магнитного поля и магнитной спи-

]

ральности:

1 ∂θ

^[∂²θ

2θ

α(r)

=η

+ δφ; δ(r) =

(4)

(

)

2 ∂t

∂r²

r²

η1/2

∂

rφ

〈H · H〉(r) =

Помимо граничных и начальных условий поведение

r² ∂r η1/2

(6)

корреляционных функций, описываемое данной си-

∂

〈A · H〉(r) = -

(rθ),

стемой, определяется параметрами случайного по-

2r² ∂r

тока: фиксированной вязкостью и спиральностью:

полученным из тензора (1) после его свертки по оди-

η(r) = 1/ Rm +F (0) - F (r), α(r) = G(0) - G(r),

наковым индексам, а также для их спектральных

характеристик, вычисляемым в результате трехмер-

другими словами, видом задаваемого дельта-корре-

ного преобразования Фурье:

лированного тензора скорости:

∫∫∫

((

)(

r ∂F

r_ir_j )

〈H · H〉(k) =

eir·k〈H · H〉d³r =

〈V_i(r, t) · V_j (0, 0)〉 =

F+

δ_ij-

(2π)3/2

2 ∂r

r²

∫

(

)

2φ(r)

tg(kr)

r_ir_j

cos(kr)

dr ,

(7)

+ F

+ Gϵ_ijkr_k δ(t).

(5)

r²

⁼-(2π)1/2

η1/2

1125

E. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

B.B , A.B

10⁰

10^-2

10^-4

10^-6

100

150

200

250

300

350

10^-4

10^-2

10⁰

10²

Рис. 1. (В цвете онлайн) Крупномасштабная структура докритического режима генерации, Rm = 50. На рис. а пред-

ставлены продольная корреляционная функция (черная линия) и корреляционная функция спиральности (синяя линия).

На рис. б — их фурье-образы — плотность энергии (черная линия) и плотность спиральности (синяя линия), α0 = 0.5.

Шум в спектре связан с конечным размером выбранной неравномерной сетки. Здесь и далее корреляционные функции

нормированы на максимальное значение для магнитного поля, а их спектральные образы — на максимальное значения

для плотности спиральности

∫∫∫

Решение такой системы хорошо известно (см., на-

〈A · H〉(k) =

eir·k〈A · H〉(r)d³r =

(2π)3/2

пример, [16]). Оно ведет себя как

∫

(

)

tg(kr)

(

)

θ(r) cos(kr)

dr .

(8)

)1/2

(2π)1/2

⁽4γ

⁽r⁾

2η

φ, θ ∝ exp

2γt-

-1

cos

;

δ²

α₀

Детали вычислений стационарных и динамических

решений системы (3), (4) смотрите подробнее в ра-

Считая, что амплитуды функций φ(r) и θ(r) ограни-

боте [13] и приведенных там ссылках.

чены при r → ∞, мы получаем максимальную ско-

рость роста равную γ = δ²/4 = α²⁰/4η и характер-

На основании результатов численного экспери-

ный период корреляций равный 2η/α₀. Заметим, что

мента мы убедились, что и в сверхкритическом и в

полученная скорость и масштаб являются типич-

докритическом режимах с α₀ = 0 при любых на-

ными для классической задачи Штеенбека - Крау-

чальных условиях начинается рост крупномасштаб-

зе - Рэдлера, описывающей поведения динамо сред-

ной структуры поля (см. пример на рис. 1). В силу

него поля без всякого учета мелкомасштабных про-

того, что такая структура формируется на масшта-

цессов [25-27].

бах r ≫ 1, а корреляционные функции потока ло-

Эта крупномасштабная периодическая структу-

кализованы на единичном масштабе при r < 1, есть

ра и ее формирование в пространстве (как и затуха-

возможность грубо проанализировать систему (3),

ние при α₀ = 0) хорошо прослеживаются не только

(4), считая δ(r) и η(r) константами. Действительно,

при больших значениях r и при экспоненциальной

для симметричной, но и для несимметричной час-

ти корреляционного тензора (см. рис. 1а), умень-

временной зависимости exp(2γt), система принима-

ет достаточно простой вид:

шение амплитуды корреляций при r → ∞ связано

с процессом постепенного распространения возму-

щения из энергонесущей области, а периодические

∂²φ

∂²θ

= (γ - δ²)φ + γδθ, η

= -δφ + γθ .

сингулярные особенности соответствуют переходам

∂r²

1126

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Докритическое мелкомасштабное динамо. . .

