ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 1 (7), стр. 118-124

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ, ЛОКАЛИЗОВАННАЯ

НА КРАЕВОЙ ДИСЛОКАЦИИ

Е. Р. Подоляк^*

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 25 декабря 2018 г.,

после переработки 14 февраля 2019 г.

Принята к публикации 15 февраля 2019 г.

Рассматривается пространственно-неоднородный сверхпроводник в приближении Гинзбурга - Ландау.

Пространственная неоднородность (краевая дислокация) описывается через локальный сдвиг критичес-

кой температуры в ее окрестности. Предполагается, что сдвиг δTc(R) пропорционален упругому напряже-

нию, создаваемому дислокацией. Показано, что в этом случае существуют локализованные сверхпрово-

дящие состояния при температуре, превышающей Tc однородного сверхпроводника. Получены основные

характеристики таких состояний. Этот же подход использован для описания пиннинга абрикосовских

вихрей на краевой дислокации.

DOI: 10.1134/S0044451019070125

Будем считать, что дислокация ориентирована

вдоль оси z. В плоскости xy дислокация располо-

жена в начале координат, а ось x направлена в сто-

1. ВВЕДЕНИЕ

рону наибольшей деформации. В окрестности дис-

локации диагональные компоненты тензора напря-

Обычно, в теории Гинзбурга - Ландау рассмат-

жений (см. задачу 4 к § 27 в [2]) σ_zz = 0 и

ривается пространственно-однородный и изотроп-

ный сверхпроводник. При этом температура сверх-

cosθ

проводящего перехода, в окрестности которой при-

σ_xx, σ_yy ∝

(1)

менима теория Гинзбурга - Ландау, является ма-

териальной константой — критической температу-

где R — это расстояние (в плоскости xy) от дисло-

рой сверхпроводника. Пространственные зависимо-

кации до точки наблюдения, а θ — это угол с осью

сти сверхпроводящего параметра порядка в таких

x. Идея использовать потенциал (1) для описания

сверхпроводниках связаны, как правило, с геомет-

окрестности дислокации была предложена [3] при

рией образца, особенностями граничных условий на

изучении электронного спектра в полупроводниках.

его поверхности или влиянием внешнего магнитного

Мы будем предполагать, что δT_c(R) ∝ σ_ii:

поля.

С другой стороны, известно, что критическая

cosθ

δT_c(R) = U₀

(2)

температура сверхпроводника может меняться при

изменении давления [1]. Поскольку упругие напря-

Отметим, что расходимость в начале координат в

жения, возникающие в окрестности дислокации,

(2) является существенной лишь на атомных разме-

действуют на кристаллическую решетку образца

рах. При описании сверхпроводимости важно лишь,

так же, как внешнее давление, можно предполо-

чтобы величина (2) была мала на масштабе корре-

жить, что в окрестности дислокации будет меняться

ляционной длины.

и локальное значение критической температуры. В

Теперь мы воспроизведем феноменологический

данной работе рассматриваются свойства сверхпро-

водника, полученные в рамках этого предположе-

подход теории Гинзбурга - Ландау [4] для рассмат-

риваемой задачи. Здесь и далее мы будем предпола-

ния.

гать, что внешнее магнитное поле приложено вдоль

^* E-mail: podolyak@kapitza.ras.ru

оси дислокации.

118

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

Сверхпроводимость, локализованная на краевой дислокации

Рассмотрим выражение для плотности энергии

Энергия Гинзбурга - Ландау на единицу длины дис-

Гинзбурга - Ландау с учетом формулы (2):

локации приобретает вид



[

]

∫

{



2π

²

cosθ

H2c(T₀)ξ²(T₀)

F =g



Ψ-i

AΨ

+α T -T_c-U₀

|Ψ|² +

E =

|∇ψ - iaψ|² +

^∇



Φ₀

4π

[

]

}

|B |

cosθ

|Ψ|⁴ +

(3)

+ t-

|ψ|² +

|ψ|⁴ + κ²b²

(9)

8π

где Φ₀ = hc/2|e| и g = ℏ²/4m. Строго говоря, коор-

Это выражение явно зависит от приведенной темпе-

динатную зависимость должны приобрести все ко-

ратуры

эффициенты разложения энергии. Однако этими за-

T -T_c

висимостями можно пренебречь по сравнению с по-

(10)

δT₀

правкой к члену пропорциональному |Ψ|².

В теории Гинзбурга - Ландау для однородного

но не зависит от U₀, т. е. не содержит характеристик

сверхпроводника в качестве единиц используются

конкретной дислокации.

равновесное значение параметра порядка в нулевом

Вдали от дислокации потенциал (2) стремится

поле

к нулю, и сверхпроводник можно считать однород-

√

ным. Ниже приведены выражения для некоторых

α(T_c - T )

|Ψ₀(T )| =

(4)

безразмерных величин в однородном сверхпровод-

нике при t < 0.

термодинамическое критическое поле

Равновесное значение параметра порядка

^√4π

√

H_c(T) = α(T_c - T)

(5)

|Ψ₀(T )|

|ψ₀| =

-t,

(11)

|Ψ₀(T₀)|

и корреляционная длина

поле абсолютной неустойчивости нормальной фазы

√

ξ(T ) =

(6)

Hc2(T)

α(T_c - T )

hc2 =

= -t,

(12)

Hc2(T₀)

Переход к единицам

(4)-(6) в теории Гинзбур-

термодинамическое критическое поле

га - Ландау позволяет исключить температурные

зависимости и выразить (3) в безразмерном виде. В

H_c(T)

-t

рассматриваемой задаче при таком подходе возника-

h_c =

√ ,

(13)

Hc2(T₀)

ет температурная зависимость в слагаемом, описы-

вающем дислокацию, и, более того, эта зависимость

где параметр Гинзбурга - Ландау κ имеет стандарт-

имеет расходимость в T_c.

ное определение:

Определим температуру T₀₁₎, характеризующую

√

дислокацию,

Φ₀

T₀ = T_c - δT₀,

κ=

(14)

2π

8πg²

(7)

δT₀ = U²

> 0,

⁰ g

Отметим, что условие применимости теории

и в качестве размерных единиц выберем величины

Гинзбурга - Ландау

(4), (6) при T = T0, т.е. Ψ0(T0), ξ(T0), а единицей

магнитного поля выберем поле абсолютной неустой-

|T - T_c|

≪1

чивости нормальной фазы в однородном сверхпро-

T_c

воднике

Φ₀

в рассматриваемой задаче дополняется требованием

Hc2(T₀) =

(8)

2π ξ²(T₀)

δT₀

≪ 1.

T_c

¹⁾ Приближенно можно считать, что U₀ ≈ |dTc/dP | Kb, где

K — модуль всестороннего сжатия, b — вектор Бюргерса. Для

олова U₀ ≈ 1.5 · 10-6 K · см и δT₀ ≈ 0.7 мК.

При этом величина t может быть любой.

119

Е. Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

2. СВОЙСТВА ЛОКАЛИЗОВАННОЙ

f(x, 0)

1.4

СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

1.2

Сначала рассмотрим сверхпроводящие состоя-

t = -1

ния в нулевом поле:

1.0

∫

{

[

]

}

cosθ

E = dr

|∇ψ|² + t -

|ψ|² +

|ψ|⁴

(15)

0.8

Здесь и далее мы опускаем размерный множитель у

0.6

энергии. В отсутствие магнитного поля можно по-

0.4

ложить фазу параметра порядка равной нулю и пе-

-0.04

рейти к функции f(r) = |ψ(r)|. Уравнение Гинзбур-

0.2

га - Ландау

+0.04

{

}

-20

-10

cosθ

Δf = f t -

+f²

(16)

|t|

в данном случае приобрело зависимость от темпе-

Рис.

1. Зависимость равновесного параметра порядка

f(x, 0) в нулевом поле при нескольких температурах: t -

ратуры, причем при t → -∞ влияние дислокации

- 1, -0.04, +0.04

становится пренебрежимо малым.

Естественные граничные условия для уравнения

(16) являются результатом обращения в нуль по-

+0.04. Отметим, что при температуре выше T_c

верхностного интеграла при варьировании первого

сверхпроводника (t > 0) параметр порядка отличен

слагаемого в правой части (15):

от нуля и при x < 0, т.е. в «запрещенной» области,

(n, ∇f) = 0,

(17)

где (t - cos θ/r) > 0.