B.B , A.B

10²

10⁰

10^-2

10^-4

10^-6

10⁰

10^-4

10^-2

10⁰

10²

Рис. 2. (В цвете онлайн) Мелкомасштабная структура сверхкритического режима генерации, Rm = 60. На рис. а пред-

ставлены продольная корреляционная функция (черная линия) и корреляционная функция спиральности (синяя линия),

на рис. б — их фурье-образы — плотность энергии (черная линия) и плотность спиральности (синяя линия), α0 = 0.1.

Красные линии соответствуют законам k-2, k0.25. Смена знака спиральности соответствует сингулярной особенности на

графике в правом нижнем углу рис. б

корреляционной функции через нуль. Ее спектраль-

гии и спиральности сместились в область малых

ный образ, представленный на рис. 1б, имеет ост-

масштабов или больших волновых чисел. Для спи-

рый пик, соответствующий характерному периоду

ральности в спектральном пространстве появилась

корреляций 2η/α₀. На малых и больших масшта-

смена знака вблизи k = 1 (прохождение кривой

бах — справа и слева от пика — спектральная плот-

корреляционной функции через нуль характеризу-

ность спиральности убывает по степенному закону

ется сингулярной особенностью графика). При этом

как k±2, а энергия — выходит на плато вблизи k = 1

у профиля магнитной энергии четко прослежива-

(красные линии на рис. 1 соответствуют k-2 и k =

ется плато порядка k0.25 в окрестности k = 1, а у

= const). При этом на больших масштабах (k ≪ 1)

функции спиральности степенное убывание по за-

эта зависимость объясняется нулевым интегралом

кону k-2, т. е. те же самые структуры, которые за-

по пространству от 〈H·H〉(r) (см. формулы (7), (8)),

метны, хотя и не столь отчетливо и для Rm < Rm_cr

а на малых (k ≫ 1) — характеризует мелкомасштаб-

(см. рис. 1). Таким образом, в докритическом режи-

ную структуру, скрытую за спектральным образом

ме генерации спектры корреляционных функций со-

крупномасштабных возмущений.

стоят из двух частей — пик от крупномасштабного

процесса, а плато и степенное убывание от мелко-

Мы утверждаем, что плато для «энергии» и сте-

масштабной генерации.

пенной закон для «спиральности» являются прямы-

ми следствиями мелкомасштабной структуры маг-

Такая составная структура спектра сохраняет-

нитного поля. Доказательством этого является по-

ся даже при больших временах, т. е. мелкомасштаб-

ведение поля в сверхкритическом режиме генера-

ное магнитное поле развивается с той же скоростью,

ции (Rm = 60), в котором преобладающей является

что и крупномасштабное (на рис. 3б показано по-

именно мелкомасштабная корреляция (см. рис. 2).

ведение скорости роста мелкомасштабного динамо

Теперь в корреляционных функциях не видна пе-

〈H(0)²〉(t) по сравнению с аналитической оценкой

риодическая структура, так как она обладает более

γ = α²⁰/4η для крупномасштабного процесса), в то

медленным ростом, чем мелкомасштабное локали-

время как в докритическом зеркально-симметрич-

зованное магнитное поле. Соответственно, в спект-

ном режиме поле затухает. Одним словом, круп-

ральном пространстве максимумы плотности энер-

номасштабная генерация поддерживает мелкомас-

1127

E. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

B.B , A.B

B.B

10⁵

10⁰

10^-2

10⁰

10^-4

10^-6

10⁰

Рис. 3. (В цвете онлайн) Мелкомасштабная структура докритического режима и характеристики генерации. На рис. а

представлены продольная корреляционная функция (черная линия) и корреляционная функция спиральности (синяя

линия), Rm = 50, α0 = 0.1, на рис. б — зависимость от Rm ширины мелкомасштабной структуры (синяя линия), ампли-

туды мелкомасштабной структуры (черная линия) и скорость генерации γ (штриховая черная линия). Красными линиями

обозначены уровни корреляции на малом и большом масштабе (рис. а), зависимость Rm-1/2 и аналитическая формула

для γ = 2η/α0 (рис. б)

штабную. В частности, это видно на рис. 3а, где

за такого подавления динамо-процесса выходит за

изображены ненулевые корреляционные функции

рамки настоящей статьи, посвященной линейной мо-

при r ≪ 1 при наличии крупномасштабной структу-

дели.

ры. Таким образом, корреляционная функция спи-

ральности просто равна константе на турбулентном

масштабе (синяя линия), а корреляционная функ-

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

ция энергии имеет двухуровневую структуру, по-

Мы показали, что в бесконечном статистичес-

меченную красными штрихами и характерную для

ки-однородном и изотропном, но зеркально-асим-

мелкомасштабного транзиентного роста при внеш-

метричном дельта-коррелированном потоке всегда

ней поддержке (〈H(0) · H(0)〉 и 〈H(0) · H(1)〉, детали

происходит рост мелкомасштабного магнитного по-

см., например, в работе [13]).