Максимальная температура, при которой суще-

где n — вектор нормали к внешней границе, что эк-

ствует сверхпроводимость в нулевом внешнем поле,

вивалентно

определяется из решения линеаризованной задачи

f (∞) = const.

(18)

на собственные значения

Поскольку при r → ∞ дислокационным потенциа-

(

)

cosθ

лом можно пренебречь по сравнению с t, из теории

Δf = f t_crit -

(19)

Гинзбурга - Ландау для однородного сверхпровод-

ника следует, что в рассматриваемой задаче суще-

с граничным условием f(r) = 0 при |r| → ∞. Эта

ствуют два типа состояний: при f(∞) = |ψ₀| — объ-

температура равна t_crit ≈ 0.137. Таким образом, из

емная сверхпроводимость и при f(∞) = 0 — сверх-

измерения сдвига температуры перехода в нулевом

проводимость, у которой параметр порядка отличен

поле можно определить параметр U₀ для данной

от нуля только вблизи дислокации. При этом объ-

дислокации.

емное состояние является равновесным при t < 0, а

В магнитном поле h₀ равновесное локализован-

при t > 0 существует только состояние, локализо-

ное сверхпроводящее состояние соответствует мини-

ванное у дислокации.

муму свободной энергии при постоянном внешнем

Для численного решения уравнений Гинзбур-

поле:

га - Ландау мы пользуемся программой FlexPDE

[5], в которой интегрирование дифференциальных

[

]

cosθ

уравнений по частям и концепция «естественных»

F = |∇ψ - iaψ|² + t -

|ψ|² +

граничных условий заложены в алгоритм вычисле-

ний. При использовании этой программы нужно об-

|ψ|⁴ + κ²(b - h₀)².

(20)

ращать внимание на то, чтобы неизвестные функ-

ции были достаточно гладкими, а особенности в пра-

Вариационные уравнения для (20)

вой части уравнений приходились на узлы сетки ко-

(

)

нечных элементов.

Δψ = ψ

|a|² +t-cosθ+|ψ|2

+2i(a, ∇ψ),

На рис. 1 показано сечение равновесного па-

(21)

раметра порядка вдоль оси x при нескольких ха-

рактерных значениях температуры: t = -1, -0.04,

-κ² [∇ × b] = |ψ|²a +

(ψ^∗∇ψ - ψ∇ψ^∗) ,

120

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

Сверхпроводимость, локализованная на краевой дислокации

h_sc

был впервые изучен в рамках теории поверхностной

2.0

сверхпроводимости [7]. Для произвольных сверхпро-

водящих состояний, зависящих от одной координа-

hc2

h_sc

ты, процедура вычисления критического значения

1.5

параметра Гинзбурга - Ландау была представлена в

работе [8]. Здесь мы обобщим эту процедуру на дву-

мерный случай.

1.0

В поле h₀ = h_sc равновесным является состояние

f = 0, b = h₀ и «обобщенная скорость» q₀. Свобод-

1/2

̃ = 0. Запишем

ная энергия для этого состояния

вариацию свободной энергии при произвольном воз-

0.5

crit

мущении δf = δ(x, y) и δq:

[

]

cosθ

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

F = |∇δ|2 +δ²

|q₀|²+t-

+ 2δ²(q₀, δq)+

t_crit = 0.137

+κ2[∇ × δq]2 +

|δ|⁴ + δ²|δq|².

(24)

Рис. 2. Поле абсолютной неустойчивости нормальной фа-

зы hsc(t) и критическое значение параметра Гинзбурга -

Два первых слагаемых представляют собой вторую

Ландау κcrit(t)

вариацию энергии по отношению к возмущению

только параметра порядка. Эти слагаемые соот-

где b = [∇ × a] и граничные условия при |r| → ∞

ветствуют линеаризованному уравнению Гинзбур-

га - Ландау (21), из которого определено критиче-

ψ = 0,

(22)

ское поле h_sc. Из этого уравнения определяется

b=h₀.

также и форма сверхпроводящего зародыша δ =

В численном счете мы пользуемся калибро-

= δ₂(x, y). Напомним, что в поле h₀ = h_sc вторая

вочной инвариантностью теории Гинзбурга - Лан-

вариация энергии равна нулю. Поэтому для най-

дау, выбирая калибровку векторного потенциала

денного выше δ₂ можно записать полную вариацию

так, чтобы параметр порядка был вещественным,

энергии как функцию от δq:

= |ψ|, а векторный потенциал a заменяем на

«обобщенную скорость»

F = 2δ₂₂(q₀,δq) + κ²[∇ × δq]2 +

q = a - ∇φ,

(23)

|δ₂|⁴ + δ₂₂|δq|².

(25)

где φ обозначает фазу параметра порядка.

В линейных задачах, наоборот, удобно задавать

Минимизация первых двух слагаемых а этом выра-

векторный потенциал невозмущенного поля азиму-

жении дает уравнение для δq:

тально-симметричным и вычислять комплексный

параметр порядка.

δ₂

-[∇ × [∇ × δq ] ] =

q₀.

(26)

Нас в первую очередь интересует зависимость

κ²

критического поля абсолютной неустойчивости нор-

мальной фазы от температуры (верхняя кривая на

Решая это уравнение, находим, что δq = δq₂(x, y) ∝

рис. 2). При понижении температуры, t → -∞,

∝ δ₂₂ и δq₂ ∝ κ-2. Отсюда также следует, что по-

эта зависимость стремится к полю hc2 однородного

следнее слагаемое в (25) порядка δ⁶² и им можно пре-

сверхпроводника. С другой стороны, при t → t_crit

небречь.

это поле стремится к нулю корневым образом, что

Удобно определить не зависящее от κ возмуще-

типично для локализованной сверхпроводимости [6].

ние магнитного поля

Теперь нужно выяснить, какой тип сверхпро-

водящего фазового перехода (первого или второго

b = κ2 [∇ × δq₂],

(27)

рода) происходит в поле h_sc. В теории Гинзбур-

га - Ландау показано, что тип перехода определяет-

которое удовлетворяет уравнению

ся значением параметра κ. Вопрос о типе сверхпро-

водящего перехода в неоднородном сверхпроводнике

-[∇ ×b ] = δ₂₂ q₀.

(28)

121

Е. Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

Если проинтегрировать по частям первое слагаемое

отличается от равновесного. Точнее говоря, в вих-

в правой части (25), то можно записать выражение

ре параметр порядка меньше равновесного значения

для четвертой вариации энергии

и обращается в нуль в центре вихря. Но этот про-

[

]

игрыш энергии компенсируется уменьшением диа-

∫

δ₂

магнитной энергии образца во внешнем поле. В рас-

δ⁴ E = dr

(29)

κ²

сматриваемой здесь задаче в окрестности дислока-

ции есть область с отрицательным сдвигом локаль-

Наконец, из условия δ⁴ E = 0 находим критическое

ной критической температуры, где равновесный па-

значение параметра Гинзбурга - Ландау

раметр порядка мал даже в отсутствие поля (см.

∫

рис. 1). Поэтому вихрь, находящийся в этой области,

оказывается выгоднее вихря, расположенного вда-

drb2

ли от дислокации в объеме сверхпроводника. При

κ2crit = 2 ∫

(30)

низких температурах это явление известно как пин-

dr δ₂

нинг вихрей на дислокациях. В окрестности T_c роль

дислокации значительно возрастает, что может при-

Таким образом, для любой температуры t существу-

водить к таким явлениям, как притяжение между

ет критическое значение κ_crit(t), такое что при κ <

вихрями, и к существованию многоквантовых вих-

< κ_crit в поле h_sc происходит переход первого рода,

рей, локализованных на дислокации.

и, соответственно, при κ > κ_crit происходит переход

Равновесному состоянию вихря в объеме сверх-

второго рода.

проводника соответствует минимум энергии Гинз-

Полученная зависимость κ_crit(t) показана ниж-

бурга - Ландау, т.е. свободной энергии при фикси-

ней кривой на рис. 2. Эта зависимость также демон-

рованном магнитном потоке

стрирует типичное для локализованных состояний

поведение. При t → t_crit критическое значение па-

∫

{

[

]

cosθ

раметра Гинзбурга - Ландау стремится к нулю про-

E_GL = dr

|∇ψ - iaψ|² + t -

|ψ|² +

порционально (t_crit - t)1/2, а при понижении темпе-

}

√

ратуры κ_crit(t) стремится к значению κ_GL = 1/

|ψ|⁴ + κ²b²

(31)

теории Гинзбурга - Ландау для однородного сверх-

проводника.