ля. Это связано с тем, что при зеркальной асим-

Подчеркнем, что c ростом Rm ширина корреля-

метрии крупномасштабное поле генерируется при

ционного пика магнитного поля вблизи r = 0 (час-

любых Rm и работает как внешняя поддержка до-

то интерпретируемого как толщина магнитной пет-

критического мелкомасштабного процесса. Числен-

ли) сужается, а амплитуда магнитного поля уве-

ное решение динамической задачи продемонстриро-

личивается по сравнению с уровнем поддержки

вало, что у генерируемой магнитной спиральности

〈H(0) · H(0)〉/〈H(0) · H(1)〉 (см. рис. 3б). Однако при

мелкомасштабной структуры нет — корреляционная

подходе к критической величине Rm_cr амплитуда

функция между полем и векторным потенциалом

поля в рамках модели неограниченно нарастает, в то

является однородной вблизи r = 1, в то время как

время как ширина области локализации продолжает

магнитная энергия, как и в сверхкритическом слу-

убывать монотонно как Rm-1/2 (штриховая линяя).

чае, локализуется на малых масштабах. При этом

Следовательно, неограниченно растет энергия, на-

два фактора — уменьшение области локализации

копленная в мелкомасштабных структурах. Неогра-

и неограниченное увеличение плотности магнитной

ниченный рост энергии должен приводить к появ-

энергии с ростом Rm говорят о том, что вблизи кри-

лению неустойчивости, а неустойчивость к нелиней-

тического режима в малых областях может быть

ной стабилизации процесса. Однако нелинейная фа-

локализована гораздо большая магнитная энергия,

1128

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Докритическое мелкомасштабное динамо. . .

чем в крупномасштабной составляющей. Такая спо-

некоторых DNS-моделях наблюдается полученная

собность концентрировать основную часть энергии

нами зависимость k² — обычно это происходит в

в силовых магнитных петлях, конечно, быстро нару-

случае неразвитой ненасыщенной турбулентности,

шает применимость линейного приближения. Нели-

далекой от колмогоровской. К сожалению, маг-

нейная стабилизация растущего магнитного поля,

нитная спиральность не рассматривалась ранее

без сомнения, требует дальнейшего исследования,

в DNS-экспериментах и ее сравнение с резуль-

однако уже в основном с помощью лабораторных

татами Казанцева остается пока невозможным.

экспериментов и DNS-моделей. Более того, экспо-

Для магнитной же энергии как выполаживание

ненциальный рост магнитной энергии на энергети-

вблизи k

= 1, совпадающее с демонстрируемым

ческом масштабе во всех случаях — в симметричных

нами плато для мелкомасштабного спектра, так

и асимметричных средах, в до- и сверхкритических

и степенные убывания, ассоциируемые с колмо-

режимах — говорит о том, что механизм стабили-

горовским законом k-5/3, были неоднократно

зации за счет мелкомасштабных эффектов может

промоделированы. Мы не наблюдаем степенного

играть не просто важную, а определяющую роль в

поведения для спектра магнитной энергии, однако

динамо-теории.

получаем закон k-2 для магнитной спирально-

Из-за наличия крупномасштабной генерации

сти. Это предупреждает нас о том, что схожесть

и поддержки ею мелкомасштабного процесса

степенных наклонов спектра еще не гарантирует

спектр магнитной энергии и спиральности явля-

того, что модель Казанцева, не включающая в себя

ется составным: он имеет узко локализованный

обратное влияние генерируемого магнитного поля,

пик, соответствующий характерному масштабу

на поток, может адекватно описывать поведение

периодической структуры корреляционных функ-

магнитных полей для развитой колмогоровской

ций, степенной рост по закону k² при малых k,

турбулентности, а следовательно, для исполь-

соответствующий нулевому интегралу от корре-

зования полученных спектральных результатов

ляционных функций по всему пространству, а

в приложениях. Все полученные спектральные

также плато для плотности энергии и степенное

характеристики должны быть аккуратно перепро-

падение для спиральности вблизи k = 1, характе-

верены в натурных и лабораторных экспериментах.

ризующее мелкомасштабную часть спектра. Эти

плато и падение явно проявляются только вбли-

Благодарности.

Авторы

признательны

зи критического режима, так как при больших

П. Г. Фрику за помощь в трактовке получен-

Rm они сменяются достаточно быстрым экспо-

ных результатов.