При этом положение кора вихря x_c (ψ(x_c, 0) = 0) яв-

Приведенные выше результаты описывают воз-

ляется дополнительной степенью свободы, которая

никновение локализованного состояния при умень-

явно не содержится в выражении (31). Мы задаем

шении внешнего поля. Теперь нужно выяснить, в ка-

xc в качестве дополнительного условия. Равновесное

ком поле локализованное состояние распространит-

положение вихря определяется из (дополнительной)

ся на весь объем сверхпроводника. Эта задача тре-

минимизации энергии при изменении x_c. Кроме то-

бует исследовать устойчивость локализованного со-

го, мы задаем количество квантов потока, содержа-

стояния при уменьшении внешнего поля. В настоя-

щихся в вихре, т. е. набег фазы параметра порядка

щее время мы можем ответить лишь на вопрос: про-

при обходе кора вихря. Градиент фазы параметра

исходит ли переход смачивания [9] в поле H₀ = H_c,

порядка имеет расходимость в коре вихря. Поэтому

или локализованное состояние существует в поле

для численного счета обобщенную скорость q мы за-

H₀ < H_c. Мы рассмотрели частный случай олова

меняем на гладкую функцию

(κ ≈ 0.12) при нескольких температурах (t < 0). Ло-

кализованное состояние может существовать в по-

q = q + ∇(nΘ_v).

(32)

ле примерно на 8 % меньшем, чем H_c однородного

сверхпроводника.

Здесь n обозначает количество квантов потока в

вихре, а Θ_v — азимутальный угол.

В этих обозначениях энергия Гинзбурга - Ландау

3. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВИХРИ

∫

{

[

]

cosθ

E_GL = dr

|∇f|² + |q|²f²

+ t-

f² +

Хорошо известно, что в сверхпроводниках вто-

}

рого рода разрушение объемной сверхпроводимости

происходит в поле H₀ ≥ Hc1 за счет проникнове-

f⁴ + κ²b²

(33)

ния вихрей. При этом сам вихрь имеет положитель-

ную энергию, поскольку в нем параметр порядка

где b = [∇ × q]. Вариационные уравнения

122

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

Сверхпроводимость, локализованная на краевой дислокации

E_v

E_v/Ev0

1.0

0.8

Ev0

0.6

0.4

0.2

-15

-10

-5

-10

-8

-6

-4

-2

x_c

Рис. 3. Зависимость энергии одноквантового вихря (κ = 1,

Рис. 4. Отношение энергии равновесного локализованного

t = -1) от координаты кора вихря. Штриховая линия —

вихря к энергии вихря вдали от дислокации как функция

энергия вихря в однородном сверхпроводнике. Пунктирные

температуры. Нижняя кривая — κ = 1. Верхняя кривая —

кривые — асимптотики энергии вдали от дислокации

κ=2

(

)

cosθ

притягивается к дислокации во всем пространстве,

Δf = f

|q² + t -

+f²

кроме положительной полуоси x.

(34)

Значения энергии вихря и энергии пиннинга за-

-[∇ × b] =

κ²

висят и от температуры, и от κ. На рис. 4 пока-

зана зависимость отношения энергии равновесно-

дополняются естественными граничными условия-

ми на бесконечности.

го локализованного вихря к энергии вихря в объе-

Зависимость энергии одноквантового вихря от

ме сверхпроводника как функция температуры для

двух значений κ = 1 и κ = 2. Этот рисунок де-

координаты x_c при κ = 1 и t = -1 приведена на

рис. 3. При |x_c| → ∞ дислокация никак не вли-

монстрирует усиление пиннинга при приближении

к T_c. Такое усиление пиннинга должно проявляться

яет на состояние вихря. Энергия вихря в объеме

сверхпроводника Ev0 = ε(κ)(-t) в этом случае рав-

в значительном уменьшении магнитного поля, при

котором локализованные вихри выходят из образца,

на Ev0 = 7.268. Минимум энергии достигается при

x_c ≈ -1.99, что приблизительно соответствует поло-

h_ex = hc1E_v/Ev0 ≪ hc1. Этот эффект должен при-

водить к гистерезису на кривой намагничивания.

жению минимума равновесного параметра порядка

в отсутствие поля. Энергия локализованного вихря

При изучении свойств равновесных вихрей, лока-

составляет E_v ≈ 4.956, т. е. при этой температуре

лизованных на дислокации, выяснилось, что вихрь

энергия вихря на дислокации уменьшается пример-

может притягиваться к дислокации, даже когда на

но в 1.5 раза. Отметим, что вихрь, расположенный

ней уже находится один вихрь. Для вычисления рав-

в области с повышенной T_c (т.е. при x_c > 0), име-

новесной конфигурации нужно выполнить дополни-

ет большую энергию, чем Ev0. Можно говорить, что

тельную минимизацию энергии по координатам уже

при x_c > 0 вихрь отталкивается от дислокации, а

двух центров вихрей, xc1 и xc2. В полном объеме эту

при x_c < 0 — притягивается.

процедуру мы не проводили. Мы сравнили энергию

Вдали от дислокации, при |r_c| ≫ 1, можно пре-

двух одноквантовых вихрей, один из которых лока-

небречь изменением дислокационного потенциала

лизован на дислокации xc1 = x_c, а второй находится

(∝ r-2c) на размере вихря и считать, что вихрь нахо-

при xc2 = -∞, с энергией равновесного локализо-

дится в однородном сверхпроводнике при темпера-

ванного двухквантового вихря (рис. 5, n = 1).

туре (t-(cosθ)/r_c). Отсюда можно получить асимп-

Оказалось, что при t > -7.7 двухквантовые ло-

тотическое выражение для энергии вихря E_v

≈

кализованные вихри выгоднее двух одноквантовых.

≈ 7.268(-t + (cos θ)/r_c) (пунктирная кривая на

Поскольку полную минимизацию по координатам

рис. 3). Далее, можно вычислить силу, действую-

кора обоих вихрей мы не проводили, нельзя утвер-

щую на вихрь, F = -∇E_v, откуда следует, что вихрь

ждать, что минимуму энергии соответствует имен-

123

Е. Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

является подгоночным, а только задает темпера-

турную шкалу на фазовой диаграмме. Показано,

что в отличие от теории Буздина [6] локализован-

ная сверхпроводимость может существовать при

H₀ < H_c. В рамках этой же модели рассмотрен

пиннинг абрикосовских вихрей на дислокации.

-2

Получены температурные зависимости энергии

пиннинга и условия образования двухквантовых

-4

локализованных вихрей.

-6

Благодарности. Автор выражает глубокую

n = 0

признательность В. И. Марченко за многочислен-

ные полезные обсуждения.

–8

-10

-8

-6

-4

-2

Рис. 5. Разность энергии локализованного (n + 1)-кванто-

ЛИТЕРАТУРА

вого вихря и состояния, в котором есть локализованный

n-квантовый вихрь и одноквантовый вихрь вдали от дис-

1. Superconductivity, ed. by R. D. Parks, Marcel Dekker,

локации. При n = 0 — это энергия связи одноквантового

New York (1969).

вихря

2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости,

Наука, Москва (1965).

но двухквантовый вихрь, а не связанное состояние

двух одноквантовых вихрей на конечном расстоя-

3. R. Landauer, Phys. Rev. 94, 1386 (1954).

нии.

4. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистичес-

Повторяя вычисления для n = 2, можно сказать,

кая физика, ч. 2, Физматлит, Москва (2000).

что при t > -2.77 трехквантовые локализованные

вихри становятся выгоднее двухквантовых.

5. http://pdesolutions.com.

6. И. Н. Хлюстиков, А. И. Буздин, УФН 155, 47

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(1988).

В работе рассмотрена однопараметрическая

7. J. Feder, Sol. State Comm. 5, 299 (1967).

модель, описывающая сверхпроводимость, ло-

8. Е. Р. Подоляк, ЖЭТФ 153, 466 (2018).

кализованную в окрестности краевой дислокации.

Единственный параметр модели (U₀) по существу не

9. J. O. Indekeu, Physica A 251, 290 (1995).

124