ненциальным затуханием. Важно отметить, что

Финансирование. Работа по формулировке за-

полученные результаты во многом расходятся с

дачи и по поиску вариантов ее анализа обеспечи-

результатами работ по прямому численному моде-

валась грантом Российского фонда фундаменталь-

лированию (DNS), в которых четко выраженный

ных исследований (№ 18-02-00085). Е. В. Ю. благода-

пик наблюдается только для кинетической энергии.

рит фонд поддержки теоретической и математичес-

Остается неясным, почему он не наблюдается для

кой физики БАЗИС (№ 18-1-1-77-3) за помощь при

магнитной энергии. Например, это может быть

разработке численных подходов. Д. Д. С. выражает

связано с недостаточным размером области, так

благодарность Российскому фонду фундаменталь-

как крупномасштабная структура в докритическом

ных исследований (№ 17-52-53203 ГФЕН а) за под-

режиме является неограниченной и поэтому очень

держку анализа возможностей экспериментальной

чувствительна к размеру рассматриваемой обла-

апробации полученных результатов и закономернос-

сти. Степенной рост при малых k фиксируется в

тей.

численных экспериментах, но в основном этот рост

описывается законом k3/2 — причина этого связана

с тем, что в DNS-исследованиях наиболее часто

ЛИТЕРАТУРА

рассматривается колмогоровская, а не казанцевская

1. Д. Д. Соколов, Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, УФН

турбулентность. Закон k3/2 для колмогоровской

184, 313 (2014).

турбулентности был выведен в работе [4], однако

в такой турбулентности вихри разных масштабов

2. А. П. Казанцев, ЖЭТФ 53, 1806 (1967).

имеют различные корреляционные времена, что

противоречит предположению о коротких времен-

3. С. А. Молчанов, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов,

ных корреляциях в модели Казанцева. Однако в

УФН 145, 307 (1985).

1129

E. В. Юшков, А. С. Лукин, Д. Д. Соколов

ЖЭТФ, том 155, вып. 6, 2019

Ya. B. Zeldovich, A. A. Ruzmaikin, and D. D. Soko-

17.

E. V. Yushkov, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 109,

loff, The Almighty Chance, World Scientific, Singapo-

450 (2015).

re (1990).

18.

P. Bhat and K. Subramanian, Monthly Notices of the

R. M. Kulsrud and W. A. Stephen, Ast. J. 396, 606

Royal Astron. Soc. 429, 2469 (2013).

(1992).

K. Subramanian, Phys. Rev. Lett. 83, 2957 (1999).

19.

K. Subramanian and A. Brandenburg, Monthly No-

tices of the Royal Astron. Soc. 445, 2930 (2014).

N. Kleeorin, I. Rogachevskii, and D. Sokoloff, Phys.

Rev. E 65, 036303 (2002).

20.

N. Haugen, A. Brandenburg, and W. Dobler, Phys.

S. I. Vainshtein and L. L. Kichatinov, J. Fluid. Mech.

Rev. E 70, 016308 (2004).

168, 73 (1986).

21.

H. Moffatt, Field Generation in Electrically Conduc-

L. Malyshkin and S. Boldyrev, Ast. J. Lett. 671, L185

ting Fluids, Cambridge University Press, Cambridge,

(2007).

London, New York, 2, 5-1, (1978).

10.

L. Malyshkin and S. Boldyrev, Ast. J. 697, 1433

22.

Ya. B. Zeldovich, A. A. Ruzmaikin, and D. D. So-

(2009).

koloff, Magnetic Fields in Astrophysics, Cordond

Breach Science Pub., New York (1983).

11.

P. Bhat and K. Subramanian, Ast. J. Lett. 791, L34

(2014).

23.

С. И. Брагинский, ЖЭТФ 48, 2178 (1964).

12.

Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 31, 154 (1956).

24.

И. В. Колоколов, В. В. Лебедев, Г. А. Сизов,

13.

E. Yushkov, A. Lukin, and D. Sokoloff, Phys. Rev.

ЖЭТФ 140, 387 (2011).

E 97, 063108 (2018).

25.

S. Boldyrev, F. Cattaneo, and R. Rosner, Phys. Rev.

14.

О. В. Артамонова, Д. Д. Соколов, Вестник МГУ,

Lett. 95, (2005).

физ. астрон. 27, 8 (1986).

26.

E. V. Yushkov, Magnetohydrodynamics

50,

15.

В. Г. Новиков, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов,

0024-998X (2014).

ЖЭТФ 85, 909 (1983).

16.

E. V. Yushkov and A. S. Lukin, Geophys. Astrophys.

27.

M. Steenbeck, F. Krause, and K. Radler, Zeitschrift

Fluid Dyn. 111, 138 (2017).

für Naturforschung A 21 (1966).

1130